人教版八年级数学上册第12章全等三角形知识点归纳提高练习
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形证明方法归纳及典型例题
全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
八年级数学上册第十二章全等三角形知识点总结归纳(带答案)
八年级数学上册第十二章全等三角形知识点总结归纳单选题1、如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=5，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（）A．4B．5C．6D．7答案：A分析：根据角平分线的性质，可知点D到OB和OA的距离相等，并且点到直线的线段中，垂线段最短，最短距离为5，即可判断．∵OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=5，∴D到OB的距离等于5，∴DF≥5故DF的长度不可能为4，故选A．小提示：本题考查了角平分线的性质，点到直线的线段中，垂线段最短，熟练掌握性质是本题的关键．2、下列说法正确的是（）A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形答案：B分析：根据全等图形的定义进行判断即可．解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意；C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意；故选：B．小提示：本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键．3、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF，则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④答案：D分析：证得△CAF≌△GAB（SAS），从而推得①正确；利用△CAF≌△GAB及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明△AFM≌△BAD（AAS），得出FM=AD，∠FAM=∠ABD，则③正确，同理△ANG≌△CDA，得出NG=AD，则FM=NG，证明△FME≌△GNE（AAS）．可得出结论④正确．解：∵∠BAF=∠CAG=90°，∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，又∵AB=AF=AC=AG，∴△CAF≌△GAB（SAS），∴BG=CF，故①正确；∵△FAC≌△BAG，∴∠FCA=∠BGA，又∵BC与AG所交的对顶角相等，∴BG与FC所交角等于∠GAC，即等于90°，∴BG⊥CF，故②正确；过点F作FM⊥AE于点M，过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N，∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，∴∠BAD=∠AFM，又∵AF=AB，∴△AFM≌△BAD（AAS），∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，故③正确，同理△ANG≌△CDA，∴NG=AD，∴FM=NG，∵FM⊥AE，NG⊥AE，∴∠FME=∠ENG=90°，∵∠AEF=∠NEG，∴△FME≌△GNE（AAS）．∴EF=EG．故④正确．故选：D．小提示：本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．4、如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°答案：C分析：根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD =∠EBD =12∠ABC =35°2，∠AFB =∠EFB =90°，推出AB =BE ，根据等腰三角形的性质得到AF =EF ，求得AD =ED ，得到∠DAF =∠DEF ，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 解：∵BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，∴∠ABD =∠EBD =12∠ABC =35°2，∠AFB =∠EFB =90°，∴∠BAF =∠BEF ，∴AB =BE ，AE ⊥BD ，∴BD 是AE 的垂直平分线，∴AD =ED ，∴∠DAF =∠DEF ，∵∠BAC =180°-∠ABC -∠C =95°，∴∠BED =∠BAD =95°，∴∠CDE =95°-50°=45°，故选C ．小提示：本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．5、如图，△ABC ≌△DEF ，若∠A =80°,∠F =30°，则∠B 的度数是（ ）A．80°B．70°C．65°D．60°答案：B分析：由△ABC≌△DEF根据全等三角形的性质可得∠C=∠F=30°，再利用三角形内角和进行求解即可．∵△ABC≌△DEF，∴∠C=∠F，∵∠F=30°，∴∠C=30°，∵∠A=80°,∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°−∠A−∠C=70°，故选：B．小提示：本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．6、小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形的三条高交于一点D．三角形三边的垂直平分线交于一点答案：A分析：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A．小提示：本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5,DF=3，则下列结论错误的是（）A．BF=1B．DC=3C．AE=5D．AC=9答案：A分析：根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．解：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DF⊥AB，∴CD=DF=3，故B正确；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正确；∴AC=AE+CE=9，故D正确；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，∴△BDF≌△DEC，∴BF=CD=3，故A错误；故选：A．小提示：此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．8、已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A．72∘B．60∘C．58∘D．50∘答案：D分析：根据全等三角形的性质：全等三角形对应角相等，即可得到结论．∵图中的两个三角形全等，∠α为a和c的夹角又∵第一个三角形中a和c的夹角为50°∴∠α=50°故选：D．小提示：本题考查了全等三角形的性质，准确找到对应角是解题的关键．9、下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④答案：B分析：根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③．故选：B．小提示：此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于( ) 10、如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=8，DC=13A．4B．3C．2D．1答案：C分析：如图，过点D作DE⊥AB于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AC=8，DC=1AD，3∴CD=8×1=2，1+3∵∠C=90°，BD平分∠ABC，∴DE=CD=2，即点D到AB的距离为2，故选C．小提示：本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.填空题11、如图，四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为_____cm．答案：13分析：过C作CE⊥AD的延长线于点E，由条件可证△AEC≌△AMC，得到AE＝AM．证明△ECD≌△MBC，由全等的性质可得DE＝MB，BC＝CD，则问题可得解．解：如图，过C作CE⊥AD的延长线于点E，∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠MAC，∵CE⊥AD，CM⊥AB，∴∠AEC＝∠AMC＝90°，CE＝CM，在Rt△AEC和Rt△AMC中，AC=AC，CE=CM，∴Rt△AEC≌Rt△AMC（HL），∴AE＝AM＝4cm，∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADC＋∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠MBC，在△EDC和△MBC中，{∠DEC=∠CMB∠EDC=∠MBCCE=CM，∴△EDC≌△MBC（AAS），∴ED＝BM，BC＝CD＝2.5cm，∴四边形ABCD的周长为AB＋AD＋BC＋CD＝AM＋BM＋AE﹣DE＋2BC＝2AM＋2BC＝8＋5＝13（cm），所以答案是：13．小提示：本题考查全等三角形的判定与性质，掌握常用的判定方法是解题的关键．12、把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做_________，重合的边叫做_________，重合的角叫做_________．记两个三角形全等时，通常把表示_________的字母写在对应位置上．答案：对应顶点对应边对应角对应顶点分析：根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及对应顶点、对应边、对应角的概念填空．解：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上．所以答案是：对应顶点；对应边；对应角；对应顶点．小提示：此题主要考查了全等形及相关概念，属于基本概念题，是需要识记的内容．13、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=6cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP=_____．答案：12cm或6cm##6cm或12cm分析：当AP＝12cm或6cm时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．