高二上学期数学期末试卷
2017~2018年度赛罕区民族中学高二第一学期期末考试
数学试卷
考试范围：必修五，选修1-1（理科2-1）；考试时间：120分钟；
姓名：___________班级：___________考号：___________
题号一二三四五总分
得分
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
第I卷
评卷人得分
一、选择题（本题共12道小题，每题5分，共60分）
1、在等差数列中,,,则的前项和( )
A.7
B.15
C.20
D.25
2、命题“,”的否定是( )
A.,
B.,
C.,
D.,
3、在中,角、、的对边分别为、、,若,则角的值为( )
A. B. C.或 D.或
4、“”是“函数在区间上为增函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5、已知为等差数列,,,则等于
( )
A.-1
B.1
C.3
D.7
6、设满足约束条件则的最大值为( )
A.10
B.8
C.3
D.2 7、
的内角的对边分别为
,已知
,
,
,则
的面积为( )
A. B. C.
D.
8、若
,则不等式()10x a x a ⎛⎫
--
> ⎪⎝
⎭
的解集为( ) A.
B.
或
C. D.
或
9、已知、
为双曲线
的左、右焦点,点在,
,
则
( )
A. B. C. D.
10、（文）设曲线
在点处的切线与直线垂直,则
( )
A.2
B.-2
C.
D.
（理）在空间四边形中,,,则
的值为( )
A. B. C. D.
11、已知、为双曲线的左、右焦点,点在上,,则( )
A.2
B.4
C.6
D.8
12、已知直线和直线,抛物线上一动点
到直线和直线的距离之和的最小值是( )
A. B. C. D.
评卷人得分
二、填空题（本题共4道小题，每题5分，共20分）
13、抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为和,则该点的横坐标是.
14、（文）函数在上的最大值为.
（理）已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).则以为边的平行四边形的面积为________.
15、不等式的解集是。
16、设是数列的前项和,且,,则
.
评卷人得分三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18~22题每题
12分，共计70分）
17、设,关于的一元二次方程有两个实数根,且求的取值范围。
18、在等差数列中,已知,求数列的通项公式.
19、在中,
1.已知,,,求、、;
2.已知,,,求、、;
3.已知,,,求、、.
20、解下列不等式:
(1) (2)
21、已知,求不等式的解集.
22、在中,
1.若,,,求和、;
2.若,,,求.
23、已知,,,求证:.
24、在中,求证:
25、已知数列,,,求证:是等差数列.
文科
17、已知,椭圆以过点两个焦点为.
1.求椭圆的方程;
2.是椭圆上的两个动点,如果直线的斜率与的斜率互为相反数,证明直线
的斜率为定值,并求出这个定值。
18、已知函数(,为自然对数的底数).
1.若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;
2.求函数的极值.
19、设双曲线,,是两个焦点,点在双曲线上,若,求的面积.
20、设抛物线的焦点为,经过点的直线交抛物线于、两点,点
在抛物线的准线上,且轴,证明:直线经过原点.
21、求证:以抛物线过焦点的弦为直径的圆,必与此抛物线的准线相切.
22、已知,求证:.
23、如图,过抛物线上一点作倾斜角互补的两条直线,交拋物线于
两点,求证:直线的斜率是定值.
24、设是双曲线右支上一点,为右焦点,连接交双曲线的右支于点,作直线垂直定直线,垂足为,求证:直线恒过定点.
25、是抛物线上的两点,满足(为坐标原点).求证:直线经过一个定点.
理科
17、求经过两点的椭圆的标准方程.
18、已知,设命题函数在上单调递增;命题不等式
对任意恒成立,若为假,为真,求的取值范围。
19、如图,正三棱柱中, 底面边长为.
1.设侧棱长为,求证:;
2.设与的夹角为.求侧棱的长.
20、已知计算:
1.
2.
3.
21、已知计算:
1.
2.
3.
4.
22、已知非零向量,不共线,如果
,,,求证:、、、四点共面.
23、已知、、、分别是空间四边形的边,,,的中点.求证:
1.、、、四点共面;
2.平面.(用向量方法证明)
24、如图,在正四面体中,是的中心,是中点,是中点.求证.
25、如图所示,已知平行四边形中,从平面外一点引向量
,,求证:
1.四点共面;
2.平面//平面.
4、设首项为,公比为2
3
的等比数列的前项和为,则( )
A.
B.
C.
D.
6、已知满足约束条件当目标函数
在该约束条件下取得最小值时,的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
11、不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
6、已知点是抛物线上的一个动点,则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
2、已知在平行六面体中,以顶点为端点的三条棱长都等于,且彼此的夹角都是,则此平行六面体的对角线的长为( )
A.
B.
C.
D.
6、方程表示的曲线是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
4、已知点是直线上的一个动点,定点,是线段延长线上的一点,且,则点的轨迹方程是( )
A.
B.
C.
D.
12、已知向量与向量且,则的值是
( ).
A.3
B.4
C.5
D.6
7、设,且,则的解集是( )
A. B.
C. D.
8、设数列,都是等差数列,且,,,那么由
所组成的数列的第项值为( )
A.0
B.37
C.100
D.-37
3、如图,某海上缉私小分队驾驶缉私艇以的速度由处出发,沿北偏东方向进行海面巡逻,当航行半小时到达处时,发现北偏西方向有一艘船,若船位于的北偏东方向上,则缉私艇所在的处与船的距离是( )
A. B.
C. D.
3、已知抛物线的焦点为,是上一点,,则
( )
A.1
B.2
C.4
D.8
11、下列结论错误的是( )
A.命题“若,则”的逆否命题是“若,则
”
B.若命题,则
C.若为真命题,则,均为真命题
D.“”是“”的充分不必要条件
12、设,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9、已知命题:若,则;命题:若,则.在命题
①;②;③;④中,真命题是( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
11、“成立”是“成立”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8、已知定点、,且,动点满足,则的最小值是( )
A. B. C. D.
9、设双曲线的虚轴长为,焦距为,则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
理科
1、8、（理）在空间直角坐标系中,已知点在直线上运动,则当取最小值时,点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
（理）若,则是的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
13、设正项数列的前项和是,若和都是等差数列,且公差相等,则
.
14、设是等差数列的前项和,且,,则
.
文科
13、对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:
①焦点在轴上;
②焦点在轴上;
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;
④抛物线的通径的长为5;
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为.
能满足此抛物线方程的条件是(要求填写合适条件的序号).
14、已知双曲线的一条渐近线与直线
垂直,且双曲线的一个焦点到的距离为,则的标准方程
为
16、抛物线的顶点在原点,对称轴为轴,此抛物线上各点到直线的距离的最小值为,则此抛物线的方程为.。
2023-2024学年江苏省扬州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A．π4B．π3C．3π4D．2π32．在等比数列{a n}中，a1＝2，a3＝8，则a5＝（）A．14B．16C．28D．323．某质点沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为S（t）＝t2+3，则当t＝5s时该质点的瞬时速度为（）A．10m/s B．11m/s C．13m/s D．28m/s4．已知双曲线C：x 24−y2m=1的一条渐近线方程为y=34x，则m＝（）A．3B．6C．32D．945．已知k为实数，则直线l：kx﹣y+k﹣1＝0与圆x2+y2＝4的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．无法确定6．已知M是椭圆x23+y2=1上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（）A．2B．92C．3√22D．√3−√27．已知定义在R上的可导函数f（x），其导函数为f′（x），若2f（x）+f′（x）＞0，且f（1）＝e，则不等式e2x f（x）﹣e3＞0的解集为（）A．（1，+∞）B．（e，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，e）8．在△ABC中，已知D为边BC上一点，CD＝λDB，∠BAD=π4．若tan∠ACB的最大值为2，则常数λ的值为（）A．√10−34B．√10+34C．√10+14D．√10−14二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要9．已知l1，l2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（）A．若l1，l2斜率相等，则l1，l2平行B．若l1，l2平行，则l1，l2的斜率相等C．若l1，l2的斜率乘积等于﹣1，则l1，l2垂直D ．若l 1，l 2垂直，则l 1，l 2的斜率乘积等于﹣1 10．椭圆C 1：y 225+x 29=1与双曲线C 2：x 29+k −y 27−k=1（﹣9＜k ＜7）（ ）A ．有相同的焦点B ．有相等的焦距C ．有相同的对称中心D ．可能存在相同的顶点11．已知函数f(x)=lnxx，下列说法中正确的有（ ） A ．函数f （x ）的极大值为1eB ．函数f （x ）在点（1，0）处的切线方程为y ＝x ﹣1C ．20232024＜20242023D ．若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝x α无交点，则α的取值范围是(1e−1，+∞)12．已知无穷数列{a n }，a 1＝1．性质s ：∀m ，n ∈N *，a m +n ＞a m +a n ；性质t ：∀m ，n ∈N *，2≤m ＜n ，a m ﹣1+a n +1＞a m +a n ，下列说法中正确的有（ ） A ．若a n ＝3﹣2n ，则{a n }具有性质s B ．若a n ＝n 2，则{a n }具有性质t C ．若{a n }具有性质s ，则a n ≥nD ．若等比数列{a n }既满足性质s 又满足性质t ，则其公比的取值范围为（2，+∞） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．写出过点（1，2）的被圆C ：x 2+y 2＝4所截的弦长为2√3的直线方程 .（写出一条直线即可） 14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f （x ）＝2cos （x ﹣1），则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 ．15．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数列．在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第6项为 ． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作斜率为√a 2−b 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过F 1，则椭圆C 的离心率为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1，b 2＝2，b 3＝4，a 8＝b 4．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝a n﹣b n，求数列{c n}的前n项和．18．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b在x＝2处取得极小值5．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的最小值．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，且S n+1＝2S n+n+1（n∈N*）．设b n＝a n+1．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）设c n=14(log2b n)2−1，数列{c n}的前n项和为T n，证明：13≤T n＜12．20．（12分）已知点A（4，0），P是圆C：x2+y2＝4上的一动点，点Q（x，y）是线段AP的中点．（1）求点Q的轨迹方程；（2）已知M，N是直线l：x﹣y+2＝0上两个动点，且MN＝6．若∠MQN恒为锐角，求线段MN中点G的横坐标取值范围．21．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点A（1，﹣2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线P A交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣alnx﹣be．（e＝2.71828…是自然对数的底数）（1）若a＝﹣1，b＝1，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＝b＝0，证明：对任意x∈（0，+∞），f（x）＞12x2+x+1成立；（3）若b＝1，试讨论函数f（x）的零点个数，并说明理由．2023-2024学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A．π4B．π3C．3π4D．2π3解：直线x+y﹣1＝0的斜率为﹣1，则直线的倾斜角为3π4．故选：C．2．在等比数列{a n}中，a1＝2，a3＝8，则a5＝（）A．14B．16C．28D．32解：设等比数列{a n}的公比为q，a1＝2，a3＝8，则q2=a3a1=82=4，故a5=a3q2=8×4=32．故选：D．3．某质点沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为S（t）＝t2+3，则当t＝5s时该质点的瞬时速度为（）A．10m/s B．11m/s C．13m/s D．28m/s解：位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为S（t）＝t2+3，则S'（t）＝2t，当t＝5时，S'（5）＝2×5＝10m/s．故选：A．4．已知双曲线C：x 24−y2m=1的一条渐近线方程为y=34x，则m＝（）A．3B．6C．32D．94解：由已知可得m＞0，且双曲线的焦点在x轴上，a＝2，b=√m，又双曲线的渐近线为y＝±ba=±√m2x，双曲线C：x24−y2m=1的一条渐近线方程为y=34x，即√m2=34，m=94，故选：D．5．已知k为实数，则直线l：kx﹣y+k﹣1＝0与圆x2+y2＝4的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．无法确定解：由kx﹣y+k﹣1＝0，得k（x+1）﹣（y+1）＝0，因为k 为实数，所以{x +1=0y +1=0，解得{x =−1y =−1，所以直线l 恒过定点（﹣1，﹣1），因为（﹣1）2+（﹣1）2＝2＜4，所以定点在圆内，所以直线与圆相交． 故选：A ． 6．已知M 是椭圆x 23+y 2=1上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（ ）A ．2B ．92C ．3√22D ．√3−√2解：设M （√3cos θ，sin θ），θ∈[0，2π），设A 为椭圆的上顶点，则A （0，1）， 所以|MA |=√(√3cosθ)2+(sinθ−1)2=√4−2(sinθ+12)2+2×14，当sin θ=−12时，|MA |max =3√22．故选：C ．7．已知定义在R 上的可导函数f （x ），其导函数为f ′（x ），若2f （x ）+f ′（x ）＞0，且f （1）＝e ，则不等式e 2x f （x ）﹣e 3＞0的解集为（ ） A ．（1，+∞）B ．（e ，+∞）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，e ）解：构造函数g （x ）＝e 2x f （x ），该函数的定义域为R ， 则g '（x ）＝2e 2x f （x ）+e 2x f '（x ）＝e 2x [2f （x ）+f '（x ）]＞0， 所以函数g （x ）在R 上为增函数，且g （1）＝e 2f （1）＝e 3，由e 2x f （x ）﹣e 3＞0，可得e 2x f （x ）＞e 3，即g （x ）＞g （1），解得x ＞1， 所以不等式e 2x f （x ）﹣e 3＞0的解集为（1，+∞）． 故选：A ．8．在△ABC 中，已知D 为边BC 上一点，CD ＝λDB ，∠BAD =π4．若tan ∠ACB 的最大值为2，则常数λ的值为（ ） A ．√10−34B ．√10+34C ．√10+14D ．√10−14解：令BD ＝2，则CD ＝λDB ＝2λ且0≤λ≤1， 则△ABD 外接圆半径为r =BD2sin∠BAD =√2，若B （﹣1，0），D （1，0），△ABD 的外接圆方程为（x ﹣m ）2+（y ﹣n ）2＝2，所以{(m +1)2+n 2=2(m −1)2+n 2=2⇒⇒{m =0n =±1，令圆心（m ，n ）为（0，1）， 即点A 在圆x 2+（y ﹣1）2＝2被BD 分割的优弧上运动，如图，要使tan ∠ACB 最大，只需AC 与圆相切，易知C （1+2λ，0）， 则|AC|=√(1+2λ)2+1−2=2√λ(λ+1)， 而|BC |＝2（λ+1），由圆的性质有∠DAC ＝∠B ， 在△ABC 中，|AC|sin∠B=|BC|sin(∠B+π4)，∠ACB =π−(2∠B +π4)=3π4−2∠B ，显然 ∠B ＜3π8，由tan ∠ACB =tan(3π4−2∠B)=2，则1+tan2∠B tan2∠B−1=2⇒tan2∠B =3， 所以2tan∠B 1−tan 2∠B=3⇒3tan 2∠B +2tan∠B −3=0，可得tan ∠B =√10−13（负值舍），故sin ∠B =10−1√20−2√10cos∠B =3√20−2√10，而√λsin∠B =√λ+1sin(∠B+π4)，所以√λsin∠B=√2(λ+1)sin∠B+cos∠B ⇒λsin 2∠B =2(λ+1)1+2sin∠Bcos∠B，整理得11−2√10=7+2√10，则λ=104(√10−1)=√10−14．