九年级(上)数学一元二次方程单元试题(创制一)
数学九年级上学期《一元二次方程》单元检测卷(带答案)
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷(满分120分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.若方程(m-1)x2+5x+m=0是关于x的一元二次方程,则m的取值不可能的是( )A . m>1B . m<1C . m=1D . m=02.已知x=2是关于x的一元二次方程A x2-3B x-5=0的一个根,则4A -6B +6的值是( )A . 1B . 6C . 11D . 123.某服装原价为200元,连续两次涨价A %后,售价为242元,则A 的值为( )A . 10B . 9C . 5D . 124.将方程3x2+6x-1=0配方,变形正确的是( )A . (3x+1)2-1=0B . (3x+1)2-2=0C . 3(x+1)2-4=0D . 3(x+1)2-1=05.用因式分解法把方程6x(x-7)=7-x分解成两个一次方程,正确的是( )A . x-7=0,6x-1=0B . 6x=0,x-7=0C . 6x+1=0,x-7=0D . 6x=7,x-7=7-x6.若一元二次方程(1-2k)x2+12x-10=0有实数根,则k的最大整数值为( )A . 1B . 2C . -1D . 07.x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若x12+x1x2+x22=2k2恰成立，则k的值为( )A . ﹣1B . 或﹣1C .D . ﹣或18.在一幅长80C m，宽50C m的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400C m2，设金色纸边的宽为xC m，那么x满足的方程是( )A . x2+130x﹣1400=0B . x2+65x﹣350=0C . x2﹣130x﹣1400=0D . x2﹣65x﹣350=09.如图，在▱A B C D 中，A E⊥B C 于E，A E=EB =EC =A ，且A 是一元二次方程x2＋2x－3=0的根，则▱A B C D 的周长为( )A . 4＋2B . 12＋6C . 2＋2D . 2＋或12＋610.如图，在长70m，宽40 m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分)，要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是()A . (40－x)(70－x)＝350B . (40－2x)(70－3x)＝2450C . (40－2x)(70－3x)＝350D . (40－x)(70－x)＝2450二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.若关于x的一元二次方程4x2-2A x-A x-2A -6=0常数项为4,则一次项系数______.12.已知(A -1)x2-5x+3=0是一个关于x的一元二次方程,则不等式3A +6>0的解集_______.13.已知A ，B ，C 分别是三角形的三边，则方程(A +B )x2+2C x+(A +B )=0的根的情况是_____．14.已知实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0，则代数式x2-x+1的值为▲三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.已知关于x的方程(m2－1)x2＋(m－1)x－2＝0.(1)当m为何值时，该方程为一元二次方程？(2)当m为何值时，该方程为一元一次方程？16.解方程(1):2x2－4x－5＝0.(公式法) (2) x2－4x＋1＝0.(配方法)(3)(y－1)2＋2y(1－y)＝0.(因式分解法)四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.已知关于x的方程x2﹣2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1、x2．(1)求k的取值范围;(2)若x1+x2=3x1x2﹣6，求k的值．18.汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2015年盈利1500万元，到2017年盈利2160万元，且从2015年到2017年，每年盈利的年增长率相同．(1)该公司2016年盈利多少万元？(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2018年盈利多少万元？五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.阅读以下材料,解答问题:例:设y=x2+6x-1,求y的最小值.解:y=x2+6x-1=x2+2·3·x+32-32-1=(x+3)2-10,∵(x+3)2≥0,∴(x+3)2-10≥-10即y的最小值是-10.问题:(1)设y=x2-4x+5,求y的最小值.(2)已知:A 2+2A +B 2-4B +5=0,求A B 的值.20.已知:关于x的方程x2﹣(k+2)x+2k=0(1)求证:无论k取任何实数值，方程总有实数根;(2)若等腰三角形A B C 的一边长A =1，另两边长B ，C 恰好是这个方程的两个根，求△A B C 的周长．六、(本题满分12分)21.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(3)要使商场平均每天盈利1600元,可能吗?请说明理由.七、(本题满分12分)22.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0.(1)判断方程根的情况;(2)若方程的两根x1,x2满足(x1-1)(x2-1)=5,求k值;(3)若△A B C 的两边A B ,A C 的长是方程的两根,第三边B C 的长为5,①则k为何值时,△A B C 是以B C 为斜边的直角三角形?②k为何值时,△A B C 是等腰三角形,并求出△A B C 的周长.八、(本题满分14分)23.合肥市某学校搬迁,教师和学生的寝室数量在增加,若该校今年准备建造三类不同的寝室,分别为单人间(供一个人住宿),双人间(供两个人住宿),四人间(供四个人住宿).因实际需要,单人间的数量在20至30之间(包括20和30),且四人间的数量是双人间的5倍.(1)若2015年学校寝室数为64个,2017年建成后寝室数为121个,求2015至2017年的平均增长率;(2)若建成后的寝室可供600人住宿,求单人间的数量;(3)若该校今年建造三类不同的寝室的总数为180个,则该校的寝室建成后最多可供多少师生住宿?参考答案一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.若方程(m-1)x2+5x+m=0是关于x的一元二次方程,则m的取值不可能的是( )A . m>1B . m<1C . m=1D . m=0[答案]C[解析][分析]根据一元二次方程的定义列式求出m的值，即可进行选择．[详解]∵(m−1)x2＋5x＋m＝0是关于x的一元二次方程，∴m−1≠0，解得m≠1，∴说法m＞1、m＜1、m＝0都是可以的，说法m＝1错误．故选:C ．[点睛]本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是A x2＋B x＋C ＝0(且A ≠0)．特别要注意A ≠0的条件．2.已知x=2是关于x的一元二次方程A x2-3B x-5=0的一个根,则4A -6B +6的值是( )A . 1B . 6C . 11D . 12[答案]C[解析][分析]把x＝2代入方程即可求得4A −6B 的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．[详解]∵x＝2是关于x的一元二次方程A x2−3B x−5＝0的一个根，∴4A −6B −5＝0，∴4A −6B ＝5，∴4A −6B ＋6＝5＋6＝11，即4A −6B ＋6＝11．故选:C ．[点睛]本题考查了一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．3.某服装原价为200元,连续两次涨价A %后,售价为242元,则A 的值为( )A . 10B . 9C . 5D . 12[答案]A[解析][分析]本题中原价为200元，第一次涨价后价格变为200(1＋A %)元，第二次在200(1＋A %)元的基础之上又涨A %，变为200(1＋A %)(1＋A %)即200(1＋A %)2元，从而可列出方程，进而求解．[详解]由题意得:200(1＋A %)2＝242，整理得(1＋A %)2＝1.21，解之得A %＝0.1＝10%或A %＝−2.1(舍去)．故A ＝10．故选:A ．[点睛]此类题目旨在考查增长率的定义，要注意增长的基数，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．4.将方程3x2+6x-1=0配方,变形正确的是( )A . (3x+1)2-1=0B . (3x+1)2-2=0C . 3(x+1)2-4=0D . 3(x+1)2-1=0[答案]C[解析][分析]首先把二次项系数化为1，然后进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．[详解]∵3x2＋6x−1＝0∴3(x2＋2x)−1＝0∴3(x2＋2x＋1−1)−1＝0∴3(x2＋2x＋1)−3−1＝0∴3(x＋1)2−4＝0故选:C ．[点睛]先把二次项的系数化为1，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5.用因式分解法把方程6x(x-7)=7-x分解成两个一次方程,正确的是( )A . x-7=0,6x-1=0B . 6x=0,x-7=0C . 6x+1=0,x-7=0D . 6x=7,x-7=7-x[答案]C[解析][分析]先移项，再提公因式就可以求出结论.[详解]移项，得6x(x-7)+(x-7)=0，提公因式，得，(6x+1)(x−7)＝0，∴6x+1＝0或x−7＝0故选:C .[点睛]本题考查了运用平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，提公因式法分解因式及“十字”相乘法分解因式的方法解一元二次方程的运用，解答时灵活运用分解因式的方法是关键．6.若一元二次方程(1-2k)x2+12x-10=0有实数根,则k的最大整数值为( )A . 1B . 2C . -1D . 0[答案]B[解析][分析]由方程根的情况可求得k的取值范围，再求其最大整数即可．[详解]∵一元二次方程(1−2k)x2＋12x−10＝0有实数根，∴△≥0且1−2k≠0，即122−4(1−2k)×(−10)≥0且1−2k≠0，解得k≤2.3且k≠0.5，∴k的最大整数值为2，故选:B ．[点睛]本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．7.x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若x12+x1x2+x22=2k2恰成立，则k的值为( )A . ﹣1B . 或﹣1C .D . ﹣或1[答案]A[解析]分析:根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，再根据x12+x1x2+x22=(x1+x2)2﹣x1x2把已知条件代入，即可求得k的值．详解:根据根与系数的关系，得:x1+x2=﹣1，x1x2=k．又x12+x1x2+x22=2k2，则(x1+x2)2﹣x1x2=2k2，即1﹣k=2k2，解得:k=﹣1或．当k=时，△=1﹣2＜0，方程没有实数根，应舍去，∴取k=﹣1．故选A ．点睛:注意:利用根与系数的关系求得的字母的值一定要代入原方程，看方程是否有实数根．8.在一幅长80C m，宽50C m的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400C m2，设金色纸边的宽为xC m，那么x满足的方程是( )A . x2+130x﹣1400=0B . x2+65x﹣350=0C . x2﹣130x﹣1400=0D . x2﹣65x﹣350=0[答案]B[解析]试题分析:根据题意可得:挂图的长为(80+2x)C m，宽为(50+2x)C m，根据题意可得:(80+2x)(50+2x)=5400，化简得:+65x－350=0.考点:一元二次方程的应用9.如图，在▱A B C D 中，A E⊥B C 于E，A E=EB =EC =A ，且A 是一元二次方程x2＋2x－3=0的根，则▱A B C D 的周长为( )A . 4＋2B . 12＋6C . 2＋2D . 2＋或12＋6[答案]A[解析]先解方程求得A ，再根据勾股定理求得A B ，从而计算出□A B C D 的周长即可．解:∵A 是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，∴A 2+2A ﹣3=0，即(A ﹣1)(A +3)=0，解得，A =1或A =﹣3(不合题意，舍去)．∴A E=EB =EC =A =1．在Rt△A B E中，A B =，∴B C =EB +EC =2，∴□A B C D 的周长═2(A B +B C )=2(+2)=4+2．故选A ．10.如图，在长70m，宽40 m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分)，要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是()A . (40－x)(70－x)＝350B . (40－2x)(70－3x)＝2450C . (40－2x)(70－3x)＝350D . (40－x)(70－x)＝2450[答案]B[解析]试题解析:由题意可得，(40-2x)(70-3x)=40×70×(1-)，整理，得(40-2x)(70-3x)=2450，故选B ．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.若关于x的一元二次方程4x2-2A x-A x-2A -6=0常数项为4,则一次项系数______.[答案]15[解析][分析]根据常数项是不含x的项，可得关于A 的方程，根据解方程，可得A 的值，可得一次项系数．[详解]由题意，得−2A −6＝4，解得A ＝−5．一次项的系数为−2A −A ＝−3A ＝−3×(−5)＝15，故答案为:15．[点睛]本题考查了一元二次方程的一般形式，利用常数项为零得出关于A 的方程是解题关键．12.已知(A -1)x2-5x+3=0是一个关于x的一元二次方程,则不等式3A +6>0的解集_______.[答案]A >-2且A ≠1[解析][分析](A −1)x2−5x＋3＝0是一个关于x的一元二次方程，所以(A −1)x2是二次项A −1≠0，解得A ≠1;解得不等式3A ＋6＞0，则A ＞−2，从而得到其解集是A ＞−2且A ≠1．[详解]∵(A −1)x2−5x＋3＝0是一个关于x的一元二次方程，∴(A −1)x2是二次项A −1≠0，∴A ≠1，∵不等式3A ＋6＞0，∴A ＞−2，∴不等式3A ＋6＞0的解集是A ＞−2且A ≠1．[点睛]要确定二次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．确定A ≠1，结合不等式3A ＋6＞0求出A 的解集．一元二次方程的一般形式是:A x2＋B x＋C ＝0(A ，B ，C 是常数且A ≠0)特别要注意A ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中A x2叫二次项，B x叫一次项，C 是常数项．其中A ，B ，C 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．13.已知A ，B ，C 分别是三角形的三边，则方程(A +B )x2+2C x+(A +B )=0的根的情况是_____．[答案]方程没有实数根．[解析]解:△=(2C )2﹣4(A +B )(A +B )=4C 2﹣4(A +B )2=4(C +A +B )(C ﹣A ﹣B )．∵A ，B ，C 分别是三角形的三边，∴A +B ＞C ，∴C +A +B ＞0，C ﹣A ﹣B ＜0，∴△＜0，则方程没有实数根．14.已知实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0，则代数式x2-x+1的值为▲[答案]7[解析]设x2-x=m，则原方程可化为:m2-4m-12=0，解得m=-2，m=6;当m=-2时，x2-x=-2，即x2-x+2=0，△=1-8＜0，原方程没有实数根，故m=-2不合题意，舍去;当m=6时，x2-x=6，即x2-x-6=0，△=1+24＞0，故m的值为6;∴x2-x+1=m+1=7三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.已知关于x的方程(m2－1)x2＋(m－1)x－2＝0.(1)当m为何值时，该方程为一元二次方程？(2)当m为何值时，该方程为一元一次方程？[答案](1)当m≠±1时，该方程为一元二次方程(2)当m＝－1时，该方程为一元一次方程．[解析][分析](1)根据一元二次方程的定义得到:m2-1≠0，由此可以求得m的值;(2)由一元一次方程的定义得到:m2-1=0，且m-1≠0，由此可以求得m的值.[详解](1)∵关于x的方程(m2－1)x2＋(m－1)x－2＝0为一元二次方程，∴m2－1≠0，解得m≠±1，即当m≠±1时，该方程为一元二次方程;(2)∵关于x的方程(m2－1)x2＋(m－1)x－2＝0为一元一次方程，∴m2－1＝0，且m－1≠0，解得m＝－1，即当m＝－1时，该方程为一元一次方程．[点睛]本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义．熟知一元一次方程的未知数的系数不等于零，一元二次方程的二次项系数不等于零是解题的关键．16.解方程(1):2x2－4x－5＝0.(公式法) (2) x2－4x＋1＝0.(配方法)(3)(y－1)2＋2y(1－y)＝0.(因式分解法)[答案](1)x=;(2)x=; (3)y=[解析]分析: (1)先找A ，B ，C ，再求△，根据根的判别式判断方程根的情况，再代入公式计算即可;(2)先移项，再方程两边同加上一次项系数一般半的平方，再直接开平方即可;(3)先变形，再提公因式，得出两个一元一次方程求解即可．详解:(1):2x2－4x－5＝0.∵A =2，B =−4，C =−5，B ²−4AC =(−4) ²−4×2×(−5)=56>0.∴x==.∴x₁=,x₂=.(2) x2－4x＋1＝0.x²−4x+4=4−1,即(x−2) ²=3.∴x₁=2+,x₂=2−.(3)∵(y−1) ²+2y(1−y)=0，∴(y−1) ²−2y(y−1)=0.∴(y−1)(y−1−2y)=0.∴y−1=0或y−1−2y=0.∴y₁=1,y₂=−1.点睛: 本题考查了解一元二次方程-因式分解法:先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了配方法和公式法解一元二次方程.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.已知关于x的方程x2﹣2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1、x2．(1)求k的取值范围;(2)若x1+x2=3x1x2﹣6，求k的值．[答案](1)k≥﹣(2)k=2[解析]试题分析:(1)、根据方程有两个实数根，从而得出△=，得出k的取值范围;(2)、根据韦达定理得出两根之和和两根之积，然后代入代数式求出k的值，然后根据k的取值范围得出答案.试题解析:(1)∵方程x2﹣2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1，x2，∴△≥0，即4(k+1)2﹣4×1×k2≥0，解得k≥﹣，∴k的取值范围为k≥﹣;(2)∵方程x2﹣2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=2(k+1)，x1x2=k2，∵x1+x2=3x1x2﹣6，∴2(k+1)=3k2﹣6，即3k2﹣2k﹣8=0，∴k1=2，k2=﹣，∵k≥﹣，∴k=2．