工程数学期末试题A
工程数学本期末综合练习
工程数学本期末综合练习TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】《工程数学（本）》期末综合练习一、单项选择题1．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( )．A ．()BA AB 11=- B ．()111---+=+B A B A C ．()111---=B A AB D ．1111----+=+B A B A正确答案：A2．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x x a x x a x x 相容的充分必要条件是( )，其中0≠i a ，)3,2,1(=i ．A ．0321=++a a aB ．0321=-+a a aC ．0321=+-a a aD ．0321=++-a a a正确答案：B3．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111A 的特征值为0，2，则3A 的特征值为 ( ) ． A ．0，2 B ．0，6 C ．0，0 D ．2，6正确答案：B4. 设A ，B 是两事件，则下列等式中（ ）是不正确的．A . )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 相互独立B . )()()(B A P B P AB P =，其中0)(≠B PC . )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容D . )()()(A B P A P AB P =，其中0)(≠A P正确答案：C5．若随机变量X 与Y 相互独立，则方差)32(Y X D -=（ ）．A ．)(3)(2Y D X D -B ．)(3)(2Y D X D +C ．)(9)(4YD X D - D ．)(9)(4Y D X D +正确答案：D6．设A 是n m ⨯矩阵，B 是t s ⨯矩阵，且B C A '有意义，则C 是( )矩阵．A ．s n ⨯B ．n s ⨯C ．t m ⨯D ．m t ⨯正确答案：B7．若X 1、X 2是线性方程组AX =B 的解，而21ηη、是方程组AX = O 的解，则（ ）是AX =B 的解．A ．213231X X +B ．213231ηη+ C ．21X X - D ．21X X + 正确答案：A8．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( ) ．A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101 C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011 D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100 正确答案：C9. 下列事件运算关系正确的是（ ）．A ．AB BA B += B ．A B BA B +=C ．A B BA B +=D ．B B -=1 正确答案：A10．若随机变量)1,0(~N X ，则随机变量~23-=X Y （ ）．A ．)3,2(-NB ．)3,4(-NC ．)3,4(2-ND ．)3,2(2-N正确答案：D11．设321,,x x x 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则（ ）是μ的无偏估计． A ．321525252x x x ++ B ．321x x x ++ C ．321535151x x x ++ D ．321515151x x x ++ 正确答案：C12．对给定的正态总体),(2σμN 的一个样本),,,(21n x x x ，2σ未知，求μ的置信区间，选用的样本函数服从（ ）．A ．χ2分布 B ．t 分布 C ．指数分布 D ．正态分布正确答案：B二、填空题 1．设412211211)(22+-=x x x f ，则0)(=x f 的根是 ．应该填写：2,2,1,1--2．设向量β可由向量组n ααα,,,21 线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是n ααα,,,21 ．应该填写：线性无关3．若事件A ，B 满足B A ⊃，则 P （A - B ）= ．应该填写：)()(B P A P -4．．设随机变量的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它,010,1)(2x x k x f ，则常数k = ． 应该填写：π4 5．若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==ni i x n x 11，则~x ． 应该填写：)1,0(nN6．行列式701215683的元素21a 的代数余子式21A 的值为= ． 应该填写-567．设三阶矩阵A 的行列式21=A ，则1-A = ． 应该填写：2 8．若向量组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2121α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1302α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2003k α，能构成R 3一个基，则数k ． 应该填写：2≠9．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 个解向量．应该填写：310．设A B ,互不相容，且P A ()>0，则P B A ()= ．应该填写：011．若随机变量X ~ ]2,0[U ，则=)(X D ． 应该填写：31 12．设θˆ是未知参数θ的一个估计，且满足θθ=)ˆ(E ，则θˆ称为θ的 估计． 应该填写：无偏三、计算题1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=210211321,100110132B A ，求：（1）AB ；（2）1-A ． 解：（1）因为2100110132-=--=A 所以 2==B A AB ．（2）因为 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100100010110001132I A 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-10011012/32/11A ． 2．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++++=++++0233035962023353215432154321x x x x x x x x x x x x x x 的通解．解： A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--326001130012331203313596212331 一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=0313543421x x x x x x ，其中x 2，x 4 是自由元 令x 2 = 1，x 4 = 0，得X 1 =)0,0,0,1,3('-；x 2 = 0，x 4 = 3，得X 2 =)0,3,1,0,3('--所以原方程组的一个基础解系为 { X 1，X 2 }．原方程组的通解为： 2211X k X k +，其中k 1，k 2 是任意常数．3．设随机变量)1,4(~N X ．（1）求)24(>-X P ；（2）若9332.0)(=>k X P ，求k 的值． （已知9332.0)5.1(,8413.0)1(,9775.0)2(=Φ=Φ=Φ）．解：（1）)24(>-X P ＝1－)24(≤-X P= 1－)242(≤-≤-X P ＝1－（)2()2(-Φ-Φ）= 2（1－)2(Φ）＝．（2）)44()(->-=>k X P k X P＝1－)44(-≤-k X P＝1－)5.1(9332.0)4(Φ==-Φk即 k －4 = ， k ＝．4．某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5 cm ，标准差为0.15cm .从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm ），，，问：该机工作是否正常(05.0=α, 96.1975.0=u )解：零假设5.10:0=μH .由于已知15.0=σ，故选取样本函数nx U σμ-=～)1,0(N 经计算得375.10=x ，075.0415.0==n σ， 由已知条件96.121=-αu ，且 2196.167.1αμσμ-=<=-nx 故接受零假设，即该机工作正常.5．已知矩阵方程B AX X +=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301111010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=350211B ，求X ． 解：因为B X A I =-)(，且即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=--110121120)(1A I 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-334231350211110121120)(1B A I X ． 6．设向量组)1,421(1'--=，，α，)4,1684(2'--=，，α，)2,513(3'--=，，α，)1,132(4'-=，，α，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组．解：因为（1α 2α 3α 4α）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------12411516431822341 所以，r (4321,,,αααα) = 3． 它的一个极大线性无关组是 431,,ααα（或432,,ααα）．