故选：D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 9．已知l 1，l 2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ） A ．若l 1，l 2斜率相等，则l 1，l 2平行 B ．若l 1，l 2平行，则l 1，l 2的斜率相等C ．若l 1，l 2的斜率乘积等于﹣1，则l 1，l 2垂直D ．若l 1，l 2垂直，则l 1，l 2的斜率乘积等于﹣1 解：l 1，l 2斜率相等，则l 1，l 2平行，故A 正确； l 1，l 2平行，该两条直线斜率可能不存在，故B 错误；l1，l2的斜率乘积等于﹣1，则l1，l2垂直，故C正确；l1，l2垂直，则l1，l2的斜率可能不存在，故D错误．故选：AC．10．椭圆C1：y225+x29=1与双曲线C2：x29+k−y27−k=1（﹣9＜k＜7）（）A．有相同的焦点B．有相等的焦距C．有相同的对称中心D．可能存在相同的顶点解：椭圆C1：y225+x29=1的焦点为（0，±4），焦距为8，对称中心为坐标原点，左右顶点为（±3，0），上下顶点为（0，±5），双曲线C2：x29+k −y27−k=1（﹣9＜k＜7）的焦点在x轴上，焦距为8，对称中心为坐标原点，当k＝0时，双曲线C2的顶点为（±3，0），综上，椭圆C1与双曲线C2的焦点不同，焦距相同，对称中心相同，顶点可能相同．故选：BCD．11．已知函数f(x)=lnxx，下列说法中正确的有（）A．函数f（x）的极大值为1 eB．函数f（x）在点（1，0）处的切线方程为y＝x﹣1C．20232024＜20242023D．若曲线y＝f（x）与曲线y＝xα无交点，则α的取值范围是(1e−1，+∞)解：易知函数f(x)=lnxx的定义域为（0，+∞），则f′(x)=1−lnxx2，令f′（x）＝0可得x＝e，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，可得f（x）在（0，e）上单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，可得f（x）在（e，+∞）上单调递减，对于A，由单调性可得f（x）在x＝处取得极大值f(e)=1e，即A正确；对于B，易知切线斜率为k=f′(1)=1−ln112=1，所以切线方程为y＝x﹣1，即B正确；对于C，利用f(x)=lnxx的单调性可得f（2023）＞f（2024），即ln20232023＞ln20242024，也即2024ln2023＞2023ln2024，可得ln20232024＞ln20242023，所以20232024＞20242023，即C错误；对于D，若曲线y＝f（x）与曲线y＝xα无交点，即方程lnxx=xα没有实数根，也即xα+1﹣lnx＝0无解，令g（x）＝xα+1﹣lnx，则g′(x)=(α+1)xα−1x=(α+1)xα+1−1x，若α+1≤0，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即g（x）在（0，+∞）上单调递减，不妨取α＝﹣2，则g（x）＝x﹣1﹣lnx，易知g（1）＝1﹣ln1＞0，g（e2）＝e﹣2﹣lne2＝e﹣2﹣2＜0，此时g（x）在（1，e2）上有解，不合题意，若α+1＞0，令g′（x）＝0，解得x=(1α+1)1α+1，所以当0＜x＜(1α+1)1α+1时，g′（x）＜0，此时g（x）在0＜x＜(1α+1)1α+1时单调递减，当x＞(1α+1)1α+1时，g′（x）＞0，此时g（x）在x＞(1α+1)1α+1时单调递增，此时g（x）在x=(1α+1)1α+1处取得极小值，也是最小值，即g(x)min=g((1α+1)1α+1)=1α+1−1α+1ln(1α+1)=1α+1(1−ln(1α+1))=1α+1(1+ln(α+1))，依题意可得g(x)min=1α+1(1+ln(α+1))＞0，所以1+ln（α+1）＞0即可，解得α＞1e−1，即α的取值范围是(1e−1，+∞)，所以D正确．故选：ABD．12．已知无穷数列{a n}，a1＝1．性质s：∀m，n∈N*，a m+n＞a m+a n；性质t：∀m，n∈N*，2≤m＜n，a m﹣1+a n+1＞a m+a n，下列说法中正确的有（）A．若a n＝3﹣2n，则{a n}具有性质sB．若a n＝n2，则{a n}具有性质tC．若{a n}具有性质s，则a n≥nD．若等比数列{a n}既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为（2，+∞）解：由a n＝3﹣2n，可得a m+n﹣a m﹣a n＝3﹣2（m+n）﹣3+2m﹣3+2n＝﹣3＜0，即有a m+n＜a m+a n，故A错误；由a n＝n2，可得∀m，n∈N*，2≤m＜n，a m﹣1+a n+1﹣a m﹣a n＝（m﹣1）2+（n+1）2﹣m2﹣n2＝2n﹣2m+2＞0，即a m﹣1+a n+1＞a m+a n，故B正确；若{a n}具有性质s，可得a1+n＞a1+a n＝1+a n，则a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（a n﹣a n﹣1）≥1+1+...+1＝n，故C正确；若等比数列{a n}既满足性质s又满足性质t，设公比为q，则q m+n﹣1＞q m﹣1+q n﹣1，令m＝n＝1，可得q＞2， 又1q m+1qn＜12m+12n≤12+12=1恒成立，又q ＞2时，∀m ，n ∈N *，2≤m ＜n ，可得q m ﹣2+q n ﹣q m ﹣1﹣q n ﹣1＝（q ﹣1）（q n ﹣1﹣q m ﹣2）＞0恒成立， 即有a m ﹣1+a n +1＞a m +a n ，故其公比的取值范围是（2，+∞），故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．写出过点（1，2）的被圆C ：x 2+y 2＝4所截的弦长为2√3的直线方程 x ＝1（或3x ﹣4y +5＝0） .（写出一条直线即可）解：设圆心到直线的距离为d ，由圆的弦长公式得：2√4−d 2=2√3，所以d ＝1，当直线的斜率不存在时，直线方程为：x ＝1，此时圆心到直线的距离为1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：y ﹣2＝k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k +2＝0， 则d =|−k+2|√k +1=1，解得k =34，所以直线l 的方程为：34x −y −34+2=0，即3x ﹣4y +5＝0，所以直线l 的方程为x ＝1或3x ﹣4y +5＝0． 故答案为：x ＝1（或3x ﹣4y +5＝0）．14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f （x ）＝2cos （x ﹣1），则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 2 ． 解：f （x ）＝2cos （x ﹣1），则f '（x ）＝﹣2sin （x ﹣1），f ''（x ）＝﹣2cos （x ﹣1）， 故f '（1）＝﹣2sin0＝0，f ''（1）＝﹣2， 故K =|f″(1)|[1+(f′(1))2]32=2．故答案为：2．15．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数列．在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第6项为 56 ．解：设该数列的第6项为x ，对前6项作差可得，3，6，10，15，x ﹣35，对该算式继续作差可得，3，4，5，x ﹣50， 则x ﹣50＝6，解得x ＝56． 故答案为：56． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作斜率为√a 2−b 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过F 1，则椭圆C 的离心率为 √55． 解：由椭圆的方程可得F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 因为√a 2−b 2=bc ，由题意可设直线AB 过椭圆的下顶点A （0，﹣b ）， 由题意可设直线AB 的方程为y =bc（x ﹣c ），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =bc (x −c)x 2a 2+y 2b2=1，整理可得（a 2+c 2）x 2﹣2a 2cx ＝0，解得x B =2a 2c a 2+c 2，y B =b 3a 2+c 2，即B （2a 2c a 2+c 2，b 3a 2+c2），因为以AB 为直径的圆过F 1，所以F 1A →•F 1B →=0， 即（c ，﹣b ）•（2a 2c a 2+c 2+c ，b 3a 2+c 2）＝0，整理可得2a 2c 2a 2+c2+c 2=b4a 2+c 2，而b 2＝a 2﹣c 2，所以2a 2c 2+a 2c 2+c 4＝a 4﹣2a 2c 2+c 4，即a 2＝5c 2， 所以椭圆的离心率e =c a =1√5=√55． 故答案为：√55． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1，b 2＝2，b 3＝4，a 8＝b 4． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n ＝a n ﹣b n ，求数列{c n }的前n 项和． 解：（1）设等比数列{b n }的公比为q ， 由b 2＝2，b 3＝4 可得q =b 3b 2=2，b n =b 2q n−2=2⋅2n−2=2n−1， 设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 1＝b 1＝1，a 8＝b 4＝8．所以d =a 8−a 18−1=8−18−1=1，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×1＝n，所以a n＝n，b n=2n−1．（2）c n=a n−b n=n−2n−1，所以数列{c n} 的前n项和为：c1+c2+…+c n＝（1﹣1）+（2﹣2）+…+（n﹣2n）＝（1+2+3+…+n）﹣（1+2+22+…+2n）=n(n+1)2−1−2n1−2=n2+n2−2n+1．18．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b在x＝2处取得极小值5．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的最小值．解：（1）由f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b，得f'（x）＝6x2﹣2ax+12，因为f（x）在x＝2处取极小值5，所以f（2）＝24﹣4a+12＝0，解得a＝9，此时f'（x）＝6x2﹣18x+12x＝6（x﹣1）（x﹣2），所以f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，所以f（x）在x＝2时取极小值，符合题意，所以a＝9，f（x）＝2x3﹣9x2+12x+b．又f（2）＝4+b＝5，所以b＝1，所以a＝9，b＝1．（2）f（x）＝2x3﹣9x2+12x+1，所以f'（x）＝6（x﹣1）（x﹣2），f（x）和f'（x）随着x的变化情况如下表所示．所以x∈[0，3]时，f（x）min＝f（0）＝1．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，且S n+1＝2S n+n+1（n∈N*）．设b n＝a n+1．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）设c n=14(log2b n)2−1，数列{c n}的前n项和为T n，证明：13≤T n＜12．解：（1）∵S n+1=2S n+n+1(n∈N∗)①，∴S n＝2S n﹣1+n（n≥2）②，由①﹣②得：a n+1＝2a n+1（n≥2），∴a n +1+1＝2（a n +1）（n ≥2），即b n +1＝2b n （n ≥2）， 在①中令n ＝1，得S 2＝2S 1+2，即a 1+a 2＝2a 1+2， 而a 1＝1，故a 2＝3，则a 2+1＝2（a 1+1），即b 2＝2b 1， 又∵b 1＝2≠0，∴b n+1b n=2(n ∈N ∗)，∴数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =2n ；（2）证明：∵b n =2n ， ∴c n =14(log 2b n )2−1=14n 2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， ∴T n =12[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)＜12，又∵c n =14n 2−1＞0，∴T n ≥c 1=13，∴13≤T n ＜12． 20．（12分）已知点A （4，0），P 是圆C ：x 2+y 2＝4上的一动点，点Q （x ，y ）是线段AP 的中点． （1）求点Q 的轨迹方程；（2）已知M ，N 是直线l ：x ﹣y +2＝0上两个动点，且MN ＝6．若∠MQN 恒为锐角，求线段MN 中点G 的横坐标取值范围． 解：（1）设P （x ′，y ′），则由题意得{x =x′+42y =y′2，即{x ′=2x −4y′=2y ， 因为点P 在圆C ：x 2+y 2＝4上，所以x ′2+y ′2＝4，即（2x ﹣4）2+（2y ）2＝4， 所以点Q 的轨迹方程为（x ﹣2）2+y 2＝1． （2）设G （a ，b ），则b ＝a +2，当P 在圆C 上运动时，∠MQN 恒为锐角，等价于以MN 中点G 为圆心，3为半径的圆与圆：（x ﹣2）2+y 2＝1外离． 所以√(a −2)2+b 2＞3+1，解得a ＜﹣2或a ＞2，所以线段MN 中点G 的横坐标取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．21．（12分）已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点A （1，﹣2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线P A交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点．（1）解：设抛物线C的标准方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝﹣2py（p＞0），将A坐标代入y2＝2px，得p＝2，所以y2＝4x；将A坐标代入x2＝﹣2py，得p=14，所以x2=−12y，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或x2=−12 y．（2）证明：由抛物线C开口向右得标准方程为y2＝4x，准线l：x＝﹣1，设P（﹣1，m），Q（﹣1，﹣m），（m≠±2），则l AP：y+2=m+2−2(x−1)，即x=−2m+2y+m−2m+2，由{y+2=m+2−2(x−1)y2=4x，得y2+8m+2y−4(m−2)m+2=0，所以y M⋅y A=−4(m−2)m+2，所以y M=2(m−2)m+2，x M=−2m+2y M+m−2m+2=(m−2m+2)2，所以M(m−2m+2)2，2(m−2)m+2)，用﹣m代m，得N(m+2m−2)2，2(m+2)m−2)，则k MN=m2−4 m2+4，所以l MN：y−2(m−2)m+2=m2−4m2+4[x−(m−2m+2)2]，化简得l MN：y=m2−4m2+4(x+1)，所以直线MN过定点（﹣1，0）．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣alnx﹣be．（e＝2.71828…是自然对数的底数）（1）若a＝﹣1，b＝1，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＝b＝0，证明：对任意x∈（0，+∞），f（x）＞12x2+x+1成立；（3）若b＝1，试讨论函数f（x）的零点个数，并说明理由．解：（1）当a＝﹣1，b＝1时，f（x）＝e x+lnx﹣e（x＞0），则f′(x)=e x+1x＞0对x＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）＝0，∴f（x）＞0的解集为（1，+∞）．（2）证明：当a＝b＝0时，令m(x)=f(x)−12x2−x−1=e x−12x2−x−1(x＞0)，则m'（x）＝e x﹣x﹣1，令n（x）＝m（x），则n'（x）＝e x﹣1＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，∴n（x）在（0，+∞）上单调递增，又n（0）＝0，∴n（x）＞n（0）＝0，即m'（x）＞0，∴m（x）在（0，+∞）上单调递增，又m（0）＝0，∴m（x）＞m（0）＝0，∴对任意x∈（0，+∞），f(x)＞12x2+x+1成立．（3）当b＝1时，f（x）＝e x﹣alnx﹣e（x＞0），则f′(x)=e x−ax=xe x−ax，①当a≤0时，f（x）＞0对x＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）＝0，∴f（x）仅有1个零点；②当a＞0时，令g（x）＝f（x），g′(x)=e x+ax2＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，令h（x）＝xe x﹣a，（x＞0），则h（0）＝﹣a＜0，h（a）＝a（e a﹣1）＞0，又∵h（x）＝xe x﹣a在（0，+∞）上单调递增，∴存在唯一x0∈（0，a），使得h（x0）＝0，即f'（x0）＝0，当x∈（0，x0）时，f'（x0）＜0，∴f（x）在（0，x0）上单调递减；当x∈（x0，+∞）时，f'（x0）＞0，∴f（x）在（x0，+∞）上单调递增，∴f（x）极小值＝f（x0），若x0＝1，则f（x）极小值＝f（1）＝0，∴f（x）仅有1个零点，此时a=x0e x0=e，若0＜x0＜1，则f（x）在（x0，+∞）上递增且f（1）＝0，∴f（x）在（x0，+∞）上仅有1个零点，且f（x0）＜f（1）＝0．当x∈（0，x0）时，f（x）＝e x﹣alnx﹣e＞﹣alnx﹣e，∴f(e−ea)＞0，∵a＞0，∴0＜e−ea＜1，又x∈[x0，1）时，f（x）＜0，e−ea∈(0，x0)，∴f（x）在（0，x0）上仅有一个零点，∴f（x）在（0，+∞）上共有两个零点，此时a=x0e x0∈(0，e)，若x0＞1，则f（x）在（0，x0）上递减且f（1）＝0，∴f（x）在（0，x0）上仅有1个零点，且f（x0）＜f（1）＝0，当x∈（x0，+∞）时，由（2）可知，e x＞12x2+x+1＞x，两边取对数得x＞lnx，又e x＞12x2+x+1＞12x2，∴f(x)=e x−alnx−e＞12x2−ax−e，不妨取x1=max{2x0，a+√a2+2e}，则x1∈（x0，+∞）且f（x1）＞0，又∵f（x0）＜0，∴f（x）在（x0，+∞）上仅有1个零点．∴f（x）在（0，+∞）上共有两个零点，此时a=x0e x0∈(e，+∞)．综上，当a≤0或a＝e时，函数f（x）有1个零点；当a＞0且a≠e时，函数f（x）有2个零点．。
