通信原理教程+樊昌信+习题答案第二章

第二章习题

习题 设随机过程X (t )可以表示成：

()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞

式中，θ是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P (θ=0)=，P (θ=π/2)= 试求E [X (t )]和X R (0,1)。

解：E [X (t )]=P (θ=0)2cos(2)t π+P (θ=/2)2cos(2)=cos(2)sin 22

t t t π

πππ+

-

cos t ω

习题 设一个随机过程X (t )可以表示成：

()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞

判断它是功率信号还是能量信号并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：为功率信号。

[]/2

/2/2

/21()lim ()()1lim 2cos(2)*2cos 2()T X T T T T T R X t X t dt T t t dt

T ττπθπτθ→∞

-→∞-=+=+++?

?

222cos(2)j t j t e e πππτ-==+

2222()()()(1)(1)

j f j t

j t j f X P f R e d e

e e d

f f πτπππττττδδ∞-∞---∞-∞==+=-++??

习题 设有一信号可表示为：

4exp() ,t 0

(){0, t<0

t X t -≥=

试问它是功率信号还是能量信号并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：它是能量信号。X (t )的傅立叶变换为：

(1)004

()()441j t t j t j t

X x t e

dt e e dt e dt j ωωωωω

+∞-+∞--+∞-+-∞====+??? 则能量谱密度 G(f)=2

()X f =2

22

416114j f

ωπ=++

习题 X (t )=12cos 2sin 2x t x t ππ-，它是一个随机过程，其中1x 和2x 是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为2σ。试求：

(1)E [X (t )]，E [2()X t ]；(2)X (t ) 的概率分布密度；(3)12(,)X R t t

解：(1)()[][]()[]02sin 2cos 2sin 2cos 2121=?-?=-=x E t x E t t x t x E t X E ππππ

()X P f 因为21x x 和相互独立，所以[][][]2121x E x E x x E ?=。

又因为[][]021==x E x E ，[][]12212x E x E -=σ，所以[][]

22

2

21σ==x E x E 。 故 ()[]

()222222sin 2cos σσππ=+=t t t X E

(2)因为21x x 和服从高斯分布，()21x x t X 和是的线性组合，所以()t X 也服从高斯分布，其概率分布函数()????

??-=

222exp 21

σσπz x p 。 (3)()()()[]()[]2221121121212sin 2cos )2sin 2cos (,t x t x t x t x E t X t X E t t R X ππππ--== []212122sin 2sin 2cos 2cos t t t t ππππσ+= ()1222cos t t -=πσ

习题 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)()f f πδ2cos 2+； (2)()a f a -+δ； (3)()2

ex p f a -

解：根据功率谱密度P (f )的性质：①P (f )0≥，非负性；②P (-f )=P (f ) ，偶函数。可

以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。

习题 试求X (t )=A cos t ω的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。 解：R (t ，t+τ)=E [X (t )X (t+τ)] =[]cos *cos()E A t A t ωωτ+

[]2

21cos cos (2)cos ()22A A E t R ωτωτωττ=++== 功率P =R(0)=22

A

习题 设()t X 1和()t X 2是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为

()()ττ21X X R R 和。试求其乘积X (t )=12()()X t X t 的自相关函数。

解：

(t,t+)=E [X (t )X (t+)]=E [1212()()()()X t X t X t X t ττ++]

=[][]1122()()()()E X t X t E X t X t ττ++=12()()X X R R ττ

习题 设随机过程X (t )=m (t )cos t ω，其中m (t )是广义平稳随机过程，且其自相关函数为

4210,10 kHZ 10 kHZ

()0,X f f P f -?-<<=?

?

其它 (1)试画出自相关函数()X R τ的曲线；(2)试求出X (t )的功率谱密度()X P f 和功率P 。

解：(1)()1, 101010,x R ττττ

τ+-<

=-≤

其它 其波形如图2-1所示。

图2-1信号波形图

(2)因为)(t X 广义平稳，所以其功率谱密度()()τωX X R P ?。由图2-8可见，()τX R 的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此

()()()[]??

?

??

???? ??-+??? ??+=

???

???*-++?=

2Sa 2Sa 4112Sa 21210

202200ωωωωωωωδωωδππωx P

()()2

10,21d 21===

=

?

