2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷一课一练(含解析)人教A版必修一
第二章单元测试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2018·成都诊断)若a <1,b >1,则下列命题中正确的是( )。 A.1a >1
b
B.b
a >1
C.a 2
D.ab 解析:由a <1,b >1,得a -1<0,b -1>0,所以(a -1)(b -1)<0,即ab 2.(2019·重庆第七中学高一期末)已知不等式x 2 +x -c <0的解集为(-2,1),则c 的值为( )。 A.-2 B.1 C.2 D.4 答案：C 解析:∵x 2+x -c <0的解集为(-2,1),∴-2和1是方程x 2 +x -c =0的两个根,∴-c =-2×1,∴c =2。 3.设集合M ={x |x 2 +x -6<0},N ={x |1≤x ≤3},则M ∩N =( )。 A.[1,2) B.[1,2] C.(2,3] D.[2,3] 答案：A 解析:集合M =(-3,2),M ∩N =(-3,2)∩[1,3]=[1,2)。 4.(2019·湖北八校联考)已知x >0,y >0,a +b =x +y ,,cd =xy ,则(a+b )2 cd 的最小值是( )。 A.0 B.1 C.2 D.4 答案：D 解析:由题意知a +b =x +y ,cd =xy ,x >0,y >0,则 (a+b )2 cd = (x+y )2 xy ≥ (2√xy )2 xy =4。当且仅当x =y 时,等号 成立,故选D 。 5.(2019·西安调考)当x ∈R 时,不等式kx 2 -kx +1>0恒成立,则k 的取值范围是( )。 A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.[0,4) D.(0,4) 答案：C 解析:当k =0时,不等式变为1>0,成立;当k ≠0时,不等式kx 2 -kx +1>0恒成立,则{k >0,Δ=(-k )2 -4k <0, 即0 +bx +2>0的解集是{x |-12 3},则a -b 的值为( )。 A.-10 B.-14 C.10 D.14 答案：A 解析:易知a <0,-12,1 3为方程ax 2 +bx +2=0的两 根,∴-1 2×13=2 a ,∴a =-12,-12+1 3=-b a ,∴a =6 b ,∴b =-2,∴a -b =-10。 7.(2019·合肥模拟)已知-1 3 B .-1 2 C .-3 4 D .-2 3 答案：B 解析:∵-1 2) 2 =3 4 ,当且仅当x=-1 2 时取 等号。 8.(2019·南昌调考)设x,y为正数,则(x+y)(1 x +4 y )的最小值为()。 A.6 B.9 C.12 D.15 答案：B 解析:(x+y)(1 x +4 y )=1+y x +4x y +4=5+y x +4x y ≥5+2√y x ·4x y =5+4=9。 9.(2019·长春调研)已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0,T=1 a +1 b +1 c ,则()。 A.T>0 B.T<0 C.T=0 D.T≥0 答案：B 解析:由a+b+c=0,abc>0,知三数中一正两负。不妨设a>0,b<0,c<0,则 T=1 a +1 b +1 c =ab+bc+ca abc =ab+c(b+a) abc =ab-c 2 abc 。∵ab<0,-c2<0,abc>0,∴T<0。 10.(2019·济南调考)设x>0,则y=3-3x-1 x 的最大值是()。 A.3 B.3-3√2 C.3-2√3 D.-1 答案：C 解析:∵x>0,∴y=3-3x-1 x =3-(3x+1 x )≤3-2√3x·1 x =3-2√3。当且仅当3x=1 x ,即x=√3 3 时,等号 成立。故所求的最大值为3-2√3。 11.(2019·广东中山一中高二第一次段考)对一切实数x,不等式x4+ax2+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是()。 A.[-2,2] B.[0,2] C.[-2,+∞) D.[-4,+∞) 答案：C 解析:由x4+ax2+1≥0,知:①当x=0时,1≥0,此时a∈R。 ②当x≠0时,可得a≥-x2-1 x2=-(x2+1 x2 )。又x2+1 x2 ≥2, ∴a≥-2。 12.(2019·浙江绍兴高三二模)若不等式x2+2x b +16b a 对任意a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数x 的取值范围是()。 A.(-2,0) B.(-∞,-2)∪(0,+∞) C.(-4,2) D.(-∞,-4)∪(2,+∞)答案：C 解析:对任意a,b∈(0,+∞),a b +16b a ≥2√a b ·16b a =8(当且仅当a b =16b a 时,等号成立), 所以只需x2+2x<8,即(x-2)(x+4)<0,解得x∈(-4,2)。 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。将答案填在题中的横线上) 13.(2019·武汉调考)若方程x2+(m-2)x+(5-m)=0的两根都比2大,则m的取值范围 是 。 答案：-5 解析:设f (x )=x 2 +(m -2)x +(5-m )。由方程的两个根都大于2可知函数f (x )的大致图像如图。 因此有{Δ≥0, f (2)>0,-m -2 2>2,即{m 2-16≥0, m +5>0,m <-2, 解得-5 14.(2019·浙江六市六校联考)已知正数x ,y 满足x +y +1x +9 y =10,则x +y 的最大值为 。 答案：8 解析:∵1x +9 y =10-(x +y ), ∴(x +y )(1x +9 y )=10(x +y )-(x +y )2 。 ∵(x +y )(1x +9y )=10+9x y +y x ≥10+6=16, ∴10(x +y )-(x +y )2 ≥16,即(x +y )2 -10(x +y )+16≤0,∴2≤x +y ≤8。 ∴x +y 的最大值为8。 15.(2019·南京模拟)对于满足|a |≤2的所有实数a ,使不等式x 2 +ax +1>a +2x 恒成立的x 的取值范围是 。 答案：(-∞,-1)∪(3,+∞) 解析:原不等式恒成立问题转化为(x -1)a +x 2 -2x +1>0在|a |≤2时恒成立。设f (a )=(x -1)a +x 2 -2x +1,则f (a )在[-2,2]内恒大于0,故有{f (-2)>0,f (2)>0,即{x 2-4x +3>0, x 2-1>0, 解得 { x >3或x <1, x >1或x <-1。 ∴x <-1或x >3,即x ∈(-∞,-1)∪(3,+∞)。 16.(2019·黑龙江哈师大附中高三开学测试)若函数y =kx+2016 kx 2+4kx+3的定义域为R,则实数k 的取值范围是 。 