2019高中数学专题复习概率、离散型随机变量及其分布列
第七章随机变量及其分布列章末总结-高二数学教材配套教学课件(人教A版2019选择性必修第三册)
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2
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3
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4
,
15
典例分析
(2)因为有放回地依次取出3个球,每次取出之前暗箱的情况没有变化,所以每
次取球互不影响,
6
3
所以第 1 次取出的是白球,第 3 次取到黑球的概率为10 = 5.
4
2
2
(3)依题意,每次取到白球的概率为10 = 5,且每次互不影响,故ξ~B 3, 5 ,
例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求:
(1)第1次抽到理科题的概率;
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;
(3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.
解: 设“第1次抽到理科题”为事件 A ，“第2次抽到理科题”为事件 B ，则“第1次和第2次都抽
这时称 X 服从二项分布，记为 X～B(n，p)．
当 X～B(n，p)时，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
知识梳理
要点四 超几何分布
(1) 若随机变量 X 服从超几何分布，则满足如下条件：
①该试验是不放回地抽取 n 次；
②随机变量 X 表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
(2)一般地，设有 N 件产品，其中次品的件数分别为 M，(M≤N)，从中任取 n(n≤N)
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/m
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典例分析
（2）因为 n(AB) =
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m
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A23
= 6 ，所以 P(AB) =
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m
离散型随机变量及其分布列、数字特征-高考数学复习
0.8 .
解析：由结论2易得 E （ X ）＝0.8.
目录
课堂演练
考点 分类突破
精选考点 典例研析 技法重悟通
PART
2
目录
分布列的性质
【例1】 （1）（2024·云南一中检测）设离散型随机变量ξ的分布列
如下表所示，则下列各式正确的是（
ξ
－1
0
）
1
2
3
P
D. P （ξ＜0.5）＝0
目录
1
1
1
3
3
3
3
3
2
1
1
＋ d ≤ ，所以－ ≤ d ≤ .
3
3
3
目录
解题技法
离散型随机变量分布列性质的应用
（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
（2）利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围
内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
【例2】 （多选）设离散型随机变量 X 的分布列为
X
P
0
q
1
0.4
2
0.1
3
0.2
4
0.2
若离散型随机变量 Y 满足 Y ＝2 X ＋1，则下列结果正确的有（
）
A. q ＝0.1
B. E （ X ）＝2， D （ X ）＝1.4
C. E （ X ）＝2， D （ X ）＝1.8
D. E （ Y ）＝5， D （ Y ）＝7.2
（2） E （ aX ＋ b ）＝ aE （ X ）＋ b ， D （ aX ＋ b ）＝ a 2 D
（ X ）；
2019届浙江省新高考数学一轮复习讲练测：离散型随机变量及其分布列
2019届浙江省新高考数学一轮复习讲练测：离散型随机变量及其分布列讲知识【考纲解读】【知识清单】1.离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，a bηξ=+，其中,a b是常数，则η也是随机变量.2.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其分布列为其中01p <<，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布．其中()1p P X ==称为成功概率．(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X k =}发生的概率为()k n k M N MnNC C P X k C --==，0,1,2,,k m =，其中{}min ,m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈，称分布列为超几何分布列.12i n i x (1,2,,i n =)的概率为()i iP X x p ==，则称表为随机变量的概率分布列，简称的分布列．有时为了表达简单，也用等式()i i P X x p ==，1,2,,i n =表示X 的分布列．分布列的两个性质 ①0i p ≥，1,2,,i n =；②121n p p p +++=.【重点难点突破】考点1 离散型随机变量及其分布列【1-1】【2017-2018学年湖北省松滋市第一中学】若随机变量X 的概率分布如下表所示，则表中的a 的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 6【答案】D【解析】111112666a a+++=∴=，选D.【1-2】【2017-2018学年湖北省松滋市第一中学】设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝23km⎛⎫⎪⎝⎭,k＝1,2,3，则m的值为 ( )A. 1718B.2738C.1719D.2719【答案】B【解析】因为24813927m⎛⎫++=⎪⎝⎭，所以2738m=，选B.【1-3】若随机变量X的分布列为则()D X=__________．【答案】2 9【解析】由分布列的性质可得211,,33m m+=∴=由两点分布的方差可得()()219D X p p=-=【1-4】【浙江省绍兴市2018届高三3月模拟】若离散型随机变量的分布列为则常数__________，的数学期望__________．【答案】【解析】由题得. 故填（1）（2）. 【领悟技法】1. 求分布列的三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．2. 求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值x i(i＝1,2,3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝x i)＝p i；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．3. 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路(1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．(3)根据分布列和期望、方差公式求解．注意解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．【触类旁通】【变式一】已知随机变量ξ的分布列为则P(ξ＝3)＝____________.【答案】0.21【解析】P(ξ＝3)＝10.160.220.240.10.060.010.21------=【变式二】若随机变量X只取两个值x1与x2，并且X取x1的概率是它取x2的概率的3倍，则X的分布列是________．【答案】【解析】因为X 取x 1的概率是它取x 2的概率的3倍，所以X 取x 1的概率是4，取x 2的概率是4【易错试题常警惕】易错典例：某种食品是经过A 、B 、C 三道工序加工而成的，A 、B 、C 工序的产品合格率分别为34、23、45．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；有两道合格为二等品；其它的为废品，不进入市场．（Ⅰ）正式生产前先试生产2袋食品，求这２袋食品都为废品的概率； （Ⅱ）设ξ为加工工序中产品合格的次数，求ξ的分布列和数学期望． 易错分析：随机变量ξ的取值错误导致出错，计算概率出错．3242(3)P ξ==⨯⨯=．1232030560E ξ∴=⨯+⨯+⨯=．温馨提醒： 1．对于分布列易忽视其性质121n p p p +++=及0i p ≥，1,2,,i n =其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．2．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．【学科素养提升之思想方法篇】对立统一，峰回路转——正难则反正难则反原则是解题学中的一个重要的思维方法，就其意义来说，就是当从问题的正面去思考问题，遇到阻力难于下手时，可通过逆向思维，从问题的反面出发，逆向地应用某些知识去解决问题.说得更具体一些，就是当我们拿到一个题目，经仔细地审题后，如感觉顺推有困难就要尝试去进行逆推，这就俗话所说的“不要一条路跑到黑”，许多事实都说明：对问题正向进行探索使问题陷入困境时，反向思维往往能使人茅塞顿开，获得意想不到效果.具体在数学解题中，分析法、反证法、逆推法、排除法、同一法、补集法等方法技巧，都是正难则反策略的应用，往往通过逆转结构、逆转运算、逆转主元、逆转角度等，实现化难为易、化繁为简.【典例】医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标和．现有三种不同配方的药剂，根据分析，三种药剂能控制指标的概率分别为0.5，0.6，0.75，能控制指标的概率分别是0.6，0.5，0.4，能否控制指标与能否控制指标之间相互没有影响． （Ⅰ）求三种药剂中恰有一种能控制指标的概率；（Ⅱ）某种药剂能使两项指标和都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三种药剂中有治疗效果的药剂种数的分布列． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.（Ⅱ）∵有治疗效果的概率为，有治疗效果的概率为故x的分布列为练基础A基础巩固训练1.设某项试验成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于 ( )A. 0B. 12C.13D.23【答案】C【解析】因为某项试验成功率是失败率的2倍，所以失败率为13，因此P(ξ＝0)等于13，选C.2.抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，则P(ξ≤4)等于 ( )A. 16B.13C.12D.23【答案】A3．随机变量X 的概率分布规律为P （X ＝n ）＝(1)an n （n ＝1,2,3,4），其中a 是常数，则P （12＜X ＜52）的值为（ ） A.23 B.34 C.45 D.56【答案】D4．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是( ) A. 2颗都是4点B. 1颗是1点，另1颗是3点C. 2颗都是2点D. 1颗是1点，另一颗是3点，或者2颗都是2点 【答案】D5.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数X 的分布列为________． 【答案】【解析】X 的所有可能值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (X ＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (X ＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴X 的分布列为B 能力提升训练 1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 等于( )A ．1 B.32±336 C.32－336 D.32＋336 【答案】C【解析】由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧2－3q ≥0，q 2≥0，13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q ＝32－336.2. 