离散数学命题符号化课件
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命题公式及分类(离散数学)PPT
练习
P32： 1.6：（3）（4） 1.7：（7-10）
19
说 公式A与B具有相同的或不同的真值表，是指真值表的最后 明 一列是否对应相同，而8 不考虑构造真值表的中间过程。
例1 求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
(1) ┐ (p∧q)→┐r
(2)(p∧┐p)(q∧┐q)
(3)┐(p→q)∧q∧r
9
三、命题公式的分类 定义1.9（重言式、永真式、可满足式）
(5) ┐q∨p
(3) ┐(p∧┐q)
12
例3 下列公式中,哪些具有相同的真值表? (1)p→q (2)┐q∨r (3)(┐p∨q)∧((p∧r)→p) (4)(q→r)∧(p→p)
13
习题：求公式┐(p→(q∧r))的真值表。
p q r q∧r p→(q∧r) ┐(p→(q∧r))
00 0 0
例如 F:{0,1}2{0,1}，且F(00)=F(01)=F(11)=0，
F(01)=1，则F为一个确定的2元真值函数.
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命题公式与真值函数
对于任何一个含n个命题变项的命题公式A，都 存在惟一的一个n元真值函数F与A的真值表相同.
下表给出所有2元真值函数对应的真值表, 每一个 含2个命题变项的公式的真值表都可以在下表中找 到.
(A→B)，(AB)也是合式公式。 (4)只有有限次地应用(1)～(3)形式的符号串才
是合式公式。 合式公式也称为命题公式或命题形式，并简称 为公式。
2
关于合式公式的说明
合式公式的定义方式称为归纳定义或递归定义方式。
定义中引进了A,B等符号，用它们表示任意的合式公式，而不 是某个具体的公式，这与p, p∧q, (p∧q)→r等具体的公式是有 所不同的。
离散数学四省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
f : DIn DI , 称 f 为f在I中解释.
(d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上n元谓词常项 ,F 称 F 为F在I中解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中个体常项符号a、函数符
号f、谓词符号F分别替换成它们在I中解释 、a 、f ,F称
所得到公式A为A在I下解释, 或A在I下被解释成A.
比如，x(F(x,y)G(x,z))， x为指导变元，(F(x,y)G(x,z))为 x 辖域，x两次出现均为约束出现，y与 z 均为自由出现
又如, x(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))), x中x是指导变元, 辖域为(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))). y中y是指导变元, 辖 域为(G(x,y)H(x,y,z)). x3次出现都是约束出现, y第一次出 现是自由出现, 后2次是约束出现, z2次出现都是自由出现
19
第19页
实例
例7 判断以下公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？ (1) xF(x)(xyG(x,y)xF(x))
重言式 p(qp) 代换实例，故为永真式. (2) (xF(x)yG(y))yG(y)
矛盾式 (pq)q 代换实例，故为永假式. (3) x(F(x)G(x))
解释I1: 个体域N, F(x):x>5, G(x): x>4, 公式为真 解释I2: 个体域N, F(x):x<5, G(x):x<4, 公式为假 结论: 非永真式可满足式
2
第2页
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x含有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间关系 如, L(x,y)：x与 y 相关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项谓词, 即命题常项 或命题变项
(d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上n元谓词常项 ,F 称 F 为F在I中解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中个体常项符号a、函数符
号f、谓词符号F分别替换成它们在I中解释 、a 、f ,F称
所得到公式A为A在I下解释, 或A在I下被解释成A.
