含参数不等式的解法
含参数不等式的解法PPT课件
当a 0时,则a a2,原不等式的解集为 {x | x a或x a2}
当a 0时,则a a2 0,原不等式的解集为 {x | x 0}
当0 a 1时,则a2 a,原不等式的解集为 {x | x a2或x a}
当a 1时,则a2 a 1,原不等式的解集为 {x | x 1}
a
1 1
原a 不等式的解集为：x
x
1或x
1 a
当 a 0 时，则不等式可转化为：(1)(x 1) 0
原不等式的解集为 x x 1
当 a 0 时，则原不等式可化为： (x 1)(x 1 ) 0 a
若0 a 1,则不等式的解集为:{x |1 x 1} a
若a 1,则不等式的解集为 :
sentence.
What’s the difference between “which” and “as” when they refer to a whole sentence?
Structure:
As was expected, we won the game. We won the game, which/as we expected. The number of the visitors, as/which we had
▪ Beijing,which is the capital of China, is a very beautiful city.
▪ This is the dictionary which helps me a lot.
2 意义不同
一般情况下，限制性定语从句是用来限制先 行词的意思，与先行词关系紧密，如果去掉的 话会使句子意思不明确；而非限制性定语从句 与先行词关系松散，常对先行词起附加说明的 作用，即使去掉也不影响句子的主要意思。
不等式含参题型及解题方法初一下册
不等式含参题型及解题方法初一下册在初中数学中，不等式是一个重要的概念，也是常见的题型之一。
初一下册的不等式主要包括含有参数的不等式，也就是题目中会给出一个或多个参数，需要我们在参数的取值范围内解决不等式。
下面我们来介绍一些常见的不等式题型及解题方法。
1.基本不等式的解法基本不等式一般是指只有加减乘除运算的不等式，例如x + 3 > 7。
这类不等式的解法与方程的解法类似，需要进行移项和化简。
对于不等式题目，我们要先消去不等式号两边的括号，然后将未知数（即参数）移到左侧，常数移到右侧。
最后，如果有乘除运算，需要根据乘除法的性质进行变形。
解出不等式的解集后，需要在给定参数的取值范围内判断解集的合法性。
2.基本不等式组的解法基本不等式组是指同时含有两个或多个不等式的题目，例如x + 2 > 4x - 1 < 3对于这类题目，我们首先要解决每个不等式，得到它们的解集。
然后将这些解集取交集，即得到整个不等式组的解集。
需要注意的是，如果不等式组的解集为空集，则表示该不等式组没有解。
3.组合不等式的解法组合不等式是指含有和或积的的不等式，例如2x + 3 > 7对于这类不等式，我们需要对每个不等式进行分析，将组合项拆开成多个不等式的和或积，并求解每个不等式。
最后，将每个不等式的解集合并，得到整个组合不等式的解集。
4.几何意义的不等式问题有时候，不等式问题可以通过几何图形来解决。
考虑一道题目：面积为12平方单位的矩形，宽度是a个单位，求长度的取值范围。
我们可以通过矩形的面积公式S = a * b，将题目转化为不等式a * b = 12。
然后我们可以根据不等式的性质，在平面直角坐标系上画出b =12/a的图像。
这个图像表示了矩形的可能形状，我们可以通过几何的方法解决这道题目。
以上介绍的是初一下册常见的不等式题型及解题方法。
不等式在数学中占有重要地位，对于初中阶段的学生来说，掌握不等式题型及解题方法十分重要。
一元二次不等式及其解法(含参数)
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例2 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
例3解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<； 例4解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x a a x 分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--a x a x ，故对应的方程必有两解。
本题 只需讨论两根的大小即可。
考向二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】►求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【训练2】 解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.考向三 不等式恒成立问题【例3】►已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[审题视点] 化为标准形式ax 2＋bx ＋c ＞0后分a ＝0与a ≠0讨论．当a ≠0时，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a ＜0，Δ＜0. 【训练3】 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．规范解答12——怎样求解含参数不等式的恒成立问题【解决方案】解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题.【试一试】设函数f(x)＝ax3－3x＋1，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，求实数a的值．。
