第6章 质心力学定理
第一章质心
=_______ 。
y
A
xB y A l
rC xB i y A j
l/2
l
dy
A
dt
v
y A t y
y A y vt
rC
l y vt i y vt j
L
L
m
3
dx
x
练习： 一直杆，质量为m，长为L,线密度为λ∝ 2 。求其质量中心。
dm dx cx dx
2
m
1 3
dm cx dx cL
0
3
3m
dm dx 3 xdx
L
L
xc
2
xdm
m
L
0
0
3m 3
x dx
3
L
m
x
3
L
4
dx
x
练习： 一直杆，质量为m，长为L,线密度为λ∝x2。求其质量中心。
l/2
l
dy
A
dt
v
y A t y
y A y vt
rC
l y vt i y vt j
yA
xC
v
O
C
B
yC
x
xB
y vt
d rC
v
aC
物理-质心与质心运动定理
x
——动量中心系
在质质心心参位考矢系中r：C x 质心速度 υC
0drC
dt
0
质点系m的i总i 动m量C 0
质心系是零动量系
质心的运动轨迹？
——抛物线.
0 O x1
m xC x2 C
mx
二、 质心运动定理
锥体为什么会上滚？
锥体上滚是由其质（重）心下降所引起的。
令人称奇的“水往高处流”。
上坡省力，下坡费劲的“怪坡 ”
三、 质心参考系
【质心参考系】：以质心为坐标原点的参考系。
y
r2
O
y
mi
m2 ri
ri
C
rC m1 r1
m1
l
C
m2
x
O
xC
m2 m1 m2
l
m1
l
C
m2
m1l1 m2l2
l1
l2
（与坐标系无关）
质心坐标与所选坐标系有关，
但质心相对物体各部分位置是确定的.
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
y
Rdθ
dθ
R
θ
O R cos θ
y R sin θ
x
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
C 恒矢量
当质点系所受合外力为零时，其质心保持原来的 静止或匀速直线运动状态不变。 ——质心的“惯性运动”
质心的“惯性运动”与质点系动量守恒等价！
随堂练习
例：设有一枚炮弹发射的初速率为 0，发射角为 ，它飞 行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片，其中一个竖直 下落，另一个水平抛出，求这两部分的着地点（忽略空气 阻力）。
(1) 直角坐标系中的质心坐标
理论力学简明教程第六章答案
第六章 分析力学滔滔长江东逝水，浪花淘尽英雄。
达朗贝尔，拉格朗日，哈密顿等许多前贤相聚于此“力学论剑”，其“冲击波”使非线性问题也不攻自破。
长江后浪推前浪，你或许在此能够加倍“忘乎因此‘。
微分方程将叱咤风云。
[要点分析与总结]1虚功原理：（平稳时）理想条件下，力学系的平稳条件是各质 点上的主动力所作的虚功之和为零：10ni i i W F r δδ==•=∑用广义坐标来表述：310n ii i x W F q q ααδδ=∂==∂∑ 2达朗贝尔原理（动力学下的虚功原理）： 1()0ni i i i i W F m r r δδ==-•=∑〈析〉r δ，W δ均是在时刻未转变（0dt =）时所假想的量，而广义坐标a q 能够是角度，长度或其它的独立的坐标变量。
3拉格朗日方程()d T TQ dt q q ααα∂∂-=∂∂ (1,2,3,,)a s =在保守力下，取拉氏数 L T V =-方程为：()0d L L dt q q αα∂∂-=∂∂ 假设拉氏数中L 不显含广义坐标q β，那么：0Lq β∂=∂ 即 循环积分： Lp const q ββ∂==∂ 4微振动非线性系统在小角度近似下，对拉氏方程的应用 5哈密顿函数与正那么方程 （1） 哈密顿函数1(,,)sH p q t L p q ααα==-+∑式中T Lp q q ααα∂∂==∂∂为广义坐标动量 （2） 正那么方程Hq P Hp q H Lt tαααα∂=∂∂=-∂∂∂=-∂∂ (1,2,3,,)a s =假设哈氏函数H 中不显含广义坐标q β，那么：0Hp q ββ∂=-=∂ 即：循环积分 Tp const q ββ∂==∂ 在稳固条件下（H 中不显含t ），12sp q T ααα==∑那么有能量积分：H T V =+6泊松括号1[,]()sG H G HG H q p p q ααααα=∂∂∂∂=-∂∂∂∂∑ 7哈密顿原理与正那么变换 （1）哈密顿原理保守力系下：210t t Ldt δ=⎰概念：21t t S Ldt =⎰为主函数（3） 正那么变换通过某种变数的变换，找到新的函数*H ，使正那么方程的形式不变（相当于坐标变换）。