比如，x(F(x,y)G(x,z))， x为指导变元，(F(x,y)G(x,z))为 x 辖域，x两次出现均为约束出现，y与 z 均为自由出现
又如, x(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))), x中x是指导变元, 辖域为(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))). y中y是指导变元, 辖 域为(G(x,y)H(x,y,z)). x3次出现都是约束出现, y第一次出 现是自由出现, 后2次是约束出现, z2次出现都是自由出现
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实例
例7 判断以下公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？ (1) xF(x)(xyG(x,y)xF(x))
重言式 p(qp) 代换实例，故为永真式. (2) (xF(x)yG(y))yG(y)
矛盾式 (pq)q 代换实例，故为永假式. (3) x(F(x)G(x))
解释I1: 个体域N, F(x):x>5, G(x): x>4, 公式为真 解释I2: 个体域N, F(x):x<5, G(x):x<4, 公式为假 结论: 非永真式可满足式
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谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x含有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间关系 如, L(x,y)：x与 y 相关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项谓词, 即命题常项 或命题变项
离散数学命题逻辑2.ppt
16
命题的演算
• 利用代换规则从一个命题得到另一 个逻辑等价的命题称为命题的演算。
17
证明逻辑等价、永真（假） 式的方法（1）
• 方法一：真值表法
设P1,…,Pn为命题A和B包含的所有命题变元。
A ⇔B
A为永真式
A为永假式
P1 … Pn A B P1 … Pn A P1 … Pn A
v1 v1
1
– 在命题变元的不同指派下，真值总是 真的命题公式，记为1或T
• 永假式(矛盾式)
– 在命题变元的不同指派下，真值总是 假的命题公式，记为0或F
6
永真式举例
• (P∧Q) →P的真值表
P Q P∧Q (P∧Q) →P
1
0
0
1
01
0
1
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1
1
1
• (P∧Q) →P是永真式
7
永假式举例
• ((P∧Q) →P)的真值表
(P→Q)(S→Q)(SR) R
(P→Q)(S→Q)(R→S) R //根据逻辑等价的代
换规则
(P→Q)(S→Q)S
//根据P∧(P→Q) ⇒ Q
(P→Q)Q
//根据P∧(P→Q) ⇒ Q
P
//根据Q∧(P→Q)⇒Q
34
永真蕴含式中的代换规则
• 设命题公式A⇒B • 如果在命题公式C中出现A的地方用B替换
1
01
1
10
0
11
1
P→Q 1 1 0 1
10
逻辑等价例2
• 证明 P▽Q⇔(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)
P Q (┐P∧Q)∨(┐Q∧P) P▽Q
命题的演算
• 利用代换规则从一个命题得到另一 个逻辑等价的命题称为命题的演算。
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证明逻辑等价、永真（假） 式的方法（1）
• 方法一：真值表法
设P1,…,Pn为命题A和B包含的所有命题变元。
A ⇔B
A为永真式
A为永假式
P1 … Pn A B P1 … Pn A P1 … Pn A
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– 在命题变元的不同指派下，真值总是 真的命题公式，记为1或T
• 永假式(矛盾式)
– 在命题变元的不同指派下，真值总是 假的命题公式，记为0或F
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永真式举例
• (P∧Q) →P的真值表
P Q P∧Q (P∧Q) →P
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• (P∧Q) →P是永真式
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永假式举例
• ((P∧Q) →P)的真值表
(P→Q)(S→Q)(SR) R
(P→Q)(S→Q)(R→S) R //根据逻辑等价的代
换规则
(P→Q)(S→Q)S
//根据P∧(P→Q) ⇒ Q
(P→Q)Q
//根据P∧(P→Q) ⇒ Q
P
//根据Q∧(P→Q)⇒Q
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永真蕴含式中的代换规则
• 设命题公式A⇒B • 如果在命题公式C中出现A的地方用B替换
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P→Q 1 1 0 1