江苏省2024届高二上数学期末统考试题含解析
江苏省2024届高二上数学期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，半焦距为c ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，若12PF F △的面积为22c ，则该双曲线的离心率为（）A.3B.2D.2．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为A x 和B x ，标准差分别为A S 和B S ，则（）A .A B A B x x S S >>B.,A B A Bx x S S <>C.A B A Bx x S S ><D.,A B A Bx x S S <<3．变量x ，y 满足约束条件10,1,1,x y y x -+⎧⎪⎨⎪-⎩则65z x y =+的最小值为()A.6- B.8-C.1- D.54．函数()210x y x x+=>的值域为（）A.[1,)+∞ B.(1,)+∞C.[2,)+∞ D.(2,)+∞5．已知等差数列{}n a 的公差0d <，若3721a a =，2810a a +=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（）A.30B.35C.40D.456．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（）A.120B.84C.56D.287．设x ∈R ，则x <3是0<x <3的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8．某一电子集成块有三个元件a ，b ，c 并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为45，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）A.1231 B.48125C.1625 D.161259．已知O 为坐标原点，(1,2,2),(2,1,4),(1,1,4)OA OB OC =-=-= ，点P 是OC 上一点，则当PA PB ⋅ 取得最小值时，点P 的坐标为（）A.114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.11,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,,144⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.()2,2,810．下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②某人买彩票中奖；③从集合{1,2,3}中任取两个不同元素，它们的和大于2；④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.其中是随机事件的个数是（）A.1B.2C.3D.411．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是A.1a b +＞ B.1a b -＞C.22a b ＞ D.33a b ＞12．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1OO ，2OO ，3OO ，4OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，16α≈o ，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（）A.0B.1C.2D.3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年北京市丰台区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知直线l 经过A （﹣1，0），B(0，√3)两点，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1＝﹣3a n ，S 3＝7，则a 1＝（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．33．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点P （m ，n ）在抛物线C 上．若|PF |＝3，则m ＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．已知椭圆x 2m−3+y 27−m =1的焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）A ．3＜m ＜7B ．3＜m ＜5C ．5＜m ＜7D ．m ＞35．如图，在四面体OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →．点M 在OC 上，且OM =12MC ，N 为AB 的中点，则MN →=（ ）A ．−12a →−12b →+13c →B ．−12a →−12b →−13c →C ．12a →+12b →+13c →D ．12a →+12b →−13c →6．已知椭圆C ：x 29+y 24=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上．若∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．97．月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼.1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为{a n }，其将满月等分成240份，a i （1≤i ≤15且i ∈N *）表示第i 天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的5240，即a 1＝5；第15天为满月，即a 15＝240．已知{a n }的第1项到第5项是公比为q 的等比数列，第5项到第15项是公差为d 的等差数列，且q ，d 均为正整数，则a 5＝（ ） A ．40B ．80C ．96D ．1128．已知点P 在由直线y ＝x +3，y ＝5和x ＝﹣1所围成的区域内（含边界）运动，点Q 在x 轴上运动．设点T （4，1），则|QP |+|QT |的最小值为（ ） A ．√30B ．4√2C ．√34D ．2√109．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱A 1D 1的中点，F 为棱AA 1上一动点．给出下列四个结论：①存在点F ，使得EF ∥平面ABC 1； ②直线EF 与BC 1所成角的最大值为π2；③点A 1到平面ABC 1的距离为√2； ④点A 1到直线AC 1的距离为2√63． 其中所有正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．过双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 引圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为P ，延长FP 交双曲线C 的左支于点Q ．若QP →=2PF →，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√415B ．√133 C ．53D ．√132二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2023-2024学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．直线3x﹣4y+1＝0不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线x2＝6y的焦点到准线的距离为（）A．12B．1C．2D．33．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（4，﹣2，8）到平面xOz的距离与其到平面yOz的距离的比值等于（）A．14B．12C．2D．44．在(2x+1x)3的展开式中，x的系数为（）A．3B．6C．9D．12 5．正四面体ABCD中，AB与平面BCD所成角的正弦值为（）A．√63B．√36C．√24D．√336．已知直线a，b和平面α，其中a⊄α，b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．设A，B为双曲线E：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，M为双曲线E上一点，且△AMB为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的一条渐近线方程是（）A．y＝x B．y＝2x C．y=√2x D．y=√3x8．在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）A．12种B．24种C．32种D．36种9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝CC1＝4，E为棱B1C1的中点，P为四边形BCC1B1内（含边界）的一个动点．且DP⊥BE，则动点P的轨迹长度为（）A．5B．2√5C．4√2D．√1310．在直角坐标系xOy 内，圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1，若直线l ：x +y +m ＝0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[−√2，√2]B ．[−4−√2，−4+√2]C ．[−2−√2，−2+√2]D ．[−2+√2，2+√2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．过点A （2，﹣3）且与直线x +y +3＝0平行的直线方程为 ． 12．在（2x +1）4的展开式中，所有项的系数和等于 ．（用数字作答）13．两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于 ．14．若方程x 2m+2+y 24−m =1表示的曲线为双曲线，则实数m 的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是 ．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为棱BB 1的中点，F 为棱CC 1（含端点）上的一个动点．给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得B 1F ∥平面A 1ED ； ②不存在符合条件的点F ，使得BF ⊥DE ； ③异面直线A 1D 与EC 1所成角的余弦值为√55； ④三棱锥F ﹣A 1DE 的体积的取值范围是[23，2]．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BC＝3，AB＝AA1＝4．（1）证明：直线AB1⊥平面A1BC；（2）求二面角B﹣CA1﹣A的余弦值．18．（15分）已知⊙C经过点A（1，3）和B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．（1）求⊙C的方程；（2）设动直线l与⊙C相切于点M，点N（8，0）．若点P在直线l上，且|PM|＝|PN|，求动点P的轨迹方程．19．（15分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为(√5，0)，四个顶点构成的四边形面积等于12．设圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点．（1）求椭圆C的离心率；（2）记线段MP与椭圆C的交点为Q，求|PQ|的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面P AB，AB∥DC，E为棱PB的中点，平面DCE与棱P A相交于点F，且P A＝AB＝AD＝2CD＝2，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：PB＝BD；条件②：P A⊥BC．（1）求证：AB∥EF；（2）求点P到平面DCEF的距离；（3）已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23，求PMPC的值．21．（15分）设椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆C相交于A，B两点．已知椭圆C的离心率为12，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）判断x轴上是否存在一点M，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，使得MF1为△AMB的一条内角平分线？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
2023-2024学年广西桂林市高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系O−xyz 中，点(1,1,2)到坐标原点O 的距离为( )A.2B.3C.6D.112.一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为( )A. 4 B. 5C. 9D. 203.椭圆x 29+y 24=1的长轴长是( )A. 2B. 3C. 4D. 64.已知在10件产品中有2件次品，现从这10件产品中任取3件，用X 表示取得次品的件数，则P(X =1)=( )A. C 12C 310B. C 12C 28C 310C. C 23C 18C 310D. C 12C 13C 3105.圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x−3)2+y 2=9的位置关系是( )A. 外切B. 内含C. 相交D. 外离6.已知m =(1,2,4)，n =(2,1,x)分别为直线a ，b 的一个方向向量，且a ⊥b ，则x =( )A. 1B. −1C. 2D. −27.设小明乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4.汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.7，0.9，则小明正点到达目的地的概率为( )A. 0.78B. 0.82C. 0.87D. 0.498.已知点P(3,4)，A ，B 是圆C ：x 2+y 2=4上的两个动点，且满足|AB|=2，M 为线段AB 的中点，则|PM|的最大值为( )A. 5−3B. 5+3C. 3D. 7二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某服装公司对1−5月份的服装销量进行了统计，结果如下： 月份编号x12345销量y(万件)5096142185227若y 与x 线性相关，其线性回归方程为y =bx +7.1，则下列说法正确的是( )A. 线性回归方程必过(3,140)B. b=44.3C. 相关系数r<0D. 6月份的服装销量一定为272.9万件10.某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X～N(3.5,0.25)，则下列结论正确的是( )A. 该正态分布的均值为3.5B. P(X>3.5)=12C. P(4<X≤4.5)≥12D. P(X>4.5)=P(X≤3)11.已知双曲线M：x24−y29=1，则下列说法正确的是( )A. M的离心率e=132B. M的渐近线方程为3x±2y=0C. M的焦距为6D. M的焦点到渐近线的距离为312.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BB1的中点，则下列选项正确的是( )A. 直线FC1与直线AE平行B. 直线FC1与底面ABCD所成的角为30°C. 直线FC1与直线AE的距离为2305D. 直线FC1到平面AB1E的距离为23三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年福建省厦门市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年福建省厦门市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知等比数列{a n }满足a 3=√3，a 7=3√3，则a 5＝（ ） A ．−2√3B ．﹣3C ．3D ．2√32．已知直线l 1的倾斜角为π3，直线l 2过点(−1，√3)，若l 1∥l 2，则l 2在y 轴上的截距为（ ）A ．−2√3B ．﹣2C ．2D ．2√33．点P （0，2）到双曲线C ：x 2−y 24=1的渐近线的距离为（ ）A ．2√55B ．4√55C ．2√1717D ．4√17174．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点E 满足CE →=2EP →，则AE →=（ ） A ．12AB →+12AD →−12AP →B ．12AB →+12AD →−23AP →C ．13AB →+13AD →+23AP →D ．23AB →+23AD →+13AP →5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝a n ﹣2，则a n 的最大值为（ ） A ．﹣1B ．−12C ．12D ．16．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，上一点P 满足PF 1⊥PF 2，A 为线段PF 2的中垂线与Γ的交点，若△APF 1的周长为72a ，则Γ的离心率为（ ）A ．