三次函数的零点问题
三次函数的零点问题
1、(2006全国卷Ⅱ)设a 为实数,函数.)(2
3a x x x x f +--= (Ⅰ)求)(x f 的极值.
(Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点.
解：(I)'()f x =32x －2x －1 若'()f x =0，则x ==－
13
，x =1 当x 变化时，'()f x ，()f x 变化情况如下表：
∴()f x 的极大值是()327
f a -=+，极小值是(1)1f a =- (II)函数322()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++-
由此可知，取足够大的正数时，有()f x >0，取足够小的负数时有()f x <0，所以曲线y =()f x 与x 轴至少有一个交点
结合()f x 的单调性可知：
当()f x 的极大值527a +<0，即5(,)27
a ∈-∞-时，它的极小值也小于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。
当()f x 的极小值a －1>0即a ∈(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y =()
f x 与x 轴仅有一个交点，它在(－∞，－13
)上。 ∴当5(,)27
a ∈-∞-∪(1，+∞)时，曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点 2、（2009江西卷文）（本小题满分12分）
设函数329()62
f x x x x a =-+-． （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；
（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围．
解：(1) '2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,
因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥恒成立,
所以 8112(6)0m ?=--≤, 得34m ≤-，即m 的最大值为34
-
(2) 因为 当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >;
所以 当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2
f a =-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;
故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52
a >. 3、已知函数a ax x a x x f ---+=
232131)(，x 其中a>0. （I ）求函数)(x f 的单调区间；
（II ）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围；
（III ）是否存在常数a ，使得函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有一个零点，若存在，求a 的取值范围，若不存在，说明理由；
【答案】
4、（2009陕西卷文）（本小题满分12分）
已知函数3
()31,0f x x ax a =--≠ ()I 求()f x 的单调区间；
()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =
的图象有三个不同的交点，求m
的取值范围。
解析：（1）'22()333(),f x x a x a =-=- 当0a <时，对x R ∈，有'()0,f x >
当0a <时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞
当0a >时，由'()0f x >解得x
由'()0f x <解得x <<
当0a >时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；()f x 的单调减区间为
(。
（2）因为()f x 在1x =-处取得极大值，
所以'2(1)3(1)30, 1.f a a -=?--=∴=
所以3'2()31,()33,f x x x f x x =--=-
由'()0f x =解得121,1x x =-=。
由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值(1)1f -=，
在1x =处取得极小值(1)3f =-。
因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，又(3)193f -=-<-，(3)171f =>，
结合()f x 的单调性可知，m 的取值范围是(3,1)-。
5、【2102高考福建文12】已知f （x ）=x 3-6x 2+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论：
①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
12.【答案】C ．
【解析】9123)(',96)(2
23+-=∴-+-=x x x f abc x x x x f ，令0)('=x f 则1=x 或3=x ，当1
所以1=x 时)(x f 有极大值，当3=x 时)(x f 有极小值， 函数)(x f 有三个零点，0)3(,0)1(<>∴f f ，且c b a <<<<31，又 abc f -+-=275427)3(，0>∴abc ，即0>a ，因此0)()0(=<∴f f f f .故选C.
6、（湖南21）已知函数43219()42f x x x x cx =
+-+有三个极值点。 （I ）证明：275c -<<；
（II ）若存在实数c ，使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，求a 的取值范围。 解：（I ）因为函数43219()42f x x x x cx =
+-+有三个极值点, 所以32()390f x x x x c '=+-+=有三个互异的实根.