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逻辑等价例2
• 证明 P▽Q⇔(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)
P Q (┐P∧Q)∨(┐Q∧P) P▽Q
《离散数学》课件-第1章命题逻辑基本概念
注：克里特岛是希腊东南沿海的一个岛屿，位于地中海东部。 它的迈诺斯文明是世界是最早的文明之一，是欧洲文明的发 源地，并在公元前17世纪纪达到其财富和权势的顶峰。克里 特岛先后被希腊人、罗马人、拜占廷人、阿拉伯人、威尼斯 人和奥托曼土耳其人攻陷。岛上居民在1908年宣布与现代的 希腊结成联盟。
6
二、命题的分类
定义1.4 设p、q为任意命题，复合命题“如 果p，则q”称作p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p 是蕴涵式的前件（hypothesis or premise），q为 蕴涵式的后件（conclusion or consequence）。 →称为蕴涵联结词。
规定：p→q为假当且仅当p为真q为假。即当 p为真q为假时，p→q为假；其它情况都为真。
（4）如果2是素数，则3也是素数。
简单命题：2是素数。3是素数。联结词：如果，则
（5）2是素数当且仅当3也是素数。
简单命题：2是素数。3是素数。联结词：当且仅当
17
解：简单命题的符号化为：
p：3是偶数。 q：2是偶数。 r：2是素数。 s：4是素数。
为了得到复合命题的符号化 形式，我们还必须对五个联 结词进行符号化！
（6）a能被4整除仅当a能被2整除。 p→q
（7）除非a能被2整除，a才能被4整除。 p→q
（8）除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 p→q
（9）只有a能被2整除，a才能被4整除。 p→q
（1）3不是偶数。 Î 非3是偶数。
简单命题：3是偶数。
联结词：非
（2）2是偶素数。
Î 2是偶数并且2是素数。
简单命题：2是偶数。2是素数。 联结词：并且
（3）2或4是素数。
Î 2是素数或4是素数。
简单命题：2是素数。4是素数。 联结词：或
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二、命题的分类
定义1.4 设p、q为任意命题，复合命题“如 果p，则q”称作p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p 是蕴涵式的前件（hypothesis or premise），q为 蕴涵式的后件（conclusion or consequence）。 →称为蕴涵联结词。
规定：p→q为假当且仅当p为真q为假。即当 p为真q为假时，p→q为假；其它情况都为真。
（4）如果2是素数，则3也是素数。
简单命题：2是素数。3是素数。联结词：如果，则
（5）2是素数当且仅当3也是素数。
简单命题：2是素数。3是素数。联结词：当且仅当
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解：简单命题的符号化为：
p：3是偶数。 q：2是偶数。 r：2是素数。 s：4是素数。
为了得到复合命题的符号化 形式，我们还必须对五个联 结词进行符号化！
（6）a能被4整除仅当a能被2整除。 p→q
（7）除非a能被2整除，a才能被4整除。 p→q
（8）除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 p→q
（9）只有a能被2整除，a才能被4整除。 p→q
（1）3不是偶数。 Î 非3是偶数。
简单命题：3是偶数。
联结词：非
（2）2是偶素数。
Î 2是偶数并且2是素数。
简单命题：2是偶数。2是素数。 联结词：并且
（3）2或4是素数。
Î 2是素数或4是素数。
简单命题：2是素数。4是素数。 联结词：或
离散数学课件 4.1一阶逻辑命题符号化
说明： x yG(x, y) 和 x yG(x, y)表示的含义不同！
第 10 页
四、符号化
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1)人都爱美。
(2)有人用左手写字。
个体域分别为：
(a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
解: (a)设F(x):x爱美，G(x):x用左手写字，则
(1) xF(x) (2) xG(x)
， L(x,y): x与y跑得同样快。 (5) ﹁ x y(F(x) G(y) H(x, y)) (6) ﹁ x y(F(x) F(y) L(x, y))
第 16 页
总结和作业
➢ 小结 ◆ 理解个体词、谓词、量词的含义 ◆ 掌握一阶逻辑命题的符号化
➢ 作业（做书上）
课本63-64页 4(1) (3), 5(1) (3)，6 (1) (3) (5)
第1 页
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 命题逻辑的局限性
在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数 量关系。
➢ 一阶逻辑所研究的内容
为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分 析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系。 ◆ §4.1一阶逻辑命题符号化 ◆ §4.2一阶逻辑公式及解释 ◆ §5.1一阶逻辑等值式与置换规则 ◆ §5.2一阶逻辑前束范式