√64B ．√104C ．√63D ．√327．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABD ＝120°，AB ＝3，BD ＝2，DC ＝1．如图，将△ABD 沿对角线BD 翻折至△A ′BD ，使得A ′C =3√3，则异面直线A ′B ，CD 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．45C ．56D ．678．抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线．过抛物线C ：x 2＝8y 上的一点P （异于原点O ）作C 的切线l ，过O 作l 的平行线交PF （F 为C 的焦点）于点Q ，则|OQ |的取值范围为（ ）A ．（0，2）B ．（0，4）C ．（0，6）D ．（0，8）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知集合M ＝{（x ，y ）|x 2+y 2≤4}，N ＝{（x ，y ）|（x ﹣a ）2+y 2≤1}．若N ⊆M ，则实数a 可以为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．210．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是DD 1和BD 1的中点，则（ ）A ．C 1F ∥AEB ．C 1F ⊥A 1DC ．点F 到平面EAC 的距离为√63D ．直线C 1F 与平面EAC 所成角的正弦值为√7311．已知曲线C ：x 2sin α﹣y 2cos α＝1，其中α∈[0，π]，则（ ） A ．存在α使得C 为圆 B ．存在α使得C 为两条直线C ．若C 为双曲线，则α越大，C 的离心率越大D ．若C 为椭圆，则α越大，C 的离心率越大12．若数列{a n }满足a n+12+2a n a n+1−2a n 2=0，则（ ）A ．数列{a n }是等比数列B ．当a 1＝1时，a 3的所有可能取值的和为6C ．当a 1＝1时，a 10的取值有10种可能D ．当a 1＞0时，12a 1+a 2+12a 2+a 3+12a 3+a 4+⋯+12a 2023+a 2024＜1a 2024三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知A （1，1，0），B （1，0，﹣1），C （1，x +2，2x ）三点共线，则x ＝ ．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，M 是C 上一点，△MOF 的面积为2，则|MF |＝ ． 15．已知圆O ：x 2+y 2＝1和圆O 1：(x −2)2+y 2=1，过动点P 分别作圆O ，圆O 1的切线P A ，PB （A ，B 为切点），且|P A |2+|PB |2＝18，则|P A |的最大值为 ．16．已知直线l 1：y ＝2x 与直线l 2：y ＝x ﹣1，点P 1是l 2与x 轴的交点．过P 1作x 轴的垂线交l 1于点Q 1，过Q 1作y 轴的垂线交l 2于点P 2，过P 2作x 轴的垂线交l 1于点Q 2，过Q 2作y 轴的垂线交l 2于点P 3，依此方法一直继续下去，可得到一系列点P n ，Q n ，则|P 3Q 3|＝ ；设P n 的坐标为（x n ，y n ），则数列{x n +1x n+1⋅y n+1}的前n 项和为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 4＝4S 2，a 3n =3a n +2(n ∈N ∗)． （1）求a n ；（2）设b n =2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （﹣4，0），B （﹣1，0），动点P 满足|P A |＝2|PB |． （1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）过点A 的直线l 与Γ交于M ，N 两点，∠MON ＝120°，求l 的方程． 19．（12分）已知双曲线C ：x 2﹣y 2＝4的左顶点为A ，P 为C 上（异于A ）一点． （1）已知点M （6，0），求当|PM |取得最小值时直线PM 的方程； （2）若直线AP 与直线l ：x ＝﹣1交于点Q ，证明：OP →⋅OQ →为定值．20．（12分）某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85．从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高10%，产品合格率比前一个月增加0.01．（1）求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多； （2）求该工厂今年全年生产的合格产品的数量． 参考数据：1.111≈2.85，1.112≈3.14．21．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，DC ＝2DA ＝4，DD 1=2√3，DC 1⊥D 1B ．（1）求证：DA ⊥DB ；（2）线段C 1D 1上是否存在点E ，使得平面EBD 与平面ABB 1A 1的夹角为π4？若存在，求D 1E 的长；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），C 上不同两点A ，B 满足F 1A →=λF 2B →(λ＞0)，当λ＝1时，|F 1A →|=83．（1）求C 的方程；（2）设直线F 1B ，F 2A 交于点P ，已知△P AB 的面积为1，求△P AF 1与△PBF 2的面积之和．2023-2024学年福建省厦门市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知等比数列{a n }满足a 3=√3，a 7=3√3，则a 5＝（ ） A ．−2√3B ．﹣3C ．3D ．2√3解：因为等比数列{a n }满足a 3=√3，a 7=3√3，所以（a 5）2＝a 3•a 7＝9． 又因为a 5＝a 3•q 2，即a 5与a 3同号， 故a 5＝3． 故选：C ．2．已知直线l 1的倾斜角为π3，直线l 2过点(−1，√3)，若l 1∥l 2，则l 2在y 轴上的截距为（ ）A ．−2√3B ．﹣2C ．2D ．2√3解：l 1的倾斜角为π3，其斜率为k ＝tan π3=√3，则直线l 2的方程为：y −√3=√3（x +1），令x ＝0，得y =2√3． 故选：D ．3．点P （0，2）到双曲线C ：x 2−y 24=1的渐近线的距离为（ ） A ．2√55B ．4√55C ．2√1717D ．4√1717解：∵双曲线C ：x 2−y 24=1的渐近线方程为：y ＝±2x ，即2x ±y ＝0， ∴点P （0，2）到双曲线C ：x 2−y 24=1的渐近线的距离d =|0±2|√2+(±1)=2√55． 故选：A ．4．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点E 满足CE →=2EP →，则AE →=（ ） A ．12AB →+12AD →−12AP →B ．12AB →+12AD →−23AP →C ．13AB →+13AD →+23AP →D ．23AB →+23AD →+13AP →解：∵CE →=2EP →，∴CE →=23CP →，∴AE →=AC →+CE →=AB →+AD →+23CP →=AB →+AD →+23(AP →−AC →)=AB →+AD →+23AP →−23(AB →+AD →)=13AB →+13AD →+23AP →．故选：C ．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝a n ﹣2，则a n 的最大值为（ ） A ．﹣1B ．−12C ．12D ．1解：3S n ＝a n ﹣2，当n ＝1时，3a 1＝a 1﹣2，∴a 1＝﹣1， 当n ≥2时，3S n ﹣1＝a n ﹣1﹣2，两式相减得，3（S n ﹣S n ﹣1）＝a n ﹣a n ﹣1， ∴3a n ＝a n ﹣a n ﹣1， ∴a n a n−1=−12（n ≥2），∴数列{a n }是首项为﹣1，公比为−12的等比数列，∴a n ＝﹣1×(−12)n−1=（﹣1）n ×(12)n−1，∵（12）n ﹣1的值随着n 的增大而减小，∴当n ＝2时，a n 的值最大，最大值为a 2=12．故选：C ．6．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，上一点P 满足PF 1⊥PF 2，A 为线段PF 2的中垂线与Γ的交点，若△APF 1的周长为72a ，则Γ的离心率为（ ）A ．√64B ．√104C ．√63 D ．√32解：因为△APF 1的周长为72a ，所以|AP|+|AF 1|+|PF 1|=7a2，因为A 为线段PF 2的中垂线与Γ的交点，所以|AP |＝|AF 2|，所以|AF 2|+|AF 1|+|PF 1|=7a2， 由因为|AF 1|+|AF 2|＝2a ， 所以|PF 1|=7a 2−2a =3a 2， 所以|PF 2|=2a −3a 2=a2，又因为PF 1⊥PF 2，|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2， 所以(3a 2)2+(a2)2=4c 2， 即5a 2＝8c 2，即c 2a 2=58，所以e =c a =√104．故选：B ．7．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABD ＝120°，AB ＝3，BD ＝2，DC ＝1．如图，将△ABD 沿对角线BD 翻折至△A ′BD ，使得A ′C =3√3，则异面直线A ′B ，CD 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．45C ．56D ．67解：因为AB ∥CD ，∠ABD ＝120°，所以∠BDC ＝120°，因为A ′C →=A ′B →+BD →+DC →，所以|A ′C →|2=A′B →2+BD →2+DC →2+2A ′B →⋅BD →+2BD →⋅DC →+2A ′B →⋅DC →，所以27＝9+4+1+2×3×2×cos60°+2×2×1×cos60°+2×3×1×cos ＜A′B →，DC →＞， 解得cos ＜A′B →，DC →＞=56，因为异面直线夹角的范围为（0°，90°]， 所以异面直线A ′B ，CD 所成角的余弦值为56．故选：C ．8．抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线．过抛物线C ：x 2＝8y 上的一点P （异于原点O ）作C 的切线l ，过O 作l 的平行线交PF （F 为C 的焦点）于点Q ，则|OQ |的取值范围为（ ） A ．（0，2）B ．（0，4）C ．（0，6）D ．（0，8）解：抛物线C ：x 2＝8y 的焦点F （0，2）， 由题意可设P （x 0，x 028），x 0≠0，由x 2＝8y ，得y =18x 2，则y ′=14x ，所以k OQ＝k l=x0 4，所以l OQ：y=x04x，l FP：y=x02−168x0x+2，联立方程可得Q（16x0x02+16，4x o2x02+16），所以|OQ|2=16x02(16+x02)(x02+16)2=16x02x02+16=161+16x02∈（0，16），即|OQ|∈（0，4）．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知集合M＝{（x，y）|x2+y2≤4}，N＝{（x，y）|（x﹣a）2+y2≤1}．若N⊆M，则实数a可以为（）A．0B．12C．1D．2解：∵N⊆M，∴圆（x﹣a）2+y2＝1在圆x2+y2＝4内部，如图所示：∴﹣1≤a≤1，观察四个选项可知，A，B，C正确，D错误．故选：ABC．10．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是DD1和BD1的中点，则（）A ．C 1F ∥AEB ．C 1F ⊥A 1DC ．点F 到平面EAC 的距离为√63D ．直线C 1F 与平面EAC 所成角的正弦值为√73解：建系如图，则根据题意可得C 1（2，2，2），F （1，1，1），A （0，0，0）， E （0，2，1），A 1（0，0，2），D （0，2，0），C （2，2，0）， ∴C 1F →=(−1，−1，−1)，AE →=(0，2，1)，A 1D →=(0，2，−2)， AF →=(1，1，1)，AC →=(2，2，0)，∴C 1F →与AE →不共线，∴C 1F 与AE 不平行，∴A 选项错误； ∵C 1F →⋅A 1D →=0，∴C 1F ⊥A 1D ，∴B 选项正确；设平面EAC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AE →=2y +z =0n →⋅AC →=2x +2y =0，取n →=(1，−1，2)，∴点F 到平面EAC 的距离为|AF →⋅n →||n →|=√6=√63，∴C 选项正确； ∴直线C 1F 与平面EAC 所成角的正弦值为： |cos ＜C 1F →，n →＞|=|C 1F →⋅n →||C 1F →||n →|=2√3×√6=√23，∴D 选项错误． 故选：BC ．11．已知曲线C ：x 2sin α﹣y 2cos α＝1，其中α∈[0，π]，则（ ） A ．存在α使得C 为圆 B ．存在α使得C 为两条直线C ．若C 为双曲线，则α越大，C 的离心率越大D ．若C 为椭圆，则α越大，C 的离心率越大解：由α∈[0，π]，得sin α∈[0，1]，cos α∈[﹣1，1]， 对于A ，当α=3π4时，sin α=√22，cos α=−√22，曲线C 可化为√22x 2+√22y 2=1，即x 2+y 2=√2，表示圆，即A 正确；对于B ，当α=π2时，sin α＝1，cos α＝0，曲线C 可化为x 2＝1，即x ＝1或x ＝﹣1，表示两条直线，即B 正确；对于C ，当α∈（0，π2）时，曲线C 为双曲线，离心率e =√1+1cosα1sinα=√1+tanα，在α∈（0，π2）上单调递增，所以α越大，C 的离心率越大，即C 正确；对于D ，当α∈（π2，3π4）∪（3π4，π）时，曲线C 为椭圆，若焦点在x 轴上，则α∈（3π4，π），离心率e =√1−1−cosα1sinα=√1+tanα，在α∈（3π4，π）上单调递增，若焦点在y 轴上，则α∈（π2，3π4），离心率e =√1−1sinα1−cosα=√1+1tanα，在α∈（π2，3π4）上单调递减， 所以α越大，C 的离心率不是越大，即D 错误． 故选：ABC ．12．若数列{a n }满足a n+12+2a n a n+1−2a n 2=0，则（ ）A ．数列{a n }是等比数列B ．当a 1＝1时，a 3的所有可能取值的和为6C ．当a 1＝1时，a 10的取值有10种可能D ．当a 1＞0时，12a 1+a 2+12a 2+a 3+12a 3+a 4+⋯+12a 2023+a 2024＜1a 2024解：选项A ：由a n+12+2a n a n+1−2a n 2=0，可知当a 1＝0，a 2＝0时，满足递推式，但此时数列{a n }不是等比数列，故选项A 错误； 当a n ≠0时，(a n+1a n )2+2an+1a n −2=0，则a n+1a n=−1−√3或a n+1a n=−1+√3，所以a n =a 1⋅a 2a 1⋅a 3a 2⋯⋯an a n−1=a 1⋅(−1−√3)k ⋅(−1+√3)n−1−k ，其中k ＝0，1，2，3，⋯，n ﹣1， 化简可得：a n =a 1⋅(−1+√3)n−1⋅(−1−3−1+√3)k=a 1⋅(−1+√3)n−1⋅(−2−√3)k ，其中k ＝0，1，2，3，⋯，n ﹣1，当a 1＝1时，a n 的取值共有n 种，其和A n =∑ n−1k=0(−1+√3)n−1⋅(−2−√3)k =(−1+√3)n−1∑ n−1k=0(−2−√3)k，故选项B ，C 正确； 由a n+12+2a n a n+1−2a n 2=0，可得a n+12+2a n a n+1=2a n 2⇔1a n+1(2a n +a n+1)=12a n2⇔2a n a n+1(2a n +a n+1)=1a n，即1a n=a n+1+2a n −a n+1a n+1(2a n +a n+1)=1a n+1−12a n +a n+1，所以1a n+1+2a n=1a n+1−1a n，累加可得12a 1+a 2+12a 2+a 3+12a 3+a 4+⋯+12a n +a n+1=1a n+1−1a 1， 故当a 1＞0时，12a 1+a 2+12a 2+a 3+12a 3+a 4+⋯+12a 2023+a 2024＜1a 2024，故选项D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知A （1，1，0），B （1，0，﹣1），C （1，x +2，2x ）三点共线，则x ＝ 1 ． 解：因为A （1，1，0），B （1，0，﹣1），C （1，x +2，2x ）， 所以a →=AB →=（0，﹣1，﹣1），b →=AC →=（0，x +1，2x ）， 因为A ，B ，C 三点共线，所以a →与b →共线，所以存在实数λ，使a →=λb →，即（0，﹣1，﹣1）＝（0，λ（x +1），2λx ）， 所以λ（x +1）＝﹣1，2λx ＝﹣1，解得λ=−12，x ＝1．故答案为：1．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，M 是C 上一点，△MOF 的面积为2，则|MF |＝ 5 ． 解：由题意知，F （1，0），p ＝2，因为△MOF 的面积为2，所以2=12•|OF |•|y M |=12⋅1⋅|y M |，即|y M |＝4，所以x M =y M 24=164=4，由抛物线的定义知，|MF |＝x M +p2=4+1＝5．故答案为：5．15．已知圆O ：x 2+y 2＝1和圆O 1：(x −2)2+y 2=1，过动点P 分别作圆O ，圆O 1的切线P A ，PB （A ，B 为切点），且|P A |2+|PB |2＝18，则|P A |的最大值为 √15 ． 解：根据题意，设P 的坐标为（m ，n ），圆O ：x 2+y 2＝1，其圆心为（0，0），半径为r 1＝1， P A 为圆O 的切线，则|PO |2＝|P A |2+1，则有m 2+n 2＝|P A |2+1， 圆O 1：(x −2)2+y 2=1，其圆心O 1为（2，0），半径为r 2＝1，PB为圆O1的切线，则|PO1|2＝|P A|2+1，则有（m﹣2）2+n2＝|PB|2+1，又由|P A|2+|PB|2＝18，则有（m2+n2）+[（m﹣2）2+n2]＝20，变形可得：（m﹣1）2+n2＝9，则P的轨迹是以（1，0）为圆心，半径为R＝3的圆，设M为（1，0），则|MO|的最大值为3+1＝4，故|P A|的最大值为√16−1=√15．故答案为：√15．16．已知直线l1：y＝2x与直线l2：y＝x﹣1，点P1是l2与x轴的交点．