06-6质心力学定理
V M
C O
的速度) 对 的速度 又 ∵ v ≈ v ′ ( v ′是m对M的速度 1 ∴ m υ ′ 2 + ∆E引 = 0 2 地球参考系不是惯性系⇒ • 地球参考系不是惯性系⇒ 动量守恒不成立 地球参考系仍可正确表示系统的功能 功能关系 • 地球参考系仍可正确表示系统的功能关系
03/2006 S.H.Deng
12
质点组总动能等于质心动能与相对质心动能之和. 质点组总动能等于质心动能与相对质心动能之和. S.H.Deng
理学院 邓胜华
第6章 质心力学定理
二.重力势能与质心势能
定义： 定义：E C = Mgh C
E =
i i i
——质心重力势能 质心重力势能
质点组重力势能 ∑ m gh ——质点组重力势能 M =∑m ∑m h E = ∑ m gh = g ∑ m h = g ∑m ∑m
× m i v iC ) + ∑ (riC × m i v C )
i
S.H.Deng
i
OiBiblioteka C03/200614
理学院 邓胜华
第6章 质心力学定理
L = rC × ∑ m i v C + ∑ (riC × m i v iC ) + rC × ∑ (m i v iC ) i i i + ∑ (m i riC ) × v C
质心动量的改变量等于和外力的冲量. 质心动量的改变量等于和外力的冲量.
dv C = 又：M dt
∑F
i
i
即 M aC =
∑F
i
i
——质心运动定理 质心运动定理
质点组总质量与质心加速度的乘 积等于质点组所受到的合外力. 积等于质点组所受到的合外力. S.H.Deng 03/2006
质心位置不变定理
质心位置不变定理质心位置不变定理是力学中一个重要的定理，它告诉我们在一个封闭系统中，质心的位置在没有外力作用下是恒定的。
这个定理的证明非常简单，我们可以通过几何方法来理解。
我们需要明确质心的定义。
在一个封闭系统中，如果有n个质点，分别质量为m1、m2、...、mn，它们的位置分别为(r1, r2, ..., rn)，那么这个系统的质心位置可以用以下公式表示：R = (m1r1 + m2r2 + ... + mnrn) / (m1 + m2 + ... + mn)其中，R表示质心的位置。
根据质心位置不变定理，我们可以得出结论：如果一个封闭系统受到的外力为零，那么无论这个系统中的质点如何运动，质心的位置都不会发生改变。
为了更好地理解这个定理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一个由两个质点组成的封闭系统，它们的质量分别为m1和m2，位置分别为(r1, r2)。
如果没有外力作用在这个系统上，根据质心位置不变定理，我们可以得出以下结论：R = (m1r1 + m2r2) / (m1 + m2)对于这个系统来说，质心的位置只与质点的质量和位置有关，而与质点的运动状态无关。
也就是说，无论质点如何运动，质心的位置这个定理的证明非常简单，我们可以通过几何方法来理解。
假设我们有一个由n个质点组成的封闭系统，它们的质量分别为m1、m2、...、mn，位置分别为(r1, r2, ..., rn)。
我们可以将这个封闭系统看作一个整体，它的质心位置可以看作是这个整体的中心。
当没有外力作用在这个系统上时，这个整体将保持静止，质心的位置也会保持不变。
为了更好地理解这个定理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一个由两个质点组成的封闭系统，它们的质量分别为m1和m2，位置分别为(r1, r2)。
如果没有外力作用在这个系统上，根据质心位置不变定理，我们可以得出以下结论：R = (m1r1 + m2r2) / (m1 + m2)对于这个系统来说，质心的位置只与质点的质量和位置有关，而与质点的运动状态无关。
