上海市闵行区2018届高三一模数学试卷
上海市闵行区2018届高三一模数学试卷
一、填空题（本大题共12题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分）
1. 集合},30|{Z x x x P ∈<≤=，}9|{2≤=x x M ，则=M P ；
2. 计算=+∞→1
lim 22n C n n ； 3. 方程01
1lg 3lg 1=-+x x 的根是； 4. 已知i )54(cos )53(sin -+-αα是纯虚数（i 是虚数单位），则=+
)4sin(πα；
5. 已知直线l 的一个法向量是)1,3(-=n ，则l 的倾斜角的大小是；
6. 从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是；（用数字作答）
7. 在5)21(x +的展开式中，2x 的系数为；（用数字作答）
8. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，
90=∠AC ，4=AC ，3=BC ，1BB AB =，则异面直线B A 1与11C B 所成角的大小是；（结果用反三角
函数表示）
9. 已知数列}{n a 、}{n b 满足n n a b ln =，*∈N n ，其中}{n b 是等差数
列，且410073e a a =⋅，则=+++100921b b b ；
10. 如图，向量OA 与OB 的夹角为 120，2||=OA ，1||=OB ，P 是
以O 为圆心，||OB 为半径的弧BC 上的动点，若OB OA OP μλ+=，则λμ的最大值是；
11. 已知1F 、2F 分别是双曲线)00(122
22>>=-b a
b
y a x ，的左右焦点，过1F 且倾斜角为 30的直线交双曲线的右支于P ，若21PF PF ⊥，则该
双曲线的渐近线方程是；
12. 如图，在折线ABCD 中，4===CD BC AB ， 120=∠=∠BCD ABC ，E 、F 分别是AB 、
CD 的中点，若折线上满足条件k PF PE =⋅的点至少有4个，则实数k 的取值范围是；
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 若空间中三条不同的直线1l 、2l 、3l ，满足21l l ⊥，32//l l ，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 31l l ⊥
B. 31//l l
C. 1l 、3l 既不平行也不垂直
D. 1l 、3l 相交且垂直
14. 若0>>b a ，0<<d c ，则一定有（ ）
A. bc ad >
B. bc ad <
C. bd ac <
D. bd ac >
15. 无穷等比数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为)(*∈N n S n ，则“01>+d a ”是“}{n S 为递增数列”的（ ）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
D. 既非充分也非必要
16. 已知函数)(32
1)1(log )(|1|221m n m x n n x x x f x <⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤--=--的值域是]1,1[-，有下列结论：① 当
0=n 时，]2,0(∈m ；② 当21=n 时，]2,21(∈m ；③ 当)21,0[=n 时，]2,1[∈m ；④ 当)2
1,0[∈n 时，]2,(n m ∈；
其中结论正确的所有序号是（ ）
A. ①②
B. ③④
C. ②③
D. ②④
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 已知函数x x x f ωωcos 2
3sin 23)(+=（其中0>ω）。
（1）若函数)(x f 的最小正周期为π3，求ω的值，并求函数)(x f 的单调递增区间；
（2）若2=ω，πα<<0，且2
3)(=
αf ，求α的值。
18. 如图，已知AB 是圆锥SO 的底面直径，O 是底面圆心，32=SO ，4=AB ，P 是母
线SA 的中点，C 是底面圆周上一点， 60=∠AOC 。
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求直线PC 与底面所成的角的大小。
19. 某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益。
据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司受益0.05元（一下人数精确到1人，收益精确到1元）
（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；
（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？
20. 已知椭圆19
102
2=+y x 的右焦点是抛物线px y 22=Γ：的焦点，直线l 与Γ相交于不同的
两点),(11y x A 、),(22y x B 。
（1）求Γ的方程；
（2）若直线l 经过点)0,2(P ，求OAB ∆的面积的最小值（O 为坐标原点）；
（3）已知点)2,1(C ，直线l 经过点)2,5(-Q ，D 为线段AB 的中点，求证：||2||CD AB =。
21. 对于函数)()(D x x f y ∈=，如果存在实数a 、b （0≠a ，且1=a ，0=b 不同时成立），
使得)()(b ax f x f +=对D x ∈恒成立，则称函数)(x f 为“),(b a 映像函数”
（1）判断函数2)(2-=x x f 是否是“),(b a 映像函数”，如果是，请求出相应的a 、b 的值，若不是，请说明理由；
（2）已知函数)(x f y =是定义在),0[+∞上的“)1,2(映像函数”，且当)1,0[∈x 时，x x f 2)(=，求函数))7,3[()(∈=x x f y 的反函数；