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 苏格拉底三段论
◆ 所有的人都是要死的。 ◆ 苏格拉底是人。 ◆ 所以，苏格拉底是要死的。 试证明此推理。 解：令p:所有的人都是要死的,q:苏格拉底是人,r:苏格拉底 是要死的，则 前提：p，q 结论：r 推理的形式结构： p Ù q ® r
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四、符号化
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1)人都爱美。
(2)有人用左手写字。
个体域分别为：
(a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
解: (a)设F(x):x爱美，G(x):x用左手写字，则
(1) xF(x) (2) xG(x)
， L(x,y): x与y跑得同样快。 (5) ﹁ x y(F(x) G(y) H(x, y)) (6) ﹁ x y(F(x) F(y) L(x, y))
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总结和作业
➢ 小结 ◆ 理解个体词、谓词、量词的含义 ◆ 掌握一阶逻辑命题的符号化
➢ 作业（做书上）
课本63-64页 4(1) (3), 5(1) (3)，6 (1) (3) (5)
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第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 命题逻辑的局限性
在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数 量关系。
➢ 一阶逻辑所研究的内容
为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分 析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系。 ◆ §4.1一阶逻辑命题符号化 ◆ §4.2一阶逻辑公式及解释 ◆ §5.1一阶逻辑等值式与置换规则 ◆ §5.2一阶逻辑前束范式
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 苏格拉底三段论
◆ 所有的人都是要死的。 ◆ 苏格拉底是人。 ◆ 所以，苏格拉底是要死的。 试证明此推理。 解：令p:所有的人都是要死的,q:苏格拉底是人,r:苏格拉底 是要死的，则 前提：p，q 结论：r 推理的形式结构： p Ù q ® r
离散数学课件ppt课件
联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
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例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
离散数学PPT课件 15命题公式及命题符号(ppt文档)
• 注意：命题变元本身不是命题，只有给它一个 解释，才变成命题。
二.合式公式 ( wff ) (well formed formulas)
• 1.定义：
⑴ 单个命题变元是个合式公式。
⑵ 若A是合式公式，则A是合式公式。
⑶ 若A和B是合式公式，则(A∧B)， (A∨B)，(AB)和(AB)都是合式公式.
• 若写成(PQ) (P R)时，当P为F，Q为F时，即天没 下雨而我没上街，此时我说的是假话，但是表达式
(PQ) (P R) 的真值却是“T” ，因为此时(P R)的
真值是“T”。所以这个表达式也不对。
作业： P33 – 1.2, 1.4 , 1.5
1-3 命题公式及命题符号化
一.常值命题与命题变元
• 常值命题：即是我们前面所说的命题。它是有 具体含义 (真值)的。例如：“3是素数。”就 是常值命题。
• 命题变元：用大写的英字母如P、Q等表示任何 命题。称这些字母为命题变元。
• 对命题变元作指派(给命题变元一个解释)：将 一个常值命题赋予命题变元的过程，或者是直 接赋给命题变元真值“T”或“F”的过程。
11
100
十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8
9
二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001
注:有效数字前加0不影响数值，如000=0，001=1，010=10，011=11
• 为了有序地列出A(P1,P2,…,Pn)的真值表， 可以将F看成0，将T看成1，按照二进制 数00…0, 00…01, 00…010, …, 11…10, 11…1(即十进制的0,1,2,…. ,2n -1)的次序 进行指派列真值表。
• 例5.人不犯我，我不犯人；人若犯写成：(PQ)∧(PQ)
二.合式公式 ( wff ) (well formed formulas)
• 1.定义：
⑴ 单个命题变元是个合式公式。
⑵ 若A是合式公式，则A是合式公式。
⑶ 若A和B是合式公式，则(A∧B)， (A∨B)，(AB)和(AB)都是合式公式.
