元次方程组的特殊解法(练习)
1721 特殊的一元二次方程的解法(二)因式分解法-2021-2022学年八年级数学上(沪教版原卷版
17.2.1特殊的一元二次方程的解法（二）因式分解法一、单选题1．方程256x x -=的根是（ ）A ．1278x x ==，B ．1278x x ==-，C ．1278x x =-=，D ．1278x x =-=-，2．方程()()2131x x x -=-的根是（ ）A ．32x =B ．23x =C ．1231,2x x =-=D ．1231,2x x == 3．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（ ）A ．∵()()22340x x --=，∴220x -=或340x -=B ．∵()()311x x +-=，∴30x +=或11x -=C ．∵()()2323x x --=⨯，∴22x -=或33x -=D ．∵()20x x +=，∴20x +=4．下列方程适合用因式分解法解的是（ ）A ．220x -+=B ．224x x =+C ．()()1270x x -+=D ．211100x x --=5．设（x 2+y 2）（x 2+y 2+2）﹣15=0，则x 2+y 2的值为（ ）A ．﹣5或3B ．﹣3或5C ．3D ．56．若x ，y 都是负数，且222300x xy y x y ++++-=，则x y +的值是（ ）A ．3-B ．4-C ．5D ．6-7．已知关于x 的一元二次方程2(2)0a x c -+=的两根为12x =-，26x =，则一元二次方程220ax ax a c -++=的根为( )A ．0，4B ．－3，5C ．－2，4D ．－3，18．阅读理解：解方程2||20x x --=．解：（1）当0x ≥时，原方程可以化为220x x --=，解得122,10x x ==-<（不合题意，舍去）；（2）当0x <时，原方程可以化为220x x +-=，解得122,10x x =-=>（舍去），∴原方程的解为122,2x x ==-．那么方程2|1|10x x ---=的解为（ ）A ．120,1x x ==B ．122,1x x =-=C ．121,2x x =-=D ．121,2x x ==9．已知3是关于x 的方程2720x x m -+=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长为（ ）A ．7B ．10C ．10或11D ．1110．已知M =“…”代表无限次重复，则M 的值是（ ）A ．3BC ．6D ．二、填空题11．一元二次方程220x x +-=的解是________．12．一元二次方程()()23121x x =--的解是________． 13．方程23280x x --=的根为_______．14．一元二次方程()422x x x +=+的解为__．15．已知方程()()22222230x y x y +-+-=，则22x y +的值为_________．16．关于x 的方程（k+1）x 2+（k+3）x+2＝0的根为整数，则所有整数k 的和为____________．17．若方程223160x x b ++-=和233120x x b +-+=的解相同，则b 的值为______．18．当时，代数式的值相等，则时，代数式的值为_______．19．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当a b =时，a 的值是__________．（2）当ab 时，代数式b a ab +的值是__________． 20．公元3＋2a r＋121⨯＝32，由近似公32＋1-4322⨯ ＝1712；…依此算法，577408时，近似公式中的a 是________，r 是________．三、解答题21．用因式分解法解下列方程：（1）2230x x --=；（2）24410x x ++=；（3）()22x x x -=-；（4）()222190x x --=．22．用因式分解法解下列关于x 的方程（1）()()2234410x x --+= （2）23(5)2(5)x x -=- （3）(1)(2)24x x x ++=+ （4）2(2)3(2)40x x +++-=23．用因式分解法解下列关于x 的方程：（1）2152x x -=； （2）224(3)(2)0+--=x x ；（3）222(3)9x x -=-；（4）22204a x ax b -+-=． 24．解方程：(x －2 013)(x －2 014)＝2 015×2 016．25．解方程：6x 4－35x 3＋62x 2－35x ＋6＝0.26．阅读下面的材料：解方程2||20x x --=．解：当0x >时，原方程化为220x x --=，解得122,1x x ==-（不合题意，舍去）；当0x =时，20-=，矛盾，舍去；当0x <时，原方程化为220x x +-=解得122,1x x =-=（不合题意，舍去）．综上所述，原方程的根是122,2x x ==-．请参照上面材料解方程．（1）2|1|10x x ---=；（2）2|21|4x x =-+．27．解方程：()12x x -=.有学生给出如下解法：∵()()()121212x x -==⨯=-⨯-，∴1,12x x =⎧⎨-=⎩或2,11x x =⎧⎨-=⎩或1,12x x =-⎧⎨-=-⎩或2,1 1.x x =-⎧⎨-=-⎩ 解第一、四方程组，无解；解第二、三方程组，得2x =或1x =-，∴2x =或1x =-.请问：这个解法对吗？试说明你的理由.28．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；27120x x -+=④；⋯它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”． ()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程；()2请写出第n 个方程和它的根．