7．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ，λ为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解．解：因为A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---λ83352231⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→610110231λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ 505==-λλ即当时，3)(<A r ，所以方程组有非零解．方程组的一般解为： ⎩⎨⎧==3231x x x x ，其中3x 为自由元． 令3x =1得X 1=)1,1,1('，则方程组的基础解系为{X 1}．通解为k 1X 1，其中k 1为任意常数．8．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率．解：设1A =“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，2A =“取到的都是白子”，3A =“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则（1）)(1)(1)(211A P A P A P -=-=745.0255.01131238=-=-=C C ． （2）)()()()(3232A P A P A A P B P +=+=273.0018.0255.0255.031234=+=+C C ．9．设随机变量X ~ N （3，4）．求：（1）P （1< X < 7）；（2）使P （X < a ）=成立的常数a ． (8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9973.0)0.2(=Φ)．解：（1）P （1< X < 7）=)23723231(-<-<-X P =)2231(<-<-X P =)1()2(-Φ-Φ = + – 1 = （2）因为 P （X < a ）=)2323(-<-a X P =)23(-Φa = 所以28.123=-a ，a = 3 + 28.12⨯ = 10．从正态总体N （μ，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得x = 21，求μ的置信度为95%的置信区间．(已知 96.1975.0=u )解：已知3=σ，n = 64，且n x u σμ-=~ )1,0(N 因为 x = 21，96.121=-αu ，且所以，置信度为95%的μ的置信区间为： ]735.21,265.20[],[2121=+---n u x n ux σσαα． 四、证明题1．设A 是n 阶矩阵，若3A = 0，则21)(A A I A I ++=--．证明：因为 ))((2A A I A I ++-=322A A A A A I ---++=3A I -= I所以 21)(A A I A I ++=--2．设n 阶矩阵A 满足0))((=+-I A I A ，则A 为可逆矩阵．证明： 因为 0))((2=-=+-I A I A I A ，即I A =2所以，A 为可逆矩阵． 3．设向量组321,,ααα线性无关，令2112ααβ+=，32223ααβ+=，1334ααβ-=，证明向量组321,,βββ线性无关。
《工程数学(本)》期末综合练习
《工程数学（本）》期末综合练习一、单项选择题1．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( )． A ．()BAAB 11=- B ．()111---+=+B A B A C ．()111---=B A AB D ．1111----+=+B A B A正确答案：A2．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是( )，其中0≠i a ，)3,2,1(=i ．A ．0321=++a a aB ．0321=-+a a aC ．0321=+-a a aD ．0321=++-a a a 正确答案：B3．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111A 的特征值为0，2，则3A 的特征值为 ( ) ．A ．0，2B ．0，6C ．0，0D ．2，6 正确答案：B4. 设A ，B 是两事件，则下列等式中（ ）是不正确的． A. )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 相互独立 B. )()()(B A P B P AB P =，其中0)(≠B P C. )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容 D. )()()(A B P A P AB P =，其中0)(≠A P 正确答案：C5．若随机变量X 与Y 相互独立，则方差)32(Y X D -=（ ）． A ．)(3)(2Y D X D - B ．)(3)(2Y D X D + C ．)(9)(4Y D X D - D ．)(9)(4Y D X D + 正确答案：D6．设A 是n m ⨯矩阵，B 是t s ⨯矩阵，且B C A '有意义，则C 是( )矩阵．A ．s n ⨯B ．n s ⨯C ．t m ⨯D ．m t ⨯ 正确答案：B7．若X 1、X 2是线性方程组AX =B 的解，而21ηη、是方程组AX = O 的解，则（ ）是AX =B 的解． A ．213231X X + B ．213231ηη+ C ．21X X - D ．21X X + 正确答案：A8．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( ) ． A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101 B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101 C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011 D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100 正确答案：C9. 下列事件运算关系正确的是（ ）．A ．AB BA B += B ．A B BA B +=C ．A B BA B +=D ．B B -=1 正确答案：A10．若随机变量)1,0(~N X ，则随机变量~23-=X Y （ ）． A ．)3,2(-N B ．)3,4(-N C ．)3,4(2-N D ．)3,2(2-N 正确答案：D11．设321,,x x x 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则（ ）是μ的无偏估计． A ．321525252x x x ++ B ．321x x x ++ C ．321535151x x x ++ D ．321515151x x x ++ 正确答案：C12．对给定的正态总体),(2σμN 的一个样本),,,(21n x x x ，2σ未知，求μ的置信区间，选用的样本函数服从（ ）．A ．χ2分布 B ．t 分布 C ．指数分布 D ．正态分布 正确答案：B二、填空题1．设412211211)(22+-=x x x f ，则0)(=x f 的根是 ．应该填写：2,2,1,1--2．设向量β可由向量组n ααα,,,21 线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是n ααα,,,21 ．应该填写：线性无关3．若事件A ，B 满足B A ⊃，则 P （A - B ）= ． 应该填写：)()(B P A P -4．．设随机变量的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它,010,1)(2x x kx f ，则常数k = ．应该填写：π45．若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==ni i x n x 11，则~x ．应该填写：)1,0(nN 6．行列式701215683的元素21a 的代数余子式21A 的值为= ． 应该填写-567．设三阶矩阵A 的行列式21=A ，则1-A = ． 应该填写：28．若向量组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2121α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1302α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2003k α，能构成R 3一个基，则数k ．应该填写：2≠9．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 个解向量． 应该填写：310．设A B ,互不相容，且P A ()>0，则P B A ()= ． 应该填写：011．若随机变量X ~ ]2,0[U ，则=)(X D ． 应该填写：31 12．设θˆ是未知参数θ的一个估计，且满足θθ=)ˆ(E ，则θˆ称为θ的 估计． 应该填写：无偏三、计算题1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=210211321,100110132B A ，求：（1）AB ；（2）1-A ． 解：（1）因为210110132-=--=A 12111210211110210211321-=-===B 所以2==B A AB ．（2）因为 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100100010110001132I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→10010011001012/32/1001100100110010101032所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-10011012/32/11A ．