设32()39,g x x x x c =+-+则2()3693(3)(1),g x x x x x '=+-=+-
当3x <-时，()0,g x '> ()g x 在(,3)-∞-上为增函数;
零点问题的讲解版
零点问题的求解策略（讲课版） 2018.7.9 函数零点问题的定性判定： 1、二次函数零点：由二次函数的判别式来决定零点的个数；若是区间上的问题，还应考虑区间上的最值问题； 2、超越函数的零点问题：由于零点不能直接通过方程求出，从而采用一种“试根法”；即为《零点存在性定理》。 定理内容：（请填空） 已知函数()f x 在闭区间[],a b 上__________________，并且()f a 与()f b 中_____________，则在该区间内__________________个零点。 函数零点问题的定量问题： 1、二分法（此处不做介绍） 2、导数引入：超越函数较难解决方程的直接求解，那么不得不引入导函数这一个工具，，导数可以研究函数的_________________，_____________________。并且零点与上述两个因素密不可分。 3、优先考虑的方法：分离参数法，研究不带参数的函数，通过参数变化以及图像直接求解，但是计算较为繁杂； 4、分类讨论，讨论含有参数的函数。 【答案】单调性，最值与极值，/3、、判断零点个数，零点存在性定理与单调性的结合就体现了出来哦！下面一起来探究几个问题吧！ （1）()f x 是R 上的连续函数，且在[] ,a b 上单调，那么函数的零点个数为几个？ （2）若上述函数不单调，存在一个极值点，那么函数的零点个数如何判定？ （3）若函数存在两个极值点（三次函数为例，后期将专题讲解）则零点个数又该如何判定呢？ 通过上述的三个思考，如何深入这类问题？ 1、零点问题与函数的极值，最值，单调性有着密不可分的关系； 2、零点存在性定理与单调性结合形成既定性又定量的关系； 3、单调函数不一定有零点，取决于它的极限值。 4、（难点）超越函数的试根方法，涉及取点，隐零点，极限问题。那么如何取点，也是一个问题；隐零点又如何确定？（答：设而不求，过渡） 涉及的命题点： 1、函数的最值又是一个以参数为主元的函数，决定零点的个数，对含参数函数的研究； 2、求导数以后导函数是一个超越函数，不便于求零点，那么构造这个函数研究其零点问题； 3、涉及函数的极限问题，单调函数是否只有一个零点？它有没有渐近线？预测结果，可以
二次函数的零点
二次函数的零点：)0(2≠++=a c bx ax y 零点存在性的探索： ① 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞＝） ． ② 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞＝）． （Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象 例1.求函数f(x)=㏑x ＋2x －6的零点个数。 例2．求函数y=x 3-x 2-x+2，并画出它的大致图象 二分法求零点： 对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4． 例1．求函数22)(3 --+=x x x x f 的一个正数零点（精确到1.0）． ○2 1.已知全集{}{}{}()====N M C ，N M U U 则3,2, 2.1,0,4,3,2,1,0 2. 函数2x y -=的单调递增区间为 3. 下列函数是偶函数的是 A. x y = B. 322-=x y C. 21 -=x y D. ]1,0[,2 ∈=x x y 4. 若函数 ()log (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的2倍，则a 的值为（ ）
5.三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是 A b c a <<. B. c b a << C. c a b << D.a c b << 6. 已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为 Ａ．(1,2) Ｂ．(2,1)-- Ｃ．(2,1)(1,2)-- Ｄ．(1,1)- 7.若幂函数y =()x f 的图象经过点（9, 13）, 则 8. 函数()()1log 1 43++--=x x x x f 的定义域是 9．幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( ). A ．一定经过点(0，0) B ．一定经过点(1，1) C ．一定经过点(－1，1) D ．一定经过点(1，－1) 10．方程2x ＝2－x 的根所在区间是( ). A ．(－1，0) B ．(2，3) C ．(1，2) D ．(0，1) 11．若log 2 a ＜0，b ?? ? ??21＞1，则( ). A ．a ＞1，b ＞0 B ．a ＞1，b ＜0 C ．0＜a ＜1，b ＞0 D ．0＜a ＜1，b ＜0 11．函数y ＝x 416－的值域是( ). A ．[0，＋∞) B ．[0，4] C ．[0，4) D ．(0，4) 11．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( ). A ．f (x )＝x 1 B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln (x ＋1) 12．奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，若f (－1)＝0，则不等式f (x )＜0的解集是( ). 13．已知函数f (x )＝? ??0≤ 30log 2x x f x x )，＋(＞，，则f (－10)的值是( ). 19、已知函数 ()()()1,0,1log ≠>-=a a a x f x a 且， （1）求 ()x f 的定义域； （2）讨论函数()x f 的单调性。 20、已知()x f 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，f(x)=log 2x 求()x f 的解析式
三次函数零点存在性探讨