解：∵∠C＝90°，AO⊥AC，∴∠C＝∠QAP＝90°，①当AP＝6cm＝BC时，在Rt△ACB和Rt△QAP中∵{AB=PQ，BC=AP∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），②当AP＝12cm＝AC时，在Rt△ACB和Rt△PAQ中{AB=PQ，AC=AP∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），所以答案是：12cm或6cm．小提示：本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．14、如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，5），则A点的坐标是_____．答案：（-7，3）分析：先作辅助线AD ⊥OC 、BE ⊥OC ，通过导角证明∠CAD =∠BCE ，再证明△ADC ≌△CEB ， 得到AD 的长度(A 的纵坐标长度)、DC 长度(加上OC 得到A 横坐标长度)，根据A 点所在象限的符号，确定A 点坐标． 如图，过点A 作AD ⊥OC 于点D ，过点B 作BE ⊥OC 于点E∵ 点C 的坐标为(-2，0)，点B 的坐标为(1，5)∴ OC =2，OE =1，BE =5∵∠ACB =90°∴∠ACD +∠CAD =90°，∠ACD +∠BCE =90°∴∠CAD =∠BCE在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC =∠BEC =90°∠CAD =∠BCE AC =BC∴△ADC ≌△CEB(AAS)∴DC =BE =5,AD =CE =1+2=3∴OD =2+5=7∴ A 点的坐标是(-7，3) ．小提示：本题考查了全等三角形的证明(在两个三角形中，如果有两组对应角，和其中一组对应角的对边分别相等，那么这两个三角形全等) ．15、如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为______．答案：225°分析：首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5=∠BCA，∠4=∠BDA，然后可得∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，即可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值．解：如图所示：在△ABC和△AEF中，{AB=AE∠B=∠E=90°BC=EF∴△ABC≌△AEF（SAS），∴∠5=∠BCA，∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，在Rt△ABD和Rt△AEH中，{AB=AEAD=AH∴Rt△ABD≌Rt△AEH（HL），∴∠4=∠BDA，∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，∵∠3=45°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°．所以答案是：225°．小提示：此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等即可求解．解答题16、（1）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°．直接写出BE、DF、EF之间的数量关系；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，求证：EF=BE+DF；2（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠BAD，则结论EF=BE+DF是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并∠EAF=12证明．答案：（1）EF=BE+DF，理由见详解；（2）见详解；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由见详解．分析：（1）在CD的延长线上截取DM＝BE，连接AM，证出△ABE≌△ADM，根据全等三角形的性质得出BE＝DM，再证明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，进而即可得出答案；（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，证出△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得出BE＝DG，再证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案；（3）按照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（2）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE−BG＝BE−DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．（1）解：EF=BE+DF，理由如下：延长CD，使DM=BE，连接AM，∵在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°，∴△ABE≌△ADM，∴∠BAE=∠DAM，AE=AM，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF =90°-45°=45°，∴∠EAF=∠MAF=45°，又∵AF=AF，AE=AM，∴△AEF≌△AMF，∴EF=MF=MD+DF=BE+DF；（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，如图，∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°，∴∠ADG＝90°，∵∠B＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°，∵BE＝DG，AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD，∵∠EAF=1∠BAD，2∴∠EAF=1∠EAG,2∴∠EAF＝∠FAG，又∵AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由如下：如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠ADF ＋∠ADC ＝180°，∴∠B ＝∠ADF ．∵在△ABG 与△ADF 中，{AB =AD∠ABG =∠ADF BG =DF，∴△ABG ≌△ADF （SAS ）．∴∠BAG ＝∠DAF ，AG ＝AF ．∴∠BAG ＋∠EAD ＝∠DAF ＋∠EAD ＝∠EAF ＝12∠BAD =12∠GAF ． ∴∠GAE ＝12∠BAD =∠EAF ．∵AE ＝AE ，AG ＝AF ．∴△AEG ≌△AEF ．∴EG ＝EF ，∵EG ＝BE −BG∴EF ＝BE −FD ．小提示：本题考查了三角形综合题，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题．17、（1）如图1，已知△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线m 经过点A,BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D,E ．求证：DE =BD +CE ．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC,D,A,E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC=∠BAC．请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明理由．答案：（1）证明见解析；（2）DE=BD+CE，证明见解析分析：（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；（1）DE=BD+CE．理由如下：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，{∠ABD＝∠CAE∠ADB＝∠CEA＝90°AB＝AC，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）DE=BD+CE，理由如下：∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE ，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，{∠ABD ＝∠CAE∠ADB ＝∠CEA AB ＝AC，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴BD +CE =AE +AD =DE ；小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．18、如图，在五边形ABCDE 中，AB =CD ，∠ABC =∠BCD ，BE ，CE 分别是∠ABC ，∠BCD 的角平分线．(1)求证：△ABE ≌△DCE ；(2)当∠A =80°，∠ABC =140°，时，∠AED =_________度(直接填空)．答案：(1)见解析；(2)100分析：（1）根据∠ABC =∠BCD ，BE ，CE 分别是∠ABC ，∠BCD 的角平分线，可得∠ABE =∠DCE ，∠CBE =∠BCE ，推出BE =CE ，由此利用SAS 证明△ABE ≌△DCE ；（2）根据三角形全等的性质求出∠D 的度数，利用公式求出五边形的内角和，即可得到答案．（1）证明：∵∠ABC =∠BCD ，BE ，CE 分别是∠ABC ，∠BCD 的角平分线，∴∠ABE =∠CBE =12∠ABC ，∠BCE =∠DCE =12∠BCD ，∴∠ABE =∠DCE ，∠CBE =∠BCE ，∴BE=CE，又∵AB=CD，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）∵△ABE≌△DCE，∴∠D=∠A=80°，∵五边形ABCDE的内角和为(5−2)×180°=540°，∴∠AED=540°−80°×2−140°×2=100°，所以答案是：100．小提示：此题考查了全等三角形的判定及性质，多边形内角和计算，正确掌握全等三角形的判定及性质定理是解题的关键．。
人教版八年级数学上册第12章第3课时 三角形全等的判定——SAS
数学
知识要点 知识点一：三角形全等的判定(SAS) 两边和它们 夹角 分别相等的两个三角形全等(简写成“边 角边”或“ SAS ”)． 几何语言：
返回
数学
在△′， AC＝A′C′，
∴△ABC≌ △A′B′C′
( SAS )．
返回
数学
对点训练 1.如图，下列各选项中与△ABC 一定全等的三角形是( B )
返回
数学
OA＝OD
证明：在△ABO 和△DCO 中，∠AOB＝∠DOC ，
OB＝OC
∴△ABO≌△DCO(SAS).