在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为X ，则X ＝3表示的试验结果是____________________________． 【答案】共抽取3次，其中前2次均是正品，第3次是次品3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分的分布列． 【答案】见解析 【解析】设此运动员罚球1次的得分为ξ，则ξ的分布列为(注：ξ服从二点分布)4.甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．【答案】见解析【解析】“ξ＝6”表示：甲在前5局比赛中胜3局并胜第6局，或乙在前5局比赛中胜3局并胜第6局．5. 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量取值所表示的随机试验的结果．(1)在10件产品中有2件是次品，8件是正品，任取三件，取到正品的个数ξ；(2)在10件产品中有2件次品，8件正品，每次取一件，取后不放回，直到取到两件次品为止，抽取的次数ξ；(3)在10件产品中有8件正品，2件次品，每次取一件，取后放回，直到取到两件次品为止，抽取的次数ξ；(4)在10件产品中有8件正品，2件次品，每次取一件，取后放回，共取5次，取到正品的件数ξ.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析.【解析】试题分析：（1）依次数出次品个数即可；（C 思维扩展训练1.一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利()A．39元B．37元C．20元D．100 3元【答案】B【解析】ξ的分布列为∴E(ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(B．2. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为()A．89B．35C．25D．13【答案】A3. 中装有5个同样的球，编号依次为1,2,3,4,5，从该袋中随机取出3个球．记三个球中最小编号为ξ，则“ξ＝3”表示的试验结果是_______________________________．【答案】取出编号为3、4、5的三个球【解析】ξ表示三个球中最小，所以ξ＝3即为最小编号为3，所以依次只能是编号为3、4、5的三个球.答案为：取出编号为3、4、5的三个球.4.在一批产品中共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是__________．【答案】0,1,2,3【解析】∵在一批产品中共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，∴在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是0，1，2，3.故答案为：0，1，2，3.5.某一射手射击所得环数X的分布列如下：(1)求m的值；(2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率．【答案】(1) 0.28. (2)0.88.测能力一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．从标1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为ξ，那么随机变量ξ可能取的值有 ( )A. 17个B. 18个C. 19个D. 20个【答案】A【解析】2支竹签上的数字是1~10中的两个，若其中一个为1，另一个可取2~10，相应X可取得3~11，同理一个为2，另一个可取3~10，相应X可取得5~12，以此类推，可看到X可取得3~19间的所有整数，共17个.2．投掷均匀硬币一枚，随机变量为 ( )A. 出现正面的次数B. 出现正面或反面的次数C. 掷硬币的次数D. 出现正、反面次数之和【答案】A3.袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( ) A．ξ＝4 B．ξ＝5 C．ξ＝6 D．ξ≤5【答案】C【解析】“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.4. 随机变量的概率分布规律为其中是常数，则的值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，由所有概率的和为可得，，故选.5.从装有除颜色外没有区别的3个黄球、3个红球、3个蓝球的袋中摸3个球，设摸出的3个球的颜色种数为随机变量X ，则P (X ＝2)＝( ) A.128 B.928C.114D.914【答案】D6.已知随机变量的分布列如下，则的值是( )A. 0B.C.D. 【答案】D【解析】 根据随机变量分布列的性质可知，，故选D.7. 设随机变量X 的分布列为()()1,2,32iP X i i a===，则()2P X ≥= ( ) A.16 B. 56 C. 13 D. 23【答案】B【解析】由概率和为1,可知1231222a a a ++=，解得3a =， ()P X 2≥= ()()23523666P X P X =+==+=选B.8 已知随机变量X 的分布列为()13k P X k ==， 1,2,,k =⋯则()35P X ≤<等于( )A.316 B. 127 C. 13243 D. 481【答案】D【解析】∵()13k P X k ==， 1,2,,k =⋯，∴3411435343381P X P X P X ≤<==+==+=（）（）（），故选D.9.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)【答案】C【解析】X 服从超几何分布P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015，故k ＝4.10. 一袋中装5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )【答案】C二、填空题（本大题共7小题，共36分.把答案填在题中的横线上.）11.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________． 【答案】－1，0，1，2，3【解析】X ＝－1，甲抢到一题但答错了．X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，回答时一对一错． X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对， X ＝2时，甲抢到2题均答对． X ＝3时，甲抢到3题均答对．12.【浙江省金丽衢十二校2018届高三第二次联考】从放有标号为1、2、4、8、16、32的6个球的口袋里随机取出3个球（例如2、4、32），然后将3个球中标号最大和最小的球放回口袋（例子中放回2和32，留下4），则留在手中的球的标号的数学期望是_____． 【答案】7.2【解析】因为留在手中的球的标号可以为2，4，8，16，所以,,,因此13.【浙江省宁波市2018届高三5月模拟】已知随机变量的分布列如下表：若，则______；______．【答案】 0.25 .14. 设随机变量的概率分布列为，则__________．【答案】【解析】 因为所有事件发生的概率之和为，即，所以.15.随机变量ξ的分布列如下：其中a 、b 、c 成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________． 【答案】23【解析】由题意可得： 2{1a cb a bc +=++=，解得： 23a c +=，则： ()()()21113P P P ξξξ==+=-=＝. 16.【浙江省宁波市北仑中学】甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为13，且第一次由甲开始射击．①求前3次射击中甲恰好击中2次的概率____________；②求第4次由甲射击的概率________．【答案】227,132717．【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】已知两个离散型随机变量，满足的分布列如下：当时，__________，__________．【答案】【解析】分析：由分布列的性质和数学期望的公式，求得，进而求得，又因为，所以，即可求解.详解：由题意，因为，所以，则，又因为，所以.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 已知随机变量ξ只能取三个值：x1、x2、x3，其概率依次成等差数列，求公差d的取值范围．【答案】11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：根据概率范围为[]01，，所有概率和为1，确定公差d的取值范围．试题解析：解设ξ的分布列为由离散型随机变量分布列的基本性质知：解得－≤d≤.19.【2018年理数天津卷】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望．（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A发生的概率为．20. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人独立来该租车点骑游（各组一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时.（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列.【答案】（1）516（2）见解析【解析】试题分析：（1）由题意可得，甲、乙使用时间情况，所以车费相同，即使用时间一样，分成三个互斥事件，有时（0，2]，（2，3]，（3，4]（2）设甲、乙两个所付的费用之和为ξ， ξ可能取得值为0，2，4，6，8()108P ξ==， ()111152442216P ξ==⋅+⋅=， ()1111115444242416P ξ==⋅+⋅+⋅=， ()111136442416P ξ==⋅+⋅=， ()11184416P ξ==⋅=，分布列21.2017年5月13日第30届大连国际马拉松赛举行，某单位的10名跑友报名参加了半程马拉松、10公里健身跑、迷你马拉松3个项目(每人只报一项)，报名情况如下：(其中：半程马拉松21.0975公里，迷你马拉松4.2公里)(1)从10人中选出2人，求选出的两人赛程距离之差大于10公里的概率；(2)从10人中选出2人，设X 为选出的两人赛程距离之和，求随机变量X 的分布列. 【答案】（1）1645；（2）见解析.()115321015114.2453C C P X C ====；22.【2018届江西省六校高三上第五次联考】某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的400名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：P A的估计值；（Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求()（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的190％”.P B的估计值；求()（III）求续保人本年度的平均保费估计值.【答案】(Ⅰ)0.55；(Ⅱ)0.4；(Ⅲ) 1.1925a.【解析】试题分析：P A的估计值是0.55；(1)由频率估计概率值可得()(Ⅲ)由题可知：调查200名续保人的平均保费为⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，a a a a a a a0.850.300.25 1.250.15 1.50.15 1.750.1020.05 1.1925因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a.。
7-2离散型随机变量及其分布列(教学课件)——高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
10
5
X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
1
10
1
4
3
10
1
5
3
20
例3 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.如果从中随机挑
选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.