2．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++++=++++0233035962023353215432154321x x x x x x x x x x x x x x 的通解．解： A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--326001130012331203313596212331⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→100001130012331⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→100000130001031 一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=0313543421x x x x x x ，其中x 2，x 4 是自由元令x 2 = 1，x 4 = 0，得X 1 =)0,0,0,1,3('-； x 2 = 0，x 4 = 3，得X 2 =)0,3,1,0,3('--所以原方程组的一个基础解系为 { X 1，X 2 }．原方程组的通解为： 2211X k X k +，其中k 1，k 2 是任意常数．3．设随机变量)1,4(~N X ．（1）求)24(>-X P ；（2）若9332.0)(=>k X P ，求k 的值． （已知9332.0)5.1(,8413.0)1(,9775.0)2(=Φ=Φ=Φ）．解：（1）)24(>-X P ＝1－)24(≤-X P= 1－)242(≤-≤-X P ＝1－（)2()2(-Φ-Φ） = 2（1－)2(Φ）＝0.045． （2）)44()(->-=>k X P k X P ＝1－)44(-≤-k X P＝1－)5.1(9332.0)4(Φ==-Φk )5.1()5.1(1)4(-Φ=Φ-=-Φk即 k －4 = -1.5， k ＝2.5．4．某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5 cm ，标准差为0.15cm.从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm ）10.4，10.6，10.1，10.4问：该机工作是否正常(05.0=α, 96.1975.0=u )？解：零假设5.10:0=μH .由于已知15.0=σ，故选取样本函数nx U σμ-=～)1,0(N经计算得375.10=x ，075.0415.0==nσ，67.1075.05.10375.10=-=-nx σμ由已知条件96.121=-αu，且2196.167.1αμσμ-=<=-nx故接受零假设，即该机工作正常.5．已知矩阵方程B AX X +=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301111010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=350211B ，求X ． 解：因为B X A I =-)(，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-101210011110001011100201010101001011)(I A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→11100121010120001110100011110010101 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=--110121120)(1A I所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-334231350211110121120)(1B A I X ．6．设向量组)1,421(1'--=，，α，)4,1684(2'--=，，α，)2,513(3'--=，，α，)1,132(4'-=，，α，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组． 解：因为（1α 2α 3α 4α）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------12411516431822341 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→1100770075002341⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000200011002341 所以，r (4321,,,αααα) = 3．它的一个极大线性无关组是 431,,ααα（或432,,ααα）．7．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ，λ为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解． 解：因为A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---λ83352231⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→610110231λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ505==-λλ即当时，3)(<A r ，所以方程组有非零解．方程组的一般解为： ⎩⎨⎧==3231x x x x ，其中3x 为自由元．令3x =1得X 1=)1,1,1('，则方程组的基础解系为{X 1}． 通解为k 1X 1，其中k 1为任意常数．8．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率．解：设1A =“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，2A =“取到的都是白子”，3A =“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则 （1）)(1)(1)(211A P A P A P -=-=745.0255.01131238=-=-=C C ．（2）)()()()(3232A P A P A A P B P +=+=273.0018.0255.0255.031234=+=+C C ．9．设随机变量X ~ N （3，4）．求：（1）P （1< X < 7）；（2）使P （X < a ）=0.9成立的常数a ． (8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9973.0)0.2(=Φ)． 解：（1）P （1< X < 7）=)23723231(-<-<-X P =)2231(<-<-X P =)1()2(-Φ-Φ = 0.9973 + 0.8413 – 1 = 0.8386 （2）因为 P （X < a ）=)2323(-<-a X P =)23(-Φa = 0.9 所以28.123=-a ，a = 3 + 28.12⨯ = 5.56 10．从正态总体N （μ，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得x = 21，求μ的置信度为95%的置信区间．(已知 96.1975.0=u ) 解：已知3=σ，n = 64，且nx u σμ-= ~ )1,0(N因为 x = 21，96.121=-αu，且735.064396.121=⨯=-nuσα所以，置信度为95%的μ的置信区间为： ]735.21,265.20[],[2121=+---nux nux σσαα．四、证明题1．设A 是n 阶矩阵，若3A = 0，则21)(A A I A I ++=--． 证明：因为 ))((2A A I A I ++-=322A A A A A I ---++ =3A I -= I所以 21)(A A I A I ++=--2．设n 阶矩阵A 满足0))((=+-I A I A ，则A 为可逆矩阵．证明： 因为 0))((2=-=+-I A I A I A ，即I A =2 所以，A 为可逆矩阵．3．设向量组321,,ααα线性无关，令2112ααβ+=，32223ααβ+=，1334ααβ-=，证明向量组321,,βββ线性无关。
工程大学2023-2023学年第1学期《高等数学(上)》期末考试试卷(A卷)及标准答案
工程大学2023-2024学年第1学期《高等数学（上）》期末考试试卷（A卷）及标准答案试卷题目：高等数学（上）期末考试试卷（A卷）科目：高等数学（上）时间：2024年1月一、选择题（共30题，每题2分，共60分）1.在直角坐标系中，抛物线y = x^2 - 2x 的顶点坐标是（）A. (1, -1)B. (1, 2)C. (2, 1)D. (-1, 1)2.设函数f(x) = sin(2x + π/3)，则函数 f(x) 的一个周期是（）A. π/3B. π/2C. πD. 2π3.函数 y = 3ln(2x + 1) 的图像在 x 轴上的截距是（）A. -1/2B. 1/2C. 0D. -14.设函数 f(x) = x^3 + 4x^2 + 5x，则 f(x) 的极值点是（）A. (-1, -1)B. (0, 0)C. (0, 5)D. (-5, 0)5.已知曲线 C 的参数方程为 x = t^2 - 4, y = t - 1，则曲线 C 属于（）A. 抛物线B. 椭圆C. 双曲线D. 直线…二、填空题（共10题，每题3分，共30分）1.函数 f(x) = sin(2x) 的最小正周期是 _______。
2.函数 y = x^3 + 4x^2 的导函数是 _______。
…三、解答题（共4题，每题20分，共80分）1.求方程组 x^2 + y^2 = 4, x - y = 1 的解。
2.计算不定积分∫(cos^2x + 2sinx)dx。
…四、大题（共2题，每题20分，共40分）1.设 y = ax^2 + bx + c，其中 a, b, c 均为常数，且a ≠ 0。
