(定价策略)第五章期权定价与动态无套利均衡分析
第五章期权定价与动态无套利均衡分析
第五章期权定价与无套利均衡分析从这一章开始，我们进入了新的学习阶段。
不论在定价理论和方法上都提出更为复杂同时更加困难的许多问题，需要我们去思考、去解决。
期权作为一种衍生产品，其定价特点：1，是动态的，2，是多阶段的；3，是以标的物的价格变动作为自身价格定价的依据。
这种用有关另一种价格的动态来刻划自身价格的变化，是过去从未遇到的问题。
再就期权定价的应用来看，期权定价不但作为证券衍生产品的定价工具，而且对未来不确定现象、持有或有要求权的证券以及其他实物，如可转换（或可赎回）债券的定价、矿山开采权定价、市场开发项目定价等等，都可以应用这种方法。
我国目前虽然尚未建立期权证券市场，但如中国银行推出外汇理财“两得宝”、“期权宝”以及光大银行、建设银行先后推出外币理财项目，也都是利用期权的原理来实行基金运作的。
我们还可以应用复制技术来构造适当的投资组合以达到满足期权的预期目的。
所以期权定价及其应用是当前大家关注的课题。
一，有关期权的若干概念1．期权的意义：期权交易（options）又称选择权交易，它是通过合约的形式由签约的一方给予另一方在未来一定时间内或某个约定的日期，按约定的价格买进或卖出某种商品的权利。
签订合约的买方可以行使这种权利，也可以放弃这种权利，以达到获利、分散风险和减少损失的目的。
（1）权利交易：a，既是权利交易，所以即可以购买买入权利（calls）也可以购买卖出权利（puts）。
b，到期买方可以执行权利，卖方不得阻碍；买方也可以放弃权利，卖方不能强求。
（2）期权交易的方式：由于买方可以购买或卖出，对方相应就有出卖或购买。
共有四种基本交易方式：①买进买入期权②卖出买入期权②买进卖出期权④卖出卖出期权（购买者称holder，出售者称writer，买入call，卖出put）2．交易时间：要区别以下几个时间概念（1）到约日期：通常签约后三个月、六个月、九个月，到期日规定为到期月份的第三个星期六。
（2）履约时间：欧洲期权规定到期之日才能履行规定的权利，美式期权规定到期之前任何时间都可以履行权利，美式期权给予更大的选择自由，但可以把美式期权看成是欧洲期权的无限组合，所以通常研究欧式期权。
无套利定价原理
担保品管理
无套利定价原理可以用于担保品 的管理，以确定合适的担保品组 合，确保在抵押品价值波动时不
会出现套利机会。
资产配置中的无套利定价应用
资产配置策略
无套利定价原理可以用于制定资产配置策略，如多元化投 资、动态资产配置等，以实现投资组合的风险和收益目标 。
资产定价模型
无套利定价原理可以帮助投资者在选择资产定价模型时， 选择合适的模型来预测资产的未来价格，提高投资组合的 效率。
感谢您的观看
THANKS
系，确定合理的外汇汇率。
04
无套利定价的应用领域
金融市场中的无套利定价应用
金融衍生品定价
无套利定价原理可以用于金融衍生品的定价，如期权、期货等，以反映市场上的风险和收 益。
投资组合构建
无套利定价原理可以帮助投资者在构建投资组合时，确保不存在套利机会，提高投资组合 的风险调整后收益。
资本资产定价模型（CAPM）
期权费
期权购买者为了获得这种权利而支付的费用。
3
期权无套利定价技术
根据无套利定价原理，通过比较不同执行价格、 不同到期日的期权费之间的关系，确定合理的期 权价格。
外汇无套利定价技术
外汇
01
是指不同货币之间的兑换关系。
外汇汇率
02
是指一国货币相对于另一国货币的价格。
外汇无套利定价技术
03
根据无套利定价原理，通过比较不同货币之间的汇率之间的关
流动性不足时的无套利定价
要点一
总结词
流动性不足是无套利定价的另一个挑战。
要点二
详细描述
流动性不足指的是市场上的交易量小或交易成本高， 导致难以在需要时以合理的价格买入或卖出资产。这 可能使得某些投资者或交易者无法在需要时以合理的 价格退出市场，从而产生套利机会。为了解决这个问 题，需要加强对市场的监管和引导，提高市场的流动 性和稳定性，同时为投资者提供更多的交易品种和交 易方式选择。
B-S定价模型
第六章 Black-Scholes 期权定价模型我们在第五章用二叉树定价方法介绍了动态无套利均衡分析方法并引入了风险中性假设。
本章将通过介绍Black-Scholes 期权定价模型来深化这些概念。
在该模型中我们假设标的资产遵循几何布朗随机过程（这是一个特殊的马尔可夫过程）。
因此在讨论之前，我们必须作一些有关概念和数学知识的准备。