过P1作x轴的垂线交l1于点Q1，过Q1作y轴的垂线交l2于点P2，过P2作x轴的垂线交l1于点Q2，过Q2作y轴的垂线交l2于点P3，依此方法一直继续下去，可得到一系列点P n，Q n，则|P3Q3|＝8；设P n的坐标为（x n，y n），则数列{x n+1x n+1⋅y n+1}的前n项和为2n−12n+1−1．解：根据题意可得y n＝x n﹣1，P n（x n，x n﹣1），则Q n（x n，2x n），P n+1（x n+1，2x n），∴y n+1＝2x n，即x n+1﹣1＝2x n，∴x n+1+1＝2（x n+1），又x1+1＝2，∴x n+1=2n，∴x n=2n−1，∴|P n Q n|＝2x n﹣（x n﹣1）＝x n+1＝2n，∴|P3Q3|＝23＝8；∴x n+1x n+1⋅y n+1=2n(2n+1−1)(2n+1−2)=2n−1(2n+1−1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1−1)，∴数列{x n+1x n+1⋅y n+1}的前n项和为：1 2[(1−13)+(13−17)+⋅⋅⋅+(12n−1−12n+1−1)]=12(1−12n+1−1)=2n−12n+1−1．故答案为：8；2n−12n+1−1．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S4＝4S2，a3n=3a n+2(n∈N∗)．（1）求a n；（2）设b n=2a n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）设数列{a n}的公差为d，由S4＝4S2得，4a1+6d＝4（2a1+d），即d＝2a1①，因为a3n＝3a n+2，所以a1+（3n﹣1）d＝3[a1+（n﹣1）d]+2，即d＝a1+1②，联立①②解得d＝2，a1＝1，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）b n=2a n=22n−1=2•4n﹣1，所以数列{b n}是以2为首项，4为公比的等比数列，所以T n=2(1−4n)1−4=2(4n−1)3．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（﹣1，0），动点P满足|P A|＝2|PB|．（1）求点P的轨迹Γ的方程；（2）过点A的直线l与Γ交于M，N两点，∠MON＝120°，求l的方程．解：（1）设P（x，y），因为|P A|＝2|PB|，所以√(x+4)2+y2=2√(x+1)2+y2，化简得x2+y2＝4，所以点P的轨迹Γ的方程为x2+y2＝4．（2）因为∠MON＝120°，|OM|＝|ON|＝2，所以圆心O到直线l的距离d＝2sin30°＝1，①当直线l的斜率不存在时，l与圆无交点，舍去；②当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x+4），即kx﹣y+4k＝0，所以d=|4k|√k+1=1，解得k=±√1515，所以l的方程为x+√15y+4=0或x−√15y+4=0．19．（12分）已知双曲线C：x2﹣y2＝4的左顶点为A，P为C上（异于A）一点．（1）已知点M（6，0），求当|PM|取得最小值时直线PM的方程；（2）若直线AP 与直线l ：x ＝﹣1交于点Q ，证明：OP →⋅OQ →为定值．（1）解：设P （x 0，y 0），则x 02−y 02=4，x 0＜﹣2或x 0＞2，|PM |=√(x 0−6)2+y 02=√x 02−12x 0+36+x 02−4=√2(x 0−3)2+14≥√14， 当x 0＝3时，|PM |取得最小值√14，此时y 0=±√5， 即P （3，√5），或P （3，−√5）， 所以直线PM 的方程y =√53−6(x −6)，或y =−√53−6(x −6)，即直线PM 的方程√5x +3y ﹣6√5=0，或√5x −3y ﹣6√5=0． （2）证明：双曲线C ：x 2﹣y 2＝4的左顶点为A （﹣2，0）， 依题意设AP ：x ＝my ﹣2（m ≠0且m ≠±1）， 令x ＝﹣1，则y =1m ，即Q （﹣1，1m）， 所以OQ →=(−1，1m)，联立{x 2−y 2=4x =my −2，消x 得（m 2﹣1）y 2﹣4my ＝0，解得y P =4mm 2−1，y A ＝0，所以x P =4m 2m 2−1−2=2m 2+2m 2−1，即P （2m 2+2m 2−1，4m m 2−1），所以OP →=（2m 2+2m 2−1，4mm 2−1），所以OP →⋅OQ →=−2m 2+2m 2−1+4m m 2−1×1m =−2m 2+2m 2−1=−2，故OP →⋅OQ →为定值﹣2．20．（12分）某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85．从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高10%，产品合格率比前一个月增加0.01．（1）求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多； （2）求该工厂今年全年生产的合格产品的数量． 参考数据：1.111≈2.85，1.112≈3.14．解：（1）记从今年1月起，第n 月的产量为a n ，第n 月的产品合格率为b n ， 由题可知，数列{a n }为等比数列，首项a 1＝1000，公比q ＝1+10%＝1.1， 数列{b n }为等差数列，首项b 1＝0.85，公差d ＝0.01，所以a n ＝1000×1.1n ﹣1，b n ＝0.85+（n ﹣1）×0.01＝0.0ln +0.84，所以今年2月份生产的不合格产品数为a 2（1﹣b 2）＝1000×1.1×（1﹣0.86）＝154， 设第n 月生产的不合格产品数为c n ，则c n =a n (1−b n )=10×1．1n−1×(16−n)，所以c n+1c n=10×1．1n ×(15−n)10×1．1n−1×(16−n)=16.5−1.1n16−n ，当n ＜5时，c n+1c n ＞1；当n ＝5时，c n+1c n =1；当n ＞5时，c n+1c n＜1，所以c 1＜c 2＜••＜c 5＝c 6＞c 7＞••＞c 12，即5月或6月生产的不合格产品数最多； （2）设今年前n 个月生产的合格产品总数为S n ，则S n ＝a 1b 1+a 2b 2+•+a n b n ， 所以S 12＝850×1.10+860×1.11+870×1.12+…+950×1.110+960×1.111①， 所以1.1S 12＝850×1.11+860×1.12+870×1.13+…+950×1.111+960×1.112②， ①﹣②得﹣0.1S 12＝850+10×（1.1+1.12+…+1.111）﹣960×1.112 ＝850+10×1.1(1−1．111)1−1.1−960×1.112＝740﹣840×1.112，所以S 12=10×(860×1．112−740)≈19604， 即该工厂今年全年生产的合格产品总数约为19604个．21．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，DC ＝2DA ＝4，DD 1=2√3，DC 1⊥D 1B ．（1）求证：DA ⊥DB ；（2）线段C 1D 1上是否存在点E ，使得平面EBD 与平面ABB 1A 1的夹角为π4？若存在，求D 1E 的长；若不存在，请说明理由．（1）证明：因为DD 1⊥平面ABCD ，DA ⊂平面ABCD ，所以DD 1⊥DA ，所以DD 1→⋅DA →=0， 因为DC 1⊥D 1B ，所以DC 1→⋅D 1B →=0，又因为DC 1→=DC →+DD 1→，D 1B →=DB →−DD 1→=DA →+DC →−DD 1→， 所以(DC →+DD 1→)⋅(DA →+DC →−DD 1→)=0，化简得DA →⋅DC →=−4，所以DA →⋅DB →=DA →⋅(DA →+DC →)=DA →2+DA →⋅DC →=4−4=0，所以DA ⊥DB ． （2）解：假设存在E 点满足条件．因为DD 1⊥平面ABCD ，DA ⊥DB ， 以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz ，则D （0，0，0），A （2，0，0），B(0，2√3，0)，C(−2，2√3，0)，D 1(0，0，2√3)，C 1(−2，2√3，2√3)，DB →=(0，2√3，0)，AA 1→=(0，0，2√3)，D 1C 1→=(−2，2√3，0)， 设D 1E →=λD 1C 1→(0≤λ≤1)，则DE →=DD 1→+D 1E →=（﹣2λ，2√5λ，2，5），设平面EBD 的一个法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，由{n 1→⋅DB →=2√3y 1=0n 1→⋅DE →=−2λx 1+2√3λy 1+2√3z 1=0，令x 1=√3，得z 1＝λ，所以 n 1→=(√3，0，λ)，设平面ABB 1A 1的一个法向量n 2→=(x 2，y 2，z 2)，可得{n 2→⋅AA 1→=2√3z 2=0n 2→⋅AB →=−2x 2+2√3y 2=0，令x 2=√3，得y 2＝1，所以n 2→=(√3，1，0)，所以cos〈n 1→，n 2→〉=n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→|=32√3+λ，因为平面EBD 与平面D 1BD 的夹角为π4，即2√3+λ2=√22，解得λ=±√62，又因为0≤λ≤1，所以λ=±√62（舍去），所以线段C 1D 1上不存在点E 使得平面EBD 与平面ABB 1A 1的夹角为π4．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），C 上不同两点A ，B 满足F 1A →=λF 2B →(λ＞0)，当λ＝1时，|F 1A →|=83．（1）求C 的方程；（2）设直线F 1B ，F 2A 交于点P ，已知△P AB 的面积为1，求△P AF 1与△PBF 2的面积之和． 解：（1）当λ＝1时，F 1A →=F 2B →，则四边形F 1F 2BA 为平行四边形，由椭圆的对称性可知，四边形F 1F 2BA 为矩形，即F 1A ⊥x 轴，所以|F 1A|=b 2a ，所以{b 2a 2=83a 2−b 2=1，解得{a =3b =2√2，所以椭圆C 的标准方程为x 29+y 28=1．（2）因为F 1A →=λF 2B →，所以|F 1P||PB|=|AP||PF 2|=|F 1A||F 2B|=λ，由对称性，不妨设P （x 0，y 0），y 0＞0， 由S △PAB =S △PFF 1=1，可得y 0＝1，又S △PAF 1=λS △PAB =λ，S △PBF =1λS △PAB =1λ，所以S △PAF 1+S △PBF 2=λ+1λ，延长AF 1交C 于点D ，易知B ，D 关于原点对称，设直线F 1A ：x ＝ty ﹣1，t 显然存在，设A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），B （﹣x 2，﹣y 2）， 联立方程组{x =ty −18x 2+9y 2=72，化简可得：（8t 2+9）y 2﹣16ty ﹣64＝0， 所以Δ＝256t 2+256（8t 2+9）＞0，y 1+y 2=16t 8t 2+9，y 1y 2=−648t 2+9， 直线F 1B ：x +1=−x 2+1−y 2y ，直线F 2A ：x −1=x 1−1y 1y ， 所以{x 0+1=x 2−1y 2x 0−1=x 1−1y 1，即x 2−1y 2−x 1−1y 1=2，所以x 2−1y 2−x 1−1y 1=ty 2−2y 2−ty 1−2y 1=2(y 2−y 1)y 1y 2=2，即y 2﹣y 1＝y 1y 2，所以(y 2−y 1)2=y 12y 22，(y 2+y 1)2=y 12y 22+4y 1y 2，代入韦达定理可得：(16t 8t 2+9)2=(648t 2+9)2−2548t 2+9，解得t 2=79，由F 1A →=λF 2B →，可得y 1＝﹣λy 2， 所以S △PAF 1+S △PBF 2=λ+1λ=−y 1y 2−y 2y 1=−y 12+y 22y 1y 2=−(y 1−y 2)2+2y 1y 2y 1y 2=−y 1y 2−2=648t 2+9−2=302137．。
2023-2024学年山东省潍坊市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C 53+C 54=（ ）A ．15B ．25C ．60D ．1802．设空间向量a →=（1，2，﹣1），b →=（﹣2，﹣4，k ），若a →∥b →，则实数k 的值为（ ） A ．2B ．﹣10C ．﹣2D ．103．已知两直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2是方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系为（ ） A ．平行 B ．相交且垂直 C ．重合D ．相交且不垂直4．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，点P 在AC 1上，且AP →=23AC 1→，则AP →=（ ）A ．23a →+23b →+23c →B ．13a →+13b →+13c →C ．−23a →+23b →+23c →D ．13a →−13b →−13c →5．月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物．它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点F （0，1），半椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线x =√22与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则△ABF 的面积为（ ）A ．9(√2+1)4B ．3(√2+1)2C ．√2+1D ．√2+146．有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（ ） A ．240B ．360C ．480D ．7207．若圆C 1：(x +2)2+(y −2)2=m 与圆C 2：(x −1)2+(y +2)2=1相交，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（4，6）B ．（4，10）C ．（4，36）D ．（16，36）8．如图，已知二面角α﹣l ﹣β的度数大小为π3，在α与β的交线l 上取线段AB =√3，且AC ，BD 分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l ，且AC ＝1，BD ＝2，则CD 的长为（ ）A ．6B ．10C ．√6D ．√10二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．已知直线l ：y ＝x ，点A （0，﹣1），则（ ） A ．过点A 与l 平行的直线的方程为y ＝x ﹣1B ．点A 关于l 对称的点的坐标为（0，1）C ．点A 到直线l 的距离为√22D ．过点A 与l 垂直的直线的方程为y ＝﹣x ﹣110．若(2x −1)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则（ ） A ．a 0＝1 B ．a 0+a 1+a 2+a 3+a 4＝16 C ．a 0+a 2+a 4＝41D ．a 1+a 3＝4011．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A 表示事件“取出的两球不同色”，B 表示事件“第一次取出的是黑球”，C 表示事件“第二次取出的是黑球”，D 表示事件“取出的两球同色”，则（ ） A ．A 与D 相互独立 B ．A 与B 相互独立 C ．B 与D 相互独立 D ．A 与C 相互独立12．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点M 是直线x ＝4上任意一点，过点M 作C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，则（ ）A．△AF1F2的周长为6B．A，F2，B三点共线C．A，B两点间的最短距离为2D．∠AMF1＝∠BMF2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．在(x+2x)6的展开式中，常数项为.（结果用数字作答）14．针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗．已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为15，14，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为．15．已知抛物线y2＝8x，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点A（6，2），则|P A|+|PF|的最小值为．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=4，AB=2√3，平面α经过点A，且直线AA1与平面α所成的角为30°，过点A1作平面α的垂线，垂足为H，则点A1到平面α的距离为，直线AA1与BH所成角的范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点E是B'C的中点．（1）证明：D′E∥平面A′BD；（2）求直线D′E与平面ABCD所成角的正弦值．18．（12分）如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在其准线上，|MF|=2√2，直线MF 的倾斜角为135°，且与C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求C的方程；（2）求△AOB的面积．19．（12分）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个． （1）求这个零件是次品的概率；（2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率．20．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)，点A 1（﹣1，0），A 2(√2，√3)都在双曲线C 上，且C 的右焦点为F ．（1）求C 的离心率及其渐近线方程；（2）设点P （x 0，y 0）（x 0≠2）是双曲线C 右支上的任意一点，记直线PF 和P A 1的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1=2k 2k 22−1． 21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，∠BCD ＝∠ABC ＝90°，AB =2CD =2BC =4√2，M 是棱PC 上的点，且PM →=λPC →，0≤λ≤1． （1）求证：BD ⊥平面P AD ；（2）设二面角M ﹣BD ﹣C 的大小为θ，若cosθ=√1313，求λ的值．