三次函数零点存在性探讨 利用导数解决函数的单调性，最值，极值等问题是高考的一个难点同时也是热点，尤其是对于含参的未知函数的性质讨论更是每年各省高考必然涉及的问题。而三次函数的考查能够将导数的相关知识和二次函数的考点巧妙结合在一起，具有较强的综合性，在高考中颇受青睐，所以研究三次函数的图象和一些简单性质，让它们服务于高考解题势在必行。 本文从三次函数的图象入手，讨论三次函数的零点存在性条件，在此基础上节选近两年高考中涉及的三次函数的零点问题进行分析，并渗透等价转化与化归、数形结合等思想方法，旨在帮助学生站在一个高度审视三次函数的一些性质。 一?知识准备 三次函数f(x) ax3 bx2 ex d(a 0)的导函数f (x) 3ax2 2bx c，记 4b2 12ac，设f (x) 0的两根为捲必，则可以得出下面结论： 结合三次函数的图象，我们可以得出以下结论： 性质若三次曲线与x轴有三个交点，贝U 0且f(xj f(x2) 0 ； 若三次曲线与x轴有两个交点，则0且f(xj f(X2)0 ; 若三次曲线与x轴有一个交点，则0且f(xj f(x2) 0或0 二.链接咼考 题一(2014年高考课标1理科卷第11题)
已知函数f(x) ax 3 3x 2 1,若f(x)存在唯一的零点x o ，且x o 0,则a 的 取值范围是( ) 分析该题的核心条件是“在唯一的零点 x o ，且x o 0 ”，作以下分析： 第一步a 0时显然不符合题意； 第二步 a 0 时，求导 f (x) 3ax 2 6x ，令 f (x) 0，解得 X i 0,X 2 -。 a 由性质我们可以得出该三次函数有一个零点，即为 0且f(xj f(X 2)0，即 f(0) f(2) 0。结合该三次函数图象以及特殊点(0,1)分析可得a 0 ； a a 0 第三步解不等式组 2 可得 a 2，选C 。 f(0) f(-) 0 a 总结 本题的切入点即为三次函数有唯一零点，在具体的解题过程中，应该 充分把握函数的特殊点，并结合函数的图像加以分析，可以取得事半功倍的效果。 无独有偶，在2015年的江苏卷中，再次出现了三次函数的零点存在性问题，许 多考生在解题时束手无策，关键还是对三次函数的图象以及零点存在的条件把握 不到位。 题二(2015高考题江苏卷第19题) 已知函数 f (x) x ax b(a,b R). (1)试讨论f (x)的单调性； (2)若b c a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x)有三个不同的零点 时，a 的取值范围恰好是 ，3 (1,|) (|,)，求c 的值. 分析第(1)题是常规题，着重考虑求导以后对参数 a 的讨论。第(2)题 许多学生会感觉参数混乱，事实上把握住三次函数有三个零点的等价条件， 并将 其转化成关于a 的四次不等式问题，结合多项式不等式的解集与对应方程的解的 关系，整个题目就迎刃而解了。 递减; 简解 (1) f (x) 3x 2 当a 时，f x - 在 当 a 0时，f x 在 3x(x 却 上单调递增; 2a T ，0，上单调递增，在 2a 空,0上单调 3 2ax
三次函数性质总结
三次函数性质的探索 我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在 最大值与最小值，在某一闭区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？ 利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置． 其中运用的较多的一次函数不等式性质是： 在上恒成立的充要条件 接着，我们同样学习了二次函数， 利用已学知识归纳得出：当时(如图1) ，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增， 对称轴 上取得最小值； 当时(图2) ，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减， 对称轴 上取得最大值． 在某一区间取得最大值与最小值． 其中决定函数的开口方向，同时决定对称轴，决定函数与轴相交的位置． 总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？ 三次函数专题 一、定义 定义1 形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。 定义 2 三次函数的导数 ，把叫做三次函数导函数的判 别式。 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。 系列探究1： 从最简单的三次函数开始 反思1 ：三次函数的相关性质呢？ 反思2 ：三次函数的相关性质呢？ x y O
反思3 ：三次函数的相关性质呢？ 例题 1.（2012天津理4） 函数在区间内的零点个数是( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 探究一般三次函数的性质： 先求导 1、单调性： （1 ）若，此时函数() f x在R上是增函数； （2 ）若 ，令两根为 12 ,x x 且， 则 在 上单调递增，在上单调递减。 导函数 图 象 极值点 个数 2 0 2 0 2、零点 (1) 若0 3 2≤ -ac b，则恰有一个实根； (2) 若,且，则恰有一个实根； (3) 若,且，则有两个不相等的实根； (4) 若,且，则有三个不相等的实根. 说明: (1)(2) 有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数或两极值 同号. x x1x 2 x0x x1x2 x x0 x
函数的零点问题