（3）在（2）的条件下，试构造一个数列}{n a ，使得当)(),[1*+∈∈N n a a x n n 时，),[1221++∈+n n a a x ，并求)(),[1*+∈∈N n a a x n n 时，函数)(x f y =的解析式，及)(x f y =)),0[(+∞∈x 的值域。
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2018上海高三各区一模数学试卷及答案
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最新-上海市闵行区2018学年第一学期高三质量监控考试物理试题 精品
上海市闵行区2018-2018学年度第一学期教学调研物理试题考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、学号等填写清楚. 2．本试卷共12页，满分150分. 考试时间120分钟.3．第19、20、21、22、23题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤. 只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分. 有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位.g 取10m/s 2。
一、（20分）填空题. 本大题共5小题，每小题4分. 答案写在题中横线上的空白处或指定位置，不要求写出演算过程.本大题中第l 、2、3小题为分叉题。
分A 、B 两类，考生可任选一类答题．若两类试题均做。
一律按A 类题计分．A 类题(适合于使用一期课改教材的考生)1A 、如图所示，长度都为L ＝0.8 m 的两根细绳，一端系着同一个小球A ，另一端分别系于两边墙上相同高度的两 点，两绳间的夹角为α＝120︒，现给小球A 一垂直于纸 面向外的初速度v 0，使小球垂直于纸面开始做小角度的摆动，若v 0很小，则小球A 第一次回到平衡位置所需时间为___________s ；该求解过程 中用的科学方法是___________。
2A 、一带正电的粒子和一中性粒子同时以相同的初速度进入水平的匀强电场中，已知粒子运动方向与电场线平行但方向相反，带电粒子运动了20cm 不再前进将开始返回， 则这时中性粒子已经运动了 cm 距离（粒子只受电场力） 3A 、如图所示，一根长为4m 的均匀直棒AO ，O 端用光滑的铰链固定于地面上，上端有一水平拉力F ，为了使棒 能垂直地立在地面上，用一根长4m 的绳子拉住棒，绳 的一端固定在地面上，要使绳子的拉力最小，则绳的另 一端系在杆上的位置距地面的高度是 m 。
B 类题(适合于使用二期课改教材的考生)1B 、每时每刻都有大量带电的宇宙射线向地球射来，幸好地球磁场可以有效地改变这些宇宙射线中大多数射线粒子的运动方向， 使它们不能到达地面，这对地球上的生命有十分重要的意义。
(最新整理)2018高三“一模”数学试题汇编(函数)
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2018上海各区高三“一模”数学试题分类(函数）一、填空题： 1．若全集，集合，则U R ={}02A x x x =≤≥或U C A = 2．设集合，,则{2,3,4,12}A ={}0,1,2,3B =A B = 3．已知集合，，若，则{}1,2,5A ={}2,B a ={}1,2,3,5A B = a =4．已知全集，集合，集合，则U N ={}1,2,3,4A ={}3,4,5B =()U C A B = 5．设全集，集合，，则U Z ={}1,2M ={}2,1,0,1,2P =--()U P C M = 6．已知函数，，若，则实数{}2,3A ={}1,2,B a =A B ⊆a =7．已知集合,，则{}03A x x =<<{}24B x x =≥A B = 8．已知集合,，若，则实数{}1,2,A m ={}3,4B ={}3A B = m =9．函数的定义域是()lg(2)f x x =-10．函数的定义域为()f x =11．若行列式，则 124012x -=x =12．不等式的解为 10x x-<13．不等式的解集是 11x<14．不等式的解集是 211x x +>+15．不等式的解集是 2433(1)12(2x x x --->16．不等式的解集为 111x ≥-17．已知是定义在上的奇函数，则()f x R (1)(0)(1)f f f -++=18．已知函数的反函数为，则()21f x x =-1()f x -1(5)f -=19．若函数的反函数的图像经过点，则 ()f x x α=11(,)24a =20．方程的解222log (2)log (3)log 12x x -+-=x =21．已知函数的反函数为，则,则实数2()log ()f x x a =+1()y f x -=1(2)1f -=a =22．已知函数是奇函数，当时,，且，则()y f x =0x <()2x f x ax =-(2)2f =a =23．已知函数，是函数的反函数，若的图像()1log a f x x =+1()y f x -=()y f x =1()y f x -= 过点，则实数的值是(2,4)a 24．已知函数是定义在上且周期为的偶函数，当时，()f x R 4[2,4]x ∈43()log ()2f x x =- 则 1(2f =25．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，()y f x =R [0,)+∞(1)(4)f a f +≤ 则实数的取值范围是a 26．已知，函数在区间上有最小值,且有最大值为13a >()lg(1)f x x a =-+[0,31]a -0，则实数的取值范围是lg(1)a +a 27．若不等式对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是 1(1)(1)31n na n +--⋅<++n a 28．