一、预备知识（一）正态和对数正态分布1、均值为μ，方差为σ2的正态分布随机变量x 的密度函数为：)2)(exp(21)(22σμσπ--=x x f ⑴如果正态变量的均值为0，方差为1，则称为标准正态随机变量，它的密度于分布函数分别为n(x )和N (x )表示，这里2221)(xex n -=πdt ex N xt⎰∞--=2221)(π2、如果x 是均值为x μ，方差为2x σ的正态分布变量，那么称x e Z =是对数正态分布的，其中)2exp(2xx Z σμμ+=且]1))[exp(2exp(222-+=x x x Z σσμσ。
证明：由于x ～),(2xx N σμ，则x 的密度函数为)2)(exp(21)(22xx xx x f σμσπ--=又因为x e Z =，则Z 的密度函数为)2)(ln exp(21])([ ))(()(2211xx x Z ZZ g Z g f Z g σμσπ--='=--。
Z 的截断均值，定义为):(a Z Z E >，其值为：)ln ()2exp()(1)2exp( )22)]([exp(21)2)(exp(2 )( )():(2ln 222ln 24222ln 22x xx xx axxx xxx ax xxx x x x a xx xxxaa N dx x n dx x dx x ee Z dZ Z Zg a Z Z E σσμσμσσμσσμσσσμσμσπσμσπ+-+=--+=--+--=--===>⎰⎰⎰⎰∞+∞+∞++∞当0→a 时，截断均值成为普通的均值，则对数正态变量Z 的均值即为：)2exp(2xx Z σμμ+= （2）其中)()(x N x n 和分别表示为标准正态分布的密度和分布函数。
期权的定价及策略
期权的定价及策略期权是一种金融工具，给予持有者在未来一段时间内以事先协定的价格买入或卖出标的资产的权利，而非义务。
期权的定价和策略是投资者在使用期权时需要考虑的重要因素。
下面将详细探讨期权的定价和策略。
一、期权的定价1.标的资产的价格：标的资产的价格是期权定价的主要因素之一、购买期权的投资者希望未来标的资产价格上涨，而卖出期权的投资者则希望标的资产价格下跌。
2.行权价格：期权价格中的行权价格也是影响期权定价的重要因素之一、购买看涨期权的投资者希望标的资产价格上涨超过行权价格，而购买看跌期权的投资者希望标的资产价格下跌低于行权价格。
3.波动率：波动率是期权定价中的重要因素之一、较高的波动率意味着标的资产价格可能会有更大的波动，从而增加了购买期权的投资者获利的机会，因此较高的波动率会导致期权价格上涨。
4.无风险利率：无风险利率也是影响期权定价的重要因素之一、越高的无风险利率意味着购买期权的成本更高，因此会导致期权价格的上涨。
5.行权时间：期权价格还受到行权时间的影响。
行权期限越长，购买期权的成本也越高，因此期权价格会随着行权时间的延长而上涨。
二、期权的策略根据期权在买入或卖出时的不同操作方式，期权的策略可以分为多种类型，常见的期权策略包括：1.买入看涨期权：当投资者预期标的资产价格将上涨时，可以购买看涨期权。
这种策略可以使投资者在未来以较低的价格买入标的资产，并在标的资产价格上涨时获得差价收益。
2.买入看跌期权：当投资者预期标的资产价格将下跌时，可以购买看跌期权。
这种策略可以使投资者在未来以较低的价格卖出标的资产，并在标的资产价格下跌时获得差价收益。
3.卖出看涨期权：当投资者预期标的资产价格将保持稳定或下跌时，可以卖出看涨期权。
这种策略可以使投资者通过卖出期权的权利金获得收益，同时如果标的资产价格保持不变或下跌，投资者还可以保留权利金作为收益。
4.卖出看跌期权：当投资者预期标的资产价格将保持稳定或上涨时，可以卖出看跌期权。
6.期权定价与动态套利均衡分析___清华大学绝版金融工程课件
Immediate Cash Flow
Short a stock
Long an European call Long riskless security Net cash flows Arbitrage Opportunity
S t
ct
maxS T X ,0
Ct max S t Xe
rf T t
,0 maxS t X ,0
Proposition
An American call on a non-dividend-paying stock should never be exercised prior to the expiration date.