若曲线 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标为 (1, -1)，且该曲线与直线 y = x + 1 相切于点 (2, 3)，求曲线方程。
2.设函数 f(x) = e^x / (1 + e^x)，求f’(x) 和f’’(x)。
工程数学试题A及答案
工程数学试题A及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)的导数是：A. \( 3x^2 - 6x \)B. \( 3x^2 - 6x + 2 \)C. \( x^3 - 3x^2 + 2 \)D. \( 3x^2 - 6x + 3 \)答案：A2. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是：A. 0B. 1C. \( \pi \)D. \( \infty \)答案：B3. 函数\( y = e^x \)的不定积分是：A. \( e^x + C \)B. \( \ln x + C \)C. \( x e^x + C \)D. \( \frac{1}{x} + C \)答案：A4. 微分方程\( y' + 2y = 0 \)的通解是：A. \( y = Ce^{-2x} \)B. \( y = Ce^{2x} \)C. \( y = C\sin(2x) \)D. \( y = C\cos(2x) \)答案：A5. 矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)的行列式是：A. 5B. -2C. 2D. -5答案：B6. 函数\( f(x) = x^2 \)在区间\( [1, 2] \)上的定积分是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C7. 函数\( y = \ln x \)的二阶导数是：A. \( \frac{1}{x^2} \)B. \( \frac{1}{x} \)C. \( x \)D. \( x^2 \)答案：A8. 矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)的逆矩阵是：A. \( \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \)答案：C9. 函数\( y = x^3 \)的不定积分是：A. \( \frac{x^4}{4} + C \)B. \( \frac{x^3}{3} + C \)C. \( \frac{x^2}{2} + C \)D. \( \frac{x}{3} + C \)答案：B10. 函数\( y = \sin x \)的不定积分是：A. \( \cos x + C \)B. \( \sin x + C \)C. \( -\cos x + C \)D. \( -\sin x + C \)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)的极小值点是 \( x =\_\_\_\_\_ \)。
工程数学期末考试复习题(212页)
工程数学期末考试复习题《工程数学》综合练习一、单项选择题1．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是( )． A ．AB A B = B ．222()2A B A AB B -=-+ C ．AB BA = D ．若AB O =，则A O =或B O = 正确答案：A2．向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡732,320,011,001的秩是（ ）． A . 1 B . 3 C . 2 D . 4正确答案： B3．n 元线性方程组有解的充分必要条件是（ ）．A . )()(b A r A r =B .不是行满秩矩阵C .D .正确答案：A4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（ ）．A .256 B . 103 C . 203 D . 259正确答案：D 5．设是来自正态总体的样本，则（ ）是μ无偏估计．A .321515151x x x ++ B . 321x x x ++ C . 321535151x x x ++ D . 321525252x x x ++正确答案： C6．若是对称矩阵，则等式（ ）成立．A . I AA=-1B . A A ='C . 1-='A A D . A A =-1正确答案：B7．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-15473（ ）．A . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3547 B . 7453-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦C . 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D .7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦正确答案：D8．若（ ）成立，则元线性方程组AX O =有唯一解．A .B . A O ≠C .D . A 的行向量线性相关正确答案：A9. 若条件（ ）成立，则随机事件，互为对立事件．A . ∅=AB 或A B U += B . 0)(=AB P 或()1P A B +=C . ∅=AB 且A B U +=D . 0)(=AB P 且1)(=+B A P 正确答案：C10．对来自正态总体（未知）的一个样本，记∑==3131i i X X ，则下列各式中（ ）不是统计量．A . XB .∑=31i iXC . ∑=-312)(31i i X μD . ∑=-312)(31i i X X正确答案： C二、填空题1．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，则13A B -'-= ．应该填写：-182．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得 ，则称λ为A 的特征值． 应该填写：AX X λ= 3．设随机变量012~0.20.5X a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a = ．应该填写：0.3 4．设为随机变量，已知3)(=X D ，此时．应该填写：275．设θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量，则有 ．应该填写：ˆ()E θθ= 6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-= ．应该填写：87．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得 ，则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量．应该填写：AX X λ=8．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P ．应该填写：0.3 9．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D ．应该填写：2010．不含未知参数的样本函数称为 ． 应该填写：统计量三、计算题1．设矩阵，且有，求X ．解：利用初等行变换得即由矩阵乘法和转置运算得2．求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++--=+-+-=-+-2284212342272134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解．解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------0462003210010101113122842123412127211131 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000002200010101113106600022000101011131 方程组的一般解为：（其中为自由未知量）令=0，得到方程的一个特解)0001(0'=X .方程组相应的齐方程的一般解为： ⎪⎩⎪⎨⎧-===4342415xx x x x x （其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系)1115(1'-=X .于是，方程组的全部解为：10kX X X +=（其中k 为任意常数）3．设)4,3(~N X ，试求: (1))95(<<X P ；(2))7(>X P ． （已知,8413.0)1(=Φ9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ）解：(1))3231()23923235()95(<-<=-<-<-=<<X P X P X P 1574.08413.09987.0)1()3(=-=Φ-Φ=(2))23723()7(->-=>X P X P )223(1)223(≤--=>-=X P X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=4．据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度)21.1,5.32(~N X ，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg ／cm 2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（）．解： 零假设．由于已知，故选取样本函数已知，经计算得，由已知条件，故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。
15~16_1_工程数学(1)试卷A
.
⎡5⎤
⎡−1⎤
7、设向量
u
=
⎢ ⎢
2
⎥ ⎥
与
v
=
⎢ ⎢
4
⎥ ⎥
正交，则
λ
=
.