返回
数学
4.如图，点 F，B，E，C 在同一条直线上，AC＝DF，BF＝ EC，∠F＝∠C. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)若∠F＋∠FED＝80°，则∠A 的度数 为 100° .
返回
数学
★12.如图，点 E 在 CD 上，BC 与 AE 交于点 F，AB＝CB， BE＝BD，∠1＝∠2. (1)求证：△ABE≌△CBD； (2)求证：∠1＝∠3.
返回
数学
证明：(1)∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠CBE＝∠2＋∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，
AB＝CB
在△ABE 和△CBD 中，∠ABE＝∠CBD ，
返回
数学
11.如图，A，D，F，B 在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC， 且 AE∥BC.求证：△AEF≌△BCD.
返回
数学
证明：∵AE∥BC，∴∠A＝∠B，
∵AD＝BF，∴AF＝BD， AE＝BC
在△AEF 和△BCD 中，∠A＝∠B ，
AF＝BD
∴△AEF≌△BCD(SAS).
返回
数学
8.【例 4】如图，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC. (1)求证：AB＝DE； (2)当∠A＝21°，∠E＝39°时，求∠ACB 的度数．
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形证明方法归纳及典型例题
全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
人教版八年级数学上册第12章全等三角形知识点复习总结及常考题型练习.doc
第十二章一、：：二、：：1.：：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.理解：：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.：：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.理解：：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
(3)全等三角形的周长相等、面积相等。
(4)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3.全等三角形的判定定理：：⑴边边边（ SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（ SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等..4.：：5.：：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(4)三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且这点到三边的距离相等6.：：⑴明确命题中的已知和求证. （包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.7.：：(1) 要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；(2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；(3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；(4)中线倍长法、截长补短法证三角形全等。
人教版数学八年级上册第12章《全等三角形》复习测试题(配套练习附答案)
同理△DCB≌△C'DB，
∵∠A=∠C'，∠AOB=∠C'OD，AB=C'D，
∴△AOB≌△C'OD (AAS) ，
所以共有四对全等三角形．
故答案为4.
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
故选D．
二.填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.如图，在 和 中， ，若利用“HL”证明 ≌ ，则需要加条件______．
【答案】 ，
【解析】
【分析】
添加∠C=∠D=90°，由HL证明△ABC≌△ABD即可．
【详解】添加∠C=∠D=90°，理由如下：
∵∠C=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△ABD中，
A. AE=DFB. ∠A=∠DC. ∠B=∠CD. AB= CD
【答案】D
【解析】
【分析】
根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，由已知 ，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【详解】添加的条件是AB＝CD；理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
【详解】①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，
，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP(HL)，
∴AR=AS，∴①正确；
第12章+全等三角形知识点总结+20223-2024学年人教版数学八年级上册+
第12章全等三角形思维导图12.1全等三角形【知识点】1.能够完全重合的两个图形叫做全等形，全等形的形状相同，大小相同2.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形3.把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角4.两个三角形全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，△ABC与△A′B′C′全等，记作△ABC△△A′B′C′.在用符号表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.（用语言叙述的两个全等三角形的顶点不一定是对应顶点）5.全等三角形的对应边相等，对应角相等6.寻找对应元素的规律（1）有公共边的，公共边是对应边；（2）有公共角的，公共角是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（5）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（6）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边；最大角对应最大角，最小角对应最小角．（7）根据表达式找对应角、对应边时，可根据字母的顺序来确定对应关系．12.2全等三角形的判定【知识点】（一）全等三角形的判定1.三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”（三角形的稳定性）2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”3.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”5.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL ”6.【延伸】（1）有两边及第三边上的高分别相等的两个锐角三角形全等 （2）有一条直角边及斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等 （3）全等三角形对应边上的高相等（二）利用SSS 作一个角等于已知角如图（1）所示，已知∠AOB ，要求作一个角∠A′O′B′，使得∠A′O′B′=∠AOB作法：（1）如图（1），以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′； （3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB【题型】（一）直角三角形全等的判定 （二）作一个角等于已知角 （三）三角形全等的判定证明题 1. （2021重庆）如图，点B,F,C,E 共线，∠B=∠E ，BF=EC ，添加一个条件，不能判定△ABC△△DEF 的是（ ）A.AB=DEB.△A=△DC.AC=DFD.AC//FD答案：C2.（2020黑龙江齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB=∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD△△ABC，则还需要添加的一个条件是__________.答案：AD=AC（∠D=∠C或∠ABD=∠ABC或∠DBE=∠CBE）3.（2021吉林）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：AD=AE.答案：△ACD≌△ABE(ASA)4.（2021云南）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AC=BD，AC与BD相交于点E.求证：∠DAC=△CBD答案：△ADC≌△BCD(SSS)5.（2021陕西）如图，BD//AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC.求证：∠D=∠ABC.答案：△EDB≌△ABC(SAS)6.（2021福建）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE△AC，DF△AB，垂足分别为E，F，且DE=DF，CE=BF.求证：∠B=∠C.答案：△DEC ≌△DFB(SAS)7.（2020吉林）如图，在△ABC 中，AB>AC ，点D 在边AB 上，且BD=CA ，过点D 作DE//AC ，并截取DE=AB ，且点C ，E 在AB 同侧，连接BE.求证：△DEB△△ABC.答案：△DEB ≌△ABC(SAS)12.3角的平分线的性质【知识链接：11.1三角形的角平分线】1）定义：三角形的一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个叫的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线2）一个三角形有3条角平分线，它们都在三角形内部，且交于一点（一）角平分线的画法（依据SSS ）（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N（2）分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C（3）画射线OC ，射线OC 即为∠AOB 的角平分线（二）角平分线的性质1.角平分线上的点到角的两边的距离相等【延伸性质】AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，交AD于点G，则AD垂直平分EF2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上3.三角形的三个角的平分线相交于一点，这点到三边的距离相等【证明三角形三条角平分线交于一点】设AD，BE交于一点O，作OG⊥BC，OH⊥AC，OI⊥AB则OG=OI=OH（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）因为OG=OH所以O点也在∠C的平分线上（到角的两边距离相等的点在角平分线上），即在CF 上，也就是AD，BE，CF交于一点4.三角形的两个外角的平分线也交于一点，这点到三边所在直线的距离相等5.到三角形三边所在直线距离相等的点有4个【题型】（一）运用角平分线的性质证明线段相等。
(必考题)初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》提高练习(答案解析)
一、选择题1．如图已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，B C ∠=∠，8BC cm =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v ，则当BPD ∆与CQP ∆全等时，v 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3D解析：D【分析】 设运动时间为t 秒，由题目条件求出BD=12AB=6，由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，然后结合全等三角形的判定方法，分两种情况列方程求解．【详解】解：设运动时间为t 秒，∵12AB AC cm ==，点D 为AB 的中点．∴BD=12AB=6， 由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，又∵∠B=∠C∴①当BP=CQ ，BD=CP 时，BPD ∆≌CQP ∆∴2t=vt ，解得：v=2②当BP=CP ，BD=CQ 时，BPD ∆≌CPQ ∆∴8-2t=2t ，解得：t=2将t=2代入vt=6，解得：v=3综上，当v=2或3时，BPD ∆与CQP ∆全等故选：D【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．2．如图O 是ABC 内的一点，且O 到三边AB 、BC 、CA 的距离==OF OD OE ．若70A ∠=︒，则BOC ∠（ ）．A ．125°B ．135°C ．105°D ．100°A 解析：A【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O 是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，然后求出∠OBC+∠OCB ，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：∵O 到三边AB 、BC 、CA 的距离OF=OD=OE ，∴点O 是三角形三条角平分线的交点，∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，∴∠OBC+∠OCB= 12（∠ABC+∠ACB ）= 12×110°=55°， 在△OBC 中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-55°=125°．故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线判定定理，三角形的内角和定理，要注意整体思想的利用． 3．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（ ）A ．2B ．5C ．3D ．7C解析：C【分析】 先证明△ACD ≌△BED ，得到CD=ED=2，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵AD BC ⊥，BF AC ⊥，∴90AFE BDE ADC ∠=∠=∠=︒，∵AEF BED ∠=∠，∴EAF EBD ∠=∠，∵5AD BD ==，∴△ACD ≌△BED ，∴CD=ED=2，∴523AE AD ED =-=-=；故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，从而进行解题．4．如图，在ABC 和AEF 中，EAC BAF ∠=∠，EA BA =，添加下面的条件：①EAF BAC ∠=∠；②E B ∠=∠；③AF AC =；④EF BC =，其中可以得到ABC AEF ≌△△的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4B解析：B【分析】 根据EAC BAF ∠=∠，EAF EAC CAF ∠=∠+∠，BAC BAF CAF ∠=∠+∠，经推到得EAF BAC ∠=∠；再结合全等三角形判定的性质分析，即可得到答案．【详解】∵EAC BAF ∠=∠，EAF EAC CAF ∠=∠+∠，BAC BAF CAF ∠=∠+∠ ∴EAF BAC ∠=∠E B ∠=∠，即E B EAF BAC EA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC AEF ≌△△()ASA ，故②符合题意；AF AC =，即AF AC EAF BAC EA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC AEF ≌△△()SAS ，故③符合题意；①和④不构成三角形全等的条件，故错误；故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求解．5．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（ ）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm B解析：B【分析】过点O作MN，MN⊥AB于M，证明MN⊥CD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度，再把它们求和即可．【详解】如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE＝3cm，∴OM＝OE＝3cm，∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，∴ON＝OE＝3cm，∴MN＝OM＋ON＝6cm，即AB与CD之间的距离是6cm，故选B【点睛】此题主要考查角平分线的性质和平行线之间的距离，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．6．如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形和ABC全等的图形是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有丙D ．只有乙B解析：B【分析】 甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据SAS 判定与△ABC 全等；丙可根据AAS 判定与△ABC 全等，可得答案．【详解】解：甲三角形只知道两条边长无法判断是否与△ABC 全等；乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与△ABC 全等；丙三角形72°内角及所对边与△ABC 对应相等且均有50°内角，可根据AAS 判定乙与△ABC 全等；则与△ABC 全等的有乙和丙，故选：B ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．7．用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（ ）A ．HLB ．SSSC ．SASD ．ASA A解析：A【分析】 利用垂直得到90PMO PNO ∠=∠=，再由OM ON =，OP OP =即可根据HL 证明()HL ≌PMO PNO △△，由此得到答案.