29．阅读理解：德国著名数学家高斯（C ．F ．Gauss ，1777年4月30日-1855年2月23日，物理学家、天文学家、大地测量学家．）被认为是历史上最重要的数学家之一，并有"数学王子"的美誉．高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出 12398991005050+++⋯+++=，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：令 S 1239899100=+++⋯+++ ①S 1009998321=+++⋯+++ ②（右边相加 10012993981001+=+=+=⋯=+ 共 100 组）①+②：有 2s 101100=⨯，解得：S 5050= 请类比以上做法，回答，357997++++⋯+=题目：如下图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推．（1） 填写下表：12 3 416 12 181 7 19 （2） 写出第n 层所对应的点数；（3） 如果某一层共96个点，你知道它是第几层吗?（4） 写出n 层的六边形点阵的总点数；（5） 如果六边形点阵图的总点数是631个，你知道它共有几层吗?。
一元二次方程竞赛解题方法
一元二次方程竞赛解题方法一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点。
除了掌握常规解法外，注意一些特殊或灵活的解法，往往能事半功倍。
以下是一些解题方法：一、换元法例如，考虑方程$x^2-2x-5|x-1|+7=0$的所有根的和。
我们可以令$y=|x-1|$，则原方程变为$y^2-2y-5y+7=0$，化简后得到$y=1$或$y=-5$，即$|x-1|=1$或$|x-1|=5$。
进一步解得$x=-1.0.2.6$，因此所有根的和为$7$，选项C。
二、降次法例如，考虑已知$\alpha。
\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两个实数根，求$a^4+3\beta$的值。
我们可以利用方程$x^2-x-1=0$的性质，即$x^2=x+1$，将$a^4+3\beta$表示为$a^2(a^2+3\beta)$，再用$\alpha^2=\alpha+1$和$\beta^2=\beta+1$代入，得到$a^2(a^2+3\beta)=a^2(\alpha+1)(\alpha^2+3\beta^2)=a^2(\alpha+ 1)(4\alpha+3)$，因此$a^4+3\beta=4a^3+4a^2+a^2(\alpha+1)(4\alpha+3)=4a^3+4a^2+3 a^2+4a^3+3a^2=8a^3+6a^2$，选项B。
三、整体代入法例如，考虑二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1.x_2$，记$S_1=x_1+1993x_2.S_2=x_1^2+1993x_2^2.\dots。
S_n=x_1^n+1993x_2^n$，求证$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}=0$。
我们可以将$x_1.x_2$表示为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，然后利用数列求和公式，得到$S_1=-\frac{b}{a}+1993\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$S_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}+1993\frac{b^2-2ac+2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a^2}$，$S_3=-\frac{b^3-3abc+2a\sqrt{b^2-4ac}(b^2-ac)}{a^3}+\dots$。
专项练习解一元一次方程的技巧
专项练习解一元一次方程的技巧解一元一次方程时，一般按五个步骤进行，但有些方程按常规的解法却十分烦琐，假设能抓住方程的特殊结构，灵活运用性质，就能使解方程的过程变得简洁明快．下面就介绍几种，供同学们学习参考．► 技巧一 用等式的性质2或分配律解含多重括号的一元一次方程 含多重括号的一元一次方程的常规解法是从里到外去括号，即先去小括号，再去中括号等．对于特殊的含多重括号的一元一次方程，可以采用以下方法求解：(1)用等式的性质2从外到内逐层去括号；(2)用分配律从外到内逐层去括号．1．解方程：13⎣⎢⎡⎦⎥⎤34⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＋4＋6＝5. 2．解方程：43[34(15x －2)－6]＝1.(用分配律去括号) 3．解方程：17[15(x ＋23＋4)＋6]＝1.(用等式的性质2去括号)► 技巧二 用〝整体法〞解一元一次方程4．在解方程3(x ＋1)－13(x －1)＝2(x －1)－12(x ＋1)时，我们可以将(x ＋1)，(x －1)各看成一个整体进行移项、合并同类项，得到72(x ＋1)＝73(x －1)，再去分母，得3(x ＋1)＝2(x －1)，进而求得方程的解为x ＝－5，这种方法叫整体求解法.请用这种方法解方程：5(2x ＋3)－34(x －2)＝2(x －2)－12(2x ＋3). 5．对于方程43(x －1)－1＝13(x －1)＋4，提供以下解法：①去括号，②去分母，③把(x －1)当作一个整体并进行移项．其中最正确的解法是________．(填序号)6．解方程：3{2x －1－[3(2x －1)＋3]}＝5.7．解方程：5(2x ＋1)－3(22x ＋11)＝120＋4(6x ＋3)．► 技巧三 用〝拆项法〞解一元一次方程含分母的一元一次方程的常规解法是去分母，但也可以根据〝b ＋c a ＝b a ＋c a 〞将分子是和的形式的分数拆成两部分，然后求解．因为这种解法的第一步是拆项，所以称此法为〝拆项法〞．8．用〝拆项法〞解以下方程： (1)4x －23＋5－2x 6＝2x ＋17； (2)y 5－y －12＝1－y ＋25.► 技巧四 先通分，后去分母解一元一次方程 9．解方程：8－6x 15－1－x 6＝－2x －15＋2x ＋118. 10．解方程：12x －1021－8x －914＝2－x 15－7x －920.。