函数零点问题 处理函数零点问题时，我们不但要掌握零点存在性定理，还要充分运用等价转化、函数与方程、数形结合等思想方法，才能有效地找到解题的突破口． 近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但却与函数、导数知识密不可分．用导数解决函数的零点问题是近几年高考命题的热点题型，此类题一般属于压轴题，难度较大． [典例] (理)(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14 ，g (x )＝－ln x . (1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线； (2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数． [思路演示] 解：(1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)，则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0， 即????? x 30＋ax 0＋14＝0， 3x 20＋a ＝0， 解得??? x 0＝12 ， a ＝－3 4. 因此，当a ＝－3 4 时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线． (2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0，故h (x )在(1，＋∞)上无零点． 当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋5 4≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x ＝1是h (x )的零 点；若a <－5 4 ，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0，故x ＝1不是h (x )的零点． 当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x >0，所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数． ①若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)上无零点，故f (x )在(0,1)上单调．而f (0)＝1 4，f (1) ＝a ＋5 4 ，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)上有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0,1)上没有零点． ②若－3 三次函数的零点问题1、(2006全国卷Ⅱ)设a 为实数,函数 .)(23a x x x x f +--=(Ⅰ)求的极值.)(x f (Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.x x f y 与)(=解：(I)=3－2－1'()f x 2x x 若=0，则==－，=1'()f x x 13x 当变化时，，变化情况如下表：x '()f x ()f x x (－∞，－)13－13(－，1)131(1，+∞)'()f x +0－0+ ()f x A 极大值A 极小值A ∴的极大值是，极小值是()f x 15()327f a -=+(1)1f a =-(II)函数322()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++-由此可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有<0，所以曲线()f x ()f x =与轴至少有一个交点y ()f x x 结合的单调性可知：()f x 当的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线()f x 527a +5(,27a ∈-∞-=与轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。y ()f x x 当的极小值－1>0即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线=()f x a a ∈y 与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。()f x x 13∴当∪(1，+∞)时，曲线=与轴仅有一个交点5(,)27a ∈-∞-y ()f x x 2、（2009江西卷文）（本小题满分12分）设函数329()62f x x x x a =-+-．（1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围．解：(1) '2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--, 因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥恒成立, 所以 8112(6)0m ?=--≤, 得34m ≤-，即m 的最大值为34-回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 函数的零点 ■教材：人教版高中数学必修1〖教学设计说明〗 本节课知识点为课程改革后新增内容——通过函数与方程研究进一步探讨函数的性质即函数零点不变性 我所授课的班级为我校普通班学生。班级构成男生较多，思维活跃但落实欠佳，学生的能力一般，属于中等水平。 本节知识在处理过程中主要想通过学生所熟悉的知识入手，引出零点概念——通过功能题组由学生自己总结出1、求函数零点的步骤及2、学生们熟悉的基本初等函数零点情况3、一元高次函数零点的求解方法等——再通过图组引导学生发现并总结出连续函数零点的性质——最后利用零点的性质解决问题。这样的处理方式是想让学生在解决旧问题的过程中收获新知识，并利用新知识解决新问题。在教学中，注意引导学生自主探索，通过抽象、概括形成概念，在这个过程中让学生体会收获知识的快乐，养成学生探求新知的方法和能力。 本节内容希望学生从数、形的双重角度去认识零点，同时还突出零点在作图中的应用。通过PPT 应用，能够使学生在认识上更加直观，同时可以增加课堂的容量。学生热情、活跃，通过多媒体可以使学生增加感性认知。 〖教学设计〗 【教学目标】 （一）知识与技能 理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与 方程根的关系。体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力。 （三）情感态度与价值观 让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想，逐步学会用辩证与联系的观点看问题和分析问题。 