【详解】∵PM OA ⊥，PN OB ⊥，∴90PMO PNO ∠=∠=．∵OM ON =，OP OP =，∴()HL ≌PMO PNO △△， ∴POA POB ∠=∠，故选：A ．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据题中的已知条件确定对应相等的边或角，由此利用以上五种方法中的任意一种证明两个三角形全等.8．如图，AB 与CD 相交于点E ，AD=CB ，要使△ADE ≌△CBE ，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（ ）A ．AE=CE ；SASB ．DE=BE ；SASC ．∠D=∠B ；AASD ．∠A=∠C ；ASA C解析：C【分析】 根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．【详解】解：A.添加AE=CE 后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；B.添加DE=BE 后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；C.添加∠D=∠B ，根据AAS 可证明△ADE ≌△CBE ，故此选项符合题意；D.添加∠A=∠C ，根据AAS 可证明△ADE ≌△CBE ，故此选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA ．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．9．如图，要判定△ABD ≌△ACD ，已知AB ＝AC ，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（ ）A ．CD ⊥AD ，BD ⊥ADB ．CD ＝BDC ．∠1＝∠2D ．∠CAD ＝∠B AD C解析：C【分析】 在△ACD 和△ABD 中，AD=AD ，AB=AC ，由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除不符合题意的选项即可．【详解】解：添加A 选项中条件可用HL 判定两个三角形全等，故选项A 不符合题意；添加B 选项中的条件可用SSS 判定两个三角形全等，故选项B 不符合题意；添加C 选项中的条件∠1＝∠2可得∠CDA=∠BDA ，结合已知条件不SS 判定两个三角形全等，故选项C 符合题意；添加D 选项中的条件可用SAS 判定两个三角形全等，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，判断直角三角形全等的方法：“HL”．10．已知，如图，OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，下列条件中：①∠AOC ＝∠BOC ，②PD ＝PE ，③OD ＝OE ，④∠DPO ＝∠EPO ，能判定OC 是∠AOB 的角平分线的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D解析：D【分析】 根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．【详解】解：∵∠AOC ＝∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的角平分线，① 符合题意；∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，PD ＝PE ，∴OC 是∠AOB 的角平分线，② 符合题意；在Rt △POD 和Rt △POE 中，OD DE OP OP=⎧⎨=⎩ ， ∴Rt △POD ≌Rt △POE ，∴∠AOC ＝∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的角平分线，③ 符合题意；∵∠DPO=∠EPO ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴在△POD 和△POE 中，DPO EPO PDO PEO OP OP =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠∴△POD ≌△POE （AAS ），∴∠AOC ＝∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的角平分线，④ 符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键；二、填空题11．如图，AC=BC ，请你添加一个条件，使AE=BD ．你添加的条件是：________．∠A=∠B 或CD=CEAD=BE ∠AEC=∠BDC 等【分析】根据全等三角形的判定解答即可【详解】解：因为AC=BC ∠C=∠C 所以添加∠A=∠B 或CD=CEAD=BE ∠AEC=∠BDC 可得△ADC 与△解析：∠A=∠B 或CD=CE 、AD=BE 、∠AEC=∠BDC 等【分析】根据全等三角形的判定解答即可．【详解】解：因为AC=BC ，∠C=∠C ，所以添加∠A=∠B 或CD=CE 、AD=BE 、∠AEC=∠BDC ，可得△ADC 与△BEC 全等，利用全等三角形的性质得出AD=BE ，故答案为：∠A=∠B 或CD=CE 、AD=BE 、∠AEC=∠BDC ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．12．如图所示的是一张直角ABC 纸片（90C ∠=︒），其中30BAC ∠=︒，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的ABD △，若2BC =，则ABD △的周长为______．12【分析】根据题意证明三角形全等即可得解；【详解】如图所示由题可知∴∴∴BCD 在一条直线上∵∴△ABD 是等边三角形∴△ABD 的周长；故答案是12【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质结合等边解析：12【分析】根据题意证明三角形全等即可得解；【详解】如图所示，由题可知ABC ADC ≅△△，∴30BAC DAC ∠=∠=︒，90ACB ACD ∠=∠=︒，2BC BD ==，∴60BAD ∠=︒，180BCD ∠=︒，∴B ，C ，D 在一条直线上，∵60B D ∠=∠=︒，∴△ABD 是等边三角形，∴△ABD 的周长()3312BD BC CD ==+=； 故答案是12．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等边三角形的性质计算是解题的关键． 13．已知在△ABC 中，AB ＝9，中线AD ＝4，那么AC 的取值范围是____1＜AC ＜17【分析】作出图形延长AD 至E 使DE ＝AD 然后利用边角边证明△ABD 和△ECD 全等根据全等三角形对应边相等可得AB ＝CE 再利用三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边解析：1＜AC ＜17【分析】作出图形，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB ＝CE ，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出AC 的取值范围．【详解】如图，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ECD (SAS )，∴AB ＝CE ，∵AD ＝4，∴AE ＝4+4＝8，∵AC +CE ＞AC ＞CE -AE ，∴9-8＜AC ＜8+9，∴1＜AC ＜17，故答案为：1＜AC ＜17．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．14．如图，AB ，CD 交于点O ，AD ∥BC ．请你添加一个条件_____，使得△AOD ≌△BOC ．OA ＝OB （答案不唯一）【分析】由AD ∥BC 可得∠A ＝∠B ∠C ＝∠D 然后根据全等三角形的判定方法添加条件即可【详解】解：添加的条件是OA ＝OB 理由如下：∵AD ∥BC ∴∠A ＝∠B ∠C ＝∠D 在△AOD 和 解析：OA ＝OB （答案不唯一）【分析】由AD ∥BC 可得∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D ,然后根据全等三角形的判定方法添加条件即可．【详解】解：添加的条件是OA ＝OB ，理由如下：∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D在△AOD 和△BOC 中A B AO BO AOD BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOD ≌△BOC （ASA ）．故答案为：OA ＝OB （答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理的内容是解答本题的关键．15．如图，ABC 的面积为215cm ，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，过点C 作CD AP ⊥于点D ，连接DB ，则DAB 的面积是______2cm ．