⎢⎣−1⎥⎦
⎢⎣ λ ⎥⎦
8、矩阵
A
=
⎡4 ⎢⎣2
−3⎤ −1⎥⎦ 的特征值为
，对应的特征向量为
.
9、二次型 f (x1, x2 , x3 ) = 3x12 + x22 + 5x32 + 8x2 x3 对应的矩阵 A =
，
八、(10 分) 设 u1, u2 , u3 是两两正交的 3 维单位向量，令 A = E − 2u1u1T , 其中 E 是单位阵. （1）验证 u1, u2 , u3 是 A 的特征向量，并指出对应的特征值 λ1, λ2 , λ3 ； （2）给出正交变换 x = P y ，将二次型 f ( x) = xT Ax 化为标准形，并写出新的二次型； （3）证明 A = λ1u1u1T + λ 2u2u2T + λ3u3u3T .
的是
.
⎡ 1 −1 5 ⎤
5、设矩阵
A
=
⎢ ⎢
2
0
7
⎥ ⎥
,
则方程 Ax
= 0 的通解为
.
⎢⎣−3 −5 −3⎥⎦
6、设向量 u，v 是方程 ( A − λ E) x = b 的两个不同的解， E 是单位阵， 则 u 、 v 、 u + v 、
u − v 中一定是矩阵 A 对应特征值 λ 的特征向量为
东华大学 2015--2016 学年第一学期期末试题 A 卷
踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
14~15_2_工程数学(1)试卷A
东华大学 2014--2015 学年第二学期期末试题A 卷踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
考试科目 工程数学（1） 使用专业 卓越工程教师 班号____ 学号 姓名 考试教室 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 试题 得分一、填空题（每小题4分，共40分）.1、设ABC Δ的三个顶点分别是(1,0),(2,5),(1,3),A B C − 则ABC Δ的面积为 .2、已知2424,1236A B −⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠⎝⎠,则AB = .3、若向量组123(,1,1),(1,,1),(1,1,)TTTαλαλαλ===的秩为2，则=λ . 4、设三阶矩阵A 的特征值为1,1,4,−则2A E −特征值为 ，2A E −= .5、设矩阵322232223A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则行列式A = ，伴随矩阵*A 的逆阵*1()A −= .6、设=Ax b ，其中1213A −⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠, 12b ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，则=x . 7、行列式1201035001561234= . 8、设A 为43×矩阵，0≠b ，且()3R A =，则线性方程组b Ax = . （有唯一解; 有无穷多解； 无解; 可能无解）9、设111232121A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则解空间{}x Ax O =的基为 ，维数为 . 10、矩阵21102043A t −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠的特征值为 ，又当t = 时，矩阵A 可对角化.二、（7分）已知行列式213142751D−=−，求D的第三行余子式313233,,M M M的和.三、（7分）设301111114A⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，且2,AB A B=+用初等行变换法求矩阵.B四、（7分）确定向量312b⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠是否为1231020,1,2110a a a⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟===−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠的线性组合？若是，求出其表示式.五、（8分）设向量12,1⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠α求与α正交的所有向量x y z ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠。
工程应用数学A期末考试模拟试卷答案
方程 y′′ + py′ + qy = 0 的通解
（1） ∆ = p 2 − 4q > 0 时，有实根 r1 ≠ r2 （2） ∆ = p 2 − 4q > 0 时，有实根 r1 = r2 （2） ∆ < 0 时，有复根 r1,2= α ± β i 三、求极限.（满分 20 分）
通解 = y C1e r1x + C2 e r2 x 通解 = y e r1x ( C1 + C2 x ) 通解 y eα x ( C1 cos β x + C2 sin β x ) =
v(t ) = 2t 3 − 21t 2 + 60t + 40 ，计算该时间段内车辆的平均行驶速度.（满分 6 分）
= v 解：
∫
6
1
v(t )dt 1 6 3 = ∫ ( 2t − 21t 2 + 60t + 40 ) = dt 78.5 . 5 5 1
知识点：讨论函数 f ( x) 在闭区间 a, b 上的函数平均值（或平均高），本质上是
1
知识点：同上题. 4. lim
esin x − e x x → 0 x − sin x
e x ( esin x − x − 1) x − sin x e x ( sin x − x ) = lim = −1 x →0 x − sin x
解：原式 = lim
x →0
知识点：等价无穷小替换公式.
