球杆系统技术方案报告

球杆系统技术方案报告

引言

球杆系统是一个由一根直杆和放置于其上的一个小球组成的控制对象。其中小球在沿直杆方向上有一个自由度可以自由滚动，而直杆与水平方向的夹角可以通过伺服电机进行控制。当直杆偏离水平方向时，小球在重力的作用下将沿着直杆滚动。该系统的设计目的就是通过伺服电机控制直杆的角度，进而控制小球在直杆上的滚动，实现在最短时间、最小过调量等控制条件下，让小球滚动并稳定到横杆上的指定位置[1]。

球杆系统是一个非线性不稳定系统，其中小球在导轨上滚动过程的动态描述十分复杂。它具有自身时滞时间小、响应速度快的特性[2]，是控制实验室里常见的实验设备。球杆系统通常用来检验控制策略的效果，是控制理论研究中较为理想的实验手段。

图1 德国Amira公司的Ball and Beem 实验装置BW500[3]

1球杆系统设计

球杆系统包括V型槽轨道、不锈钢球、连杆、直流减速电机[4]，直线位移传感器，角度传感器。球杆系统通过执行部件直流减速电机带动杆和角度传感器轴转动。杆倾斜时，小球由于自身重力的作用在杆上滚动，通过直线位移传感器检测小球在杆上的位置，角度传感器检测杆的倾角[5]。球杆系统原理图如下图所示。

图1.1 球杆系统原理图

直流电机的驱动放大都是采用晶体管功率放大器来实现的，晶体管放大系统可以分为两种类型，线性放大器和开关型放大器。线性放大器几乎都采用晶体管，线性地提供所需的直流电源，而开关型放大器可采用晶体管，也可采用普通晶闸管。在开关型放大器中，输出级的功率器件工作在迅速地从非导通时功率器件上的压降很小，这样避开了工作在线性放大区域，因此功率输出级的损耗就很小。目前，线性放大器一般仅在小功率的场合有所应用，而大量采用的是开关型放大器。开关型放大器通常可分为三种；脉宽调制，脉冲频率调制和可控硅整流。

这里使用L298N直流电机驱动芯片，L298N是一款性能优越的小型直流电机驱动芯片，它可以用来驱动两个直流电机在4－46V电压下，提供2A的额定电流，并且还有过热自动关断功能，驱动电路图如图1.2所示。

图1.2 直流电机驱动电路原理图

2系统模型

基于拉格朗日方程的线性化方法，通过此方法建立起球杆系统简洁而直观的

数学模型。

2.1 拉格朗日方程

由于系统中小球的速度和加速度与横杆的角度以及角度的变化都有关联，如果采用牛顿力学方程建立，公式中的变量过多，因此，采用拉格朗日方程对系统的能量进行分析，以此建立球杆系统的运动模型[6]。

考虑由n 个质点组成的质点系，有k 个自由度，以k 个广义坐标q i ，(i=1,2,…k)确定质点系的位置，则质点系中任一质点的矢径为广义坐标与时间的矢量函数，即

12(,,...,;)i i k r r q q q t =

该质点的虚位移为：

1k

i i j j j r r q q δδ=?=?∑

代入动力学方程，得： 11()0n k

i i i i j i j j r F m a q q δ==?-=?∑∑ 记i Ij i

j

r Q F q ?=?∑为广义力，通过对广义坐标q l 求偏导后再对时间t 求导，经整理可得[7]： 221111()()22n n Ij i i i i i i j

j d Q m v m v dt q q ==??=-+??∑∑ 设质点动能为T ，2112

n i i i T m v ==∑，如果系统中的主动力均为有势力，刚广义力可表示为j j V Q q ?=-?，又由于势能函数中不包含速度q j ，即0j

V q ?=?。于是有： ()()0j j

d T V T V dt q q ??---=?? 即：

0j j

d L L dt q q ??-=?? 式中L =T -V 称为拉格朗日函数。如果质点所受力含有非有势力，并记τ为质点所受非有势力之和，则拉式方程写为[8]：

j j j

d T T V dt q q q τ???-=-+??? 2.2 球杆的运动学模型

根据系统设计方案可以绘出球杆的运动学模型。

图2.1 球杆系统坐标系

以下为变量表示的物理意义：m ：球的质量，M ：杆的质量，g ：重力加速度，r ：球的旋转半径，I b ：球的惯性力矩，I w ：杆的惯性力矩，x ：球相对于杆的坐标，y ：球相对于杆的坐标，ψ：球相对于杆的转角，α：杆与水平线的夹角。

由图2-1可见，该球-杆对象的自由坐标有3个：球在杆上的坐标x,球的滚转角ψ和杆的转角α。

系统的动能分为小球的动能T w 和导轨的动能T b ：其中导轨的动能为：

212

w w T I α= 221122

b b b T m I ω=+v ω=?v v'+r

上式中，v 是球线速度，v ’是球在杆坐标第中的线速度，r 是球质心在杆的坐标第中的位置向量。改写为向量形式：

000000x x x R R R ααα----????????????????+?=-????????????????????????

v = ωb 也是由两个分量组成的：球在杆上的滚动和杆的转速，即

b x R

ωα=+ 222()2()b x x x R R R

ωαα=++≈ 整理可得系统动能为：

2221[()()]2b w w b x T T T I m x x I R

αα=+=+++ 系统的势能为：

sin V mgx α=-

现将各已知条件带入到拉格朗日方程来推导系统的运动方程，得：

2222221{[()()]}()2b w b I T x I m x x I m x x x R R

αα??=+++=+?? 忽略了系统的阻尼，记电机力矩为τ，可得到系统关于广义坐标α的拉格朗日方程为：

22()sin b I m x mx mg R

αα+-= 2()2cos mx I mxx ngx ωααατ++-= 2.3 拉格朗日方程线性化

考虑到是研究微小偏差下的性能，取sin αα=，cos 1α=，故得最终的线性化方程组为：

2()b I m x mg R

α+= 2()mx I mgx αατ+-=

这一组线性化方程将球杆系统的特点描绘得非常清楚，式(2-28a)表示杆转动α角引起的重力加速度分量使球沿杆运动，(2-28b)则说明球处于不同位置产生的力矩与外力矩使杆偏转，杆和球在一起的转动惯量是2()mx I α+，随球在杆上的位置而变，而球位置的影响是正反馈。可见不仅这种线性化处理过程比较直观、简单，处理结果的物理概念也非常清晰。