【分析】如图延长CD 交AB 于E 由题意得AP平分∠CAB 证明△ADC ≌△ADE 得到CD=DE 由此得到推出即可得到答案【详解】如图延长CD 交AB 于E 由题意得AP 平分∠CAB ∴∠CAD=∠EAD ∵CD ⊥A 解析：152【分析】如图，延长CD 交AB 于E ，由题意得AP 平分∠CAB ，证明△ADC ≌△ADE ，得到CD=DE ，由此得到,ACD ADE BCD BED SS S S ==，推出ACD BCD ADE BED S S S S +=+，即可得到答案．【详解】如图，延长CD 交AB 于E ，由题意得AP 平分∠CAB ，∴∠CAD=∠EAD,∵CD ⊥AD ，∴∠ADC=∠ADE ，∵AD=AD ，∴△ADC ≌△ADE ，∴,ACD ADE BCD BED SS S S ==， ∴ACD BCD ADE BED SS S S +=+， ∴12ABD ADE BED ABC S S S S =+==152， 故答案为：152． ．【点睛】此题考查三角形角平分线的作图方法，全等三角形的判定及性质，证出CD=DE 得到,ACD ADE BCD BED S S S S ==是解此题的关键．16．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ， AB ＝5，CD ＝2，则ABD △的面积是______5【分析】根据角平分线的性质求出DE 根据三角形的面积公式计算即可；【详解】如图：作DE ⊥AB 于点E ∵AD 平分∠BAC ∠C=90°DE ⊥AB ∴DE=DC=2∵AB=5∴△ABD 的面积=×AB×DE=5解析：5【分析】根据角平分线的性质求出DE ，根据三角形的面积公式计算即可；【详解】如图：作DE ⊥AB 于点E ，∵AD 平分∠BAC ，∠C=90°，DE ⊥AB ，∵AB=5∴△ABD 的面积=12×AB×DE=5， 故答案为：5．【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键； 17．如图，四边形ABDC 中，对角线AD 平分BAC ∠，136ACD ∠=︒，44BCD ∠=︒，则ADB ∠的度数为_____【分析】先添加辅助线过点作交的延长线于点过点作交的延长线于点过点作于点根据角平分线的判定性质定义以及三角形外角的性质邻补角的定义角的和差等可求得【详解】解：过点作交的延长线于点过点作交的延长线于点过解析：46︒【分析】先添加辅助线“过点D 作DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，过点D 作DG BC ⊥于点G ”，根据角平分线的判定、性质、定义以及三角形外角的性质、邻补角的定义、角的和差等可求得()1462ADB CBE BAC ∠=∠-∠=︒．【详解】解：过点D 作DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，过点D 作DG BC ⊥于点G ，如图：∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥ ∴12BAD BAC ∠=∠，DE DF = ∵136ACD ∠=︒ ∴18044DCF ACD ∠=︒-∠=︒∵44BCD ∠=︒，92ACB ACD BCD ∠=∠-∠=︒∴CD 平分BCF ∠∵DF AC ⊥，DG BC ⊥∴DF DG =∴DE DG =∵DE AB ⊥，DG BC ⊥∴BD 平分CBE ∠ ∴12DBE CBE ∠=∠ ∴ADB DBE BAD ∠=∠-∠1122CBE BAC =∠-∠ ()12CBE BAC =∠-∠ 12BCA =∠ 46=︒．故答案是：46︒【点睛】本题考查了角平分线的判定、性质、定义以及三角形外角的性质、邻补角的定义、角的和差等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．18．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，BD 平分ABC ∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为______．3【分析】过D 作DE ⊥BC 于EDE 即为DP 长的最小值由题意可以得到△BAD ≌△BED 从而得到DE 的长度【详解】解：如图过D 作DE ⊥BC 于EDE 即为DP 长的最小值由题意知在△BAD 和△BED 中∴△BA解析：3【分析】过D 作DE ⊥BC 于E ，DE 即为DP 长的最小值，由题意可以得到△BAD ≌△BED ，从而得到DE 的长度．【详解】解：如图，过D 作DE ⊥BC 于E ，DE 即为DP 长的最小值，由题意知在△BAD 和△BED 中，A DEB ABD EBD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△BED ，∴ED=AD=3，故答案为3．【点睛】本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题关键．19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为边BC 、AB 上的点，且AE ＝AC ，DE ⊥AB ．若∠ADC ＝61°，则∠B 的度数为_____．32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC 得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论【详解】解：∵DE ⊥AB ∴∠AED ＝90°＝∠DEB 在Rt △ADE 和Rt △ADC 中∴解析：32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC ，得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°，再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论．【详解】解：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°＝∠DEB ，在Rt △ADE 和Rt △ADC 中，AD AD AE AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △ADC （HL ），∴∠ADE ＝∠ADC ＝61°，∴∠BDE ＝180°﹣61°×2＝58°，∴∠B ＝90°﹣58°＝32°．故答案为：32°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质问题，解题的关键是能够熟练掌握全等三角形的判定及性质．20．如图，已知点(44)A -，，一个以A 为顶点的45︒角绕点A 旋转，角的两边分别交x 轴正半轴，y 轴负半轴于E 、F ，连接EF ．当△AEF 直角三角形时，点E 的坐标是________．或【分析】根据等腰三角形的性质作辅助线构造全等三角形得到对应线段相等即可得到结论【详解】①如图所示：∴∵∴∵∴∴在△和中∴△△FDE ∴∴②当时同①的方法有：∴综上所述满足条件的点坐标为或故答案为：或解析：(8)0，或(40)， 【分析】根据等腰三角形的性质，作辅助线构造全等三角形，得到对应线段相等即可得到结论．【详解】①如图所示：90AFE ︒∠=，∴90AFD OFE ︒∠+∠=，∵90OFE OEF ︒∠+∠=，∴AFD OEF ∠=∠，∵90AFE ︒∠=，45EAF ︒∠=，∴45AEF EAF ︒∠==∠，∴AF EF =，在△ADF 和FOE 中，ADE FOE AFD OEF AF EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△FDE ，∴4FO AD ==，8OE DF OD FO ==+=，∴(40)E ，． ②当90AEF ︒∠=时，同①的方法有：8OF =，4OE =，∴(40)E ，， 综上所述，满足条件的点E 坐标为(8)0，或(40)， 故答案为：(8)0，或(40)， 【点睛】本题考查三角形全等性质和判定、等腰直角三角形的性质，注意直角三角形按角分类讨论分三种情况，不要漏解．三、解答题21．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线EF 经过点C ，BF ⊥EF 于点F ，AE ⊥EF 于点E ．（1）求证：△ACE ≌△CBF ；（2）如果AE 长12cm ，BF 长5cm ，求EF 的长．解析：（1）证明见解析；（2）EF=17cm ．【分析】（1）根据垂直的定义可得∠AEC=∠CFB=90°，然后求出∠EAC=∠FCB ，再利用“角角边”证明即可；（2）由全等三角形的性质可得：AE=CF ，CE=BF ，再根据线段的和差求解即可．【详解】（1）证明：在Rt △ACB 中，∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°∵AE ⊥EF ，BF ⊥EF∴∠ACE+∠EAC=90°∴∠CAE=∠BCF又∵ AC=CB∴△ACE ≌△CBF(ASA)(2)由△ACE ≌△CBF 可得:AE=CF=12cm ， EC=BF=5cm ，∴EF=EC+CF=12+5=17cm ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判断方法并找出全等的条件是解题的关键．22．（阅读理解）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADC ≌EDB △的理由是______．（2）求得AD 的取值范围是______．（感悟）解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．（问题解决）（3）如图2，在ABC 中，点D 是BC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，若DM DN ⊥，求证：BM CN MN +>．