Position Short a share Long an Amer. call Cash flow at Cash flow at time t when put exercised
time t
S t X
S t
St
Short an Amer. put
Long treasury Net cash flow
S t X Ct Pt S t Xe
• Underlying is dividend-paying stock
Present value of a long stock forward position
rf T t
C t ct S t PV D Xe P t pt Xe
Question:
If there are n ex-dividend dates anticipated, what’s the optimal strategy to early exercise an American call?
第六章 期权定价与动态无套利
美式买权和买权之间的关系
这意味着在时刻τ组合B的价值为X.然而, 就算看涨期权的价值为0,组合A在时刻的 价值应该是:Xer(τ-t).即在任何情况下, 组合A的价值都高于组合B的价值.因此: A B c+X>P+S. 由于c=C, C+X>P+S 或 C-P>S-X 我们得 到 S-X<C-P<S-Xe-r(T-t)
例题
考虑不付红利的美式买权,执行价格为20元, 到期期限为5个月,期权价格为1.5元.则同 一股票相同执行价格和到期期限的欧式买权的 价格也是如此.假定股票的现价位20元,到 期期限为5个月的欧式卖权的价格为: 1.50+20e-0.1*0.4167-19=1.68 根据上面的 不等式,有:19-20<C-P<19-20e0.1*0.4167 或 1>P-C>0.18
期权的有关术语
空头,多头,标的物,到期日,期权费, 执行价格(敲定价格)
期权的损益
到期日欧式期权损益状态
期权种类 欧式看涨期权多头 欧式看涨期权空头 欧式看跌期权多头 欧式看跌期权空头 到期损益
max (S T X ,0 ) min ( X S T ,0 ) max ( X S T ,0 ) min (S T X ,0 )
证明
交易 卖空一股股票 购买一份欧式买权 购买无风险证券 净现金流
即时现金流 S -c
X υ
(T
t
到期时现金流(时刻T) -S(T)
max {S (T ) X ,0}
)
X
max{S (T ) X ,0} [S (T ) X ]
S (t ) X υ (T t ) c (t )
证明
无套利均衡定价法名词解释
无套利均衡定价法1. 概述无套利均衡定价法（Arbitrage-free pricing）是金融学领域中一种重要的定价方法，用于确定金融资产的合理价格。
该方法的核心思想是通过排除套利机会来确定资产价格，以保证市场的有效性和公平性。
在金融市场中，套利是指通过买入低价资产并卖出高价资产来获取风险无关的利润。
无套利原理认为，在一个没有交易成本和信息不对称的完美市场中，不存在可以同时获得正收益且没有风险的投资机会。
因此，通过应用无套利原理，可以确定金融资产的公平价格。
2. 基本原理2.1 无套利条件在进行无套利定价时，需要满足以下几个基本条件：•市场完全竞争：市场上有足够多的买家和卖家，并且不存在垄断力量。
•无交易成本：买卖双方可以自由地进行交易，并且交易过程中不会产生额外费用。
•没有限制：没有任何法律或制度上的限制限制交易活动。
•无信息不对称：市场上的所有参与者都拥有相同的信息，并且可以自由获取和利用这些信息。
2.2 无套利定价方法无套利定价方法可以分为两类：静态定价方法和动态定价方法。
2.2.1 静态定价方法静态定价方法是指在某一时刻，通过考虑市场上所有相关资产的价格和现金流量，来确定特定资产的价格。
常用的静态定价方法包括：•均值方差法（Mean-Variance approach）：基于投资者对风险和回报之间的权衡关系，通过计算资产组合的期望收益率和方差来确定资产价格。
