《计算数论》复习提纲
剩余类环 线性同余方程的求解 高次同余方程的求解
同余方程的求解方法
同余方程组的求解方法 原根和指数 缩系 应用
二次剩余（ch3）
二次剩余的概念 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余 勒让德符号 雅可比符号 重点：二次同余方程有解的判断与求解
连分数(ch5)
连分数的定义和性质：
专门用途的因子分解方法
“rho”方法
“p-1”方法
数论在密码学上的应用(ch10)
公钥密码
RSA机制 Elgamal机制
习题
习题（续）
1.设用户A的公开参数为(NA=55，eA=23)，用户B的公开 参数为(NB=33，eB=13)，用户A应用RSA算法向用户B传 送的消息m=6时，求A发送的带签名的保密信息。 2.设用户A选取p=11和q=7作为模数为N=pq的RSA公钥体 制的两个素数，选取eA=7作为公开密钥。请给出用户A的 秘密密钥，并验证3是不是用户A对报文摘要5的签名。
记t3 1 2t4 x (5 8t4 )，
再代入x 2 57(mod32)，得 t4 0(mod 2) 记t4 2t5 x (5 16t5 )， 代入x 2 57(mod64)，得 t5 1(mod 2) t5 1 2t6 x (21 32t6 )
解：∵ （28,35）=7|21， ∴ 原同余方程有解，且有7个解 原同余方程等价于4x≡3(mod 5) 而且4x≡3(mod 5)解为x≡2(mod 5) ∴ 原同余方程解为2，7，12，17，22，27， 31（mod 35）
例7 设p=4n+3是素数，试证当q=2p+1也是素数时， 梅素数Mp不是素数
例4 设x为整数，证明形如 x 2 1 的整数的所有奇因都
有4h+1的形式（其中h为整数）
证明：设2n+1是整数x 2 1 的任一奇素因数，于是有
x 2 1 0(mod 2n 1), 即 x 2 1(mod 2n 1).
1 故-1是模2n+1的平方剩余，即 1. 2n 1 其中2n+1是奇素数。所以 2n 1 1(mod 4)
《计算数论》复习提纲
整数的因子分解(ch1)
1.整数的唯一分解定理 2.欧几里德算法
最大公因子的求法 最大公因子的整数线性表示 模n的逆元 一元线性同余方程的求法
Mersenne素数 Fermat素数
同余 （ch2）
同余，简化了数论中的许多问题. 同余的基本性质
即 x 21, 53(mod64).
确定性算法 试除法 利用n-1、n来自1的因子分解的素性检验
概率算法
Miller-Rabin算法
Lehmann算法
Solovay-Strassen
大整数因子分解算法（ch9）
通用整数因子分解方法：理论基础
连分数方法（CFRAC）， 二次筛法（QS）
*数域筛法（NFS）
解：d=(12,30)=6, 查表ind2=24, 6|24，有解且本题有6个解， 12indx=ind2(30) 即indx≡4(mod 5) ∴ indx≡2,7,12,17,22,27(mod 30) 查模31指标表， ∴ x≡9,17,8,22,14,23(mod 31)
例6 解同余方程28x≡21(mod 35)
连分数、简单连分数的概念、性质 每一个简单连分数都是一个实数 任一无理数都可表为无限简单连分数， 有理数的连分数表示法
实数表示为连分数：
循环连分数：
二次代数数都是循环连分数
二次方根的连分数
最佳渐近分数
有限域(ch6)
有限域
GF(pm)的结构、组成、运算
素性检测(ch8)
q 1
例2：设素数p>2，则2P-1的质因数一定是 2pk+1形。
证：设q是2P-1的质因数，由于2P-1为奇数， ∴ q≠2， ∴ （2，q）=1。 由条件q| 2P-1, 即2P≡1（mod q） 又∵ （q,2）=1，2q-1≡1（mod q） 设i是使得2x≡1（mod p）成立最小正整数，即i是 2模p的阶。 若1<i<p，则有i|p，则与p为素数矛盾，∴ i=p, ∴ p|q-1 又∵ q-1为偶数，2|q-1, ∴ 2p|q-1,q-1=2pk,即q=2pk+1