18.汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2015年盈利1500万元，到2017年盈利2160万元，且从2015年到2017年，每年盈利的年增长率相同．(1)该公司2016年盈利多少万元？(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2018年盈利多少万元？[答案](1)2016年该公司盈利1800万元(2)预计2008年该公司盈利2592万元[解析]试题分析:(1)设每年盈利的年增长率为x，根据相等关系是“2017年盈利=2015年盈利×(1+每年盈利的年增长率)2”，列出方程并解方程求得增长率，再由“2016年盈利=2015年盈利×每年盈利的年增长率”计算出2016年盈利即可;(2)由“2018年盈利=2017年盈利×每年盈利的年增长率”计算出2018年盈利即可．试题解析:(1)设每年盈利的年增长率为x，根据题意得1500(1+x)2=2160解得x1=0.2，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)∴1500(1+x)=1500(1+0.2)=1800答:2016年该公司盈利1800万元．(2)2160(1+0.2)=2592答:预计2008年该公司盈利2592万元五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.阅读以下材料,解答问题:例:设y=x2+6x-1,求y的最小值.解:y=x2+6x-1=x2+2·3·x+32-32-1=(x+3)2-10,∵(x+3)2≥0,∴(x+3)2-10≥-10即y的最小值是-10.问题:(1)设y=x2-4x+5,求y的最小值.(2)已知:A 2+2A +B 2-4B +5=0,求A B 的值.[答案](1) y的最小值是1;(2) -2.[解析][分析](1)先把要求的式子进行变形，得出y＝(x−2)2＋1，再根据(x−2)2≥0，即可求出y的最小值;(2)先把A 2＋2A ＋B 2−4B ＋5＝0变形为(A ＋1)2＋(B −2)2＝0，再根据(A ＋1)2≥0，(B −2)2≥0，求出A 与B 的值，然后代入计算即可．[详解](1)∵y=x2-4x+，∴y=x2-4x+4+1=(x-2)2+1.∵(x-2)2≥0，∴(x-2)2+1≥1，即y的最小值是1;(2)∵A 2+2A +B 2-4B +5=0，∴A 2+2A +1+B 2-4B +4=0，∴(A +1)2+(B -2)2=0，∵(A +1)2≥0，(B -2)2≥0，∴A +1=0，B -2=0，∴A =-1，B =2，∴A B =-1×2=-2.[点睛]此题考查了配方法的应用，关键是通过配方对要求的式子进行变形，再根据完全平方式的性质求值．20.已知:关于x的方程x2﹣(k+2)x+2k=0(1)求证:无论k取任何实数值，方程总有实数根;(2)若等腰三角形A B C 的一边长A =1，另两边长B ，C 恰好是这个方程的两个根，求△A B C 的周长．[答案](1)无论取任何实数值，方程总有实数根;(2)△A B C 的周长为5．[解析]试题分析:(1)先计算出△=(k+2)2﹣4•2k=(k﹣2)2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况;(2)分类讨论:当B =C 时，△=0，则k=2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长;当B =A =1或C =A =1时，把x=1代入方程解出k=1，再解此时的一元二次方程，然后根据三角形三边的关系进行判断．试题解析:(1)△=(k+2)2﹣4•2k=(k﹣2)2，∵(k﹣2)2≥0，即△≥0，∴无论取任何实数值，方程总有实数根;(2)当B =C 时，△=(k﹣2)2=0，则k=2，方程化为x2﹣4x+4=0，解得x1=x2=2，∴△A B C 的周长=2+2+1=5;当B =A =1或C =A =1时，把x=1代入方程得1﹣(k+2)+2k=0，解得k=1，方程化为x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，不符合三角形三边的关系，此情况舍去，∴△A B C 的周长为5．[考点]根的判别式;根与系数的关系;三角形三边关系;等腰三角形的性质．视频六、(本题满分12分)21.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(3)要使商场平均每天盈利1600元,可能吗?请说明理由.[答案](1)商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利1008元;(2)每件衬衫应降价20元;(3)不可能.理由见解析.[解析][分析](1)根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答;(2)利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可;(3)同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．[详解](1)×(40-4)=1008(元).答:商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1008元.(2)设每件衬衫应降价x元，根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20，∵要尽量减少库存，∴x=20.答:每件衬衫应降价20元.(3)不可能.理由如下:令(40-x)(20+2x)=1600，整理得x2-30x+400=0，∵Δ=900-4×400<0，∴商场平均每天不可能盈利1600元.[点睛]此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系:平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．七、(本题满分12分)22.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0.(1)判断方程根的情况;(2)若方程的两根x1,x2满足(x1-1)(x2-1)=5,求k值;(3)若△A B C 的两边A B ,A C 的长是方程的两根,第三边B C 的长为5,①则k为何值时,△A B C 是以B C 为斜边的直角三角形?②k为何值时,△A B C 是等腰三角形,并求出△A B C 的周长.[答案](1) 见解析;(2) k=;(3) 当k=3时,△A B C 是等腰三角形,此时△A B C 的周长为14;当k=4时,△A B C 是等腰三角形,此时△A B C 的周长为16.[解析][分析](1)根据方程的系数结合根的判别式即可得出△＝1＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根;(2)根据根与系数的关系进行解答;(3)利用分解因式法可求出x1＝k＋1，x2＝k＋2．①不妨设A B ＝k＋1，A C ＝k＋2，根据B C ＝5利用勾股定理即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值;②根据(1)结论可得出A B ≠A C ，由此可找出△A B C 是等腰三角形分两种情况，分A B ＝B C 、A C ＝B C 两种情况考虑，根据两边相等找出关于k的一元一次方程，解方程求出k值，进而可得出三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即可得出结论[详解](1)∵在方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0中，Δ=B 2-4A C =[-(2k+3)]2-4(k2+3k+2)=1>0，∴方程有两个不相等的实数根;(2)∵x1+x2=2k+3，x1·x2=k2+3k+2，∴由(x1-1)(x2-1)=5，得x1·x2-(x1+x2)+1=5，即k2+3k+2-2k-3+1=5，整理得k2+k-5=0，解得k=;(3)∵x2-(2k+3)x+k2+3k+2=(x-k-1)(x-k-2)=0，∴x1=k+1，x2=k+2.①不妨设A B =k+1，A C =k+2，∴斜边B C =5时，有A B 2+A C 2=B C 2，即(k+1)2+(k+2)2=25，解得k1=2，k2=-5(舍去)，∴当k=2时，△A B C 是直角三角形;②∵A B =k+1，A C =k+2，B C =5，由(1)知A B ≠A C ，故有两种情况:(Ⅰ)当A C =B C =5时，k+2=5，∴k=3，A B =3+1=4，∵4，5，5满足任意两边之和大于第三边，∴此时△A B C 的周长为4+5+5=14;(Ⅱ)当A B =B C =5时，k+1=5，∴k=4，A C =k+2=6，∵6，5，5满足任意两边之和大于第三边，∴此时△A B C 的周长为6+5+5=16.综上可知，当k=3时，△A B C 是等腰三角形，此时△A B C 的周长为14;当k=4时，△A B C 是等腰三角形，此时△A B C 的周长为16.[点睛]本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟练掌握“当根的判别式△＞0时，方程有两个不等实数根．”是解题的关键．八、(本题满分14分)23.合肥市某学校搬迁,教师和学生的寝室数量在增加,若该校今年准备建造三类不同的寝室,分别为单人间(供一个人住宿),双人间(供两个人住宿),四人间(供四个人住宿).因实际需要,单人间的数量在20至30之间(包括20和30),且四人间的数量是双人间的5倍.(1)若2015年学校寝室数为64个,2017年建成后寝室数为121个,求2015至2017年的平均增长率;(2)若建成后的寝室可供600人住宿,求单人间的数量;(3)若该校今年建造三类不同的寝室的总数为180个,则该校的寝室建成后最多可供多少师生住宿?[答案](1) 2015至2017年的平均增长率为37.5%;(2)单人间的数量是28间;(3)该校的寝室建成后最多可供596名师生住宿.[解析][分析](1)可设2015至2017年的平均增长率是x，根据等量关系:2015年学校寝室数×(1＋平均增长率)2＝2017年学校寝室数，列出方程求解即可;(2)设双人间的数量为y间，则四人间的数量为5y间，根据不等量关系:单人间的数量在20至于30之间(包括20和30)，列出不等式，再根据整数的性质即可求解;(3)由于四人间的数量是双人间的5倍，可知四人间和双人间的数量是5＋1＝6的倍数，找到150～160间6的最大倍数，再进一步求出双人间和四人间的数量，以及单人间的数量，从而求解．[详解](1)设2015至2017年的平均增长率是x，依题意有64(1+x)2=121，解得x1=0.375，x2=-2.375.故2015至2017年的平均增长率为37.5%;(2)设双人间的数量为y间，则四人间的数量为5y间，依题意有20≤600-2y-4×5y≤30，解得25≤y≤26，∵y为整数，∴y=26，600-2y-4×5y=600-52-520=28.故单人间的数量是28间;(3)由于四人间的数量是双人间的5倍，则四人间和双人间的数量是5+1=6的倍数，双人间与四人间总数量在150~160之间.∵150~160间6的最大倍数是156，∴双人间156÷6=26(间)，四人间的数量26×5=130(间)，单人间180-156=24(间)，24+26×2+130×4=596(名).答:该校的寝室建成后最多可供596名师生住宿.[点睛]本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．。
人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法，类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF EB =，类似地，在AB 上折出点M 使AM AF =，表示方程210x x +-=的一个正根的线段是（ ）A ．线段BMB ．线段AMC ．线段AED ．线段EM2．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ） A ．3125x x +=- B ．31(25)x x +=-- C ．31(25)x x +=±- D ．3125x x +=±-3．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700x x -+=的根，则此三角形的周长是（ ） A ．10B ．17C ．20D ．17或204．关于x 的一元二次方程()25410a x x ---＝有实数根，则a 满足（ ）． A ．5a ≠B ．1a ≥且5a ≠C ．1a ≥D ．1a <且5a ≠5．日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律.小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数e 是（ ） 日一二 三 四 五 六1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25262728293031abcd efghi图1图2A ．17B ．18C ．19D ．206．用配方法解方程23620x x -+=时，方程可变形为（ ） A ．21(3)3x -= B ．21(1)33x -=C ．21(1)3-=x D ．2(31)1x -=7．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（ ） A ．6人 B ．7人 C ．8人 D ．9人 8．若关于x 的一元二次方程260x x c -+=有两个相等的实数根，则常数c 的值为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．99．已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m -+＝-有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m ≠B ．14mC ．14m <D ．14m >10．已知关于x 的二次方程()21210--+=k x kx （k ≠1），则方程根的情况是（ ） A ．没有实数根 B ．有两不等实数根 C ．有两相等实数根 D ．无法确定 11．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A ．x 2＝0B ．x ﹣3＝0C ．x 2﹣5＝0D ．x 2+2＝012．如图，BD 为矩形ABCD 的对角线，将△BCD 沿BD 翻折得到BC D '△，BC '与边AD 交于点E ．若AB ＝x 1，BC ＝2x 2，DE ＝3，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣4x+m ＝0的两个实根，则m 的值是（ ）A ．165B ．125C ．3D ．2二、填空题13．将方程2630x x +-=化为()2x h k +=的形式是______．14．关于x 的方程()210x k x x -++=有两个相等的实数根，则k =_______．15．已知一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1•x 2＝_____．16．已知()0n n ≠是一元二次方程240x mx n ++=的一个根，则m n +的值为______． 17．已知等腰三角形的边长是方程213360x x -+=的两个根，则这个等腰三角形的周长是______．18．若t 是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根，则判别式24b ac =-△与完全平方式()22M at b =+的大小关系为___________ 19．当m =___________时，方程(2150m m x mx --+=是一元二次方程．20．若()22214x y +-=，则22x y +=________．三、解答题21．解方程：（1）26160x x +-=． （2）22430x x --=．22．用适当的方法解一元二次方程： （1）()229x -=； （2）2230x x +-=． 23．回答下列问题． （1（2|1-． （3）计算：102(1)-++．（4）解方程：2(1)90x +-=．24．手工课上，小明打算用一张周长为40cm 的长方形白纸做一张贺卡，白纸内的四周涂上宽为2cm 的彩色花边，小明想让中间白色部分的面积大于彩色花边的面积，但又不能确定能否办到．请同学们帮助小明判断他是否能办到，并说明理由． 25．解答下列各题．（1）解方程：2(1)90x --=．（2）已知1x =，求225x x -+的值．26．解下列方程： （1）2320x x +-= （2）()220x x x -+-=【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】设正方形的边长为1，AF ＝AM ＝x ，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设正方形的边长为1，AF ＝AM ＝x ， 则BE ＝EF ＝12，AE ＝x+12， 在Rt △ABE 中， ∴AE 2＝AB 2+BE 2， ∴（x +12）2＝1+（12）2， ∴x 2+x -1＝0，∴AM 的长为x 2+x -1＝0的一个正根， 故选：B ． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是根据勾股定理列出方程，本题属于中等题型．2．C解析：C 【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解：22(31)(25)x x +=- 开方得31(25)x x +=±-， 故选：C ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．3．B解析：B 【分析】根据第三边是方程x 2﹣17x +70＝0的根，首先求出方程的根，再利用三角形三边关系求出即可． 【详解】解：∵217700x x -+=， ∴(10)(7)0x x --=，∴110x =，27x =，∵4610+=，无法构成三角形， ∴此三角形的周长是：46717++=． 故选B ． 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量．4．B解析：B 【分析】由方程有实数根可知根的判别式b 2-4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a 一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】 解：由已知得：()()()25044510a a -≠⎧⎪⎨--⨯-⨯-≥⎪⎩， 解得：a≥1且a≠5． 故选：B ． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．5．C解析：C 【分析】根据日历的特点得到8i e =+，8a e =-，列出一元二次方程解出e 的值． 【详解】解：根据日历的特点，同一列上下两个数相差7，前后两个数相差1， 则7h e =+，18i h e =+=+，7b e =-，18a b e =-=-， ∵最大的数与最小的数乘积是297，∴()()88297ai e e =-+=，解得19e =±，取正数，19e =． 故选：C ． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解．6．C解析：C 【分析】先移项得到2362x x -=-，再把方程两边都除以3，然后把方程两边加上1即可得到()2113x -=． 【详解】移项得：2362x x -=-， 二次系数化为1得：2223x x -=-， 方程两边加上1得：222113x x -+=-+， 所以()2113x -=． 故选：C ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．