22．（12分）如图，已知圆T ：x 2+y 2+2√3x −21=0，圆心是点T ，点G 是圆T 上的动点，点H 的坐标为(√3，0)，线段GH 的垂直平分线交线段TG 于点R ，记动点R 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点H 作一条直线与曲线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，若CA →=λAH →，CB →=μBH →，试探究λ+μ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）过点M （2，1）作两条直线MP ，MQ ，分别交曲线E 于P ，Q 两点，使得k MP •k MQ ＝1，且MD ⊥PQ ，点D 为垂足，证明：存在定点F ，使得|DF |为定值．2023-2024学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C 53+C 54=（ ）A ．15B ．25C ．60D ．180解：C 53+C 54=C 52+C 51=5×42×1+5=15． 故选：A ．2．设空间向量a →=（1，2，﹣1），b →=（﹣2，﹣4，k ），若a →∥b →，则实数k 的值为（ ） A ．2B ．﹣10C ．﹣2D ．10 解：空间向量a →=（1，2，﹣1），b →=（﹣2，﹣4，k ），a →∥b →，则−21=−42=k −1，解得k ＝2．故选：A ．3．已知两直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2是方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系为（ ） A ．平行 B ．相交且垂直 C ．重合D ．相交且不垂直解：因为k 1，k 2是方程x 2+x ﹣1＝0的两根，所以k 1k 2＝﹣1，所以两条直线垂直． 故选：B ．4．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，点P 在AC 1上，且AP →=23AC 1→，则AP →=（ ）A ．23a →+23b →+23c →B ．13a →+13b →+13c →C ．−23a →+23b →+23c →D ．13a →−13b →−13c →解：AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则AP →=23AC 1→=23(AB →+BC →+CC 1→)=23(AB →+AD →+AA 1→)=23a →+23b →+23c →．故选：A ．5．月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物．它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点F （0，1），半椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线x =√22与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则△ABF 的面积为（ ）A ．9(√2+1)4B ．3(√2+1)2C ．√2+1D ．√2+14 解：由题意可得，半圆所在圆的方程为x 2+y 2＝1，半椭圆所在椭圆方程为y 22+x 2=1，把x =√22分别代入圆与椭圆方程，可得A （√22，−√22），B （√22，1）， ∴|AB |=√22+1，又F 到AB 所在直线的距离为√22， ∴△ABF 的面积为12×√2+22×√22=√2+14．故选：D ．6．有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（ ） A ．240B ．360C ．480D ．720解：先把6人分为3组，一组3人，一组2人，一组1人，有C 63C 32C 11=60种分法，再把这3组人员分配到甲、乙、丙3个学校支教，所以不同的分法种数为60×A 33=360． 故选：B ．7．若圆C 1：(x +2)2+(y −2)2=m 与圆C 2：(x −1)2+(y +2)2=1相交，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（4，6）B ．（4，10）C ．（4，36）D ．（16，36）解：根据题意，圆C 1：(x +2)2+(y −2)2=m ，圆心为（﹣2，2），半径R =√m ， 圆C 2：(x −1)2+(y +2)2=1，圆心为（1，﹣2），半径r ＝1，圆心距d =√9+16=5，若两圆相交，则有|√m −1|＜5＜√m +1，解可得16＜m ＜36，即m 的取值范围为（16，36）． 故选：D ．8．如图，已知二面角α﹣l ﹣β的度数大小为π3，在α与β的交线l 上取线段AB =√3，且AC ，BD 分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l ，且AC ＝1，BD ＝2，则CD 的长为（ ）A ．6B ．10C ．√6D ．√10解：CD →=CA →+AB →+BD →，两边平方得（CD →）2＝（CA →+AB →+BD →）2， 所以|CD →|2=CA →2+AB →2+BD →2+2CA →•AB →+2CA →•BD →+2AB →•BD →，由题可知|AB →|=√3，|CA →|＝1，|BD →|＝2，＜CA →，AB →＞=π2，＜CA →，BD →＞=2π3，＜AB →，BD →＞=π2，所以|CD →|2＝12+（√3）2+22+2•1•√3cos π2+2•1•2•cos 2π3+2•√3•2•cos π2=6，所以|CD →|=√6． 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．已知直线l ：y ＝x ，点A （0，﹣1），则（ ） A ．过点A 与l 平行的直线的方程为y ＝x ﹣1B ．点A 关于l 对称的点的坐标为（0，1）C ．点A 到直线l 的距离为√22D ．过点A 与l 垂直的直线的方程为y ＝﹣x ﹣1 解：因为直线l ：y ＝x ，对于A ：设与l 平行的直线方程为y ＝x +b ，代入A （0，﹣1），得b ＝﹣1， 所以，过点A 与l 平行的直线的方程为y ＝x ﹣1，故A 正确；对于B ：点A （0，﹣1）关于y ＝x 对称的点的坐标为（﹣1，0），故B 错误； 对于C ：点A 到直线x ﹣y ＝0的距离为√2=√22，故C 正确； 对于D ：设与l 垂直的直线方程为y ＝﹣x +m ，代入A（0，﹣1），得m＝﹣1，所以，过点A与l垂直的直线的方程为y＝﹣x﹣1，故D正确．故选：ACD．10．若(2x−1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（）A．a0＝1B．a0+a1+a2+a3+a4＝16C．a0+a2+a4＝41D．a1+a3＝40解：对于A，令x＝0得，a0＝（﹣1）4＝1，故A正确；对于B，令x＝1得，a0+a1+a2+a3+a4＝（2×1﹣1）4＝1，故B错误；对于C，D，令x＝﹣1得，a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝（﹣2﹣1）4＝81，又因为a0+a1+a2+a3+a4＝1，所以两式相加得，2（a0+a2+a4）＝82，两式相减得，2（a1+a3）＝﹣80，所以a0+a2+a4＝41，a1+a3＝﹣40，故C正确，故D错误．故选：AC．11．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（）A．A与D相互独立B．A与B相互独立C．B与D相互独立D．A与C相互独立解：一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，P（A）=24×23+24×23=23，P（B）=24=12，P（C）=24×13+24×23=12，P（D）=24×13+24×13=13，P（AD）＝0，P（AB）=24×23=13，P（BD）=24×13=16，P（AC）=24×23=13，∵P（AD）≠P（A）P（D），∴A与D不是相互独立事件，故A错误；P（AB）＝P（A）P（B），∴A与B是相互独立事件，故B正确；P（BD）＝P（B）P（D），∴B与D是相互独立事件，故C正确；P（AC）＝P（A）P（C），∴A与C是相互独立事件，故D正确．故选：BCD．12．已知椭圆C：x 24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，且点M是直线x＝4上任意一点，过点M作C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则（）A．△AF1F2的周长为6B．A，F2，B三点共线C．A，B两点间的最短距离为2D．∠AMF1＝∠BMF2解：根据题意可得a＝2，b=√3，c＝1，对A选项，∵△AF1F2的周长为2a+2c＝4+2＝6，∴A选项正确；对B选项，设M（4，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则x124+y123=1，∴3x12+4y12=12，同理可得3x22+4y22=12，对x24+y23=1两边关于x求导可得：x2+2y⋅y′3=0，∴y′=−3x4y，∴切线AM方程为y−y1=−3x14y1(x−x1)，∴3x1x+4y1y=3x12+4y12=12，故切线AM方程为3x1x+4y1y＝12，同理可得切线BM的方程为3x2x+4y2y＝12，又切线AM与切线BM都过M（4，t），∴{12x1+4y1t=12 12x2+4y2t=12，∴AB直线方程为12x+4ty＝12，∴AB直线过定点F2（1，0），∴A，F2，B三点共线，∴B选项正确；对C选项，由B选项分析可知AB直线过F2（1，0），∴AB为焦点弦，根据椭圆的几何性质可得焦点弦AB为通径时最短，∴|AB|≥2b2a=3＞2，∴C选项错误；对D选项，如图，由B选项分析可知AB直线斜率为−3 t ，又MF2直线的斜率为t−04−1=t3，∴k AB⋅k MF2=−1，∴AB⊥MF2，在直线AB上取AF′＝AF1，BF1＝BF″，则|AF1′|+|AF2|＝|AF1|+|AF2|＝2a＝4，同理可得|BF1″|+|BF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a＝4，∴|F1′F2|＝|F1″F2|，又AB⊥MF2，∴∠F1′MF2＝∠F1″MF2，设∠F1MA＝θ，∠F1MF2＝φ，∠F2MB＝γ，∵MA，MB为椭圆C的两条切线，∴根据椭圆的光学性质可得：∠F1′MA＝∠F1MA＝θ，∠F1″MB＝∠F1MB＝φ+γ，又∠F1′MF2＝∠F1″MF2，∴2θ+φ＝γ+φ+γ，∴θ＝γ，∴∠AMF1＝∠BMF2，∴D选项正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．在(x+2x)6的展开式中，常数项为160.（结果用数字作答）解：二项式(x+2x)6的展开式的通项为T r+1=C6r x6﹣r（2x）r＝2r C6r x6﹣2r，令6﹣2r＝0，得r＝3，故常数项是23•C63=160．故答案为：160．14．针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗．已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为15，14，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为25．解：甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的对立事件是甲、乙两个机构都没有研究成功，∴甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为：P＝1﹣（1−15）（1−14）=25．故答案为：2 5．15．已知抛物线y2＝8x，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点A（6，2），则|P A|+|PF|的最小值为8．解：抛物线y2＝8x，p＝2，焦点F（2，0），准线方程为x＝﹣2．设P 到准线的距离为PD ，（即PD 垂直于准线，D 为垂足），则|P A |+|PF |＝|P A |+|PD |≥|AD |＝8，（当且仅当P 、A 、D 共线时取等号）． 故答案为：8．16．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=4，AB =2√3，平面α经过点A ，且直线AA 1与平面α所成的角为30°，过点A 1作平面α的垂线，垂足为H ，则点A 1到平面α的距离为 2 ，直线AA 1与BH 所成角的范围为 [30°，60°] ． 解：如图，连接AH ，因为A 1H ⊥α，AH ⊂α，所以A 1H ⊥AH ，所以H 在以AA 1为直径的球面上，又直线AA 1与平面α所成角为30°，而∠A 1AH 即为直线AA 1与平面α所成的角，因此∠A 1AH =30°，因此H 在以AA 1为轴，顶角为60°的圆锥面上，过H 作HO ⊥AA 1于点O ，则HA 1=2，HA =2√3，HO =√3，A 1O =1，AO =3，其中HA 1的长即为A 1到平面α的距离，所以H 在圆锥AO 的底面圆上，O 为圆心，半径为√3，以AB 为y 轴，AA 1为z 轴，过A 与AB 垂直的直线的为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0，2√3，0)，设H(√3cosθ，√3sinθ，3)，BH →=(√3cosθ，√3sinθ−2√3，3)，取AA 1→的一个方向向量为n →=(0，0，1)， cos〈BH →，n →〉=|BH →⋅n →||BH →||n →|=3√3cos 2θ+3(sinθ−2)2+9=324−12sinθ∈[12，√32]， 又0≤＜BH →，n →＞π，所以〈BA →，n →〉∈[π6，π3]，所以直线BH 与AA 1所成角的范围是[π6，π3]，即[30°，60°]，故答案为：2；[30°，60°]．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，点E 是B 'C 的中点．（1）证明：D ′E ∥平面A ′BD ；（2）求直线D ′E 与平面ABCD 所成角的正弦值．（1）证明：在正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，B ′D ′∥BD ，A ′D ∥B ′C ，B ′D ′∩B ′C ＝B ′，BD ∩A ′D ＝D ， 所以平面A ′BD ∥平面B ′D ′E ，又D ′E ⊂平面BD ′E ， 所以D ′E ∥平面A ′BD ；（2）解：以D 为原点，DA →，DC →，DD′→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （1，0，0），C ′(0，1，1)，D ′(0，0，1)，E(12，1，12)，所以D ′E →=(12，1，−12)，又平面ABCD 的法向量n →=(0，0，1)，设直线D ′E 与平面ABCD 所成角为θ，sinθ=|cos〈n →，D′E →〉|=|D′E →⋅n →||D′E →|⋅|n →|=12√32=√66，所以直线D ′E 与平面ABCD 所成角的正弦值为√66． 18．（12分）如图，已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在其准线上，|MF|=2√2，直线MF 的倾斜角为135°，且与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）求C 的方程； （2）求△AOB 的面积．解：（1）由已知及抛物线的定义可得p ＝|MF |cos （180°﹣135°）=2√2cos45°＝2， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ．（2）由（1）知F （1，0），设直线AB ：x +y ﹣1＝0，将其代入抛物线方程得y 2+4y ﹣4＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1+y 2＝﹣4，y 1y 2＝﹣4，△AOB 面积为：12|OF ||y 1﹣y 2|=12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12√32=2√2．19．（12分）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个． （1）求这个零件是次品的概率；（2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率．解：（1）根据题意，记事件A 为“车床加工的零件为次品”，事件B i 为“该零件由第i 台车床加工的零件”，i ＝1，2，则P （A |B 1）＝6%，P （A |B 2）＝5%，已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，则P （B 1）＝40%，P （B 2）＝60%，故P （A ）＝P （B 1）P （A |B 1）+P （B 2）P （A |B 2）＝40%×6%+60%×5%＝0.054； （2）根据题意，由贝叶斯公式P （B 1|A ）=P(AB 1)P(A)=P(B 1)P(A|B 1)P(A)=0.4×0.060.054=0.0240.054=49． 20．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)，点A 1（﹣1，0），A 2(√2，√3)都在双曲线C 上，且C 的右焦点为F ．（1）求C 的离心率及其渐近线方程；（2）设点P （x 0，y 0）（x 0≠2）是双曲线C 右支上的任意一点，记直线PF 和P A 1的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1=2k 2k 22−1． 解：（1）因为点A 1（﹣1，0），A 2(√2，√3)都在双曲线C 上，所以{1a 2=12a 2−3b 2=1，解得a ＝1，b =√3， 则双曲线C 的方程为x 2−y 23=1， 又c =√a 2+b 2=2， 所以C 离心率e =ca=2，渐近线方程为y =±√3x ； （2）证明：易知k 1，k 2一定存在且k 2≠±1， 因为F （2，0），x 0＞0， 所以k PF =k 1=y 0x 0−2，k PA 1=k 2=y0x 0+1， 此时2k 21−k 22=2y 0x 0+11−y 02(x 0+1)2=2y 0(x 0+1)(x 0+1)2−y 02，因为点P 在双曲线C 上，所以x 02−y 023=1，即y 02=3x 02−3， 则2k 21−k 22=2y 0(x 0+1)(x 0+1)2−y 02=2y 0(x 0+1)−2(x 0−2)(x 0+1)=−y 0x 0−2=−k 1．故k 1=2k 2k 22−1． 