若不等式对满足的任意实数恒成立，则实数的最大值222()x y cx y x -≤-0x y >>,x y c 为29．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是()21f x x x a =--a 30．已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 22log (),0()3,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩a 31．定义，已知函数、的定义域都是，则下列四个命题中为,(,),a a b F a b b a b ≤⎧=⎨>⎩()f x ()g x R 真命题的是 （写出所有真命题的序号)①若、都是奇函数，则函数为奇函数；()f x ()g x ((),())F f x g x ②若、都是偶函数，则函数为偶函数；()f x ()g x ((),())F f x g x ③若、都是增函数,则函数为增函数；()f x ()g x ((),())F f x g x ④若、都是减函数，则函数为减函数。
精选上海市闵行区2018学年度第一学期高三数学(一模)期末质量监控试题(精品解析)
上海市闵行区2018学年度第一学期高三数学（一模）期末质量监控试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.若a，b为实数，则“”是“”的A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】解不等式得或；所以由“”能推出“或”，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选B【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，，，则下面结论不可能成立的是A. ，且B.C. ，且D. b与，都相交【答案】D【解析】【分析】由点线面的位置关系，结合题中条件，即可分析出结果.【详解】因为a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，，，所以有以下三种情况：(1)若，则；(2)若，则；(3)若且，则且；因此不可能b与，都相交.故选D【点睛】本题主要考查空间中线面位置关系，由线线平行，分类讨论线面关系即可，属于基础题型.3.已知函数，与其反函数有交点，则下列结论正确的是A. B.C. D.a与b的大小关系不确定【答案】B【解析】【分析】由函数与其反函数有交点，可得函数与直线有交点，进而可得出结果.【详解】因为函数，与其反函数有交点，所以函数与直线有交点，即方程有实根，整理得，所以，又，所以.故选B【点睛】本题主要考查反函数的概念，原函数与反函数有交点，必然与直线有交点，由此即可求解，属于基础题型.4.在平面直角坐标系中，已知向量，O是坐标原点，M是曲线上的动点，则的取值范围A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先设，由M是曲线上的动点，得到，再由向量数量积运算的坐标表示，即可求出结果.【详解】设，则，因为M是曲线上的动点，所以，又，所以；因为，所以的取值范围是.故选A【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于常考题型.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】解不等式得到集合，进而可求出结果.【详解】解不等式得或，所以集合或，因为，所以.故答案为【点睛】本题主要考查补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.6.______．【答案】【解析】【分析】在原式的基础上，分子分母同除以，进而可求出结果.【详解】因为.故答案为【点睛】本题主要考查型极限，只需分子分母同除以即可得出结果，属于基础题型.7.若复数z满足是虚数单位，则______．【答案】【解析】【分析】由先得到，再由复数的除法运算即可得出结果.【详解】因为，所以.故答案为【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.8.方程的解为______．【答案】【解析】【分析】方程可化为，求解即可.【详解】由得即，解得.故答案为【点睛】本题主要考查矩阵，由矩阵的运算转化为含指数的方程，即可求解，属于基础题型. 9.等比数列中，，，则______．【答案】256【解析】【分析】先设等比数列的公比为，根据题中条件求出，进而可求出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，因此，所以.故答案为256【点睛】本题主要考查等比数列的性质，熟记等比数列性质即可，属于基础题型.10.的展开式中项的系数为___．（用数字表示）【答案】【解析】试题分析：由得：项的系数为．考点：二项展开式定理求特定项11.已知两条直线：，：，则与的距离为______．【答案】【解析】【分析】将：化为，再由平行线间的距离公式即可求出结果.【详解】因为：可化为，所以与的距离为.故答案为【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离公式，熟记公式即可，属于基础题型.12.已知函数，的值域为，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由作出其图像，由值域为，即可求出结果.【详解】因为，作出其图像如下：因为函数，的值域为，所以由图像可得，；所以.故答案为【点睛】本题主要考查函数的性质，根据函数的值域求参数范围，通常需要作出函数图像，由数形结合的思想来处理，属于常考题型.13.如图，在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线的条数为______．【答案】12【解析】【分析】由异面直线的概念，一一列举出与异面的直线即可.