B解析：B 【分析】设参加活动的同学有x 人，从而可得每位同学赠送的贺卡张数为(1)x -张，再根据“共送贺卡42张”建立方程，然后解方程即可得． 【详解】设参加活动的同学有x 人， 由题意得：(1)42x x -=，解得7x =或6x =-（不符题意，舍去）， 即参加活动的同学有7人， 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．8．D解析：D 【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】 解：260x x c -+=有两个相等的实根，2(6)40c ∴∆=--=，解得：9c = 故选：D ． 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键．9．B解析：B 【分析】由方程有实数根即△＝b 2﹣4ac ≥0，从而得出关于m 的不等式，解之可得． 【详解】解：根据题意得，△＝b 2﹣4ac ＝[﹣（2m ﹣1）]2﹣4m 2＝﹣4m +1≥0， 解得：14m ， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键．10．B解析：B 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△21432k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭＞0，由此即可得出：无论k （k≠1）为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【详解】在方程()21210--+=k x kx 中，∵1a k =-，2b k =-，1c =， ∴()()224241b ac k k =-=---214302k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，∴无论k （k≠1）为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 故选：B ． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”．11．C解析：C 【分析】利用直接开平方法分别求解可得． 【详解】解：A ．由x 2＝0得x 1＝x 2＝0，不符合题意； B ．由x ﹣3＝0得x ＝3，不符合题意；C ．由x 2﹣5＝0得x 1=x 2=，符合题意；D ．x 2+2＝0无实数根，不符合题意；故选：C ． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．12．A解析：A 【分析】利用根与系数的关系得到x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝m ，AB ＋12BC ＝4，m ＝AB×12BC ，再利用折叠的性质和平行线的性质得到∠EBD ＝∠EDB ，则EB ＝ED ＝3，所以AE ＝AD−DE ＝5−2AB ，利用勾股定理得到AB 2＋（5−2AB ）2＝32，解得AB 或AB （舍去），则BC ，然后计算m 的值． 【详解】∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2−4x ＋m ＝0的两个实根， ∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝m ， 即AB ＋12BC ＝4，m ＝AB×12BC ， ∵△BCD 沿BD 翻折得到△BC′D ，BC′与边AD 交于点E ， ∴∠CBD ＝∠EBD ， ∵AD ∥BC ， ∴∠CBD ＝∠EDB ， ∴∠EBD ＝∠EDB ， ∴EB ＝ED ＝3，在Rt △ABE 中，AE ＝AD−DE ＝BC−3＝8−2AB−3＝5−2AB ，∴AB 2＋（5−2AB ）2＝32，解得AB ＝105-或AB ＝105+（舍去），∴BC ＝8−2AB ＝205+，∴m ＝12×105-×205+＝165． 故选：A ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a ，x 1x 2＝ca．也考查了矩形的性质和折叠的性质． 二、填空题13．【分析】将方程常数项移到方程右边左右两边都加上9左边化为完全平方式右边合并即可得到所求的结果【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】考查了解一元二次方程-配方法利用此方法解方程时首先将二次项系数化为1常数 解析：()2312x +=【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果． 【详解】 ∵2630x x +-= ∴263x x += ∴26939x x+++= ∴()2312x+=故答案为：()2312x+= 【点睛】考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解．14．-1【分析】根据方程有两个相等的实数根可得判别式△=0可得关于k 的一元二次方程解方程求出k 值即可得答案【详解】∵方程有两个相等的实数根∴解得：k1=k2=-1故答案为：-1【点睛】此题主要考查了根的解析：-1 【分析】根据方程()210x k x x -++=有两个相等的实数根可得判别式△=0，可得关于k 的一元二次方程，解方程求出k 值即可得答案． 【详解】∵方程()221(1)0x k x x x k x k -++=---=有两个相等的实数根，∴()2140k k =-+=，解得：k 1=k 2=-1， 故答案为：-1． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），根的判别式△=b 2-4ac ，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根；熟练掌握相关知识是解题关键．15．﹣【分析】由根与系数的关系即可求出答案【详解】解：∵一元二次方程2x2+3x ﹣1＝0的两个根是x1x2∴x1x2＝﹣故答案为：﹣【点睛】本题考查了根与系数的关系解题的关键是掌握根与系数的关系进行解题解析：﹣12【分析】由根与系数的关系，即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2， ∴x 1x 2＝﹣12， 故答案为：﹣12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系进行解题．16．【分析】根据一元二次方程的解的定义把代入得到继而可得的值【详解】∵是关于x 的一元二次方程的一个根∴即∵∴即故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义因式分解的应用注意：能使一元二次方程左右两 解析：4-【分析】根据一元二次方程的解的定义把x n =代入240x mx n ++=得到240n mn n ++=，继而可得m n +的值． 【详解】∵n 是关于x 的一元二次方程240x mx n ++=的一个根， ∴240n mn n ++=，即()40n n m ++=， ∵0n ≠，∴4n m ++，即4m n +=-， 故答案为：4-． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义、因式分解的应用．注意：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．17．22【分析】先利用因式分解法求出方程的两个根从而可得等腰三角形的两边长再根据等腰三角形的定义三角形的三边关系定理可得这个等腰三角形的三边长然后利用三角形的周长公式即可得【详解】因式分解得解得等腰三角解析：22 【分析】先利用因式分解法求出方程的两个根，从而可得等腰三角形的两边长，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理可得这个等腰三角形的三边长，然后利用三角形的周长公式即可得．【详解】213360x x -+=，因式分解，得(4)(9)0x x --=，解得124,9x x ==，等腰三角形的边长是方程213360x x -+=的两个根，∴这个等腰三角形的两边长为4,9，（1）当边长为4的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为4,4,9，此时449+<，不满足三角形的三边关系定理，舍去；（2）当边长为9的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为4,9,9，此时499+>，满足三角形的三边关系定理，则这个等腰三角形的周长为49922++=；综上，这个等腰三角形的周长为22，故答案为：22．【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．18．相等【分析】由t 是一元二次方程()的根利用公式法解一元二次方程即可得出t 的值将其代入完全平方式中即可得出M 的值由此即可得出结论【详解】∵t 是一元二次方程()的根∴或当时则；当时则；∴故答案为：相等【解析：相等【分析】由t 是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根利用公式法解一元二次方程即可得出t 的值，将其代入完全平方式()22M at b =+中即可得出M 的值，由此即可得出结论．【详解】∵t 是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根，∴t =t =当t =()224M b b b ac =-=-；当t =时，则()224M b b b ac =-=-； ∴24b ac M =-=．故答案为：相等．【点睛】本题考查了根的判别式、完全平方式以及利用公式法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程求出t 值是解题的关键．19．【分析】根据一元二次方程的定义解答【详解】∵是一元二次方程∴且解得故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程一般形式是（且）特别要注意【分析】根据一元二次方程的定义解答．【详解】∵(2150m m x mx -+-+=是一元二次方程，∴212m -=且0m +≠，解得m =，【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是20ax bx c ++=（且0a ≠）．特别要注意0a ≠的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．20．3【分析】根据题意将两边开方即可分情况得出的值【详解】解：两边开方得或故答案为：3【点睛】本题考查开方运算熟练掌握开方运算以及整体代换思想是解题的关键解析：3【分析】根据题意将()22214x y +-=两边开方，即可分情况得出22x y +的值．【详解】解：两边开方得2212x y +-=±， 223x y ∴+=或221x y +=-，220x y +≥，223x y ∴+=．故答案为：3．【点睛】本题考查开方运算，熟练掌握开方运算以及整体代换思想是解题的关键．三、解答题21．（1）18x =-，22x =；（2）122x +=，222x -=． 【分析】 （1）运用因式分解法求解即可；（2）运用公式法求解即可．【详解】解：（1）26160x x +-=()()820x x +-=解得18x =-，22x =．（2）22430x x --=，∵2a =，4b =-，3c =-，∴224(4)42(3)162440b ac -=--⨯⨯-=+=，x ===∴122x +=，222x =． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，在解答中注意计算的正确性．22．（1）15=x ，21x =-；（2）13x =-，21x =【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．【详解】解：（1）∵()229x -=，∴23x -=±，∴23x -=或23x -=-，∴15=x ，21x =-．（2）∴ 1a =，2b =，3c =-，则()22413160=-⨯⨯-=>△，∴x = 即13x =-，21x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程．通过开平方运算解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．公式法解一元二次方程的一般步骤，把方程化为一般形式确定各系数的值利用2b a- 求解． 23．（13；（2）12+；（3）4；（4）12x =，24x =-． 【分析】（1）利用用二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据二次根式的乘除法则以及绝对值的性质计算，再合并同类二次根式即可； （3）根据零指数幂，负整数指数幂以及完全平方公式计算，再合并同类二次根式即可； （4）移项，利用直接开平方法即可求解．【详解】（13=+3=； （2|11)=-1=1=； （3）102(1)-++121=+-4=-（4）2(1)90x +-=，移项得：2(1)9x +=，∴13x +=或13x +=-， 12x =，24x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法，二次根式的混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．24．不能办到，见解析【分析】设中间部分的面积为：S 求出S 与x 的关系式，即关于中间部分的面积公式，并求出该二次函数的最大值，即中间部分的最大值，与花边部分的面积相比较，若大于则能做到，小于则做不到．【详解】答：不能办到．理由：设纸的一边长为cm x则另一边为(20)cm x -．依题意得：彩色花边面积为：2222(204)64x x ⨯⨯+⨯⨯--=中间白色部分面积为：22(4)(16)2064(10)36S x x x x x =--=-+-=--+ 416x <<,当10x =时，白色部分面积最大为36．3664<，∴小明不能办到．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系，即：花边部分的面积=总面积-中间部分的面积；已知花边部分的面积，而中间部分的面积又不定，只需求出中间部分面积的最值与其比较即可．25．（1）14x =，22x =-；（2）6．【分析】（1）方程整理后，直接开平方即可求解；（2）代数式225x x -+配方整理成()214x -+后，把x 的值代入计算即可．【详解】（1）由原方程得2(1)9x -=， ∴13x -=±，解得：14x =，22x =-；（2）∵2225(1)4x x x -+=-+，将1x =代入得：原式)2114=-+ 24=+6=．【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法以及求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．26．（1）1x =，2x =2）11x =-，22x =【分析】 （1）直接应用公式法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解．【详解】解：（1）2320x x +-=1,2x ==∴1x =，2x （2）()220x x x -+-=因式分解可得：()()120x x +-=， 即10x +=或20x -=， 解得11x =-，22x =． 【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的求解方法是解题的关键．。
九年级上第一章一元二次方程单元测试含答案
第一章一元二次方程单元测试一、单选题（共10题；共30分）1.已知反比例函数y=abx ，当x＞0时，y随x的增大而增大，则关于x的方程ax2-2x+b=0的根的情况是（）A、有两个正根B、有两个负根C、有一个正根一个负根D、没有实数根2.若x1 ,x2是一元二次方程x2-7x+5的两根，则x1 +x2的值是（）A、7B、-7C、5D、-53.已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2-6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（）A、13 B、11 C、11或13 D、12或154.方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0有一个公共根，则a的值是（）A、0 B、1 C、2 D、35.（2015•长春）方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A、有两个相等的实数根B、只有一个实数根C、没有实数根D、有两个不相等的实数根6.已知一次函数y=ax+c的图象如图所示，那么一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A.方程有两个不相等的实数根B.方程有两个相等的实数根C.方程没有实数根D.无法判断7.关于x的方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A.k≤94B.k≥﹣94 且k≠0C.k≥﹣94D.k＞﹣94 且k≠08.一元二次方程x（x﹣2）=0的解是（）A.x=0 B.x1=2 C.x1=0，x2=2 D.x=29.已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A.k＜4B.k≤4C.k＜4且k≠3D.k≤4且k≠310.奉节特产专卖店销售2015年良种夏季脐橙，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种脐橙要想平均每天获利2240元，为减少库存，每千克脐橙应降价多少元？（）A、4元B、6元C、4元或6元D、5元二、填空题（共8题；共24分）11.一元二次方程x2=3x的解是：________ ．12.已知关于x的一元二次方程3（x﹣1）（x﹣m）=0的两个根是1和2，则m的值是________13.如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺．设绳索长OA=OB=x尺，则可列方程为。
九年级上册数学 第二十一章《一元二次方程》单元测试卷含答案解析