• 若写成(PQ) (P R)时，当P为F，Q为F时，即天没 下雨而我没上街，此时我说的是假话，但是表达式
(PQ) (P R) 的真值却是“T” ，因为此时(P R)的
真值是“T”。所以这个表达式也不对。
作业： P33 – 1.2, 1.4 , 1.5
1-3 命题公式及命题符号化
一.常值命题与命题变元
• 常值命题：即是我们前面所说的命题。它是有 具体含义 (真值)的。例如：“3是素数。”就 是常值命题。
• 命题变元：用大写的英字母如P、Q等表示任何 命题。称这些字母为命题变元。
• 对命题变元作指派(给命题变元一个解释)：将 一个常值命题赋予命题变元的过程，或者是直 接赋给命题变元真值“T”或“F”的过程。
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十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8
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二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001
注:有效数字前加0不影响数值，如000=0，001=1，010=10，011=11
• 为了有序地列出A(P1,P2,…,Pn)的真值表， 可以将F看成0，将T看成1，按照二进制 数00…0, 00…01, 00…010, …, 11…10, 11…1(即十进制的0,1,2,…. ,2n -1)的次序 进行指派列真值表。
• 例5.人不犯我，我不犯人；人若犯写成：(PQ)∧(PQ)
离散数学第一章PPT课件
R 0 1 0 1 0 1 0 1
Assignments（作业）
第30页: 4
1.3 公式分类与等价式
1.3.1 公式分类 1.3.2 等价公式（等值演算） 1.3.3 基本等价式----命题定律 1.3.4 代入规则和替换规则 1.3.5 证明命题公式等价的方法
1.3.1 公式分类
定义1.13 设A是一个命题公式，对A所有可能的解释： (1)若A都为真，称A为永真式或重言式。
(2)若A都为假，称A为永假式或矛盾式。
(3)若至少存在一个解释使得A为真，称A为可满足式。
例1 从上一节真值表可知，命题公式(PQ)(P∨Q)为 重言式，(PQ)∧Q为矛盾式，PQ)∧R为可满足式。
注： 1、 永真式必为可满足式，反之则不然；永真式的否定是永 假式，反之亦然； 2、 决定一个公式是否是一个永真式、永假式或可满足式有 三种方法：真值表法（适用于变元少而简单的公式）、求主范
1.否定词(negation connective )﹁
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定，记作
P，读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设 P：离散数学是计算机专业的核心课程， 则 P:离散数学不是计算机专业的核心课 程。
2.合取词(conjunction connective )∧
命题符号化的目的在于用五个联结词将日 常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题， 其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系 以及命题联结词的含义要有正确的理解，使用 适当的联结词： （1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表
示。
Assignments（作业）
第30页: 3（偶数小题）
定义1.12 设A是含有n个命题变元的命题 公式，将命题公式A在所有赋值之下取值的情 况汇列成表，称为A的真值表( truth table )。 为列出一个公式的真值表，我们约定： ①命题变元按字典序排列；②对公式的每个 解释，以二进制从小到大列出；③当公式较 复杂时，可先列出子公式的真值，最后列出 所给公式的真值。
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葫蘆，假裝唸了一些咒語，然後說：「啊哈！如果碰到從東方來的人，你就會賺到錢。」 當天晚上，賣碗商高興的跑來找算命仙。『真是謝謝您，我真的碰到來自東方的人，結果