机器人学第六章(机器人运动学及动力学)
第六章 机器人运动学及动力学6.1 引论到现在为止我们对操作机的研究集中在仅考虑动力学上。
我们研究了静力位置、静力和速度，但我们从未考虑过产生运动所需的力。
本章中我们考虑操作机的运动方程式——由于促动器所施加的扭矩或作用在机械手上的外力所产生的操作机的运动之情况。
机构动力学是一个已经写出很多专著的领域。
的确，人们可以花费以年计的时间来研究这个领域。
显然，我们不可能包括它所应有的完整的内容。
但是，某种动力学问题的方程式似乎特别适合于操作机的应用。
特别是，那种能利用操作机的串联链性质的方法是我们研究的天然候选者。
有两个与操作机动力学有关的问题我们打算去解决。
向前的动力学问题是计算在施加一组关节扭矩时机构将怎样运动。
也就是，已知扭矩矢量τ，计算产生的操作机的运动Θ、Θ和Θ。
这个对操作机仿真有用，在逆运动学问题中，我们已知轨迹点Θ、Θ和Θ，我们欲求出所需要的关节扭矩矢量τ。
这种形式的动力学对操作机的控制问题有用。
6.2 刚体的加速度现在我们把对刚体运动的分析推广到加速度的情况。
在任一瞬时，线速度矢量和角速度矢量的导数分别称为线加速度和角加速度。
即BB Q Q BBQ Q 0V ()V ()d V V lim dt t t t t t∆→+∆-==∆ （6-1）和AA Q Q AAQ Q 0()()d lim dt t t t t t∆→Ω+∆-ΩΩ=Ω=∆ （6-2）正如速度的情况一样，当求导的参坐标架被理解为某个宇宙标架{}U 时我们将用下面的记号U A AORG V V = （6-3）和U A A ω=Ω （6-4）6.2.1 线加速度我们从描述当原点重合时从坐标架{}A 看到的矢量BQ 的速度AA B A A Q B Q B B V V BR R Q =+Ω⨯ （6-5）这个方程的左手边描述AQ 如何随时间而变化。
所以，因为原点是重合的，我们可以重写（6-5）为A AB A A B B Q B B d ()V dtB B R Q R R Q =+Ω⨯ （6-6） 这种形式的方程式当推导对应的加速度方程时特别有用。
大学物理第一册力学各章节总结
单质点
p I
d ( mv ) d p Fd t d I mv 2 mv 1 Fd t
t1 t2
(微分)
动量定理
x轴方向分量mv2 x mv1 x
质点系
d( mi v i ) Ft dt
(积分) t2 Fx d t
t1
m v m v
i i i
大小
P mi v i
i
L rp sin mrv sin
质点系
L rc mv c (ri mi vi )
L O L 轨道 L自旋
刚体定轴转动 Lz （所有质点角动量之和） 单位(SI):
2
J z
kg m / s或 J s
注意：说明质点的动量矩时必须说 明是对哪个轴的
i
i
i0
单质点
Mdt d L
i
i
Fi dt
t i t0
角动 量定 理
质点系
M 外 dt d L
t2
t2
t1
M d t L 2 L1
刚体
t1
M 外 d t d L L 2 L1 L
L1
L2
M z dt d L Jd d ( J )
2
v2 法向加速度 an wv w r r
西安建筑科技大学电子信息科学与技术08级 孙 伟
ⅴ刚体的运动
刚体：特殊的质点系，形状和体积不变化（理 想化模型）
即在力的作用下组成物体的所有质点间的距离始终保持不变。
刚 刚体的平动：可归结为质点的运动 体 刚体内的任何点都绕同一轴作圆周运 的 动各点的速度和加速度都相等 运 刚体的 动 定轴转 角坐标 f (t ) 0 t d 动 角 2 f (t ) 0 0 t 1 t 角速度 2 dt 量 2 2 角加速度
理论力学第六章
由 动能定理 FS
由 动 2 mv c 能 4 对t求导，得 C 3 mvC a定 Fv C 理 2 故 Fr J C α
3
v
m
r
C
F
C
F
Cv
S
Cv
即动量矩定理
6-2 质点系动能定理
d LC dt
v
MC
v
6-2-1 动能定理的三种形式 问题 3 图(a)系统由静平衡位置转动 角， 此时，系统势能以静平衡为“0”，
V 1 2 k( l 2
k
) 2 对吗?为什么?