第二十一章《一元二次方程》单元测试卷一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A. ax2+bx+c=0B. x2﹣2=（x+3）2C. 2x+3x﹣5=0D. x2﹣1=02．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A. k＜1且k≠0 B. k≠0 C. k＜1 D. k＞13．已知a﹣b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一个根是（）A. 1B. ﹣2C. 0D. ﹣14．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0，原方程应变形为（）A. （x﹣1）2=2B. （x+1）2=2C. （x﹣1）2=1D. （x+1）2=15．方程x（x﹣1）=x的解是（）A. x=0B. x=2C. x1=0，x2=1D. x1=0，x2=26．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A. B. C. D.7．设x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则＝（）A. 6B. 8C. 10D. 128．方程的根的情况是（）.A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 有一个实数根D. 没有实数根9．关于x的方程的两根为－2和3，则m＋n的值为A. 1B. －7C. －5D. －610．某商店6月份的利润是2500元，8月份的利润达到3600元.设平均每月利润增长的百分率是，则可以列出方程（）A. B.C. D.11．某种童鞋原价为100元，由于店面转让要清仓，经过连续两次降价处理，现以64元销售，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A. 19%B. 20%C. 21%D. 22%12．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于的方程是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.二、填空题13．若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是____．14．一元二次方程3x2－x＝0的解是_____________________．15．x²-3x+____=(x-___)².16．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为__________________________. 17．已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.三、解答题18．若是方程的一个根，求代数式的值．19．用适当的方法解下列方程：(1)x2＋2x＋1＝4；(2)x2－x＝－.20．解方程（1）（x﹣5）2=16（直接开平方法）（2）x2﹣4x+1=0（配方法）（3）x2+3x﹣4=0（公式法）（4）x2+5x﹣3=0（配方法）21．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2=0．（1）已知x=2是方程的一个根，求m的值；（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当△ABC 是等腰三角形，求此时m的值.22．随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？23．要在长32m，宽20m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，六块绿地面积共570m2，问道路宽应为多宽？参考答案1．D2．A【解析】分析：由方程有两个不相等的实数根，可知∆>0,且二次项系数不等于0，据此列式求解即可.详解：由题意得，，解之得，k＜1且k≠0 .故选A.点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.3．D【解析】分析：一元二次方程ax2+bx+c=0中几个特殊值的特殊形式：x=1时，a+b+c=0；x=﹣1时，a﹣b+c=0．只需把x=﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c=0中验证a﹣b+c=0即可．详解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c=0中得：a﹣b+c=0，所以当a﹣b+c=0，且a≠0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根是﹣1．故选D．点睛：本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义．解题的关键是要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0中几个特殊值的特殊形式：x=1时，a+b+c=0；x=﹣1时，a﹣b+c=0．4．A【解析】分析：先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边利用完全公式表示即可．详解：x2﹣2x=1，x2﹣2x +1=2，（x﹣1）2=2．故选A．点睛：本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．5．D【解析】分析：首先移项，然后提取公因式x，即可得到x（x﹣1﹣1）=0，则可得到两个一次方程：x=0或x﹣2=0，继而求得答案．详解：∵x（x﹣1）=x，∴x（x﹣1）﹣x=0，∴x（x﹣1﹣1）=0，即x=0或x﹣2=0，解得：x1=0，x2=2．故选D．点睛：本题考查了因式分解法解一元二次方程．此题比较简单，解题的关键是找到公因式x，利用提取公因式法求解．6．D【解析】分析：由一元一次方程的系数，即可根据一元二次方程根的判别式△=b2-4ac求解判断即可.详解：①由a=1，b=0，c=-4，可得△=0+16=16＞0，有两个不相等的实数根，故不正确；②由x（x-1）=0，可得x2-x=0，即a=1，b=-1，c=0，所以△=1＞0，有两个不相等的实数根，故不正确；③由题意可得a=1，b=1，c=-1，所以△=1+4=5＞0，故有两个不相等的实数根，故不正确；④由题意可得a=1，b=1，c=1，所以△=1-4=-3＜0，方程没有实数根，故正确.故选：D.点睛：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.7．C【解析】分析：首先根据韦达定理得出，，最后根据完全平方公式的转化得出答案．详解：根据题意可得：，，∴，故选C．点睛：本题主要考查的是一元二次方程的韦达定理以及完全平方公式的转化，属于中等难度的题型．本题的方程比较简单，我们也可以直接通过求解的方法得出方程的解，然后代入进行计算．8．A【解析】分析：判断方程的根的情况,只要看根的判别式△=b²-4ac 的值的符号就可以了.详解：∵a=1,b=-4,c=-3 ,∴△=b²-4ac=(-4)²-4×1×(-3)=28>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选A.点睛：本题考查了根的判别式:一元二次方程的根与△=b²-4ac 有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.9．B【解析】分析:根据一元二次方程根与系数关系可求出m和n的值，然后代入到m＋n计算即可.详解: ∵-2+3=-m，∴m=-1.∵-2×3=n,∴n=-6,∴m+n=-1+(-6)=-7.故选B.点睛: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1,x2为方程的两个根，则x1,x2与系数的关系式：， .10．C【解析】分析：代入利润类问题的公式：a（1+x）n=b（a表示的是起始数据，b表示最后达到的水平，x表示增长率，n表示增长的次数）即可．详解：每月利润增长的百分率为x，则7月份的利润为：2500×(1+x)，8月份的利润为：2500×(1+x)(1+x)=2500×(1+x)2因为8月份的利润是3600，所以：2500×(1+x)2=3600故选：C.点睛：本题主要考查根据等量关系列出函数关系式.列函数关系式通常是利用“公式”或“方程的思想”来寻找等量关系的,同时还要注意哪个变量是自变量,哪个变量是因变量.列函数关系式时通常把因变量写在等号的左边,自变量和常数写在等号的右边,并把因变量的系数化为1. 11．B【解析】分析：设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x），第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x）（1-x），即100（1-x）2元，从而列出方程，求出答案．详解：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1-x）2元，根据题意，得100（1-x）2=64即（1-x）2=0.64解之，得x1=1.8，x2=0.2．因x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故选B．点睛：此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．12．C【解析】解：对于一元二次方程是蝴蝶方程知，又∵，∴，∴，∴，．故选．13．3【解析】分析：根据一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式，解不等式求得a的取值范围，然后找出此范围内的最大整数即可．详解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴25-4（3+a）≥0，且a+3≠0，即且a≠－3.∴整数a的最大值是3.故答案为：3.点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14．x1＝0，x2＝【解析】分析：利用因式分解法解方程即可.详解：3x2－x＝0，x（3x-1）=0，x=0或3x-1=0，∴x1＝0，x2＝.故答案为：x1＝0，x2＝.点睛：本题主要考查了一元二次方程的解法—因式分解法，用因式分解法解一元二次方程的步骤为：①将方程右边化为0，左边因式分解；②根据“若a·b＝0，则a＝0或b＝0”，得到两个一元一次方程；这两个一元一次方程的根就是原方程的根.15．,【解析】分析：根据配方法可以解答本题．详解：∵x2﹣3x+=（x﹣）2，故答案为：，．点睛：本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法．16．x（x-1）=110x-件礼物，【解析】试题解析：有x个小朋友参加聚会,则每人送出()1x x-=由题意得, ()1110.x x-=故答案为：()1110.17．x2-7x+12=0或x2+7x+12=0【解析】分析：先根据“两数的积是12，这两数的平方和是25”求出这两个数的值，然后根据根与系数的关系写出所求方程．详解：设这两个数为α、β．由题意，得：αβ=12，α2+β2=25．又∵α2+β2+2αβ﹣2αβ=（α+β）2﹣2αβ=25，∴（α+β）2﹣2×12=25，解得：α+β=±7．根据根与系数的关系可得：x2﹣7x+12=0或x2+7x+12=0．故答案为：x2﹣7x+12=0或x2+7x+12=0．点睛：将根与系数的关系与代数式变形相结合是一种经常使用的解题方法．18．17.【解析】试题分析：由题意把x=2代入方程变形得到m2-4m=2，再将代数式用乘法公式变形得到，然后代入m2-4m=2，即可求得代数式的值.试题解析：将代入，得：∴，∴，，，，．19．（1）x1=-3，x2=1；（2）x1=x2=【解析】分析：(1)、将方程的左边进行配方，利用直接开平方法的方法可以得出答案；(2)、首先进行移项，然后利用配方法求出方程的解．详解：(1)、，则x+1=±2，x=－1±2，解得：，．(2)、，则，解得：．点睛：本题主要考查的是一元二次方程的解法，属于基础题型．理解各种解方程的方法是解决这个问题的关键．20．（1）x 1=9，x 2=1；（2）x 1，x 2=2（3）x 1=1，x 2=﹣4；（4）x 1，x 2． 【解析】试题分析：（1）按要求利用直接开平方法进行求解即可；（2）按要求利用配方法根据配方法的步骤进行求解即可；（3）按要求利用公式法进行求解即可；（4）按要求利用配方法根据配方法的步骤进行求解即可.试题解析：（1）（x ﹣5）2=16，x-5=±4，x-5=4或x-5=-4，∴x 1=9，x 2=1；（2）x 2﹣4x+1=0，x 2﹣4x=-1，x 2﹣4x+4=-1+4，（x-2）2=3，x-，∴x 1，x 2=2（3）x 2+3x ﹣4=0，a=1，b=3，c=-4，b 2-4ac=32-4×1×(-4)=25>0，352x -±==， ∴x 1=1，x 2=﹣4；（4）x 2+5x ﹣3=0，x 2+5x=3，x 2+5x+252⎛⎫ ⎪⎝⎭=3+252⎛⎫ ⎪⎝⎭，253724x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，52x +=∴x 1，x 2．21．（1）m =0或m =1； (2)当12m m =-=-或时，△ABC 是等腰三角形.【解析】（1）将x =2代入方程即可得到关于m 的方程，解之即可得出答案；（2）利用求根公式用含m 的式子表示出方程的两个根，再根据等腰三角形两边相等分类讨论，即可得出答案.（1）∵x =2是方程的一个根，∴22﹣2(2m +3)+m 2+3m +2=0.∴m 2-m =0，∴m =0，m =1.(2) ∵()()22234321m m m ⎡⎤∆=-+-++=⎣⎦ ∴()2312m x +±=， ∴x =m +2，x =m +1.∵AB 、AC （AB ＜AC ）的长是这个方程的两个实数根，∴AC =m +2，AB =m +1.∵BC =，△ABC 是等腰三角形，∴当AB =BC 时，有1m +=∴1m =-当AC=BC 时，有+2m =2.m ∴=-综上所述，当12m m =-=-或时，△ABC 是等腰三角形.22．（1）10%；（2）不能，增加2名．【解析】试题分析：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x ，根据今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据3月份完成投递的快递总件数结合完成投递的快递总件数即可算出今年4月份的快递投递总件数，再根据投递快递总件数=每人投递件数×人数即可算出该公司现有的21名快递投递业务员最多能够完成的任务量，二者比较后即可得出结论．试题解析：(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x ，由题意，得()210112.1x ⨯+=，解得： 1210%,210%.x x ==-答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%.(2)4月：12.1×1.1=13.31(万件)21×0.6=12.6<13.31，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务。
九年级上册数学《一元二次方程》单元检测卷带答案
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷(满分120分,考试用时120分钟)一、选择题1．将一元二次方程2316x x +=化为一般式后,二次项系数和一次项系数分别为( )A ．3,-6B ．3,6C ．3,1D ． 23,6x x -2．解一元二次方程x 2＋4x －1＝0,配方正确的是( )A ．()223x +=B ．()223x -=C ．()225x +=D ．()225x -= 3．关于x 的方程x 2﹣3x +k ＝0的一个根是2,则常数k 的值为( )A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣24．定义：如果一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 满足0a b c ++=,那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知20(a 0)++=≠ax bx c 是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是( )． A ．a c = B ．a b = C ．a b = D ．a b c == 5．若关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=有一个根为0,则m 的值( ) A ．0 B ．1或2 C ．1 D ．26．若关于x 的一元二次方程(A ＋1)x 2＋x ＋A 2－1＝0的一个解是x ＝0,则A 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．07．某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是13,则每个支干长出( )A ．2根小分支B ．3根小分支C ．4根小分支D ．5根小分支8．关于x 的方程(m +n )x 2+mn 2-(m -n )x =0(m +n ≠0)的二次项系数与一次项系数的和为12,差为2,则常数项为( )A ．18B ．12C ．116D ．149．方程(x +1)2＝0的根是( )A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝x 2＝﹣1C ．x 1＝﹣1,x 2＝1D ．无实根10．若代数式2x 6x 5-+的值是12,则x 的值为( )A ．7或-1B ．1或-5C ．-1或-5D ．不能确定 11．将一元二次方程2230x x --=用配方法化成()2()0x h k k +=≥的形式为( )A ．2 (1)4x -=B ．2(1)1x -=C ．2 (1)4x +=D ．2 (1)1x +=12．如果关于x 的一元二次方程(m ﹣3)x 2+3x +m 2﹣9＝0有一个解是0,那么m 的值是( )A ．﹣3B ．3C ．±3D ．0或﹣3二、填空题13．若方程2234mx x x +-=是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是_____.14．在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为A *B ＝A 2﹣B 2,根据这个规则,方程(x +2)*5＝0的解为_____． 15．若方程2410x x -+=的两根12,x x ,则122(1)x x x 的值为__________．16．已知1x =是一元二次方程220x mx +-=的一根,则该方程的另一个根为_________．三、解答题17．已知：已知关于x 的方程220x mx m ++-=(1)求证：不论m 为何值,方程总有两个不相等的实数根.(2)若该方程的一个根为1,求m 的值及方程的另一个根.18．据统计某市农村2013年人均纯收入是10000元,预计2015年人均纯收入可达到12100元． ()1试求该市农村这两年人均纯收入的平均增长率；() 2按此增长速度2016年该市农村人均纯收入可达到多少元？19．选择适当方法解下列方程：(1)2510x x -+=(用配方法)； (2)()()2322x x x -=-；(3)2250x --=；(4)()()22231y y +=-.20．已知关于x 的方程()()22110m x m x m --++=． ()1m 为何值时,此方程是一元一次方程？()2m 为何值时,此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 21．先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题．求代数式y 2+4y+8的最小值．解：y 2+4y+8=y 2+4y+4+4=(y+2)2+4∵(y+2)2≥0,∴(y+2)2+4≥4∴y 2+4y+8的最小值是4．(1)求代数式m 2+m+1的最小值；(2)求代数式4﹣x 2+2x 的最大值．22．一玩具城以49元/个的价格购进某种玩具进行销售,并预计当售价为50元/个时,每天能售出50个玩具,且在一定范围内,当每个玩具的售价平均每提高0.5元时,每天就会少售出3个玩具()1若玩具售价不超过60元/个,每天售出玩具总成本不高于686元,预计每个玩具售价的取值范围； ()2在实际销售中,玩具城以()1中每个玩具的最低售价及相应的销量为基础,进一步调整了销售方案,将每个玩具的售价提高了%a ,从而每天的销售量降低了2%a ,当每天的销售利润为147元时,求a 的值．23．某林场计划修一条长750m ,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为21.6m ,上口宽比渠深多2m ,渠底比渠深多0.4m()1渠道的上口宽与渠底宽各是多少？()2如果计划每天挖土348m ,需要多少天才能把这条渠道挖完？24．阅读第(1)题的解题过程,再解答第(2)题：(1)例：解方程x 2﹣|x |﹣2＝0．解：当x ≥0时,原方程可化为x 2﹣x ﹣2＝0．解得：x 1＝2,x 2＝﹣1(不合题意．舍去)当x ＜0时,原方程可化为x 2+x ﹣2＝0．解得：x 1＝﹣2,x 2＝1(不合题意．舍去)∴原方程的解是x 1＝2,x 1＝﹣2．(2)请参照上例例题的解法,解方程x 2﹣x |x ﹣1|﹣1＝0．参考答案一、选择题1．将一元二次方程化为一般式后,二次项系数和一次项系数分别为( )A ．3,-6B ．3,6C ．3,1D ．[答案]A[解析][分析]一元二次方程的一般形式是：A x 2+B x+C =0(A ,B ,C 是常数且A ≠0)特别要注意A ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中A x 2叫二次项,B x 叫一次项,C 是常数项．