答案：[0,3 4 ) 解析:∵函数y =kx+2016 kx 2+4kx+3的定义域为R,∴对任意实数x ,kx 2 +4kx +3≠0。当k =0时,kx 2 +4kx +3=3≠0满足题意;当k ≠0时,需Δ=16k 2 -12k <0,即0 4。综上,实数k 的取值范围是[0,3 4)。 三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(10分)(2019·上海调研)已知a ≤3 4x 2 -3x +4≤b 的解集为{x |a ≤x ≤b }。求a ,b 的值。 答案：解:二次函数f (x )=3 4x 2 -3x +4的对称轴方程为x =2, (1)当a ≥2时,则满足a ,b 是方程3 4 x 2 -3x +4=x 的两根,解得a =4 3 ,b =4(舍去)。 (2)若b ≤2,则{3 4a 2-3a +4=b ,34 b 2-3b +4=a 。易得a =4 3 ,b =4(舍去)。 (3)若a <2 4 x 2 -3x +4=3 4 (x -2)2 +1,由题意得a ≤1,且f (a )=f (b )=b ,a b =4 3(舍去)或b =4,由对称性得a =0,故a 的值为0,b 的值为4。 18.(12分)(2019·苏州中学单元检测)完成下列题目。 (1)若bc -ad ≥0,bd >0,求证: a+b b ≤c+d d 。 答案：∵bc -ad ≥0,bd >0,∴bc ≥ad ,1 bd >0。 ∴c d ≥a b 。∴c d +1≥a b +1,即 c+d d ≥ a+b b ,即 a+b b ≤ c+d d 。 (2)已知a >b >c ,求证:a 2 b +b 2 c +c 2 a >a b 2 +bc 2 +ca 2 。 答案： a 2 b +b 2 c +c 2a -(ab 2+bc 2+ca 2)=(a 2b -bc 2)+(b 2c -ab 2)+(c 2a -ca 2)=b (a 2-c 2)+b 2(c -a )+ca (c -a )=(c -a )(b 2 +ca -ba -bc )=(c -a )(c -b )(a -b )。 ∵a >b >c ,∴c -a <0,c -b <0,a -b >0。 ∴(c -a )(c -b )(a -b )>0,即a 2b +b 2c +c 2a -(ab 2+bc 2+ca 2 )>0。 ∴a 2b +b 2c +c 2a >ab 2+bc 2+ca 2 。 19.(12分)(2019·西北工大附中单元检测)已知x >0,y >0,且2x +8y -xy =0,求: (1)xy 的最小值; 答案：由2x +8y -xy =0,得8x +2 y =1。 ∵x >0,y >0, ∴1=8x +2 y ≥2√8 x ·2 y = √xy ,则xy ≥64。 当且仅当{8 x +2 y =1,8x =2y ,即{x =16, y =4时,等号成立。 此时(xy )min =64。 (2)x +y 的最小值。 答案：由2x +8y -xy =0,得8x +2 y =1。 x +y =(8x +2y )·(x +y )=10+2x y +8y x ≥10+2√2x y ·8y x =18。 当且仅当{8x +2 y =1,2x y =8y x ,即{x =12,y =6时,等号成立。 此时(x +y )min =18。 20.(12分)(2019·东北师大附中单元测评)已知不等式ax 2 -3x +2<0的解集为A ={x |1 答案：∵不等式ax 2-3x +2<0的解集为A ={x |1 -3x +2=0的两根, ∴{a -3+2=0, ab 2-3b +2=0,解得{a =1,b =2。 (2)求函数y =(2a +b )x -1 (a -b )(x -1)(x ∈A )的最小值。 答案：由(1)得y =4x + 1x -1 =4(x -1)+ 1 x -1 +4≥2√4(x -1)· 1 x -1 +4=8, 当且仅当4(x -1)=1 x -1,即x =3 2∈A 时函数y 有最小值8。 21.(12分)(2019·山东新泰一中高二期中)经过长期观察得到:在交通繁忙的时段内,某公路汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为 y =710v v 2+3v+900(v >0)。 (1)在该时段内,当汽车的平均速度v 为多少时,车流量最大,最大车流量为多少(精确到0.1千辆/时)? 答案：由题意有y =710v v 2+3v+900= 710 v+3+ 900 v ≤3+2 √ 900=71063 ,当且仅当v =900v ,即v =30时等号成立。此 时y max =710 63≈11.3(千辆/时)。 故当v =30千米/时时车流量最大,且最大车流量约为11.3千辆/时。 (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内? 答案：由条件得710v v 2+3v+900>10,整理得v 2 -68v +900<0,即(v -50)(v -18)<0,∴18 22.(12分)(2019·合肥二中单元检测)已知二次函数y 的二次项系数为a ,且不等式y >-2x 的解集为(1,3)。 (1)若方程y +6a =0有两个相等的实根,求y 的表达式; 答案：∵y +2x >0的解集为{x |1 ∴y =a (x -1)(x -3)-2x =ax 2 -(2+4a )x +3a 。 ① 由y +6a =0,得ax 2 -(2+4a )x +9a =0。 ② ∵方程②有两个相等的实根, ∴Δ=[-(2+4a )]2 -4a ·9a =0,解得a =1或-1 5。 又∵a <0,∴a =-1 5。 代入①,得y =-1 5x 2-65x -3 5。 (2)若y 的最大值为正数,求a 的取值范围。 答案：由y =ax 2 -2(1+2a )x +3a (a <0),得y 的最大值为-a 2+4a+1 a , ∴{-a 2+4a+1 a >0,a <0。 解得a <-2-√3或-2+√3 即a 的取值范围为{a |a <-2-√3或-2+√3 不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 （一） 知识容 1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式． 一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）： 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解． 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈，且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一：解一元二次不等式 解不等式 （二）主要方法 1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）典例分析： 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 ． 