賺了很多錢，您真是太準了。』算命仙笑著說：「那是當然的，以後歡迎再來算命啊。」 當賣碗商回去後，麥芽糖商人氣呼呼地找來了。『根本就不準嘛！我今天遇到從東方來的
•
大人常對小孩說：「如果你乖乖，我就給你糖吃。」不知道有沒
有小孩了解，即使不乖，還是可能有糖可吃這件事呢？
离散数学 第一章 命题逻辑
5
说明： 1、形式蕴涵与实质蕴涵：
在数理逻辑中，即使P、Q没有内在联系 ， P→Q 仍有意义。 2、 蕴涵式P→Q 有多种形式：
若P，则Q P是Q的充分条件 Q是P的必要条件 仅当Q则P Q每当P P仅当Q 3、逆命题，反命题，逆反命题： 给定P→Q， 则Q→P， ¬P→ ¬ Q ， ¬ Q→ ¬ P分别叫做P→Q的逆命题、反 命题、逆反命题。
最後賣肉的商人也來了。『今天我的確是賺到了錢，但不是碰到來自東方的人，而是來自 北方的人。所以你算錯了吧？』算命仙露出一付不可理喻的表情說：「嘿，這位兄弟，我是說 你如果碰到從東方來的人就會賺錢，何時說你碰到從北方來的人就不會賺錢啊？我可沒這麼說 喔。」賣肉商人覺得有理，點點頭回去了。
當所有商人回去後，算命仙露出笑容：「賺錢真是簡單啊！四個人來算命都給一樣的答案 ，竟然有三個是準確的，足足賺了三千啊。嘻嘻嘻！」
2
條件否定¬(P→Q)的真值表:
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
于是得到：¬(P→Q) 与 P∧¬Q 等价。
P∧¬Q 0 0 1 0
換個角度來看，既然下雨地就會溼；那麼如果地是乾的，就一定是沒有下雨。 下面的真偽值表可以反應這個關係：
P
Q
¬Q → ¬P
0
0
1
0111001
1
1
「非 Q則非P」為「若 P 則 Q」之逆否命題（contrapositive），和「若 P 則 Q 」 為等價之命題。我們稱 Q 為 P之必要條件。
当P和Q的真值相同时,P↔Q取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
非本仓库工作人员，一律不得入内。
解
令P：某人是仓库工作人员；
Q：某人可以进入仓库。
则上述命题可表示为P↔Q。
离散数学 第一章 命题逻辑
8
例11 黄山比喜马拉雅山高，当且仅当3是素数
令P：黄山比喜马拉雅山高；Q：3是素数 本例可符号化为PQ
的說法則为「如果 P 就 Q」，意思是如果 P 是真那麼 Q 也一定为真。 例如：「如果下雨地就是溼的。」「若P則Q 」的真偽值表如下：
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
在這種情形之下，P稱為 Q 的充分條件。我們注意到「 P→Q 」為 偽只發生在 P 為真及 Q 為偽的情況下。
离散数学 第一章 命题逻辑
4. 蕴含“→”
定义1-4 由命题P和Q利用“→”组成的复合命题，称为蕴含式复合
命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜就读完它。”符
号化。
解
令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
人，卻一毛錢也沒賺到！』算命仙摸著下巴說：「那就奇怪了，不過既然不準，錢就還給你吧 。」
當麥芽糖商人回去後，糕餅商人也怒氣衝天的跑進來。『今天我都沒賺到錢，把我的錢還 給我！』算命仙停頓了一下，問說：「那麼，是否有碰到來自東方的人呢？」糕餅商搔著頭說 ：『沒有耶，只碰到來自南方的人。』「那就對啦，我是說你如果碰到從東方來的人就會賺錢 ，可沒說碰到從南方來的人會賺錢啊。」糕餅商聽這話似乎有理，就回去了。
离散数学 第一章 命题逻辑
3
例：算命仙的神機妙算 從前，在某市住著一位算命仙。他家門口掛了一個招牌寫著：“神機妙算，一回一千元！
如果算得不準，保證退錢”商人們看了，都爭相來算命。 第一個來算命的是賣碗的商人。算命仙收了一千元後，假裝唸了一些咒語，說：「啊哈！
如果碰到從東方來的人，你就會賺到錢。」商人想到今天會賺錢，就開開心心地離開了。 之後又有賣麥芽糖的商人、賣糕餅的商人與賣肉的商人前來算命，算命仙都對他們依樣畫
离散数学 第一章 命题逻辑
4
• 故事中的算命仙就是巧妙地運用了這種條件命題而賺到錢的。讓我們 來研究一下他是如何辦到的。
•
我們考慮“ P= 碰上來自東方的人，Q= 賺到錢 ”有四種情形會發
生：
1. 碰到來自東方的人，而賺到錢。
2. 碰到來自東方的人，但沒有賺到錢。
3. 沒有碰到來自東方的人，而賺到錢。
离散数学 第一章 命题逻辑
6