其中A ,B ,C 分别叫二次项系数,一次项系数,常数项．[详解]解化成一元二次方程一般形式是,则它的二次项系数是3,一次项系数是-6． 故选A ．[点评]此题主要考查了一元二次方程的一般形式,关键把握要确定一次项系数,首先要把方程化成一般形式． 2316x x +=23,6x x -2316x x +=23-610x x +=2．解一元二次方程x 2＋4x －1＝0,配方正确的是( )A ．B ．C ．D ． [答案]C[解析][分析]根据一元二次方程的配方法即可求出答案．[详解]∵x 2+4x-1=0,∴x 2+4x+4=5,∴(x+2)2=5,故选：C ．[点评]此题考查一元二次方程,解题关键是熟练运用一元二次方程的解法．3．关于x 的方程x 2﹣3x +k ＝0的一个根是2,则常数k 的值为( )A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2 [答案]B[解析][分析]根据一元二次方程的解的定义,把x=2代入得4-6+k=0,然后解关于k 的方程即可.[详解]把x=2代入得,4-6+k=0,解得k=2.故答案为：B . ()223x +=()223x -=()225x +=()225x -=2x -3x+k=02x -3x+k=0[点评]本题主要考查了一元二次方程的解,掌握一元二次方程的定义,把已知代入方程,列出关于k 的新方程,通过解新方程来求k 的值是解题的关键.4．定义：如果一元二次方程满足,那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是( )．A ．B ．C ．D ．[答案]A[解析] [分析]因为方程有两个相等的实数根,所以根的判别式△=B 2-4A C =0,又A +B +C =0,即B =-A -C ,代入B 2-4AC =0得(-A -C )2-4A C =0,化简即可得到A 与C 的关系．[详解]∵一元二次方程A x 2+B x+C =0(A ≠0)有两个相等的实数根∴△=B 2−4A C =0,又A +B +C =0,即B =−A −C ,代入B 2−4A C =0得(−A −C )2−4A C =0,即(A +C )2−4A C =A 2+2A C +C 2−4A C =A 2−2A C +C 2=(A −C )2=0,∴A =C故选：A[点评]本题考查了一元二次方程根的判别式的应用,根据方程根的情况确定方程中字母系数之间的关系． 5．若关于的一元二次方程有一个根为0,则的值( )A ．0B ．1或2C ．1D ．2[答案]D 20(a 0)++=≠ax bx c 0a b c ++=20(a 0)++=≠ax bx c a c =a b =a b =a b c ==x 22(1)5320m x x m m -++-+=m[解析][分析]把x=0代入已知方程得到关于m 的一元二次方程,通过解方程求得m 的值；注意二次项系数不为零,即m-1≠0．[详解]解：根据题意,将x=0代入方程,得：m 2-3m+2=0,解得：m=1或m=2,又m-1≠0,即m≠1,∴m=2,故选：D ．[点评]本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m 的值必须满足：m-1≠0这一条件．6．若关于x 的一元二次方程(A ＋1)x 2＋x ＋A 2－1＝0的一个解是x ＝0,则A 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0[答案]A[解析][分析]方程的根即方程的解,就是能使方程两边相等的未知数的值,利用方程解的定义就可以得到关于A 的方程,从而求得A 的值,且(A ＋1)x 2＋x ＋A 2－1＝0为一元二次方程,即．[详解]把x=0代入方程得到：A 2－1＝0解得：A =±1． (A ＋1)x 2＋x ＋A 2－1＝0为一元二次方程 即．+10a ≠-1a ≠∴+10a ≠-1a ≠综上所述A =1.故选：A ．[点评]此题考查一元二次方程的解,解题关键在于掌握一元二次方程的求解方法.7．某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是13,则每个支干长出()A ．2根小分支B ．3根小分支C ．4根小分支D ．5根小分支[答案]B[解析][分析]先设每个支干长出x个分支,则每个分支又长出x个小分支,x个分支共长出x2个小分支；再根据主干有1个,分支有x个,小分支有x2个,列出方程；然后根据一元二次方程的解法求出符合题意的x的值即可. [详解]设每个支干长出x个分支,根据题意得1+x+x•x=13,整理得x2+x-12=0,解得x1=3,x2=-4(不符合题意舍去),即每个支干长出3个分支.故应选B .[点评]此题考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解．8．关于x 的方程(m +n )x 2+-(m -n )x =0(m +n ≠0)的二次项系数与一次项系数的和为,差为2,则常数项为( )A ．B ．C ．D ． [答案]A[解析][分析]二次项系数与一次项系数的和为,差为2列方程组求出m 、n 的值,然后可求出常数项. [详解]由题意得 , 解之得, ∴. 故选A .[点评]本题考查了一元二次方程的定义,方程的两边都是整式,只含有一个未知数,并且整理后未知数的最高次数都是2,像这样的方程叫做一元二次方程.对于一元二次方程A x 2+B x +C =0(A ≠0),其中A 是二次项系数,B 是一次项系数,C 是常数项.本题也考查了二元一次方程组的解法. mn 21218121161412()()()()122m n m n m n m n ⎧+--=⎪⎨⎪++-=⎩114m n =⎧⎪⎨=⎪⎩1114=228mn ⨯=9．方程(x +1)2＝0的根是( )A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝x 2＝﹣1C ．x 1＝﹣1,x 2＝1D ．无实根[答案]B[解析][分析]根据平方根的意义,利用直接开平方法即可进行求解.[详解](x +1)2＝0,解: x +1=0,所以x 1＝x 2＝﹣1,故选B .[点评]本题主要考查一元二次方程的解法,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的解法.10．若代数式的值是,则的值为( )A ．7或-1B ．1或-5C ．-1或-5D ．不能确定 [答案]A[解析][分析]首先把方程化为一般形式x 2-6x+5-12=0,即x 2-6x-7=0,用因式分解法求解．[详解]2x 6x 5-+12x 26512,x x -+=265120,x x -+-=2670,x x --=∴解得：故选:A .[点评]考查一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的解法是解题的关键.11．将一元二次方程用配方法化成的形式为( ) A ．B ．C ．D ．[答案]A[解析] [分析]先移项得,x 2-2x=3,然后在方程的左右两边同时加上1,即可化成(x+h)2=k 的形式．[详解]移项,得x 2-2x=3,配方,得x 2-2x+1=3+1,即(x-1)2=4．故选A ．[点评]本题考查了配方法的应用,将一元二次方程x 2-2x-3=0用配方法化成(x+h)2=k (k≥0)的形式,其关键步骤就是移项后,在方程的左右两边加上一次项系数一半的平方．12．如果关于x 的一元二次方程(m ﹣3)x 2+3x +m 2﹣9＝0有一个解是0,那么m 的值是( ) A ．﹣3B ．3C ．±3D ．0或﹣3[答案]A ()()710,x x -+=70,x -=10,x +=127, 1.x x ==-2230x x --=()2()0x h k k +=≥2 (1)4x -=2(1)1x -=2 (1)4x +=2 (1)1x +=[解析][分析]把X=0代入方程(m-3)x +3x+m -9=0中,解关于m 的一元二次方程,注意m 的取值不能使原方程对二次项系数为0[详解]把x=0代入方程(m-3)x +3X+m -9=0中得：m -9=0解得m=-3或3当m=3时,原方程二次项系数m-3=0,舍去,故选A[点评]此题主要考查一元二次方程的定义,难度不大二、填空题13．若方程是关于的一元二次方程,则的取值范围是_____.[答案][解析][分析]将原方程化为一般式,根据一元二次方程中,二次项系数不能为零求解即可.[详解]原方程可化为：, ∵方程是关于的一元二次方程,∴,即,故答案为：.[点评]本题考查了一元二次方程的定义,掌握二次项系数不能为零这一点是解题关键.222222234mx x x +-=x m 1m ≠()21340m x x -+-=2234mx x x +-=x 10m -≠1m ≠1m ≠14．在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为A *B ＝A 2﹣B 2,根据这个规则,方程(x +2)*5＝0的解为_____．[答案]3或-7[解析]据题意得,∵(x+2)*5=(x+2)2-52∴x 2+4x-21=0,∴(x-3)(x+7)=0,∴x=3或x=-7．15．若方程的两根,则的值为__________．[答案]5[解析][分析]根据根与系数的关系求出,代入即可求解．[详解]∵是方程的两根∴=-=4,==1 ∴===4+1=5,故答案为：5．[点评]此题主要考查根与系数的关系,解题的关键是熟知=-,=的运用． 16．已知是一元二次方程的一根,则该方程的另一个根为_________．[答案]-2[解析][分析]由于该方程的一次项系数是未知数,所以求方程的另一解根据根与系数的关系进行计算即可．[详解]2410x x -+=12,x x 122(1)x x x 12x x +12x x ⋅12,x x 2410x x -+=12x x +b a 12x x ⋅c a122(1)x x x 1122x x x x ++1212x x x x ++12x x +b a 12x x ⋅c a1x =220x mx +-=设方程的另一根为x 1,由根与系数的关系可得：1×x 1=－2, ∴x 1=－2.故答案为：－2.[点评]本题考查一元二次方程根与系数的关系,明确根与系数的关系是解题的关键.三、解答题17．已知：已知关于的方程(1)求证：不论为何值,方程总有两个不相等的实数根.(2)若该方程的一个根为1,求的值及方程的另一个根.[答案](1)见解析；(2),方程的另一个根是. [解析][分析](1)由方程的各系数 结合根的判别式可得出△>0,由此即可得出结论(2)将x=1代入原方程,得出关于m 的一元一次方程,解方程求出m 的值,将其代入原方程得出关于x 的一元二次方程,结合根与系数的关系得出方程的另一个解.[详解]解：(1)证明：∵在关于x 的方程中, ,所以不论为何值,方程总有两个不相等的实数根；(2)将x=1代入方程中得出：1+m+m-2=0解得：, x 220x mx m ++-=m m 12m =32-220x mx m ++-=()()22412240m m m =-⨯⨯-=-+>m 1m 2=∴原方程为： ∴ ∵∴ ∴,方程的另一个根是. [点评]本题考查的知识点是根的判别式以及根与系数的关系,熟记每个公式是解题的关键.18．据统计某市农村年人均纯收入是元,预计年人均纯收入可达到元． 试求该市农村这两年人均纯收入的平均增长率；按此增长速度年该市农村人均纯收入可达到多少元？[答案](1)；年该市农村人均纯收入可达到元．[解析][详解](1)设该市农村这两年人均纯收入的平均增长率为x,根据题意得：10000(1+x)2=12100,解得：x=0.1或x=﹣2.1(舍去),故该市农村这两年人均纯收入的平均增长率为；(元),答：年该市农村人均纯收入可达到元．[点评]本题主要考查一元二次方程的应用,解此题的关键在于先设出未知数x,再根据题意列出方程求解即可. 213022x x +-=1212b x x a +=-=-11x =232x =-12m =32-201310000201512100()1() 220161?0%()220161331010%()()212100110%13310⨯+=20161331019．选择适当方法解下列方程：(1)(用配方法)；(2)；(3)； (4). [答案](1),；(2),；(3),；(4),．[解析][分析][详解]解：,移项得：,配方得：,即,∴,∴,；,移项,得 ,,或, 2510x x -+=()()2322x x x -=-2250x --=()()22231y y +=-152x +=252x =12x =23x=1x=22x =132y =214y =-()21510x x -+=251x x -=-225255144x x -+=-+2521()24x -=52x -=152x=252x =()()223(2)2x x x -=-()23(2)20x x x ---=()()2360x x x ---=20x -=260x -=,；; , ∵,,∴,∴, ∴,； ; ．,,或,,． [点评]掌握一元二次方程的求根方法是解题的关键.20．已知关于的方程． 为何值时,此方程是一元一次方程？为何值时,此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．[答案](1)时,此方程是一元一次方程；(2)．一元二次方程的二次项系数、一次项系数,常数项．;[解析]12x =23x =()23250x --=2a=b =-5c =-()842548=-⨯⨯-=x ==12x =22x =()224(2)(31)y y +=-()231y y +=±-231y y +=-()231y y +=--132y =214y =-x ()()22110m x m x m --++=()1m ()2m 1m =1m ≠±21m -()1m -+m试题分析：(1)根据一元一次方程的定义可得=0,且m+1≠0,解得m 的值；(2)根据一元二次方程的定义可得≠0,可得m 的取值范围,然后写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．试题解析：解：(1)=0,且m+1≠0,解得m=1,答：当m=1时,此方程是一元一次方程；(2)≠0,解得m≠±1,答：当m≠±1时,此方程是一元二次方程,其二次项系数为,一次项系数为-(m+1),常数项为m ． 考点：一元一次方程的定义；一元二次方程的定义．21．先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题．求代数式y 2+4y+8的最小值．解：y 2+4y+8=y 2+4y+4+4=(y+2)2+4∵(y+2)2≥0,∴(y+2)2+4≥4∴y 2+4y+8的最小值是4．(1)求代数式m 2+m+1的最小值；(2)求代数式4﹣x 2+2x 的最大值．[答案](1)；(2)5． [解析][分析](1)根据题中的解法即可得到答案；(2)同理(1).[详解] 21m -21m -21m -21m -21m -34(1)m 2+m+1=m 2+m++=(m+)2+≥, 则m 2+m+1的最小值是； (2)4﹣x 2+2x=﹣x 2+2x ﹣1+5=﹣(x ﹣1)2+5≤5,则4﹣x 2+2x 的最大值是5．[点评]本题主要考查了配方法与偶次方的非负性,解此题的关键在于利用配方法得到完全平方式,再利用非负数的性质即可得解.22．一玩具城以元/个的价格购进某种玩具进行销售,并预计当售价为元/个时,每天能售出个玩具,且在一定范围内,当每个玩具的售价平均每提高元时,每天就会少售出个玩具若玩具售价不超过元/个,每天售出玩具总成本不高于元,预计每个玩具售价的取值范围； 在实际销售中,玩具城以中每个玩具的最低售价及相应的销量为基础,进一步调整了销售方案,将每个玩具的售价提高了,从而每天的销售量降低了,当每天的销售利润为元时,求的值．[答案]预计每个玩具售价的取值范围是； 或．[解析][分析]根据题意列不等式组即可得到结论；; 由知最低销售价为元/个,对应销售量为,根据题意列方程即可得到结论． [详解] 解：每个玩具售价元/个,根据题意得, 解得：, 1434123434344950500.53()160686()2()1%a 2%a 147a ()15660x ≤≤()225a =12.5a =()1()2()1565650503140.5--⨯=个()1x 6050495036860.5x x ≤⎧⎪-⎨⎛⎫-⨯≤ ⎪⎪⎝⎭⎩5660x ≤≤答：预计每个玩具售价的取值范围是；由知最低销售价为元/个,对应销售量为, 由题意得：,令,整理得：,解得：,, ∴或．[点评]考查一元二次方程的应用,解决问题的关键是读懂题意,根据题意列出方程和不等式进行求解即可. 23．某林场计划修一条长,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为,上口宽比渠深多,渠底比渠深多渠道的上口宽与渠底宽各是多少？如果计划每天挖土,需要多少天才能把这条渠道挖完？[答案]渠道的上口与渠底宽各是米和米; 需要天才能把这条渠道的土挖完．[解析][分析](1)设渠道深x 米,则上口的宽度是(x+2)米,渠底宽(x+0.4)米,根据断面面积为1.6平方米,列出方程,求解即可；(2)根据渠道的长为750米,求出渠道的体积,再根据每天挖土48立方米,即可求出需要的天数．[详解]设渠道深米,则上口的宽度是米,渠底宽米,根据题意得：, 5660x ≤≤()2()1565650503140.5--⨯=个()()561%491412%147a a ⎡⎤+-⨯⨯-=⎣⎦%t a =2321210t t -==114t =218t =25a =12.5a =750m 21.6m 2m 0.4m ()1()2348m ()1 2.8 1.2()225()1x ()2x +()0.4x +()()120.4 1.62x x x ⎡⎤+++=⎣⎦解得：(舍去),,则渠道的上口宽是：(米),渠底宽是(米)；答：渠道的上口与渠底宽各是米和米;∵渠道的长为米,∴渠道的体积为(立方米),∵每天挖土立方米,∴需要的天数是：(天),答：需要天才能把这条渠道的土挖完．[点评]考查了一元二次方程的应用,解题的关键是读懂题目,设出未知数,找出等量关系,列方程求解. 24．阅读第(1)题的解题过程,再解答第(2)题：(1)例：解方程x 2﹣|x |﹣2＝0．解：当x ≥0时,原方程可化为x 2﹣x ﹣2＝0．解得：x 1＝2,x 2＝﹣1(不合题意．舍去)当x ＜0时,原方程可化为x 2+x ﹣2＝0．解得：x 1＝﹣2,x 2＝1(不合题意．舍去)∴原方程的解是x 1＝2,x 1＝﹣2．(2)请参照上例例题的解法,解方程x 2﹣x |x ﹣1|﹣1＝0．[答案]x 1＝﹣0.5,x 2＝1[解析]12x =-20.8x =0.82 2.8+=0.80.4 1.2+= 2.8 1.2()2750750 1.61200⨯=4812004825÷=25[分析]解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．方程中|x﹣1|的值有两个,所以就要分情况讨论,然后去掉绝对值．一种是当x ﹣1≥0时,求解；另一种情况是当x﹣1＜0时,求解．[详解]解：当x﹣1≥0,即x≥1时,原方程可化为x2﹣x(x﹣1)﹣1＝0即x﹣1＝0,解得x＝1当x﹣1＜0,即x＜1时,原方程可化为x2﹣x(1﹣x)﹣1＝0即2x2﹣x﹣1＝0,解得x1＝﹣0.5,x2＝1(不合题意．舍去)∴原方程的解为x1＝﹣0.5,x2＝1[点评]本题考查了解一元二次方程的应用,易出错的地方是要分情况而解,所以学生容易出现漏解的现象．。
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试题(附答案)
12.用配方法解关于x的方程x2+ px + q = 0时，此方程可变形为
A.. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
解：∵x2+px+q=0，∴x2+px=﹣q，∴x2+px+ =﹣q+ ，∴（x+ ）2= ．故选B．
13.使分式 的值等于0的x的值是（ ）
A. 2B. -2C. ±2D. ±4
17.竖直上抛物体的高度h和时间t符合关系式h=v0t- gt2，其中重力加速度g以10米/秒2计算.爆竹点燃后以初速度v0=20米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米？
【答案】经过1秒或3秒时，爆竹离地15米.
