23届高三周测卷必考 数学 Y(LGK)学生用卷1-10
数学-2023届新高考高三数学押密试卷解析
高三数学学科参考答案及解析选择题部分 (共60分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.答案：A解析：因为11x>，所以01x<<，{}01A x x=<<12≥，所以14x≥，14B x x⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭所以114A B x x⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，选A.2.答案：B解析：因为()312i2iz−=，所以32i42i12i55z==−−，42i55z=+所以22424555z z⎛⎫⎛⎫⋅=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B3.答案：A解析：72x⎛⎝的展开式中通项为()()37772177221kkk kk k kkT C x C x−−−+⎛==−⎝所以要出现常数项，3712k−=或1−，当3712k−=时，4k=；当3712k−=−时，163k=（舍去）所以常数项为()4437121280C xx−⋅=，故选A.4.答案:B解析：若有一根8cm的尺子，量出长度为1cm到8cm且为整数的物体，则当尺子有4个刻度时满足条件设[]1,8x∈且x*∈Ν，11223344x b a b a b a b a=+++，其中{}1234,,,0,1b b b b∈，当12342,1,4,1a a a a====时，21123232341,2,3,4,5,6a a a a a a a a a a==+==+=++=1237a a a ++=，12348a a a a +++=下证，当尺子有3个刻度时不能量出18cmcm 的物体长度设[]1,8x ∈且x *∈Ν，112233x b a b a b a =++，其中{}123,,0,1b b b ∈， 所以当123,,b b b 中有1个0，x 的取值至多有3个 当123,,b b b 中有2个0时，120b b ==或230b b ==，x 的取值至多有2个当123,,b b b 中没有0时，x 的取值有1个所以x 取值至多有6个，即当尺子有3个刻度时不能量出18cm cm 的物体长度.故选B5.答案：D解析：若先回答问题A ，则答题顺序可能为,,A B C 和,,A C B ，当答题顺序为,,A B C 且连对两题时，()()0.60.810.510.60.80.50.4p =⨯⨯−+−⨯⨯= 当答题顺序为,,A C B 且连对两题时，()()0.60.510.810.60.50.80.22p =⨯⨯−+−⨯⨯= 所以先回答问题A ，连对两题的概率为0.62同理先回答问题B ，连对两题的概率为0.52；先回答问题C ，连对两题的概率为0.7 所以要使得p 最大，他应该先回答问题C ，故选D . 6.答案：C解析：设圆心()0,1C 到直线()1y a x =+的距离为d ，211a d a −=+所以221AB d =−，2112ABC S AB d d =⋅⋅=−△因为()0,1a ∈，212111a d a a a−==−++()0,1d ∈所以22211122ABCd d S d +−=−≤=△，当且仅当21d d =−，即2232d a ==时等号成立故选C . 7.答案：D解析：因为 1.110.1a ==+，所以0.110.1b a e −=−−设()1x f x e x =−−，()0,1x ∈， 则()0.1b a f −=，因为()10xf x e '=−>，所以()f x 在()0,1上单调递增所以()()00f x f >=，即()0.10b a f −=>，b a > 因为1011.10990c a −=−=>，所以再比较,b c 的大小 因为()1110910.1910−−⎛⎫==− ⎪⎝⎭，所以()()0.110.1110.110.110.1e c b e −−−−=−−=−，即比较()0.11,10.1e −大小，设()()()1,0,1xg x x e x =−∈因为()0xg x xe '=−<，所以()g x 在()0,1上单调递减，所以()()01g x g <=，即()10.10g −>，c b > 所以c b a >>，故选D .8.答案：C解析：平面α经过点B 、D 且截正方体所得截面面积最大时，平面α与面11BDB D 重合. 证明：设平面α与面BCD 所成的二面角为θ，二面角1C BD C −−为γ 当,2πθγ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，记平面α截正方体所得截面为面BDEF ，111111C E C FC D C B λ==,(]0,1λ∈1AB =则(()()22221112312122EFBD S λλλλλ=+−+=−++()()()222121h λλλ=−++因为()()2410h λλλ'=+>，所以()()max 12h h λ==，()11max 2EFBD BDB DS S ==当(]0,θγ∈时，显然平面α截正方体所得截面面积最大时，截面为面1C BD ,132C BD S =△ 当0θ=时，平面α截正方体所得截面为ABCD ，1ABCD S =所以平面α截正方体所得截面面积最大时截面为面11BDB D同理平面β过A 、1D 时，截正方体所得截面面积最大时截面为面11AD BC 连接1BD ，AC ，1B C ，面α与面β所成锐二面角为111B BD C −−因为1B C ⊥面11AD BC ，AC ⊥面11BDB D ，所以1,AC B C 的所成角大小为二面角111B BD C −−大小因为160B CA ∠=,所以面α与面β所成锐二面角大小为60，故选C .二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.答案：ABD解析：因为()2,1AB OB OA =−=−，所以()22215AB =+−=因为5,10OA OB ==所以222OA AB OB +=,即OAB △为直角三角形设与OB 同向的单位向量为e ，3101010OBe OB ⎛== ⎝⎭所以OA 在OB 方向上的投影向量为cos ,OA OB OA OA OB e e OB⋅=，31,22OA OB e OB ⋅⎛⎫= ⎪⎝⎭设()310cos ,sin 10e αα⎛== ⎝⎭，设与e 垂直的单位向量为12,e e所以1cos ,sin 22e αα⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2cos ,sin 22e αα⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫=−− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()1sin ,cos 1010e αα⎛=−=− ⎝⎭，()2sin ,cos ,1010e αα⎛=−=− ⎝⎭ 故选ABD . 10.答案：BD解析：()cos sin xf x x x =+，()()322cos sin 22sin sin cos sin 2sin x x x x x x x f x x x−−−'== 令()sin 22g x x x =−，()0,x ∈π,因为()2cos220g x x '=−≤ 所以()g x 在()0,π上单调递减所以()()00g x g <=，即()sin 220,0,x x x −<∈π 所以当()0f x '=时，2x π=，所以()0,,02x f x π⎛⎫'∈< ⎪⎝⎭，()f x 单调递减；(),,02x f x π⎛⎫'∈π> ⎪⎝⎭，()f x 单调递增 所以()min 22f x f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，即()f x 在()0,π上无零点， 若()()12f x f x a ==,设12x x <，则1202x x π<<< 要证12πx x +<，即证21x x <π− 因为12x ππ−>，()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭上单调递增，所以即证()()21f x f x <π− 因为()()12f x f x a ==，所以即证()()11f x f x <π− 令()()()2cos ,0,sin sin 2x x h x f x f x x x x x π−π⎛⎫=π−−=−−∈ ⎪⎝⎭()()2cos 2sin 2sin x x x h x x −π−'=，其中()2sin 2x x g x −π−=−−π在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 所以2sin 2sin 2x x π−π−<2⋅−π−π=0 所以()0h x '<，()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 所以()0222h x h f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=π−−=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()()1110h x f x f x =π−−>， 所以()()11f x f x π−>成立，即12πx x +<成立 故选BD . 11.答案：BCD解析：因为(),A m n 在椭圆C 上，所以22221m n a b +=，22221n m a b ⎛⎫=− ⎪⎝⎭所以()222222222c a AE m n b n bn a b b c=+−=−−++≤，A 错误因为点B 、A 关于x 轴对称，所以(),B m n − 因为,EA EB n b b nk k m m−+==−，所以()()22222222222EA EBn b b n b n b b k k b n m m m a a b n −+−⎛⎫⎛⎫⋅===−= ⎪⎪−−⎝⎭⎝⎭，B 正确假设存在P 点，使得MPO PNO ∠=∠，则PMO PON △△所以2OP OM ON =⋅因为:n b EA y x b m −=+，:n b EB y x b m +=−+，所以,M N bm bmx x b n b n==−+ 所以22222bm bm b m OP OM ON b n b n b n=⋅==−+−因为22221n m a b ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，所以222222b m OP OM ON a b n =⋅==−，即点P 坐标为()0,a 或()0,a − 因为(),,,0bm A m n N b n ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以(),AN b n b n k y x m n m m ++==−+ 化简得b ny x b m+=−，即直线AN 过定点()0,b − 故选BCD . 12.答案：BC解析：因为33x y x y +=−，所以()()22x y x xy yx y +−+=−，22x yx y x xy y−+=−+ 所以()222222211x y x y x y x xy y x xy y ⎛⎫− ⎪−⎝⎭+==−+⎛⎫−+ ⎪⎝⎭令x t y=，因为33x y x y +=−，,0x y >，所以0x y −>，即1xt y =>()222212111t t x y t t t t −−+==+−+−+，当2t =时，()21x y += 当1t>且2t ≠时，令2u t =−，则()222111313t x y t t u u−+=+=+−+++， 因为()()1,00,u ∈−+∞，所以()()212310,11,333xy u u⎛⎤+=+∈ ⎥ ⎝⎦++ 所以()203x y <+≤，x y +≤因为y x <，所以当0x →时，20x y x +<→，A ,D 错误 因为33x y x y +=−，所以330y y x x ++−= 令()()33,0f t t t x x f y =++−=，因为()f t 在()0,+∞上单调递增，()f t 的零点y 满足0y > 所以()300f x x =−<，解得1x <所以要证221xy +<，即证y <因为()f t 在()0,+∞上单调递增，所以即证0f>因为33320x fx x ⎛⎫+⎪=−=>所以0f>成立，即221x y +<成立故选BC .非选择题部分 （共90分）三．填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分. 13.答案：1解析：由正态密度函数性质可得，1a = 14.答案：2sin 24x π⎛⎫−⎪⎝⎭(答案不唯一） 解析：设()()sin f x A x ωϕ=+，因为x ∀∈R ，()2f x ≤，所以()()max min 2,2f x f x ≤≥− 所以2A ≤，不妨设2A =因为()f x 最小正周期为π，所以2T ωπ=π=,2ω=()()2sin 2f x x ϕ=+，0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2,2x ϕϕϕπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦因为()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以0k ∃∈Z ，00,2,2222k k ϕϕπππ⎡⎤⎡⎤+⊆−+π+π⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以00222k k ϕπ−+π≤≤π， 当00k =时，02ϕπ−≤≤，不妨设4ϕπ=−所以满足条件之一的()2sin 24f x x π⎛⎫=−⎪⎝⎭. 15.答案:1639π 解析:如图所示，记两个形状完全相同的正三棱锥为三棱锥A BCD −和三棱锥A BCD '− 设点A 在面BCD 上的投影为点O ，则A '、O 、A 三点共线.在三棱锥A BCD −和A BCD '−中，到几何体各顶点距离相等的点分别在AO 和A O '上 若组合后的六面体存在外接球，则O 为外接球的球心 设AO a =，则BO a =，因为O 为BCD △的中心，所以3BC a =，所以)213313A BCDV a a −=⋅=，解得33a =所以球的体积为341633a π=16.答案：22,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭解析：设直线l 的程y kx b =+，由2214y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148440k x kbx b +++−= 因为直线l 与椭圆E 相切，所以()()()2228441440kb k b ∆=−+−=，解得2241k b =− 因为2414kbm k −=+，n km b =+，所以214b n k =+所以4m k n =−，即1,4m k b n n=−= 所以直线l 的方程为14m y x n n =−+，即14mxny +=分别令2x =和2x =−得，12,12m C n ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12,12m D n ⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以直线2DF 方程为11323m y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+，直线1CF 方程为11323m y x ⎛⎫− ⎪⎝⎭=+所以联立可得2DF 与1CF 交点()3,233E n ⎫⎪⎪⎝⎭因为23443AEnn k mm m =−，所以414AE l n m k k m n ⎛⎫⋅=⋅−=− ⎪⎝⎭所以由1AE l k k ⋅=−，32AE l k k +=得1,242l AE m k k n =−=−=，即2m n = 因为2214m n +=，所以22,m n ==，即22,A ⎭四.解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.答案：（1）1122n a n =− （2）4169n n nT −+=解析：（1）因为636S S −=，所以4566a a a ++=， 所以456536a a a a ++==，52a = 所以531532a a d −==−，……2分 ()311322n a a n d n =+−=−……5分 （2）因为数列{}n m a 是以首项为1a 公比为4等比数列， 所以1114,n n m m m a a a a −==，即11m =因为数列{}n a 是等差数列，所以()()111141n n a m d a m d −⎡⎤+−=+−⎣⎦ 化简得11343n n a m m d−=+− 因为2114a a d a =+=，所以113a d =，即142n n m m −=−……8分 所以122433n n m m −⎛⎫−=− ⎪⎝⎭， 因为12133m −=，所以数列23n m ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是以13为首项，4为公比的等比数列 所以()121433n n m −−=⋅，()112433n n m −=⋅+……8分 所以()0111212416444339n n nn n nT m m m −−+=+++=++++=……10分18.