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为（ ） A ．{|31}x x x -或≥≤ B ．{|13}x x -≤≤ C ．{|31}x x -≤≤ D ．{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132? ?-??? ? ， B ．132??-????， C ．(]11132??????U ，， D ．(]11132?? -???? U ，， 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ，则不等式 220.011 n n -<+的解集为（ ） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥， D ．{}|202n n n *∈N ≥， 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为（ ） A ．{}{}|01|1x x x x <<>U B ．{}|01x x << C ．{}|10x x -<< D ．{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值围是 _． 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值围为 ． 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解，则实数a 的取值围是（ ） A ．4a <- B ．4a >- C ．12a >- D ．12a <- 【变式】 ⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______． 1、设恒成立的c的取值范围是 A．B．C．D． 2、设，且（其中），则M的取值范围是A．B．C．D． 3、若实数、满足，则的取值范围是 A．B．C．D． 4、已知，，，则的最小值是（） （Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（） A．B．C．D． 7、已知正实数满足，则的最小值为。 8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函数的最优解，则的取值范围是() （A）（B）（C）（D） 的最大值与最小值之和为 9、函数，当时，恒成立,则 D. 10、已知正数满足，则的最小值为 A．3B．C．4D． 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。（1）证明：；（2）证明：； （3）若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为. 13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a 远航教育初三寒假第一次诊断试题 (测试时间：120分钟，满分：150分) 姓名: 成绩： 一、选择题(每题5分，共50分) 1. sin30°值为( ) A.1／3 B.1／2 C.1 D. 0 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的 横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线 上的点，且-1 二次函数与方程、不等式综合问题 1、在平面直角坐标系xOy 中，直线m x y +- =65经过点()n A ,2-，??? ??21,1B ，抛物线1222-+-=t tx x y 与x 轴相交于点C 、D . （1）求点A 的坐标。 （2）设点E 的坐标为??? ??0,25，若点C 、D 都在线段OE 上，求t 的取值范围。 （3）若该抛物线与线段AB 有公共点，求t 的取值范围。 2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx ax y ++=2的开口向上，且经过点?? ? ?? 23,0A 。 （1）若此抛物线经过点?? ? ?? -21,2B ，且与x 轴相交于点E 、F 。 ①填空：b ＝ （用含a 的代数式表示）。 ②当2 EF 的值最小时，求抛物线的解析式。 （2）若2 1= a ，当10≤≤x ，抛物线上的点到x 轴的距离的最大值为3时，求 b 的值。 3、已知二次函数23)2(2)1(2++++=x t x t y ，当0=x 和2=x 时的函数值相等。 （1）求二次函数的解析式。 （2）若一次函数6+=kx y 的图像与二次函数的图像都经过点),3(m A -，求m 和k 的值。 （3）设二次函数的图像与x 轴交于点B 、C （点B 在点C 的左侧），将二次函数的图像在B 、C 点间的部分（含点B 和点C ）向左平移n （0>n ）个单位后得到的图像记为G ，同时将（2）中得到的直线6+=kx y 向上平移n 个单位，当平移后的直线与图像G 有公共点时，求n 的取值范围。 4、已知二次函数)12(221-+-=t tx x y （1>t ）的图像为抛物线1C 。 （1）求证：无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点。 （2）已知抛物线1C 与x 轴交点A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线222)(:t x y C -=，平移后A 、B 的对应点分别为点),(n m D ，),2(n m E +，求n 的值。 （3）在（2）的条件下，将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后，连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G 。若直线b x y +- =2 1（3 九年级数学：《二次函数》单元测试卷（含答案） 一、选择题（共10小题,每小题3分,共30分） 1．在下列y关于x的函数中,一定是二次函数的是（） A．y=x2B．y=C．y=kx2D．y=k2x 2．是二次函数,则m的值为（） A．0,﹣2 B．0,2 C．0 D．﹣2 3．在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为（） A．B．C． D． 4．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列出下面的表格： x …﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y …﹣7.5 ﹣2.5 0.5 1.5 0.5 … 根据表格提供的信息,下列说法错误的是（） A．