根据球杆对象的线性运动方程式，选取系统变量1x x =，2x x =，3x α=，4x α=，则1x 代表球在杆上的位置，2x 代表球在杆上的线速度，3x 代表杆的倾斜角度，4x 代表杆的旋转角速度。将具体数据代入上式，有

12x x = 122()b I x m mg R

α-=+ 34x x =

21401()()x mx I mgx ωτ-=++

3 球杆系统控制设计

整个球杆系统采用双闭环控制，框图为图3.1所示可实际测得电机位置模型为11()a G s s =，由前一章算得球杆本体模型为222()a G s s =，这里10.65a =，27a =。 通用的串级系统在结构上形成了两个闭环，其中外环的闭环称为主环或主回路，用于最终保证被控量满足工艺要求，里面的闭环称为副环或副回路，用于克服电机所受的主要干扰，系统中有两个控制器，其中主控制器具有自己独立的给定值，其输出作为副控制器的给定值，副控制器的输出则送到执行机构直流电机去控制球杆运动，由于整个副闭环回路可以作为一个等效对象来考虑，主回路设计便与一般单回路控制系统没有什么大的区别，而副参数选择应使副回路时间常数较小，调节通道短，反应灵敏。

图3.1 球杆系统双闭环控制框图

3.1 PID 控制器的设计与仿真

内环用P 控制器闭环控制直流电机，然后与球杆系统串联得到整个球杆系统传递函数，然后外环用PD 控制器控制小球位置。先用凑试法整定内环比例系数，外环用最优PID 整定算法整定比例系数、微分系数。

用simulink 进行仿真，如图4.2所示。

图3.2 simulink 仿真模型

3.2 模糊PID 控制

在常规控制中，PID 控制是最简单最实用的一种控制方法，它既可以依靠数学模型通过解析的方法进行设计，也可不依赖模型而凭借经验和凑来确定。在模

糊控制中，通常采用误差和误差层数作为模糊控制的输入量，因而它本质上相当于一种非线性PD控制，需加入积分作用。

理率分析和实验都表明，只利用模糊控制器进行系统控制，往往不能满足控制对象的所有指标，因此一个完整的模糊控制系统还需要某种传统的控制器，通常采用PID控制器来进行补充，常规模糊PID控制结构最早由一个常规积分控制器和一个二维模糊控制器相并联而构成。

由于PI控制器中的参数在整个控制过程中不发生变化，使控制规则不可能确切的反应控制对象的实际情况，自适应能力低，只适用于线性系统，且对对象的数学模型过分依赖，因此，对于那些严重非线性及时变的复杂被控对象难以达到良好的控制效果。为此，采取模糊控制器的输出值对PID控制器的参数整定。

采用的模糊PID模型为常规的形式，即采用误差及误差的微分两个量作为模糊控制器的输入量，输出量为给定PID参数的变化量。

图3.3 模糊PID控制器

由此可以搭建出模糊PID控制模型：

图3.2 模糊PID控制仿真模型

4可行性分析

本文设计了球杆系统总体方案，进行了电机相关电路的设计。对球杆系统进行了深入分析，建立了其数学模型，进而用经典控制理论的PID控制器，以及模糊PID控制器分别对其控制，并用MATLAB/SIMULINK对其进行仿真校验。

可以测得，当阶跃输入为u=5，经典控制理论的PID控制器输出见图4.1、4.2所示，可见小球两秒到达指定位置并且无超调，性能良好。

图4.1 小球位置图 4.2 电机位置

在球杆系统控制中也有一些问题需要进一步的解决，以提高球杆控制系统的控制精度，获得更好的控制效果。例如需要获得精确的直流电机参数，转动惯量、机电时间常数、转矩常数等，建立直流电机的精确数学模型，提高直流电机位置控制的性能。其它系统参数应经过多次实验测量，各摩擦系数进行较精确测量，有利于提高模型精度，改善控制效果。

综上所述，球杆系统的PID（及模糊PID）控制方案可行，可以进行更深入研究与实验分析。

参考文献

[1]杨振华,何岭松. 基于Matlab和OpenGL球杆系统虚拟仿真. 实验技术与管理[J].

2010(27):83-86.张建华.精密与特种加工技术[M].北京:机械工业出版社, 2003.

[2]占探,桂卫华,阳春华,伍晓峰. 基于网络控制的球杆系统模糊控制器设计. 控制工程[J].

2011(18):78-82.

[3]https://www.360docs.net/doc/77238232.html,/AI/Amira/amira/bw500en.htm.

[4]潘飞. 球杆系统设计与仿真研究[D]. 华中科技大学, 2007.

[5]周长浩, 球杆系统的控制设计[D]. 哈尔滨工业大学, 2006.

[6]韩亚军,彭凤英. 基于Ziegler-Nichols方法PID控制器的球杆系统, 重庆文理学院学报[J],

2011(30):45-47.

[7]魏坤, 球杆平衡系统控制方法研究[D], 长春工业大学, 2010.

[8]张松兰. PID控制器参数整定. 科技情报开发与经济[J], 2007,17(28):220-221.