答案:（1）证明见解析；（2） ABC S =△解析：（1）因为2a c =，所以A C >,即2C π≠. 因为()()1sin 1cos2sin 2cos C B B C −−=，所以sin 21sin 1cos 2cos B CB C−=−因为22sin cos 1C C +=，所以1sin cos cos 1sin C C C C −=+，即sin 2cos 1cos 21sin B CB C=−+，……2分因为cos sin ,sin cos 22C C C C ππ⎛⎫⎛⎫=+=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以sin sin 221cos 21cos 2C B B C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=π−⎛⎫−+ ⎪⎝⎭……4分 令()sin 1cos x f x x =−，()0,2x ∈π则()22f B f C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为()10cos 1f x x '=<−，所以()f x 在()0,2π上单调递减所以由()22f B f C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得22B C π=+，即22C B π=−成立……6分（2）由正弦定理得sin sin a c A C =,因为22C B π=−，所以332A B C B π=π−−=− 所以3sin sin 3cos32A B B π⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，sin sin 2cos 22C B B π⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭所以由正弦定理得sin sin a cA C=,2cos 2cos3B B =……8分 因为()()cos 3cos 2cos cos2sin sin 2B B B B B B B =+=−，2sin 22sin cos ,cos 22cos 1B B B B B ==− 所以由2cos 2cos3B B =得324cos 4cos 3cos 20B B B −−+= 化简得()22cos 1(2cos cos 2)0B B B −−−=因为22C B π=−，332A B π=−，所以,42B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2cos 0,2B ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭所以由()22cos 1(2cos cos 2)0B B B −−−=得1cos 2B =……10分 所以13sin 22ABC S ac B ==△……12分 19.答案:（1）2AC =；（2）2cos 2α=解析：（1）因为90BAD BAC CAD ∠=∠=∠=，所以AB AC ⊥,,AB AD AD AC ⊥⊥ 所以AB ⊥面ACD作AE CD ⊥，连接BE ,因为AB ⊥面ACD ，所以AB CD ⊥ 因为AE AB A =，所以CD ⊥面ABE因为CD ⊂面BCD ，所以面ABE ⊥面BCD ……2分因为面ABE ⊥面BCD BE =，所以作AO BE ⊥，可得AO ⊥面BCD 所以ABO ∠为AB 与面BCD 的所成角，45ABO ∠=……4分所以设,AC a AB b ==,则222222,,,222a AE a BC a b BE b AO b ==+=+= 所以由AE AB AO BE ⋅=⋅得22ab = 所以()321122232123A BCDa V AB AC −=⋅⋅⋅==，解得2a =,即2AC =……6分 （2）设2AC =,由（1）得1AB =延长CM 交BD 于点G ,连接AG ，因为,AC AB AC AD ⊥⊥，所以AC ⊥面BAD 所以AC AG ⊥，因为30ACM ∠=，所以633AC AG == 因为1,2,3AB AD BD ===,所以AG 为BD 边上的高，即AG BD ⊥ 因为AC BD ⊥，所以BD ⊥面ACG ……8分 因为CG ⊂面ACG ，所以BD CG ⊥由（1）得，若45ABM ∠=，则点M 在BE 上……10分所以M 为BCD △的垂心.因为132BG GD ==,所以12BM BE = 所以3AH AF ==1HF =,即24AHF S =△分别做,HGAB FK AB ，则HG ⊥面ACD ,FK ⊥面ACD所以AFH △在面ACD 的投影为AGK △,21124AGKACD S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△设面AFH △与面ACD 所成的二面角为α，则2cos AGK AHF S S α==△△……12分 20.答案：（1）75.801x =，72.932y =（2）0.95r ≈（3）72.98解析：（1）101175.80110i i x x ===∑，101172.93210ii y y===∑……2分（2）()1010101010222222211111221010ii i i i i i i i i i x x x xx x x x x x x x =====⎡⎤−=−+=−⋅+=−⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑ 同理()10102221110iii i y y yy ==−=−∑∑()()10101011110iii iiii ii i i x x y y x y xy yx x y x y x y ===−−=−−+=−∑∑∑所以()()1010niii ix x y y x y x yr −−−==∑∑ (4)分所以代入得0.95r =≈……6分（3）()()()10101110102222111055283.21075.80172.932ˆ0.2357457.981075.80110iii ii i i i i i x x yy x yxybx x x x====−−−−⨯⨯====−⨯−−∑∑∑∑……8分ˆˆ72.9320.229475.80155.50ay bx =−=−⨯=……10分 所以3BS 号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为ˆ0.2355.5y x =+ 当76x =时，预测值为ˆ0.237655.572.98y=⨯+=.……12分 21.答案：（1）22:14x C y−= （2）解析：（1）因为双曲线C的右焦点为)，所以c =因为右焦点到双曲线的渐近线的距离为1，所以1b ==……3分所以2a =，即双曲线22:14x C y −=……4分（2）设()()()12121122,,,,,1,,22x x y y P x y Q x y C m F ++⎛⎫⎪⎝⎭，()2,2m ∈−，设切线PC 为y kx b =+，由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨−=⎪⎩得()222418440k x kbx b −+++=，因为直线PC 与双曲线相切， 所以()()()2228441440kb k b ∆=−−+=，解得2241b k =−……6分所以()1284241kb kx b k =−=−−因为11y kx b =+,221114x y −=所以1111,4x k b y y ==−，即直线11:14x x PC y y −=同理可得直线22:14x xCQ y y −=……7分 因为直线PC 与直线CQ 交于点C ，所以12121,144x m x my y −=−= 所以点()()1122,,,x y x y 满足方程14mx y −=，即直线:14mxPQ y −= 同理可得直线1212:1242x x y y x DE y ++⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12121224x x x y y y y y ⎛⎫+=+ ⎪++⎝⎭……8分 因为点F 在直线PQ 上，所以12121242x x y y m ++⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即点(),1C m 在直线DE 上因为222212121,144x x y y −=−=，所以1212121214y y y y x x x x ⎛⎫⎛⎫−+= ⎪⎪−+⎝⎭⎝⎭，1212x x m y y +=+ 所以1212144DE PQ x x mk k y y ⎛⎫+=== ⎪+⎝⎭,即DEPQ所以直线():14mDE y x m =−+……9分由()221414my x mxy⎧=−+⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩得()()()222224284160m x m mx m−+−−−−=所以DE=因为点F到直线DE)3228DEFmS−=△10分令t，[)20,4m∈，(]0,2t∈，)()332222842DEFm tSt−+==△，()()32242th tt+=因为()()()1222242t th tt+−'=，……11分所以(()(),0,t h t ht'∈<单调递减，)()(),0,t h t h t'∈>单调递增所以()()minminDEFS h t h===△……12分22.答案：（1）()f x在R上单调递减（2）[)1,a∈+∞（3）证明见解析解析：（1）当1a=时，()e e2x xf x x−=−−，()e e2x xf x−'=+−……2分因为1e2exx+≥，所以()1e20exxf x'=+−≥……4分所以()f x在R上单调递增（2）当0x>时，()0f x>恒成立，即()0,,e e20x xx a a x−∀∈+∞−−>恒成立法一：因为()00f=所以0m∃>，使得()f x在()0,m上单调递增所以()()0,,e e20x xx m f x a a−'∈=+−>，所以()0220f a'=−≥，解得1a≥……6分下证1a ≥，()0,,e e20xxx a a x −∈+∞−−>恒成立因为()e e 2e e 2x xx x a a x a x −−−−=−−，e e 0x x −−>，所以e e2e e 2xxx x a a x x −−−−≥−−设()()e e2,e e 20xxx x H x x H x −−'=−−=+−≥，所以()H x 在()0,+∞上单调递增所以()()00H x H >= 所以e e 2e e 20xxx x a a x x −−−−≥−−>成立……8分所以1a ≥法二：()e e22x xx x a a x a e e x −−−−=−−，因为()0,x ∈+∞，所以e e 0,20x x x −−>−<所以由()0,,e e20xxx a a x −∀∈+∞−−>恒成立得0a >()()2e 2e e e 2,ex x xxxa a f x a a x f x −−+'=−−=，令=e xt ，()1,t ∈+∞ 则222,44y at t a a =−+∆=−当2440a ∆=−>，即()0,1a ∈时，方程220at t a −+=的解为12,t t ，设12t t <因为22y att a =−+的对称轴为11t a=>，1220t y a ==−<，所以1201t t <<<，其中222t a+=则当()21,t t ∈，即()20,ln x t ∈时()()0,f x f x '<单调递减 当()2,t t ∈+∞，即()2ln ,x t ∈+∞时()()0,f x f x '>单调递增 因为()00f =，()20,ln x t ∈时()f x 单调递减 所以()()20,ln ,0x t f x ∈<，与()0,,e e20xxx a a x −∀∈+∞−−>恒成立矛盾，()0,1a ∈舍去……6分当2440a ∆=−≤，即[)1,a ∈+∞时，()220,0y at t a f x '=−+≥>,所以()f x 在()0,+∞上单调递增，所以()()00f x f >=,即()0,,e e20xxx a a x −∀∈+∞−−>恒成立所以[)1,a ∈+∞……8分（3）由（2）得()0,,e e20xxx x −∀∈+∞−−>令ln x t =，ln ln 1ee 2ln 2ln tt t t t t−−−=−−，即()11,,2ln 0t t t t ∀∈+∞−−>所以当11t n =+，n *∈Ν时，1111ln 11121n n n ⎛⎫⎪⎛⎫+<+− ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭，化简得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+−<+ ⎪+⎝⎭，n *∈Ν……10分 因为m n >，所以lnln ln mm n n=−， 所以()()()()111ln 1ln 21111ln 2ln 1212111ln ln 121n n n n n n n n m m m m ⎧⎛⎫+−<+ ⎪⎪+⎝⎭⎪⎪⎛⎫+−+<+⎪ ⎪++⎝⎭⎨⎪⎪⎪⎛⎫−−<+ ⎪⎪−⎝⎭⎩，累加得11111ln ln 211m n n m n m ⎛⎫−<++++⎪+−⎝⎭……11分 1111111111111111ln 2112111mmk n k n m n k n m n m k n m n m n m =+=+⎛⎫⎛⎫⎡⎤−<++++−=++++−++ ⎪ ⎪⎢⎥+−+−+⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑化简得11111ln 22mk n m m nn k n m mn=+−⎛⎫−<−= ⎪⎝⎭∑成立. ……12分。
2023届高考理科数学模拟试卷一(含答案及解析)
2023届高考理科数学模拟试题一(含答案及解析)本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1． 考生务必将自己的姓名、准考证号用黑墨水钢笔、签字笔写在答题卷上；2． 选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上，答在试题卷上不得分；3． 考试结束，考生只需将答题卷交回。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B *=*第一部分 选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数1z i =+，则2z= A ． i 2-B ．i 2C ．i -1D ．i +12. 设全集,U R =且{}|12A x x =->,{}2|680B x x x =-+<,则()U C A B =A ．[1,4)-B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(1,4)-3. 椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ．14B ．12C ． 2D ．4 4. ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，AB =，则C ∠=A ．6πB ．4π C ．34π D ．4π或34π5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2510,55S S ，则过点(,)n P n a 和2(2,)n Q n a(n N ＋)的直线的斜率是A ．4B ．3C ．2D ．16.已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ,且1)2()4(=-=f f )()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如图所示， 则平面区域⎪⎩⎪⎨⎧<+≥≥1)2(00b a f b a 所围成的面积是A ．2B ．4C ．5D ．87. 一台机床有13的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ， 加工A 时,停机的概率是310，加工B 时，停机的概率是25，则这台机床停机的概率为( )A ． 1130B ．307 C ．107 D ．1018. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过()n n N +∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数。
高考数学模拟试题及答案(人教版)23