该抛物线的对称轴是直线x=﹣2 B．该抛物线与y轴的交点坐标为（0,﹣2.5） C．b2﹣4ac=0 D．若点A（0,5,y 1）是该抛物线上一点．则y 1 ＜﹣2.5 5．关于抛物线y=x2﹣2x+1,下列说法错误的是（） A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点 C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时,y随x的增大而减小 6．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示,若y＜0,则x的取值范围是（） A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3 7．二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是（） A．0个B．1个C．2个D．3个 8．已知关于x的方程ax+b=0（a≠0）的解为x=﹣2,点（1,3）是抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上的一个点,则下列四个点中一定在该抛物线上的是（） A．（2,3）B．（0,3）C．（﹣1,3）D．（﹣3,3） 9．二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为（） A．3 B．4 C．5 D．6 10．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2； ③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（） A．①②B．②③C．③④D．②④ 二、填空题（共6小题,每小题3分,共18分） 11．已知函数是关于x的二次函数,则m的值为﹣1 ． 12．如图是二次函数y 1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y 2 =mx+n（m≠0）的图象,当 y 2＞y 1 ,x的取值范围是﹣2＜x＜1 ． 课题：一元二次函数、方程和不等式（衔接课） 一、教学设计 1.教学内容解析 在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面. 根据以上分析，本节课的教学重点确定为 教学重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用. 2.学生学情诊断 本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律. 教学难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式. 3.教学目标设置 (1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系； (2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性； (3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养. 4.教学策略分析 本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆 高中数学基本不等式的巧用 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例：求函数224y x =+的值域。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x = -.；3．203 x <<，求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。 二次函数单元测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 当-2≤ x ≦1,二次函数y=-（x-m ）2 + m 2 +1有最大值4，则实数m 值为（ ） A.-4 7 B. 3或-3 C.2或-3 D. 2或3或- 4 7 2. 函数 2 2y mx x m =+-（m 是常数）の图像与x 轴の交点个数为（ ） A. 0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3. 关于二次函数 2 y ax bx c =++の图像有下列命题：①当0c =时，函数の图像经过原点；②当0c >，且函数の图像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等の实根；③函数图像最高点の纵坐标是 2 44ac b a -；④当0b =时，函数の图像关于y 轴对称．其中正确命题の个数是（ ） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 关于x の二次函数 2 2(81)8y mx m x m =+++の图像与x 轴有交点，则m の范围是（ ） A ． 1 16m <- B ． 116m - ≥且0m ≠ C ．1 16m =- D ． 1 16m >- 且0m ≠ 5. 下列二次函数中有一个函数の图像与x 轴有两个不同の交点，这个函数是（ ） A ．2 y x = B ．24y x =+ C ．2325y x x =-+ D ．2 351y x x =+- 6. 若二次函数2 y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ） A ．a c + B ．a c - C ．c - D ．c 7. 下列二次函数中有一个函数の图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（ ） A ．1x y 2 —= B ．24y x =+ C ．1x 2x y 2+=— D ．2 351y x x =+- 8. 抛物线2 321y x x =-+-の图象与坐标轴交点の个数是（ ） A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．有且只有两个交点 D ．有且只有三个交点 9. 函数2 y ax bx c =++の图象如图所示，那么关于x の一元二次方程2 30ax bx c ++-=の根の情况是（ ） A ．有两个不相等の实数根 B ．有两个异号の实数根 C ．有两个相等の实数根 D ．没有实数根 板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的图像； 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式； 2.能从函数图像上认识函数的性质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解； 1.