【详解】由题中正方体可得与异面的直线有：，，，,，；,,，，，，共12条.故答案为12【点睛】本题主要考查异面直线，熟记概念即可，属于基础题型.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且，则______．【答案】0【解析】【分析】由三角形面积公式和余弦定理可将化为，进而可求出结果.【详解】因为，余弦定理，又，所以有，即，所以，因此或，所以或，因为C三角形内角，所以，故.故答案为0【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求出结果，属于常考题型.15.已知向量，，且，若向量满足，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先由题中条件求出，再由即可求出结果.【详解】因为，，且所以，所以，因此.故的最大值为【点睛】本题主要考查向量的模的最值问题，根据向量模的几何意义，即可求解，属于常考题型.16.若无穷数列满足：，当，时．其中表示，，，中的最大项，有以下结论：若数列是常数列，则若数列是公差的等差数列，则；若数列是公比为q的等比数列，则则其中正确的结论是______写出所有正确结论的序号【答案】【解析】【分析】根据题中条件,逐项判断即可.【详解】若数列是常数列，则有，所以，又，所以，故，又，所以，即.故正确；若数列是公差的等差数列，若，则数列是递增数列，则，则，，不能满足数列为公差的等差数列；若，则数列是递减数列，则，所以满足题意；故正确；若数列是公比为q的等比数列，若q>1，由可知数列是递增数列，所以，所以，即q=2满足题意；若0<q<1，由可知数列是递减数列，所以，所以，故，因为0<q<1，所以显然不成立，故0<q<1不满足题意；若q<0，则数列是摆动数列，不能满足题意；综上q>1，故正确.故答案为【点睛】本题主要考查数列的应用，灵活运用数列的性质是解题的关键，难度较大.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱BC的中点．求该三棱柱的表面积；求异面直线AB与所成角的大小．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据棱柱的表面积公式直接求解即可；先取AC中点E，连结DE，，根据题意可得是异面直线AB与所成角，解三角形即可. 【详解】解：正三棱柱的各棱长均为2，该三棱柱的表面积：．取AC中点E，连结DE，，为棱BC的中点，，，是异面直线AB与所成角或所成角的补角，，，，异面直线AB与所成角的大小为．【点睛】本题主要考查几何体的表面积公式以及异面直线所成的角，在几何体中作出异面直线所成的角即可，属于基础题型.18.已知抛物线C：．若C上一点到其焦点的距离为3，求C的方程；若，斜率为2的直线l交C于两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点，求点M的坐标．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据抛物线的定义，由C上一点到其焦点的距离为3，可求出，进而可求出抛物线方程；由先求出抛物线方程，再设直线l：，代入抛物线方程，设，，结合韦达定理和判别式，根据求出的值即可.【详解】解：由抛物线的定义得：，解得：，所以抛物线C的方程为：；时，抛物线C：，设直线l：，并代入抛物线C：得：，，解得设，，则，，，解得或当时，不在x轴正半轴上，舍去；当时，故点M的坐标为【点睛】本题主要考查抛物线的方程与简单性质，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和题中条件求解，属于常考题型.19.在股票市场上，投资者常根据股价每股的价格走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价元与时间天的关系在ABC段可近似地用函数的图象从最高点A到最低点C的一段来描述如图，并且从C 点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l：对称，点B，D的坐标分别是．请你帮老张确定a，，的值，并写出ABC段的函数解析式；如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？【答案】（1）,,,，；（2）16.【解析】【分析】由B，D的坐标确定的值，和C的坐标，进而确定周期，求出，再由C的坐标，求出，即可得出函数解析式；(2)由(1)线求出DEF的解析式，令，求出即可.【详解】解：因为B，D的坐标分别是，且DEF段与ABC段关于直线l：对称，所以，所以，，，，由可得，，．由题意得DEF的解析式为：，由，得，故买入天后股价至少是买入价的两倍．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，熟记三角函数的图像和性质即可，属于常考题型.20.对于函数，若函数是增函数，则称函数具有性质A．若，求的解析式，并判断是否具有性质A；判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；若函数具有性质A，求实数k的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数．【答案】（1），具有性质A；（2）假命题；（3）详见解析.【解析】【分析】由，结合即可得出解析式，和单调性，进而可得出结果；判断命题“减函数不具有性质A”，为假命题，举出反例即可，如；若函数具有性质A，可知在为增函数，进而可求出实数k的取值范围；再令，则在区间上零点的个数，即是的根的个数，结合k 的取值范围，即可求出结果.【详解】解：，，在R上递增，可知具有性质A；命题“减函数不具有性质A”，为假命题，比如：，在R上递增，具有性质A；若函数具有性质A，可得在递增，可得，解得；由，可得，即，可得，时显然成立；时，，由在递减，且值域为，时，或1，有三解，3个零点；当时，，即，可得，1个零点；当时，，t有一解，x两解，即两个零点；当，且时，无解，即x无解，无零点．