【教学重点】 【教学难点】 函数零点的应用。 【教学过程】 一、复习引入 请作出函数2 ()23f x x x =--+的草图； 解：解方程得：123,1x x =-= 过与x 轴的交点(3,0),(1,0)-，顶点(1,4)- 函数2 ()23f x x x =--+ (3,0),(1,0)- 令0y = 2230x x --+= 解方程 123,1x x =-= 二、形成概念 零点定义：一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α=，则α叫做这个函数的零点。 三、概念深化及应用 练习1：求下列各函数的零点 请学生总结通过这组练习能得到什么结论？ a 、 求函数零点的步骤。 b 、 不是所有的函数都有零点。例如反比例函数就不存在零点。 辅助作图 2 222 51)2)473)444)235)23 6)(23)(1)7)2y x y x y x x y x x y x x y x x x y = =--=-+=-+=--=---=数 形结合 三次函数的零点问题 1、(2006全国卷Ⅱ)设a 为实数,函数.)(2 3a x x x x f +--= (Ⅰ)求)(x f 的极值. (Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点. 解：(I)'()f x =32x －2x －1 若'()f x =0，则x ==－ 13 ，x =1 当x 变化时，'()f x ，()f x 变化情况如下表： ∴()f x 的极大值是()327 f a -=+，极小值是(1)1f a =- (II)函数322()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++- 由此可知，取足够大的正数时，有()f x >0，取足够小的负数时有()f x <0，所以曲线y =()f x 与x 轴至少有一个交点 结合()f x 的单调性可知： 当()f x 的极大值527a +<0，即5(,)27 a ∈-∞-时，它的极小值也小于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。 当()f x 的极小值a －1>0即a ∈(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y =() f x 与x 轴仅有一个交点，它在(－∞，－13 )上。 ∴当5(,)27 a ∈-∞-∪(1，+∞)时，曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点 2、（2009江西卷文）（本小题满分12分） 设函数329()62 f x x x x a =-+-． （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值； （2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围． 解：(1) '2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--, 因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥恒成立, 所以 8112(6)0m ?=--≤, 得34m ≤-，即m 的最大值为34 - 函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如： 微专题37 1．答案：1. 解析：∵f ′(x )＞0恒成立，∴函数f (x )单调递增，∴零点个数是1. 2．答案：±2. 解析：函数f (x )＝x 3－3x ＋c 在(－∞，－1)和(1，＋∞)上递增，(－1，1)上递减，由题意 f (－1)f (1)＝0，即(2＋c )(－2＋c )＝0，解得c ＝±2. 3．答案：(－∞，－2)． 解析：当a ＝0时，不合题意；当a ≠0时，令f ′(x )＝3ax 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2 a ，①当a ＞0时，由图象及f (0)＝1知函数f (x )有负数零点，舍去； ②当a ＜0时，由图象及f (0)＝1，只需满足f )2(a ＞0，即a )2(a 3－3)2(a 2 ＋1＞0，解得a ＜ －2.综上：a ＜－2. 4．答案：)41,(--∞∪),4 1(+∞ 解析：∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3，∴根据题意f ′(－1)·f ′(1)＜0，解得a ＞14或a ＜－1 4 . 5．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 解析：可转化为f ′(x )＝x 3＋ax 2＋x 有三个不同的零点，从而x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的非零实根，故Δ＝a 2－4＞0，∴a ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 6．答案：??? ?0，12. 解析：f ′(x )＝a ??? ?x －1 a (x －1)， ①当12＞1，即0＜a ＜1时，f (0)＝－13＜0，f (1)＝－1 6 (a －1)＞0， (ⅰ)当2a ≤1，即0a ≤12时，1 a ≥2，＜＝1 3 (2a －1)≤0，f (2) 因为f (x )在区间[0，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数，∴f (x )在区间[0，1]和(1，2]上各有一个零点，即在[0，2]上有两个零点； (ⅱ)当2a ＞1，即12＜a ＜1时，1＜1 a ＜2，f )1(a ＝－2a 2＋3a －16a 2＝－（2a －1）（a －1）6a 2＞0， 一元二次函数零点分布（二次方程根的分布） 教学目标 学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。 教学重点 根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。 