当 x → 0 时，有 α ( x ) → 0 ，则下列等价关系成立： ① sin α ( x ) 等价 α ( x ) ② arc sin α ( x ) 等价 α ( x ) ③ tan α ( x ) 等价 α ( x )
电大国开大学期末复习资料：《工程数学》期末考试练习题(2024秋版本)(简化版)
工程数学期末考试练习题（共224题）目录【知识点1】【行列式的递归定义】单选6题 (2)【知识点2】【余子式与代数余子式】单选6题 (2)【知识点3】【行列式的性质】单选8题 (3)【知识点4】【矩阵的运算】单选8题 (3)【知识点5】【方阵乘积行列式定理】单选8题 (4)【知识点6】【可逆矩阵（逆矩阵）】单选7题/判断1题 (4)【知识点7】【高斯消元法解线性方程组】单选8题 (5)【知识点8】【极大线性无关组，向量组的秩】单选6题 (5)【知识点9】【（非）齐次线性方程组解的性质及解的结构】单选8题 (6)【知识点10】【特征值与特征向量的求法】单选6题 (7)【知识点11】【随机事件的概率和性质】单选8题 (7)【知识点12】【古典概型】单选8题 (7)【知识点13】【概率的加法公式，条件概率与乘法公式】单选8题 (8)【知识点14】【离散型随机变量的概率分布】单选8题 (8)【知识点15】【连续型随机变量的概率密度，分布函数】单选8题 (9)【知识点16】【方差与方差的性质】单选8题 (9)【知识点17】【正态分布和它的数字特征】单选8题 (10)【知识点18】【统计量】单选4题 (10)【知识点19】【置信区间】单选4题 (10)【知识点20】【假设检验】单选4题 (11)【判断题1】【特殊矩阵】判断8题 (11)【判断题2】【矩阵的秩】判断7题/选择1题 (11)【判断题3】【线性方程组的相容性定理】判断10题 (12)【判断题4】【向量组的线性相关性】判断10题 (13)【判断题5】【矩阵特征值、特征向量的定义】判断8题 (13)【判断题6】【随机事件的关系与运算】判断8题 (13)【判断题7】【事件的独立性，全概公式】判断8题 (14)【判断题8】【数学期望与期望的性质】判断8题 (14)【判断题9】【二项分布和它的数字特征】判断8题 (14)【判断题10】【无偏性与有效性】判断8题 (15)工程数学期末考试练习题说明：题型为单项选择题和判断题，涵盖 1-7 章的内容，其中单项选择题涉及20 个知识点，判断题涉及 10 个知识点，每个知识点下有 6-8 道题目可供练习，预祝大家取得好成绩！【知识点 1】【行列式的递归定义】单选6题1.110240001−−= （ -2 ）2.若行列式210140700a−−=，则a =（ -1 ）3.若行列式000100020200100a a=，则a =（ 1 ）4.10011111x −−−是关于x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是（1）． 5.求解二元线性方程组1212321221x x x x −=⎧⎨+=⎩，则x 1=（ 2 ），x 2=（ -3 ）6.计算三阶行列式124221342D −=−=−−（ -14 ）【知识点 2】【余子式与代数余子式】单选6题1.n 阶行列式n D 中元素ij a 的代数余子式ij A 与余子式ij M 之间的关系是（ ()1i jij ij A M +=− ）2.三阶行列式120438012−−的余子式23M =（1201− ） 3.三阶行列式12438012−−的代数余子式32A =（ 1048−）4.三阶行列式11111111x −−−中元素x 的代数余子式23A =（ 1111−− ）5.行列式512107的元素21a的代数余子式21A的值为（-56）6.设111213212223313233a a aD a a aa a a=,21233133a aMa a=,23213331a aNa a=,则12a的余子式（是M）【知识点3】【行列式的性质】单选8题1.设1231231232a a ab b bc c c=,则123112233123333a a aa b a b a bc c c−−−=（-2）2.设1231231232a a ab b bc c c=,则123112233123222a a aa b a b a bc c c+++=（2）3.设1231231232a a ab b bc c c=,则123112233123333a a aa b a b a bc c c+++=−−−（-2）4.若1101200153x−−=−,则x=（3）5.若1101200151x−−=+,则x=（-1）6.行列式114228153−−−=（0）7.下列等式成立的是（111111a b a bc d c d+=++），其中a,b,c,d为常数8.行列式111111111D=−=−−（4）【知识点4】【矩阵的运算】单选8题1.若A为3×4矩阵，B为2×5矩阵，且乘积AC B''有意义，则C为（5×4）矩阵.2. 若A为3×4矩阵，B为2×5矩阵，且乘积AC B'有意义，则C为（2×4）矩阵.3.若A为3×4矩阵，B为4×3矩阵，则下列运算可以进行的是（AB）4.设4034A ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦，120314B −⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦，则()A B ''+=（ 063518−⎡⎤⎢⎥−⎣⎦ ） 5.已知10102A a ⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦，10210112B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若1131AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则a =（ -1 ） 6.设147426310A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则2A =（ 28148412620⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ）7.设147440310A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，101426115B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A B +=（ 248866425⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ）8.已知50302A a ⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦，500832B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若A B '=，则a =（ -8 ） 【知识点5】【方阵乘积行列式定理】单选8题1.A ,B 都是n 阶矩阵（n ＞1），则下列命题正确的是（ AB A B = ）2.设A ,B 均为n 阶方阵，则下列等式成立的是（ AB BA = ）3.设A ,B 均为n 阶方阵，0k >且1k ≠，则下列等式正确的是（ ()nkA k A −=− ）4.设A ,B 均为3阶方阵，且1A =−，3B =−，则A B '=（ 3 ）5.设A ,B 均为n 阶方阵，则下列命题中正确的是（ AB A B = ）6.设A ,B 均为3阶方阵，且1A =−，1B =，则1AB −=（ -1 ） 7. A ,B 是3阶方阵，其中3A =，2B =，则12A B −'⋅=（ 12 ）8. A ,B 都是n 阶方阵（n ＞1），则下列命题正确的是（ AB A B = ） （题干或为“设A ,B 均为n 阶方阵，n ＞1，则下列等式正确的是”） 【知识点 6】【可逆矩阵（逆矩阵）】单选7题/判断1题1.设方阵A 可逆，且A 是对称矩阵，则等式（ ()11A A −−'= ）成立2.设方阵A 可逆，则下列命题中不正确的是（ 线性方程组AX O =必有非零解 ）3.设方阵A 可逆，则下列命题中正确的是（ A O ≠ ）4.设A ,B 均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ ()11AB BA −−= ）5.方阵A 可逆的充分必要条件是（ 0A ≠ ）6.