思维特训(十) 一元一次方程的特殊解法
思维特训(十) 一元一次方程的特殊解法6．解方程：12{13[14(15x －1)]}＝1. 7．解方程：12x －1021＋7x －920＝2－x 15＋8x －914. 8．解方程：x 2＋x 6＋x 12＋x 20＝45. 9．解方程：2（2－3x ）0.01－3x －0.030.03＝1. 详解详析1．解：去大括号，得3(2x －1)－3[3(2x －1)＋3]＝9，去中括号，得3(2x －1)－9(2x －1)－9＝9， 即－6(2x －1)＝18，2x －1＝－3，解得x ＝－1.2．解：原方程可化为5(2x ＋1)－33(2x ＋1)＝12(2x ＋1)．整理，得5(2x ＋1)－33(2x ＋1)－12(2x ＋1)＝0.合并同类项，得－40(2x ＋1)＝0.即2x ＋1＝0，解得x ＝－12. 3．解：去中括号，得(x 3－1)－53－x ＝1. 去小括号，得x 3－1－53－x ＝1. 移项，得x 3－x ＝1＋1＋53. 合并同类项，得－23x ＝113. 系数化为1，得x ＝－112. 4．[解析] 本题不用把括号都去掉，只把中括号去掉即可，视19(x －9)为一个整体相消，从而获得简单的解法．解：去中括号，而不去小括号，得x －13x ＋19(x －9)＝19(x －9)． 即23x ＝0，解得x ＝0. 5．解：方程左右两边同时乘2，得 12[12(12x ＋3)＋3]＋3－6＝0. 方程左右两边再同时乘2，得12(12x ＋3)＋3－6＝0. 方程左右两边再同时乘2，得12x ＋3－6＝0. 方程左右两边再同时乘2，得x －6＝0. 移项，得x ＝6.6．解：原方程可化为124(15x －1)＝1，方程左右两边同时乘24，得x 5－1＝24.移项，得15x ＝25，解得x ＝125. 7．解：移项，得12x －1021－8x －914＝2－x 15－7x －920. 方程左右两边分别通分，得24x －2042－24x －2742＝8－4x 60－21x －2760. 即742＝－25x ＋3560. －25x ＋35＝10.解得x ＝1.8．解：原方程可变形为x －x 2＋x 2－x 3＋x 3－x 4＋x 4－x 5＝45. 合并同类项，得45x ＝45. 系数化为1，得x ＝1.9．解：原方程可化为2（2－3x）0.01－x－0.010.01＝1，即4－6x－x＋0.010.01＝1.去分母，得－7x＋4＋0.01＝0.01.解得x＝4 7.。
专题：一元二次方程的八种解法(后附答案)【精品】
专题：一元二次方程的八种解法方法1 形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)时，用直接开平方法求解用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：(1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；(2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.1．用直接开平方法解下列方程：(1)x2－25＝0; (2)4x2＝1；(3)81x2－25＝0； (4)(2y－3)2－64＝0；(5)3(x＋1)2＝13； (6)(3x＋2)2＝25；(7)(x＋1)2－4＝0; (8)(2－x)2－9＝0.方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解用配方法解一元二次方程的“五步法”(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项.(2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x＋n)2＝p的形式.(4)开方：若p≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p＜0，则原方程无解.(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.2．用配方法解下列方程：(1)x2－2x－2＝0； (2)x2-10x+29=0;（3）x2+2x=2; (4)x2－6x＋1＝2x－15；3.用配方法解下列方程：(1)3x 2＋6x －5＝0; (2)12x 2－6x －7＝0.(3)x 2＋16x －13＝0； (4)2x 2－3x －6＝0；方法3 能化成形如（x+a ）（x+b ）=0时，用因式分解法求解用因式分解法解一元二次方程的“四步法”（“右化零，左分解，两因式，各求解”）4.用因式分解法解下列方程：(1)x 2－8x ＝0； (2)5x 2＋20x ＋20＝0；。
方程的解法
方程的解法在数学教学中，应注重传授问题解决的方法，让学生从繁杂的数学推导中解脱出来。
为此，我结合自己的学习实际，将初等数学和高等数学中有关方程的问题归类并给出了一些解决的方法。