【解析】
【分析】
根据题意，可以将h=15代入题目中的关系式h=v0t- gt2，从而可以求得t的值．
故答案可以 ：－7或－5或7等．
故答案是：7（答案不唯一）．
【点睛】考查了根与系数的关系，熟记并运用：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）是解题的关键．
二、选择题
9.下列方程中，关于x的一元二次方程是()
A. 3(x＋1)2＝2(x＋1)B. ＋ －2＝0
C.ax2＋bx＋c＝0D.x2＋2x＝x2－1
3.方程x2-16=0 根是___________；方程(x+1)(x-2)=0的根是___________.
4.一元二次方程 的求根公式为____________________．
5.如果关于x 方程x2+kx+3=0有一个根是-1，那么k=________，另一根为______．
6.若两数和为-7，积为12，则这两个数是___________．
数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试卷附答案
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷[考试时间：90分钟 满分：120分]一．选择题（共12小题）1．下列方程：①5x 2＝2y ；②2x （x +3）＝x 2﹣5；③0322=++x x ；④﹣x 2+5x ＝0；⑤3132++xx ；⑥mx 2+n x ＝0．其中是一元二次方程的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．一元二次方程2（x 2﹣1）﹣3x ＝0的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ）A ．1，﹣1，﹣3B ．1，﹣3，﹣1C ．2，﹣3，﹣1D ．2，﹣3，﹣23．下列语句中正确的是（ ）A ．方程x 2＝x 只有一个解x ＝1B ．方程x 2+1＝0没有解C ．对于任何实数m ，（m ﹣2）x 2+m x +2＝0是一元二次方程D ．x 2+4＝0不是一元二次方程4．若代数式x 2﹣2x ﹣3的值等于0，则x 的值是（ ）A ．3或﹣1B ．1或﹣3C ．﹣1D ．35．用配方法解一元二次方程m 2﹣6m +8＝0，结果是下列配方正确的是（ ）A ．（m ﹣3）2＝1B ．（m +3）2＝1C ．（m ﹣3）2＝﹣8D ．（m +3）2＝96．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +k ＝0的一个根是1，则另一个根是（ ）A ．5B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣77．若关于一元二次方程x 2+2x +k +2＝0的两个根相等，则k 的取值范围是（ ）A ．1B ．1或﹣1C ．﹣1D ．28．下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是（ ）A ．（x +1）（x ﹣3）＝2B ．2（x ﹣2）2＝x 2﹣4C ．x 2+3x ﹣1＝0D ．5（2﹣x ）2＝39．下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（ ）A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2﹣2x +3＝0C ．2x 2﹣2x ﹣3＝0D ．3x 2﹣6x +1＝010．某种药品经过两次降价由原来的每盒12.5元降到每盒8元，如果2次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x ，可列出的方程为（ ）A ．12.5（1+x ）2＝8B ．12.5（1﹣x ）2＝8C ．12.5（1﹣2x ）＝8D ．8（1+x ）2＝12.5 11．商场销售某种商品，四月份销售了若干件，共获利6万元，五月份把这种商品的单价降低了1元，但销售量比四月份增长了2万件，从而获得的利润比四月份多了2万元，求调价前每件商品的利润是多少元？设调价前每件商品的利润是x 元，则可列方程是（ ）A ．()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x xB ．()6261=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x C ．()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x D ．()6261=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 12．当x 为何值时，此代数式x 2+14+6x 有最小值（ ）A ．0B ．﹣3C ．3D ．不确定二．填空题（共4小题）13．方程()05112=+---mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 ．14．若（A 2+B 2）（A 2+B 2﹣2）﹣24＝0，则A 2+B 2＝ ．15．如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是x m ，根据题意可列方程为 ．第15题16．一个菱形的边长是方程x 2﹣7x +10＝0的一个根，其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 ．三．解答题（共8小题）17．用合适的方法解方程（1）（x +2）2﹣25＝0 （2）x 2+4x ﹣5＝0（3）x 2﹣5x +6＝0 （4）2x 2﹣7x +3＝0．18．当m 为何值时，一元二次方程x 2+（2m ﹣3）x +（m 2﹣3）＝0没有实数根？有实数根？19．A ，B ，C 是△A B C 的三边长，且关于x 的方程B （x 2﹣1）﹣2A x +C （x 2+1）＝0有两个相等的实根，求证：这个三角形是直角三角形．20．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0的两个实数根．（1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使得等式21121-=+k x x 成立？如果存在，请求出k 的值；如果不存在，请说明理由．21．用配方法求：（1）3x2﹣4x+8的最小值；（2）﹣2x2+4x﹣1的最大值．22．设x1，x2是一元二次方程3x2﹣x﹣4＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值．（1）（x1+5）（x2+5）；（2）x12x2+x1x22．23．大名童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．因新冠肺炎影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件．如果要盈利1200元，那每件降价多少元？24．合肥长江180艺术街区进行绿化改造，用一段长40m的篱笆和长15m的墙A B ，围城一个矩形的花园，设平行于墙的一边D E的长为x m；（1）如图1，如果矩形花园的一边靠墙A B ，另三边由篱笆C D EF围成，当花园面积为150m2时，求x的值；（2）如图2，如果矩形花园的一边由墙A B 和一节篱笆B F构成，另三边由篱笆A D EF围成，当花园面积是150m2时，求B F的长．答案与解析一．选择题（共12小题）1．下列方程：①5x 2＝2y ；②2x （x +3）＝x 2﹣5；③；④﹣x 2+5x ＝0；⑤；⑥mx 2+n x ＝0．其中是一元二次方程的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [分析]本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．[解答]解：①5x 2＝2y ，方程含有两个未知数，故错误；②2x （x +3）＝x 2﹣5，符合一元二次方程的定义，正确；③，符合一元二次方程的定义，正确；④﹣x 2+5x ＝0，符合一元二次方程的定义，正确； ⑤，不是整式方程，故错误； ⑥mx 2+nx ＝0，方程二次项系数可能为0，故错误．故选：C ．2．一元二次方程2（x 2﹣1）﹣3x ＝0的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ）0322=++x x 3132++xx 0322=++x x 3132++xxA ．1，﹣1，﹣3B ．1，﹣3，﹣1C ．2，﹣3，﹣1D ．2，﹣3，﹣2[分析]首先将一元二次方程化为一般形式，然后确定二次项系数、一次项系数、常数项即可．[解答]解：2（x2﹣1）﹣3x＝0化为一般形式得2x2﹣3x﹣2＝0，二次项系数、一次项系数、常数项依次是2，﹣3，﹣2，故选：D ．3．下列语句中正确的是（）A ．方程x2＝x只有一个解x＝1B ．方程x2+1＝0没有解C ．对于任何实数m，（m﹣2）x2+m x+2＝0是一元二次方程D ．x2+4＝0不是一元二次方程[分析]对于方程x2＝x和x2+1＝0分别解方程即可判断A 与B 是否正确；一元二次方程中二次项系数不能为0，所以m﹣2≠0，即m≠2；判定一个方程是否为一元二次方程，只要二次项系数不为0即可．[解答]解：A 、方程x2＝x的解还可以是0；B 、x2＝﹣1，∵任何数的平方一定大于或等于0，∴方程x2+1＝0没有解；C 、当m＝2时，（m﹣2）x2+m x+2＝0中m﹣2＝0，原方程不是一元二次方程；D 、x2+4＝0是一元二次方程；故选：B ．4．若代数式x2﹣2x﹣3的值等于0，则x的值是（）A ．3或﹣1B ．1或﹣3C ．﹣1D ．3[分析]根据题意得到x2﹣2x﹣3＝0，利用因式分解法解方程即可．[解答]解：依题意得：x2﹣2x﹣3＝0，整理，得（x﹣3）（x+1）＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1．故选：A ．5．用配方法解一元二次方程m2﹣6m+8＝0，结果是下列配方正确的是（）A ．（m﹣3）2＝1B ．（m+3）2＝1C ．（m﹣3）2＝﹣8D ．（m+3）2＝9[分析]移项，配方，即可得出选项．[解答]解：m2﹣6m+8＝0，m2﹣6m＝﹣8，m2﹣6m+9＝﹣8+9，（m﹣3）2＝1，故选：A ．6．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根是1，则另一个根是（）A ．5B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣7[分析]设方程x2﹣6x+k＝0的两根为α、β，由根与系数的关系可得出α+β＝6，结合α＝1即可求出β值．[解答]解：设方程x2﹣6x+k＝0的两根为α、β，则有：α+β＝6，∵α＝1，∴β＝6﹣1＝5．故选：A ．7．若关于一元二次方程x2+2x+k+2＝0的两个根相等，则k的取值范围是（）A ．1B ．1或﹣1C ．﹣1D ．2[分析]根据判别式的意义得到△＝22﹣4（k+2）＝0，然后解一次方程即可．[解答]解：根据题意得△＝22﹣4（k+2）＝0，解得k＝﹣1．故选：C ．8．下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是（）A ．（x+1）（x﹣3）＝2B ．2（x﹣2）2＝x2﹣4C ．x2+3x﹣1＝0D ．5（2﹣x）2＝3[分析]先观察每个方程的特点，根据方程的特点逐个判断即可．[解答]解：A 、不适合用分解因式解方程，故本选项错误；B 、最适合用分解因式解方程，故本选项正确；C 、不适合用分解因式解方程，故本选项错误；D 、不适合用分解因式解方程，故本选项错误；故选：B ．9．下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（）A ．x2+2x﹣3＝0B ．x2﹣2x+3＝0C ．2x2﹣2x﹣3＝0D ．3x2﹣6x+1＝0[分析]根据根与系数的关系对A 、C 、D 进行判断；根据判别式的意义对B 进行判断．[解答]解：A 、两实数根之和等于﹣2，所以A 选项错误；B 、△＝（﹣2）2﹣4×3＝﹣8＜0，方程没有实数根，所以B 选项错误；C 、两实数根之和等于1，所以C 选项错误；D 、两实数根之和等于﹣2，所以D 选项正确．故选：D ．10．某种药品经过两次降价由原来的每盒12.5元降到每盒8元，如果2次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x ，可列出的方程为（ ）A ．12.5（1+x ）2＝8B ．12.5（1﹣x ）2＝8C ．12.5（1﹣2x ）＝8D ．8（1+x ）2＝12.5 [分析]设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是12.5（1﹣x ），第二次后的价格是12.5（1﹣x ）2，据此即可列方程求解．[解答]解：根据题意得：12.5（1﹣x ）2＝8．故选：B ．11．商场销售某种商品，四月份销售了若干件，共获利6万元，五月份把这种商品的单价降低了1元，但销售量比四月份增长了2万件，从而获得的利润比四月份多了2万元，求调价前每件商品的利润是多少元？设调价前每件商品的利润是x 元，则可列方程是（ ）A ．B ．C ．D ． [分析]如果设调价前每件商品的利润是x 元，那么四月份的销量为，五月份的单件的利润为（x ﹣1）元，根据题意可列出方程．[解答]解：根据题意，四月份的销量为， 五月份的单件的利润为（x ﹣1）元，可得出方程为． 故选：A ．12．当x 为何值时，此代数式x 2+14+6x 有最小值（ ）()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ()6261=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x ()6261=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x 6x6()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x xA ．0B ．﹣3C ．3D ．不确定[分析]运用配方法变形x 2+14+6x ＝（x +3）2+5；得出（x +3）2+5最小时，即（x +3）2＝0，然后得出答案．[解答]解：∵x 2+14+6x ＝x 2+6x +9+5＝（x +3）2+5，∴当x +3＝0时，（x +3）2+5最小，∴x ＝﹣3时，代数式x 2+14+6x 有最小值．故选：B ．二．填空题（共4小题）13．方程是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 m ＝± ．[分析]根据一元二次方程的定义可得m 2﹣1＝2，且m ﹣1≠0，再解即可．[解答]解：由题意得：m 2﹣1＝2，且m ﹣1≠0，解得：，故答案为：．14．若（A 2+B 2）（A 2+B 2﹣2）﹣24＝0，则A 2+B 2＝ 6 ．[分析]把A 2+B 2视为一个整体，设A 2+B 2＝y ，则（A 2+B 2）（A 2+B 2﹣2）﹣24＝0可化为：y 2﹣2y ﹣24＝0，解出y 的值即可，[解答]解：设A 2+B 2＝y ，则原方程可化为：y 2﹣2y ﹣24＝0，解之得：y 1＝6，y 2＝﹣4，∴A 2+B 2＝6，故答案为6．15．如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是x m ，根据题意可列方程为 ． ()05112=+---mx x m m 3±=m 3±=m[分析]把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植花草部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．[解答]解：设道路的宽应为x 米，由题意有（30﹣x ）（20﹣x ）＝×30×20． 故答案为：（30﹣x ）（20﹣x ）＝×30×20． 16．一个菱形的边长是方程x 2﹣7x +10＝0的一个根，其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 24 ．[分析]利用因式分解法解方程得到x 1＝2，x 2＝5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算．[解答]解：x 2﹣7x +10＝0，（x ﹣2）（x ﹣5）＝0，x ﹣2＝0或x ﹣5＝0，∴x 1＝2，x 2＝5，∵菱形一条对角线长为6，∴菱形的边长为5，∵菱形的另一条对角线长＝，∴菱形的面积＝×6×8＝24． 三．解答题（共8小题）17．解方程（1）（x +2）2﹣25＝0 （2）x 2+4x ﹣5＝02121835222=-21（3）x2﹣5x+6＝0 （4）2x2﹣7x+3＝0．[分析]（1）先变形得到（x+2）2＝25，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）利用因式分解法解方程；（4）利用因式分解法解方程．[解答]解：（1）（x+2）2＝25，x+2＝±5，所以x1＝﹣7，x2＝3；（2）解：（x+5）（x﹣1）＝0，x+5＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣5，x2＝1；（3）解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，x﹣2＝0或x﹣3＝0，所以x1＝2，x2＝3；（4）解：（2x﹣1）（x﹣3）＝0，2x﹣1＝0或x﹣3＝0，所以x1＝，x2＝3．2118．当m 为何值时，一元二次方程x 2+（2m ﹣3）x +（m 2﹣3）＝0没有实数根？有实数根？[分析]先计算出△，△＝（2m ﹣3）2﹣4（m 2﹣3）＝﹣12m +21．当△＜0，即﹣12m +21＜0，原方程没有实数根，解不等式得到m 的范围；当△≥0，即﹣12m +21≥0，原方程有实数根，解不等式得到m 的范围．[解答]解：△＝（2m ﹣3）2﹣4（m 2﹣3）＝﹣12m +21，当△＜0，即﹣12m +21＜0，原方程没有实数根，解不等式﹣12m +21＜0得，m ＞； 当△≥0，即﹣12m +21≥0，原方程有实数根，解不等式﹣12m +21≥0得，m ≤． 所以当m ＞时，一元二次方程x 2+（2m ﹣3）x +（m 2﹣3）＝0没有实数根； 当m ≤时，一元二次方程x 2+（2m ﹣3）x +（m 2﹣3）＝0有实数根． 19．A ，B ，C 是△A B C 的三边长，且关于x 的方程B （x 2﹣1）﹣2A x +C （x 2+1）＝0有两个相等的实根，求证：这个三角形是直角三角形．[分析]先将原方程化为一元二次方程的一般形式，然后根据根的判别式△＝B 2﹣4A C ＝0证明．[解答]证明：由原方程，得（B +C ）x 2﹣2A x ﹣B +C ＝0，∵关于x 的方程B （x 2﹣1）﹣2A x +C （x 2+1）＝0有两个相等的实根，∴△＝4A 2﹣4（B +C ）（﹣B +C ）＝0，即A 2﹣C 2+B 2＝0，∴A 2+B 2＝C 2，∴这个三角形是直角三角形．4747474720．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0的两个实数根．（1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使得等式成立？如果存在，请求出k 的值；如果不存在，请说明理由． [分析]（1）根据方程的系数结合△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x 1+x 2＝2，x 1x 2＝k +2，结合，即可得出关于k 的方程，解之即可得出k 值，再结合（1）即可得出结论． [解答]解：（1）∵一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k +2）≥0，解得：k ≤﹣1．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝2，x 1x 2＝k +2．∵， ∴， ∴k 2﹣6＝0，解得：k 1＝﹣，k 2＝．又∵k ≤﹣1，∴k ＝﹣．21121-=+k x x 21121-=+k x x 21121-=+k x x 2221212-=+=+k k x x x x 666∴存在这样的k 值，使得等式成立，k 值为﹣． 21．用配方法求： （1）3x 2﹣4x +8的最小值；（2）﹣2x 2+4x ﹣1的最大值．