第6章 质心力学定理
物理-质心与质心运动定理
x
——动量中心系
在质质心心参位考矢系中r：C x 质心速度 υC
0drC
dt
0
质点系m的i总i 动m量C 0
质心系是零动量系
质心的运动轨迹？
——抛物线.
0 O x1
m xC x2 C
mx
二、 质心运动定理
锥体为什么会上滚？
锥体上滚是由其质（重）心下降所引起的。
令人称奇的“水往高处流”。
上坡省力，下坡费劲的“怪坡 ”
三、 质心参考系
【质心参考系】：以质心为坐标原点的参考系。
y
r2
O
y
mi
m2 ri
ri
C
rC m1 r1
m1
l
C
m2
x
O
xC
m2 m1 m2
l
m1
l
C
m2
m1l1 m2l2
l1
l2
（与坐标系无关）
质心坐标与所选坐标系有关，
但质心相对物体各部分位置是确定的.
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
y
Rdθ
dθ
R
θ
O R cos θ
y R sin θ
x
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
C 恒矢量
当质点系所受合外力为零时，其质心保持原来的 静止或匀速直线运动状态不变。 ——质心的“惯性运动”
质心的“惯性运动”与质点系动量守恒等价！
随堂练习
例：设有一枚炮弹发射的初速率为 0，发射角为 ，它飞 行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片，其中一个竖直 下落，另一个水平抛出，求这两部分的着地点（忽略空气 阻力）。
(1) 直角坐标系中的质心坐标
飞行力学第六章-运动方程
ωx
ω y I x ω x I xy
0 I zx
I xy Iy I yz
I zx ω x M x I yz ω y = M y I z ω z M z
飞行器飞行力学2010
得
dω x 2 2 + ( I z I y )ω y ω z + I yz (ω z ω y ) + Ix dt dω y dω z I xy (ω x ω z ) I zx (ω x ω y + ) = Mx dt dt dω y 2 2 + ( I x I z )ω x ω z + I zx (ω x ω z ) + Iy dt dω z dω x I yz (ω x ω y ) I xy (ω y ω z + ) = M y dt dt dω z 2 2 + ( I y I x )ω x ω y + I xy (ω y ω x ) + Iz dt dω y dω x I zx (ω y ω z ) I yz (ω z ω x + ) = Mz dt dt
飞行器飞行力学2010
根据速度之间的关系
u = V cos α cos β v = V sin β w = V sin α cos β
可得
du dV dα dβ V sin α cos β V cos α sin β cos α cos β = dt dt dt dt dv dV dβ V cos β sin β + = dt dt dt dw dV dα dβ sin α cos β + V cos α cos β V sin α sin β = dt dt dt dt
dω z dω x + ( I z I y )ω y ω z I zx (ω x ω y + Ix ) = Mx dt dt 方 程 dω y 2 2 + ( I x I z )ω x ω z + I zx (ω x ω z ) = My 简 Iy dt 化 为 I d ω z + ( I I )ω ω + I (ω ω d ω x ) = M z y x x y zx y z z dt dt
06-6质心力学定理
V M
C O
的速度) 对 的速度 又 ∵ v ≈ v ′ ( v ′是m对M的速度 1 ∴ m υ ′ 2 + ∆E引 = 0 2 地球参考系不是惯性系⇒ • 地球参考系不是惯性系⇒ 动量守恒不成立 地球参考系仍可正确表示系统的功能 功能关系 • 地球参考系仍可正确表示系统的功能关系
03/2006 S.H.Deng
12
质点组总动能等于质心动能与相对质心动能之和. 质点组总动能等于质心动能与相对质心动能之和. S.H.Deng
理学院 邓胜华
第6章 质心力学定理
二.重力势能与质心势能
定义： 定义：E C = Mgh C
E =
i i i
——质心重力势能 质心重力势能
质点组重力势能 ∑ m gh ——质点组重力势能 M =∑m ∑m h E = ∑ m gh = g ∑ m h = g ∑m ∑m
× m i v iC ) + ∑ (riC × m i v C )
i
S.H.Deng
i
OiBiblioteka C03/200614
理学院 邓胜华
第6章 质心力学定理
L = rC × ∑ m i v C + ∑ (riC × m i v iC ) + rC × ∑ (m i v iC ) i i i + ∑ (m i riC ) × v C
质心动量的改变量等于和外力的冲量. 质心动量的改变量等于和外力的冲量.