含有参数的不等式组解法
含有参数的不等式组解法一般来说，含有参数的不等式组的解法可以分为以下几步：第一步：确定参数的取值范围。
根据问题的条件或约束，找出参数可以取得的范围。
这通常需要对问题进行分析和推理。
第二步：将未知数用符号表示。
用一个字母（通常是x）表示不等式中的未知数。
第三步：将所有不等式整理成标准形式。
标准形式是指不等式两边都是关于x的多项式，并且不等号是"≥"或"≤"，而不是">"或"<"。
如果不等式中有分数、根式或绝对值等，可以通过一系列代数运算将其转化为标准形式。
第四步：通过分析求解。
根据参数的取值范围，可以分析出不等式中的未知数的取值范围。
进而，通过对不等式中两边同时进行一系列代数运算，可以推导出满足条件的解集。
第五步：对参数取值范围的讨论。
有时，不等式的解集对参数的取值范围有限制。
这时，需要根据参数的取值范围对解集进行讨论。
这通常需要对不等式进行分析和推导，以找出对应于不同参数取值范围的解集。
下面我们通过一个例子来说明含有参数的不等式组的解法。
例题：设0＜a＜b＜c，解不等式组：，x-a，+，x-b，+，x-c，≤a+b+c解法：首先，确定参数的取值范围。
由于0＜a＜b＜c，所以参数a、b、c 的取值范围是存在实数并满足0＜a＜b＜c的范围。
然后，将未知数用符号表示。
我们用x表示不等式中的未知数。
接下来，将不等式整理成标准形式。
由于不等式中已经是绝对值不等式的形式，所以不需要进行额外的变形。
然后，通过分析求解。
根据绝对值的定义，我们可以得到以下三个不等式：1.当x≤a时，x-a，=a-x。
2.当a＜x≤b时，x-a，=x-a，x-b，=x-b。
3.当x＞b时，x-b，=x-b，x-c，=x-c。
将这三个不等式分别代入原始不等式，我们可以得到以下三个不等式：1.a-x+b-x+c-x≤a+b+c，即-3x+2b+c≤3a+2c。
含参数的不等式的解法
含参数的不等式的解法解含参数的不等式的一般步骤如下：步骤1：确定参数的取值范围对于含参数的不等式，首先要确定参数可以取哪些值。
常见的含参数的不等式有以下几种类型：1.参数出现在不等式的左右两侧：例如，a，x，<b，x，其中a和b是参数。
如果参数a和b都是非负数，则取值范围为[0,+∞)，如果参数a为负数而b为非负数，则取值范围为(-∞,+∞)。
2. 参数出现在不等式的系数中：例如，ax + b > 0，其中a和b是参数。
对于一次不等式，如果参数a为正数，则取值范围为(-∞, -b/a)；如果参数a为负数，则取值范围为(-b/a, +∞)。
对于二次不等式，需要讨论a的正负和零的情况，进而确定取值范围。
3.参数出现在不等式的指数中：例如，x^a>b，其中a和b是参数。
对于参数b，需要讨论它的正负和零的情况，进而确定取值范围。
对于参数a，如果它为正数，则不等式的解集为(0,+∞)；如果它为负数，则不等式的解集为(-∞,0)。
步骤2：解参数的不等式在确定参数的取值范围之后，可以根据具体的参数取值情况来解不等式。
根据参数的不同取值情况，采用不同的解法。
1.解参数出现在不等式的左右两侧的不等式：-如果参数都是非负数，则可以直接从不等式中消去绝对值符号，并分析绝对值的取值范围，最后得到一个简单的数学不等式。
-如果参数一个是负数一个是非负数，则需要分情况讨论，考虑不等式两侧的符号。
2.解参数出现在不等式的系数中的不等式：-如果参数是一个正数或负数，则根据参数的正负讨论不等式两侧的符号，并得到一个简单的数学不等式。
-如果参数是一个未知数，可以根据参数的取值范围来讨论参数与未知数的关系，然后解不等式。
3.解参数出现在不等式的指数中的不等式：-如果参数b是负数，则需要讨论不等式两侧的符号并得到一个简单的数学不等式。
步骤3：解不等式在解决了参数的不等式之后，可以根据参数的取值范围来解不等式，得到不等式的解集。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->21|x x当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22练习1 解不等式()00652≠>+-a a ax ax二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例2 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a xR x x 且； 当4>a 或4-<a 即>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或练习2 解不等式()()R m x x m∈≥+-+014122三、按方程2=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；例3 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--ax a x ，故对应的方程必有两解。