证：∵ q=8n+7,
2
4 n 3
2
q 1 2
2 q 1(modq)
∴ q |Mp，∴ Mp不是素数。
例9 若p和q=4p+1均为奇素数，则2是模q的一个原根。
2 x 例 解同余式 57(mod64)
解：因为
57 1(mod 8) ，所以方程有4解。
把x 2 57(mod8)的解记为x (1 4t 3 )， 2 代入x 57(mod16)，得 t3 1(mod 2)
故 2n ， 0(mod4 ) 。 n 0(m od 2) 所以n是偶数，记n=2h,便有2n+1=4h+1.这样便证明了整数 的所有奇素因数必形如4h+1。又由于两个4h+1形式的数的乘积仍 为4h+1 形式的数，故 x 2 1形式的数的奇因数必为 4h+1形式的数。
例5 解同余方程
数论专题讲义
数论专题讲义数论专题数论主要分为以下几个模块：1、数的整除问题2、质数合数与分解质因数3、约数与倍数4、余数问题5、奇数与偶数6、位值原理7、完全平方数8、数字谜问题一、分裂问题一.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3.如果一个整数的奇数位数和偶数位数之和的差可以除以11，那么这个数可以除以114.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，然后这个数字可以除以7、11或13【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果ca，CB，然后是C（a±b）性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果boa，Cob，然后COA用同样的方法，我们还可以得出：属性3如果a可以被B和C的乘积除，那么a也可以被B和C除。
也就是说，如果bcoa，那么么boa，coa．属性4如果数字a可以被数字B或数字C除，并且数字B和数字C是互质的，那么a必须被数字B除1/10除以和C的乘积。
也就是说，如果boa，COA和（B，C）=1，那么bcoa性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m是非零整数）；性质6如果数a能整除数b，且数c能被数d整除，那么ac也能整除bd，如果b｜a，和D C，然后是BD AC；1、整除判定特征如果六位数的数字是1992□ □ 可以除以105，最后两位数是多少？2、数的整除性质应用如果15abc6可以除以36，商是最小的，那么a、B和C分别是什么？3、整除综合性问题已知：23！？258d20c6738849766ab000。
第一讲计算与数论
第一讲：计算与数论*本讲提纲*1. 分数、繁分数、小数的根本计算2. 数列与数表的计算问题3. 分数与整数的裂项4. 数论局部〔整除★、质数与合数、余数★〕5.进位制与取整计算局部：一、 分数、小数的根本计算知识点：运算律的应用；凑整法；添去括号；定义新运算。
1、请直接写出答案。
〔1〕31－51= 〔2〕1.25×32×0.8= 〔3〕43×4÷4×43= 2.计算下面各题，写出计算过程。
11÷[116×(43＋61)] 76×20+16×71－71×10 [19.08＋〔3.2－0.299÷0.23〕]×0.25 43÷[53＋52×〔1－83〕] 2006÷200720062006＋2008124112161311481161814121+++++++ 4.6×183+8.4÷118－183×5 (595－1＋394)×〔7.6÷54＋252×1.25〕 规定〔3〕＝1×2×3 〔4〕＝2×3×4 〔5〕＝3×4×5 …〔10〕＝8×9×10如果 1112021(22)⨯－＝（）（），那么□是_______________。