（一）一元一次方程的解法1、消除分数项：等式两边同乘以分母的最小公倍数；2、合并同类项：将所有带x的项的系数相加，所有常数项（不带x）项相加；3、移动：带x的项移至等号左边，常数项移至等号右边（注意变+、-号）；4、相除：用常数除以x的系数（即：等号右边的数除以等号左边的数），结果就是方程的解。
例1.解下列方程(1)8-9x=9-8x(2)解：(1)8-9x=9-8x-9x+8x=9-8-x=1x=-1易错点关注：移项时忘了变号；(2)6x-3(3-2x)=6-(x+2)6x-9+6x=6-x-212x+x=4+913x=13x=1易错点关注：两边同乘，每项均乘到，去括号注意变号；（二）一元二次方程的解法此类问题的内容不仅基础而且非常重要，因此要引起重视一元二次方程的一般形式为：ax^2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法（或十字交叉法）。
一、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如 (x-m)^2=n (n≥0)的方程例1．解方程（1）(3x+1)^2=7 （2）9x^2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2，右边=11>0，此方程也可用直接开平方法解。
2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)先将数c移到方程右边：a x^2 + b x=-c将二次项系数化为1．方程两边分别加上一次项系数的一半的平方．方程左边成为一个完全平方式。
人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：解二元一次方程组(答案与全解全析)
人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：解二元一次方程组知识网络重难突破知识点一消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元的思想。
代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
基本思路：未知数由多变少。
代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：1.变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含有另一个的未知数的代数式表示。
2.代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一元一次方程。
3.解：解一元一次方程4.求：把求得的未知数的值带入代数式或原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数的值。
5.写：写出方程组的解。
6.验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。
加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：1.变形：将两个方程中其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）。
2.加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
3.求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。
4.回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。
5.写解：写出方程组的解。
6.检验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。
整体消元法：根据方程组各系数的特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，带入另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，并求得方程的解。
三元一次方程及其解法
三元一次方程及其解法 Prepared on 22 November 2020三元一次方程组及其解法1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程2.三元一次方程组：由三个一次方程(一元、二元或三元)组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组3. 三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值 解题思路：利用消元思想使三元变二元，再变一元4.三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程．例题解析一、三元一次方程组之特殊型例1：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++=++③②①y x z y x z y x 4225212分析：方程③是关于x 的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x ”的目标。
解法1：代入法，消x.把③分别代入①、②得⎩⎨⎧=+=+⑤④2256125z y z y 解得2,2.y z =⎧⎨=⎩把y=2代入③，得x=8.∴8,2,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解.根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：类型一：有表达式，用代入法型.针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。