[分析]（1）先提取二次项系数，再配方，根据任何数的完全平方一定是非负数即可求解；（2）把原式根据配方法化成：﹣2x 2+4x ﹣1＝﹣2（x ﹣1）2+1即可得出最大值．[解答]解：（1）3x 2﹣4x +8所以3x 2﹣4x +8的最小值是． （2）﹣2x 2+4x ﹣1＝﹣2（x 2﹣2x +1）+2﹣1＝﹣2（x ﹣1）2+1所以﹣2x 2+4x ﹣1的最大值是1．22．设x 1，x 2是一元二次方程3x 2﹣x ﹣4＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值．（1）（x 1+5）（x 2+5）；（2）x 12x 2+x 1x 22．[分析]根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝，x 1x 2＝﹣， 21121-=+k x x 63203233439434322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x 3203134（1）利用多项式乘法得到原式＝x 1x 2+5（x 1+x 2）+25，然后利用整体代入的方法计算；（2）利用因式分解得到原式＝x 1x 2（x 1+x 2），然后利用整体代入的方法计算．[解答]解：根据题意得x 1+x 2＝，x 1x 2＝﹣， （1）原式＝x 1x 2+5（x 1+x 2）+25＝﹣+5×+25＝； （2）原式＝x 1x 2（x 1+x 2）＝﹣×＝﹣． 23．大名童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．因新冠肺炎影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件．如果要盈利1200元，那每件降价多少元？[分析]设每件降价x 元，则平均每天可售出件，根据总利润＝每件童装获得的利润×销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．[解答]解：设每件降价x 元，则平均每天可售出件， 依题意，得：（40﹣x ）＝1200， 整理，得：x 2﹣30x +200＝0，解得：x 1＝10，x 2＝20．又∵要尽量减少库存，∴x ＝20．答：每件降价20元．24．合肥长江180艺术街区进行绿化改造，用一段长40m 的篱笆和长15m 的墙A B ，围城一个矩形的花园，31343431376343194⎪⎭⎫ ⎝⎛+4820x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4820x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4820x设平行于墙的一边D E 的长为xm ；（1）如图1，如果矩形花园的一边靠墙A B ，另三边由篱笆C D EF 围成，当花园面积为150m 2时，求x 的值；（2）如图2，如果矩形花园的一边由墙A B 和一节篱笆B F 构成，另三边由篱笆A D EF 围成，当花园面积是150m 2时，求B F 的长．[分析]（1）设平行于墙的一边D E 的长为xm ，则C D 的长为m ，利用矩形的面积公式即可得出关于x 的一元二次方程，解之取小于15的值即可得出结论；（2）设B F 的长为y ，利用矩形的面积公式即可得出关于y 的一元二次方程，解之即可求出结论． [解答]解：（1）由题意得：（40﹣x ）x ＝150； 解得：x 1＝10，x 2＝30，∵30＞15∴x ＝30舍去，∴x ＝10m ；答：x 的值为10m ；（2）设B F ＝y ；则（25﹣y ）（y +15）＝150； 解得y 1＝15，y 2＝﹣5（舍去），240x -2121答：B F的长为15m．。
人教版数学九年级数学上册第21章《一元二次方程》单元测试卷及答案
第21章《一元二次方程》单元测试卷一、单选题（每小题只有一个正确答案）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．+x2=0B．3x2﹣2xy=0C．x2+x﹣1=0D．ax2﹣bx=02．如果﹣1是方程x2﹣3x+k=0的一个根，则常数k的值为（）A．4B．2C．﹣4D．﹣23．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＜1且k≠0B．k≠0C．k＜1 D．k＞14．方程的解是A．x1=2，x2= 3B．x1=2，x2=1C．x=2D．x=35．已知关于x的方程有一个根为，则另一个根为A．5B．C．2D．6．若k＞4，则关于x的一元二次方程x2+4x+k=0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判断7．已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为A．13B．11或13C．11D．128．用配方法解一元二次方程，方程可变形为（）A．B．C．D．9．若α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，则的值是（）.A．B．－C．－D．10．如图所示，AC是一根垂直于地面的木杆，B是木杆上的一点，且AB=2米，D是地面上一点，AD=3米.在B处有甲、乙两只猴子，D处有一堆食物.甲猴由B往下爬到A处再从地面直奔D处，乙猴则向上爬到木杆顶C处腾空直扑到D处，如果两猴所经过的距离相等，则木杆的长为（）A．m B．2m C．3m D．5 m11．某旅游景点8月份共接待游客25万人次,10月份共接待游客64万人次．设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A．B．C．D．12．若实数范围内定义一种运算“﹡”，使a*b=（a+1）2-ab，则方程（x+2）*5=0的解为（）A．-2B．-2，3C．，D．，二、填空题13．写出一个一元二次方程，使其有一个根为1，并且二次项系数也为1，方程为________．14．已知关于的方程有两个相等的实根，则的值是__________．15．已知是关于方程的一个根，则的值为______．16．关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，那么负整数a=_____（一个即可）．17．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为________________________________．三、解答题18．关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围；若方程有一个根为，求m的值和另一根．19．解方程（1）x2﹣2x﹣2=0 （2）（x+1）2=4（x﹣1）2．20．解方程：(1)x2－6x－6＝0; (2)2x2－7x＋3＝0.21．解方程：方程已知x：y：：2：3，求的值．22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）若设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请将销售利润w表示成销售单价x的函数；（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？（3）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润.23．一块矩形场地，场地的长是宽的2倍．计划在矩形场地上修建宽都为2米的两条互相垂直的小路，如图，余下的四块小矩形场地建成草坪．四块小矩形草坪的面积之和为364平方米，求这个矩形场地的长和宽各是多少米？参考答案1．C【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程．由这四个条件对四个选项进行验证．A.不是整式方程，不是一元二次方程；B.含有两个未知数，不是一元二次方程；C.符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；D.二次项系数a不知是否为0，不能确定是否是一元二次方程．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．C【分析】把x=-1代入方程可得到关于k的方程，可求得k的值．【详解】∵-1是方程x2-3x+k=0的一个根，∴（-1）2-3×（-1）+k=0，解得k=-4，故选：C．【点睛】考查一元二次方程的解，把方程的解代入得到到关于k的方程是解题的关键．3．A分析：由方程有两个不相等的实数根，可知∆>0,且二次项系数不等于0，据此列式求解即可.详解：由题意得，，解之得，k＜1且k≠0 .故选A.点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.4．A【分析】利用因式分解法求解即可.【详解】,移项得：(x-2)²-(x-2)=0,提公因式得：（x-2）(x-2-1)=0,解得：.故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法求解即可.根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值．∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，设另一个根为m，∴﹣2+m=，解得：m=﹣1．故选B．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数．6．A【分析】计算根的判别式，利用k的取值范围进行判断其符号即可求得答案．【详解】∵x2+4x+k=0，∴△=42-4k=4（4-k），∵k＞4，∴4-k＜0，∴△＜0，∴该方程没有实数根，故选：A．【点睛】考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系（①当>0时，方程有两个不相等的实数根；②当=0时，方程有两个相等的实数根；③当<0时，方程没有实数根）是解题的关键．7．B【分析】由一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，利用因式分解法求解即可求得等腰的底边长和腰长，然后分别从当底边长和腰长分别为3和5时与当底边长和腰长分别为5和3时去分析，即可求得答案．【详解】，，或，即，，一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，当底边长和腰长分别为3和5时，，的周长为：；当底边长和腰长分别为5和3时，，的周长为：；的周长为：11或13．故选：B．【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系此题难度不大，注意分类讨论思想的应用．先把常数项7移到方程右边，然后把方程两边加上42即可．【详解】方程变形为：x2+8x=-7，方程两边加上42，得x2+8x+42=-7+42，∴（x+4）2=9．故选D．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半，这样把方程变形为：（x-）2=．9．C【解析】分析：根据根与系数的关系可得出α+β=-、αβ=-3，将其代入=中即可求出结论．详解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根，∴α+β=-，αβ=-3，∴===．故选：C．点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．10．B【分析】设BC=x，AC=（2+x），从题意可得到AB+AD=BC+CD可得CD=5-x，AB=2，AD=3，把数据代入DC2=AC2+AD2，可得到一元二次方程．【详解】设BC的长为x米，∵AB+AD=BC+CD，∴CD=5-x，∵AC2+AD2= DC2,∴(2+x)2+32=(5-x) 2，∴x= ，AC=2+ =2m．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及数形结合的思想，通过图形找到等量关系然后列方程求解．11．A【分析】设平均每月的增长率为，则由题意可得9月份的游客人数为：，10月份的游客人数为：，这样结合10月份共接收游客64万人即可列出方程了.【详解】设平均每月的增长率为，根据题意可得：.故选A.【点睛】读懂题意，设平均每月的增长率为，由此表达出10月的游客人数为是解答本题的关键.12．D【分析】根据运算“﹡”的规则，可将所求的方程化为：（x+2+1）2-5（x+2）=0，然后解这个一元二次方程即可．【详解】依题意，可将所求方程转化为：（x+3）2-5（x+2）=0，化简得：x2+x-1=0解得x1=，x2=，故选：D【点睛】本题考核知识点：本题是一个阅读型的问题，弄清新运算的规则是解答此类题的关键．13．答案不唯一，如x2＝1【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，确定一元二次方程．【详解】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（k≠0），一个二次项系数为1，即a=1，并且一个根也为1，可令b=0，c=－1，这样的一元二次方程是x2＝1．故答案为：答案不唯一，如x2＝1．【点睛】根据一元二次方程的定义，利用待定系数法求出方程的解析式．14．【解析】分析: 根据二次项系数非零及根的判别式△=0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出k的值.详解:：∵关于x的方程（k-1）x2-2kx+k-3=0有两个相等的实根，∴＝＝，解得：k=．故答案为：.点睛：本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键.15．16分析：先利用一元二次方程解的定义得到2-2=8，然后把变形为2（2-2），再利用整体代入的方法计算．详解：∵是关于方程的一个根，，∴2-2-8=0，∴2-2=8，∴=2(2-2)=2×8=16.故答案为：16.点睛：此题考查了一元二次方程的解，利用方程的解可以求方程中字母系数的值或与一元二次方程根有关的代数式的值，或将根代入方程，得到关于字母的代数式，充分利用含有这个字母的等量关系，将所求代数式变形或化简，求出其嗲数是的值，注意可利用整体代入思想. 16．﹣2【分析】先根据判别式的意义得到=42+8a≥0，解得a≥-2，然后在解集中找出负整数即可．【详解】∵关于x的方程ax2+4x-2=0（a≠0）有实数根，∴△=42+8a≥0，解得a≥-2，∴负整数a=-1或-2．故答案为-2．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式=b2-4ac．当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．17．125（1-x）2 =80．【解析】分析：等量关系为：原价×（1-下降率）2=80，把相关数值代入即可．详解：第一次降价后的价格为125×（1-x），第二次降价后的价格为125×（1-x）×（1-x）=55×（1-x）2，∴列的方程为125×（1-x）2=80，故答案为125×（1-x）2=80．点睛：本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．18．；（2）m的值为，方程的另一根为1．【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围还要注意二次项系数不为0；将代入方程可求得m的值，解方程即可求得方程的另一根，即可解题．【详解】关于x的一元二次方程有实数根，，解之得；是这个方程的一个根，，，方程为：，整理得：，方程的根为1．故m的值为，方程的另一根为1．【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，本题中代入求得m的值是解题的关键．19．（1）x1=1+，x2=1﹣；（2）x1=3，x2=．【分析】(1)配方法解；(2)因式分解法解.【详解】（1）x2﹣2x﹣2=0，x2﹣2x+1=2+1，（x﹣1）2=3，x﹣1=，x=1，x1=1，x2=1﹣，（2）（x+1）2=4（x﹣1）2．（x+1）2﹣4（x﹣1）2=0．（x+1）2﹣[2（x﹣1）]2=0．（x+1）2﹣（2x﹣2）2=0．（x+1﹣2x+2）（x+1+2x﹣2）=0．（﹣x+3）（3x﹣1）=0．x1=3，x2=．【点睛】考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．20．(1)x1＝3＋，x2＝3－(2)x1＝，x2＝3.【分析】【详解】解：（1）方程可化为x2－6x+9=6+9（x-3）2=15x-3=所以，x1=,x2=.（2）因为，a=2,b=-7,c=3>0所以，方程由两个不相等的实数根.所以， .所以，x1＝，x2＝3.【点睛】本题考核知识点：解一元二次方程. 解题关键点：熟练掌握一元二次方程的解法. 21．（1），；（2）．【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；（2）根据题意表示出x，y，z的值，进而代入求出答案．【详解】（1）x2+3x﹣4=0（x+4）（x﹣1）=0，则x1=﹣4，x2=1；（2）∵x：y：z=1：2：3，∴设x=a，则y=2a，z=3a，∴==﹣．【点睛】本题主要考查了比例的性质以及因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题的关键．22．（1）w=﹣10x2+1300x﹣30000; (2)玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，（3）销售价格定为65元时，可获得利润12250元.【分析】(1)根据销售量与销售单价之间的变化关系就可以直接求出w与x之间的关系式;(2)列出﹣10x2+1300x﹣30000=10000 的方程，求解即可;(3)把w=﹣10x2+1300x﹣30000化为顶点式，求出最大利润即可.【详解】（1）w=﹣10x2+1300x﹣30000；（2）依题意﹣10x2+1300x﹣30000=10000解之得：x1=50，x2=80答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；（3）∵w =﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10(x﹣65) 2+12250,∴当x=65，w取得最大值，∴销售价格定为65元时，可获得利润12250元.【点睛】本题考查了二次函数的应用及一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解题意正确列出二次函数的解析式.23．这个矩形场地的宽为15米，长为30米．【分析】将两条小路分别平移至矩形场地的边上，则四块小矩形场地的面积和变为一块大矩形的面积，根据矩形的面积公式列方程即可得出答案．【详解】解：设这个矩形场地的宽为x米，长为2x米，根据题意可得：(2x﹣2)(x﹣2)=364，则x2﹣3x﹣180=0，(x﹣15)(x+12)=0，解得：x1=15，x2=﹣12（舍去），2x=30（m），答：这个矩形场地的宽为15米，长为30米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，将两条小路平移至矩形的边上，使四块小矩形拼成一个大的矩形，然后利用矩形的面积公式列出方程是解决此题的关键．。
人教版初三数学上册第21章《一元二次方程》单元测试题含答案解析
7．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：
6
人教版初三数学上册第 21 章《一元二次方程》单元测试题含答案解析
x 输出
20.5 －13.75
20.6 －8.04
20.7 －2.31
20.8 3.44
20.9 9.21
分析表格中的数据，估计方程(x＋8)2－826＝0 的一个正数解 x 的大致范围为(C) A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7 C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9
17．(本题 8 分)小明用下面的方法求出方程 2 x－3＝0 的解，请你仿照他的方法求出下面另 外两个方程的解，并把你的解答过程写在下面的表格中． 方程 换元法得新方程 令 x＝t 则 2t－3＝0 解新方程 3 2 检验 3 t＝ ＞0 2 求原方程的解 3 x＝ ， 2 9 所以 x＝ . 4
(2)如果该养殖户第 3 年的养殖成本为 7.146 万元，求可变成本平均每年增长的百分率 x.