规定a ⊕b=a+(a+1)+(a+2)+…+〔a+b-1〕,(a,b 均为自然数,b ＞a).如果x ⊕10=65,那么x=。
二、 数列、数表的计算知识点：等差数列；等比数列；1.计算：20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007 2.计算：20041+20042－20043－20044＋20045＋20046－20047－20048＋20049＋200410－……－20041999－20042000＋20042001＋200420023.计算：1+2+4+8+16+32+……+10244.下面是按规律排列的三角形数阵：（1） 此数阵第12行所有数的总和是多少？（2） 此数阵第2022行左起第二个数是多少？5.把正整数依次排成以下数阵：求（1） 第20行第10列是哪个数？（2） 第10行第20列是哪个数？三、 分数裂项、整数裂项1、计算：7215614213012011216121+++++++ 2、计算：11111144771010131316++++⨯⨯⨯⨯⨯ 3、计算：)25231751531311(25⨯++⨯+⨯+⨯⨯ 4、计算：1311241192097167512538314⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 5、计算：20142013433221⨯+⨯+⨯+⨯ 四、 比拟与估算1、把0．66，66．6％，0．67，32 用“<〞连接起来 2、比拟以下5个数，从小到大排列：1，••24.0，73，1.667，35 3、求数11010102101011010010 +++=a 的整数局部。
(完整版)数论知识点总结
(完整版)数论知识点总结1. 整数与整除性质整数是数的基本单位，整除是整数相除所得到的商是整数的关系。
- 整数运算：加法、减法、乘法、除法。
- 整数性质：正整数、负整数、零。
- 整数除法：被除数、除数、商、余数。
2. 质数和合数质数是只能被1和自身整除的正整数，合数是除了1和本身外还能被其他正整数整除的正整数。
- 判断质数：试除法、素数筛法。
- 质因数分解：将一个合数分解成质因数的乘积。
3. 最大公约数和最小公倍数最大公约数是一组数的最大公因数，最小公倍数是一组数的最小公倍数。
- 欧几里得算法：用辗转相除法求最大公约数。
- 求最小公倍数：将数分解成质因数，再取每个质因数的最高次幂相乘。
4. 同余定理同余定理是描述整数之间关系的定理。
- 同余关系：如果两个整数对于同一个模数的除法所得的余数相等，则它们对于这个模数是同余的。
- 同余定理：如果a与b对于模数m同余，那么它们的和、差、积也对于模数m同余。
5. 欧拉函数欧拉函数是比给定正整数小且与它互质的正整数的个数。
- 欧拉函数公式：对于正整数n，欧拉函数的值等于n与所有小于n且与n互质的正整数的个数。
6. 莫比乌斯函数莫比乌斯函数是一个常用于数论的函数。
- 莫比乌斯函数的定义：对于任何正整数n，莫比乌斯函数的值分为三种情况，分别是μ(n) = 1，μ(n) = -1，μ(n) = 0。
7. 勒让德符号勒让德符号是用来判断一个整数是否是二次剩余的符号。
- 勒让德符号的定义：对于正整数a和奇素数p，勒让德符号的值是一个取值为-1、0或1的函数。
- 勒让德判别定理：如果勒让德符号等于1，则a是模p的二次剩余；如果勒让德符号等于-1，则a不是模p的二次剩余。
8. 素数定理和费马小定理素数定理和费马小定理是数论中的重要定理。
- 素数定理：对于足够大的正整数n，小于等于n的素数的个数约为n／(ln(n)-1)。
- 费马小定理：如果p是素数，a是不是p的倍数的正整数，则a^(p-1)与模p同余。