l 2
l 2
对！弹簧静平衡力与重力在转动时仍平衡， 其功之和为零，可同时不考虑。
k
a
又如图(b)所示:
V 1 2
6-2 质点系动能定理
O
m
k
2
b
6-2-2 动能定理的应用 1. 应用特点 (1)与位形变化有关 (突出空间过程) 已知运动求力，由 T W F
FT
WG GS sin
WF 0 ,
N
S
C
WF 0 ,
T
G
C
FS
FN
WF 2 FS S
S
6-1 功与动能
6-1-1 力的功
2.内力的功
一对内力, FA -FB
d W FA drA FB drB
FA drA drB FA drAB
Cv
求 ,v 问题 2均质轮在OA杆上滚动，已知 m,r,l,ω1求Cr 轮 T 。
T 1 2 m vC
2
1 2
JC
2
拉格朗日函数与质心定理-概念解析以及定义
拉格朗日函数与质心定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述拉格朗日函数与质心定理是应用于优化问题和力学中的两个重要概念。
拉格朗日函数是一种利用约束条件进行优化的方法，而质心定理是一个有关质点运动的定理。
在实际问题中，往往存在着多个约束条件，这使得我们需要一种方法来同时满足所有的约束条件。
拉格朗日函数的引入就是为了解决这个问题。
通过建立拉格朗日函数，我们可以将含有多个约束条件的优化问题转化为一个只有一个变量的无约束优化问题。
这大大简化了问题的求解过程，并且能够有效地找到问题的最优解。
因此，拉格朗日函数在经济学、物理学以及工程学等领域具有广泛的应用。
另一方面，质心定理是力学中的一个基本原理，用于描述质点的运动。
根据质心定理，质点系统的总质量乘以其质心的加速度等于系统外力的合力。
这一定理帮助我们理解物体的运动状态，并且在分析和预测复杂系统的运动行为方面具有重要的作用。
质心定理在力学、天体物理学和机械工程等领域得到了广泛的应用。
本文将重点介绍拉格朗日函数的定义、求解方法和应用领域。
同时，我们也将探讨质心定理的定义、证明过程和应用示例。
通过深入研究这两个概念，我们可以更好地理解和应用它们，解决实际问题，并为进一步的研究提供思路。
总之，拉格朗日函数和质心定理是两个在不同领域中发挥重要作用的概念。
本文的目的是系统介绍它们的概念、求解方法和应用示例，以便读者能够更好地理解和应用这些概念，为实际问题的解决和未来的研究提供帮助。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式进行编写：文章结构：本文主要分为四个部分进行讨论。
首先，引言部分将介绍整篇文章的背景和目的，以及对拉格朗日函数和质心定理的概述。
然后，第二部分将重点介绍拉格朗日函数，包括其定义、求解方法和应用领域。
接下来，第三部分将探讨质心定理，包括其定义、证明过程和应用示例。
最后，在结论部分，我们将总结拉格朗日函数和质心定理的重要性，并提出进一步探讨可能的研究方向。
物理竞赛-力学_舒幼生_第五章质心刚体
茹可夫斯基凳
41
例 质量 m、长 l 的匀质细杆绕水平轴在竖直平面内自由摆动。
将杆水平静止释放后，当摆角为θ时，求
15
质心系中质点系角动量定理
质心系中质点系角动量定理
M外
M惯
dL dt
M惯 ri (miac ) miri (ac ) rc (mac )
i
i
选质心为参考点 rc 0 M惯 0
质心系中质点系角动量定理
M外
dL dt
与惯性系完全相同
16
小结
质点系的运动 = 质心的运动 + 相对质心的运动 质点系的动能、角动量可分解成质心的与相对质心的两部分之和
m 2
a
2
b2 4
2
mab 22
应用平行轴定理
a
O1 O O2
IO
2 IO1
m 2
b 4
2
1ma 2
1
4
1 16
mb 2
1 2
2
mab
比较系数
1
4
1 16
1
1 2
2
2
1
1 12
2 0
37
例 质量 m、半径为 R的匀质薄球壳，
求其以直径为转轴的转动惯量。
I x mi ( yi2 zi2 )
其中一个转轴通过刚体质心C
Ri Ri (C) d
M
Ri
d
P mi
Ri (C) C
N Q
IMN mi Ri Ri mi Ri (C) Ri (C) 2 mi Ri (C) d mid d