高考模拟试卷数学卷本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共4页，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟． 考生注意：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式24πS R = ()()()P A B P A P B +=+其中R 表示球的半径 如果事件A B ，相互独立，那么球的体积公式34π3V R =()()()P A B P A P B = 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p 台体的体积公式：那么n 次独立重复试验中恰好发生 )(312211S S S S h V ++=k 次的概率：()(1)k k n kn n P k C p p -=-第Ⅰ卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x≥2},B={x|x<m+1},若B ⊆∁R A,则m 的取值范围为 ( )A.(-∞,1]B.(-∞,1)C.[1,+∞)D.[-1,2] 2．已知0<a <2,复数z 的实部为1,虚部为a ,则 ||z 的取值范围是 ( )A.(1,5)B.(1,3)3．若a,b 是两个非零的平面向量,则 “|a |=|b |”是“(a+b )·(a-b )=0”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．若函数2()x f x bx c =++的图象的顶点在第四象限,则函数'()f x 的图象是( )5．对于函数2()cos[3()]6f x x x π=+,下列说法正确的是 ( )A. (x)f 是奇函数且在(,)66ππ-内递减 B. (x)f 是奇函数且在(,)66ππ-内递增 C. (x)f 是偶函数且在(0,)6π内递减 D. (x)f 是偶函数且在(0,)6π内递增6．若x, y满足4240,y0kx yy xx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩且z=5y-x的最小值为－8,则k的值为()A.12- B.12C.-2D.27．设随机变量ξ的分布列为下表所示且E(ξ)=1.6,则a－b= ()8．存在一点P，使线的离心率为A B C D9．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝3BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，关于翻折后的几何体有如下描述:①AB与DE所成角的正切值是2；②AB∥CE；③V B-ACE＝16a3；④平面ABC⊥平面ACD.其中正确的有( )D.①②④10．若2()f x x px q=++的图象经过两点(,0),(,0)αβ，() AC注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．若双曲线221x ky-=的一个焦点是(3,0),则实数k =_______，该双曲线的焦点到其中一条渐近线的距离是________。
2023年高考全国乙卷文科数学+答案解析
2023年高考试全国乙卷文科数学+答案解析（试题部分）一、选择题1.232i 2i ++=（）A.1 B.2C.D.52.设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（）A.{}0,2,4,6,8 B.{}0,1,4,6,8 C.{}1,2,4,6,8 D.U3.如图，网格纸上绘制的是个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积（）A.24B.26C.28D.304.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C π=，则B ∠=（）A.10π B.5π C.310π D.25π5.已知e ()e 1xaxx f x =-是偶函数，则=a （）A.2- B.1- C.1 D.26.正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A.B.3C.D.57.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y x y ≤+≤内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（）A.18B.16 C.14D.128.函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（）A.(),2-∞- B.(),3-∞- C.()4,1-- D.()3,0-9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A.56B.23C.12 D.1310.已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.3211.已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（） A.3212+B.4C.1+D.712.设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A.()1,1 B.()1,2- C.()1,3 D.()1,4--二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为.14.若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=．15.若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为.16.已知点,,,S A B C 均在半径为2的球面上，ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =．三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ．（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．19.如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =，PB PC ==，,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ，点F 在AC 上，BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒，求三棱锥-P ABC 的体积．20.已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程．（2）若函数()f x 在()0,∞+单调递增，求a 的取值范围．21.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率是53，点()2,0A -在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．【选修4-4】（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围．【选修4-5】（10分）23.已知()22f x x x =+-（1）求不等式()6x f x ≤-的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x y x y ⎧≤⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积．2023年高考试全国乙卷文科数学+答案解析（答案解析）1.C【解析】由题意可得232i 2i 212i 12i ++=--=-，则232i 2i 12i ++=-==.故选：C.2.A【解析】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选：A.3.D【解析】如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点，,,,O L M N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D -去掉长方体11ONIC LMHB -之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=.故选：D.4.C【解析】由题意结合正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin cos sin cos sin sin cos sin cos A B B A A B A B B A -=+=+，整理可得sin cos 0B A =，由于()0,πB ∈，故sin 0B >，据此可得πcos 0,2A A ==，则ππ3πππ2510B AC =--=--=.故选：C.5.D 【解析】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选：D.6.B【解析】方法一：以{},AB AD为基底向量，可知2,0AB AD AB AD ==⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，则11,22EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD =+=+=+=-+uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以22111143224EC ED AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r ；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()1,0,2,2,0,2E C D ，可得()()1,2,1,2EC ED ==-uu u r uu u r，所以143EC ED ⋅=-+=uu u r uu u r；方法三：由题意可得：2ED EC CD ===，在CDE中，由余弦定理可得2223cos 25DE CE DC DEC DE CE +-∠==⋅，所以3cos 35EC ED EC ED DEC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r .故选：B.7.C【解析】因为区域(){}22,|14x y x y ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=，结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.故选：C.8.B【解析】3()2f x x ax =++，则2()3f x x a '=+，若()f x 要存在3个零点，则()f x 要存在极大值和极小值，则a<0，令2()30f x x a '=+=，解得3a x -=3a-，且当,,33a ax ⎛⎫--∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当x ⎛∈ ⎝，()0f x '<，故()f x 的极大值为f ⎛ ⎝，极小值为f ，若()f x 要存在3个零点，则00f f ⎧⎛>⎪ ⎪⎝⎨⎪<⎪⎩，即2020-+><，解得3a <-，故选：B.9.A【解析】甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6636⨯=种，若甲、乙抽到的主题不同，则共有26A 30=种，则其概率为305366=，故选：A.10.D【解析】因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以2πππ2362T =-=，且0ω>，则πT =，2π2w T ==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=-，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=-，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则5π5π3sin 1232f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.11.C【解析】法一：令x y k -=，则x k y =+，代入原式化简得()22226440y k y k k +-+--=，因为存在实数y ，则0∆≥，即()()222642440k k k --⨯--≥，化简得22170k k --≤，解得11k -≤≤+故x y -的最大值是1+，法二：224240x y x y +---=，整理得()()22219x y -+-=，令3cos 2x θ=+，3sin 1y θ=+，其中[]0,2πθ∈，则π3cos 3sin 114x y θθθ⎛⎫-=-+=++ ⎪⎝⎭，[]0,2θπ∈ ，所以ππ9π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π2π4θ+=，即74πθ=时，x y -取得最大值1+，法三：由224240x y x y +---=可得22(2)(1)9x y -+-=，设x y k -=，则圆心到直线x y k -=的距离3d =≤，解得11k -≤≤+故选：C.12.D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得92,2AB k k =-=-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()224544561445160∆=⨯-⨯⨯=-⨯⨯<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x=由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：94,4AB k k ==，则97:44AB y x =-，联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +-=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D.13.【答案】94【解析】由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =-，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：94.14.【答案】55-【解析】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0θθ>>，又因为sin 1tan cos 2θθθ==，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得5sin 5θ=或5sin 5θ=-（舍去），所以5sin cos sin 2sin sin 5-=-=-=-θθθθθ.故答案为：5-.15.【答案】8【解析】作出可行域如下图所示：2z x y =-，移项得2y x z =-，联立有3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距z -最小，则z 最大，代入得8z =，故答案为：8.16.【答案】2【解析】设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则2sin 32AB r ACB ==∠，可得r =，设三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，连接1,OA OO ，则112,2OA OO SA ==，因为22211OA OO O A =+，即21434SA =+，解得2SA =.故答案为：2.17.【答案】（1）11z =，261s =；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【小问1详解】545533551522575544541568596548552.310x +++++++++==，536527543530560533522550576536541.310y +++++++++==，552.3541.311z x y =-=-=，i i i z x y =-的值分别为:9,6,8,8,15,11,19,18,20,12-，故2222222222(911)(611)(811)(811)(1511)0(1911)(1811)(2011)(1211)6110s -+-+-+--+-++-+-+-+-==【小问2详解】由（1）知:11z =，==z ≥所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.