教学难点 体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。 教学过程 一、探究二次函数零点分布的要素 1、 回想：方程0)3(2 =+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。 2、 思考：函数2)3()(2 +-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。 若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。 3.探究：二次函数零点分布的要素 二、例题讲解 例1 函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a 范围 【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x 例2函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【总结】一元二次函数两个零点均在一个区 间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。这类问题要 考虑哪些因素。 【练习2】12)(2 ++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x 【变式2】12)(2 ++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围 例3函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且0,021> 5.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)及复合函数的零点 注意：在解决有关零点问题时，一定要充分利用这三者的关系，观察、分析函数的图象，找函数的零点，判断各区间上函数值的符号，使问题得以解决． 1.（2015?上海二模）设定义域为R 的函数，若关于x 的函数???≤-->=0 ,20|, lg |)(2x x x x x x f ，若关于x 的函数 1)(2)(22++=x bf x f y 有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ____________ ． 解：令t ＝f （x ），则原函数等价为y ＝2t 2 +2bt +1．做出函数f （x ）的图象如图， 图象可知当由0＜t ＜1时，函数t ＝f （x ）有四个交点． 要使关于x 的函数1)(2)(22 ++=x bf x f y 有8个不同的零点，则函数y ＝2t 2 +2bt +1有两个根t 1，t 2， 且0＜t 1＜1，0＜t 2＜1． 令g （t ）＝2t 2 +2bt +1，则由根的分布可得 ， 解得，即，故实数b 的取值范围是﹣＜b ． 故答案为：﹣＜b 2.（2018秋?大观区校级期中）设定义域为R 的函数?????<++≥-=-0 ,440 ,15)(2|1|x x x x x f x ，若关于x 的方程 0)()12()(22=++-m x f m x f 有7个不同的实数解，则m ＝（ ） A ．m ＝6 B ．m ＝2 C ．m ＝6或2 D ．m ＝﹣6 解：当m ＝2时，由f 2 （x ）﹣5f （x ）+4＝0得f （x ）＝1或f （x ）＝4， 当x ≥0时，f （x ）＝5|x ﹣1| ﹣1， 由5 |x ﹣1| ﹣1＝1得x ＝1±log 52均符合， 由5 |x ﹣1| ﹣1＝4得x ＝0，x ＝2均符合，当x ＜0时，f （x ）＝x 2 +4x +4， 由x 2 +4x +4＝1得x ＝﹣1，x ＝﹣3均符合，由x 2 +4x +4＝4得x ＝0（舍），x ＝﹣4符合， 故m ＝2时，关于x 的方程f 2 （x ）﹣（2m +1）f （x ）+m 2 ＝0有7个不同的实数解，所以排除A 和D ； 当m ＝6时，由f 2 （x ）﹣13f （x ）+9＝0得f （x ）＝4或f （x ）＝9， 当f （x ）＝4时，已经解出x ＝0，x ＝2，x ＝﹣4均符合； 当f （x ）＝9时，由 ，解得x ＝1+log 510，由 得x ＝﹣5， 故m ＝6时，原方程只有5个不同实根，不符合题意，故排除C ．故选：B ． 函数零点个数问题赏析 近年高考试卷中的N型函数零点个数问题赏析 近些年来，有不少的N型函数零点个数问题出 现在不同年份、不同省区与全国的高考试卷中，这不能不成为高考的热门话题和需要我们研究并指导高三学生进行科学备考的一个重点内容。什么是N型函数零点个数问题呢，就是含参函数() =在其定义 y f x 域内连续可导，有两个极值点 x、2x并将其定义域分 1 成三个单调区间，通常是“增减增”或“减增减”， 在此条件的基础上，方程()0 =的根的个数与 f x m f x=或() 参数取值范围相关的问题。这里注意：函数() =在 y f x 其靠近定义域两端点时，函数值会很大或很小（即一端足够大，大于极大值；一端足够小，小于极小值）。 N型函数有哪些呢？一可能是三次函数32 =+++(0) f x ax bx cx d () a≠，二可能是函数2 =+++(0) f x ax bx x t ()ln() a≠，它们在定义域内都必须有两个极值点。 例1、（2006年福建高考卷）已知函数2 f x x x =-+， ()8 =+。 g x x m ()6ln （Ⅰ）求f(x)在区间[,1] t t+上的最大值()h t； （Ⅱ）是否存在实数m，使得() = y f x y g x =的图象与()的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。 解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）构作函数 2()()()86ln x f x g x x x x m ?=-=-++，0x >； 求导得： 22862(1)(3) '()x x x x x x x ?-+--== ，0x >，函数单调 性与极值列表如下： x (0,1) 1 (1,3) 3 (3,)+∞ '()x ? + 0 - 0 + ()x ? Z 7m ?=-极大 ] 6ln 315m ?=+-极小 Z 依题意，转化为函数()x ?