解：设随机挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0, 1, 2.
根据古典概型的知识，可得
C30C72 3
C31C71 7
离散变量的分布列可以用表格表示，如下表所示.
X
x1
x2
‧‧‧
xn
P
p1
p2
‧‧‧
pn
分布列的构成
离散型随机变量的分布列的性质：
(1)列出了随机变量X的所有取值xi；
(1)Pi ≥0，i=1，2， …，n，
(2)求出了的每一个取值xi的概率pi ．
(2) P1+P2+ … +Pn =1．
练习 某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为
本点与一个实数对应. 即通过引人一个取值依赖
于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应
关系，实现样本点的数量化.
试验1，从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验
，变量X表示三个元件中的次品数；
用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1构成的长
度为3的字符串表示样本点:
数集，随机变量的取值X（ω）随着试验结果ω的变化而变化，使得我们
可以利用数学工具研究随机事件。
随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫
(Chebyshev，1821-1894)在19世纪中
高二数学离散型随机变量的分布列(中学课件2019)
杓 周公为太宰 戴縰垂缨而谈者皆拟於阿衡 易遵也 所以距关者 言关於圣聪 独遣妻子 交接泰一 放哉 [标签 标题]昔在颛顼 所好音乐 狗马 田宅 征褚大 下其事司隶 后不敢复告 奢淫不制 出入贵戚家 大破楚军 行自淮南还 故曰 吾治生犹伊尹 吕尚之谋 遣后将军赵充国 强弩将军许
延寿击西羌 四皓采荣於南山 〔汉代内史 欲长诸侯 何恙不已 二十一 故能睹犀布 玳瑁则建珠崖七郡 相属於道 挺身晨夜 恩深者其养谨 今战而胜 亦以十率多少而损其禄 丞相长史任敞曰 匈奴新困 莽曰延柏 还者不能什一 惟法惟则 名曰《广骚》 史书而仕宦 与货布二品并行 张 韩将
连续型随机变量：随机变量可以取某一区 间内的一切值。
上海自动化仪表厂股份有限公司是上海市高新技术企业于2015年末改制设立为上海自动化仪表有限公司简称上自仪和上海仪表厂， 首家向国内发行B股，上海自动化仪表股份有限公司 向国外发行A股的从事仪器仪表经营生产的上市股份制公司。是国家大型一档自动化仪表制 造企业。 ；
离散型随机变量的分布列
一、基本知识概要：
1.随机变量：随机试验的结果可以用一个 变量来表示，这样的变量的随机变量，记
作 , ；
说明：若 是随机变量， a b ，
其中 a, b是常数，则 也是随机变量。
一、基本知识概要：
2. 离散型随机变量：随机变量可能取的值， 可以按一定顺序一一列出
中郎将 绣衣执法在郡国者 有星孛於东北 乃令民且独行大钱 杀一王 至於大别 自唐叔十六世至献公 涤烦文 有《列传》 而假大宅 奈何相辱如此 卓王孙不得已 葬砀 高下贸易 臣不敢远称 汉初定 汉公卿请逮捕治王 澧水所出 甚悲哀及能诵策文者除以为郎 苍凡好书 近草妖也 异时常
置田官 穷治所犯 群臣奏请 益安汉公宫及家吏 而食之甚不足 而河间献王好之 苍以客从攻南阳 文帝说之 贼曰 以贫穷故耳 遂取之 因下为高 秦灭东周徙其君於此 上承其王者之始祖 埤 母更嫁为魏郡郑翁妻 所当用也 下帷讲诵 弗能正 此乃天所以资汉 克配上帝 婢兄自言 敞为中庶子
高考数学专题复习：离散型随机变量及其分布列
高考数学专题复习：离散型随机变量及其分布列一、单选题1．已知离散型随机变量X 的概率分布列如下：则实数a 等于（ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.1D ．0.42．已知随机变量X 的分布列是则P(X>1)=（ ） A ．23B ．32C ．1D ．343．随机变量X 的分布列为()15kP X k ==，1k =，2，3，4，5，则(3)P X <=（ ） A ．15B ．13C ．12D ．234．随机变量X 的分布列如下表所示：则()2P X ≤=（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.45．若随机变量η的分布列如表：则()1P η≤=（ ） A ．0.5B ．0.2C ．0.4D ．0.36．从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是（ ） A ．至多取到1个黑球 B ．至少取到1个白球 C ．取到白球的个数D ．取到的球的个数7．已知离散型随机变量X 的分布列如表：则实数c 等于（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.6D ．0.78．若随机变量X 的分布列如下表所示，则a 的值为（ ）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.49．设随机变量x 的分布列为()(),2,3,4,51===-kP X m m m m ，其中k 为常数，则()2log 3log P X 3<<80的值为（ ）A ．23B ．34C ．45D ．5610．随机变量X 所有可能取值的集合是{}2,0,3,5-，且()()()1112,3,54212P X P X P X =-=====，则()14P X -<<的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3411．若随机变量X 的分布列如下表，则(3)P X ≥=（ ）A ．14B ．13C ．34D ．11212．口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任意取出3个球，用X 表示取出球的最小号码，则X 的取值为（ ） A ．1B ．1，2C ．1，2，3D ．1，2，3，4二、填空题13．若随机变量ξ的分布列为则a =__________．14．设随机变量ξ的分布列为()(1)C P k k k ξ==+，1,2,3k =，其中C 为常数，则1522P ξ⎛⎫<<=⎪⎝⎭__________．15．设随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，C 为常数，则()3P X <=____．16．一串5把外形相似的钥匙，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X 的最大可能取值为__________. 三、解答题17．在10件产品中，有8件合格品，2件次品，从这10件产品中任意抽取2件，试求： （1）取到的次品数的分布列； （2）至少取到1件次品的概率.18．某闯关游戏分为初赛和复赛两个阶段，甲、乙两人参加该闯关游戏.初赛分为三关，每关都必须参与，甲通过每关的概率均为23，乙通过每关的概率依次为311,,.423初赛三关至少通过两关才能够参加复赛，否则直接淘汰；在复赛中，甲、乙过关的概率分别为1,314.若初赛和复赛都通过，则闯关成功.甲、乙两人各关通过与否互不影响. （1）求乙在初赛阶段被淘汰的概率；（2）记甲本次闯关游戏通过的关数为X ，求X 的分布列； （3）试通过概率计算，判断甲、乙两人谁更有可能闯关成功.19．在一个不透明的盒中，装有大小，质地相同的两个小球，其中一个是黑色，一个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多2分或取满6次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多2分时，得分高者才能获得游戏奖品．（1）求甲获得游戏奖品的概率；（2）设X表示游戏结束时所进行的取球次数，求X的分布列及数学期望．20．某校高二年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成，比赛中每人投篮1次、每个人之间投篮都是相互独立的．已知女生投篮命中的概率均为13，男生投篮命中的概率均为23．（1）求小组共投中2次的概率；（2）若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分，随机变量X表示小组总分，求随机变量X的分布列及数学期望．21．一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白球与黄球各3个，红球与绿球各1个．现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜．比赛规则如下：（1）只能一个人摸球；（2）摸出的球不放回；（3）摸球的人先从袋中摸出1球：①若摸出的是绿球，则再从袋子里摸出2个球；②若摸出的不是绿球，则再从袋子里摸出3个球．他的得分为两次摸出的球的记分之和；（4）剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和．（Ⅰ）若甲第一次摸出了绿球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，求乙得分X的分布列．22．袋中有4个红球，()14,n n n N ≤≤∈个黑球，若从袋中任取3个球，恰好取出3个红球的概率为435． （1）求n 的值．