【答案】（1）152n a n=-（2）2214,71498,8n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩【解析】【小问1详解】设等差数列的公差为d ，由题意可得211011*********a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，即1111298a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1132a d =⎧⎨=-⎩，所以()1321152n a n n =--=-，【小问2详解】因为()213152142n n n S n n +-==-，令1520n a n =->，解得152n <，且*n ∈N ，当7n ≤时，则0n a >，可得2121214n n n n T a a a a a a S n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==-；当8n ≥时，则0n a <，可得()()121278n n n T a a a a a a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+()()()222777221477141498n n S S S S S n n n n =--=-=⨯---=-+；综上所述：2214,71498,8n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩.19.【答案】（1）证明见解析（2）263【解析】【小问1详解】连接,DE OF ，设AF tAC =，则(1)BF BA AF t BA tBC =+=-+ ，12AO BA BC =-+ ，BF AO ⊥，则2211[(1)]()(1)4(1)4022BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=-+⋅-+=-+=-+= ，解得12t =，则F 为AC 的中点，由,,,D E O F 分别为,,,PB PA BC AC 的中点，于是11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==，即,//DE OF DE OF =，则四边形ODEF 为平行四边形，//,EF DO EF DO =，又EF ⊄平面,ADO DO ⊂平面ADO ，所以//EF 平面ADO .【小问2详解】过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M ，因为,PB PC O =是BC 中点，所以PO BC ⊥，在Rt PBO △中，12PB BO BC ===，所以2PO ==，因为,//AB BC OF AB ⊥，所以OF BC ⊥，又PO OF O ⋂=，,PO OF ⊂平面POF ，所以BC ⊥平面POF ，又PM ⊂平面POF ，所以BC PM ⊥，又BC FM O = ，,BC FM ⊂平面ABC ，所以PM ⊥平面ABC ，即三棱锥-P ABC 的高为PM ，因为120POF ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以sin 6022PM PO =︒=⨯=，又11222ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=△所以1126333P ABC ABC V S PM -=⋅=⨯=△.20.【答案】（1）()ln 2ln 20x y +-=；（2）1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.【解析】【小问1详解】当1a =-时，()()()11ln 11f x x x x ⎛⎫=-+>- ⎪⎝⎭，则()()2111ln 111x f x x x x ⎛⎫'=-⨯++-⨯ ⎪+⎝⎭，据此可得()()10,1ln 2f f '==-，所以函数在()()1,1f 处的切线方程为()0ln 21y x -=--，即()ln 2ln 20x y +-=.【小问2详解】由函数的解析式可得()()()2111=ln 111f x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫'-+++⨯>- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，满足题意时()0f x '≥在区间()0,∞+上恒成立.令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫-+++≥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax -++++≥，令()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++，原问题等价于()0g x ≥在区间()0,∞+上恒成立，则()()2ln 1g x ax x '=-+，当0a ≤时，由于()20,ln 10ax x ≤+>，故()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，不合题意;令()()()2ln 1h x g x ax x '==-+，则()121h x a x -'=+，当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()0,h x h x '>在区间()0,∞+上单调递增，即()g x '在区间()0,∞+上单调递增，所以()()>00g x g ''=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，满足题意.当102a <<时，由()1201h x a x =-=+'可得1=12x a-，当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()0,h x h x '<在区间10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，即()g x '单调递减，注意到()00g '=，故当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()00g x g ''<=，()g x 单调递减，由于()00g =，故当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()00g x g <=，不合题意.综上可知：实数a 得取值范围是1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.21.【答案】（1）22194y x +=（2）证明见详解【解析】【小问1详解】由题意可得222253b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280k k k k k k =+-++=->，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=-=++，因为()2,0A -，则直线()11:22y AP y x x =++，令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭,同理可得2220,2yN x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k kk k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++，所以线段PQ 的中点是定点()0,3.22.【答案】（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈（2）()(),02,-∞+∞【解析】【小问1详解】因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=，整理得()2211x y +-=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======-ρθθθθρθθθ，且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=-∈θθ，故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈.【小问2详解】因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m -+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =，若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >或0m <，即实数m 的取值范围()(),0-∞+∞.23.【答案】（1）[2,2]-；（2）6.【解析】【小问1详解】依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪-+<⎩，不等式()6f x x ≤-化为：2326x x x >⎧⎨-≤-⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩或0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，解2326x x x >⎧⎨-≤-⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，得20x -≤<，因此22x -≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]-【小问2详解】作出不等式组()60f x y x y ≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -，由26y x x y =+⎧⎨+=⎩,解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ，所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =⨯-=-⨯--= .。
2023届高考文科数学一轮 精测卷(全国卷使用)
2023届高考文科数学一轮 精测卷（全国卷使用）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1、已知集合{}2340A xx x =--<∣，{4,1,3,5}B =-，则A B =( )A.{4,1}-B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}2、若i(1)1z -=，则z z +=( ) A.-2B.-1C.1D.23、若平面向量a 与b 的夹角为60°，(2,0)=a ，||1=b ，则|2|+a b 等于( ).B. C.4D.124、分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h ），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是( )A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.65、若实数x ，y 满足约束条件10020x y x y x ++≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值是( )A.8B.7C.2D.12-6、过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于()11,A x y 、()22,B x y 两点，若126x x +=，则||AB 的值为( ) A.10B.8C.6D.47、执行如图所示的程序框图，若输出的0S =，则空白判断框中可填入的条件是( )A.3?n >B.4?n >C.5?n >D.6?n >A. B.C. D.9、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AC ，1A B 的中点，则下列说法中错误是( )A.//MN 平面11ADD AB.MN AB ⊥C.直线MN 与平面AB CD 所成的角为45°D.异面直线MN 与1DD 所成的角为60°10、已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，正项等比数列{}n b 满足1134,1b a b a ==+，则使61n b S +≥成立的n 的最大值为( )A.5B.6C.7D.811、已知()f x 是R 上的单调递增函数，(0,)x ∀∈+∞，不等式ln ln ()(1)1x x f m f f m f x x ⎛⎫⎛⎫-+≤++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，则m 的取值范围是( )A.12,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.1,1e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦D.11,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭12111ABC A B C -中，底面ABC △为锐角三角形，且33AB BC ==，1AA ，则其外接球的表面积为( ) A.12π B.14π C.16π D.18π二、填空题13、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若23a =，936S S =，则{}n a 的公差d =___________. 14、树人中学为了庆祝“天问一号”成功着陆火星，特举办中国航天史知识竞赛，高一某班现有2名男生和2名女生报名，从报名学生中任选2名学生参赛，则恰好选中2名女生的概率为______________.15、已知A 在直线:10l x y -+=上，点B 是圆22:20C x y x +-=上的点，则BAC ∠的最大值为_____________.16、已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.三、解答题17、在ABC △中，sin 2C C =. （Ⅰ）求C ∠；（Ⅱ）若6b =，且ABC △的面积为ABC △的周长. 18、如图,1111ABCD A B C D -是棱长为4的正方体,E 是11B D 的中点.(I)证明:AC DE ⊥;(Ⅱ)求三棱锥1A CEB -的体积.19、随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提髙，某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数量(单位：万辆)的情况如下表.i i 应的机动车纯增数量y (单位：万辆)具有线性相关关系.(1)求机动车纯增数量y 关于时间变量x 的回归方程，并预测2025~2030年间该市机动车纯增数量的值；(2)该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到的2×2列联表如下表.附：回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211nniii ii i nniii i x x yyx y nx yb x x xnx====---⋅==--∑∑∑∑，a y bx =-.22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.20、已知函数()e f x ax =-，()1ln g x x x =+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若当0x >时，方程()()f x g x =有实数解，求实数a 的取值范围.21、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线:0l x my +与椭圆C 交于A ，B 两点，且椭圆的离心率e =. （1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆上存在一点M ，使得23OM OA OB =+，求直线l 的方程.22、在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为4cos ,,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩(其中φ为参数),以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=. (I)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程;(Ⅱ)射线:l θα=与曲线1C ,2C 分别交于点,A B (均异于极点),当ππ64α≤≤时,求||||OB OA 的最小值. 23、已知函数()|||4|f x x a x =-++. (I)当2a =时,求不等式()8f x ≥的解集; (Ⅱ)若()21f x a >+恒成立,求a 的取值范围.参考答案1、答案：D解析：因为{}2340{(1)(4)0}A xx x x x x =--<=+-<∣∣{14},{4,1,3,5}x x B =-<<=-∣，所以{1,3}A B =.2、答案：D解析：因为i(1)1z -=，所以111i iz =-=+，所以1i z =-，所以(1i)(1i)2z z +=++-=.