【点睛】本题主要考查函数的解析式与函数的单调性，以及函数零点问题，按照题中条件结合函数的性质分析即可，属于常考题型.21.对于数列，若存在正数p，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．已知，且，若数列和满足：，且，．若，求的取值范围；求证：数列是“拟等比数列”；已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求p的取值范围请用，d表示．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】由即可求出结果；根据题中“拟等比数列”的定义，由，结合条件推出存在正数，使得有成立即可；由题中条件，，，先求出的范围；再根据是“拟等比数列”，分类讨论和，即可得出结果.【详解】解：，，且，，，．由题意得，当且时，，对任意，都有，即存在，使得有，数列数列是“拟等比数列”；，，，，，，由得，从而解得，又是“拟等比数列”，故存在，使得成立，当时，，，由得，由图象可知在时递减，故，当时，，，由得，由图象可知在时递减，故，由得p的取值范围是．【点睛】本题主要考查数列的应用，根据题中的新定义，结合条件，分类讨论即可求出结果，过程较繁琐，难度较大.。
年上海市闵行区高考数学一模试卷
2018年上海市闵行区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分,7－12每题５分，共54分）1.（4分）集合P=｛x｜0≤x<3，ｘ∈Z}，M＝{x|x2≤9}，则Ｐ∩Ｍ=. 2．(4分）计算=.3．(4分)方程的根是．４.(4分）已知是纯虚数（i是虚数单位）,则= .（4分)已知直线ｌ的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是.５．6．（4分)从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动,选出的３人中男女同学都有的不同选法种数是（用数字作答）7．(５分）在（1+2x）5的展开式中,x2项系数为(用数字作答)8.（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A１B1C1中，∠ＡＣB＝90°,AC=4,BＣ=3，AB=BB1，则异面直线A1Ｂ与B1Ｃ1所成角的大小是（结果用反三角函数表示)9.（5分）已知数列｛aｎ}、{b n}满足b n=ｌna n，n∈N*,其中{b n}是等差数列,且，则b1+b２＋…+ｂ1009= ．1０.（5分)如图,向量与的夹角为１20°,,，P是以O为圆心，为半径的弧上的动点，若,则λμ的最大值是．11.（5分)已知F１、F２分别是双曲线(a＞0，b>０)的左右焦点，过F１且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P,若PF２⊥F１Ｆ2，则该双曲线的渐近线方程是．12．(5分)如图，在折线ABCD中,AB=BＣ=CＤ=4，∠ABC=∠BCD＝12０°,E、F分别是ＡB、CD的中点，若折线上满足条件的点Ｐ至少有4个,则实数k 的取值范围是.二.选择题(本大题共4题,每题5分,共2０分)1３．（５分)若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3,则下列结论一定正确的是( )A.ｌ1⊥l3ﻩB.l1∥l３C．l１、ｌ３既不平行也不垂直 D.l１、ｌ3相交且垂直14.（5分）若a>b＞0,c＜d＜0,则一定有()Ａ．ad＞ｂc B.ad<bｃﻩC.ac>bｄD．ａc＜bd１5.（５分）无穷等差数列{aｎ}的首项为ａ１，公差为d,前n项和为S n(ｎ∈N*），则“ａ1＋d>0”是“｛Ｓn}为递增数列”的( )条件.A.充分非必要Ｂ．必要非充分C.充要D．既非充分也非必要１6.（5分)已知函数（n＜m)的值域是[﹣１，１]，有下列结论:①当n=0时，m∈（0，2]；②当时，；③当时,m∈[1,2］;④当时，ｍ∈（ｎ,2］；其中结论正确的所有的序号是（)A.①②ﻩＢ．③④Ｃ．②③ D.②④三．解答题(本大题共５题，共１４+１4＋14＋1６+18=76分)17．(1４分）已知函数(其中ω＞０）.（１）若函数f(x)的最小正周期为３π，求ω的值,并求函数f(x）的单调递增区间;（2）若ω=2,０<α<π，且，求α的值．１8．（14分）如图,已知AＢ是圆锥SO的底面直径,O是底面圆心，,AＢ＝４,P是母线SA的中点,C是底面圆周上一点，∠AOC＝６０°.（1）求圆锥的侧面积；(２)求直线PＣ与底面所成的角的大小.1９．(14分）某公司举办捐步公益活动,参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童,此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益,据测算,首日参与活动人数为１0０00人,以后每天人数比前一天都增加１５%,30天后捐步人数稳定在第３０天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元,每位捐步者每天可以使公司收益０.０5元(以下人数精确到１人,收益精确到1元)．（1）求活动开始后第５天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；(２)活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？２０.（16分)已知椭圆的右焦点是抛物线Γ:y2＝２pｘ的焦点,直线l与Γ相交于不同的两点A(ｘ１,ｙ１）、B(ｘ2,ｙ2）．（1）求Γ的方程;(２)若直线ｌ经过点P(2，０),求△OAB的面积的最小值(O为坐标原点)；（3）已知点C(１，２),直线l经过点Q（5,﹣２）,Ｄ为线段ＡB的中点,求证:|ＡB|=２|ＣＤ|．21．