21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，∠BCD ＝∠ABC ＝90°，AB =2CD =2BC =4√2，M 是棱PC 上的点，且PM →=λPC →，0≤λ≤1． （1）求证：BD ⊥平面P AD ；（2）设二面角M ﹣BD ﹣C 的大小为θ，若cosθ=√1313，求λ的值．解：（1）证明：因为∠BCD ＝90°，CD ＝BC ＝2√2， 所以BD ＝4，∠CBD ＝45°，在△ABD 中，∠ABD ＝45°，AB ＝4√2，由余弦定理可得AD =√AB 2+BD 2−2AB ⋅BDcos∠ABD =4， 所以AD 2+BD 2＝AB 2，所以∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD ， 取AD 的中点O ，连接PO ， 因为△P AD 是等边三角形， 所以PO ⊥AD ，又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂面P AD ， 所以PO ⊥面ABCD ， 因为BD ⊂面ABCD ， 所以PO ⊥BD ，又因为PO ∩AD ＝O ，PO ，AD ⊂面P AD ， 所以BD ⊥面P AD ．（2）取AB 的中点N ，连接ON ，ON ∥BD ， 所以AD ⊥ON ，以O 为原点，ON ，OD ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系：则A （0，﹣2，0），D （0，2，0），B （4，2，0），C （2，4，0），P （0，0，2√3），AP →=（0，2，2√3），DM →=DP →+PM →=DP →+λPC →=（0，﹣2，2√3）+λ（2，4，﹣2√3）＝（2λ，4λ﹣2，2√3（1﹣λ）），0≤λ≤1， 又DB →=（4，0，0），设平面MBD 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{DM →⋅n →=2λx +(4λ−2)y +2√3(1−λ)z =0DB →⋅n →=4x =0，当λ=12时，平面MBD ⊥平面ABCD ，不合题意，当λ≠12时，令z ＝2λ﹣1，得平面MBD 的法向量为n →=（0，√3（λ﹣1），2λ﹣1），又平面ABCD 的一个法向量为m →=（0，0，1），由于平面MBD 与平面ABCD 所成角的余弦值为√1313， 所以|cos ＜m →，n →＞|=√[√3(λ−1)]+(2λ−1)=√1313，解得λ=13或λ=35． 22．（12分）如图，已知圆T ：x 2+y 2+2√3x −21=0，圆心是点T ，点G 是圆T 上的动点，点H 的坐标为(√3，0)，线段GH 的垂直平分线交线段TG 于点R ，记动点R 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点H 作一条直线与曲线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，若CA →=λAH →，CB →=μBH →，试探究λ+μ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）过点M （2，1）作两条直线MP ，MQ ，分别交曲线E 于P ，Q 两点，使得k MP •k MQ ＝1，且MD ⊥PQ ，点D 为垂足，证明：存在定点F ，使得|DF |为定值．解：（1）因为x 2+y 2+2√3x −21=0， 所以(x +√3)2+y 2=24， 所以T(−√3，0)，半径r =2√6，因为线段GH 的中垂线交线段TG 于点R ， 所以|RH |＝|RG |，所以|RT|+|RH|=|RT|+|RG|=|TG|=2√6＞|TH|=2√3，所以动点R 的轨迹是以T(−√3，0)，H(√3，0)为焦点，长轴长为2√6的椭圆， 所以a =√6，c =√3，b =√3， 故曲线E 的方程为x 26+y 23=1；（2）λ+μ＝4．证明：当直线AB 的斜率不存在时，其方程为x =√3，与y 轴不相交，不合题意，舍去，当直线AB 的斜率存在时，设AB 所在直线方程为y ＝k （x ﹣3）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y =k(x −√3)x 26+y 23=1，消去y ，整理得(1+2k 2)x 2−4√3k 2x +6k 2−6=0，Δ＞0恒成立， 所以{x 1+x 2=4√3k1+2k2x 1x 2=6k 2−61+2k 2， 又因为直线AB 与y 轴的交点为C ，所以C(0，−√5k)， 所以CA →=(x 1，y 1+√3k)，AH →=(√3−x 1−y 1)， CB →=(x 1，y 2+√3k)，BH →=(√3−x 2，−y 2)，又因为CA →=λAH →，所以x 1=λ(√3−x 1)，同理x 2=μ(√3−x 2)， 所以λ=13−x 1μ=23−x 2， 所以λ+μ=x 1√3−x 1x 2√3−x 2=√3(x 1+x 2)−2x 1x 23−√3(x 1+x 2)+x 1x 2=√3×4√3k21+2k 2−2×6k2−61+2k23−√3×4√3k 21+2k 2+6k 2−61+2k2， 整理后得λ+μ=12k 2−12k 2+123+6k 2−12k 2+6k 2−6=−123=−4， 所以λ+μ 为定值﹣4，原题得证．（3）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），显然PQ 的斜率存在，x1≠2，x 2≠2，设PQ 的方程是y ＝hx +m ，由{y =kx +mx 2+2y 2=6，消去y 得：（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣6＝0， 由韦达定理得{x 1+x 2=−2km2k 2+1x 1x 2=2m 2−62k 2+1，由已知k MP •k MQ ＝1，可得y 1−1x 1−2−y 2−1x 2−2=1，即y 1y 2﹣（y 1+y 2）+1＝x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4， 又y 1＝kx 1+m ，y 2＝kx 2+m ，代入上式整理得m 2+（8k +2）m +12k 2﹣3＝0， 则m ＝﹣6k ﹣3或m ＝1﹣2k ，当m ＝﹣6k ﹣3时，直线PQ 的方程为y ＝k （x ﹣6）﹣3， 所以直线PQ 经过定点（6，﹣3），当m ＝1﹣2k 时，直线PQ 的方程为y ＝k （x ﹣2）+1， 所以直线PQ 经过定点（2，1）与M 重合，舍去， 故直线PQ 经过定点K （6，﹣3），又因为MD ⊥PQ ，所以D 在以线段MK 为直径的圆上， 所以F 为线段ME 的中点，即F （4，﹣1），所以|DF|=12|MK|=12×√(6−2)2+(−3−1)2=2√2为定值．。
2023-2024学年福建省漳州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年福建省漳州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知{a n}为等比数列，a2＝2，a4＝4，则a6＝（）A．6B．8C．10D．122．已知圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，则与圆C有相同的圆心，且经过点（﹣2，2）的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+2）2＝5B．（x﹣1）2+（y+2）2＝25C．（x+1）2+（y﹣2）2＝5D．（x+1）2+（y﹣2）2＝253．某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（）A．12B．20C．24D．304．已知直线l过点P(2，√3)，且直线l的倾斜角为直线x−√3y+3=0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（）A．x+√3y−√3=0B．x−√3y−√3=0C．√3x+y−√3=0D．√3x−y−√3=05．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P为C虚轴的一个端点，∠F1PF2＝120°，则C的渐近线方程为（）A．y=±√22x B．y=±√62x C．y=±√2x D．y=±√3x6．已知两点A（﹣1，3），B（3，1），当C在坐标轴上，若∠ACB＝90°，则这样的点C的个数为（）A．1B．2C．3D．47．已知正项等比数列{a n}的前n项积为T n，且a1＞1，则下列结论正确的是（）A．若T6＝T8，则T14＞1B．若T6＝T8，则T n≤T7C．若T6＜T7，则T7＜T8D．若T6＜T7，则T7＞T88．已知椭圆C：x 24+y23=1的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，则△ADE的周长是（）A．6B．4√3C．4√5D．8二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l 1：（a ﹣2）x +y +a ＝0，l 2：ax +（a ﹣2）y ﹣1＝0，则（ ）A ．l 1过定点（﹣1，﹣2）B ．当a ＝2时，l 1⊥l 2C ．当a ＝0时，l 1∥l 2D ．当a ＝2时，l 2的斜率不存在10．2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去A ，B 展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）A ．若A 展馆需要3种花卉，有4种安排方法B ．共有14种安排方法C ．若“绿水晶”去A 展馆，有8种安排方法D ．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法11．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（ ）A ．若|PF |＝4，则O 为线段PQ 中点B ．若|OP|=4√3，则|PF |＝6C ．存在直线l ，使得PF ⊥QFD ．△PFQ 面积的最小值为812．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +1+a n ＝2n +1，a 2＜2，则下列结论正确的是（ ）A ．a 1可能为1B ．数列{a n ﹣n }是等比数列C ．S 10＝55D ．若S n ＝2024，n 的最大值为64三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．圆x 2+y 2＝4在点（1，√3）处的切线方程为 ．14．已知(2x −3)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 7x 7，则a 0+a 1+a 2+⋯+a 7＝ ．15．若数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +n +1(n ∈N ∗)，则通项公式为a n ＝ ．16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F （﹣c ，0），以F 为圆心、c 为半径作圆F ，若圆F 上存在点Q ，双曲线C 的右支上存在点P 使得∠FPQ ＝45°，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知(2x +a x)n 的展开式中，所有二项式系数的和为32． （1）求n 的值；（2）若展开式中1x 5的系数为﹣1，求a 的值．18．（12分）已知等差数列{a n }的公差为2，且a 1，a 2+1，a 5+1成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）已知圆C的圆心在y轴上，且经过A（0，7），B（3，6）两点，过点P（﹣3，1）的直线l与圆C相交于M，N两点．（1）求圆C的方程；（2）当|MN|＝8时，求直线l的方程．20．（12分）已知圆F：（x﹣1）2+y2＝1，动圆M与圆F内切，且与定直线x＝﹣2相切，设动圆圆心M的轨迹为E．（1）求E的方程；（2）过点P（2，0）的直线l与E交于A、B两点，若△ABO（O为坐标原点）的面积为4√3，求直线l的方程．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2a n﹣2．（1）求{a n}的通项公式；（2）删去数列{a n}的第3i项（其中i＝1，2，3，…），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{b n}，设{b n}的前n项和为T n，请写出{b n}的前6项，并求出T6和T2n．22．（12分）已知O为坐标原点，A1，A2的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），动点M满足直线MA1与MA2的斜率之积为定值−14，设动点M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设直线l与曲线C相交于E，F两点，直线OE，l，OF的斜率分别为k1，k，k2（其中k＞0），△OEF的面积为S，以OE，OF为直径的圆的面积分别为S1，S2.若k1，k，k2恰好构成等比数列，求S1+S2S的取值范围．2023-2024学年福建省漳州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知{a n}为等比数列，a2＝2，a4＝4，则a6＝（）A．6B．8C．10D．12解：{a n}为等比数列，a2＝2，a4＝4，∴q2=a4a2=42=2，则a6=a4q2=4×2＝8．故选：B．2．已知圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，则与圆C有相同的圆心，且经过点（﹣2，2）的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+2）2＝5B．（x﹣1）2+（y+2）2＝25C．（x+1）2+（y﹣2）2＝5D．（x+1）2+（y﹣2）2＝25解：根据题意设所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝r2（r＞0），代入点（﹣2，2），得r2＝25，所以所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝25．故选：B．3．某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（）A．12B．20C．24D．30解：这2个新节目插入节目单中，若2个新节目相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，选1个位置安排2个新节目，且2个新节目顺序可变，此时有C41A22=8种插法，若2个新节目不相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，选2个位置安排2个新节目，且2个新节目顺序可变，此时有A42=12种插法，所以共有8+12＝20种插法．故选：B．4．已知直线l过点P(2，√3)，且直线l的倾斜角为直线x−√3y+3=0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（）A．x+√3y−√3=0B．x−√3y−√3=0C．√3x+y−√3=0D．√3x−y−√3=0解：设直线x−√3y+3=0的倾斜角为α，α∈[0，π），因为该直线的斜率为√3=√33，所以tanα=√33，α=π6，所以2α=π3，tan2α=√3，所以直线l的斜率为√3，方程为y−√3=√3（x﹣2），即为√3x﹣y−√3=0．故选：D．5．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P为C虚轴的一个端点，∠F1PF2＝120°，则C的渐近线方程为（）A．y=±√22x B．y=±√62x C．y=±√2x D．y=±√3x解：由题意可知∠F1PF2＝120°，所以tan∠F1PO＝tan60°=√3=cb ，又因为c2＝a2+b2，所以3b2＝a2+b2，可得a2＝2b2，所以ba=√22，所以渐近线方程为y=±√22x．故选：A．6．已知两点A（﹣1，3），B（3，1），当C在坐标轴上，若∠ACB＝90°，则这样的点C的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：|AB|=√(3+1)2+(1−3)2=2√5，作ABC的外接圆，r=√5，当ABC为等腰直角三角形时候，CD为AB边上的高等于r=√5，而原点O到AB距离为√12+22=√5=r，而根据外接圆定义，点C必落在圆O上，根据图示，可以判断符合条件的C分别为E，F，O三点，即C点有三个．如图：故选：C．7．已知正项等比数列{a n}的前n项积为T n，且a1＞1，则下列结论正确的是（）A．若T6＝T8，则T14＞1B．若T6＝T8，则T n≤T7C．若T6＜T7，则T7＜T8D．若T6＜T7，则T7＞T8解：不妨设正项等比数列{a n}的公比为q，q＞0，所以a n=a1⋅q n−1n∈N*对于A，若T6＝T8，则a7a8＝1，由等比数列性质可得a1a14＝a2a13＝⋯＝a7a8＝1，所以可得T14＝a1a2⋯•a7a8•⋯×a13a14＝1，即A错误；对于B，若T6＝T8，可得a7a8=a1⋅q6⋅a1⋅q7=a12⋅q13=1，又a1＞1，所以0＜q＜1；所以a8＜a7，又a7a8＝1，可得a7＞1，a8＜1，因此可得a1＞1，a2＞1，…，a7＞1，a8＜1，即T n≤T7，所以B正确；对于C，D，若T6＜T7，可得a7=a1⋅q6＞1，又a1＞1，因此q的大小无法判断，所以C，D错误．故选：B．8．已知椭圆C：x 24+y23=1的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，则△ADE的周长是（）A．6B．4√3C．4√5D．8解：由x24+y23=1，得a2＝4，b2＝3，c2＝a2﹣b2＝4﹣3＝1，解得a＝2，b=√3，c＝1，因为椭圆C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，所以|AF1|＝|AF2|＝a＝2，|F1F2|＝2c＝2，所以|AF1|＝|AF2|＝|F1F2|，即△AF1F2为等边三角形，因为过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，由椭圆的定义可知，|DF2|+|DF1|＝2a＝2×2＝4，|EF2|+|EF1|＝2a＝2×2＝4，所以△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|＝|DF2|+|EF2|+|DF1|+|EF1|＝4a＝4×2＝8．故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l1：（a﹣2）x+y+a＝0，l2：ax+（a﹣2）y﹣1＝0，则（）A．l1过定点（﹣1，﹣2）B．