故选D.3、答案：B解析：因为(2,0)=a ，所以||2=a ，又因为向量a 与b 的夹角为60°，||1=b ， 所以1||||cos602112⋅==⨯=︒⨯a b a b，所以|2|+==a b 4、答案：C解析：对于A ，甲同学周课外体育运动时长的中位数为7.37.57.42+=，故选项A 正确；对于B ，乙同学周课外体育运动时长大部分在8h 以上，故平均数大于8，故选项B 正确；对于C ，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率为60.3750.416=<，故选项C 错误；对于D ，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率为130.81250.616=>，故选项D 正确.故选C. 5、答案：B解析：画出约束条件10020x y x y x ++≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩的可行域，如图中阴影部分所示.作出直线2y x =并平移，数形结合知，当直线2y x z =-经过点A 时，2z x y =-取得最大值. 由1020x y x ++=⎧⎨-=⎩，解得23x y =⎧⎨=-⎩，故max 22(3)7z =⨯--=，故选B.6、答案：B解析：依题意得，12||||||22p pAB AF BF x x =+=+++，12||AB x x p ∴=++，又24p =，2p ∴=.因此，||628AB =+=，故选B. 7、答案：C解析：模拟执行程序框图，160,1S n ==；80,2S n ==；40,3S n ==；20,4S n ==；10,5S n ==；0,6S n ==，退出循环.故空白判断框中可填入的条件是“5?n >”，选C.8、答案：A项A 符合题意. 9、答案：D解析：如图，连接BD ，1A D ，由M ，N 分别为AC ，1A B 的中点知1//MN A D .因为1A D ⊂平面11ADD A ，MN ⊂/平面11ADD A ，所以//MN 平面11ADD A ，故A 正确.易知AB ⊥平面11ADD A ，1A D ⊂平面11ADD A ，所以1AB A D ⊥.又1//MN A D ，所以AB MN ⊥，故B 正确.易知MN 与平面ABCD 所成的角即为1A D 与平面ABCD 所成的角，为45°，故C 正确.易知MN 与1DD 所成角即为1A D 与1DD 所成角，为45°，故D 错误.故选D.10、答案：D解析：设等比数列{}n b 的公比为q ，由题意可知当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-； 当1n =时，112a S ==，2,1,21,2,n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩213412,18b b a b q ∴==+==. 0n b >，2,2n n q b ∴=∴=，66264b ∴==，2651n ∴≥+，8n ∴≤，∴n 的最大值为8，故选D.11、答案：D解析：依题意，()()(1)g x f x f x =--在R 上是增函数，(0,)x ∀∈+∞，不等式ln ln ()(1)1x x f m f f m f x x ⎛⎫⎛⎫-+≤++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即ln ln 1(1)()x x f f f m f m x x ⎛⎫⎛⎫--≤+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，等价于ln (1)x g g m x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭恒成立，ln 1x m x ∴+≥.令ln ()(0)x h x x x =>，则21ln ()(0)x h x x x -'=>，易得max1()(e)e h x h ==，11e m ∴+≥，11e m ≥-，故选D. 12、答案：A11sin 2AB BC ABC AA ABC ⎛⎫⋅⋅⋅∠⋅=∠= ⎪⎝⎭，故sin ABC ∠=. 由ABC △为锐角三角形得π3ABC ∠=，由余弦定理可得2222cos 7AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=，故AC =设ABC △的外接圆半径为r，由正弦定理可得2sin ACr ABC==∠，故r =设三棱柱外接球的半径为R，则22233R =+=⎝⎭⎝⎭，故外接球的表面积为24π12πR =，故选A.13、答案：1解析：∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，936S S =， 1113,98926,3232a d a da d +=⎧⎪⨯⎪+∴⎨=⎪⨯+⎪⎩解得12,1.a d =⎧⎨=⎩{}n a ∴的公差1d =. 14、答案：16解析：将2名男同学和2名女同学分别记为a ，b ，A ，B ，从中任选2人，有(,)a b ，(,)a A ，(,)a B ，(,)b A ，(,)b B ，(,)A B ，共6种情况，其中恰好选中2名女生的情况有1种，故选中的2人都是女生的概率为16. 15、答案：45°解析：若点A 固定，则当AB 与圆22:(1)1C x y -+=相切时，BAC ∠最大，此时||1sin ||||BC BAC AC AC ∠==.当点A 在直线l 上移动时，易知当AC l ⊥时，||AC最小，且min ||AC =sin BAC ∠. 因为BAC ∠是锐角，所以BAC ∠的最大值为45°. 16、答案：-3解析：设0x >，则0x -<.由0x <时，()e ax f x =-知()e ax f x --=-.又函数()f x 为奇函数，则()()e ax f x f x --=-=-，即0x >时，()e ax f x -=.又ln20>，则()ln 2ln 2(ln 2)e e 28aa a f ---====，故3a =-.17、答案：（Ⅰ）π6（Ⅱ）1)解析：（Ⅰ）因为sin 2C C =，所以2sin cos C C C =，因为(0,)C ∈π，所以sin 0C ≠，所以cos C =6C π=.（Ⅱ）因为ABC △的面积111sin 6222S ab C a ==⨯⨯⨯=所以a =由余弦定理可得2222cos 48367212c a b ab C =+-=+-=，所以c =所以ABC △的周长为61)a b c ++=+. 18、答案：(I)见解析 (Ⅱ)323解析：(I)证明：连接BD . ∵四边形ABCD 是正方形,AC BD ∴⊥.在正方体1111ABCD A B C D -中,1D D ⊥平面ABCD ,又AC ⊂平面ABCD ,1AC D D ∴⊥.又11,D DBD D D D =⊂平面11BDD B ,BD ⊂平面11BDD B ,AC ∴⊥平面11BDD B .又DE ⊂平面11BDD B ,AC DE ∴⊥.(Ⅱ)设AC 与BD 交于点F ,连接11,B F AB .在正方体1111ABCD A B C D -中,1111//BD B D BD B D ⋅=.又,E F 分别是11,B D BD 的中点,11//,DF B E DF B E ∴=,∴四边形1DFB E 是平行四边形,1//DE B F ∴.DE ⊄过平面11,AB C B F ⊂平面1AB C ,//DE ∴平面1AB C .又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4,1111A CEB E AB C D AB C B ADC V V V V ----∴===113ADC B B S =⋅1144432=⨯⨯⨯⨯ 323=. 19、答案：(1)12 5.73a =⨯+，2025~2030年间该市机动车约纯增34.8万辆(2)有99%的把握认为对限行是否赞同与拥有私家车有关解析：(1)由机动车的纯增数量表可知1(12345)35x =++++=，1(3691527)125y =++++=， 所以()5152222222215237531257 5.7554512345535ii i i i x y x y b x x ==-⋅-⨯⨯====-++++-⨯-∑∑， 因为回归直线y bx a =+过样本点的中心(,)x y ，所以12 5.73a =⨯+， 解得 5.1a =-，所以 5.7 5.1y x =-.当年度周期为2025~2030时，7x =，所以 5.77 5.134.8y =⨯-=， 所以2025~2030年间该市机动车约纯增34.8万辆.(2)根据列联表，计算得2K 的观测值2220(90402070)559.167110110160606k ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯. 因为9.167 6.635>，所以有99%的把握认为对限行是否赞同与拥有私家车有关.20、答案：（1）见解析（2）[e 1,)-+∞解析：（1）函数()f x 的定义域为R ，()e x f x a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在(,)-∞+∞上单调递增； 当0a >时，令()e 0x f x a '=-=，得ln x a =，则()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增. 综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.（2）由()()f x g x =，得e ln 1x ax x x =--，因为0x >，所以e 1ln x a x x x=--. 令e 1()ln x h x x x x=--，0x >，则()22e 1(1)e e 1()x x x x x x h x x x ----+'==.令()0h x '=，得1x =.当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 为增函数. 所以min ()(1)e 1h x h ==-. 又e 1e 1()ln ln x x h x x x x x x -=--=-，0x >，e 1x >，所以e 10x x->， 所以当0x →时，()h x →+∞.所以函数()h x 的值域为[e 1,)-+∞，因此实数a 的取值范围为[e 1,)-+∞.21、答案：（1）2214x y +=（2）0x ±+=解析：（1）过1F 的直线:0l x my ++，∴令0y =，解得x =c ∴=c e a =2a ∴=，222431b a c ∴=-=-=，∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，由23OM OA OB =+，得31212x x =+，31212y y y =，将其代入椭圆方程，可得22121211110422x y y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2222112212121131414444x y x y x x y y ⎛⎫⎛⎫∴+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121240x x y y ∴+=，联立方程，得220,1,4x my x y ⎧+⎪⎨+=⎪⎩消去x ，可得()22410m y ++-=，12y y ∴+=，12214y y m -=+，(1212121244x x y y my my y y ∴+=++()()2121243m y y y y =+++=()2214304m m -+⋅++=+， 即22m =，解得m =.故所求直线l的方程为0x ±+=.22、答案：(I)221168x y +=;24y x = (Ⅱ解析：(I)由题可得曲线1C 的普通方程为221168x y +=, 曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为22161sin ρθ=+,所以||OA =. 又因为24cos ||sin OB αα=,所以||||OB OA ===因为ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以1sin 22α⎡∈⎢⎣⎦,所以当sin 2α=时,||||OB OA 有最小值,23、答案：(I){5xx ≤-∣或3}x ≥ (Ⅱ)(,3)-∞解析：(I)当2a =时,22,4,()|2||4|6,42,22,2,x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩()8f x ∴≥等价于4,228,x x <-⎧⎨--≥⎩或42,68,x -≤≤⎧⎨≥⎩或2,228,x x >⎧⎨+≥⎩解得5x ≤-或3x ≥,∴不等式()8f x ≥的解集为{5xx ≤-∣或3}x ≥. (Ⅱ)易知()|||4||4|f x x a x a =-++≥+, ∴若()21f x a >+恒成立, 则min ()21f x a >+,即|4|21a a +>+, 421a a ∴+>+或421a a +<--, 解得3a <,a ∴的取值范围为(,3)-∞.。
2023年高考数学周考试卷
2023年高考数学周考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知x ，y 是正数，且x +2y =1，下列叙述正确的是（ ）A. x +y 最大值为1B. x 2+y 2的最大值为1 B. (x +y)y 最大值为14D.x+2y 2xy最小值为42.假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有（ ）A.20种B.14种C.12种D.10种3.在一个数列{a n }中，如果∀n ∈N ∗，都有a n a n+1a n+2=k(k 为常数)，那么这个数列叫等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{a n }是等积数列，且a 1=1，a 2=2，公积为8，则a 1+a 2+...+a 2021=（ ）A.2021B.4042C.4714D.53874. 已知圆C:(x −2)2+(y −3)2=2，直线l 过点A(1,2)且与圆C 相切，若直线l 与两坐标轴交点分别为M,N ，则|MN|=（ ）A.2√2B.4C.3√2D.√105. 在平面直角坐标系中，角θ的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转π6后经过点(−1,√3)，则tan(2θ+π3)=A.−√3B.√33C.√3D.07.函数f(x)＝asinx －bcosx ，若f(4π－x)＝f(4π＋x)，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为（ ） A.4π B.3πC.23πD.34π 8.若过点(a,b)可以作曲线y =lnx 的两条切线，则（ ）A.a <lnbB.b <lnaC. lnb <aD.lna <b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知二项式(ax)6，则下列说法正确的是（）A.若a＝2，则展开式的常数为60B.展开式中有理项的个数为3C.若展开式中各项系数之和为64，则a＝3D.展开式中二项式系数最大为第4项10.抛掷一颗质地均匀的骰子一次，记事件M为“向上的点数为1或4”，事件N为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（）A.M与N互斥但不对立B.M与N对立C.P(MN)＝16D.P(M＋N)＝2311.已知声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数y= sinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)= 2sinx−sin3x，则下列说法正确的是（）A.π是f(x)的一个周期B.f(x)在[0,2π]上有7个零点C.f(x)的最大值为3D.f(x)在[π6,π2]上是增函数12.已知圆M:x2+(y−2)2=1，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A,B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（）A.四边形PAMB周长的最小值为2+2√3B.|AB|的最大值为2C.直线AB过定点D.存在点N使|CN|为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.函数f(x)＝1cosxsinx-的图象在点(2π，1)处的切线方程为.14.斜率为k的直线与x216+y28=1椭圆相交于A,B两点，点M(1,1)为线段AB的中点，则k=____.15.已知函数f(x＋12)为奇函数，设g(x)＝f(x)＋2.则g(12022)＋g(22022)＋…＋g(20212022)＝。
河南省濮阳市第一高级中学2023届高三高考模拟质量检测理科数学试题(含解析)
M
的坐标为
1 4
,
7 4
．
故选：B．
答案第 2 页，共 17 页
7．C
【分析】由三角函数图象的平移变换可得
g
x
sin
x
π 3
，由题意推得
P
π 6
,
g
π 6
必
为函数 g x 的对称中心，可得 6k 2,k Z ，即可求得答案.