•CAPM模型（Capital Asset Pricing Model）：基于风险与回报之间存在正相关关系的假设，使用市场风险溢酬率来确定资产价格。
•市场多空组合法（Market-neutral portfolio approach）：通过构建多空组合，使得该组合在市场波动下保持稳定收益，并通过收益率计算出资产价格。
2.2.2 动态定价方法动态定价方法是指通过考虑未来市场条件和预期变化，来确定特定资产的价格。
常用的动态定价方法包括：•期权估值模型（Option pricing model）：通过考虑未来的风险和回报，来确定期权的价格。
无套利定价原理
风险管理
在风险管理领域，无套利定价原 理可用于确定风险贴现率和风险 调整后的价值，帮助投资者合理
评估和管理风险。
02
无套利定价的基本原理
风险中性定价
总结词
风险中性定价是一种将投资组合的风险调整到最低水平，同时实现预期收益最大化的方 法。
详细描述
风险中性定价基于风险中性的假设，即投资者对风险的态度是中性的，他们不要求风险 补偿。在这种假设下，任何投资组合的预期收益都可以通过无风险利率加上风险溢价来 计算。通过调整投资组合中不同资产的权重，可以降低投资组合的风险并最大化预期收
06
无套利定价的案例分析
期货市场的无套利定价
总结词
通过分析期货市场的价格机制，探讨无套利定价在期货市场 中的应用。
详细描述
期货市场的无套利定价是指利用市场上的期货合约，通过复 制现货头寸的方式，实现与现货价格相等的期货价格。在期 货市场中，无套利定价的应用有助于确保市场的公平性和有 效性，避免过度投机和价格操纵。
APT是一种基于无套利定价原理的多因子资产定价模型，它认为资产的
预期回报率可以由一组经济因子来解释，并能够消除套利机会。
05
无套利定价的挑战与未来发展
市场不完全性
1 2
金融市场并非完全竞争
由于市场参与者数量有限、信息不对称等因素， 金融市场往往并非完全竞争状态，这给无套利定 价带来了挑战。
交易成本和滑点
未来现金流的折现值等于当前资产价格。
影子定价
要点一
总结词
影子定价是一种估算金融资产内在价值的方法，通过比较 金融资产的影子价格和市场价格来确定是否存在套利机会 。
要点二
详细描述
影子定价是一种基于无套利定价原理的估值方法，通过比 较金融资产的影子价格和市场价格来确定是否存在套利机 会。影子价格是指金融资产在无套利条件下的合理价格， 可以通过估算资产的未来现金流并折现到当前来确定。如 果市场价格高于影子价格，则存在套利机会；如果市场价 格低于影子价格，则存在套利风险。
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第五章期权定价与无套利均衡分析从这一章开始，我们进入了新的学习阶段。
不论在定价理论和方法上都提出更为复杂同时更加困难的许多问题，需要我们去思考、去解决。
期权作为一种衍生产品，其定价特点：1，是动态的，2，是多阶段的；3，是以标的物的价格变动作为自身价格定价的依据。
这种用有关另一种价格的动态来刻划自身价格的变化，是过去从未遇到的问题。
再就期权定价的应用来看，期权定价不但作为证券衍生产品的定价工具，而且对未来不确定现象、持有或有要求权的证券以及其他实物，如可转换（或可赎回）债券的定价、矿山开采权定价、市场开发项目定价等等，都可以应用这种方法。
我国目前虽然尚未建立期权证券市场，但如中国银行推出外汇理财“两得宝”、“期权宝”以及光大银行、建设银行先后推出外币理财项目，也都是利用期权的原理来实行基金运作的。
我们还可以应用复制技术来构造适当的投资组合以达到满足期权的预期目的。
所以期权定价及其应用是当前大家关注的课题。
一，有关期权的若干概念1．期权的意义：期权交易（options）又称选择权交易，它是通过合约的形式由签约的一方给予另一方在未来一定时间内或某个约定的日期，按约定的价格买进或卖出某种商品的权利。