（１８分)对于函数y=ｆ(x）（x∈D)，如果存在实数a、b（ａ≠0，且ａ=1，b=0不同时成立)，使得f(x)=ｆ（ax+b)对x∈D恒成立，则称函数ｆ（x）为“(a,ｂ)映像函数”.（１)判断函数f(x)=x２﹣２是否是“(a,b）映像函数”，如果是，请求出相应的a、b 的值，若不是，请说明理由;(2）已知函数y＝f（x)是定义在[0，＋∞）上的“(2,1)映像函数”,且当ｘ∈［0，1）时，f（x）=2x，求函数y=f（x)（ｘ∈[３,7))的反函数；｝,使得当ｘ∈[a n,aｎ＋１）（n∈N*）时,2（3）在（2）的条件下,试构造一个数列{aｎｘ+1∈[ａn,ａn+2），并求x∈［a n,a n+１)(n∈N*)时，函数y=f(ｘ）的解析式，及y+1＝f（ｘ）(x∈［0，＋∞））的值域.ﻬ２０18年上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，１-6每题4分,７－12每题5分，共５4分）1．（4分）集合Ｐ={x｜0≤ｘ<３,x∈Z}，M=｛x｜x２≤9｝，则Ｐ∩M＝{0，1，2} .【解答】解:∵集合P={x|０≤x＜3,x∈Z}={0,1，2｝,M=｛x|x2≤９}={x|﹣3≤x≤3}，∴Ｐ∩Ｍ={0,1，2｝．故答案为:｛0,1，2}．2.(4分)计算=．【解答】解：＝=＝，故答案为:.3.(4分)方程的根是10 .【解答】解：∵,即１+lgx﹣3+lgｘ＝０，∴lgx＝１，∴ｘ=10．故答案为：10.4.（４分)已知是纯虚数(ｉ是虚数单位），则=．【解答】解:∵是纯虚数,∴,得ｓｉn且cｏs,∴α为第二象限角,则ｃos.∴=ｓｉnαｃos+cosαｓｉn=.故答案为:﹣．5．(4分）已知直线ｌ的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．【解答】解:设直线ｌ的倾斜角为θ，θ∈[0，π）.设直线的方向向量为＝(ｘ,y）,则＝x﹣y=0,∴ｔanθ==，解得θ=.故答案为：.6．（４分)从4名男同学和６名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是96 （用数字作答)【解答】解：根据题意，在4名男同学和６名女同学共１0名学生中任取3人，有Ｃ10３=1２0种,其中只有男生的选法有C４3＝4种，只有女生的选法有C６3=20种则选出的３人中男女同学都有的不同选法有１２0﹣4﹣２０=96种;故答案为：96.7.(5分)在（1+2ｘ）5的展开式中，ｘ2项系数为４0(用数字作答）【解答】解:设求的项为T r+１=C5r（2x）r,今ｒ＝2，∴T3=22Ｃ52x2=40x2.∴x２的系数是4０8．（5分）如图,在直三棱柱AＢC﹣A1B1C1中,∠ACＢ=9０°，AC=4，ＢC＝３,AＢ＝ＢＢ１，则异面直线A１B与B1Ｃ１所成角的大小是ａrccoｓ(结果用反三角函数表示）【解答】解：∵在直三棱柱ABC﹣A1Ｂ1C1中,∠AＣB＝９０°,ＡC=4，BC=3,AB=BB1, BC∥B1Ｃ1，∴∠ＡBC是异面直线A1Ｂ与B1Ｃ1所成角，１∵A1B＝==5,A1C＝＝=,∴cｏs∠A1BC===．∴∠A1BC=arccos.∴异面直线A1B与Ｂ1C１所成角的大小是arｃcoｓ.故答案为:arｃcｏs．9.(5分)已知数列｛aｎ}、｛ｂn｝满足b n=ｌｎa n,ｎ∈N＊，其中{b n｝是等差数列,且，则b1＋b2＋…+b1009=2018．【解答】解:数列｛a n}、{ｂn}满足ｂn=lnａn，n∈N*,其中{b n}是等差数列,∴b n＋１﹣ｂｎ=lnaｎ＋１﹣lna n=ln=常数t．∴＝常数e t=q＞0,}为等比数列.因此数列{aｎ且，∴a1a10０9=a2ａ100８==…．则b1+b2＋…+ｂ1０09=ln（a1a2…a10０9)=＝lnｅ201８=２018．故答案为:2018．10．（5分)如图,向量与的夹角为120°,，,P是以O为圆心,为半径的弧上的动点，若，则λμ的最大值是.【解答】解:如图建立平面直角坐标系，设Ｐ(cosθ，ｓinθ),，，.∵，∴,ｓiｎθ=．∴,∴λμ=﹣+=+，故答案为:1１.（5分)已知F1、F2分别是双曲线（a>0，b>0)的左右焦点,过Ｆ1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PＦ2⊥F1F2,则该双曲线的渐近线方程是ｙ＝±x .｜＝ｍ，｜PF2|=n，|F1Ｆ２｜＝2ｃ，【解答】解：设|PＦ１在直角△ＰF1F2中，∠PF1Ｆ２＝30°，可得m=2n，则ｍ﹣n=2ａ＝n，即a=n，2c＝n,即c＝ｎ，b==ｎ，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y＝±x，故答案为:y=±x.１2.(5分)如图，在折线AＢCD中,ＡB=ＢC=CD＝４，∠ABＣ=∠BCD=120°，E、F 分别是ＡＢ、CD的中点,若折线上满足条件的点P至少有４个,则实数k 的取值范围是(﹣，﹣2) ．【解答】解:以BC的垂直平分线为y轴,以ＢC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系,∵AB=BC=CD=４，∠ABＣ=∠ＢＣD=1２0°,∴B(﹣2.0）,C(2,0),A(﹣4,２）,Ｄ（4，２),∵Ｅ、Ｆ分别是AB、CＤ的中点,∴E（﹣3，）,F(３,）,设P(x,y）,﹣4≤x≤4,0≤y≤2，∵，∴（﹣３﹣x,﹣ｙ）(3﹣x，﹣ｙ)=x２+(ｙ﹣）+9＝k，即x2+（y﹣）﹣9=ｋ+９,当ｋ＋９＞０时，点P的轨迹为以(0，)为圆心，以为半径的圆,当圆与直线DＣ相切时，此时圆的半径r＝，此时点有2个，当圆经过点C时，此时圆的半径为r=＝，此时点P有4个，∵满足条件的点Ｐ至少有4个，结合图象可得，∴<ｋ＋9＜７,解得﹣＜k<﹣2，故实数k的取值范围为（﹣,﹣２),故答案为：(﹣,﹣2）二．选择题(本大题共4题，每题5分,共2０分）1３．（5分)若空间中三条不同的直线l1、ｌ２、l3,满足l１⊥l2,l２∥ｌ3,则下列结论一定正确的是(）A．ｌ1⊥ｌ3ﻩB．ｌ1∥l3C.l１、l3既不平行也不垂直ﻩＤ．l1、ｌ3相交且垂直【解答】解:∵空间中三条不同的直线l、l2、l3，满足l1⊥ｌ2，l2∥l3，１∴l1⊥l3,故选:A.14.