当a＝2时，l1⊥l2C．当a＝0时，l1∥l2D．当a＝2时，l2的斜率不存在解：直线l1：（a﹣2）x+y+a＝0，即a（x+1）﹣2x+y＝0，令{x+1=0−2x+y=0，解得{x=−1y=−2，故l1过定点（﹣1，﹣2），故A正确；当a＝2时，直线l1：y＝﹣2，直线l2：x=12，故BD正确；当a＝0时，直线l1：y＝2x，直线l2：y=−12，二者不平行，故C错误．故选：ABD．10．2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去A，B展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）A ．若A 展馆需要3种花卉，有4种安排方法B ．共有14种安排方法C ．若“绿水晶”去A 展馆，有8种安排方法D ．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法解：对于选项A ，若A 展馆需要3种花卉，则有C 43=4种安排方法，即选项A 正确；对于选项B ，共有C 41+C 42+C 43=4+6+4=14种安排方法，即选项B 正确；对于选项C ，若“绿水晶”去A 展馆，则有C 30+C 31+C 32=1+3+3＝7种安排方法，即选项C 错误；对于选项D ，若2种三角梅不能去往同一个展馆，则有A 22×22=8种安排方法．即选项D 错误．故选：AB ．11．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（ ）A ．若|PF |＝4，则O 为线段PQ 中点B ．若|OP|=4√3，则|PF |＝6C ．存在直线l ，使得PF ⊥QFD ．△PFQ 面积的最小值为8解：已知抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝﹣2，焦点F （2，0），若|PF |＝4，则x P ＝2，此时y P ＝±4，直线l 的斜率为k ＝±2，所以点为Q （﹣2，±4），则O 为线段PQ 中点，选项A 正确；若|OP |=√x 2+y 2=√x 2+8x =4√3，则x 2+8x ﹣48＝0，解得x ＝4或x ＝﹣12（不合题意，舍去），所以点P 的横坐标为4，|PF |＝4+2＝6，选项B 正确； 不妨设P （a 28，a ），a ＞0，则Q （﹣2，−16a ）， 所以FP →=（a 28−2，a ），FQ →=（﹣4，−16a ）， 此时FP →•FQ →=−a 22+8﹣16=−a 22−8＜0， 所以FP 与FQ 不垂直，选项C 错误；因为△PFQ 的面积为S =12OF •|y P ﹣y Q |=12×2×|a +16a |≥2√a ⋅16a=8， 当且仅当a =16a，即a ＝4时等号成立，所以△PFQ 面积的最小值为8，选项D 正确． 故选：ABD ．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +1+a n ＝2n +1，a 2＜2，则下列结论正确的是（ ）A ．a 1可能为1B ．数列{a n ﹣n }是等比数列C ．S 10＝55D ．若S n ＝2024，n 的最大值为64解：对A 选项，∵a n +1+a n ＝2n +1，a 2＜2，∴a 2+a 1＝3，∴a 2＝3﹣a 1＜2，∴a 1＞1，∴A 选项错误； 对B 选项，∵a n +1+a n ＝2n +1，∴a n +1﹣（n +1）＝﹣（a n ﹣n ），又a 1﹣1＞0，∴数列{a n ﹣n }是以a 1﹣1为首项，﹣1为公比的等比数列，∴B 选项正确；对C 选项，由B 选项分析可知a n ﹣n =(a 1−1)⋅(−1)n−1，∴a n ＝n +(a 1−1)⋅(−1)n−1，∴S n ={n(n+1)2，n 为偶数n(n+1)2+(a 1−1)，n 为奇数， ∴S 10=10×112=55，∴C 选项正确； 对D 选项，由C 选项分析可知S 64=64×652=2080≠2024，∴D 选项错误． 故选：BC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．圆x 2+y 2＝4在点（1，√3）处的切线方程为 x +√3y ﹣4＝0 ．解：因为（1，√3）是圆x 2+y 2＝4上的点，所以它的切线方程为：x +√3y ＝4即：x +√3y ﹣4＝0故答案为：x +√3y ﹣4＝014．已知(2x −3)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 7x 7，则a 0+a 1+a 2+⋯+a 7＝ ﹣1 ．解：(2x −3)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 7x 7，令x ＝1，则a 0+a 1+a 2+⋯+a 7＝（2﹣3）7＝﹣1．15．若数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +n +1(n ∈N ∗)，则通项公式为a n ＝n(n+1)2． 解：因为a n+1=a n +n +1(n ∈N ∗)，所以当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+⋯+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1＝n +（n ﹣1）+⋯+3+2+1=n(n+1)2，当n ＝1时，a 1=1×22=1，满足a 1＝1，所以a n =n(n+1)2． 故答案为：n(n+1)2． 16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F （﹣c ，0），以F 为圆心、c 为半径作圆F ，若圆F 上存在点Q ，双曲线C 的右支上存在点P 使得∠FPQ ＝45°，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为 [√2+1，+∞） ．解：由对称性可知当P 为双曲线右顶点，PQ 与圆F 相切时，∠FPQ 取得最大值，所以∠FPQ ≥45°， 如图所示：在Rt △FPQ 中，sin ∠FPQ =|FQ||FP|=c c+a ≥√22，所以2c ≥√2c +√2a ，（2−√2）c ≥√2a ，所以e =c a ≥√22−√2=√2+1，即双曲线C 的离心率e 的取值范围为[√2+1，+∞）．故答案为：[√2+1，+∞）．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知(2x +ax )n 的展开式中，所有二项式系数的和为32．（1）求n 的值；（2）若展开式中1x 5的系数为﹣1，求a 的值．解：（1）∵所有二项式系数的和为32，∴2n ＝32，∴n ＝5；（2）二项式(2x+ax)5展开式的通项公式为T r+1=C5r(2x)5−r(a x)r=C5r25−r a r x5−2r，∴．展开式中1x5的系数为C5520a5，∴a5＝﹣1，解得a＝﹣1．18．（12分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a2+1，a5+1成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n．解：（1）∵a1，a2+1，a5+1 成等比数列，且公差d＝2，∴(a2+1)2=a1⋅(a5+1)，∴(a1+3)2=a1⋅(a1+9)，解得a1＝3，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1．（2）b n=1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12（12n+1−12n+3），∴S n=12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n6n+9．19．（12分）已知圆C的圆心在y轴上，且经过A（0，7），B（3，6）两点，过点P（﹣3，1）的直线l与圆C相交于M，N两点．（1）求圆C的方程；（2）当|MN|＝8时，求直线l的方程．解：（1）∵圆C的圆心在y轴上，∴设圆C的方程为x2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），∵圆C经过A（0，7），B（3，6）两点，∴{02+(7−b)2=r232+(6−b)2=r2，解得{b=2r=5，∴圆C的方程为x2+（y﹣2）2＝25．（2）记圆心C到直线l的距离为d，∵|MN|=2√r2−d2=8，解得d＝3，当直线的斜率不存在时，l：x＝﹣3，此时圆心到直线的距离d＝3，符合；当直线的斜率存在时，l：y﹣1＝k（x+3），即kx﹣y+3k+1＝0，由d=√k+1=3，解得k=−43，∴直线l：−43x−y−4+1=0，即4x+3y+9＝0．综上，直线l为x＝﹣3或4x+3y+9＝0．20．（12分）已知圆F：（x﹣1）2+y2＝1，动圆M与圆F内切，且与定直线x＝﹣2相切，设动圆圆心M的轨迹为E．（1）求E的方程；（2）过点P（2，0）的直线l与E交于A、B两点，若△ABO（O为坐标原点）的面积为4√3，求直线l的方程．解：（1）方法一：设圆心M到直线x＝﹣2的距离为d，则由题意得|MF|+1＝d，即|MF|＝d﹣1，从而动点M到定点F的距离与到定直线x＝﹣1的距离相等，故点M的轨迹E为抛物线，设E的方程为y2＝2px，p＞0，由题意p＝2，∴E的方程为y2＝4x；方法二：设动点M（x，y），由题意得√(x−1)2+y2+1=x+2，整理得y2＝4x，∴E的方程为y2＝4x；（2）易知直线l斜率不为0，故可设方程为x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立{y2=4xx=my+2，消去x整理得：y2﹣4my﹣8＝0，Δ＝16m2+32＞0，y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣8，则S△ABO=S△APO+S△BPO=12⋅|OP|⋅|y1|+12⋅|OP|⋅|y2|=|y1|+|y2|，由题意A，B两点位于x轴异侧，所以y1，y2符号相反，所以S△ABO=|y1−y2|=√(y1+y2)2−4y1y2=4√m2+2=4√3，解得m＝±1，所以直线l的方程为x±y﹣2＝0．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2a n﹣2．（1）求{a n}的通项公式；（2）删去数列{a n}的第3i项（其中i＝1，2，3，…），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{b n}，设{b n}的前n项和为T n，请写出{b n}的前6项，并求出T6和T2n．解：（1）当n＝1时，有a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2；当n≥2时，有S n﹣1＝2a n﹣1﹣2，联立条件，得S n﹣S n﹣1＝（2a n﹣2）﹣（2a n﹣1﹣2），即a n＝2a n﹣2a n﹣1，即a n＝2a n﹣1，所以{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，因此a n =2n ；（2）删去数列{a n } 的第3i 项（其中 i ＝1，2，3，…），将剩余的项按从小到大排列依次为： a 1，a 2，a 4，a 5，a 7，a 8，…，数列 b n } 前6项为2，22，24，25．27，28，T 6＝2+4+16+32+128+256＝438．注意到a 1，a 4，a 7，…构成以a 1为首项，以8为公比的等比数列，a 2．a 5，a 8，…构成以a 2为首项，以8为公比的等比数列．T 2n ＝（a 1+a 4+a 7+⋯+a 3n ﹣2）+（a 2+a 5+a 8+⋯+a 3n ﹣1）=2(1−8n )1−8+4(1−8n)1−8 =67(8n −1)． 22．（12分）已知O 为坐标原点，A 1，A 2的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），动点M 满足直线MA 1与MA 2的斜率之积为定值−14，设动点M 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于E ，F 两点，直线OE ，l ，OF 的斜率分别为k 1，k ，k 2（其中k ＞0），△OEF 的面积为S ，以OE ，OF 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2.若k 1，k ，k 2恰好构成等比数列，求S 1+S 2S的取值范围．解：（1）设M 的坐标为（x ，y ），依题意，得y x+2⋅y x−2=−14，整理得x 24+y 2=1(x ≠±2)． （2）设直线EF 的方程为 y ＝kx +m （m ≠0，且m ≠±1），联立{y =kx +m x 24+y 2=1，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0， Δ＝64k 2m 2﹣4（4m 2﹣4）（1+4k 2）＝16（1+4k 2﹣m 2）＞0，即1+4k 2＞m 2，设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8km 1+4k 2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2， 因为k 1，k ，k 2成等比，所以y 1y 2x 1x 2=k 2，即(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2， 即km(x 1+x 2)+m 2=0，所以−8k 2m 21+4k 2+m 2=0， 因为m ≠0且m ≠±1及k ＞0，上式可解得k =12， 所以x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2=2m 2−2，Δ＝16（2﹣m 2），m 2＜2，且m ≠±1，S 1+S 2=π4(|OE|2+|OF|2) =π4(x 12+y 12+x 22+y 22) =π4[2+34(x 12+x 22)]] =π4[2+34(x 1+x 2)2−32x 1x 2] =π4(2+3m 2−3m 2+3) =5π4，|EF|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2⋅4√2−m21+4k2=2√1+k2⋅√2−m2，O到EF的距离d=|m|√1+k，S=|m|√2−m2=√(2−m2)m2=√−(m2−1)2+1，因为0＜m2＜2 且m≠±1，所以S∈（0，1），S1+S2S ∈(5π4，+∞)．。
2023-2024学年甘肃省高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年甘肃省高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线23x−2y−1=0的倾斜角是( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π62.等差数列{a n}的前n项和为S n，a4+a5=10，则S8=( )A. 10B. 20C. 30D. 403.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，O为原点，点M在抛物线C上，且|MF|=5，则△OMF的周长为( )A. 6+42B. 7+42C. 10D. 114.有5名学生志愿者到2个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为( )A. 10种B. 20种C. 30种D. 40种5.《周髀算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则大雪的日影子长为( )A. 1尺B. 1.5尺C. 11.5尺D. 12.5尺6.若直线(3a+2)x+ay+6=0和直线ax−y+3=0平行，则( )A. a=0或a=−13B. a=−1或a=−2C. a=−1D. a=−27.已知圆C：(x+1)2+y2=2，点P在直线l：x−y−3=0上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是( )A. |PA|的最小值为2B. |PA|最小时，弦AB长为6C. |PA|最小时，弦AB所在直线的斜率为−1D. 四边形PACB的面积最小值为38.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点M，使得∠MF2F1=3∠MF1F2≠0，则双曲线C渐近线斜率的取值范围为( )A. (2,2)B. (1,3)C. (1,3]D. (−3,−1)∪(1,3)二、多选题：本题共4小题，共20分。
2023-2024学年广东省惠州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1．已知抛物线C 的方程为y ＝4x 2，则其准线方程为（ ） A ．y =−116B ．y =116C ．y ＝﹣1D ．y ＝12．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63．已知正项等比数列{a n }满足a 3为2a 2与a 6的等比中项，则a 3+a 5a 1+a 3=（ ） A ．√22B ．12C ．√2D ．24．已知平面α={P|n →⋅P 0P →=0}，其中P 0（1，1，1），法向量n →=(−1，1，2)，则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（2，0，1）B ．（2，0，2）C ．（﹣1，1，0）D ．（0，2，0）5．设A ，B 为两个互斥的事件，且P （A ）＞0，P （B ）＞0，则下列各式错误的是（ ） A ．P （AB ）＝0 B ．P(AB)=[1−P(A)]P(B) C ．p(A ∪B)=1D ．P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）6．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝2，a n +2＝a n +1﹣a n ，则a 2024＝（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．2D ．17．如图，四面体O ﹣ABC ，G 是底面△ABC 的重心，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OG →=（ ）A ．13a →+23b →+23c →B ．13a →+13b →+13c →C ．23a →+23b →+23c →D ．23a →+23b →+13c →8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A 、B 两点，且OB →⋅BF →=0，AB →=2BF →，则该双曲线的离心率为（ ）A．√2B．√3C．2D．√5二、选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分。