签订合约的买方可以行使这种权利，也可以放弃这种权利，以达到获利、分散风险和减少损失的目的。
（1）权利交易：a，既是权利交易，所以即可以购买买入权利（calls）也可以购买卖出权利（puts）。
b，到期买方可以执行权利，卖方不得阻碍；买方也可以放弃权利，卖方不能强求。
（2）期权交易的方式：由于买方可以购买或卖出，对方相应就有出卖或购买。
共有四种基本交易方式：①买进买入期权②卖出买入期权②买进卖出期权④卖出卖出期权（购买者称holder，出售者称writer，买入call，卖出put）2．交易时间：要区别以下几个时间概念（1）到约日期：通常签约后三个月、六个月、九个月，到期日规定为到期月份的第三个星期六。
（2）履约时间：欧洲期权规定到期之日才能履行规定的权利，美式期权规定到期之前任何时间都可以履行权利，美式期权给予更大的选择自由，但可以把美式期权看成是欧洲期权的无限组合，所以通常研究欧式期权。
3．交易价格，需要明确以下不同价格：（1）股票市场价格，用符号S表示。
指股票（标的物）市价，即交易所挂牌的上市股票价格。
（2）施权价格（strike price）亦称股票执行价格、履约价格，用符号X表示。
指期权签约中所议定的股票价格，施权价也是交易所挂牌的，但未必等于市价。
一般市价高施权价格也较高，市价低，施权价也较低。
股票施权价通常按2.5，5，10美元价位递增。
同种股票规定一系列施权价，有的低于市价有的高于市价，以满足对股票价格走向持不同预期的投资者的需要。
例如1990，6，14Honwell公司挂牌股票市价为收盘价98美元，而施权价则为85，90，95，100，105美元等等。
（3）期权价格：指购买期权权利（包括购买 calls的费用C或购买puts的费用P）而非股票本身的市价或施权价。
期权价格称（option premium）例如：买主向卖主按每股120美元（施权价）买入100股股票的权利，买主应向卖主付出每股8.5美元的权利金（期权价格C）。
100股付出权利金总额850美元。
同一种股票，施权价愈高则期权价（费用）就愈小。
同一种价位股票签约期愈长，期权费也愈小。
（4）期权价值期权价格(C或P)与期权价值(V或p V)是两个不同的概念，c但也有联系。
①不同：期权价格指签订合约中的权利金，它是签订时就决定的，而期权价值V 则只是在合约到期才能做出判断。
0 当X S m ≤ 买入期权价值：c V =X S m - 当XS m φ或},0m ax {X S V m C -=式中m S ：股票市场价格 X ：股票施权价格（执行价格）例如，甲买入期权的股票施权价格为100元，到期市场价为110元，则买入持有者可执行期权，以100元买入股票再在市场上以110元卖掉可赚10元。
如果市场股票为90元，则买入持有者不执行期权，买入期权价值为0，但不会是负数（不考虑期权金问题）。
如下图一： 0 当XS m ≥卖出期权价值：p V = m S X- 当XS m π或},0m ax {m p S X V -= 如图二：X S m - m S X-X ο45 m S X m S 图一 图二②联系。
期权的价格受预期的期权价值影响。
预期的价值高则当前的期权价格也高，预期价值低则当前的期权价格也低。
然而期权价格与预期价值有关，实际上就是与预期的股票的价格及风险程度有关。
1)预期的股票价格有关：到期的股票价格变动，则它与施权价格的差距也发生变动，即期权价值也发生变动。
2）与股票的风险程度有关：例如甲、乙两只股票的风险不同即价格变动的范围不同。
施权价格均为100元/股。
甲股票的市场价格可能在90——130元之间，概率为0.5 乙股票的市场价格可能在80——140元之间，概率为0.5 则甲期权价值在0——30元间元＝甲155.0305.00)(=⨯+⨯V E乙期权价值在0——40元之间元＝乙205.0405.00)(=⨯+⨯V E二． 买入期权C 与卖出期权P 的平价关系C 、P 、m S 三者之间存在着价格依存关系。