（5分)若a＞b＞0，c＜d<0，则一定有()A.ad＞bcﻩＢ.ad<bcﻩC．ac>bｄD．ａc<bd【解答】解:∵c<d＜0，∴﹣ｃ＞﹣ｄ＞０．又a＞b>0，则一定有﹣aｃ＞﹣bd,可得ac＜ｂd．故选:D.1５．（5分）无穷等差数列{ａｎ}的首项为a1，公差为ｄ，前n项和为Ｓn(n∈N*）,则“a1+d＞0”是“{Ｓn}为递增数列”的()条件.A.充分非必要ﻩB.必要非充分C．充要 D.既非充分也非必要【解答】解：等差数列{ａn}的首项为ａ１，公差为ｄ,前ｎ项和为Sｎ=na１+d，则Ｓn+1=(n+1)a１+,则S n+１﹣S n=(n＋1)a１+﹣na1﹣d=a1+nd，若{Sｎ｝为递增数列，ａ１+nd>0,∵Ｓ2﹣S１=a1+ｄ＞0，∴a1+ｎd>0不能推出a1+d＞0但a１+ｄ能推出a1+nd，故a1＋ｄ>０”是“{Sｎ｝为递增数列必要非充分，故选：B16.(5分）已知函数（ｎ＜m)的值域是［﹣１，1],有下列结论：①当ｎ=0时,m∈（0，２］；②当时,；③当时,m∈［1，2];④当时，m∈（n，2]；其中结论正确的所有的序号是( ）A.①②Ｂ．③④C．②③D．②④【解答】解：当x>1时，x﹣1＞０,f（x）=2２﹣x+1﹣３=2３﹣x﹣3,单调递减，当﹣1<x<1时，f(x)=２2+x﹣1﹣3=２1+x﹣3，单调递增,∴f(ｘ)=22﹣｜x﹣1｜﹣3在（﹣１,１）单调递增,在(1，+∞)单调递减,∴当ｘ=1时,取最大值为1,∴绘出ｆ（x）的图象，如图：①当n=０时,f（ｘ)=,由函数图象可知：要使ｆ(ｘ）的值域是[﹣１,１]，则ｍ∈(1,2]；故①错误;②当时，f(ｘ)＝,f（x)在[﹣１,］单调递增,f（x)的最大值为1,最小值为﹣1，∴;故②正确;③当时，ｍ∈[1,2]；故③正确，④错误，故选Ｃ.三.解答题(本大题共5题，共14+１4＋14+1６＋１8=76分)17.(1４分）已知函数(其中ω>0）.(1）若函数f（ｘ)的最小正周期为３π，求ω的值，并求函数f(ｘ）的单调递增区间；（2）若ω＝2，0＜α<π,且，求α的值.【解答】解：（1)函数=sｉn（ωx）,∵函数f（x)的最小正周期为3π，即T=3π=∴ω＝那么:，由，ｋ∈Ｚ，得：∴函数f(x）的单调递增区间为，k∈Z；（2）函数=sｉn（ωｘ),∵ω=2∴f（x）＝sin（2ｘ）,,可得sin（２α）＝∵0<α＜π,∴≤（2α）≤2α＝或解得：α＝或α＝.１8.（14分）如图,已知ＡB是圆锥SO的底面直径,O是底面圆心,,AＢ＝4,Ｐ是母线SA的中点，Ｃ是底面圆周上一点，∠AOＣ=60°．(１）求圆锥的侧面积;（2）求直线PＣ与底面所成的角的大小.【解答】解:（１)∵AＢ是圆锥ＳO的底面直径，Ｏ是底面圆心，,ＡB=4, P是母线SＡ的中点，C是底面圆周上一点，∠AＯC=６0°．∴r=＝2，l==＝4,∴圆锥的侧面积S=πrl＝π×２×4=8π.（2）过点Ｐ作PE⊥圆O,交AＯ于Ｅ，连结ＣE,则E是AO中点,∴PE=ＰＯ=,CE==,∴∠PCE是直线PC与底面所成角,∵PE=CＥ,ＰＥ⊥CE,∴,∴直线PＣ与底面所成的角为．１9．(14分)某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平,假设此项活动的启动资金为3０万元,每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元).（1)求活动开始后第５天的捐步人数，及前５天公司的捐步总收益；(2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？【解答】解:（1）设第x天的捐步人数为x，则ｆ（x）=．∴第5天的捐步人数为f（5）=1０000•（1+１５%）4=１７4９0.由题意可知前5天的捐步人数成等比数列,其中首项为10000，公比为1.15,∴前5天的捐步总收益为×０.05=3371；(2)设活动第ｘ天后公司捐步总收益可以回收并有盈余,①若1≤x≤30，则×０.05＞30００00,91≈３２.３(舍）.解得ｘ＞log1.１5②若ｘ>30，则[+10000•1.1529•(x﹣３0）］•0．05>30000０，解得x＞３２.87．∴活动开始后第33天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余. 20．(16分）已知椭圆的右焦点是抛物线Γ:y2＝２px的焦点，直线ｌ与Γ相交于不同的两点A（x1,ｙ１）、B（x2,y2)．(1）求Γ的方程;（2)若直线l经过点P(2，0),求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）;(3）已知点C(1,2）,直线l经过点Ｑ(5，﹣2），D为线段ＡＢ的中点，求证：|AB|=2|C Ｄ|．【解答】(１）解:由椭圆,得a2=10，b2=9,则c＝1．∴椭圆的右焦点，即抛物线Γ:ｙ2=2px的焦点为（1,0）,则，p＝2，∴Γ的方程为y2=4ｘ;（2)解:设直线l：ｘ=my+2,联立，得ｙ2﹣4my﹣8=0．则y１+y２=4m,y1ｙ2＝﹣8.∴==，即△ＯAＢ的面积的最小值为;(3）证明:当AB所在直线斜率存在时,设直线方程为y+2=k(x﹣5）,即ｙ=kx﹣５k ﹣2．联立,可得ky2﹣４y﹣20k﹣8=0．,．＝．＝==．∵C(1,2）,∴，,则=(x1﹣1)(x2﹣１)+(y1﹣2）（y2﹣２）=x1ｘ２﹣（ｘ1+x２）+1＋y１y２﹣2(ｙ1+y２）＋4=，当AＢ所在直线斜率不存在时，直线方程为x=5,联立，可得A（5，﹣）,B（5，2)，，，有,∴ＣA⊥CB，又D为线段AB的中点,∴|ＡB|=2|CD｜.２1.（18分）对于函数y=ｆ(ｘ）(ｘ∈D），如果存在实数ａ、b(ａ≠0,且a=1，ｂ=0不同时成立),使得ｆ（x）=f(ax+ｂ）对x∈D恒成立,则称函数ｆ（x)为“（a,b)映像函数”．