i
i
i
i
i
mi Ri2 (C) 2 i
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1 2 资用能ErC mi vic mv 2 i 2
17
核反应中的资用能
高能粒子碰静止靶粒子能量利用率低，采用对撞
18
质心动能定理
质心系中质点组动能定理的微分形式
dW内 dW外 dW惯 dEk
dW惯 mi ac dri ac d mi ri ac d Mrc 0
vi vc vic
1 1 Ek mi vc vc mi vc vic mi vic vic i 2 i i 2 1 1 2 2 Mvc vc mi vic mi vic 2 i i 2 1 1 2 2 Ek EC ErC , EC Mvc , 资用能ErC mi vic 2 i 2
22
例 长l、质量线密度为的匀质软绳，开始时两端A和B一起悬挂 在固定点上。使B端脱离悬挂点自由下落，当如图所示，B端 下落高度为 l/2 时，使A脱离悬挂点，问此后经过多长时间绳 子完全伸直？（提示：可在质心系中分析） 在质心系中，B端相对质心速度不变 B端的速度 vB gl 质心速度
B l/4 A l/2
5
例：
一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求此半圆形铁丝的质心 解：选如图坐标系，取长为dl的铁丝，质量 为dm，以λ表示线密度，dm=dl. 质心应在y轴上。ຫໍສະໝຸດ yc ydl m
rC
r dm
dm
y R sin dl Rd 1 1 2 y c R sin Rd 2 R m 0 m 2 m R yc R 0 .6 4 R
rc
mi ri
i
M
M mi
i 1
N
drc dri d mi ri Mvc M M m m v i i i dt dt M dt
质心动量等于质点组的总动量
11
考察质心动量随时间的变化：
N N N d ( MvC ) d dvi mi vi mi Fi dt dt i 1 dt i 1 i 1
如果是半球壳 ？
6
例题：试计算如图所示的面密度为恒量的直角三角形的质心的位置。 解：取如图所示的坐标系。由于质量 面密度σ为恒量，取微元ds=dxdy的质 量为dm=σds=σdxdy 所以质心的x 坐标为
xc
x dxdy dxdy
a a x b b
a ya x b
质心系中质点组角动量定理
M 惯 ri (mi ac ) mi ri (ac ) rc (mac ) i i
M外
dL dt
与惯性系完全相同
20
6.4 有心运动方程与约化质量
在讨论行星运动常以太阳为参考系列出行星得牛顿第二定律的 方程。然而日心系并不是严格得惯性系。只有质心系才是严格 的惯性系。因为不考虑其他天体，无外力，质心加速度为零。 在质心系中： M 2 2 m d r d R r' M 2 f' 两质点受力： m 2 f dt dt C r R d 2 (r R) 1 1 1 1 f f ' ( ) f 2 dt m M m M f f' 相对位矢 r' r R d 2 r' 2 f 行星动力学方程 1 1 1 dt ：约化质量 M m
d ( MvC ) N MaC Fi F合外力 dt i 1
质点组的质心加速度由合外力确定。
N d ( MvC ) Fi dt i 1
质心动量改变量等于合外力的冲量
12
N 它与牛顿第二定律在形式上完全相同，相应于系 MaC Fi 统的质量全部集中于系统的质心，在合外力的作 i 1 用下，质心以加速度 ac 运动
7 质心离A点的位置 rA l 16 1 B端相对质心的距离 rBC l 16 7 l 绳子伸直所用时间 t 12 g
23
1 vC gl 4
②物体若有某种对称性，质心就位于对称的位置。
③几个物体的质心满足质心组合关系
rc
mi ri
i
M
mA rA mB rB mC rC M
10
质点组的质心 (center of mass)
drc 质心速度 vc dt 2 dvc d rc 质心加速度 ac 2 dt dt 质心动量 Mvc
系统内力不会影响质心的运动 凡是由牛顿第二定律直接导出的定理，如质点动量变化定理， 机械能变化定理，质点角动量变化定理，均适用于质心。 只需将质点的质量改换为质点组的总质量，力改换为合外力