能用二次函数解决简单的实际问题； 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题； 一、二次函数与一元二次方程的联系 1. 直线与抛物线的交点 （1） y 轴与抛物线2y ax bx c =++得交点为()0c ， . （2） 与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点() 2h ah bh c ++，. （3） 抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程 的根的判别式判定： ①有两个交点?0?>?抛物线与x 轴相交； ②有一个交点（顶点在x 轴上）?0?=?抛物线与x 轴相切； ③没有交点?0?时为例，二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系如下： 知识点睛 二次函数与方程、不等式综合 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ）a b ＜1 （C ）lg(a -b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ） a 1+a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b 1(a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11)(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21, g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标： 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程； 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求： 完成讲义中的练习； 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式（组） 例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个 例2.已知实数x ，y 满足x 2 ＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为 . 例3.设函数y=x 2 ﹣（k+1）x ﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1：4，则k= _________ ． 例4. 如图10-2，是二次函数y ＝ax 2 +bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 . 例5. 已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线2 21y x bx =++上的两点． （1）求b 的值； （2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有， 2 2y mx x m =+-m x 求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线2 21y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值． 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2 －4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0 2.如图所示，函数的图像与轴只有一个交 点，则交点的横坐标 ． 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 ． =ax2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点，因为其判别式 0，相应二次方程的根的情况为 ． 6.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数 与轴必然相交于 点，此时 ． 2 (2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =2 69y x x =-+-x 2 283y x x =--x 2 4b ac -= 2 3280x x -+=x 2 5mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =Ｏ 一元二次不等式及其解法 1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0a ）的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 不等式的解法---穿根法 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}. (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2 -4 -5 2 2 1 1 3 1 第 1 页共7 页 九年级数学第一章 一元二次函数单元测试题 （时限：100分钟 总分：100分） 班级 姓名 总分 一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分) 1. 抛物线2 (1) 1y x 的顶点坐标为 （ ） A ．(1,1) B ．(1,1) C ．(1,1) D ．(1,1) 2. 二次函数 2) 1(2 x y 的最小值是 （ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 3．在下列函数解析式中，对称轴为直线x=2的二次函数是（ ）A. y=2x+1 B. 122 x y C.1 42 x x y D. 1 42 x x y 4．抛物线 5) 1(22 x y 与y 轴交点的坐标是（ ） A.（0，5） B.（0，2 5） C.（0，7） D.（1，5） 5．要得到函数 12 x y 的图象，应将函数2 (2)3y x 的图象（ ） A.先向下平移3个单位，再向下平移2个单位 B.先向左平移2个单位，再向上平移4个单位 C.先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D.先向右平移2个单位，再向下平移2个单位 6．根据下列表格中的二次函数 c bx ax y 2 的自变量x 与对应y 值，判断方程 02 c bx ax （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的一个解x 的范围是（ ） x 6.17 6.18 6.19 6.20 c bx ax y 2 -0.03 -0.01 0.02 0.04 A. 17.66x B. 18.617.6x C. 19 .618 .6x D. 20 .619 .6x 7. 