解析：（1）SAS ；（2）17AD <<；（3）见解析【分析】（1）根据AD=DE ，∠ADC=∠BDE ，BD=DC 推出△ADC 和△EDB 全等即可；（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD ，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD ＜8+6，求出即可；（3）延长ND 至点E ，使DE DN =，连接BE 、ME ，证明BED ≌()SAS CND △，得到BE CN =，根据三角形三边关系解答即可．【详解】（1）解：∵在△ADC 和△EDB 中，AD DE ADC BDE BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），故答案为：SAS ；（2）解：∵由（1）知：△ADC ≌△EDB ，∴BE=AC=6，AE=2AD ，∵在△ABE 中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD ＜8+6，∴1＜AD ＜7，故答案为：1＜AD ＜7．（3）证明：延长ND 至点E ，使DE DN =，连接BE 、ME ，如图所示：∵点D 是BC 的中点，∴BD CD =．在BED 和CND △中，DE DN BDE CDN BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴BED ≌()SAS CND △，∴BE CN =，∵DM DN ⊥，DE DN =，∴ME MN =，在BEM △中，由三角形的三边关系得：BM BE ME +>，∴BM CN MN +>．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．23．如图，已知A ABC ∠=∠，D CBD ∠=∠，ABD CBD ∠=∠，点E 在BC 的延长线上．求证：CD 平分ACE ∠．解析：见解析【分析】根据题意，先证明//AB CD ，然后由平行线的性质以及等量代换，得到ACD DCE ∠=∠，即可得到结论成立．【详解】证明：D CBD ∠=∠，ABD CBD ∠=∠，D ABD ∴∠=∠，//AB CD ∴ABC DCE ∴∠=∠，A ACD ∠=∠又A ABC ∠=∠，CD ∴平分ACE ∠．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到//AB CD ．24．如图，在ABC 和BCD △中，90BAC BCD ︒∠=∠=，AB AC =，CB CD =；延长CA 至点E ，使AE AC =；延长CB 至点F ，使BF BC =．连接AD ，AF ，DF ，EF ．延长DB 交EF 于点N ．（1）求证：AD AF =；（2）求证：BD EF =．解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）结合题意得：ABF BAC ACB ∠=∠+∠，ACD ACB BCD ∠=∠+∠，推导得ABF ACD ∠=∠；通过证明ABF ACD △≌△，即可完成证明；（2）根据（1）的结论ABF ACD △≌△得：BAF CAD ∠=∠；根据题意得90BAE ∠=；再通过证明AEF ABD △≌△，即可完成证明．【详解】（1） ∵ABF BAC ACB ∠=∠+∠，ACD ACB BCD ∠=∠+∠，90BAC BCD ︒∠=∠=∴ABF ACD ∠=∠∵BF BC =，CB CD =∴BF BC CD ==即AB AC ABF ACD BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABF ACD △≌△∴AF AD =；（2）∵90BAC ︒∠=∴18090BAE BAC ∠=-∠=结合（1）的结论ABF ACD △≌△∴BAF CAD ∠=∠∵90EAF BAE BAF BAF ∠=∠-∠=-∠，90BAD BAC CAD CAD ∠=∠-∠=-∠∵AE AC =，AB AC =∴AE AC AB ==即AF AD EAF BAD AE AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ABD △≌△∴BD EF =．【点睛】本题考查了三角形外角、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、全等三角形的性质，从而完成求解．25．如图，CB 为ACE ∠的角平分线，F 是线段CB 上一点，,CA CF B E =∠=∠，延长EF 与线段AC 相交于点D ．（1）求证：AB FE =；（2）若,//ED AC AB CE ⊥，求A ∠的度数．解析：（1）证明见解析；（2）120︒．【分析】（1）先根据角平分线的定义可得ACB FCE ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；（2）先根据平行线的性质可得B FCE ∠=∠，从而可得E FCE B ACB ∠∠=∠=∠=，再根据直角三角形的性质可得30ACB ∠=︒，然后根据三角形的内角和定理即可得．【详解】（1）CB 为ACE ∠的角平分线，ACB FCE ∴∠=∠， 在ABC 和FEC 中，B E ACB FCE CA CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC FEC AAS ∴≅，AB FE ∴=；（2）//AB CE ，F E B C ∴∠=∠，E FCE B B AC ∠=∴∠=∠∠=，ED AC ⊥，即90CDE ∠=︒，90E FCE ACB ∠∠+∠∴+=︒，即390ACB ∠=︒，解得30ACB ∠=︒，30B ∴∠=︒，180120B A ACB ∠=︒-∠=∴∠-︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．26．如图，AB ⊥CB ，DC ⊥CB ， E 、F 在 BC 上，AF=DE ，BE=CF ，求证：AB =DC ．解析：见解析【分析】由BE ＝CF 得BF ＝CE ，由AB ⊥CB ，DC ⊥CB 得到∠ABF ＝∠DCE ＝90°，然后根据“HL ”可判断Rt ABF ≌Rt DCE ，则AB ＝DC 即可．【详解】证明：∵BE ＝CF ，∴BE +EF ＝CF +EF ，即BF ＝CE ，∵AB ⊥CB ，DC ⊥CB ，∴∠ABF ＝∠DCE ＝90°，∵在Rt ABF 和Rt DCE 中，AF DE BF CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt ABF ≌Rt DCE （HL ），∴AB ＝DC ．【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质：有一组直角边和斜边对应相等的两直角三角形全等；全等三角形的对应角相等，对应边相等．27．如图，B 、C 、E 三点在同一条直线上，AC ∥DE ，AC ＝CE ，∠ACD ＝∠B ． 求证：△ABC ≌△CDE ．解析：见解析．【分析】首先根据AC ∥DE ，利用平行线的性质可得：∠ACB=∠E ，∠ACD=∠D ，再根据∠ACD=∠B 证出∠D=∠B ，再由∠ACB=∠E ，AC=CE 可根据三角形全等的判定定理AAS 证出△ABC ≌△CDE ．【详解】证明：∵AC ∥DE ，∴ACD D ∠=∠，BCA E ∠=∠．又∵ACD B ∠=∠，∴B D ∠=∠，又∵AC CE =，∴()ABC CDE AAS ≌．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定两个三角形全等的方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．28．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ． （1）求证：AD ＝CE（2）AD ＝6cm ，DE ＝4cm ，求BE 的长度解析：（1）证明见解析；（2）2cm ．【分析】（1）先根据垂直的定义可得90ADC E ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得CAD BCE ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；（2）先结合（1）的结论可得6CE cm =，再根据线段的和差可得2CD cm =，然后根据全等三角形的性质即可得．【详解】（1）,AD CE BE CE ⊥⊥，90ADC E ∠=∠=∴︒，90CAD ACD ∴∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，90BCE ACD ∴∠+∠=︒，CAD BCE ∴∠=∠，在ACD △和CBE △中，ADC E CAD BCE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD CBE AAS ∴≅，AD CE ∴=；（2）由（1）已证：AD CE =，6AD cm =，6CE cm ∴=，4DE cm =，2CD CE DE cm ∴=-=，又由（1）已证：ACD CBE ≅，2BE CD cm ∴==．【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．。
最新人教版八年级上册数学第十二章全等三角形第8课时 《全等三角形》单元复习
数学
15.【例7】如图,AD平分∠BAC,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC 交ED的延长线于点F,若BC恰好平分∠ABF. (1)求证:点D为EF的中点; (2)求证:AD⊥BC.