【详解】由题意将函数
f
x
sin
1 2
x
π 3
(
则 P 2, 2 ，所以 OP 的斜率为 1，且 OP 的中点为 1,1 ，
则 OP 的垂直平分线方程为 y 1 x 1 ，即 x y 2 0 ，
又 OF 的垂直平分线方程为 x 1 ， 4
又 MP MO MF ，则点 M 为 OP 的垂直平分线和 OF 的垂直平分线的交点，
所以点
③当
1 2
时，有且仅有一个点
P
，使得
A1P
BP
；
④若 AP 1，则点 P 的轨迹所围成的面积为 π . 8
A．①②
B．②③
C．②④
D．①③
11．已知 F1 ， F2 分别是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的左、右焦点， P
为双曲线 C
上的
动点， F1F2 10 ， PF1 PF2 6 ，点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离分别为 d1 ， d2 ，
(2)已知射线1
π 3
和2
π 6
分别与 C
交于点
A,
B
（异于点 O
）， C
与极轴交于点
2023年高考全国乙卷数学(理)真题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题1.设z =2+i1+i 2+i5，则z =()A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i【答案】B 【解析】【分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得z =2+i 1+i 2+i 5=2+i 1-1+i =i 2+i i2=2i -1-1=1-2i ，则z=1+2i.故选：B .2.设集合U =R ，集合M =x x <1 ，N =x -1<x <2 ，则x x ≥2 =()A.∁U M ∪NB.N ∪∁U MC.∁U M ∩ND.M ∪∁U N【答案】A 【解析】【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为x |x ≥2 即可.【详解】由题意可得M ∪N =x |x <2 ，则∁U M ∪N =x |x ≥2 ，选项A 正确；∁U M =x |x ≥1 ，则N ∪∁U M =x |x >-1 ，选项B 错误；M ∩N =x |-1<x <1 ，则∁U M ∩N =x |x ≤-1 或x ≥1 ，选项C 错误；∁U N =x |x ≤-1 或x ≥2 ，则M ∪∁U N =x |x <1 或x ≥2 ，选项D 错误；故选：A .3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.30【答案】D 【解析】【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=3，点H ,I ,J ,K 为所在棱上靠近点B 1,C 1,D 1,A 1的三等分点，O ,L ,M ,N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1去掉长方体ONIC 1-LMHB 1之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：2×2×2 +4×2×3 -2×1×1 =30.故选：D .4.已知f (x )=xe xe ax -1是偶函数，则a =()A.-2B.-1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为f x =xe x e ax-1为偶函数，则f x -f -x =xexe ax -1--x e-xe -ax -1=x e x -e a -1xe ax -1=0，又因为x 不恒为0，可得e x -e a -1 x=0，即e x =e a -1x，则x =a -1 x ，即1=a -1，解得a =2.故选：D .5.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域x ,y 1≤x 2+y 2≤4 内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为()A.18B.16C.14D.12【解析】【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域x ,y |1≤x 2+y 2≤4 表示以O 0,0 圆心，外圆半径R =2，内圆半径r =1的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角∠MON =π4，结合对称性可得所求概率P =2×π42π=14.故选：C .6.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6,2π3 单调递增，直线x =π6和x =2π3为函数y =f x 的图像的两条对称轴，则f -5π12 =()A.-32B.-12C.12D.32【答案】D 【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x =-5π12即可得到答案.【详解】因为f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6,2π3单调递增，所以T 2=2π3-π6=π2，且ω>0，则T =π，w =2πT =2，当x =π6时，f x 取得最小值，则2⋅π6+φ=2k π-π2，k ∈Z ，则φ=2k π-5π6，k ∈Z ，不妨取k =0，则f x =sin 2x -5π6 ，则f -5π12 =sin -5π3 =32，7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A.30种B.60种C.120种D.240种【答案】C 【解析】【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【详解】首先确定相同得读物，共有C 16种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A 25种，根据分步乘法公式则共有C 16⋅A 25=120种，故选：C .8.已知圆锥PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，∠AOB =120°，若△PAB 的面积等于934，则该圆锥的体积为()A.πB.6πC.3πD.36π【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.【详解】在△AOB 中，∠AOB =120°，而OA =OB =3，取AC 中点C ，连接OC ,PC ，有OC ⊥AB ,PC ⊥AB ，如图，∠ABO =30°，OC =32,AB =2BC =3，由△PAB 的面积为934，得12×3×PC =934，解得PC =332，于是PO =PC 2-OC 2=332 2-32 2=6，所以圆锥的体积V =13π×OA 2×PO =13π×(3)2×6=6π.9.已知△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三角形，若二面角C -AB -D 为150°，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为()A.15B.25C.35D.25【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB 的中点E ，连接CE ,DE ，因为△ABC 是等腰直角三角形，且AB 为斜边，则有CE ⊥AB ，又△ABD 是等边三角形，则DE ⊥AB ，从而∠CED 为二面角C -AB -D 的平面角，即∠CED =150°，显然CE ∩DE =E ,CE ,DE ⊂平面CDE ，于是AB ⊥平面CDE ，又AB ⊂平面ABC ，因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ∩平面ABC =CE ，直线CD ⊂平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而∠DCE 为直线CD 与平面ABC 所成的角，令AB =2，则CE =1,DE =3，在△CDE 中，由余弦定理得：CD =CE 2+DE 2-2CE ⋅DE cos ∠CED =1+3-2×1×3×-32=7，由正弦定理得DE sin ∠DCE =CDsin ∠CED，即sin ∠DCE =3sin150°7=327，显然∠DCE 是锐角，cos ∠DCE =1-sin 2∠DCE =1-3272=527，所以直线CD 与平面ABC 所成的角的正切为35.故选：C10.已知等差数列a n 的公差为2π3，集合S =cos a n n ∈N * ，若S =a ,b ，则ab =()A.-1B.-12C.0D.12【解析】【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列{a n }中，a n =a 1+(n -1)⋅2π3=2π3n +a 1-2π3，显然函数y =cos 2π3n +a 1-2π3的周期为3，而n ∈N ∗，即cos a n 最多3个不同取值，又{cos a n |n ∈N ∗}={a ,b }，则在cos a 1,cos a 2,cos a 3中，cos a 1=cos a 2≠cos a 3或cos a 1≠cos a 2=cos a 3，于是有cos θ=cos θ+2π3 ，即有θ+θ+2π3 =2k π,k ∈Z ，解得θ=k π-π3,k ∈Z ，所以k ∈Z ，ab =cos k π-π3 cos k π-π3 +4π3 =-cos k π-π3 cos k π=-cos 2k πcos π3=-12.故选：B11.设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.1,1B.-1,2C.1,3D.-1,-4【答案】D 【解析】【分析】根据点差法分析可得k AB ⋅k =9，对于A 、B 、D ：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则AB 的中点M x 1+x 22,y 1+y 22，可得k AB =y 1-y 2x 1-x 2,k =y 1+y 22x 1+x 22=y 1+y 2x 1+x 2，因为A ,B 在双曲线上，则x 21-y 219=1x 22-y 229=1，两式相减得x 21-x 22-y 21-y 229=0，所以k AB ⋅k =y 21-y 22x 21-x 22=9.对于选项A ：可得k =1,k AB =9，则AB :y =9x -8，联立方程y =9x -8x 2-y 29=1 ，消去y 得72x 2-2×72x +73=0，此时Δ=-2×72 2-4×72×73=-288<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得k =-2,k AB =-92，则AB :y =-92x -52，联立方程y =-92x -52x 2-y 29=1，消去y 得45x 2+2×45x +61=0，此时Δ=2×45 2-4×45×61=-4×45×16<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得k =3,k AB =3，则AB :y =3x由双曲线方程可得a =1,b =3，则AB :y =3x 为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：k =4,k AB =94，则AB :y =94x -74，联立方程y =94x -74x 2-y 29=1，消去y 得63x 2+126x -193=0，此时Δ=1262+4×63×193>0，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D .12.已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若PO =2，则PA ⋅PD的最大值为()A.1+22B.1+222C.1+2D.2+2【答案】A 【解析】【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得PA ⋅PD =12-22sin 2α-π4 ，或PA ⋅PD =12+22sin 2α+π4 然后结合三角函数的性质即可确定PA ⋅PD的最大值.【详解】如图所示，OA =1,OP =2，则由题意可知:∠APO =45°，由勾股定理可得PA =OP 2-OA 2=1当点A ,D 位于直线PO 异侧时，设∠OPC =α,0≤α≤π4，则：PA ⋅PD =|PA |⋅|PD |cos α+π4=1×2cos αcos α+π4=2cos α22cos α-22sin α =cos 2α-sin αcos α=1+cos2α2-12sin2α=12-22sin 2α-π4 0≤α≤π4，则-π4≤2α-π4≤π4∴当2α-π4=-π4时，PA ⋅PD 有最大值1.