dv C = 又：M dt
∑F
i
i
即 M aC =
∑F
i
i
——质心运动定理 质心运动定理
质点组总质量与质心加速度的乘 积等于质点组所受到的合外力. 积等于质点组所受到的合外力. S.H.Deng 03/2006
质心位置不变定理
质心位置不变定理质心位置不变定理是力学中一个重要的定理，它告诉我们在一个封闭系统中，质心的位置在没有外力作用下是恒定的。
这个定理的证明非常简单，我们可以通过几何方法来理解。
我们需要明确质心的定义。
在一个封闭系统中，如果有n个质点，分别质量为m1、m2、...、mn，它们的位置分别为(r1, r2, ..., rn)，那么这个系统的质心位置可以用以下公式表示：R = (m1r1 + m2r2 + ... + mnrn) / (m1 + m2 + ... + mn)其中，R表示质心的位置。
根据质心位置不变定理，我们可以得出结论：如果一个封闭系统受到的外力为零，那么无论这个系统中的质点如何运动，质心的位置都不会发生改变。
为了更好地理解这个定理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一个由两个质点组成的封闭系统，它们的质量分别为m1和m2，位置分别为(r1, r2)。
如果没有外力作用在这个系统上，根据质心位置不变定理，我们可以得出以下结论：R = (m1r1 + m2r2) / (m1 + m2)对于这个系统来说，质心的位置只与质点的质量和位置有关，而与质点的运动状态无关。
也就是说，无论质点如何运动，质心的位置这个定理的证明非常简单，我们可以通过几何方法来理解。
假设我们有一个由n个质点组成的封闭系统，它们的质量分别为m1、m2、...、mn，位置分别为(r1, r2, ..., rn)。
我们可以将这个封闭系统看作一个整体，它的质心位置可以看作是这个整体的中心。
当没有外力作用在这个系统上时，这个整体将保持静止，质心的位置也会保持不变。
为了更好地理解这个定理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一个由两个质点组成的封闭系统，它们的质量分别为m1和m2，位置分别为(r1, r2)。
如果没有外力作用在这个系统上，根据质心位置不变定理，我们可以得出以下结论：R = (m1r1 + m2r2) / (m1 + m2)对于这个系统来说，质心的位置只与质点的质量和位置有关，而与质点的运动状态无关。
第10讲--第六章质心力学定理(1)
• 《Physics》，R.Resnick，D.Halliday • 《Physics》，Tipler
作业：6.1, 6.3
i
i
z
mi
mi ri
rc O
C ri y
x 在直角坐标系中质心位置坐标：
xC
ri—第i个质点的位矢 M—质点系的总质量
m
i
i
xi
M
yC
m
i
i
yi
M
zC
m z
i i
i
M
第六章 质心力学定理
1 对于质量连续分布物体： rC M
r dm
M
xC
xdm
M
yC
1 1 2 2 Ek miv i mi v C i 2 i 2
z
mi
y
x 2 v iC 2vC v iC
第六章 质心力学定理
1 1 1 2 2 Ek miv C miv iC mi 2vC viC i 2 i 2 i 2
第六章 质心力学定理
理学院 物理系 陈强
第六章 质心力学定理
第十讲
§6-1. 质心动量定理 §6-2.质心动能定理 §6-3. 质心角动量定理 §6-4. 有心运动方程与约化质量
第六章 质心力学定理
第六章 质心力学定理
第六章 质心力学定理
§6-1. 质心动量定理 一. 质心
质点系中总有一特殊点，其运动和质点系的所 有质量集中于该处的质点运动相同 质心 例如：以两质点质点组为例 若有一点xC，使 m1l1 m2 l 2 xC就是x1和x2的质心
大学物理第一册力学各章节总结
单质点
p I
d ( mv ) d p Fd t d I mv 2 mv 1 Fd t
t1 t2
(微分)
动量定理
x轴方向分量mv2 x mv1 x
质点系
d( mi v i ) Ft dt
(积分) t2 Fx d t
t1
m v m v
i i i
大小
P mi v i
i
L rp sin mrv sin
质点系
L rc mv c (ri mi vi )
L O L 轨道 L自旋
刚体定轴转动 Lz （所有质点角动量之和） 单位(SI):
2
J z
kg m / s或 J s
注意：说明质点的动量矩时必须说 明是对哪个轴的
i
i
i0
单质点
Mdt d L
i
i
Fi dt
t i t0
角动 量定 理
质点系
M 外 dt d L
t2
t2
t1
M d t L 2 L1
刚体
t1
M 外 d t d L L 2 L1 L
L1
L2
M z dt d L Jd d ( J )
2
v2 法向加速度 an wv w r r
西安建筑科技大学电子信息科学与技术08级 孙 伟
ⅴ刚体的运动
刚体：特殊的质点系，形状和体积不变化（理 想化模型）
即在力的作用下组成物体的所有质点间的距离始终保持不变。
刚 刚体的平动：可归结为质点的运动 体 刚体内的任何点都绕同一轴作圆周运 的 动各点的速度和加速度都相等 运 刚体的 动 定轴转 角坐标 f (t ) 0 t d 动 角 2 f (t ) 0 0 t 1 t 角速度 2 dt 量 2 2 角加速度