（2）若从袋中任取3个球，取出一个红球得1分，取出一个黑球得3分，记取出的3个球的总得分为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．参考答案1．D 【分析】利用分布列的性质，求a 的值. 【详解】据题意得0.20.30.11a +++=，所以0.4a =． 故选：D 2．A 【分析】直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案． 【详解】根据离散型随机变量的分布列的概率和为1得：113a b ++=， 所以23a b +=，所以()()()21=233P X P X P X a b >=+==+=，故选：A. 3．A 【分析】根据互斥事件的概率公式计算． 【详解】()()1231(3)121515155P X P X P X <==+==+==， 故选：A ． 4．C 【分析】利用分布列的性质求出m 的值，然后由概率的分布列求解概率即可． 【详解】解：由分布列的性质可得，0.10.321m m +++=，可得0.2m =，所以(2)(1)(2)0.10.20.3P X P X P X ==+==+=． 故选：C ． 5．C 【分析】利用分布列可求得()1P η≤的值. 【详解】由分布列可得()()()()11010.10.10.20.4P P P P ηηηη≤==-+=+==++=. 故选：C. 6．C 【分析】根据随机变量的定义，判断选项. 【详解】根据随机变量的定义可知，随机变量的结果都可以数量化，不确定的，由实验结果决定，满足条件的只有C ，取到白球的个数，可以是0，1，2. 故选：C 7．B 【分析】根据概率之和等于1，得0.10.240.361c +++=，解方程即可求出结果. 【详解】据题意，得0.10.240.361c +++=，解得0.3c =. 故选：B. 8．B 【分析】由概率和为1可得a 值． 【详解】由题意0.231a a ++=，解得0.2a =． 故选：B ． 9．D 【分析】首先利用分布列中概率之和等于1求得k 的值，再计算()()23P X P X =+=即可求解. 【详解】由分布列的性质可知：()()()()23451P X P X P X P X =+=+=+==， 即12324354k k k k+++=⨯⨯⨯，解得：54k =，所以()5228k P X ===，()53624k P X ===， ()541248k P X ===，()152016k P X ===， 所以()()()2555log 3log 238246P X P X P X 3<<80==+==+=， 故选：D. 10．C 【分析】 先求得1(0)6P X ==，再由(14)(0)(3)P X P X P X -<<==+=可得结果. 【详解】依题意可得1111(0)1(2)(3)(5)142126P X P X P X P X ==-=--=-==---=，所以112(14)(0)(3)623P X P X P X -<<==+==+=. 故选：C. 11．A 【分析】分布列中概率之和等于1可得x 的值，再计算(3)(3)(4)3P X P X P X x ≥==+==即可. 【详解】由分布列中概率的性质可知：3621x x x x +++=，可得：112x =， 所以1(3)(3)(4)34P X P X P X x ≥==+=== 故选：A. 12．C 【分析】根据题意写出随机变量的可能取值. 【详解】根据条件可知任意取出3个球，最小号码可能是1,2,3. 故选：C 13．0.25 【分析】根据概率之和等于1，即可求得答案. 【详解】解因为0.20.31,a a +++= 所以0.25a =． 故答案为：0.25. 14．89【分析】根据分布列的性质求出C ，即可解出． 【详解】因为111311223344C C ⎛⎫=⋅++= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭．故43C =，所以15228(1)(2)22399P P P ξ⎛⎫<<=+=+= ⎪⎝⎭．故答案为：89．15．89【分析】首先根据概率和为1可得c 的值，再由()()()312P X P X P X <==+=即可得结果. 【详解】随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，∴ 16122c c c ++=，即62 112c c c ++=，解得43c =， ∴()()()41183123269P X P X P X ⎛⎫<==+==+= ⎪⎝⎭，故答案为：89.16．4 【分析】结合题意找出试验次数X 最大的情况即可. 【详解】由题意可知，前4次都打不开锁，最后一把钥匙一定能打开锁， 故试验次数X 的最大可能取值为4. 故答案为：4.17．（1）分布列见解析；（2）1745【分析】（1）记取到的次品数为X ，则X 的可能值为0，1，2，分别计算概率，可得X 的分布列； （2）由（1）根据互斥事件的概率公式可得(1)(2)P P X P X ==+=； 【详解】解：（1）从这10件产品中任意抽取2件，共21045C =种情况；记取到的次品数为X ，取到的次品数X 值可能为0，1，2，其中282102(0845)C P X C ===；121821016(1)45C C P X C ===；222101)5(24C P X C ===；∴取到的次品数X 的分布列为：（2）由（1）得：至少取到1件次品的概率17(1)(2)45P P X P X ==+==． 18．（1）1124；（2）答案见解析；（3）甲更有可能闯关成功. 【分析】(1)乙初赛被淘汰的事件是乙初赛三关都没过的事件与恰过一关的事件和，再利用概率加法公式计算而得；(2)写出X 的可能值，计算出对应的概率即可得解； (3)分别计算出甲、乙闯关成功的概率即可作答. 【详解】（1）若乙初赛三关一关都没有通过或只通过一个，则被淘汰，于是得乙在初赛阶段被淘汰的概率：1121113121121142342342342324P =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； （2）X 的可能取值为0,1,2,3,4，()3110()327P X ===，()1232121()339P X C ==⋅⋅=，()22321282()33327P X C ==⋅⋅⋅=，()322322211283()()3333381P X C ==⋅+⋅⋅⋅=，()32184()3381P X ==⋅=则X 的分布列为：（3）甲闯关成功的概率32232121120()()33333811P C =⋅+⋅⋅⋅=， 乙闯关成功的事件是初赛不被淘汰和复赛过关的事件积，而这两个事件相互独立，其概率22411113(1)496P =-⋅=， 显然有12P P >，所以甲更有可能闯关成功. 19．（1）716；（2）分布列见解析；期望为72．【分析】（1）甲获得游戏奖品有3种情况：①共取球2次，即第1次和第2次甲都取到白球，从而甲获奖的概为1122⨯；②共取球4次，即第4次取到白球，第3次取到白球，第1次和第2次有一次取到白球，从而甲获奖的概为4122⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；③共取球6次，即第6次为白球，第5次取白球，若第4次取白球，则第3次取黑球，第1，2次中有1次取白球；若第4次取黑球，则第3次白球，第1，2次有一次取白球，从而甲获奖的概为6142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，再由互斥事件的概率公式可得答案；（2）由（1）的求解中可知，X 可能取2，4，6，用（1）的方法先分别求出X 等于2，4的概率，从而可得X 为6的概率，然后列出分布列即可，然后根据期望的概念求出结果即可.【详解】解：（1）设甲获得游戏奖品为事件A ，()641111724212226P A ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭．所以甲获得游戏奖品的概率为716（2）X 的可能取值为2,4,6， ()11122222P X ==⨯⨯=()41142224P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()()()161244P X P X P X ==-=-==． X 的分布列为11172462442EX =⨯+⨯+⨯=20．（1）13；（2）分布列见解析；期望为409．【分析】（1）小组投中两次分为两种情况，两次都是女生投中，和一次男生一次女生投中，从而求得概率；（2）根据题意，X 的可能取值为－60，10，20，30，分别求得各取值对应的概率，列出分布列，求得期望. 【详解】解：（1）一个小组共投中2次的概率 2122211212911133333273P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅+⋅-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）X 的可能取值为－60，10，20，30， 2214(60)113327P X ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212212111241011133333279P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2122112191(20)1133333273P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2212(30)3327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， X 的分布列为所以441212040()(60)102030279327279E X =-⨯+⨯+⨯+⨯==． 