七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第四讲 分式运算的方法和技巧(含答案)

第四讲 分式运算的方法和技巧趣题引路】 如何计算1111223(1)n n ++⋅⋅⋅+⨯⨯+？通分？行不通！注意1111111,,,12122323(1)n n =-=-⋅⋅⋅⨯⨯+11.1n n =-+这叫做裂项，因此原式111111(1)()()1223111nn n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++.从这里可以看出，分式的运算还有很多学问呢.本讲我们专门研究这一问题.知识拓展】分式的运算以分式的概念、分式的基本性质、运算法则为基础，其中分式的加减运算是难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，并以整式变形、因式分解为工具进行运算，通分一般有以下技巧： (1)等式中含有整式，其分母可看作1.(2)当分子的次数高于或等于分母次数时，可将其分离为整式与真分式之和. (3)先约分，后通分，可简化计算. (4)合理搭配，分组通分，化整为零 (5)拆项相消后通分. (6)分步通分，逐步计算 (7)换元通分法.一、分步通分法 例1 计算4242111111x x x x++++++-解析 如一次性通分，最简公分母为1－x 8，可以预见计算量将非常大，注意到后两个分母：(1＋x )(1－x )＝1－x 2，因此采取各个“击破”法，后两个先通分.解 原式＝422422111x x x ++++-＝444411x x ++- ＝881x -点评:解题中既要看到局部特征，又要有全局考虑二、裂项通分法例2 (“五羊杯”竞赛题)计算：222222()()()x yz y zx z xyx y z x yz x z x y zx x x y z xy+-++++--+++---解析 各分母相距甚远，似乎无从下手.考虑将每一分式拆成几个分式之和，化繁为简.解 原式＝()()()()()()()()()()()()x x z z x y y y x x y z z z y y z x x y x z y z y x z x z y -+++-++--+++-++-+＝()()()0x z y x z y x y x z y z y x z x z y ++-+-=+-++-+点评: 裂项需要很强的变形技巧：因式分解的熟练，添项减项的意识.数学技巧需要积累！三、先约分再通分 例3 (江西竞赛题)计算：33232322112(1).2212211x x x x x x x x x x -+++-+++-+--解析 注意到第一个分母可以分解成(x 3＋x 2)＋(x 2＋2x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)，与分子有公因式，可以约分，这样就轻松了.原式＝222222(1)(1)(1)(1)2(1)112(1)0.(1)(1)(1)(1)(1)(1)11(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++-++-+++-=+-=+++--++-+-+-四、换元通分法例4 化简222()()().()()()()()()y z z x x y x y x z y x y z z x z y ---++------ 解析 三个分母有关联，均与x 、y 、z 的差有关，若设法将分母换成单项式，计算量就小多了，换元试一试.解设x －y ＝a ，y －z ＝b ，z －x ＝c ，则a ＋b ＋c ＝0.所以222()()().()()()()()()y z z x x y x y x z y x y z z x z y ---++------ ＝2223333333[()3()]33b c a a b c a b ab a b c c abc c ac ab bc abc abc abc +++-++-++++====-------点评: 根据分式的特点选取道当的方法，往往事半功倍.五、部分分式法例5 分式226121022x x x x ++++可取的最小值为( )A.4B.5C.6D.不存在解析 当分式的分子为常数时，分母越大，分式值越小、将原式写成一个整式和另一个分式的和即可判断.原式＝2222(61212)222662222(1)1x x x x x x x ++-=-=-++++++ 因(x ＋1)2非负，所以当(x ＋1)2＝0时，22(1)1x ++有最大值，原式有最小值6－2＝4，选A.例6 如果211,31424643x A Bx x x x=++-+-，求A 、B 的值解析 两分式相等，若分母相等，则分子相等. 解 由条件得211(43)(6)31424(6)(43)x A x B x x x x x ⋅-+⋅+=+-+-即 11x ＝－(4A －3Ax ＋Bx ＋6B ) 化简得11x ＝(3A －B )x ＋(－4A －6B ). 从而3A －B ＝11，－4A －6B ＝0. 解得A ＝3，B ＝－2.好题妙解】佳题新题品味例1 (2003年山东菏泽中考题)已知a ＋1a＝5，则4221a a a ++＝ .解析 采取部分分式法，原式＝a 2＋1＋21a ＝(a ＋1a)2－1＝52－1＝24.例2 (2003年江苏南通)先化简代数式：222222()()a b a b aba b a b a b a b ⎛⎫+--÷ ⎪-+-+⎝⎭，然后请你自取一组a 、b 的值代入求值(所取a 、b 的值要保证原代数式有意义哟).解析 有两个途径：先算括号里的式，利用分配律计算.原式化简为a ＋b ，取a ＝1，b ＝2，原式＝3.例3 (江苏17届初二竞赛)已知111a b -=，则2a ab ba ab b+---的值等于 .解析 容易看出ab ≠0，利用分式的基本性质，分子分母都除以ab ，将111a b-=整体代入. 