例. P： 月亮下山 Q： 3+3=6
则P→Q： 若月亮下山,则3+3=6 （并没有实质蕴含关系，仍承认）
Q→P： 叫做P→Q的逆命题 ┐P→┐Q ： 叫做P→Q的反命题 ┐Q→┐P： 叫做P→Q的逆反命题
离散数学 第一章 命题逻辑
7
5．等值“↔”
定义1-5 由命题P和Q，利用“↔”组成的复合命题，称为等值式 复合命题，记作“P↔Q” （读作“P当且仅当Q”）。
从汉语的语义看，P与Q之间并无联系，但就联结 词的定义来看，因为P的真值为假，Q的真值为真， 所以PQ的真值为假。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
于是上述命题可表示为P→Q。
例9 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起； 1 R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真离散的数. 学 第一章 命题逻辑
• 蘊涵（條件）「如果…就…」的意义：
• 兩個命題 P,Q可以用「若P則Q」(if P then Q) 的蘊涵
（implication）方式連接，逻辑符号的表法为 P→Q 。中文口語上
4. 沒有碰到來自東方的人，也沒賺到錢。
• 然而，算命仙算不準的情形即是「如果 p 就 q」為偽的情形。上面的真 偽值表清楚的顯示只有在 3 的情形之下才會發生。所以，用「如果 p 就 q」的方法幫人家算命，總會有四分之三機率是準確的。因此，即使 承諾「如果算不準就退錢」，算命仙仍然可能賺到錢。因為，算不準 的機準只有四分之一。小心別上當哦！
賺了很多錢，您真是太準了。』算命仙笑著說：「那是當然的，以後歡迎再來算命啊。」 當賣碗商回去後，麥芽糖商人氣呼呼地找來了。『根本就不準嘛！我今天遇到從東方來的
•
大人常對小孩說：「如果你乖乖，我就給你糖吃。」不知道有沒
有小孩了解，即使不乖，還是可能有糖可吃這件事呢？
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说明： 1、形式蕴涵与实质蕴涵：
在数理逻辑中，即使P、Q没有内在联系 ， P→Q 仍有意义。 2、 蕴涵式P→Q 有多种形式：
若P，则Q P是Q的充分条件 Q是P的必要条件 仅当Q则P Q每当P P仅当Q 3、逆命题，反命题，逆反命题： 给定P→Q， 则Q→P， ¬P→ ¬ Q ， ¬ Q→ ¬ P分别叫做P→Q的逆命题、反 命题、逆反命题。
最後賣肉的商人也來了。『今天我的確是賺到了錢，但不是碰到來自東方的人，而是來自 北方的人。所以你算錯了吧？』算命仙露出一付不可理喻的表情說：「嘿，這位兄弟，我是說 你如果碰到從東方來的人就會賺錢，何時說你碰到從北方來的人就不會賺錢啊？我可沒這麼說 喔。」賣肉商人覺得有理，點點頭回去了。
當所有商人回去後，算命仙露出笑容：「賺錢真是簡單啊！四個人來算命都給一樣的答案 ，竟然有三個是準確的，足足賺了三千啊。嘻嘻嘻！」
2
條件否定¬(P→Q)的真值表:
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
于是得到：¬(P→Q) 与 P∧¬Q 等价。
P∧¬Q 0 0 1 0
換個角度來看，既然下雨地就會溼；那麼如果地是乾的，就一定是沒有下雨。 下面的真偽值表可以反應這個關係：
P
Q
¬Q → ¬P
0
0
1
0111001
1
1
「非 Q則非P」為「若 P 則 Q」之逆否命題（contrapositive），和「若 P 則 Q 」 為等價之命題。我們稱 Q 為 P之必要條件。
当P和Q的真值相同时,P↔Q取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
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非本仓库工作人员，一律不得入内。
解
令P：某人是仓库工作人员；
Q：某人可以进入仓库。
则上述命题可表示为P↔Q。
离散数学 第一章 命题逻辑
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例11 黄山比喜马拉雅山高，当且仅当3是素数
令P：黄山比喜马拉雅山高；Q：3是素数 本例可符号化为PQ
的說法則为「如果 P 就 Q」，意思是如果 P 是真那麼 Q 也一定为真。 例如：「如果下雨地就是溼的。」「若P則Q 」的真偽值表如下：
P
Q
P→Q
0