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式经常使用的分类方式有三种： 一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，因此咱们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x变式：解关于x 的不等式1、0)2)(2(>--ax x ； 二、(1－ax )2<1.}2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(><>≠=><<<<=<<<x ax x a x x a ax x x a x x a x ax a 或时当时当或时当时当时当3、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)【解】由(1－ax )2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1.即ax (ax －2)<0.(1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故原不等式无解．(2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0，即x (x －2a )<0.∵2a <0，∴不等式的解集为{x |2a<x <0}．(3)当a >0时，不等式转化为x (ax －2)<0，又2a>0，}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><<x ax a a ax x a x x a x ax x a 时，当时，当时，当时，当或时，当二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情形。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
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含参数不等式的解法
含参数的不等式是指在不等式中存在一个或多个参数，通过改变参数的取值，使不等式成立或不成立。
解这类不等式通常需要用到代数方法。
一、一元不等式的参数解法
对于只含有一个未知数的一元不等式，可以使用参数解法。
首先，我们假设未知数为一个参数，然后求解这个参数的取值范围，使得不等式成立。
举例说明：
解不等式，x+2，<1，其中x是实数。
我们将未知数x设为参数t，即x=t。
则原不等式可以改写为，t+2，<1、要使不等式成立，必须有-1<t+2<1，即-3<t<-1
所以，参数t的取值范围为-3<t<-1
二、含有二元或多元不等式的参数解法
对于含有二元或多元的不等式，也可以采用参数解法来求解。
举例说明：
解不等式(ax+b)/(cx+d)>0，其中a，b，c，d为实数，且ac≠0。
可以将未知数x设为参数t，即x=t。
则原不等式可以改写为
(at+b)/(ct+d)>0。
我们设函数f(t)=(at+b)/(ct+d)，其中t为参数。
要使不等式(at+b)/(ct+d)>0成立，需要满足两个条件：
1.f(t)不等于0；
2.f(t)为正数。
将f(t)=(at+b)/(ct+d)令为0，得到(at+b)/(ct+d)=0，解得t=-b/a。
由于ac≠0，所以c≠0。
将f(t)=(at+b)/(ct+d)分成两种情况讨论：情况1：若c>0，则当t<-d/c或t>-b/a时，f(t)同号，即f(t)>0或
f(t)<0。
情况2：若c<0，则当t>-d/c且t<-b/a时，f(t)同号，即f(t)>0或
f(t)<0。
综合情况1和情况2，可以得到解不等式(ax+b)/(cx+d)>0的参数t
的取值范围。
三、举一反三
除了以上例子，还有许多不等式可以采用参数解法来求解。
例如
解不等式(sin x-1)/(sin x+1)<0，其中x为实数。
设sin x为参数t，即sin x=t。
则原不等式可以改写为(t-
1)/(t+1)<0。
若t≠-1，设函数f(t)=(t-1)/(t+1)，则要使不等式成立，需要满足
两个条件：
1.f(t)不等于0；
2.f(t)为负数。
将f(t)=(t-1)/(t+1)令为0，得到t=1
由于t的定义域为[-1,1]，由符号函数的性质可知，当t∈(-∞,-
1)∪(1,+∞)时，f(t)<0。
综合以上结果，可知sin x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)，即解为x∈R-{..., -5π/2,-3π/2,-π/2,π/2,3π/2,5π/2,...}。
总结
参数解法是解含参数不等式的一种方法，通过假设未知数为参数，然
后求解参数的取值范围。
参数解法的关键在于找到合适的参数设定以及条
件判断，确定不等式成立的条件。
通过对多个例子的分析与综合，我们可
以学会如何应用参数解法来解决各种含参数的不等式问题。
这种方法的优
势在于简化不等式问题，将不等式转化为参数的函数关系，使问题更易于
解决。