质心运动课件
一.质心动能定理 (科尼希定理)
一个质点组的质心在C，如图．
z S
ric C
mi
rc
对某参照系S， 定义：
O
ri
EC
1 2
MvC2
——质心动能
x
y
是否相等？
Ek
i
1 2
mi
vi2——质点组总动能
可以证明：
对 质某点参组照 总系 动， 能：Ek EC ErC
——质心动能定理 (科尼希定理)
质点组总动能 = 质心动能 + 质点组相对质心的动能
ErC
vrriiCC
i
1 2
mi
vi2C
是质点组相对质心的总动能
是第i个质点相对于质心C的位 速率矢
18
科尼希定理: Ek EC ErC 证明如下： z
r riC
是第i
个质点相对于质心C的位矢
如图：对某参照系S，
ri
v
2 i
rC
i
1 2
mi vi2C
i
1 2
mi
2vC
viC
19
Ek
i
1 2
mi vC2
i
1 2
mi vi2C
i
rr mivC viC
r r r mivC viC vC
r mi viC
vC
0
0
i
i
质心系中质点组总动量
＝质心系中的质心动量
Ek
i
1 2
dLrC dt
M rC
质点组对质心的 角动量变化定理
质点组的角动
质点组相对于质心的角动量的时间 量变化定理在
变化率 = 各外力对质心的总力矩
6质心力学定理(2)
第6章 质心力学定理
二.重力势能与质心势能
定义：E C Mgh C
E
i i i
——质心重力势能
m gh ——质点组重力势能 M m m h E m gh g m h g m m
i i
是否相等？
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Mgh C E C
即
E EC
d (r R) 1 1 相 f f 2 M dt m 减
2
31
第6章 质心力学定理
d (r R) 1 1 ( )f 2 dt m M
2
d r 1 1 ( )f 2 dt m M
2
1 1 m M
1
——约化质量(折合质量)
i
mi
i
MvC
rc
O
C
ric ri
m ivi
mi
ri m i v i rC riC m i v C v iC i i rC m i v C riC m i v iC i i rC m i v iC riC m i v C
28
第6章 质心力学定理
尽管质心系可能不是惯性系，但对质心来说， 角动量定理仍然成立。 这再次显示了质心的特殊之处 和选择质心系来讨论问题的优点。 若质心系是非惯性系，则外力矩中应包括 惯性力对质心的力矩：
i i 惯性力对质心的力矩之和为零。 这正是即使质心系为非惯性系，但质点系对质心的角 动量仍能满足角动量定理的原因。 29
i
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第六章质心
质点组的运动比较复杂，采用两种眼光来处理
二、着眼于把握质点组的总体运动，再分析各个质点之间的相对运动。
即将质点组的复杂运动分解为这两种运动的叠加，这是一种新的途径，可将力学理论推向一个新的境界。
一、着眼于每个质点，平等地对待每个质点，将相互作用分为内部的外部的，分析了内部相互作用的若干特点之后，确定了质点组的动量变化定理及其守恒条件，机械能变化定理及其守恒条件，和角动量变化定理及其守恒条件，成功地解决了一批典型的力学问题，诸如：
–两体碰撞
–火箭推进速度–三种宇宙速度–有心运动
这标志着我们把牛顿力学理论推进到一个新的阶段。
是否存在这样一种运动，它反映了质点组总体运动的宏观特点？
θ
θ
2
λ
2R
m
说明
(1)质心相对于质点组的位置与坐标系无关，
质心的位置完全由质点组的质量分布决定
(2)对于密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处
对于一般物体，质心不一定在物体上
例如圆环的质心在圆环的轴心上
锥体上滚
②物体若有某种对称性，质心就位于对称的位置。
它与牛顿第二定律在形式上完全相同，相应于系统的质量全部集中于系统的质心，在合外力的作用下，质心以加速度a c 运动
∑==N i i
C F a M 1
凡是由牛顿第二定律直接导出的定理，如质点动量变化定理，机械能变化定理，质点角动量变化定理，均适用于质心。
只需将质点的质量改换为质点组的总质量，力改换为合外力
系统内力不会影响质心的运动
定向爆破
质心参考系
质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。
质心系以可以是惯性系，也可以是非惯性系。
在质心系中质心静止
c v i r c
r ic
r C
O
i
质心系中所有质点相对于质心的动量之和为零.若选质心为参考点,则质心的坐标始终为零。
质点组整体随质心的运动+各质点相对于质心的运动
质点组的复杂运动通常可分解为：
核反应中的资用能
高能粒子碰静止靶粒子能量利用率低，采用对撞
质心动能定理
质心系中质点组动能定理的微分形式
k
dE dW dW dW =++惯外内()()()0
i c i c i i c c i
i
dW m a dr a d m r a d Mr =-⋅=-⋅=-⋅=∑∑
惯k
k E W W dE dW dW ∆=+=+外内外内 ,质心系中质点组动能定理的微分形式和积分形式
与惯性系完全相同，机械能定理也相同。
质心系中质心位置矢量为常量
=c r d 0
=惯dW
m
m M。