设A ,B 均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ ()111AB B A −−−= ）7.设矩阵011112210A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦，判断A 是否可逆？（ 是 ）8.设A ,B 为三阶可逆矩阵，且0k >，则下式（ AB A B '= ）成立【知识点 7】【高斯消元法解线性方程组】单选8题1. 用消元法得123233241 0 2x x x x x x +−=⎧⎪+=⎨⎪−=⎩的解123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦为（ []11,2,2'−− ）2.方程组12122125x x x x +=⎧⎨+=⎩的解12x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为（ []3,1'− ）3.方程组1212233x x x x −=⎧⎨+=⎩的解12x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为（ []2,1' ）4.线性方程组122310x x x x +=⎧⎨+=⎩（ 一般解为13231x x x x =+⎧⎨=−⎩（3x 是自由未知量） ）5.齐次线性方程组AX O =的系数矩阵经初等行变换化为102101020000A ⎡⎤⎢⎥→→−⎢⎥⎢⎥⎣⎦则方程组的一般解为（ 1342422x x x x x =−−⎧⎨=⎩（34,x x 是自由未知量） ）6.非齐次线性方程组AX B =的增广矩阵经初等行变换化为[]102501020000A B ⎡⎤⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎣⎦则方程组的一般解为（ 132252x x x =−+⎧⎨=⎩（3x 是自由未知量） ）7.线性方程组12341234134332462 3x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+−=⎩一般解的自由未知量的个数为（ 2 ）8.设4元线性方程组AX B =有解且()1r A =，那么AX B =的相应齐次方程组的一般解中含有（ 3 ）个自由未知量【知识点 8】【极大线性无关组，向量组的秩】单选6题1.向量组100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,121⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,304⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的秩为（ 3 ） 2.向量组[]1,2,3,[]1,2,0,[]1,0,0,[]0,0,0的秩为（ 3 ）3.设向量组为11100α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,20011α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,31010α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,41111α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则（123,,ααα）是极大无关组4.向量组[]10,0,0α=,[]21,0,0α=,[]30,1,0α=,[]40,0,1α=的极大线性无关组是（ 234,,ααα ）5.向量组11001α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,20100α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,31111α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,41110α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,51101α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的极大线性无关组是（ 1234,,,αααα ）6.求向量组11001α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,20100α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦31111α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,41110α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,51101α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的秩是（ 4 ）【知识点 9】【（非）齐次线性方程组解的性质及解的结构】单选8题 1.设线性方程组AX B =的两个解为12,X X ，（12X X ≠），则下列向量中（212X X −）一定是AX B =的解2.若0X 是线性方程组AX O =的解，1X 是线性方程组AX B =的解，则有 （ 10X X +是AX B =的解 ）3.非齐次线性方程组AX B =的增广矩阵经初等行变换化为[]100001020011/2A B ⎡⎤⎢⎥→→−⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则（方程组AX B =的通解为1230212x x x ⎧⎪=⎪=−⎨⎪⎪=⎩ ）4.设齐次线性方程组AX O =的方程组的一般解为1342344576x x x x x x =−⎧⎨=−⎩（其中34,x x 是自由未知量）则它的一个基础解系为（ [][]124710,5601X X ''==−− ） 5.设齐次线性方程组AX O =的方程组的一般解为 13232x x x x =−⎧⎨=⎩（其中3x 是自由未知量），则它的一个基础解系为（[]1121X '=−） 6.设齐次线性方程组AX O =的方程组的一般解为13233x x x x =−⎧⎨=⎩（其中3x 是自由未知量），则它的一个基础解系为（[]1311X '=−）7.设线性方程组AX B =的系数矩阵A 的秩为r ，增广矩阵[]|A B 的秩为r+1，那么方程组：（ 无解 ）8.如果线性方程组AX B =的系数矩阵A 的列向量线性无关，那么方程组： （ 解的情况取决于向量B ）【知识点 10】【特征值与特征向量的求法】单选6题1.矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦的特征值为（ -1,4 ） 2.已知矩阵A 的特征值为-1,4，则2A 的特征值为（ -2,8 ）3.已知矩阵A 的特征值为2,0，则12A 的特征值为（ 1,0 ）4.已知矩阵A 的特征值为-1,4，则1A −的特征值为（ -1,14）5.设矩阵A 有一个特征值λ，对应的特征向量为ν，那么矩阵T A 的特征值和特征向量是（ ,T λν ）6.已知矩阵A 的特征多项式为()256f λλλ=−+，那么矩阵A 的特征值为（ 2,3）【知识点 11】【随机事件的概率和性质】单选8题1.甲、乙二人射击，A , B 分别表示甲、乙射中目标，则()P AB 表示（ 至少有一人没射中目标的概率 ）2.甲、乙二人射击，A , B 分别表示甲、乙射中目标，则()P AB 表示（ 两人都射中目标的概率 ）3.下列所列的概率性质中不正确是（对于任意两个事件A ,B ，有()()()P A B P A P B +=+ ）4. 下列所列的概率性质中正确是（ 对任一事件A ，有()01P A ≤≤ ）5.某购物抽奖活动中，每人中奖的概率为0.3.则{}31A =个抽奖者中恰有人中奖的概率()P A =（ 1230.70.3C ⨯⨯ ）6.某购物抽奖活动中，每人中奖的概率为0.4.则{}41A =个抽奖者中恰有人中奖的概率()P A =（ 1340.60.4C ⨯⨯ ）7.关于概率的公式错误的是（ ()()()P A B P A P B +=+ ） 8.设()0p AB =，则正确的是（ ()()p A B p A −= ） 【知识点 12】【古典概型】单选8题1.掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为5”的概率是（ 19 ）2.掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（ 118 ）3.同时掷3枚均匀硬币，恰好有1枚正面向上的概率为（ 38 ）4.同时掷3枚均匀硬币，恰好有2枚正面向上的概率为（ 38）5.设袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，则2个球恰好不同色的概率是（ 35）6.袋中有5个黑球，3个白球，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（ 485C ）7.设袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两次都取到白球的概率是（ 425）8.袋中有5个球，3个新2个旧，每次取1个，无放回地取两次，则第二次取到新球的概率是（ 35）【知识点 13】【概率的加法公式，条件概率与乘法公式】单选8题 1.已知()0P B >，12A A =Φ，则（ ()()()1212|||P A A B P A B P A B +=+⎡⎤⎣⎦ ）成立 2.设A ,B 是两事件，则下列等式中（()()()P AB P A P B =，其中A ,B 互不相容 ）是不正确的3.已知()0.3P A =，()0.5P B =，则当事件A ,B 互不相容时，()P A B +=（ 0.8 ）4.设A ,B 为两个事件，且B A ⊂，则()P A B +=（ ()P A ）5.若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是（ ()()()P A B P A P B +=+ ）6.设A ,B 为两个事件，且B A ⊂，则()P A B −=（ ()()P A P B − ）7.假设生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭。
电大《工程数学》期末复习题
1
）成立． B. A A D. A 1 A
）．
7 4 B. 5 3 7 5 D. 4 3
《工程数学》综合练习
一、单项选择题 1．设 A, B 都是 n 阶方阵，则下列命题正确的是( A． AB A B )． B． ( A B) 2 A2 2 AB B 2
C． AB BA D．若 AB O ，则 A O 或 B O 正确答案：A 1 1 0 2 2．向量组 ）． 0, 1,2, 3 的秩是（ 0 0 3 7 A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 正确答案： B 3． n 元线性方程组 AX b 有解的充分必要条件是（ ）． A. r ( A) r ( Ab) B. A 不是行满秩矩阵 C. r ( A) n D. r ( A) n 正确答案：A 4. 袋中有 3 个红球，2 个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球 都是红球的概率是（ ）． 6 3 3 9 A. B. C. D. 25 10 20 25 正确答案：D 5．设 x1 , x 2 , , x n 是来自正态总体 N ( , 2 ) 的样本，则（ ）是 无偏估计． 1 1 1 A. x1 x 2 x3 B. x1 x 2 x3 5 5 5 1 1 3 2 2 2 C. x1 x 2 x3 D. x1 x 2 x3 5 5 5 5 5 5 正确答案： C 6．若 A 是对称矩阵，则等式（ A. AA 1 I C . A A 1 正确答案：B
1
8．若（ ）成立，则 n 元线性方程组 AX O 有唯一解． A. r ( A) n B. A O C. r ( A) n D. A 的行向量线性相关 正确答案：A 9. 若条件（ ）成立，则随机事件 A ， B 互为对立事件． A. AB 或 A B U B. P ( AB ) 0 或 P ( A B ) 1 C. AB 且 A B U D. P ( AB ) 0 且 P ( A B ) 1 正确答案：C 10． 对来自正态总体 X ~ N ( , 2 ) （ 未知） 的一个样本 X 1 , X 2 , X 3 ， 记X 则下列各式中（ ）不是统计量． A. X
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n 1
；
B、
( z 1)
n 0
1
n2
；
C、 在 0 z 1 1内， 为
( z 1)
n0
n 1
， 在 1 z 1 内， 为
( z 1)
n 0
1
n2
；
D、 在 0 z 1 1内， 为
1 ， 在 内， 为 ( z 1) n 1 。 1 z 1 n2 n0 n 0 ( z 1)
3、 z 0 是
1 的几阶极点[ sin z z
]： D、4 阶
A、3 阶； B、2 阶； C、1 阶；
2
4、如果 z0 为 f ( z ) 的本性奇点，则 f ( z ) 在 z0 的去心邻域中的洛朗级数含 z z0 的 多少个负幂项[ ]：
A、0 个； B、有限个； C、6 个；D、无穷多个。 5、 设总体 X N ( , 2 ) ， 、 未知，( X 1 ， X 2 ， X 3 )为 X 的样本，则下
2
。
二、 选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1、 z n i n
A、0；
1 在 n 的极限是[ ]： n B、无； C、 i ； D、 i 。 1 在 z 1 处展开为洛朗级数，其表达式为[ z 3z 2
2
2、 将 f ( z ) A、
]：
( z 1)
6
9、
in 的敛散性是[ n 1 n!
]：
A、 绝对收敛；B、发散；C、收敛，但不绝对收敛；D、无法判断。
3
10、 (t ) 的傅里叶变换是[ A、
]：
1 ； i
B、 i ；
C、 e ； D、1。
三、 （10 分）设总体 X 的概率密度为
( 1) x ,0 1 f ( x) 0, 其它
其中 1 是未知参数， X 1 ， X 2 ，…， X n 为一个样本，试求参数 的极大似 然估计量。
4
四、 （10 分）利用留数定理计算
sin 2 z z 2 z 2 ( z 1) dz
五 、（ 10 分 ） 利 用 拉 普 拉 斯 变 换 求 解
y ''' 3 y '' 3 y ' y 1 ，
一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1、 从总体中抽取样本时，抽样方法必须满足 2、 （X1, X2, X3, , Xn）是总体 X 的样本，则样本方差为 样本 k 阶原点矩为 。 3、在作参数假设检验时，常犯两类错误即 和 4、 sin i cos 的三角表示是 5、若 Re(z 2) 1 ，则点 z 的轨迹为 。
H m ( x) H n ( x)dx 0 ；D、 e x H m ( x) H n ( x)dx 0 。
7、下列关于勒让德多项式不正确的是[ A、
]：
1 1
1
1
Pn ( x) Pm ( x)dx 0 ， m n ； B、 x 2 Pn ( x) Pm ( x)dx 0 ， m n ；
y ' ' (0) y ' (0) 1 ， y (0) 2 。
5
六、 （10 分）求解下列定解问题
utt a 2 u xx , (0 x l , t 0), u(0, t ) 0, u x (l , t ) 0, 3x u( x,0) x 2 2lx, ut ( x,0) 3 sin . 2l
。 ，
。
。
6、方程 z 3 8 0 的所有根是
、
、
。
7、 Ln(3 4i) =
，主值为
。
1
2z 5 z 3 8、函数 f ( z ) 的解析区域是 4z 2 1
，该区域上
的导函数是 9、
1 的幂级数展开式为 1 z3
。 ，收敛域为 。
10、
z 1
dz = z 2z 2
2
列样本函数中是统计量的有[
]：
A、 X 1 X 2 ；B、 X 1 X 2 ；C、
X1
；D、
2 X 12 X 2 X 32
2
。
6、下列关于埃尔米特多项式不正确的是[ A、 H 0 ( x) 1； C、 B、 H1 ( x) 2 x ；
2
]：
D、 P 1 ( x) x 。
C、 P0 ( x) 1；
8、 为总体 X 的未知参数， 的估计量是 ˆ ，则有[ A、 ˆ 是一个数，近似等于 ； C、 ˆ 式一个统计量，且 E( ˆ )= ；
]：
B、 ˆ 是一个随机变量； D、当 n 越大， ˆ 的值可任意靠近 。