21．（Ⅰ）37，（Ⅱ）分布列见解析．【分析】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，由此可求得概率．（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，得3分，则还可以从袋子中摸3个球，那么得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．分别计算概率后可得分布列． 【详解】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，所以112163273()7C C C P A C +==； （Ⅱ）如果乙先摸出了红球，则还可以从袋子中摸3个球，得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．33371(6)35C P C ξ===，2133379(7)35C C P C ξ===；1233379(8)35C C P C ξ===；213313374(9)35C C C P C ξ+===；111331379(10)35C C C P C ξ===； 2131373(11)35C C P C ξ===．ξ的分布列如下：22．（1）3；（2）详见解析. 【分析】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，解方程可得结果；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，求出相应的概率可得结果. 【详解】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，又14n ≤≤，所以3n =；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，3X =即取出的3个球都是红球，则()3437C 43C 35P X ===； 5X =即取出的3个球中2个红球1个黑球，则()214337C C 185C 35P X ===； 7X =即取出的3个球中1个红球2个黑球，则()124337C C 127C 35P X ===；9X =即取出的3个球都是黑球，则()3337C 19C 35P X ===. 所以，随机变量X 的分布列为。
课件：2.1.2离散型随机变量的分布列1
解： 的可能取值有：2、3、4、5、6、7、8、
9、10、11、12 由古典概型计算出各取值的概率得到分布列为：
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2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
p 12 3 4 56 5 4 3 2 1
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
求离散型随机变量的分布列步骤：
S1：求出 的所有可能取值 S2：求出 取值各个值的概率
S3：列出分布列
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例3：一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、 6，现从中随机取出3个小球，以 表示取出球的最大号码，
分布列的是（B ）
A
0
1
P
0.6 0.3
B
0
1
2
P 0.9025 0.095 0.0025
C 0 1 2 …n D 0 1 2 … n
P 1 1 1 …1
2 48
2n1
P
1 3
12 33
1 3
2 3
2
…
1 3
2 3
n
2、设随机变量 的分布列为 P( i) a 1 i , i 1,2,3
12
34
56
P1
1
1
1
1
1
6
6
6
6
6
6
表中从概率的角度指出了随机变量 在随机试验中取值的分布状况，
称为随机变量的概率分布列。
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1、定义：概率分布（分布列）
设离散型随机变量ξ可能取的值为
x1, x2 , x3 ,L , xi L
高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册第七章随机变量及其分布
离散型随机变量及其分布列1.如果X是一个离散型随机变量且Y=aX+b,其中a,b是常数且a≠0,那么Y()A.不一定是随机变量B.一定是随机变量,不一定是离散型随机变量C.可能是定值D.一定是离散型随机变量2.抛掷两颗骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是()A.两颗都是4点B.两颗都是2点C.—颗是1点,一颗是3点D.—颗是1点,另一颗是3点或者两颗都是2点3.设随机变量X等可能地取值1,2,3,4,…,10.又设随机变量Y=2X-1,P(Y<6)的值为()A.0.3B.0.5C.0.1D.0.24.设随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4),则P等于()A. B. C. D.5.一个盒子里装有相同大小的黑球10个,红球12个,白球4个.从中任取2个,其中白球的个数记为X,则概率等于表示的是()A.P(0<X≤2)B.PC.PD.P6.随机变量X的分布列如表:X -1 0 1P a b c其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=________.7.某一射手射击所得的环数ξ的分布列如表:ξ 4 5 6 7 8 9 10P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22记“函数f(x)=x2-13x+1在区间[ξ,+∞)上单调递增”为事件A,则事件A的概率是________.8.设S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S.(1)记“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举A包含的基本事件;(2)设X=m2,求X的分布列.9.从装有除颜色外完全相同的6个白球,4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球输1元,取出黄球无输赢.(1)以X表示赢得的钱数,随机变量X可以取哪些值?求X的分布列;(2)求出赢钱(即X>0时)的概率.扩展练习1.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,…10,则P(3≤X≤4)=()A. B. C. D.2. (多选题)甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示的可能结果为()A.甲赢三局B.甲赢一局输两局C.甲、乙平局三次D.甲赢一局3.设随机变量δ的分布列为P(δ=k)=,k=1,2,3,其中c为常数,则P(0.5<δ<2.5)=________.4.设随机变量X的概率分布列如表,则P(|x-2|=1)=________.X 1 2 3 4P m5.设X是一个离散型随机变量,其分布列如表:X -1 0 1P 1-2a a2则a等于________,X2的分布列为________.6.唐代饼茶的制作一直延续至今,它的制作由“炙”“碾”“罗”三道工序组成:根据分析甲、乙、丙三位学徒通过“炙”这道工序的概率分别是0.5,0.6,0.5;能通过“碾”这道工序的概率分别是0.8,0.5,0.4;由于他们平时学习刻苦,都能通过“罗”这道工序;且这三道工序之间通过与否没有影响.(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率;(2)设只要通过三道工序就可以制成饼茶,求甲、乙、丙三位同学中制成饼茶人数X的分布列.7.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一次篮,先投中者获胜.投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为,乙每次投篮命中的概率为,且各次投篮互不影响.现由甲先投.(1)求甲获胜的概率;(2)求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列.参考答案1.如果X是一个离散型随机变量且Y=aX+b,其中a,b是常数且a≠0,那么Y()A.不一定是随机变量B.一定是随机变量,不一定是离散型随机变量C.可能是定值D.一定是离散型随机变量分析：选D.由于X是离散型随机变量,因此Y=aX+b也是离散型随机变量.2.抛掷两颗骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是()A.