∞

∞

-x x R S P P 或ωωπ

习题设信号x (t )的傅立叶变换为X (f ) =

sin f

f

ππ。试求此信号的自相关函数。

解：x (t )的能量谱密度为G (f )=2

()X f =2

sin f

f ππ

其自相关函数()21, 10()1010,j f X R G f e df πτ

τττττ+∞-∞

+-≤≤??==-≤

?其它

习题 已知噪声()t n 的自相关函数()τ

τk -e 2

k R n =

，k 为常数。 (1)试求其功率谱密度函数()f P n 和功率P ；(2)画出()τn R 和()f P n 的曲线。 解：(1)222()()2(2)

k j j n n k k P f R e

d e e d k f τωτ

ωττττπ-+∞-+∞--∞

-∞

===+?

?

()20k R P n ==

2

1()

τx R 1

τ

1

(2)()n R τ和()f P n 的曲线如图2-2所示。 图2-2

习题 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数：

()1, 11R τττ=--≤<

试求X (t)的功率谱密度()X P f 并画出其曲线。 解：详见例2-12

习题 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为

4210,10 kHZ 10 kHZ

()0,X f f P f -?-<<=?

?

其它 试求其平均功率。

解：343

10*104

2

4

1080

2

()2102*10*

*103

3

X f P P f df f df +∞

--∞

====??

习题 设输入信号/,0

()0,0t e t x t t τ-?≥=?

波器（见图2-3）上，RC ＝。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。

解：高通滤波器的系统函数为

H(f)=()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞

输入信号的傅里叶变换为

X(f)=

11

122j f j f τ

πτ

πτ

τ

=

++

输出信号y(t)的能量谱密度为

2

2

()()()()11()(1)

22y R G f Y f X f H f R j fC

j f τππτ

===

+

+

习题 设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y(t)=[]()/dx t dt τ式中，τ为常数。试求该线性系统的传输函数H(f).

解：输出信号的傅里叶变换为Y(f)=*2*()j f X f τπ,所以H(f)=Y(f)/X(f)=j 2f πτ

()

τn R 2

k τ

()

f P n 1

f

C

R

图2-3RC 高通滤波器

习题 设有一个RC 低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为

2

n 的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。 解：参考例2-10

习题 设有一个LC 低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为

2

n 的高斯白噪声时，试求 (1) 输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。

解：(1)LC 低通滤波器的系统函数为

H(f)=

222

1221422j fC f LC

j fL

j fC

ππππ=

-+

输出过程的功率谱密度为2

002

1

()()()21i n P P H LC

ωωωω==

- 对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为00()exp()4Cn C

R L L

ττ=-

(2) 输出亦是高斯过程，因此 20

000(0)()(0)4Cn R R R L

σ=-∞==

习题若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为

2

n 的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。 解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由题可知E(y(t))=0 ,

20

0(0)4y n R RC

σ==

所以输出噪声的概率密度函数

20

2())y x RC

p x n =

-

习题设随机过程()t ξ可表示成()2cos(2)t t ξπθ=+，式中θ是一个离散随变量，且

(0)1/2(/2)1/2p p θθπ====、，试求[(1)]E ξ及(0,1)R ξ。

解：[(1)]1/2*2cos(20)1/2*2cos(2/2)1;E ξπππ=+++=

图2-4LC 低通滤波器

(0,1)[(0)(1)]1/2*2cos(0)2cos(20)1/2*cos(/2)2cos(2/2)2

R E ξξξππππ==+++=

习题设

1020()cos sin Z t X w t X w t

=-是一随机过程，若

1

X 和

2

X 是彼此独立且具有

均值为 0、方差为2

σ的正态随机变量，试求：

（1）[()]E Z t 、

2[()]E Z t ； （2）()Z t 的一维分布密度函数()f z ； （3）

12(,)

B t t 和

12(,)

R t t 。

解： （1）

10200102[()][cos sin ]cos []sin []0

E Z t E X w t X w t w tE X w tE X =-=-=

因为

1

X 和

2

X 是彼此独立的正态随机变量，

1

X 和

2

X 是彼此互不相关，所以

12[]0

E X X =

22222222210200102[()][cos sin ]cos []sin []

E Z t E X w t X w t w tE X w tE X =-=+

又1[]0E X =;222112()[][]D X E X E X σ=-= 221[]E X σ?=

同理

22

2[]E X σ=

代入可得 22

[()]E Z t σ=

（2）

由[()]E Z t =0；22

[()]E Z t σ= 又因为()Z t 是高斯分布

可得 2

[()]D Z t σ=

2

2[()])2z f Z t σ=- (3)

12121212(,)(,)[()][()](,)

B t t R t t E Z t E Z t R t t =-=

101201102202[(cos sin )(cos sin )]

