第4节 极点配置设计
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第4章 极点配置设计：状态空间模型 重点：
1.一批设计方法 2.一种理想化了的调解问题
3.由实测输出重构状态的问题 4.伺服问题
4.1 控制系统设计
1.在设计控制系统时必须考虑许多不同的因素：
负载扰动的衰减 测量噪声影响的减少 指令信号的跟踪 过程特性的变化和不确定性
注：为了便于考虑这些扰动，不妨认为它们以控制信 号的同样的方式进入系统。
扰动
作用在过程上的扰动是不规则的脉冲。 1 理想化的扰动：脉冲之间的距离大: 以致于在两 个扰动脉冲之间系统就稳定下来了 把扰动中脉冲的影响简单的变成了过程 状态，即可以用初始状态表示扰动。 2 一般性的扰动：即它是由输入为脉冲的动态系统 产生的输出。 典型的例子是阶跃，斜坡和正弦信号。
过程的不确定性
dx Ax (t ) Bu(t ) (4.1) dt 其中，u表示控制变量，x表示状态向量。A和B是定常矩阵。
系统(4.1)采用零阶保持采样后，得离散时间系统为：
x (k 1) Φx ( k ) Γu(k ) (4.2)
注意： ① 信号的自变量不是实际时间，而是采样间隔数 。 称之为采样时间约定。 ② 当有时间的可能时，再用实际时间。
极点配置设计问题容易得到显式解。值得注意的是能 达性是解决此问题的充要条件。 实际中为了应用极点配置设计方法，就必须了解闭环 系统极点和采样周期这类设计参数是怎样影响闭环系 统的特性的。
在以前针对开环系统的采样周期的选择的讨论中。 建议可以这样选择采样周期：
Nr 4 ~ 10
其中，Nr是每个上升时间里的采样点。把同样的规则应 用到闭环系统，我们发现周期应当于闭环系统的希望特 征有关。因此，引入又下式定义的参数N是方便的：
a1 1 Φ 0 0 a2 0 1 0 an 1 0 0 1 an 0 0 0 1 0 Γ 0 0 (4.6)
确定闭环极点的特征多项式的系数，以显式出现在表示中。
根据式(4.6)可知反馈律：
Hale Waihona Puke Baidu
5 一般情况：单输入信号系统的极点配置问题的解
设系统用 (4.2)描述，且矩阵的多项式为的特征多项式:
z n a1 z n 1 an
假设系统(4.2)是能达的。通过变换z=Tx改变状态变量， 把式(4.2)转换为能达规范型。 变换后的状态方程变为：z (k 1) Φz (k ) Γu(k ) (4.5) 其中，
3 采样周期还影响控制信号的幅值。控制信号的幅值急剧的随 采样周期的减小而增大。 4 在使用有限拍控制时，仔细的选择采样周期是重要的。只有采 样—数据系统才有有限拍策略的。连续时间系统没有与它相应的 特性
例：双重积分器的有限拍控制
x0 3v0 u (0) 2 h 2h x0 v0 u ( h) 2 h 2h
u Lz ( p1 a1 p2 a 2 pn an ) z (4.7)
给出闭环系统的特征多项式为：
P ( z ) z n p1 z n 1 pn (4.8)
为了寻找原始问题的解，必须直接转换回原始坐标。这 里给出：
u Lz LTx Lx (4.9)
u(k ) Lx (k ) (4.3)
4 举例
例4.1 双重积分器对象的极点配置
1 h h2 2 采样后的双重积分器有 ： x(k 1) x(k ) u (k ) 0 1 h
一般的线性反馈可以用： u= l1 x1 l2 x2 采用这个反馈时，闭环系统变成：
Wc和 Wc 分别是系统(4.2)式和(4.5)式的能达性矩阵。
注
意：
注1：方程(4.14)称为阿克曼(Ackerman)公式。
注2：把上述极点配置问题形式化为下面的抽象问题： 给定矩阵和，寻找一个矩阵L以便使得矩阵 -L有 规定的特征值。 注3：根据式(4.11)和(4.12)，可得：
T 1 ( Γ ΦΓ a1 Γ Φ n 1 Γ a1Φ n 2 Γ an -1 Γ ) (4.15)
得到了闭环系统：
x (k +1) (Φ ΓL) x (k ) (Φxw ΓLw ) w ( k ) w (k +1) Φw w (k ) (4.22)
x (k +1) (Φ ΓL) x (k ) (Φxw ΓLw ) w ( k ) w (k +1) Φw w (k ) (4.22)