返回
数学
证明:(1)如图,过点D作DH⊥AB于H, ∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,DH⊥AB,∴DE＝DH, ∵BF∥AC,DE⊥AC, ∴BF⊥DF, ∵BC平分∠ABF,DH⊥AB,DF⊥BF, ∴DH＝DF,∴DE＝DF,∴点D为EF的中点.
答案图
返回
数学
(2)∵BF∥AC,∴∠C＝∠DBF,且∠CDE＝∠BDF,DE＝DF, ∴△DCE≌△DBF(AAS),∴CD＝BD, ∵BC平分∠ABF,∴∠ABD＝∠DBF,∴∠C＝∠ABD, ∵AD平分∠BAC,∴∠CAD＝∠DAB, 又AD＝AD,∴△DCA≌△DBA, ∴∠CDA＝∠BDA, ∵∠CDA+∠BDA＝180°, ∴∠CDA＝∠BDA＝90°,∴AD⊥BC.
第十二章 全等三角形
第8课时 《全等三角形》单元复习
数学
目录
01 知识要点 02 对点训练 03 精典范例 04 变式练习
数学
知识要点
知识点一:全等三角形的性质 (1)性质1:全等三角形的对应边 相等 . 性质2:全等三角形的对应角 相等 . 说明:①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分 线 相等 . ②全等三角形的周长相等、面积相等. ③平移、翻折、旋转前后的图形 全等 .
返回
数学
证明: (1)∵DE⊥A B,DF ⊥A C,
∴△BDE,△CDF 是直角三角形.
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中, ＝ , ＝
∴R t △ B DE≌R t △ CDF(H L ),∴DE ＝DF .
人教版数学八年级上期第十二章全等三角形证明题提高篇
人教版数学八年级上期第十二章全等三角形证明题提高篇——位置关系1.如图1,AB⊥BD,DE⊥BD,点C是BD上一点,且BC=DE,CD=AB.(1)试判断AC与CE的位置关系,并说明理由;(2)如图2,若把△CDE沿直线BD向左平移,使△CDE的顶点C与B重合,此时第(1)问中AC与BE的位置关系还成立吗?(注意字母的变化)2.如图,在△ABC中,AC=BC,D是AB上的一点,AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F.若CE=BF,AE=EF+ BF,试判断AC与BC的位置关系,并说明理由.3.如图，△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD上的点，且AM＝DN．（1）求证：△ABE≌△DBC．（2）探索BM和BN的位置关系，并证明你的结论．4.如图，BE、CF是△ABC的高且相交于点P，AQ // BC交CF延长线于点Q，若BP=AC，CQ=AB．（1）试找理由说明△ACQ≌△PBA；（2）线段AP与AQ的位置关系如何？说明理由．5.如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，C，D，E三点在同一条直线上，连结BD.（1）求证：BD=CE；（2）BD、CE有何位置关系？请证明你的结论.6.如图，四边形ABCD中，CD=BC=2AB，AB∥CD，∠B=90°，E是BC的中点，AC与DE相交于点F，连接AE．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）判断线段AC与DE的数量关系及位置关系，并说明理由；（3）若AB=2，试求△ADE的面积．7.如图所示，点D是等腰Rt△ABC的斜边BC上一动点，连接AD，作等腰Rt△ADE，使AD=AE，且∠DAE=90°连接BE、CE．（1）判断BD与CE的数量关系与位置关系，并进行证明；（2）当四边形ADCE的周长最小值是6时，求BC的值．8.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．（1）问线段EC与BF数量关系和位置关系？并给予证明．（2）连AM，请问∠AME的大小是多少，如能求写出过程；不能求，写出理由．9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．（1）求证：△ABE≌△DCE．（2）试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．10.如图，Rt△ABC≌Rt△CED（∠ACB=∠CDE=90°），点D在BC上，AB与CE相交于点F．（1）如图1，直接写出AB与CE的位置关系；（2）如图2，连接AD交CE于点G，在BC的延长线上截取CH=DB，射线HG交AB于K，求证：HK=BK．11.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D为AB的延长线上的一点，点E在BC边上，且BD=BE，连接AE、DE、DC .(1)△ABE与△CBD全等吗？请说明理由；(2)猜想AE与CD的位置关系，并证明你的结论.12.以点A为顶点作两个等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，AB=AC，AE=AD，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．（1）在图1中，直接写出线段BD与EC的关系（数量关系、位置关系）（2）如图2放置，上面的结论还成立吗？请说明理由（3）在图2中，连接AF，求证：AF平分∠EFB.13.如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，F为EC的中点，连接AF．写出AF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．14.如图，在△ABC中，DA⊥AB，AD=AB，EA⊥AC，AE=AC．（1）试说明△ACD≌△AEB；（2）若∠ACB=90°，连接CE，①说明EC平分∠ACB；②判断DC与EB的位置关系，请说明理由．15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=∠AED=90°，∠EAD=∠EDA=45°，AE=ED，AC=2AB，D是AC的中点，试猜想线段BE和EC的关系（关系包括数量关系和位置关系），并证明你的猜想．16.如图所示，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一直线上，连接BD．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD，CE有何特殊位置关系，并证明．17.我们知道，如果两个三角形全等，则它们面积相等，而两个不全等的三角形，在某些情况下，可通过证明等底等高来说明它们的面积相等．已知△ABC与△DEC是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE．（1）如图1，当∠BCE=90°时，求证S△ACD=S△BCE（2）如图2，当0°＜∠BCE＜90°时，上述结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．（3）如图3，在（2）的基础上，如果G点为AD 的中点，连接CG，延长GC交BE于F，试猜想GF与BE的位置关系，并证明你的结论．。