E X w t X w t X w t X w t =--

221010220102220120[(cos cos sin sin )]cos ()cos E X w t w t X w t w t w t t w σστ=+=-=

令

12t t τ

=+

习题求乘积()()()Z t X t Y t =的自相关函数。已知()X t 与()Y t 是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为()

x R τ、

()

y R τ。

解：

因()X t 与()Y t 是统计独立，故 [][][]E XY E X E Y =

()[()()][()()()()] [()()][()()]()()Z X Y R E Z t Z t E X t Y t X t Y t E X t X t E Y t Y t R R ττττττττ=+=++=++=

习题若随机过程

0()()cos()

Z t m t w t θ=+，其中()m t 是宽平稳随机过程，且自相关函数

()m R τ为 1,10()1,01

0,m R τττττ+-<

=-≤

计独立。

（1） 证明()Z t 是宽平稳的； （2） 绘出自相关函数()

Z R τ的波形；

（3） 求功率谱密度

()

Z P w 及功率S 。

解：

（1）()Z t 是宽平稳的[()]E Z t ?为常数；

00[()][()cos()][()][cos()]

E Z t E m t w t E m t E w t θθ=+=+

20

1[cos()][()]0

2w t d E Z t π

θθπ

=+=?

1212101202(,)[()()][()cos()()cos()]

Z R t t E Z t Z t E m t w t m t w t θθ==++

120102[()()][cos()cos()]

E m t m t E w t w t θθ=++

1221[()()]()

m E m t m t R t t =-只与

21t t τ

-=有关：

令

21t t τ

=+

0101{cos()cos[()]}

E w t w t θτθ+++

01010010{cos()[cos()cos sin()sin }

E w t w t w w t w θθτθτ++-+

200100101cos *[cos ()]sin *[cos()sin()]

w E w t w E w t w t τθτθθ=+-++

0011

cos *{[1cos 2()]}0

2w E w t τθ=++- 01

cos()2w τ=

所以1201

(,)cos()*()

2Z m R t t w R ττ=只与τ有关，证毕。

（2）波形略；

0001

(1)cos(),10211

()cos()*()(1)cos(),01

22

0,Z m w R w R w τττττττττ?+-<

?==-≤

??其它

()()

Z Z P w R τ?

而

()

Z R τ的波形为

可以对

()

m R τ求两次导数，再利用付氏变换的性质求出

()

m R τ的付氏变换。

''2sin(/2)()(1)2()(1)()()/22m m w w

R P w Sa w τδτδτδτ=+-+-?=

=

22001

()[()()]

422Z w w w w P w Sa Sa ++?=+ 功率S ：

(0)1/2

Z S R ==

习题已知噪声()n t 的自相关函数

()exp()2n a

R a ττ=

-，a 为常数： 求()n P w 和S ；

解：

因为

222exp()a

a w a τ-?

+

所以

2

2

2()exp()()2n n a a R a P w w a ττ=-?=+ (0)2a S R ==

习题()t ξ是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。在区间（-1，1）上，该自相关函数

()1R ττ

=-。试求()t ξ的功率谱密度

()

P w ξ 。

解：见第2. 4 题

2()1()

2w

R Sa ττ=-?

因为

()(2)

T n t t n δδ∞

=-∞=-∑ 所以

()()*()T t R t ξτδ=

据付氏变换的性质可得

()()()

R P w P w F w ξδ= 而

()(2)()

T n n t t n w n δδπδπ∞

∞

=-∞=-∞=-?-∑∑

故2

2()()()()*()()*()22R n n w w n P w P w F w Sa w n Sa w n ξδ

ππδππδπ∞∞=-∞=-∞-==-=-∑∑

习题将一个均值为 0，功率谱密度为为

0/2

n 的高斯白噪声加到一个中心角频率为

c

w 、带宽为B 的理想带通滤波器上，如图

（1） 求滤波器输出噪声的自相关函数； （2） 写出输出噪声的一维概率密度函数。 解： （1）

2

()()()()2o i n P w H w P w H w ==

因为0200()()

w G w Sa w w πτ?,故2()()

B G w BSa B ππτ?

又

2()()*[()()]

B c c H w G w w w w w πδδ=++-

1

()()cos()

c c c w w w w w δδτπ

++-?

由 付氏变换的性质 12121

()()()*()2f t f t F w F w π?