N 2
h 1 2
(4.16)
每个周期的采样点数
其中，为自然频率，而是相对阻尼系统。参数影响 响应的相对阻尼。而影响响应速度。 建议采样周期选择为：h =0.1~0.6
图4.1 选用不同的的结果 b) = 0.5 c) = 1 d) = 2
图4.2 表明系统在不同的N值下的暂态特性
采样系统(4.20)得到下列离散时间系统：
x (k +1) Φ Φ xw x (k ) Γ w (k +1) 0 Φ w (k ) 0 u(k ) w
一般的线性状态反馈为：
u(k ) Lx(k ) Lw w(k ) (4.21)
2. 控制问题的分类
调节问题 控制问题
要点：在减小负载扰动和减少由反馈注入到 系统的测量噪声而产生的涨落之间进行折衷
伺服问题
要点：指令信号的跟踪
3.设计问题的主要组成内容
系统的用途 过程模型 扰动模型 模型的偏差和不确定性 允许的控制策略 设计参数
设计过程：(从简单的开始)
过程模型：假设可以用模型为：
用状态空间描述可以处理矩阵A和B中各元素的不确定性， 但是状态空间描述不便于处理其他形式的未建模动力学特 性。因此，当建立更合适的工具之后，我们再来讨论过程 的不确定性。
性能准则
调节问题 受扰之后，其性能准则是力图使状态归零。 在极点配置表达中，这种状态衰减速率是通过规定闭 环系统的极点间接给出的。
直接计算得到：
1 a1 0 1 1 Wc 0 0 an 1 an 2 1 (4.12)
通过增益为：
L ( p1 a1 p2 a 2 pn an )WcWc1 (4.13)
的线性状体反馈。找到了设计问题的解。
定理 4.1 采用状态反馈的极点配置
伺服问题 需要从指令信号到过程变量的信号传递接近模型规定 的特性。
允许控制
由于要求反馈解，所以必须规定产生控制信号的可 用信息。因为用闭环极点来规定系统的特性，很自 然需要反馈是线性的。
设计参数
在问题的形式化的性能规范中，设计参数是采样周 期和希望的闭环极点。可是控制系统的用户很少能 用这些参数作为性能规范。因此，设计者必须把这 些设计参数与对用户更用意义的量联系起来。 为此，考虑状态变量和控制变量随时间的变化过程 通常是有帮助的，特别是研究控制信号幅值和系统 受扰后的恢复速度之间进行折衷的问题。
余下的问题是确定变换矩阵T。 确定这个矩阵的一个简单方法：基于能达性矩阵的特性。 假设Wc是系统(4.2)的能达性矩阵，即：
Wc ( Γ ΦΓ Φ n1Γ ) (4.10)
而假设 Wc 是系统(4.5)的能达性矩阵。这些矩阵由 Wc TWc 联系起来了。 1
T WcWc (4.11)
1-l1h2 2 h l2 h 2 2 x(k 1) x (k ) 1 l2 h l1h
闭环系统的特征方程式为：
l1h 2 l1h 2 z l2 h 2 z l2 h 1 0 2 2
2
假设希望的特征方程为：
由阿克曼公式(4.14)，得到有限拍策略：
L (0 0 1)Wc1Φ n (4.18)
如果矩阵是可逆的，则得：
L (0 0 1)(Φ n Γ Φ n1 Γ Φ -1Γ )1 (4.19)
性质和注意要点
1 有限拍控制中只有一个设计参数，即采样周期h。 2 因为最多经n个采样周期误差就变为零，建立时间最多为nh
对于N > 10在两个响应之间有较小的不同。但是当 N > 20时得到的响应在图上就没有明显的差别了。
6. 有限拍控制
定义 如果期望的极点全部选在坐标原点，则闭环系统的 特征多项式为：
P( z ) z n
于是，凯莱-哈密顿定理意味着闭环系统的系统矩阵 c= -L满足：
Φcn 0
在过程状态受到脉冲干扰之后，系统最多用n步就能把 全部状态驱动到零。这个控制策略称为有限拍控制。
考虑系统(4.2)。假设只有一个输入信号。如果系统 是能达的，那么，存在一个线性反馈，它给出具有特征 多项式P(z)的闭环系统。这个反馈有下式给出：
u(k ) Lx(k )
其中，
L ( p1 a1 p2 a2 pn an )WcWc1 (0 0 1)Wc1P(Φ ) (4.14)
注 意：