解法2：消z.①×5得 5x+5y+5z=60 ④④-② 得 4x+3y=38 ⑤由③、⑤得⎩⎨⎧=+=⑤③38344y x y x解得8,2.x y =⎧⎨=⎩把x=8,y=2代入①得z=2.∴8,2,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解.根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：类型二：缺某元，消某元型.例2：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①172162152z y x z y x z y x 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。
具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。
学而思初一数学寒假班第2讲.二元一次方程组的特殊解法.教师版
方程7级二元一次方程的实际应用方程6级 方程组巅峰突破含参方程组 方程5级二元一次方程组的特殊解法五百只鸭子漫画释义满分晋级阶梯2二元一次方程组的特殊解法题型切片（两个） 对应题目题型目标方程组的基本解法例1；例2；例3；例4； 解复杂、特殊的方程组 例5；例6；例7；例8；考点一:知道代入、加减消元法的意义1、解方程组：4316x y x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎨+=⋅⋅⋅⋅⎩①②．【解析】①+②得，420x =，解得5x =，把5x =代入①得，54y -=，解得1y =， 故此方程组的解为：51x y =⎧⎨=⎩．考点二:选择适当方法解方程组2、已知24328a b a b +=⎧⎨+=⎩，则a b +等于（ ）A 、3B 、83C 、2D 、1考点剖析知识互联网题型切片【解析】24328a b a b +=⎧⎨+=⎩①②∵①＋②得：4412a b +=，∴3a b +=故选A【点评】本题考察了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用巧妙的方法求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目.【例1】二元一次方程及二元一次方程的解概念【例2】基本的代入、加减消元法解二元一次方程组 【例3】解复杂的二元一次方程组【例4】含有字母系数的二元一次方程组，先理解题意再进行计算 【例5】叠加叠减法 【例6】换元法 【例7】倒数法【例8】探索方程组中未知数满足的关系式.定 义示例剖析二元一次方程定义：通过化简后，只有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，系数都不是0的整式方程.23x y =，5x y +=，1a b -=，35m n=；二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．14x y =⎧⎨=⎩是方程5x y +=的一个解； 二元一次方程组定义：一般地，含有相同的未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组．41x y x y +=⎧⎨-=⎩二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值（即两个方程的公共解），叫做二元一次方程组的解．31x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组41x y x y +=⎧⎨-=⎩的解.基本方法：⑴ 代入消元法：把方程组中的一个方程进行变形，写出用一个未知数x （或y ）编写思路模块一 方程组的基本解法知识导航表示另一个未知数y （或x ）的代数式，然后把它代入另一个方程中，消去未知数y （或x ），得到关于x （或y ）的一元一次方程，通过解这个一元一次方程，再来求二元一次方程组的解．我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法．⑵ 加减消元法：当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或相等时，可以把方程的两边分别相加（当某个未知数的系数互为相反数时）或相减（当某个未知数的系数相等时）来消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．像上面这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．易错点：二元一次方程有无数组解，二元一次方程组只有唯一一组解或无数组解.【例1】 ⑴ 已知关于x 、y 的方程()12mm x y ++=是二元一次方程，则m =______.⑵ 当m =_____时，方程220x my +=是关于x 的一元一次方程. ⑶ 写出方程342x y -=的三组解.【解析】 ⑴1；⑵ 0；⑶ 2610147，，x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩等.【例2】 解方程组 ⑴2127y x x y =-⎧⎨+=-⎩（北京五中期中）⑵233511x y x y +=⎧⎨-=⎩【解析】 ⑴ 13x y =-⎧⎨=-⎩；⑵21x y =⎧⎨=-⎩【例3】 ⑴ 解方程组121232132x y y x -+⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⑵ 若关于x ，y 的方程组18mx ny nx my -=⎧⎨+=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩，则m n -为 ．