可得

0020()()()*[()()22

()()cos()o B c c c n n

P w H w G w w w w w R n BSa B w πδδτπττ=

=++-?=

（2）

[()]0

o E t ξ=；

200

(0)[()]R E t Bn ξ==；

2()[()]0

o R E t ξ∞==

所以

20

(0)()R R Bn σ=-∞=

又因为输出噪声分布为高斯分布

可得输出噪声分布函数为2

00

[()])

2t f t Bn ξ=-

习题设有RC 低通滤波器，求当输入均值为 0，功率谱密度为0/2

n 的白噪声时，

输出过程的功率谱密度和自相关函数。

解：

1

1()11jwC

H w jwRC R jwC ==

++

(1)

2

021

()()()*

21()O i n P w P w H w wRC ==

+

(2) 因为

222exp()a a w a τ-?

+

所以

002

1

()*()exp()2()14o O n n p w R wRC RC RC ττ=

?=-+

习题将均值为0，功率谱密度为0/2

n 高斯白噪声加到低通滤波器的输入端，

（1） 求输出噪声的自相关函数；

（2） 求输出噪声的方差。

解：

()R H w R jwL =

+

(1) 2

2

0022

()()()*()exp()2()4o i O R n n R P w P w H w R R wL L L ττ==?=-+

(2)

0[()]0

E n t =；

20(0)()(0)4n R R R R L σ=-∞==

习题设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为b

T ，脉冲幅度取

1±的概率相等。现假设任一间隔b T 内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程具有宽平稳性，试证：

（1）自相关函数

1/,

b

b

T T

ξττ

?

-≤

??

（2）功率谱密度

2

()[()]

b b

P w T Sa fT

ξ

π

=

。

解：

（1）

()[()()]

R E t t

ξ

τξξτ

=+

①当b

T

τ>

时，()t

ξ与()

t

ξτ+无关，故()

R

ξ

τ

=0

②当b

T

τ≤

时，因脉冲幅度取1±的概率相等，所以在2b T内，该波形取-1 -1、1 1、-1 1、1 -1 的概率均为

1

4。

（A）波形取-1-1、11 时，

在图示的一个间隔b

T内，

1

()[()()]*11/4

4

R E t t

ξ

τξξτ

=+==

（B）波形取-1 1、1 -1 时，

在图示的一个间隔b

T内，

1

()[()()]*()

4

b

b b

T

R E t t

T T

ξ

ττ

τξξτ

-

=+=-

当b

T

τ≤

时，

11

()[()()]2*2*()1

44

b

b b b

T

R E t t

T T T

ξ

τττ

τξξτ

-

=+=+-=-

故

1/,b b

T T ξττ?

-≤??

（2）

2()24A w Sa ττ?

,其中2A τ为时域波形的

面积。所以

2()()(

)2b

b wT R p w T Sa ξξτ?=。

习题有单个输入、两个输出的线形过滤器，若输入过程，()t η是平稳的，求1()

t ξ与

2()t ξ的互功率谱密度的表示式。

（提示：互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换对）

解：

110

()()()t t h d ξηααα

∞

=-?

220()()()t t h d ξηβββ

∞

=-?

121,11121()[()()]

R t t E t t τξξτ+=+

11120

1200

[()()()()]

()()()E t h d t h d h h R d d ηηαααητβββαβταβαβ

∞

∞

∞∞

=-+-=+-????

所以

121212()()[()()()jw jw P w R e

d d d h h R

e d τ

τ

ητττ

ααβταββ∞∞∞∞

---∞

-∞

-∞

-∞

=

=

+-?

???

令'

τταβ=+-

'

''*12120

()()()[()()()()

jw jw jw P w h e

d h e

d R

e d H w H w P w α

β

τηηααββττ∞∞

∞

---∞

==???

习题若()t ξ是平稳随机过程，自相关函数为()

R ξτ，试求它通过系统后的自相关

函数及功率谱密度。

解：

()()()()1jwT h t t t T H w e δδ-=+-?=+ 1/2

()(22cos )H w wT =+

2

()()()2(1cos )()

O P w H w P w wT P w ξξ==+

()2()2cos *()2()()()

jwT jwT

O P w P w wT P w P w e e P w ξξξξ-=+=++

2()()()

R R T R T ξξξτττ?+-++

习题若通过题的低通滤波器的随机过程是均值为 0，功率谱密度为0/2

n 的高斯白

噪声，试求输出过程的一维概率密度函数。

解：

0[()]0

E n t =;

2

0000021()*()exp()21()44n n n P w R wRC RC RC RC ττσ=

?=-?=+

又因为输出过程为高斯过程，所以其一维概率密度函数为

2

2[])

2x f x σ=-