可以把式(4.21)的控制律解释成反馈项Lx和来自实测 扰动的前馈项Lww的组合。 如果(， )对是能达的，则可以选择矩阵L以便使矩 阵 L具有预先规定的特征值。这可保证通过解纯粹 是有初始值衰减引起的。 矩阵w不受反馈影响。然而，扰动对向量x的影响可 以通过适当选择矩阵xw Lw小的向量Lw来减少。在 某些情况下可能使这个矩阵为零。
Aw有两种情况：
1 扰动是v一个常数 2 对应的正弦扰动 Aw=0
0 0 Aw 0 0
假设w是可以测量的。引入增广状态向量：
x z w
得到了可以通过下式描述的系统 ：
d x A Cw x B w 0 A w 0 u dt w (4.20)
4.2 采用状态反馈的调节
前提条件：系统所有状态都可以直接测量 一 理想扰动情况下 1. 对系统进行一些假设： 系统用方程(4.1)描述 离散时间系统式(4.2)描述 扰动是系统初始条件的摄动
2. 控制的目的 寻找一个线性控制律使闭环系统具有规定的特征方程
保证扰动以规定的方式衰减 3. 控制策略
d x A Cw x B w 0 A w 0 u dt w
(4.20)
注 意：
这样，就有了一个在形式上与基本极点配置问题相 同的问题。 有一个重要的差别。式(4.20)表示的系统不是完全能 达的。与扰动描述有关的极点——即Aw的特征值—— 不可能受反馈的影响。
z 2 p1 z p2 0
从而得到求解l1和l2的两个线性方程：
l1h 2 l2 h 2 p1 2 l1h 2 l2 h 1 p2 2
(4.4)
在这个例子中总可以找到控制器参数给出该闭环系统 的一个任意的特征方程，对于所有的p1和p2值，这个线 性方程组都能给出l1和l2的一个解。
4. 3
系统的采样模型：
观 测 器
x (k 1) Φx (k ) Γu(k ) y(k ) Cx (k )
(4.23)
研究目的
考虑从输出和输入序列y(k)，y(k-1) ， u(k), u(k-1)来 计算或重构状态x(k)的问题。
控制信号的幅值随采样周期的减少迅速增加
有限拍控制策略对小采样周期是很敏感的
二 一般性的扰动情况下的设计
扰动的类型，如阶跃和正弦。
假设系统为：
dx Ax (t ) Bu(t ) v dt
其中v是通过下式描述的扰动：
dw Aw w dt
v Cw w
其初始条件已知。 矩阵Aw的零点是典型的位于虚轴上或右半平面中。
1.一批设计方法 2.一种理想化了的调解问题
3.由实测输出重构状态的问题 4.伺服问题
4.1 控制系统设计
1.在设计控制系统时必须考虑许多不同的因素：
负载扰动的衰减 测量噪声影响的减少 指令信号的跟踪 过程特性的变化和不确定性
注：为了便于考虑这些扰动，不妨认为它们以控制信 号的同样的方式进入系统。
扰动
作用在过程上的扰动是不规则的脉冲。 1 理想化的扰动：脉冲之间的距离大: 以致于在两 个扰动脉冲之间系统就稳定下来了 把扰动中脉冲的影响简单的变成了过程 状态，即可以用初始状态表示扰动。 2 一般性的扰动：即它是由输入为脉冲的动态系统 产生的输出。 典型的例子是阶跃，斜坡和正弦信号。
过程的不确定性
dx Ax (t ) Bu(t ) (4.1) dt 其中，u表示控制变量，x表示状态向量。A和B是定常矩阵。
系统(4.1)采用零阶保持采样后，得离散时间系统为：
x (k 1) Φx ( k ) Γu(k ) (4.2)
注意： ① 信号的自变量不是实际时间，而是采样间隔数 。 称之为采样时间约定。 ② 当有时间的可能时，再用实际时间。
极点配置设计问题容易得到显式解。值得注意的是能 达性是解决此问题的充要条件。 实际中为了应用极点配置设计方法，就必须了解闭环 系统极点和采样周期这类设计参数是怎样影响闭环系 统的特性的。
在以前针对开环系统的采样周期的选择的讨论中。 建议可以这样选择采样周期：
Nr 4 ~ 10
其中，Nr是每个上升时间里的采样点。把同样的规则应 用到闭环系统，我们发现周期应当于闭环系统的希望特 征有关。因此，引入又下式定义的参数N是方便的：
a1 1 Φ 0 0 a2 0 1 0 an 1 0 0 1 an 0 0 0 1 0 Γ 0 0 (4.6)
确定闭环极点的特征多项式的系数，以显式出现在表示中。
根据式(4.6)可知反馈律：
Hale Waihona Puke Baidu
5 一般情况：单输入信号系统的极点配置问题的解
设系统用 (4.2)描述，且矩阵的多项式为的特征多项式:
z n a1 z n 1 an
假设系统(4.2)是能达的。通过变换z=Tx改变状态变量， 把式(4.2)转换为能达规范型。 变换后的状态方程变为：z (k 1) Φz (k ) Γu(k ) (4.5) 其中，
3 采样周期还影响控制信号的幅值。控制信号的幅值急剧的随 采样周期的减小而增大。 4 在使用有限拍控制时，仔细的选择采样周期是重要的。只有采 样—数据系统才有有限拍策略的。连续时间系统没有与它相应的 特性
例：双重积分器的有限拍控制
x0 3v0 u (0) 2 h 2h x0 v0 u ( h) 2 h 2h
u Lz ( p1 a1 p2 a 2 pn an ) z (4.7)
给出闭环系统的特征多项式为：
P ( z ) z n p1 z n 1 pn (4.8)
为了寻找原始问题的解，必须直接转换回原始坐标。这 里给出：
u Lz LTx Lx (4.9)
u(k ) Lx (k ) (4.3)
4 举例
例4.1 双重积分器对象的极点配置
1 h h2 2 采样后的双重积分器有 ： x(k 1) x(k ) u (k ) 0 1 h
一般的线性反馈可以用： u= l1 x1 l2 x2 采用这个反馈时，闭环系统变成：
Wc和 Wc 分别是系统(4.2)式和(4.5)式的能达性矩阵。
注
意：
注1：方程(4.14)称为阿克曼(Ackerman)公式。
注2：把上述极点配置问题形式化为下面的抽象问题： 给定矩阵和，寻找一个矩阵L以便使得矩阵 -L有 规定的特征值。 注3：根据式(4.11)和(4.12)，可得：
T 1 ( Γ ΦΓ a1 Γ Φ n 1 Γ a1Φ n 2 Γ an -1 Γ ) (4.15)
得到了闭环系统：
x (k +1) (Φ ΓL) x (k ) (Φxw ΓLw ) w ( k ) w (k +1) Φw w (k ) (4.22)
x (k +1) (Φ ΓL) x (k ) (Φxw ΓLw ) w ( k ) w (k +1) Φw w (k ) (4.22)
N 2
h 1 2
(4.16)
每个周期的采样点数
其中，为自然频率，而是相对阻尼系统。参数影响 响应的相对阻尼。而影响响应速度。 建议采样周期选择为：h =0.1~0.6
图4.1 选用不同的的结果 b) = 0.5 c) = 1 d) = 2
图4.2 表明系统在不同的N值下的暂态特性
采样系统(4.20)得到下列离散时间系统：
x (k +1) Φ Φ xw x (k ) Γ w (k +1) 0 Φ w (k ) 0 u(k ) w
一般的线性状态反馈为：
u(k ) Lx(k ) Lw w(k ) (4.21)
2. 控制问题的分类
调节问题 控制问题
要点：在减小负载扰动和减少由反馈注入到 系统的测量噪声而产生的涨落之间进行折衷
伺服问题
要点：指令信号的跟踪
3.设计问题的主要组成内容
系统的用途 过程模型 扰动模型 模型的偏差和不确定性 允许的控制策略 设计参数
设计过程：(从简单的开始)
过程模型：假设可以用模型为：
用状态空间描述可以处理矩阵A和B中各元素的不确定性， 但是状态空间描述不便于处理其他形式的未建模动力学特 性。因此，当建立更合适的工具之后，我们再来讨论过程 的不确定性。
性能准则
调节问题 受扰之后，其性能准则是力图使状态归零。 在极点配置表达中，这种状态衰减速率是通过规定闭 环系统的极点间接给出的。
直接计算得到：
1 a1 0 1 1 Wc 0 0 an 1 an 2 1 (4.12)
通过增益为：
L ( p1 a1 p2 a 2 pn an )WcWc1 (4.13)
的线性状体反馈。找到了设计问题的解。
定理 4.1 采用状态反馈的极点配置
伺服问题 需要从指令信号到过程变量的信号传递接近模型规定 的特性。
允许控制
由于要求反馈解，所以必须规定产生控制信号的可 用信息。因为用闭环极点来规定系统的特性，很自 然需要反馈是线性的。
设计参数
在问题的形式化的性能规范中，设计参数是采样周 期和希望的闭环极点。可是控制系统的用户很少能 用这些参数作为性能规范。因此，设计者必须把这 些设计参数与对用户更用意义的量联系起来。 为此，考虑状态变量和控制变量随时间的变化过程 通常是有帮助的，特别是研究控制信号幅值和系统 受扰后的恢复速度之间进行折衷的问题。