定向爆破
13
例 如图，求当人从小车的一端走到另一端时，小车相对地面移 动的距离。
解
体系 Fi 0
i
y M
m x l
ml Ml / 2 xC1 mM
xC 2 ms M ( s l / 2) mM
y x s l
22
14
由x C 1 xC 2 得： ml s m M
质心参考系
质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。 质心系以可以是惯性系，也可以是非惯性系。 在质心系中质心静止
积分可得
2 ab x dxdy b 6 0 0 xc a ab a x 3 b b dxdy 6 0 0
7
同理
2 a b y dxdy a 6 0 0 yc a ab a x 3 b b dxdy 6 0 0
a a x b b
第六章 质心
1
质点组的运动比较复杂，采用两种眼光来处理
一、着眼于每个质点，平等地对待每个质点，将相互作用分 为内部的外部的，分析了内部相互作用的若干特点之后， 确定了质点组的动量变化定理及其守恒条件，机械能变化 定理及其守恒条件，和角动量变化定理及其守恒条件，成 功地解决了一批典型的力学问题，诸如：
2
6. 质心
6.1 质心运动定理
每个质点的质量、位矢和受力： 质点组的总质量 M 质点组所受合力
m1
m2
mi , ri , Fi
m
i
i
mi ri 2 2 2 d d d i F Fi mi ( 2 ri ) 2 mi ri M 2 dt dt i dt M i i
d r' 这是个准确的方程，而 dt 2 f 是一个近似的方程，其偏差在 于用m代替μ。相对偏差为 m 1 M m 1 m M m M m
2
另一方面，也可以说约化质量的出现替代了“惯性力”的贡献 21
另解：在日心非惯性系中求解 m 由于日心系是非惯性系，存在惯性力 2 2 d r' m d r' m 2 f ( f ' ) Mm 2 ( M m) f f dt M dt d 2r ' 2 f dt d 2r ' 将太阳视为不动点时的行星运动方程 m 2 f dt
C
m1
·
l2
m2
解出质心坐标
m x m2 x 2 xc 1 1 m1 m2
yc
m1 y1 m2 y2 m1 m2
4
推广到n个质点：
xc
mi xi m
i i i
z
r1
i
yc
zc
或者
rc
m r ii
i
m y m m z m
i i i i
定义质点组质心的位矢： 质心运动定理：
2 d rC F Fi M 2 dt i
rc
m r
i
i i
M
m1r1 m2 r2 m3 r3 M
3
•质心定义
对两个质点坐标分别为（x1,y1)和（x2,y2)，质心在C
l1
m2 l1 xc x1 yc y1 m1 l2 x2 xc y2 yc
i i i
rC C
r2
y x
i i
M
mA rA mB rB mC rC M
r dm r dV rc dm dm
如果质点组是连续体
质心是物体(质点组)质量分布的中心；质心位矢不是简单地各 质点位矢的几何平均，而考虑了质点的质量权重以后的平均。
因而质心的坐标为
b a , 3 3
8
说明
(1)质心相对于质点组的位置与坐标系无关， 质心的位置完全由质点组的质量分布决定 (2)对于密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几 何中心处 对于一般物体，质心不一定在物体上 例如圆环的质心在圆环的轴心上
锥体上滚
9
质心的性质
①质心在整个物体的包络内
vc 0
i
ri
rc
O C
ric
质心系中所有质点相对于质心的动量之和为零. 若选质心为参考点,则质心的坐标始终为零。
质点组的复杂运动通常可分解为： 质点组整体随质心的运动 +各质点相对于质心的运动
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6.2 质点组的动能
1 2 1 Ek mi vi mi vi vi i 2 i 2
i
质心系中质心位置矢量为常量
drc 0
i
dW惯 0
质心系中质点组动能定理的微分形式和积分形式
dW内 dW外 dEk , W内 W外 Ek