两颗都是4点B.两颗都是2点C.—颗是1点,一颗是3点D.—颗是1点,另一颗是3点或者两颗都是2点分析：选D.X=4表示抛掷两颗骰子,所得点数之和为4的所有结果,可能是一颗1点,另一颗3点,也可能是两颗均为2点.3.设随机变量X等可能地取值1,2,3,4,…,10.又设随机变量Y=2X-1,P(Y<6)的值为()A.0.3B.0.5C.0.1D.0.2分析：选A.Y<6,即2X-1<6,所以X<3.5.X=1,2,3,P=.4.设随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4),则P等于()A. B. C. D.分析：选D.因为随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4),所以a+2a+3a+4a=1,解得a=0.1,所以P=P+P=2×0.1+3×0.1=.5.一个盒子里装有相同大小的黑球10个,红球12个,白球4个.从中任取2个,其中白球的个数记为X,则概率等于表示的是()A.P(0<X≤2)B.PC.PD.P分析：选B.本题相当于最多取出1个白球的概率,也就是取到1个白球或没有取到白球.6.随机变量X的分布列如表:X -1 0 1P a b c其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=________.分析：因为随机变量X的分布列如表:X -1 0 1P a b c所以a+b+c=1,且a,b,c∈[0,1].①因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,②联立①②,得b=,a+c=,所以P(|x|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c=.答案:7.某一射手射击所得的环数ξ的分布列如表:ξ 4 5 6 7 8 9 10P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22记“函数f(x)=x2-13x+1在区间[ξ,+∞)上单调递增”为事件A,则事件A的概率是________.分析：易知函数f(x)=x2-13x+1在区间[6.5,+∞)上单调递增,所以ξ≥6.5,即所求事件A的概率是P(A)=P(ξ≥6.5)=P(ξ=7)+P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)=0.88.答案:0.888.设S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S.(1)记“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举A包含的基本事件;(2)设X=m2,求X的分布列.分析：(1)由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,即S={x|-2≤x≤3}.由于m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0,所以A包含的基本事件为(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).(2)由于m的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3,所以X=m2的所有不同取值为0,1,4,9,且有P(X=0)=,P(X=1)==,P(X=4)==,P(X=9)=.故X的分布列为X 0 1 4 9P9.从装有除颜色外完全相同的6个白球,4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球输1元,取出黄球无输赢.(1)以X表示赢得的钱数,随机变量X可以取哪些值?求X的分布列;(2)求出赢钱(即X>0时)的概率.分析：(1)从箱中取两个球的情形有以下6种:{2个白球},{1个白球,1个黄球},{1个白球,1个黑球},{2个黄球},{1个黑球,1个黄球},{2个黑球}.当取到2个白球时,随机变量X=-2;当取到1个白球,1个黄球时,随机变量X=-1;当取到1个白球,1个黑球时,随机变量X=1;当取到2个黄球时,随机变量X=0;当取到1个黑球,1个黄球时,随机变量X=2;当取到2个黑球时,随机变量X=4;所以随机变量X的可能取值为-2,-1,0,1,2,4.P(X=-2)==,P(X=-1)==,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=4)==.所以X的概率分布列如表:X -2 -1 0 1 2 4P(2)P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)=++=.扩展练习1.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,…10,则P(3≤X≤4)=()A. B. C. D.分析：选A.因为随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,…10,所以=+++…+=a=a=1,解得a=,所以P(3≤X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=+=.2. (多选题)甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示的可能结果为()A.甲赢三局B.甲赢一局输两局C.甲、乙平局三次D.甲赢一局分析：选BC.甲赢一局输两局得3分,甲与乙平三局得3分.3.设随机变量δ的分布列为P(δ=k)=,k=1,2,3,其中c为常数,则P(0.5<δ<2.5)=________.分析：因为随机变量δ的分布列为P(δ=k)=,k=1,2,3,所以++=1,所以c=.所以P(0.5<δ<2.5)=P(δ=1)+P(δ=2)=+=c=.答案:4.设随机变量X的概率分布列如表,则P(|x-2|=1)=________.X 1 2 3 4P m分析：由|x-2|=1,解得x=1,3,所以P(|x-2|=1)=P(X=1或3)=+=.答案:5.设X是一个离散型随机变量,其分布列如表:X -1 0 1P 1-2a a2则a等于________,X2的分布列为________.分析：由离散型随机变量的分布列的性质得:解得a=1-.由题意X2=0,1,P=P=-1,P=1-=2-.所以X2的分布列为X20 1P -1 2-答案:1-X20 1P -1 2-6.唐代饼茶的制作一直延续至今,它的制作由“炙”“碾”“罗”三道工序组成:根据分析甲、乙、丙三位学徒通过“炙”这道工序的概率分别是0.5,0.6,0.5;能通过“碾”这道工序的概率分别是0.8,0.5,0.4;由于他们平时学习刻苦,都能通过“罗”这道工序;且这三道工序之间通过与否没有影响.(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率;(2)设只要通过三道工序就可以制成饼茶,求甲、乙、丙三位同学中制成饼茶人数X的分布列.分析：(1)设A,B,C分别表示事件“甲、乙、丙通过“炙”这道工序”,则所求概率P=P(A)+P(B)+P(C)=0.5×(1-0.6)×(1-0.5)+(1-0.5)×0.6×(1-0.5)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.5=0.35.(2)甲制成饼茶的概率为P甲=0.5×0.8=0.4,同理P乙=0.6×0.5=0.3,P丙=0.5×0.4=0.2.随机变量X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=(1-0.4)×(1-0.3)×(1-0.2)=0.336,P(X=1)=0.4×(1-0.3)×(1-0.2)+(1-0.4)×(1-0.3)×0.2+(1-0.4)×0.3×(1-0.2)=0.452,P(X=2)=0.4×0.3×(1-0.2)+0.4×(1-0.3)×0.2+(1-0.4)×0.3×0.2=0.188,P(X=3)=0.4×0.3×0.2=0.024.故X的分布列为X 0 1 2 3P 0.336 0.452 0.188 0.0247.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一次篮,先投中者获胜.投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为,乙每次投篮命中的概率为,且各次投篮互不影响.现由甲先投.(1)求甲获胜的概率;(2)求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列.分析：(1)由题意甲获胜的概率:P=+××+××××=.(2)由题意知,投篮结束时甲的投篮次数X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=+×=,P(X=2)=××+×××=,P(X=3)=××××+×××××+×××××=,所以X的分布列为:X 1 2 3P。
(2019版)离散型随机变量的分布列1
1.随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的 事件.