当点A ,D 位于直线PO 同侧时，设∠OPC =α,0≤α≤π4，则：PA ⋅PD =|PA |⋅|PD |cos α-π4=1×2cos αcos α-π4=2cos α22cos α+22sin α =cos 2α+sin αcos α=1+cos2α2+12sin2α=12+22sin 2α+π40≤α≤π4，则π4≤2α+π4≤π2∴当2α+π4=π2时，PA ⋅PD 有最大值1+22.综上可得，PA ⋅PD 的最大值为1+22.【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.二、填空题13.已知点A 1,5 在抛物线C ：y 2=2px 上，则A 到C 的准线的距离为.【答案】94【解析】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x =-54，最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【详解】由题意可得：5 2=2p ×1，则2p =5，抛物线的方程为y 2=5x ，准线方程为x =-54，点A 到C 的准线的距离为1--54 =94.故答案为：94.14.若x ，y 满足约束条件x -3y ≤-1x +2y ≤93x +y ≥7，则z =2x -y 的最大值为.【答案】8【解析】【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.详解】作出可行域如下图所示：z =2x -y ，移项得y =2x -z ，联立有x -3y =-1x +2y =9，解得x =5y =2，设A 5,2 ，显然平移直线y =2x 使其经过点A ，此时截距-z 最小，则z 最大，代入得z =8，故答案为：8.15.已知a n 为等比数列，a 2a 4a 5=a 3a 6，a 9a 10=-8，则a 7=.【解析】【分析】根据等比数列公式对a 2a 4a 5=a 3a 6化简得a 1q =1，联立a 9a 10=-8求出q 3=-2，最后得a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2.【详解】设a n 的公比为q q ≠0 ，则a 2a 4a 5=a 3a 6=a 2q ⋅a 5q ，显然a n ≠0，则a 4=q 2，即a 1q 3=q 2，则a 1q =1，因为a 9a 10=-8，则a 1q 8⋅a 1q 9=-8，则q 15=q 5 3=-8=-2 3，则q 3=-2，则a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2，故答案为：-2.16.设a ∈0,1 ，若函数f x =a x +1+a x 在0,+∞ 上单调递增，则a 的取值范围是.【答案】5-12,1 【解析】【分析】原问题等价于f x =a x ln a +1+a x ln 1+a ≥0恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得1+a a x ≥-ln aln 1+a ，由右侧函数的单调性可得实数a 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数a 的取值范围.【详解】由函数的解析式可得f x =a x ln a +1+a x ln 1+a ≥0在区间0,+∞ 上恒成立，则1+a x ln 1+a ≥-a x ln a ，即1+a a x ≥-ln aln 1+a在区间0,+∞ 上恒成立，故1+a a 0=1≥-ln aln 1+a，而a +1∈1,2 ，故ln 1+a >0，故ln a +1 ≥-ln a 0<a <1即a a +1 ≥10<a <1 ，故5-12≤a <1，结合题意可得实数a 的取值范围是5-12,1.故答案为：5-12,1.三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x i ，y i (i =1,2,⋅⋅⋅10)，试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率x i545355525754545659545312541868伸缩率y i536527543530560533522550576536记z i =x i -y i (i =1,2,⋯,10)，记z 1，z 2，⋯，z 10的样本平均数为z，样本方差为s 2，(1)求z ，s 2；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z ≥2s 210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).【答案】(1)z =11，s 2=61；(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【分析】(1)直接利用平均数公式即可计算出x ,y ，再得到所有的z i 值，最后计算出方差即可；(2)根据公式计算出2s 210的值，和z 比较大小即可.【小问1详解】x =545+533+551+522+575+544+541+568+596+54810=552.3，y =536+527+543+530+560+533+522+550+576+53610=541.3，z =x -y=552.3-541.3=11，z i =x i -y i 的值分别为:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12，故s 2=(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-110=61【小问2详解】由(1)知:z=11，2s 210=2 6.1=24.4，故有z ≥2s 210,所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.在△ABC 中，已知∠BAC =120°，AB =2，AC =1.(1)求sin ∠ABC ；(2)若D 为BC 上一点，且∠BAD =90°，求△ADC 的面积.【答案】(1)21 14；(2)310.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BC=7，然后由余弦定理可得cos B=5714，最后由同角三角函数基本关系可得sin B=21 14；(2)由题意可得S△ABDS△ACD=4，则S△ACD=15S△ABC，据此即可求得△ADC的面积.【小问1详解】由余弦定理可得：BC2=a2=b2+c2-2bc cos A=4+1-2×2×1×cos120°=7，则BC=7，cos B=a2+c2-b22ac=7+4-12×2×7=5714，sin B=1-cos2B=1-2528=2114.【小问2详解】由三角形面积公式可得S△ABDS△ACD=12×AB×AD×sin90°12×AC×AD×sin30°=4，则S△ACD=15S△ABC=15×12×2×1×sin120°=310.19.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在AC上，BF⊥AO.(1)证明：EF⎳平面ADO；(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；(3)求二面角D-AO-C的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)22.【解析】【分析】(1)根据给定条件，证明四边形ODEF 为平行四边形，再利用线面平行判定推理作答.(2)由(1)的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.(3)由(2)的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.【小问1详解】连接DE ,OF ，设AF =tAC ，则BF =BA +AF =(1-t )BA +tBC ，AO =-BA +12BC ，BF ⊥AO ，则BF ⋅AO =[(1-t )BA +tBC ]⋅-BA +12BC =(t -1)BA 2+12tBC 2=4(t -1)+4t =0，解得t =12，则F 为AC 的中点，由D ,E ,O ,F 分别为PB ,PA ,BC ,AC 的中点，于是DE ⎳AB ,DE =12AB ,OF ⎳AB ,OF =12AB ，即DE ⎳OF ,DE =OF ，则四边形ODEF 为平行四边形，EF ⎳DO ,EF =DO ，又EF ⊄平面ADO ,DO ⊂平面ADO ，所以EF ⎳平面ADO .ABCDEO P【小问2详解】由(1)可知EF ⎳OD ，则AO =6,DO =62，得AD =5DO =302，因此OD 2+AO 2=AD 2=152，则OD ⊥AO ，有EF ⊥AO ，又AO ⊥BF ,BF ∩EF =F ，BF ,EF ⊂平面BEF ，则有AO ⊥平面BEF ，又AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面BEF .【小问3详解】过点O 作OH ⎳BF 交AC 于点H ，设AD ∩BE =G ，由AO ⊥BF ，得HO ⊥AO ，且FH =13AH ，又由(2)知，OD ⊥AO ，则∠DOH 为二面角D -AO -C 的平面角，因为D ,E 分别为PB ,PA 的中点，因此G 为△PAB 的重心，即有DG =13AD ,GE =13BE ，又FH =13 AH ，即有DH =32GF ，cos ∠ABD =4+32-1522×2×62=4+6-PA 22×2×6，解得PA =14，同理得BE =62，于是BE 2+EF 2=BF 2=3，即有BE ⊥EF ，则GF 2=13×622+622=53，从而GF =153，DH =32×153=152，在△DOH 中，OH =12BF =32,OD =62,DH =152，于是cos ∠DOH =64+34-1542×62×32=-22，sin ∠DOH =1--222=22，所以二面角D -AO -C 的正弦值为22.ABCD EFGH OP20.已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 的离心率为53，点A -2,0 在C 上.(1)求C 的方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于点P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点.【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解【解析】【分析】(1)根据题意列式求解a ,b ,c ，进而可得结果；(2)设直线PQ 的方程，进而可求点M ,N 的坐标，结合韦达定理验证y M +y N2为定值即可.【小问1详解】由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3 x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y 2x 2+22=k x 1+2 +3x 1+2+k x 2+2 +3x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2 x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +316k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段PQ 的中点是定点0,3 .【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论．21.已知函数f(x)=1x +aln(1+x).(1)当a=-1时，求曲线y=f x 在点1,f1处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线y=f1x关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若f x 在0,+∞存在极值，求a的取值范围.【答案】(1)ln2x+y-ln2=0；(2)存在a=12,b=-12满足题意，理由见解析.(3)0,12.【解析】【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数a的方程，解方程可得实数a的值，最后检验所得的a,b是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数g x =ax2+x-x+1ln x+1，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论a≤0，a≥12和0<a<12三中情况即可求得实数a的取值范围.【小问1详解】当a=-1时，f x =1x-1ln x+1，则f x =-1x2×ln x+1+1x-1×1x+1，据此可得f1 =0,f 1 =-ln2，函数在1,f1处的切线方程为y-0=-ln2x-1，即ln2x+y-ln2=0.【小问2详解】由函数的解析式可得f1x=x+aln1x+1，函数的定义域满足1x+1=x+1x>0，即函数的定义域为-∞,-1∪0,+∞，定义域关于直线x=-12对称，由题意可得b=-12，由对称性可知f-12+m=f-12-mm>12，取m=32可得f1 =f-2，即a+1ln2=a-2ln 12，则a+1=2-a，解得a=12，经检验a=12,b=-12满足题意，故a=12,b=-12.