《计算数论复习提纲》课件
计算数论在信息科学中也有着广泛的应用，如数 据加密、信息隐藏、数字水印等领域。
计算数论的发展历程
古代数学时期
01
古代数学家就开始研究与计算数论相关的内容，如欧几里得算
法用于求两个整数的最大公约数。
近代数学时期
02
随着数学的发展，越来越多的数学家开始关注计算数论，如费
马小定理、欧拉定理等。
计算机技术发展时期
分治算法与快速排序
分治算法
分治算法是一种将问题分解为若干个子问题 ，递归地解决子问题，并将子问题的解合并 为原问题的解的算法。快速排序是分治算法 的典型例子，通过选择一个基准元素，将数 组分为两部分，小于和大于基准的元素，然 后递归地对这两部分进行排序。
快速排序
快速排序是一种高效的排序算法，其平均时 间复杂度为O(nlogn)。快速排序的基本思
数字签名应用
数字签名广泛应用于电子政务、电子商务和网络安全等 领域。例如，在电子投票中，数字签名可以确保投票的 匿名性和不可篡改性。
密码学中的数论应用
数论在密码学中的应用
数论作为数学的一个分支，为密码学提供了丰富的理 论基础和工具。例如，基于数论的Diffie-Hellman密 钥交换协议实现了安全通信的前提条件——双方在不 安全的通道上协商出一个安全的密钥。
03
计算数论在密码学、计算机科 学、信息科学等领域有着广泛 的应用。
计算数论的应用领域
1 2 3
密码学
计算数论提供了许多加密算法和哈希函数的基础 ，如RSA算法、Diffie-Hellman密钥交换协议等 。
计算机科学
计算数论在计算机科学中有着广泛的应用，如计 算机图形学、计算机密码学、计算机算法设计等 领域。
数论初步例题和知识点总结
数论初步例题和知识点总结数论是数学的一个重要分支，主要研究整数的性质和它们之间的关系。
在这篇文章中，我们将通过一些例题来讲解数论中的常见知识点。
一、整除整除是数论中最基本的概念之一。
如果整数 a 除以整数 b（b≠0），商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，记作 b ｜ a。
例如：24÷6 ＝ 4，没有余数，所以 6 ｜ 24。
例题：证明若 a ｜ b 且 a ｜ c，则对于任意整数 m，n，有 a ｜（mb ＋ nc)。
证明：因为 a ｜ b ，所以存在整数 k1 使得 b ＝ k1a；同理，因为a ｜ c ，所以存在整数 k2 使得 c ＝ k2a 。
那么 mb ＋ nc ＝ m(k1a) ＋ n(k2a) ＝（mk1 ＋ nk2)a 。
因为 mk1 ＋ nk2 是整数，所以 a ｜（mb ＋ nc) 。
二、最大公因数和最小公倍数两个或多个整数公有的因数称为公因数，其中最大的一个称为最大公因数，记作（a, b) 。
两个或多个整数公有的倍数称为公倍数，其中最小的一个称为最小公倍数，记作 a, b 。
求最大公因数和最小公倍数可以使用质因数分解法。
例题：求 36 和 48 的最大公因数和最小公倍数。
36 ＝ 2×2×3×3，48 ＝ 2×2×2×2×3 。
它们公有的质因数是 2×2×3 ＝ 12，所以（36, 48) ＝ 12 。
最小公倍数为 2×2×2×2×3×3 ＝ 144 ，即 36, 48 ＝ 144 。
三、同余如果两个整数 a 和 b 除以正整数 m 所得的余数相同，我们就说 a 和b 对模 m 同余，记作a ≡ b （mod m) 。
同余具有很多性质，例如：1、反身性：a ≡ a （mod m) 。
2、对称性：若a ≡ b （mod m) ，则b ≡ a （mod m) 。
数论教学大纲
数论教学大纲数论教学大纲数论是数学中的一个重要分支，它研究整数的性质和相互关系。
在数论教学中，我们应该注重培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，同时也要激发他们对数学的兴趣和探索精神。