二次函数 2 2+1y x 的图象如图所示，将其绕坐标原点O 旋 转180，则旋转后的抛物线的解析式为（ ） 高中数学不等式综合测试题 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共60分) 1．(文)设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ．c b d a +>+ (理)已知a <0，-1> B ．2ab ab a >> C ．2ab ab a >> D ．2 ab a ab >> 2．“0>>b a ”是“2 2 2b a ab +<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( ) A ．R B ．φ C ．),(+∞a b D ．(,)b a -∞ (理)不等式b ax >的解集不可能．．．是( ) A ．φ B ．R C ．),(+∞a b D ．),(a b --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)3 1,21(-，则b a -的值等于( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10 5．(文)不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．{|03}x x ≤< B ．{|22}x x -<< C ．{|13}x x -<< D ．{|1,3}x x x <-> (理)不等式||x x x <的解集是( ) A ．{|01}x x << B ．{|11}x x -<< C ．{|01x x <<或1}x <- D ．{|10,1}x x x -<<> 6．(文)若0b a <<，则下列结论不正确．．． 的是( ) A ． 11a b < B ．2b ab < C ．2>+b a a b D ．||||||b a b a +>+ (理)若011<+b a a b D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为( ) A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f = C ．)()(x g x f < D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是( ) A ．y x ＋x y B ．4 5 22++x x C ．tan x ＋cot x D ．x x -+22 9．下列各组不等式中，同解的一组是( ) A ．02>x 与0>x B ．01 )2)(1(<-+-x x x 与02<+x C ．0)23(log 2 1>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是( ) A ．}8|{a a C ．}8|{≥a a D ．}8|{≤a a 第一章 一元二次函数单元测试题 （时限：100分钟 总分：100分） 班级 姓名 总分 一、 选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分) 1. 抛物线2(1)1y x =-+的顶点坐标为 （ ） A ．(1,1) B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)-- 2. 二次函数2)1(2 -+=x y 的最小值是 （ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 3．在下列函数解析式中，对称轴为直线x =2的二次函数是（ ） A. y =2x +1 B.122+=x y C.142+-=x x y D.142++=x x y 4．抛物线5)1(22+-=x y 与y 轴交点的坐标是（ ） A.（0，5） B.（0， 2 5 ） C.（0，7） D.（1，5） 5．要得到函数12+=x y 的图象，应将函数2 (2)3y x =--的图象（ ） A.先向下平移3个单位，再向下平移2个单位 B.先向左平移2个单位，再向上平移4个单位 C.先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D.先向右平移2个单位，再向下平移2个单位 6．根据下列表格中的二次函数c bx ax y ++=2 的自变量x 与对应y 值，判断方程 02=++c bx ax （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的一个解x 的范围是（ ） x 6.17 6.18 6.19 6.20 c bx ax y ++=2 -0.03 -0.01 0.02 0.04 A. 17.66< 高中数学必修（5）不等式专题检测 说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷50分，第二卷100分，共150分；答题时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题共50分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是 （ ） A ．c b c a -≥+ B ．bc ac > C ． 02 >-b a c D ．0)(2 ≥-c b a 2．若0< B ．a b a 1 1>- C ．3 131b a < D ．3 2 3 2b a > 3．若关于x 的不等式m x x ≥-42 对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3-≤m B ．3-≥m C ．03≤≤-m D ．03≥-≤m m 或 4．已知实数x ,y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有 （ ） A ．最小值 21 和最大值1 B ．最小值 4 3 和最大值1 C ．最小值21和最大值4 3 D ．最小值1 5．设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y y x x b +++=11， a 与b 的大小关系 （ ） A ．a >b B ．a ---x a x x 在内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4-a C ．12->a D ．12---x a 则实数a 的取值范围是 （ ） A ．1||a D ．2||1<高中数学解不等式方法+练习题
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