解 原式＝111110.11122b a b a+--+==----中考真题欣赏例1 (河南省中考题)已知x 、y 是方程组245x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解，求代数式332222122x x y x xy y x xy y y -⋅+--+++的值，[方法提示：x 3－y 3＝(x －y )(x 2＋xy ＋y 2)]解析 解方程组，求出x 、y 的值，分式乘法中的分子分母都是多项式，要分解因式，约分化简后，再代入数值求解.解 由方程245x y x y +=⎧⎨-=-⎩,解得23x y =-⎧⎨=⎩,()()()223322222221112222x y x xy y x x y x x x xy y x xy y y x xy y y x y y x y -++-⋅+-=⋅+-=+--+++++-- 当2x =-，3y =时 原式21211130192223353151515-=+-=+-=-=---.例2 （大连市中考题）阅读下列材料. ∵11111323⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭，111135235⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭，111157257⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭，…，1111171921719⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭， ∴19171751531311⨯++⨯+⨯+⨯ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1911712171512151312131121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-+-=1911717151513131121 119121919⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 解答问题：在和式111133557+++⨯⨯⨯中，第5项为 ，第n 项为 ，上述求和的想法是：通过利用 法则，将和式中的各分数转化为两个实数之差，使得除首末两项外的中间各项可以 ，从而达到求和的目的.解析 本题是中考的新题型，旨在考查学生的探究能力和逆向思维能力，以及归纳推理能力.通过观察不难发现，每一项分式的分母都是两个奇数的乘积，而且每一个数都比前一项的数多2，因为第3项为157⨯，如此类推第5项应为1911⨯； 再观察第一个数总比项数的2倍少1，即21n -（n 为项数），而第二个数总比项数的两倍多1，即21n +，故第n 项为()()12121n n -+；由分式的减法知()()1112221212121n n n n -=-+-+.故上述求和的想法是通过分式（数）的减法的运用，使得中间项两两消去，达到求和的目的. 答案1911⨯,()()12121n n -+,分式（数）的减法；两两相消.竞赛样题展示例1 （2003年“信利杯”竞赛题）已知1x =2111242x x x +-=+-- . 解析 第一、三项先通分，原式234x -=-，代入1x =，可得其值为.例2 （天津市初二数学竞赛初赛试题）计算：2232233223222244113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++--+++-+--+-. 解析 原式()()()()2224444222223a b b a b a b a b a b a b a b a b +=++---++-+ ()()()22224422a b a b a b a b a b a b ++=---++0=. 点评 分组通分，降低难度.例3 （“五羊杯”初中数学竞赛试题）若正数a 、b 、c 都增至3倍，则()()333a b c a b c bc ca ab++++++的值增至多少倍？解析 a 、b 、c 增加至3倍：()()()()()()3333333333339333333a b c a b c a b c a b c b c c a a bbc ca ab⎡⎤++++++++⎣⎦=⋅⋅+⋅+⋅++，所以原式的值增至9倍.过关检测】A 级1．已知12x x +=，则331x x += . 2．分式2123x x x ---有意义，x 的取值范围是（ ）A ．3x ≠B ．1x ≠±C ．3x ≠或1x ≠-D ．3x ≠且1x ≠-3．已知226x y xy -=-，0x >，0y >，则分式3x yx y+-的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．5- D ．54．（浙江省初二数学竞赛决赛）化简：212412221111n nS x x x x -=+++++++. B 级1．已知有理数a 、b 、c 满足0a b c ++=， 8abc =，那么111a b c++的值是（ ） A ．正数 B ．零 C ．负数 D ．不能确定2． 已知a 、b 满足1ab =，记1111M a b =+++，11a bN a b=+++，则M 、N 的关系为（ ） A ．M N > B ．M N = C ．M N < D ．不确定3．若对于3x =±以外的一切数28339m n xx x x -=+--均成立，则mn 的值是（ ） A ．8 B ．8- C ．16 D ．16-4．比较两数56789012346789012345与56789012356789012347的大小．5．化简：222222113 111112123x xx xx xx x x x xx x x⎡⎤+--+⎢⎥-⎛⎫+-+-÷⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥--+--+⎣⎦．6．计算：()()()()()()()()()()()() 222222y x z x z y x y x z y zx z y x y z x y z y z x y z x x z y ------+++-+-+-+-+-+-．7．求最大的正整数n，使得3100n+能被10n+整除．。