余下的问题是确定变换矩阵T。 确定这个矩阵的一个简单方法：基于能达性矩阵的特性。 假设Wc是系统(4.2)的能达性矩阵，即：
Wc ( Γ ΦΓ Φ n1Γ ) (4.10)
而假设 Wc 是系统(4.5)的能达性矩阵。这些矩阵由 Wc TWc 联系起来了。 1
T WcWc (4.11)
1-l1h2 2 h l2 h 2 2 x(k 1) x (k ) 1 l2 h l1h
闭环系统的特征方程式为：
l1h 2 l1h 2 z l2 h 2 z l2 h 1 0 2 2
2
假设希望的特征方程为：
由阿克曼公式(4.14)，得到有限拍策略：
L (0 0 1)Wc1Φ n (4.18)
如果矩阵是可逆的，则得：
L (0 0 1)(Φ n Γ Φ n1 Γ Φ -1Γ )1 (4.19)
性质和注意要点
1 有限拍控制中只有一个设计参数，即采样周期h。 2 因为最多经n个采样周期误差就变为零，建立时间最多为nh
对于N > 10在两个响应之间有较小的不同。但是当 N > 20时得到的响应在图上就没有明显的差别了。
6. 有限拍控制
定义 如果期望的极点全部选在坐标原点，则闭环系统的 特征多项式为：
P( z ) z n
于是，凯莱-哈密顿定理意味着闭环系统的系统矩阵 c= -L满足：
Φcn 0
在过程状态受到脉冲干扰之后，系统最多用n步就能把 全部状态驱动到零。这个控制策略称为有限拍控制。
考虑系统(4.2)。假设只有一个输入信号。如果系统 是能达的，那么，存在一个线性反馈，它给出具有特征 多项式P(z)的闭环系统。这个反馈有下式给出：
u(k ) Lx(k )
其中，
L ( p1 a1 p2 a2 pn an )WcWc1 (0 0 1)Wc1P(Φ ) (4.14)
注 意：
可以把式(4.21)的控制律解释成反馈项Lx和来自实测 扰动的前馈项Lww的组合。 如果(， )对是能达的，则可以选择矩阵L以便使矩 阵 L具有预先规定的特征值。这可保证通过解纯粹 是有初始值衰减引起的。 矩阵w不受反馈影响。然而，扰动对向量x的影响可 以通过适当选择矩阵xw Lw小的向量Lw来减少。在 某些情况下可能使这个矩阵为零。
Aw有两种情况：
1 扰动是v一个常数 2 对应的正弦扰动 Aw=0
0 0 Aw 0 0
假设w是可以测量的。引入增广状态向量：
x z w
得到了可以通过下式描述的系统 ：
d x A Cw x B w 0 A w 0 u dt w (4.20)
4.2 采用状态反馈的调节
前提条件：系统所有状态都可以直接测量 一 理想扰动情况下 1. 对系统进行一些假设： 系统用方程(4.1)描述 离散时间系统式(4.2)描述 扰动是系统初始条件的摄动
2. 控制的目的 寻找一个线性控制律使闭环系统具有规定的特征方程
保证扰动以规定的方式衰减 3. 控制策略
d x A Cw x B w 0 A w 0 u dt w
(4.20)
注 意：
这样，就有了一个在形式上与基本极点配置问题相 同的问题。 有一个重要的差别。式(4.20)表示的系统不是完全能 达的。与扰动描述有关的极点——即Aw的特征值—— 不可能受反馈的影响。
z 2 p1 z p2 0
从而得到求解l1和l2的两个线性方程：
l1h 2 l2 h 2 p1 2 l1h 2 l2 h 1 p2 2
(4.4)
在这个例子中总可以找到控制器参数给出该闭环系统 的一个任意的特征方程，对于所有的p1和p2值，这个线 性方程组都能给出l1和l2的一个解。
4. 3
系统的采样模型：
观 测 器
x (k 1) Φx (k ) Γu(k ) y(k ) Cx (k )
(4.23)
研究目的
考虑从输出和输入序列y(k)，y(k-1) ， u(k), u(k-1)来 计算或重构状态x(k)的问题。
控制信号的幅值随采样周期的减少迅速增加
有限拍控制策略对小采样周期是很敏感的
二 一般性的扰动情况下的设计
扰动的类型，如阶跃和正弦。
假设系统为：
dx Ax (t ) Bu(t ) v dt
其中v是通过下式描述的扰动：
dw Aw w dt
v Cw w
其初始条件已知。 矩阵Aw的零点是典型的位于虚轴上或右半平面中。