solow model

总产出的增长率也是 n g
人均产出增长率
(t ) Y (t ) L (t ) (n g )Y (t ) Y (t ) Y (t ) d Y (t ) Y n g dt L(t ) L(t ) L(t ) L(t ) L(t ) L(t ) L(t )
人均产出（劳动生产率）以技术进步率g增长。 注意区分人均产出与人均有效劳动产出。
平衡增长速度 n+g n g n+g n+g
备注证明 k=K/AL
F(cK,cAL)=cF(K,AL) C=(1-s)Y
总消费 有效劳动的平均资本 人均资本
n+g 0 g 0
相 对
量
y(Y/AL)
有效劳动的人均产出 人均产出
有效劳动的人均消费 人均消费 资本产出比
y=f(k)=Y/AL
Y/L c(C/AL)
n g k t
sf k
k*
k
（二）模型的动态学
k的相图（三维空间在平面的投影）
k (t )

k
k* k
稳态
定义“稳态”：一种其中各种变量 都以不变速度增长的情况，即k(t)=0。 当sf(k(t)) (n+g+ )k(t)时，k(t) 0（资本存量增加） 当sf(k(t)) (n+g+ )k(t)时，k(t) 0（资本存量减少） 当sf(k(t))＝(n+g+ )k(t)时，k(t)＝0 （实际投资与持平投资相等。无论k从何处开始，它都收敛于k*）
2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平
稳态人均 产量
n g k *
f k*

k*
2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平

消费最大，也即资本黄金规则的条件：
（一）模型的基 0
边际报酬递减
满足稻田( Inada )条件： lim f k lim f k 0
k k 0
保证经济增长路径不发散
（一）模型的基本假定
f( k )
k
新古典生产函数——新古典增长理论
f k f k
* 2 * 1 * 2 * 1
1.储蓄率增加的影响方向分析
s
t0
t
k,y
t0
t
1.储蓄率增加的影响方向分析
lnK
lnY
t0
t
1.储蓄率增加的影响方向分析
ln（Y/L）
t0
t
Y/L 的增长率
t0
t
1.储蓄率增加的影响方向分析
Y/K
t0
t
1.储蓄率增加的影响方向分析
趋势定理
在索洛经济中，只要起始时刻的有效人均资
k (t ) k *。 本k=k(0)，那么就有 lim t
（二）模型的动态学：平衡增长路径
k=k*时各变量的变动：
A, L按固定增长率增长； K (等于 ALk )：以速率 n g增长； Y：以速率 n g增长；
（二）模型的动态学
平衡增长路径
在索洛模型中，无论从任何一点出发， 经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径 上，每个变量的增长率都是常数，且是外生 决定的。特别是，在该路径上，人均产出的 增长率仅取决于技术进步率。
变量 K 绝 对 量 L A AL Y C k(K/AL) K/L
含义 资本存量 劳动力 知识或技术 有效劳动 总产出


（二）模型的动态学
索洛模型的核心公式：
t sf k t n g k t k
单位有效劳动的资本存量的变化等于两项之
差：
sf k ：单位有效劳动的平均投资
n g k t ：持平投资，使k保持现有水平所
必需的投资
经济解释
k(t)=sf(k(t))-(n+g+ )k(t) 是索洛模型的基本微分方程， 它表明k(t)是k的方程。 含义说明：人均实际投资sf(k(t)) 用于两个方面：一是“资本的深化”， 即k(t)，二是“资本的广化”（持平投资）， 即（n+g+）k(t)。
（二）模型的动态学
每单位有效劳动 平均投资
储蓄率的一个永久增加：

导致k在一定时期上升，保持在一个较高水平； 在短期内会改变Y、K的增长率，长期无影响； 造成Y/L增长率的暂时性增长； 储蓄率的变化有水平效应（Level Effect），但没有 增长效应（Growth Effect） ，在该模型中只有技术 进步率有增长效应。
1.储蓄率增加的影响方向分析