【解析】 ⑴ 32x y =⎧⎨=-⎩；⑵ 1.夯实基础能力提升【例4】 ⑴ m 为何值时，方程组522312x y mx y m -=⎧⎨+=-⎩的解x y 、互为相反数？⑵ 已知方程组2420x my x y +=⎧⎨-=⎩有解1x ny n =⎧⎨=+⎩，求m n 、的值.【解析】 ⑴ 9m =；⑵ 将1x n y n =⎧⎨=+⎩代入20x y -=中，即2(1)0n n -+=，解得2n =-，故有21x y =-⎧⎨=-⎩，代入24x my +=中，即44m --=，解得8m =-.定 义示例剖析当二元一次方程组比较复杂时，应先化简，利用去分母、去括号、合并同类项等将其变为简单的二元一次方程组后再选择合适的消元法求解.方程组()110.5142335x y x y +⎧--=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩化简得25531x y x y +=⎧⎨-=-⎩易错点：含绝对值的方程组要分类讨论.【例5】 解方程组：⑴ 199519975989199719955987x y x y +=⎧⎨+=⎩⑵ 361463102463361102x y x y +=-⎧⎨+=⎩⑶ 201020092008200820072006x y x y -=⎧⎨-=⎩（北京四中期中）【解析】 ⑴ 12x y =⎧⎨=⎩；⑵ 11x y =⎧⎨=-⎩；⑶ 12x y =-⎧⎨=-⎩.【点评】 本题尽管可以用常规方法求解，但未知数的系数较大，无论是代入法还是加减法，运算量都很大.选择方法时要根据方程的特点，具体问题具体分析.仔细观察本题系数的特殊规律，大胆地将两个方程分别相加、相减形成新的方程组，进而求得方程组的解.【例6】 运用适当的方法解下列方程组夯实基础知识导航模块二 解复杂、特殊的方程组⑴()()()()4513453x y x yx y x y⎧++-=⎪⎨+--=⎪⎩（北京十一学校期中）⑵解关于x、y的二元一次方程组3223232232x a y b ax a y b a+-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=⎪⎩（北京十二中期中）【解析】⑴3212xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；提示：令x y u x y v+=-=，⑵22x ay b=-⎧⎨=⎩；提示：令3223x a y bu v+-==，【点评】此题为整体换元法求解. 【例7】解下列方程组⑴1215b aabb aab+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⑵13281237xyx yxyx y⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩【解析】⑴原式可化简为11121115a ba b⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以207203ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⑵取倒数得328237x yxyx yxy+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，化简得238327x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得1112xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得112xy=⎧⎪⎨=⎪⎩.【点评】此题为倒数法求解.【例8】 1.（2011年人大附中期中）已知x、y满足方程组2524x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x y-的值为 .能力提升真题赏析2.（2013年一六一中学期中）由方程组213x m y m+=⎧⎨-=⎩可得出x 与y 的关系是 .3.（2013年首师大附中期中）已知关于x 、y 的方程组343x y ax y a +=-⎧⎨-=⎩，给出下列结论：①51x y =⎧⎨=-⎩是方程组的解；②当2a =-时，x ，y 的值互为相反数；③当1a =时，方程组的解也是方程4x y a +=-的解； ④,x y 满足的关系式是23x y +=其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③④D ．②③④【解析】1. 1x y -=2. 24x y +=3. D.训练1. 如果2223n m n x y ---=是关于x y 、的二元一次方程，那么m = ，n = ． 【解析】 根据定义得2121n m n -=⎧⎨-=⎩，解得73m n =⎧⎨=⎩.训练2. 解方程组233119,253323.x y x y -=⎧⎨-=⎩①②【解析】 ②-①，得224x y -=，即2x y =+。
解题技巧：与二元一次方程组解法有关的问题压轴题五种模型全攻略(原卷版) 七年级数学下册