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在這種情形之下，P稱為 Q 的充分條件。我們注意到「 P→Q 」為 偽只發生在 P 為真及 Q 為偽的情況下。
离散数学 第一章 命题逻辑
4. 蕴含“→”
定义1-4 由命题P和Q利用“→”组成的复合命题，称为蕴含式复合
命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
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1
1
1
0
0
1
1
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例8 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜就读完它。”符
号化。
解
令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
人，卻一毛錢也沒賺到！』算命仙摸著下巴說：「那就奇怪了，不過既然不準，錢就還給你吧 。」
當麥芽糖商人回去後，糕餅商人也怒氣衝天的跑進來。『今天我都沒賺到錢，把我的錢還 給我！』算命仙停頓了一下，問說：「那麼，是否有碰到來自東方的人呢？」糕餅商搔著頭說 ：『沒有耶，只碰到來自南方的人。』「那就對啦，我是說你如果碰到從東方來的人就會賺錢 ，可沒說碰到從南方來的人會賺錢啊。」糕餅商聽這話似乎有理，就回去了。
离散数学 第一章 命题逻辑
3
例：算命仙的神機妙算 從前，在某市住著一位算命仙。他家門口掛了一個招牌寫著：“神機妙算，一回一千元！
如果算得不準，保證退錢”商人們看了，都爭相來算命。 第一個來算命的是賣碗的商人。算命仙收了一千元後，假裝唸了一些咒語，說：「啊哈！
如果碰到從東方來的人，你就會賺到錢。」商人想到今天會賺錢，就開開心心地離開了。 之後又有賣麥芽糖的商人、賣糕餅的商人與賣肉的商人前來算命，算命仙都對他們依樣畫
离散数学 第一章 命题逻辑
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• 故事中的算命仙就是巧妙地運用了這種條件命題而賺到錢的。讓我們 來研究一下他是如何辦到的。
•
我們考慮“ P= 碰上來自東方的人，Q= 賺到錢 ”有四種情形會發
生：
1. 碰到來自東方的人，而賺到錢。
2. 碰到來自東方的人，但沒有賺到錢。
3. 沒有碰到來自東方的人，而賺到錢。
离散数学 第一章 命题逻辑
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例. P： 月亮下山 Q： 3+3=6
则P→Q： 若月亮下山,则3+3=6 （并没有实质蕴含关系，仍承认）
Q→P： 叫做P→Q的逆命题 ┐P→┐Q ： 叫做P→Q的反命题 ┐Q→┐P： 叫做P→Q的逆反命题
离散数学 第一章 命题逻辑
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5．等值“↔”
定义1-5 由命题P和Q，利用“↔”组成的复合命题，称为等值式 复合命题，记作“P↔Q” （读作“P当且仅当Q”）。
从汉语的语义看，P与Q之间并无联系，但就联结 词的定义来看，因为P的真值为假，Q的真值为真， 所以PQ的真值为假。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
于是上述命题可表示为P→Q。
例9 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起； 1 R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真离散的数. 学 第一章 命题逻辑
• 蘊涵（條件）「如果…就…」的意义：
• 兩個命題 P,Q可以用「若P則Q」(if P then Q) 的蘊涵
（implication）方式連接，逻辑符号的表法为 P→Q 。中文口語上
4. 沒有碰到來自東方的人，也沒賺到錢。
• 然而，算命仙算不準的情形即是「如果 p 就 q」為偽的情形。上面的真 偽值表清楚的顯示只有在 3 的情形之下才會發生。所以，用「如果 p 就 q」的方法幫人家算命，總會有四分之三機率是準確的。因此，即使 承諾「如果算不準就退錢」，算命仙仍然可能賺到錢。因為，算不準 的機準只有四分之一。小心別上當哦！