21．(本题 8 分)一张长为 30 cm，宽 20 cm 的矩形纸片，如图 1 所示，将这张纸片的四个角 各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图 2 所示，如 果折成的长方体纸盒的底面积为 264 cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．
人教版初三数学上册第 21 章《一元二次方程》单元测试题含答案解析
初三数学上册第 21 章《一元二次方程》单元测试题
(满分：120 分 考试时间：120 分钟)
一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．) 1.下列方程是关于 x 的一元二次方程的是( A．ax2＋bx＋c＝0 1 1 B. 2＋ ＝2 x x ) C．x2＋2x＝y2－1 ) D．3(x＋1)2＝2(x＋1)
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3《一元二次方程》单元测试题一、选择题 (共 8 题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。
每题 3 分,共 24 分)：1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( )2 2 3x 2 +3 x - 2 = 0A.(a-3)x =8 (a≠3)B.ax +bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5D. 572 下列方程中,常数项为零的是( )A.x 2+x=1 B.2x 2-x-12=12；C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+23. 一元二次方程 2x 2-3x+1=0 化为(x+a)2=b 的形式,正确的是()⎛ 3 ⎫2 ⎛ 3 ⎫2 1 ⎛ 3 ⎫2 1A. x - ⎪ = 16 ;B. 2 x - ⎪ = ;C. x - ⎪ = ;D.以上都不对⎝ 2 ⎭ ⎝ 4 ⎭ 16 ⎝ 4 ⎭ 164. 关于 x 的一元二次方程(a -1)x 2 + x + a 2 -1 = 0 的一个根是 0，则a 值为（）A 1B -1C 1或-1D1/25. 已知三角形两边长分别为 2 和 9,第三边的长为二次方程 x 2-14x+48=0 的一根, 则这个三角形的周长为( ) A.11 B.17 C.17 或 19 D.196. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x 2 - 8x + 7 = 0 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A 、 B 、3 C 、6 D 、9 x 2 - 5x - 6 7. 使分式 的值等于零的 x 是() A.6 B.-1 或 6 C.-1 D.-6x +18. 若关于 y 的一元二次方程 ky 2-4y-3=3y+4 有实根,则 k 的取值范围是( ) A.k>-7/4 B.k≥-7/4 且 k≠0 C.k≥-7/4D.k>7/4 且 k≠09. 已知方程 x 2 + x = 2 ，则下列说中，正确的是（）A 方程两根和是 1B 方程两根积是 2C 方程两根和是- 1D 方程两根积比两根和大 210. 某超市一月份的营业额为 200 万元,已知第一季度的总营业额共 1000 万元, 如果平均每月增长率为 x,则由题意列方程应为( )A.200(1+x)2=1000B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 二、填空题:(每小题 4 分,共 20 分)211.用法解方程3(x-2)2=2x-4 比较简便. 12.如果2x2+1 与4x2-2x-5 互为相反数,则x 的值为. 13. x2 - 3x += (x -)214.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1,则a、b、c 的关系是.15.已知方程3ax2-bx-1=0 和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= , b= .16.一元二次方程x2-3x-1=0 与x2-x+3=0 的所有实数根的和等于.17.已知3- 是方程x2+mx+7=0 的一个根,则m= ,另一根为.18.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是.1+119.已知x1 ，x2 是方程x 2- 2x - 1 = 0 的两个根，则x1 x2 等于.20.关于x 的二次方程x2 +mx +n = 0 有两个相等实根，则符合条件的一组m, n 的实数值可以是m =，n =.三、用适当方法解方程：（每小题 5 分，共 10 分）21. (3 -x)2 +x2 = 5 22. x2 + 2 3x + 3 = 0四、列方程解应用题：（每小题 7 分，共 21 分）23.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.24.如图所示，在宽为 20m，长为 32m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为 570m2，道路应为多宽？2325. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商场平均每天可多售出 2 件。
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九年级数学（上）学习质量测评 一元二次方程单元试题（一） 温馨提示： 亲爱的同学，勤奋好学的你很想显露自己的数学才华吧！老师提供了展示自我的平台，请你在限定时间内完成答卷，老师会给你作出恰当的评价！ 一、单选题（共10题；共30分） 1.方程x(x －1)＝2的解是（ ） A 、x ＝－1 B 、x ＝－2 C 、x 1＝1，x 2＝－2 D 、x 1＝－1，x 2＝2 2.若n （n≠0）是关于x 的方程x 2+mx+2n=0的根，则m+n 的值为（ ） A 、1 B 、2 C 、-1 D 、-2 3.关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m 的值（ ）. A 、 B 、 C 、 D 、或 4.如果等腰三角形的两边长分别是方程x 2﹣10x+21=0的两根，那么它的周长为（ ） A.17 B.15 C.13 D.13或17 5.方程2x 2﹣4x+1=0的解是（ ） A.1±2 B.2±22 C.1±22 D.2±2 6.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是﹣2，则这个方程是（ ） A.x 2+3x ﹣2=0 B.x 2+3x+2=0 C.x 2﹣3x+2=0 D.x 2﹣3x ﹣2=0 7.下列各方程中，是一元二次方程的为（ ） A.3x 2﹣7=2y+1 B.5x 2﹣6x+2 C.73 x= x22 +x ﹣ 5 D.ax 2+（b ﹣c ）x+5+c=0 8.方程（x ﹣2）（x+3）=0的解是（ ） A 、x=2 B 、x=﹣3 C 、x 1=﹣2，x 2=3 D 、x 1=2，x 2=﹣3 9.若关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx ﹣m ﹣ =0有两个相等的实数根，则m 的值为（ ） A 、m= B 、m=﹣ C 、m=2 D 、m=﹣2 10.关于x 的一元二次方程mx 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A 、m ＜1 B 、m≤1 C 、m ＜1且m≠0 D 、m ≤1且m≠0 二、填空题（共8题；共24分） 11.若x=1是一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根，那么a=________ .13.已知关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________14.已知一元二次方程x2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m=________．15.已知方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，则k=________．16.刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m=________．17.方程（3x+1）（2x﹣3）=1化成一般式的常数项是________．18.若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是________．三、解答题（共6题；共42分）19.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为大于1的整数，求方程的根．20.已知关于x的方程x2﹣6x+k+7=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k为正整数时，求方程的根．21.已知关于x的方程x2﹣（k+1）x﹣6=0．（1）求证：无论k的取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一根为2，试求出k的值和另一根．22.已知x2+（a+3）x+a+1=0是关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求实数a的值．23.已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2﹣k=0（k＞0）．问x=0可能是方程一个根吗？若是，求出k值及方程的另一个根，若不是，请说明理由．24.已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】【解答】∵x（x-1)=2，∴x2-x-2=0，∴（x-2)（x+1)=0，即x-2=0或x+1=0，∴x=2或x=-1，∴原方程的根为：x1=2，x2=-1．故选：D2、【答案】D【考点】一元二次方程的解【解析】【分析】把x=n代入方程得出n2+mn+2n=0，方程两边都除以n得出m+n+2=0，求出即可．【解答】∵n（n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，代入得：n2+mn+2n=0，∵n≠0，∴方程两边都除以n得：n+m+2=0，∴m+n=-2．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，能运用巧妙的方法求出m+n的值是解此题的关键，题型较好，难度适中．3、【答案】D【考点】解一元二次方程-因式分解法，根的判别式【解析】【解答】∵一元二次方程x2+（m-2）x+m+1=0有两个相等的实数根，∴△=0，即（m-2）2-4×1×（m+1）=0，整理，得m2-8m=0，解得m1=0，m2=8．故选D．【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，由程x2+（m-2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则有△=0，得到关于m的方程，解方程即可．4、【答案】A【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】【解答】解：∵等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21=0的两根，∴方程x2﹣10x+21=0的两个根分别是x1=3，x2=7，∴等腰三角形的腰长为7，底边长为3，∴等腰三角形的周长为：7+7+3=17．故选：A．【分析】首先求出方程x2﹣10x+21=0的两根，然后确定等腰三角形的腰长和底，进而求出它的周长．5、【答案】C【考点】解一元二次方程-公式法【解析】【解答】解：2x2﹣4x+1=0，∵a=2，b=﹣4，c=1，∴b2﹣4ac=8，∴x=4±84=1±22；故选C．【分析】先确定出a，b，c的值，再根据公式法求出方程的解即可．6、【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根之和是3，两根之积是﹣2，∴这个一元二次方程可为x2﹣3x﹣2=0．故选D．【分析】根据根与系数的关系可写出二次项系数为1的一元二次方程，然后对各选项进行判断．7、【答案】C【考点】一元二次方程的定义【解析】【解答】解：A、是二元二次方程，故A错误；B、是整式不是方程，故B错误；C、是一元二次方程，故C正确；D、a=0是不是一元二次方程，故D错误；故选：C．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．8、【答案】D【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】【解答】解：（x﹣2）（x+3）=0，x﹣2=0，x+3=0，x1=2，x2=﹣3，故选D．【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解析】【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx ﹣m ﹣ =0有两个相等的实数根， ∴b 2﹣4ac=（﹣2m ）2﹣4×1×（﹣m ﹣ ）=0，即（2m+1）2=0， 解得：m=﹣ ． 故选B ． 【分析】由方程有两个相等的实数根可知b 2﹣4ac=0，套入数据可得（2m+1）2=0，解该方程即可得出m 的值． 10、【答案】C 【考点】根的判别式 【解析】【解答】解：根据题意得m≠0且△=22﹣4m ＞0， 所以m ＜1且m≠0． 故选C ． 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△=22﹣4m ＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 二、填空题 11、【答案】-3 【考点】一元二次方程的解 【解析】【解答】解：将x=1代入得：1+2+a=0， 解得：a=﹣3． 故答案为：﹣3． 【分析】根据方程的根的定义将x=1代入方程得到关于a 的方程，然后解得a 的值即可． 12、【答案】（x+1）2=5 【考点】解一元二次方程-配方法 【解析】【解答】解：方程整理得：x 2+2x+1=5，即（x+1）2=5， 故答案为：（x+1）2=5 【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方即可得到结果． 13、【答案】m ＜9 【考点】根的判别式 【解析】【解答】解：∵关于x 的方程x 2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根， ∴△=b 2﹣4ac=（﹣6）2﹣4m=36﹣4m ＞0， 解得：m ＜9． 故答案为m ＜9． 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△=b 2﹣4ac ＞0，建立关于m 的不等式，解不等式即可求出m 的取值范围．【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×（m﹣1）=m2﹣4m+4=（m﹣2）2=0，∴m=2，故答案为：2．【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值即可．此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．15、【答案】1【考点】根的判别式【解析】【解答】解：∵方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4﹣4k=0，解得：k=1．故答案为：1【分析】由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．16、【答案】3或﹣1【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】【解答】解：把实数对（m，﹣2m）代入a2+b﹣1=2中得m2﹣2m﹣1=2移项得m2﹣2m﹣3=0因式分解得（m﹣3）（m+1）=0解得m=3或﹣1．故答案为：3或﹣1．【分析】根据题意，把实数对（m，﹣2m）代入a2+b﹣1=2中，得到一个一元二次方程，利用因式分解法可求出m的值．17、【答案】-4【考点】一元二次方程的定义【解析】【解答】解：（3x+1）（2x﹣3）=1，6x2﹣9x+2x﹣3﹣1=0，6x2﹣7x﹣4=0，常数项为﹣4，故答案为：﹣4．【分析】先化成一元二次方程的一般形式，即可得出答案．18、【答案】k≤9，且k≠0【考点】根的判别式即k≤9，且k≠0【分析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．三、解答题19、【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=22﹣4（k﹣2）＞0，即12﹣4k＞0，解得：k＜3．故k的取值范围为k＜3．（2）∵k为大于1的整数，且k＜3，∴k=2．将k=2代入原方程得：x2+2x=x（x+2）=0，解得：x1=0，x2=﹣2．故当k为大于1的整数，方程的根为x1=0和x2=﹣2．【考点】根的判别式【解析】【分析】（1）由方程有两个不等实数根可得b2﹣4ac＞0，代入数据即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据k为大于1的整数以及（1）的结论可得出k的值，将其代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出结论．20、【答案】解：（1）由已知得：△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4（k+7）=8﹣4k＞0，解得：k＜2．（2）∵k＜2，且k为正整数，∴k=1．将k=1代入到方程x2﹣6x+k+7=0中，得x2﹣6x+8=0，∵x2﹣6x+8=（x﹣4）（x﹣2）=0，解得：x1=4，x2=2．【考点】根的判别式【解析】【分析】（1）由方程有两个不等实数根，可得出b2﹣4ac＞0，代入数据即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（1）的结论和k为正整数，可得出k=1，将其代入到原方程中，利用分解因式法解方程即可得出结论．21、【答案】（1）证明：∵b2﹣4ac=[﹣（k+1）]2﹣4×1×（﹣6）=（k+1）2+24≥24，∴无论k的取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x=2代入方程x2﹣（k+1）x﹣6=0中，22﹣2（k+1）﹣6=0，即k+2=0，解得：k=﹣2．解得：x1=2，x2=﹣3．故k的值为﹣2，方程的另一根为﹣3．【考点】根的判别式【解析】【分析】（1）代入数据求出b2﹣4ac的值，由b2﹣4ac≥24可证出结论；（2）将x=2代入到原方程中得到关于k的一元一次方程，解方程可得出k值，将k值代入到原方程，解方程即可得出方程的另外一根．22、【答案】（1）证明：△=（a+3）2﹣4（a+1）=a2+6a+9﹣4a﹣4=a2+2a+5=（a+1）2+4，∵（a+1）2≥0，∴（a+1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意得x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，∵x12+x22=10，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=10，∴（a+3）2﹣2（a+1）=10，整理得a2+4a﹣3=0，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣，即a的值为﹣2+或﹣2﹣．【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【分析】（1）先计算判别式，再进行配方得到△=（a+1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，再利用完全平方公式由x12+x22=10得（x1+x2）2﹣2x1x2=10，则（a+3）2﹣2（a+1）=10，然后解关于a的方程即可．23、【答案】解：将x=0代入原方程得：k2﹣k=0，解得：k=0或k=1，∵k＞0，∴k=1，∴x=0能是方程一个根．把k=1代入原方程得：x2+2x=x（x+2）=0，解得：x1=0，x2=﹣2．∴方程的另一个根为x=﹣2【考点】一元二次方程的解【解析】【分析】将x=0代入原方程可得出关于k的一元二次方程，解之可得出k的值，结合k＞0即可确定k值，将k值代入原方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得出方程的另一个根，此题得解．24、【答案】解：∵关于x 的方程x 2+x+n=0有两个实数根﹣2，m ， ∴ ， 解得， ，即m ，n 的值分别是1、﹣2． 【考点】根与系数的关系 【解析】【分析】利用根与系数的关系知﹣2+m=﹣1，﹣2m=n ，据此易求m 、n 的值．。