专题04解题技巧专题：与二元一次方程组解法有关的问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一求二元一次方程的正整数解】 (1)【考点二解二元一次方程组】 (1)【考点三二元一次方程组的错解复原问题】 (2)【考点四二元一次方程组的特殊解法】 (4)【考点五新定义型二元一次方程组问题】 (5)【过关检测】 (7)【典型例题】【考点一求二元一次方程的正整数解】x y+=的正整数解的对数是（）例题：（2023下·四川资阳·七年级校考期中）方程7A．5B．7C．6D．无数对【变式训练】【考点二解二元一次方程组】例题：（2024下·全国·七年级假期作业）解方程组：【变式训练】【考点三二元一次方程组的错解复原问题】例题：（2023下·七年级课时练习）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的问题：解方程组：34 6310 x yx y-=⎧⎨-=⎩①②解：①×2，得6x－2y＝8．③…第一步②－③，得－y＝2，…第二步解得y＝－2．…第三步把y＝－2代入①，得3x－（－2）＝4．…第四步解得x＝2．…第五步∴22 xy=⎧⎨=⎩(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________法，以上求解步骤中，马小虎同学从第________步开始出现错误；(2)请写出此题正确的解答过程．【变式训练】【考点四二元一次方程组的特殊解法】【变式训练】1．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考期中）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组()()()()3523135237m n m n ⎧+-+=-⎪⎨+++=⎪⎩时，采用了一种“整体换元”的解法，把5m +，3n +分别看成一个整体，设5m x +=，【考点五新定义型二元一次方程组问题】例题：（2023下·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期中）我们定义：若整式M 与N 满足：(M N k k +=为整数)，我们称M 与N 为关于k 的平衡整式．例如，若234x y +=，我们称2x 与3y 为关于4的平衡整式．(1)若25a -与49a +为关于1的平衡整式，求a 的值；(2)若310x -与y 为关于2的平衡整式，2x 与510y +为关于5的平衡整式，求x y +的值．【变式训练】1．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）对于有理数x 、y 定义一种新运算“※”：规定x ※2y ax by =-+，等式右边是通常的四则运算．例如：2※122a b =-+．(1)若1※(1)4-=-，3※24=，求a 、b 的值；(2)若运算“※”满足交换律，即对于任意有理数x 、y 且x y ≠，都满足x ※y y =※x ，求a 、b 之间的数量关系．2．（2023下·湖北十堰·七年级校考阶段练习）对于有理数x ，y ，定义新运算：2x y x y *=-，2x y x y ⊗=+，其中a ，b 是常数.例如111*=，328⊗=．(1)若关于x ，y 的方程组*45x y m x y m =-⎧⎨⊗=⎩的解也满足方程5x y +=，求m 的值；(2)若关于x ，y 的方程组111222*a x b y c a x b y c =⎧⎨⊗=⎩的解为45x y =⎧⎨=⎩，求关于x ，y 的方程组()()()()111222*a x y b x y c a x y b x y c ⎧+-=⎪⎨+⊗-=⎪⎩的解．【过关检测】一、单选题1．（2023上·山西太原·八年级太原市实验中学校联考阶段练习）用代入法解方程组22340y x x y =-+⎧⎨-=⎩①②时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（）A ．2364x x --=B ．2324x x +-=C ．2364x x -+=D ．2364x x +-=2．（2023下·山东威海·七年级统考期末）二元一次方程2321x y +=的正整数解有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2023上·广东茂名·八年级统考期末）已知代数式与242m x y --与52n m nx y +是同类项，那么m 、n 的值分别是（）A ．31m n =-⎧⎨=-⎩B ．31m n =⎧⎨=-⎩C ．31m n =-⎧⎨=⎩D ．31m n =⎧⎨=⎩4．（2023下·浙江·七年级校联考阶段练习）对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：2a b a b ⊗=-．例如342342=⨯-=⊗．若2x y ⊗=，且4y x ⊗=，则x y +的值为（）A ．6B ．7C ．8D ．95．（2023上·四川达州·八年级校考期末）两位同学在解方程组273ax by cx y +=⎧⎨+=⎩时，甲同学正确地解出11x y =-⎧⎨=-⎩，乙同学因把c 抄错了解得32x y =-⎧⎨=-⎩，则a 、b 、c 正确的值应为（）A ．315a b c =-=-=-，，B ．115a b c ==-=-，，C ．2410a b c ==-=-，，D ．315a b c ===-，，二、填空题6．（2023上·山东济南·八年级统考期中）把方程24x y -=变形，用含x 的代数式表示y ，则y =．7．（2023下·浙江湖州·七年级统考阶段练习）二元一次方程25x y +=的一个正整数解是．（只要写出一个）8．（2023上·河北张家口·八年级统考期中）已知方程组2324x y x y -=-⎧⎨-+=⎩，则x y +的值为．9．（2023上·山东·八年级期末）已知关于x ，y 的方程组210220x y m x y m +-+=⎧⎨+++=⎩．则x y +=．10．（2023下·山东济南·七年级统考期末）定义新运算：对于任意实数a 、b 约定关于⊗的一种运算如下：2a b a b ⊗=＋．例如：()()3223-⊗=⨯-24+=-．若()5x y ⊗-=，且27y x ⊗=，则x y +的值是．三、解答题。