本文将从数论的基础概念、主要内容和教学方法等方面来探讨数论教学的大纲。
一、基础概念1. 整数和有理数的基本性质：包括整数的四则运算、整除性质、质数与合数等基本概念；2. 同余与模运算：引入同余的概念，介绍模运算的性质和应用；3. 素数与因子分解：讲解素数的定义和性质，以及因子分解的方法和应用。
二、主要内容1. 数论基本定理：介绍费马小定理、欧拉定理、中国剩余定理等数论基本定理的证明和应用；2. 数的分拆与组合数学：探讨数的分拆问题，如整数划分问题、斐波那契数列等；引入组合数学的概念，介绍排列组合、二项式系数等基本知识；3. 算术函数与数论函数：讲解算术函数和数论函数的定义和性质，如欧拉函数、莫比乌斯函数等；4. 数的性质与问题：介绍数的性质和问题，如完全平方数、质数分布等；讲解数论中的经典问题，如哥德巴赫猜想、费马大定理等。
三、教学方法1. 理论与实践相结合：在教学中注重理论知识的传授，同时也要引导学生进行实际问题的探索和解决，培养他们的数学思维能力；2. 举一反三：通过讲解典型例题，引导学生从中总结出规律和方法，培养他们的归纳和推理能力；3. 多元化教学手段：除了传统的讲授和练习，还可以利用数学软件、数学实验等多种教学手段，提高教学效果；4. 培养数学兴趣：通过引入趣味性的数论问题和数学游戏，激发学生对数学的兴趣，增强他们的学习主动性。
数论作为一门重要的数学分支，具有广泛的应用价值。
在教学中，我们应该注重培养学生的数学思维能力和问题解决能力，同时也要激发他们对数学的兴趣和探索精神。
通过合理的教学大纲和教学方法，可以有效提高学生的数学素养和创新能力，为他们将来的学习和工作打下坚实的基础。
数论知识点归纳总结
数论知识点归纳总结数论是数学的一个分支，研究整数及其性质的科学。
它是由数学中最古老的领域之一，也是最重要的领域之一。
数论大部分内容都集中在整数的性质和关系，包括数的性质、数的划分、数的因子、余数、等式、方程等。
数论在许多不同的领域有很多应用，如密码学、加密技术、算法设计、计算机科学等等。
下面将对数论的一些重要知识点进行归纳总结，以便更好地理解和掌握数论的基本概念和方法。
一、整数及其性质1. 整数的性质：整数是由自然数和其相反数构成的有理数。
整数的性质包括奇数和偶数的性质、质数和合数的性质、互质数和最大公约数的性质等等。
2. 除法定理：任意两个整数a和b中，存在唯一的一对整数q和r使得a=bq+r，其中0<=r<|b|。
3. 唯一分解定理：每一个大于1的自然数都可以写成一组素数的乘积。
而且，如果一个数有两种不同的素因数分解形式，那么这两种形式只差一个或若干个单位。
4. 有限整除原理：如果一个整数被另一个不等于0的整数整除，那么这两个整数中一定有一个是整数的最大公因子。
二、数的划分1. 除法和约数：一个整数能被另一个整数整除，那么这个整数就是另一个整数的约数。
2. 素数：只有1和它本身两个因子的自然数，称为素数。
3. 合数：大于1的除了1和它本身以外还有其他因子的数，称为合数。
4. 最大公因数和最小公倍数：两个整数a和b最大的公因数称为a和b的最大公因数，最小的公倍数称为a和b的最小公倍数。
5. 互质数：两个数的最大公因数是1，就称这两个数是互质数。
三、同余和模运算1. 同余性质：如果两个整数a和b除以正整数m所得的余数相等，就称a与b对模m同余。
2. 同余方程：形如ax≡b(mod m)的方程称为同余方程，其中a，b，m都是整数。
3. 欧拉函数：对于任意正整数n，欧拉函数φ(n)是小于或等于n且与n互质的正整数的个数。
4. 模反元素：在模n的情况下，如果一个数a与n互质，那么a关于模n的乘法逆元素x 就是属于[0, n-1]的一个整数，使得ax ≡ 1 (mod n)。
《计算数论》复习提纲
x 2 1 0(mod 2n 1), 即 x 2 1(mod 2n 1).