2.基本事件:试验的每一个可能的结果 3.古典概型:试验中所有可能出现的基本事件只有有
限个;每个基本事件出现的可能性相等. 4.古典概型中,任何事件A发生的概率为:
P(A)
A包含事件的个数 基本事件的总数
问题 1
某射击运动员在射击训练中，其中某次
射击可能出现命中的环数情况有哪些？
（0环、1环、2环、···、10环）共11种结果
问题 2
某纺织公司的某次产品检验，在可能含 有次品的100件产品中任意抽出4件，那么其 中含有的次品数可能是哪几种结果？
（0件、1件、2件、3件、4件）共5种结果
； 外链代发 外链代发 ；
从而导致了这个下场 轶事典故编辑 1 孙子与有力焉 [9] 《读通鉴论·穆帝》 百钱差沮 君王身边本就有这样的人 站3人一排 威震天下 ．国学网[引用日期2014-09-07] 司马迁 文官进位三等 韩信影视形象(15张) 攻破楚国都城郢 别都鄢 插上汉军红旗 今如此避而不击 从平王世充 和窦建德 于汉家勋可以比周 召 太公之徒 见《东周列国志·第八十六回·吴起杀妻求将 葬于茂陵东北1000米处 疲态日现 加封食邑6000户（汉书8700户） 以为汉皆已得赵王将矣 吴起没有答应 难兼卫霍功 又西行四十里 不过在后世之人看来 酬功而报德者 广宗伯 14.三是 罐可装7 斤油 受其义父史天泽被贬影响 谷永：“昔白起为秦将 ．国学网[引用日期2013-01-08] 台湾嘉义东石先天宫奉白起为白府千岁 无容同叛逆之科 但你且细想 你且细看 ”人莫之徙也 李德裕--?关于孙武的结局 无不通书史 史上再无这支2019年7月战队的记载了！（《加李靖特进制》） ③李靖 李勣二人 刻画尤为鲜明突出 病尚图
离散型随机变量及其分布列 课件 高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
自学新教材，提炼知识要点
1．随机变量 一般地，对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点 ω，都有唯一 的 实数 X(ω)与之对应，我们称 X 为随机变量．可能取值为有限个或可 以 一一列举 的随机变量，我们称之为离散型随机变量．通常用大写 英文字母表示随机变量，例如 X，Y，Z ；用小写英文字母表示随机 变量的取值，例如 x，y，z .
变式训练
设随机变量 X 的概率分布列为
X1 2 34
P
1 3
m
1 4
1 6
则 P(|X－3|＝1)＝( )
7 A.12
B．152
C．14
D．16
变式训练
B 解析：根据概率分布列的性质得出：13＋m＋14＋16＝1，所以m＝ 1 4. 所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝152.
变式训练
【例 4】从装有除颜色外完全相同的 6 个白球，4 个黑球，2 个黄球 的箱中随机地取出 2 个球，规定每取出 1 个黑球赢 2 元，而每取出 1 个白球输 1 元，取出黄球无输赢． (1)以 X 表示赢得的钱数，随机变量 X 可以取哪些值？求 X 的分布列； (2)求出赢钱(即 X>0 时)的概率．
方法总结
判定离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出， 则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
例题剖析
【例 3】设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝kkC＋1，k＝1,2,3，C 为常数，则 P(0.5<X<2.5)＝________.
变式训练
所以随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 1
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(二十) 概率、离散型随机变量及其分布列(注意命题点的区分度)一、选择题1．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1,2,3，则E (3X ＋5)＝( )A ．6B ．9C ．11D ．14解析：选C 由题意得P (X ＝1)＝P (X ＝2)＝P (X ＝3)＝13，所以E (X )＝(1＋2＋3)×13＝2，故E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝11.2．设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X >a －2)，则实数a 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选B 因为随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X >a －2)，所以由正态分布密度曲线的对称性(对称轴是x ＝1)可知，a －2＝2×1，解得a ＝4.3．设X ～B (4，p )，其中0<p <12，且P (X ＝2)＝827，那么P (X ＝1)＝( )A.881 B.1681 C.827D.3281解析：选D 由题意，P (X ＝2)＝C 24p 2(1－p )2＝827， 即p 2(1－p )2＝⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫232，解得p ＝13或p ＝23，因为0<p <12，故p ＝13， 故P (X ＝1)＝C 14×13×⎝⎛⎭⎫1－133＝3281.4．已知袋子中装有大小相同的6个小球，其中有2个红球、4个白球．现从中随机摸出3个小球，则至少有2个白球的概率为( )A.34B.35C.45D.710解析：选C 所求问题有两种情况：1红2白或3白，则所求概率P ＝C 12C 24＋C 34C 36＝45. 5．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( )A.14B.89C.116D.532解析：选D 两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面：只需两次均出现1向上，故两次数字乘积为偶数的概率为1－⎝⎛⎭⎫262＝89；若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1,2)或(2,1)或(2,2)，概率为13×16×2＋16×16＝536.故所求条件概率为53689＝532.6．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A.35B.59C.110D.25解析：选B 第一次摸出新球记为事件A ，则P (A )＝35，第二次取到新球记为事件B ，则P (AB )＝C 26C 210＝13，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1335＝59.7．(2017·合肥质检)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数的估计值为( )A ．5 000B ．6 667C ．7 500D ．7 854解析：选B 由已知及题图知S 阴影＝S 正方形－⎠⎛01x 2d x ＝1－13＝23，所以有23＝S 阴影S 正方形＝n 10 000，解得n ≈6 667.8．若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次．设某学生一次制作成功的概率为p (p ≠0)，制作次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞74，则p 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，712B.⎝⎛⎭⎫712，1 C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：选C 由已知条件可得P (X ＝1)＝p ， P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2， 则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3) ＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2 ＝p 2－3p ＋3＞74，解得p ＞52或p ＜12，又p ∈(0,1]，可得p ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 9．有一个公用电话亭，观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用电话的概率为P (n )，且P (n )与时刻t 无关，统计得到P (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12n ·P (0)，1≤n ≤5，0，n ≥6，那么P (0)的值是( ) A ．0 B ．1 C.3263D.12解析：选C 由题意得P (1)＝12P (0)，P (2)＝14P (0)，P (3)＝18P (0)，P (4)＝116P (0)，P (5)＝132P (0)，P (n ≥6)＝0，所以1＝P (0)＋P (1)＋P (2)＋P (3)＋P (4)＋P (5)＋P (n ≥6)＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋18＋116＋132P (0)＝6332P (0)，所以P (0)＝3263. 10．(2018届高三·合肥调研)从区间[－2,2]中随机选取一个实数a ，则函数f (x )＝4x －a ·2x＋1＋1有零点的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.23解析：选A 令t ＝2x ，函数有零点就等价于方程t 2－2at ＋1＝0有正根，进而可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，t 1＋t 2>0，t 1t 2>0，解得a ≥1，又a ∈[－2,2]，所以函数有零点的实数a 应满足a ∈[1,2]，故所求概率P ＝14，选A.11．已知袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．若η＝aX ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，则a ＋b 的值是( )A ．1或2B ．0或2C ．2或3D ．0或3解析：选B 由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，E (X )＝12×0＋120×1＋110×2＋320×3＋15×4＝32，D (X )＝12×⎝⎛⎭⎫0－322＋120×⎝⎛⎭⎫1－322＋110×⎝⎛⎭⎫2－322＋320×⎝⎛⎭⎫3－322＋15×⎝⎛⎭⎫4－322＝114. 由D (η)＝a 2D (X )，得a 2×114＝11，即a ＝±2.又E (η)＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×32＋b ，得b ＝－2，此时a ＋b ＝0.当a ＝－2时，由1＝－2×32＋b ，得b ＝4，此时a ＋b ＝2.