图象与x 轴的交点为3时 情形，当x 充分接近0时，()0x ?<，当x 充分大时，()0x ?>，为此有：70 7156ln 3 6ln 3150 m m m ?? =->??<<-? =+- 二次函数零点问题 【探究拓展】 探究1：设21,x x 分别是实系数一元二次方程02 =++c bx ax 和02 =++-c bx ax 的一个根，且 ,0,2121≠≠x x x x 求证：方程02 2=++c bx x a 有且仅有一根介于21,x x 之间. 变式1：已知函数f (x )＝ax 2＋4x ＋b (a <0，a 、b ∈R)，设关于x 的方程f (x )＝0的两实根为 x 1、x 2，方程f (x )＝x 的两实根为α、β. （1）若|α－β|＝1，求a 、b 的关系式； （2）若a 、b 均为负整数，且|α－β|＝1，求f (x )的解析式； （3）若α<1<β<2，求证：(x 1＋1)(x 2＋1)<7. 变式2：二次函数2()f x ax bx c =++满足0,0,0,a c a b c ><++=且方程()f x a =-有实根. （1）求证：函数()f x 在(0,)+∞上是增函数. （2）设函数()()g x f x bx =+的零点为1x 和2x ，求证：12||2x x -≥. 变式3：设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a 2，3a >2c >2b ，求证： （1）a >0且－3且(1)2 a f =- . （1）求证：函数()f x 有两个零点； （2）设12,x x 是函数()f x 的两个零点，求12x x -的取值范围； （3）求证：函数()f x 的零点12,x x 至少有一个在区间()0,2内. 函数零点的求法及零点的个数 题型1：求函数的零点。 [例1] 求函数 222 3+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数2223+--=x x x y 的零点就是求方程 02223=+--x x x 的根 [解析]令 32 220x x x --+=，∴2 (2)(2)0x x x ---= ∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或 即函数222 3 +--=x x x y 的零点为-1，1，2。 [反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。 题型2：确定函数零点的个数。 [例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数. [解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 [解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增， 又有(1)(4)0f f ?<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。 方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 即求ln 62y x y x =?? =-?的交点的个数。画图可知只有一个。 [反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法： ①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。 题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围 [例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数 ()a x ax x f --+=3222 ,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。 [解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2 x 的系数，故要对a 进行讨论 [解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠. 令 ()2 48382440 a a a a ?=++=++=, 解得 a = ①当 a = 时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; ②当()()()()05111<--=?-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点。 ③当 () y f x =在[ ] 1,1-上有两个零点时, 则 ()()20824401 1121010a a a a f f >? ??=++>??-<-??-<- 或 32a --≤ 。 [反思归纳]①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高 考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键. ②二次函数2()f x ax bx c =++的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据。 考点3 根的分布问题 [例5] 已知函数2()(3)1f x mx m x =+-+的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围 [解题思路]由于二次函数的图象可能与x 轴有两个不同的交点，应分情况讨论 与三角函数有关的零点问题 1、【2015湖北】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22 x f x x x x =---+的零点个数为＿＿＿＿＿＿． 【答案】2 【解析】因为2()4cos cos()2sin |ln(1)|22 x f x x x x π=---+|)1ln(|sin 2sin )cos 1(2+--+=x x x x ＝sin 2|ln(1)|x x -+， 所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象的交点的个数， 函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数)(x f 有2个零点． 