故-1是模2n+1的平方剩余，即 1 1. 2n 1
其中2n+1是奇素数。所以 2n 1 1(mod 4)
故 2n 0(mod4，) n 0(m。od 2)
Miller-Rabin算法 Lehmann算法 Solovay-Strassen
大整数因子分解算法（ch9）
通用整数因子分解方法：理论基础
连分数方法（CFRAC）， 二次筛法（QS） *数域筛法（NFS）
专门用途的因子分解方法
“rho”方法 “p-1”方法
数论在密码学上的应用(ch10)
制的两个素数，选取eA=7作为公开密钥。请给出用户A的 秘密密钥，并验证3是不是用户A对报文摘要5的签名。
q 1
例2：设素数p>2，则2P-1的质因数一定是 2pk+1形。
证：设q是2P-1的质因数，由于2P-1为奇数， ∴ q≠2， ∴ （2，q）=1。 由条件q| 2P-1, 即2P≡1（mod q）
公钥密码
RSA机制 Elgamal机制
习题
习题（续）
1.设用户A的公开参数为(NA=55，eA=23)，用户B的公开 参数为(NB=33，eB=13)，用户A应用RSA算法向用户B传
送的消息m=6时，求A发送的带签名的保密信息。 2.设用户A选取p=11和q=7作为模数为N=pq的RSA公钥体
实数表示为连分数：
任一无理数都可表为无限简单连分数， 有理数的连分数表示法
循环连分数：
二次代数数都是循环连分数 二次方根的连分数
最佳渐近分数
初中数论知识点
初中数论知识点一、关键信息1、整数的性质整数的分类：正整数、零、负整数整数的整除性：若整数a 除以非零整数b，商为整数，且余数为零，称 a 能被 b 整除奇数与偶数：能被 2 整除的整数是偶数，不能被 2 整除的整数是奇数2、质数与合数质数：一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除合数：除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除3、公因数与公倍数公因数：几个整数公有的因数公倍数：几个整数公有的倍数4、数的整除特征能被 2 整除的数：个位数字是 0、2、4、6、8能被 3 整除的数：各位数字之和能被 3 整除能被 5 整除的数：个位数字是 0 或 55、同余定理若两个整数 a、b 除以同一个整数 m 所得的余数相同，则称 a、b 对于模 m 同余6、最大公因数与最小公倍数的求法质因数分解法短除法二、整数的性质11 整数包括正整数、零和负整数。
正整数是大于 0 的整数，负整数是小于 0 的整数，零既不是正整数也不是负整数。
111 整数的整除性是数论中的重要概念。
例如，6 能被 3 整除，因为 6÷3 ＝ 2，余数为 0。
112 奇数和偶数具有不同的性质。
奇数可以表示为 2n ＋ 1 的形式，其中 n 为整数；偶数可以表示为 2n 的形式。
三、质数与合数21 质数是数论中的基本概念，如 2、3、5、7 等都是质数。
质数在密码学等领域有重要应用。
211 合数则相对复杂，例如 4、6、8、9 等。
可以通过分解质因数来判断一个数是否为合数。
四、公因数与公倍数31 公因数是指几个整数公有的因数。
例如，12 和 18 的公因数有 1、2、3、6。
311 公倍数是几个整数公有的倍数。
12 和 18 的最小公倍数是 36。
五、数的整除特征41 能被 2 整除的数，其个位数字必然是 0、2、4、6、8 之一。
这一特征在判断整数的奇偶性时非常有用。
411 能被3 整除的数，其各位数字之和必须能被3 整除。
小学奥数知识点梳理1——数论教学提纲
数论：1、奇偶;2、整除;3、余数；4、质数合数‘5、约数倍数；6平方；7、进制；8、位值。
一、奇偶：一个整数或为奇数，或为偶数，二者必居其一。
奇偶数有如下运算性质：（1）奇数土奇数=偶数偶数土偶数= 偶数奇数土偶数=奇数偶数土奇数二奇数（2）奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）总是偶数。
（3）奇数x奇数二奇数偶数x偶数二偶数奇数X偶数二偶数（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数。
（5）偶数的平方能被4整队，奇数的平方被4除余1。
上面几条规律可以概括成一条：几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定；如果算式中共有偶数（注意：0也是偶数）个奇数，那么结果一定是偶数；如果算式中共有奇数个奇数，那么运算结果一定是奇数。
二、整除：掌握能被30以下质数整除的数的特征。
被2整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被2整除.被3 （9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被 3 （9）整除。
被5整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被5整除。
被11整除的数的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。
下面研究被7、11、13整除的数的特征。
有一关键性式子：7X11X13=1001。
判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。
此法则可以连续使用。
例：N=987654321判定N是否被11整除。
9 8 7-333第一歩:第二歩6 54因为654不能被11整除，所以N不能被11整除例：N= 215332判定N是否被7、11、13整除。
由于117= 13X 9,所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此N 能 被13整除，不能被7、11整除此方法的优点在于当判定一个较大的数能否被 7或11或13整除时，可用减 法把这个大数化为一个至多是三位的数，然后再进行判定。