生产函数的集约形式满足新古典假设；
人口增长率、知识增长率、储蓄率、资本折旧率都等于常数， 人口和知识呈指数增长。
（二）模型的动态学
k的动态变化
dk d K t At Lt k t dt dt t K K t t t Lt A A t L At Lt At Lt 2 t t t K K t L K t A At Lt At Lt Lt At Lt At sY t K t k t n k t g At Lt sf k t n g k t

根据规模报酬不变假设，可以将生产函数写成密集 形式：
1 K F ,1 F K , AL AL AL y f k y为单位有效劳动的平均 产量； k为单位有效劳动的平均 资本量。

其中：有效劳动AL，有效劳动人均资本k=K/AL，有 效劳动人均产量y=Y/AL，总产量Y=AL· f(k)
y
y
new
(n g )k
snew f (k )
yold
sold f (k )
k old
k new
k
1.储蓄率增加的影响方向分析
如果两个国家除了储蓄率外，其他一切都相
同，则储蓄率高国家的收入水平会永远高于 储蓄率低国家，差距为：
Y2 ALf k Y1 ALf k
在稳态下，消费等于：
c * f k * n g k *
c * * k * * c * k s, n, g , * f k n g s s
f k n g


定性分析
k *( s, n, g , ) c * 0，因此 的符号取决于 s s f '(k *( s, n, g , ))与(n g )的大小。 当k * k *gold ，f '(k *( s, n, g , )) 当k * c * (n g )， 0 s c * k *gold ，f '(k *( s, n, g , )) (n g )， 0 s
C/L K/Y
g 0
g 0 c=(1-s)f(k)
（三）参数变化的影响
索洛模型中，主要参数有：
n, g , , s
政策最有可能影响的是储蓄率
（三）参数变化的影响
1.储蓄率增加的影响方向分析（定性）； 2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平； 3.储蓄率增加的影响程度分析（定量）。
1.储蓄率增加的影响方向分析
（一）模型的基本假定
2.关于投入品的假设 资本、劳动、知识的初始水平既定，劳动、 知识以不变速度（外生）增长：
t nLt L t gAt A 则可得到： Lt L0e nt At A0e gt
指数增长
假设时间t是连续的（非离散的）
通常使用CD生产函数（索洛）：
Q AL K A0 0 1 0 1
：劳动的产出弹性； ：资本的产出弹性； ：决定规模报酬性质；
替代弹性： 1
（一）模型的基本假定

满足索洛模型的CD函 数形式为：
Yt F ( Kt , At Lt ) K ( AL)1 ; Y K y F( ,1) k ;0 1 AL AL f '(k ) 0, f ''(k ) 0
对消费的影响（c为每单位有效劳动的平均消
费）
c
t0
t
2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平
储蓄率越高，人均收入水平会越高
收入的目的毕竟是消费，收入本身不是最终
目的 从消费最大化角度来确定一个最优储蓄率， 相对应的人均资本，就是资本的黄金规则水 平
2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平
索洛增长模型
陈斌开 中央财经大学经济学院
索洛模型
（一）模型的基本假定 （二）模型的动态学 （三）参数变化的影响 （四）收敛问题 （五）模型的主要结论
（一）模型的基本假定
1.关于生产函数的假定
Y t F K t , At Lt K t ：资本存量； Lt ：劳动力
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。 第三，稻田条件：

lim FK lim FL
满足这三个条件的 生产函数被称为新 古典生产函数。 因此，索洛增长模 型又被称为新古典 增长模型。
K 0 L 0 K
lim FK lim FL 0
L
（一）模型的基本假定
k=k*时各变量比例的变动：
Y / K：不变； Y / L：以速率 g增长； K / L：以速率 g增长。
证明
K的增长率：
(t ) (t ) (t ) L (t ) A (t ) k K K (n g ) k (t ) K (t ) L(t ) A(t ) K (t )
（1）劳动力的增长： L(t ) / L(t ) [ dL(t ) / dt ] / L(t ) n