这个关系就是买入—卖出期权平价（call-put parity ）投资者可以凭借其中两个，构造出另一个金融产品。
即从现实价格的不平衡找到套利机会。
现投资者构造以下投资组合：即应用复制技术使现在现金流不等于0，而到期现金流（不论何种情况）等于0。
1， 以C 出售一单位买入期权 2， 以P 购入一单位卖出期权 3， 以0S 价格购入期权标的股票4， 以利率r 借入一笔借期为t 的现金，金额为t r X -+)1(则投资者现在和到期日（施权日）的现金流量如下表：由上表可知，不管施权日股价如何变化，该投资组合的价值均为0，由于上述投资是无风险投资组合，期末价值为0。
它的期初价值也必然为0，即0)1(=++---t r X S P C或tr X S C P -++-=)1(t r X S P C -+-+=)1(上式即为买入卖出期权平价公式。
如果市场出现不符平价公式，则就存在套利组合。
例如市场出现下列情况：有效期为3月，施权价为40的买入期权价C=3，同样的卖出期权价为P=2，股票市价为40，利率为5%，根据买入卖出期权平价，C P 应该为：tm r X S C P -++-=)1(251.2)05.01(4040341φ=++-=-所以C 、P 不符合买入卖出期权平价，如果投资者构造如下投资组合：出售一单位买入期权：＋3 购买一单位卖出期权：－2 买入一单位股票 －40 按5%利率借入现金 ＋39.52当前现金流入 0.52根据上表分析期末的价值等于0，即在施权日不管股价如何变化，投资者都不必付出任何财富，而现在投资者现金收入为0.52，而投资者现在就可以得到0.52的无风险收益。
如果市场不允许这样的无风险套利机会，则买入、卖出的期权价格必须符合平价关系。
三． 期权价格的上下限构造投资组合A 与投资组合B ，如下表：当到期日股票市场价格XS m φ时，A 组合与B 组合的收益都是m S当到期日股票市场价格X S m ≤时，A 组合的收益大于B 组合。
由于投资者的投资机会是相等的，收益高的投资组合投资也应较大，0/(1)C X i S ++≥即0/(1)C S X i ≥-+而00max{0,/1}C S X i >≥-+则有C另一方面：0C S ≤所以有00max{0,/1}S X i C S -+≤p即00max{0,/1}S X i C S -+≤≤ （欧式买权）t E t t T r t S C Xe D PV S ≤≤----})(,0m ax {)( （美式买权）四．期权的二项式定价先导出一阶段的二项模型，原股价0S 到期日股票只有两种情况，以%x 上升或以%y 下降，设%1%,1y d x u +=+=则有 0uS0S则期权价值c V 也是两种情况0dS 0max{0,}u C uS X =-C0max{0,}d C dS X =-现在构造投资组合：出卖一项买入期权，并买入a 股原股票，目的是使股票价格不管上升或下降都能产生恒定的现金流，而构造一个保值的投资组合。
如下表：根据要求，股票价格变化不影响保值组合投资的现金流，即00u dauS C adS C -=-即0()u dC C a S u d -=- （1）所花的投资为0aS C -而创造的收入流为0u auS C -（或0d adS C -）是恒定的，即无风险的。
设无风险利率为i ，令i r +=1，那么有：00()d aS C r adS C -=-或00d arS C adS C r+-=（2）把（1）代入（2）式得：00001[]()()u du d d C C C C C rS C dS r S u d S u d --=+--- ()()()1u d d u d C C r C u d d C C r u d -+---=-1[]u d r d u rC C r u d u d--=+--记d u d r P --=则P du ru -=--1 ∴ 得一阶段二项式定价模型1[(1)]u d C C P C P r=+-。