课时作业2 向量的加法运算 高一数学(人教A版2019必修第二册)(解析版)

课时作业2 6.2.1 向量的加法运算
一、选择题
1．设a 表示“向东走5km ”，b 表示“向西走10km ”，则下列说法正确的是（ ）
A ．a b +表示“向东走15km ”
B ．a b +表示“向西走15km
C ．a b +表示“向东走5km ”
D ．a b +表示“向西走5km ”
【答案】D
【解析】因为a 表示“向东走5km ”，b 表示“向西走10km ”，两个向量方向相反，因为||||b a >，所以a b +与b 同向，且a b +的模为5，所以a b +表示“向西走5km ”.
2．平行四边形ABCD 中，BC CD DA ++=( )
A ．BD
B ．A
C C ．AB
D ．BA 【答案】D
【解析】BC CD DA BD DA BA ++=+=.
3．如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则OA OC OE ++=（ ）
A ．0
B ．0
C ．AE
D ．EA
【答案】A 【解析】连接OB .由正六边形的性质，可知OAB 与OBC 都是等边三角形，
OA AB BC OC ∴===∴四边形OABC 是平行四边形，
OA OC OB ∴+=，0OA OC OE OB OE ∴++=+=.
4．ΔABC 三边长分别是3，4，5，则AB BC CA ++=（ ）．
A ．12
B ．2
C ．0
D ．0
【答案】D
【解析】0AB BC CA AC CA +++==，故选D ．
5．（2021·全国高一课时练习）一条河的两岸平行,河水从西向东流去,一艘船从河的南岸某处出发驶向北岸,已知船的
速度的大小为120/v km h =,水流速度的大小为210/v km h =,要使该船行驶的航程最短,则船速1v 的方向与河的南岸上游的夹角为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90° 【答案】C
【解析】设船的实际速度为v ,则12v v v =+,记1v 与v 的夹角为θ,要使船行驶的航程最短,则2v v ⊥,
所以211sin 2
v v θ==,得30θ︒=,所以船速1v 的方向与河的南岸上游的夹角为60°. 6．（2021山东泰安一中高一月考）在平行四边形ABCD 中，若||||BC BA BC AB +=+则四边形ABCD 是（ ） A ．菱形
B ．矩形
C ．正方形
D ．不确定 【答案】B
【解析】由题意，在平行四边形ABCD 中，因为||||BC BA BC AB +=+,根据平面向量的加法的运算法则，可得||||BD AC =，即平行四边形ABCD 的对角线是相等的，所以该平行四边形ABCD 为矩形.
7．（多选题）在平行四边形ABCD 中，下列结论正确．．
的是（ ）. A ．0AB CD +=
B ．AD AB A
C += C ．A
D BD AB += D ．0AD CB +=
【答案】ABD
【解析】画出图像如下图所示.
对于A 选项，,C AB D 大小相等方向相反，0AB CD +=，结论正确.对于B 选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，AD AB AC +=，结论正确.对于C 选项，由于AD DB AB +=，故结论错误.对于D 选项，,AD CB ，大小相等方向相反，0AD CB +=，结论正确.
8．（多选题）（2021山东聊城三中高一月考）下列命题中错误．．
的是（ ） A.如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a b +的方向必与,a b 之一的方向相同； B.在△ABC 中，必有0AB BC CA ++=；
C.若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；
D.若,a b 均为非零向量，则a b +与a b
+一定相等.
【答案】ACD
【解析】若a 与b 为相反向量，则0a b +=，方向任意，故A 错；
由向量加法的三角形法则易知，B 正确；当A ，B ，C 三点共线时，0AB BC CA ++=，故C 错误； 若,a b 为非零向量，则a b a b +≤+，故D 错误.
二、填空题
9．化简：()()AB MB BO BC OM ++++=_________.
【答案】AC
【解析】()()
AB MB BO BC OM ++++=（AB BC +）MB ++（BO OM +） AC MB BM AC =++=+（MB BM +）0AC AC =+=.
10．（2021山东寿光一中高一期中）如图，在△ABC 中，D ，
E 分别是AB ，AC 上的点，
F 为线段DE 延长线上一点，DE ∥BC ，AB ∥CF ，连接CD ，那么(在横线上只填一个向量)：
①AB ＋DF ＝________；②AD ＋BC ＋FC ＝________. 【答案】AC AB AC
【解析】如图，因为四边形DFCB 为平行四边形，由向量加法的运算法则得： ①AB ＋DF ＝AB ＋BC ＝AC . ②AD ＋BC ＋FC ＝AD ＋DF ＋FC ＝AC .
11．在矩形ABCD 中，||2AD =，则||AB BC BD →→→
++=________．
【答案】4
【解析】在矩形ABCD 中，||2AD =，所以||||AB BC BD AB BD BC →→→→→→++=++||2||4AD BC AD →→→=+==. 12．（2021·山东淄博七中高一月考）已知长度相等的三个非零向量,,OA OB OC 满足OA OB OC ++=0,则由A ,B ,C 三点构成的△ABC 的形状是_____三角形.
【答案】等边
【解析】如图,以OA ,OB 为邻边作菱形OAFB ,则OA OB OF +=,
∴OF OC +=0,∴OF =-OC .∴O ,F ,C 三点共线.∵四边形OAFB 是菱形,∴CE 垂直平分AB.∴CA=CB. 同理,AB=AC,∴△ABC 为等边三角形.
三、解答题
13．长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图，一艘船从长江南岸A 地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h ，同时江水的速度为向东6km/h ．
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1°）
【解析】（1）如图．AD 表示船速，AB 表示江水速度，以AD ，AB 为邻边作ABCD ，
则AC 表示船实际航行的速度．
（2）在Rt ABC ∆中，||6AB =，||15BC =，于是22||||||616.2AC AB BC =+==≈． 因为||5tan 2
||BC CAB AB ∠==，所以利用计算器可得68CAB ︒∠≈． 因此船实际航行速度的大小约为16.2km/h ，方向与江水速度间的夹角约为68°．
14．如图:
(1)以A 为始点,作出a b +;
(2)以B 为始点,作出c d e ++;
(3)假设a 为单位向量,写出||a b +,c d +和c d e ++. 【解析】 (1)将a 起点移至A ,再将b 起点移至a 的终点,再连接A 与b 的终点即可得.
(2)将c 起点移至B ,再将d 起点移至c 的终点, 再将e 起点移至d 的终点,再连接B 与d 的终点即可得.
(3)由(1)有21|2|a b =+=+121c d =+-=,
由(2)有22+2c d e ++==
15．如图，已知D ，E ，F 分别为ABC ∆的三边BC ，AC ，AB 的中点，求证：0AD BE CF ++=．
【答案】见解析
【解析】由题意知AD AC CD =+，BE BC CE =+，CF CB BF =+， 由题意可知EF CD =，BF FA =．
∴()()()AD BE CF AC CD BC CE CB BF ++=+++++
()()AC CD CE BF BC CB =+++++ ()0AE EC CD CE BF =+++++
0AE CD BF AE EF FA =++=++=．。