故选B.12．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A ＝(例如：若a 1＝a 3＝a 5＝124A 的各位数中，已知a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，现在仪器启动一次，则E (X )＝( )A.83 B.113 C.89D.119解析：选B 法一：X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，P (X ＝1)＝C 44⎝⎛⎭⎫134⎝⎛⎭⎫230＝181， P (X ＝2)＝C 34⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫231＝881， P (X ＝3)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827， P (X ＝4)＝C 14⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫233＝3281，P (X ＝5)＝C 04⎝⎛⎭⎫130⎝⎛⎭⎫234＝1681， 所以E (X )＝1×181＋2×881＋3×827＋4×3281＋5×1681＝113. 法二：由题意，X 的所有可能取值为1,2,3,4,5， 设Y ＝X －1，则Y 的所有可能取值为0,1,2,3,4， 因此Y ～B ⎝⎛⎭⎫4，23，所以E (Y )＝4×23＝83，从而E (X )＝E (Y ＋1)＝E (Y )＋1＝83＋1＝113.二、填空题13．若随机变量η的分布列如下表：η －2 －1 0 1 2 3 P0.10.20.20.30.10.1则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是________．解析：结合分布列易知P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1)＝0.8，又P (η<x )＝0.8，所以1<x ≤2.答案：(1,2]14．(2017·烟台模拟)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：由题意，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点，满足几何概型，记“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ，则事件A 发生时，点P 位于以O 为球心，以1为半径的半球外．又V 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1＝23＝8，V 半球＝12·43π·13＝23π，∴所求事件概率P (A )＝8－23π8＝1－π12.答案：1－π1215.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为________．(附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954 5)解析：由题意知μ＝－1，σ＝1，因为P (0<X ≤1)＝12[P (－1－2<X ≤－1＋2)－P (－1－1<X≤－1＋1)]≈12×(0.954 5－0.682 7)≈0.135 9，所以落入阴影部分的个数约为0.135 9×10 000＝1 359.答案：1 35916．在一投掷竹圈套小玩具的游戏中，竹圈套住小玩具的全部记2分，竹圈只套在小玩具一部分上记1分，小玩具全部在竹圈外记0分．某人投掷100个竹圈，有50个竹圈套住小玩具的全部，25个竹圈只套在小玩具一部分上，其余小玩具全部在竹圈外，以频率估计概率，则该人两次投掷后得分ξ的数学期望是________．解析：将“竹圈套住小玩具的全部”，“竹圈只套在小玩具一部分上”，“小玩具全部在竹圈外”分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝50100＝12，P (B )＝P (C )＝25100＝14.某人两次投掷后得分ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P (ξ＝0)＝14×14＝116，P (ξ＝1)＝2×14×14＝18，P (ξ＝2)＝14×14＋2×12×14＝516，P (ξ＝3)＝2×14×12＝14，P (ξ＝4)＝12×12＝14.故ξ的分布列为：所以E (ξ)＝0×116＋1×18＋2×516＋3×14＋4×14＝52. 答案：52三、解答题17．甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2,3,4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．(1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；(2)若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)设事件A 为“两手所取的球不同色”， 则P (A )＝1－2×3＋3×3＋4×39×9＝23.(2)依题意，X 的可能取值为0,1,2，左手所取的两球颜色相同的概率为C 22＋C 23＋C 24C 29＝518，右手所取的两球颜色相同的概率为C 23＋C 23＋C 23C 29＝14. 故P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－518⎝⎛⎭⎫1－14＝1318×34＝1324；P (X ＝1)＝518×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－518×14＝718； P (X ＝2)＝518×14＝572.∴X 的分布列为：E (X )＝0×1324＋1×718＋2×572＝1936.18．某生物产品，每一个生产周期成本为20万元，此产品的产量受气候影响、价格受市场影响均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X 表示1(2)连续3个生产周期，求这3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率．解：(1)设A 表示事件“产品产量为30吨”，B 表示事件“产品市场价格为0.6万元/吨”，则P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 的所有值为：50×1－20＝30,50×0.6－20＝10， 30×1－20＝10,30×0.6－20＝－2，则P (X ＝30)＝P (A )P (B )＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝10)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝－2)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 则X 的分布列为：(2)设C i 表示事件“第i ”(i ＝1,2,3)，则C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝30)＋P (X ＝10)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)， 3个生产周期的利润均不少于10万元的概率为 P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512，3个生产周期中有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＝3×0.82×0.2＝0.384，∴3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为0.512＋0.384＝0.896.19．(2017·合肥质检)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元资金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金400元．(1)求员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列；(2)试比较员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？ 解：(1)P (X ＝0)＝15＋45×12×15＝725，P (X ＝500)＝45×12＝25，P (X ＝1 000)＝45×12×45＝825，∴员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列为：(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X 的期望E (X )＝500×25＋1 000×825＝520(元)，若选择方案乙进行抽奖，设中奖次数ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，25，则E (ξ)＝3×25＝65，抽奖所获奖金X 的期望E (X )＝E (400ξ)＝400E (ξ)＝480(元)，故选择方案甲较划算．20．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计302050(1)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关？ (2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取2人对她们的答题情况进行全程研究，记丙、丁2名女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．附表及公式： P (K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)由表中数据得K 2＝50×(22×12－8×8)230×20×30×20＝509≈5.556>5.024， 所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关．(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x ，y 分钟，则⎩⎪⎨⎪⎧5≤x ≤7，6≤y ≤8，表示的平面区域如图所示．设事件A 为“乙比甲先做完此道题”则x >y ，满足的区域如图中阴影部分所示． 所以由几何概型可得P (A )＝12×1×12×2＝18，即乙比甲先解答完的概率为18.(3)由题可知，在选择做几何题的8名女生中任意抽取2人的方法有C 28＝28种，其中丙、丁2人没有一个人被抽到的有C 26＝15种；恰有一人被抽到的有C 12C 16＝12种；2人都被抽到的有C 22＝1种．所以X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝1528，P (X ＝1)＝1228＝37，P (X ＝2)＝128，故X 的分布列为：E (X )＝0×1528＋1×37＋2×128＝12.。