即存在a=12,b=-12满足题意.【小问3详解】由函数的解析式可得f x =-1 x2ln x+1+1x+a1x+1，由f x 在区间0,+∞存在极值点，则f x 在区间0,+∞上存在变号零点;令-1 x2ln x+1+1x+a1x+1=0，则-x+1ln x+1+x+ax2=0，令g x =ax2+x-x+1ln x+1，f x 在区间0,+∞存在极值点，等价于g x 在区间0,+∞上存在变号零点，g x =2ax-ln x+1,g x =2a-1 x+1当a≤0时，g x <0，g x 在区间0,+∞上单调递减，此时g x <g0 =0，g x 在区间0,+∞上无零点，不合题意;当a≥12，2a≥1时，由于1x+1<1，所以g x >0,g x 在区间0,+∞上单调递增，所以g x >g 0 =0，g x 在区间0,+∞上单调递增，g x >g0 =0，所以g x 在区间0,+∞上无零点，不符合题意；当0<a<12时，由gx =2a-1x+1=0可得x=12a-1，当x∈0,12a-1时，g x <0，g x 单调递减，当x∈12a-1,+∞时，g x >0，g x 单调递增，故g x 的最小值为g12a-1=1-2a+ln2a，令m x =1-x+ln x0<x<1，则m x =-x+1x>0，函数m x 在定义域内单调递增，m x <m1 =0，据此可得1-x+ln x<0恒成立，则g 12a-1=1-2a +ln2a <0，令h x =ln x -x 2+x x >0 ，则hx =-2x 2+x +1x ，当x ∈0,1 时，h x >0,h x 单调递增，当x ∈1,+∞ 时，h x <0,h x 单调递减，故h x ≤h 1 =0，即ln x ≤x 2-x (取等条件为x =1)，所以g x =2ax -ln x +1 >2ax -x +1 2-x +1 =2ax -x 2+x ，g 2a -1 >2a 2a -1 -2a -1 2+2a -1 =0，且注意到g 0 =0，根据零点存在性定理可知:g x 在区间0,+∞ 上存在唯一零点x 0.当x ∈0,x 0 时，g x <0，g x 单调减，当x ∈x 0,+∞ 时，g x >0，g x 单调递增，所以g x 0 <g 0 =0.令n x =ln x -12x -1x ，则n x =1x -121+1x 2=-x -1 22x2≤0，则n x 单调递减，注意到n 1 =0，故当x ∈1,+∞ 时，ln x -12x -1x <0，从而有ln x <12x -1x，所以g x =ax 2+x -x +1 ln x +1 >ax 2+x -x +1 ×12x +1 -1x +1=a -12 x 2+12，令a -12 x 2+12=0得x 2=11-2a，所以g 11-2a>0，所以函数g x区间0,+∞ 上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数a 得取值范围是0,12.【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.四、选做题【选修4-4】(10分)22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sin θπ4≤θ≤π2，曲线C 2：x =2cos αy =2sin α (α为参数，π2<α<π).(1)写出C 1的直角坐标方程；(2)若直线y =x +m 既与C 1没有公共点，也与C 2没有公共点，求m 的取值范围.【答案】(1)x 2+y -1 2=1,x ∈0,1 ,y ∈1,2 (2)-∞,0 ∪22,+∞ 【解析】【分析】(1)根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意x ,y 的取值范围；(2)根据曲线C 1,C 2的方程，结合图形通过平移直线y =x +m 分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问1详解】因为ρ=2sin θ，即ρ2=2ρsin θ，可得x 2+y 2=2y ，整理得x 2+y -1 2=1，表示以0,1 为圆心，半径为1的圆，又因为x =ρcos θ=2sin θcos θ=sin2θ,y =ρsin θ=2sin 2θ=1-cos2θ，且π4≤θ≤π2，则π2≤2θ≤π，则x =sin2θ∈0,1 ,y =1-cos2θ∈1,2 ，故C 1:x 2+y -1 2=1,x ∈0,1 ,y ∈1,2 .【小问2详解】因为C 2:x =2cos αy =2sin α(α为参数，π2<α<π)，整理得x 2+y 2=4，表示圆心为O 0,0 ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y =x +m 过1,1 ，则1=1+m ，解得m =0；若直线y =x +m ，即x -y +m =0与C 2相切，则m2=2m >0 ，解得m =22，若直线y=x +m 与C 1,C 2均没有公共点，则m >22或m <0，即实数m 的取值范围-∞,0 ∪22,+∞ .【选修4-5】(10分)23.已知f x =2x +x -2 .(1)求不等式f x ≤6-x 的解集；(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组f (x )≤yx +y -6≤0所确定的平面区域的面积.【答案】(1)[-2,2]；(2)6.【解析】【分析】(1)分段去绝对值符号求解不等式作答.(2)作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.【小问1详解】依题意，f (x )=3x -2,x >2x +2,0≤x ≤2-3x +2,x <0，不等式f (x )≤6-x 化为：x >23x -2≤6-x或0≤x ≤2x +2≤6-x 或x <0-3x +2≤6-x ，解x >23x -2≤6-x，得无解；解0≤x ≤2x +2≤6-x ，得0≤x ≤2，解x <0-3x +2≤6-x ，得-2≤x <0，因此-2≤x ≤2，所以原不等式的解集为：[-2,2]小问2详解】作出不等式组f (x )≤yx +y -6≤0表示的平面区域，如图中阴影△ABC，由y =-3x +2x +y =6，解得A (-2,8)，由y =x +2x +y =6 , 解得C (2,4)，又B (0,2),D (0,6)，所以△ABC 的面积S △ABC =12|BD |×x C -x A =12|6-2|×|2-(-2)|=8.。
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23届高三周测卷必考数学 Y(LGK)学生用卷1-10
一、选择题
1.已知an+1=an-3，则数列{an}是()
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
解析：∵an+1-an=-30，由递减数列的定义知B选项正确.故选B.
答案：B
2.设an=1n+1+1n+2+1n+3++12n+1(nN)，则()
A.an+1an
B.an+1=an
C.an+1
解析：an+1-an=(1n+2+1n+3++12n+1+12n+2+12n+3)-(1n+1+1n+2++12n+1)=12n+3-12n+1=-12n+32n+2.
∵nN，an+1-an0.故选C.
答案：C
3.1,0,1,0，的通项公式为()
A.2n-1
B.1+-1n2
C.1--1n2
D.n+-1n2
解析：解法1：代入验证法.
解法2：各项可变形为1+12，1-12，1+12，1-12，，偶数项为1-12，奇数项为1+12.故选C.
答案：C
4.已知数列{an}满足a1=0，an+1=an-33an+1(nN)，则a20等于()
A.0
B.-3
C.3
D.32
解析：由a2=-3，a3=3，a4=0，a5=-3，可知此数列的最小正周期为3，a20=a36+2=a2=-3，故选B.
答案：B
5.已知数列{an}的通项an=n2n2+1，则0.98()
A.是这个数列的项，且n=6
B.不是这个数列的项
C.是这个数列的项，且n=7
D.是这个数列的项，且n=7
解析：由n2n2+1=0.98，得0.98n2+0.98=n2，n2=49.n=7(n=-7舍去)，故选C.
答案：C
6.若数列{an}的通项公式为an=7(34)2n-2-3(34)n-1，则数列{an}的()
A.最大项为a5，最小项为a6
B.最大项为a6，最小项为a7
C.最大项为a1，最小项为a6
D.最大项为a7，最小项为a6
解析：令t=(34)n-1，nN+，则t(0,1]，且(34)2n-2=[(34)n-1]2=t2.
从而an=7t2-3t=7(t-314)2-928.
函数f(t)=7t2-3t在(0，314]上是减函数，在[314，1]上是增函数，所以a1是最大项，故选C.
答案：C
7.若数列{an}的前n项和Sn=32an-3，那么这个数列的通项公式为()
A.an=23n-1
B.an=32n
C.an=3n+3
D.an=23n
解析：
①-②得anan-1=3.
∵a1=S1=32a1-3，
a1=6，an=23n.故选D.
答案：D
8.数列{an}中，an=(-1)n+1(4n-3)，其前n项和为Sn，则S22-S11等于()
A.-85
B.85
C.-65
D.65
解析：S22=1-5+9-13+17-21+-85=-44，
S11=1-5+9-13++33-37+41=21，
S22-S11=-65.
或S22-S11=a12+a13++a22=a12+(a13+a14)+(a15+a16)++(a21+a22)=-65.故选C.
答案：C
9.在数列{an}中，已知a1=1，a2=5，an+2=an+1-an，则a2007等于()
A.-4
B.-5
C.4
D.5
解析：依次算出前几项为1,5,4，-1，-5，-4,1,5,4，，发现周期为6，则a2007=a3=4.故选C.
答案：C
10.数列{an}中，an=(23)n-1[(23)n-1-1]，则下列叙述正确的是()
A.最大项为a1，最小项为a3
B.最大项为a1，最小项不存在
C.最大项不存在，最小项为a3
D.最大项为a1，最小项为a4
解析：令t=(23)n-1，则t=1，23，(23)2，且t(0,1]时，an=t(t-1)，an=t(t-1)=(t-12)2-14.
故最大项为a1=0.
当n=3时，t=(23)n-1=49，a3=-2081;
当n=4时，t=(23)n-1=827，a4=-152729;
又a3
答案：A
二、填空题
11.已知数列{an}的通项公式an=
则它的前8项依次为________.
解析：将n=1,2,3，，8依次代入通项公式求出即可.
答案：1,3，13，7，15，11，17，15
12.已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+29n+3，则{an}中的最大项是第________项.
解析：an=-2(n-294)2+8658.当n=7时，an最大.
答案：7
13.若数列{an}的前n项和公式为Sn=log3(n+1)，则a5等于________.
解析：a5=S5-S4=log3(5+1)-log3(4+1)=log365.
答案：log365
14.给出下列公式：
①an=sinn
②an=0，n为偶数，-1n，n为奇数;
③an=(-1)n+1.1+-1n+12;
④an=12(-1)n+1[1-(-1)n].
其中是数列1,0，-1,0,1,0，-1,0，的通项公式的有________.(将所有正确公式的序号全填上)
解析：用列举法可得.
答案：①
三、解答题
15.求出数列1,1,2,2,3,3，的一个通项公式.
解析：此数列化为1+12，2+02，3+12，4+02，5+12，6+02，，由分子的规律知，前项组成正自然数数列，后项组成数列1,0,1,0,1,0，.
an=n+1--1n22，
即an=14[2n+1-(-1)n](nN).
也可用分段式表示为
16.已知数列{an}的通项公式an=(-1)n12n+1，求a3，a10，a2n-1.
解析：分别用
3、
10、2n-1去替换通项公式中的n，得
a3=(-1)3123+1=-17，
a10=(-1)101210+1=121，
a2n-1=(-1)2n-1122n-1+1=-14n-1.
17.在数列{an}中，已知a1=3，a7=15，且{an}的通项公式是关于项数n的一次函数.
(1)求此数列的通项公式;
(2)将此数列中的偶数项全部取出并按原来的先后顺序组成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的通项公式.
解析：(1)依题意可设通项公式为an=pn+q，
得p+q=3，7p+q=15.解得p=2，q=1.
{an}的通项公式为an=2n+1.
(2)依题意bn=a2n=2(2n)+1=4n+1，
{bn}的通项公式为bn=4n+1.
18.已知an=9nn+110n(nN)，试问数列中有没有最大项?如果有，求出最大项，如果没有，说明理由.
解析：∵an+1-an=(910)(n+1)(n+2)-(910)n(n+1)=(910)n+18-n9，当n7时，an+1-an
当n=8时，an+1-an=0;
当n9时，an+1-an0.
a1
故数列{an}存在最大项，最大项为a8=a9=99108.。