24.2.1直线与圆的位置关系(2)

B A
●
I C
想一想
(1)任何一个三角形的内切圆可以作出几个？ 任何一个三角形有且仅有一个内切圆 (2)任一个圆有几个外切三角形？ 任一个圆有无数个外切三角形
回顾总结
外心：是指三角形外接圆的圆心
三角形各边垂直平分线的交点
内心：是指三角形内切圆的圆心
三角形各内角平分线的交点
应用新知
例2.如图: △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB 分别切于点D、E 、F, AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm, 求AF、BD、CE的长
1.直线和圆的位置关系
r o
d r o r d o
l
l
d
l
（1）直线l 和⊙O相离 （2）直线l 和⊙O相切 （3）直线l 和⊙O相交
d>r d=r d<r
2.证明直线是圆的切线有如下两种方法:
(1)若直线与圆的一个公共点已指明， 则连接这点和圆心，然后说明直线垂直于 经过这点的半径； ——连半径，证垂直 (2)若直线与圆的公共点未指明， 则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条 线段的长等于圆的半径． ——作垂直，证相等
P
探究1：从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点 分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结 论？并证明你所发现的结论。 B PA = PB
∠OPA=∠OPB
O
。
P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
C
c r .O r D a B
例：直角三角形的两直角 边分别是5cm，12cm .则其 2 ， 内切圆的半径为____ 6.5 外接圆的半径为——— a+b-c r= 2
A
E
F
O
B
D
C
应用新知
2.如图: Rt△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB 分别切于点D、E、F，且AB=5cm,CA=13cm, 求△ABC的内切圆的半径长
A
F
O
E
B
D
C
3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 边 BC、AC、AB的长分别为a、b、c， 求 其内切圆O的半径长。
A
b E
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。 B
。
O
P
A
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
例1.如图，PA ，PB是⊙O的两条切线，A，B 0 为切点，∠APB= 60 ，PO =2， （1）求∠ APO，∠AOB的度数 （2）求切线 PA的长 （3 ）连结AB，试问PO与AB有什么关系？
即圆的切线垂直于过切点的半径．
在⊙O中，如果直线L是⊙O的切线， 切点为A，那么半径OA与直线L是不是一 定垂直？ 切线的性质定理： O 垂直 经过切 圆的切线_______ l 半径 . 点的＿＿＿＿ A
几何符号表达：
∵L是⊙O的切线， ∴ OA⊥L
例1 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC 的中点，腰AB与⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线
切线的判定定理 :经过半径的外端 并且垂直于这条半径的直线是圆 的切线。
O
A
在⊙O中，如果直线L是⊙O的切线， 切点为A，那么半径OA与直线L是不是一 定垂直？
O l A
C
定理证明
证明：假设OA与CD不垂直，
． O
A M
D 过点O作一条半径垂直于CD，垂足为M， 则OM＜OA， 即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径， 因此CD与⊙O相交， 这与已知条件“直线CD与⊙O相切” 矛盾， 所以OA与CD垂直．
A
P
O
Bห้องสมุดไป่ตู้
练习：如图，已知AB是⊙O直径，AC， BD，CD都是⊙O的切线，A，B，E是切 点，连结CO，DO 求证：（1）AC+BD=CD （2）∠DOC=900
C A O E D
B
思考？
探究2:从一块三角形材料中能否剪下一个面积最大的圆,
A A
I
●
I ●
●
B
┓
C
B
┓
C
三角形与圆的位置关系
如图， 这圆叫做三角形的内切圆. 这个三角形叫做圆的外切三角形. 内切圆的圆心是三角形三条角平 分线的交点,叫做三角形的内心. 到三角形三边的距离相等
画一画
1.已知⊙O上有一点P,你能过点p作出⊙O的切线吗?
●
O
●
●
O
●
P
P
2.已知⊙O外有一点P,你还能过点P点作出⊙O的 切线吗?
切线长
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之 间的线段的长叫做切线长． A
切线与切线长的 区别与联系：
O
（1）切线是一条直线； （2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段 的长。