【方法技巧归纳】利用函数图象处理函数的零点（方程根）主要有两种策略：（1）确定函数零点的个数：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断；（2）已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围：通常也转化为两个新函数的交点，即在同一坐标系中作出两个函数的图象，通过观察它们交点的位置特征建立关于参数的不等式来求解． 2、函数()2πcos 23f x x ??=- ???＋2311π19π4cos 2,3π1212x x x ????--∈- ???-????所有零点之和为（ ） A ．2π3 B ．4π3 C ．2π D ．8π3 【答案】B 3．若函数sin log 2a y x x π =-的图象至少有12个零点点，则a 的取值范围是（ ） A ．(]1,14 B ．[)14,+∞ C ．(]1,7 D ．[)7,+∞ 【答案】D 【解析】2y sin x π =Q 与log x a y = 都是偶函数，所以sin log 2a y x x π =-是偶函数，只 需0x > 时，有至少6个零点，即可画出0x >时，函数sin 2y x π =的图象与log a y x =的图象， 如图，由图可知，7log 1,7a a ≤≥ ,即a 的取值范围是[)7,+∞，故选D ． 二 次函数零点问题 【探究拓展】 探究1：设21,x x 分别是实系数一元二次方程02=++c bx ax 和02 =++-c bx ax 的一个根，且 ,0,2121≠≠x x x x 求证：方程 02 2 =++c bx x a 有且仅有一根介于21,x x 之间. 变式1：已知函数f (x )＝ax 2＋4x ＋b (a <0，a 、b ∈R)，设关于x 的方程f (x )＝0的两实根为 x 1、x 2，方程f (x )＝x 的两实根为α、β. （1）若|α－β|＝1，求a 、b 的关系式； （2）若a 、b 均为负整数，且|α－β|＝1，求f (x )的解析式； （3）若α<1<β<2，求证：(x 1＋1)(x 2＋1)<7. 变式2：二次函数2()f x ax bx c =++满足0,0,0,a c a b c ><++=且方程()f x a =-有实根. （1）求证：函数()f x 在(0,)+∞上是增函数. （2）设函数()()g x f x bx =+的零点为1x 和2x ，求证：12||2x x -≥. 变式3：设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a 2，3a >2c >2b ，求证： （1）a >0且－3且(1)2 a f =-. （1）求证：函数()f x 有两个零点； （2）设12,x x 是函数()f x 的两个零点，求 12x x -的取值范围； （3）求证：函数()f x 的零点12,x x 至少有一个在区间()0,2内. 探究2：已知方程x b x a bx =+-21 2有两个不相等的实数根. （1）求 a b 的取值范围； （2）求证：函数1)(2 ++=bx ax x f 在区间()1,1-上是单调函数. 用导数解决函数的零点问题 [典例] (理)(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋1 4，g (x )＝－ln x . (1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线； (2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数． [思路演示] 解：(1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)， 则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0， 即????? x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0，解得??? x 0＝1 2，a ＝－34. 因此，当a ＝－3 4时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线． (2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0， 从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0， 故h (x )在(1，＋∞)上无零点． 当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋5 4≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x ＝1 是h (x )的零点； 若a <－5 4，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0，故x ＝1不是h (x )的零点． 当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x >0， 所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数． ①若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)上无零点，故f (x )在(0,1)上单调． 而f (0)＝14，f (1)＝a ＋5 4，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)上有一个零点；当a ≥0时，f (x ) 在(0,1)上没有零点． ②若－3【免费下载】三次函数的零点问题
函数的零点
三次函数的零点问题
高考数学-函数零点问题及例题解析
微专题37与三次函数零点有关的取值范围问题答案
二次函数零点分布
5.二次函数的零点问题
函数零点个数问题赏析
二次函数零点问题
高考复习专题函数零点的求法及零点的个数
与三角函数的零点问题
二次函数零点问题
用导数解决函数的零点问题