（１)判断函数f（x)=x2﹣2是否是“(a，b)映像函数”,如果是,请求出相应的a、b的值,若不是,请说明理由；（２）已知函数y=f(x）是定义在[0，+∞)上的“（2,1)映像函数”,且当x∈[0,1）时，f(x）=2x,求函数y＝f（x）（x∈[3,7））的反函数;(3）在（2)的条件下,试构造一个数列{ａn},使得当ｘ∈[a n，a n+1）(n∈N*）时，２x+1∈[a n+1，a n+２)，并求ｘ∈［ａn,a n+１）(n∈Ｎ*)时，函数ｙ=f(x）的解析式,及ｙ=f（x)(x∈［０，+∞))的值域．【解答】解：（1)由f（x）=x2﹣２，可得f(ax＋b)=（ax+ｂ)2﹣2=a2x2＋２abｘ+b2﹣2,由f(x）=ｆ（ａx＋b)，得x2﹣2＝a2x2+２abｘ＋ｂ2﹣2，则，∵a≠0,且a=1,b=０不同时成立,∴a=﹣1,b=0．∴函数f(ｘ)=x２﹣2是“（﹣1，0）映像函数”；（２）∵函数y=f（x)是定义在[0,＋∞）上的“(2,1)映像函数”，∴f（x)=f(2x+1）,则f(0)=f(1)=f（３)，ｆ(1)=f(3）=f(7）,∴f（0）＝ｆ(3),f（1)=f（７），而当x∈[０,1)时，f(x）=2x，∴x∈［3，7)时,设ｆ（x)=2sx+ｔ,由,解得s=,t=﹣．∴ｘ∈[３,7）时，f(x）=．令y=(３≤x<7),得，∴x=(1≤y<2),∴函数y=ｆ（x)（x∈[3，７）)的反函数为ｙ=（１≤x＜2）;(3)由（2)可知，构造数列{ａn},满足ａ1=0,a n+1=2ａｎ＋1,＋1＝2(ａn+1）,则ａn+1∴数列{ａn＋1｝是以1为首项,以2为公比的等比数列，则,即.当x∈［a n,ａｎ＋1)=［2ｎ﹣1﹣1，2n﹣１).令,解得s=21﹣n,t=２1﹣n﹣1.∴x∈[a n，a n＋１)(n∈N*）时,函数ｙ=f(x)的解析式为f(x)=．当x∈［0，+∞)时，函数f(x）的值域为［1，２)．。
2018——2019年上海各区高中数学高三数学一模试卷试题汇总
第一学期教学质量检测高三数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知全集R U =，集合(][)12,,=-∞+∞A ，则U=A ______________.()12,2. 抛物线24=y x 的焦点坐标为_________.()10, 3. 不等式2log 1021>x 的解为____________.4(,)+∞4. 已知复数z 满足(1i)4i z +⋅=（i 为虚数单位），则z 的模为_________. 225. 若函数()=y f x 的图像恒过点01(,)，则函数13()-=+y fx 的图像一定经过定点____.()13,6. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S .若936=S ，则348++=a a a ________.127. 在△ABC 中，内角,,A B C 的对边是,,a b c .若22)32(b a ⋅+=，c b =，则=A ___.56π 8. 已知圆锥的体积为π33，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为 ．π3 9.已知二项式n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为________.358x 10. 已知函数()2||1=+-f x x x a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.(,-∞11. 已知数列{}n a 满足：211007(1)2018(1)++=-++n n n na n a n a *()∈n N ， 且121,2,a a ==若1lim,+→∞=n n na A a 则=A ___________. 100912. 已知函数()2,24161,22-⎧≥⎪+⎪=⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩x ax x x f x x ，若对任意的[)12,∈+∞x ，都存在唯一的()2,2∈-∞x ，满足()()12=f x f x ，则实数a 的取值范围为_________. [)2,6∈-a解：当[)12,∈+∞x 时，1211041616x x ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦，.当()2,2∈-∞x 时，（1）若2a ≥，则()11=22x aa xf x --⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在(),2-∞上是单调递增函数，所以()2210,2a f x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若满足题目要求，则21100,162a -⎛⎫⎛⎤⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎥ ⎪⎝⎦⎝⎭⎝⎭，，所以24111,24,62162a a a -⎛⎫⎛⎫>=∴-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.又2a ≥，所以[)2,6a ∈. （2）若2a <，则()1,,21=21, 2.2a xx ax ax a f x a x ---⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，()f x 在(),a -∞上是单调递增函数，此时()()0,1f x ∈；()f x 在[),2a 上是单调递减函数，此时()21,12a f x -⎛⎤⎛⎫∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦.若满足题目要求，则211,2162aa -⎛⎫≤∴≥- ⎪⎝⎭，又2a <，所以[)2,2a ∈-.综上，[)2,6a ∈-.二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分. 13. “14<a ”是“一元二次方程20-+=x x a 有实数解”的（ A ） （A ）充分非必要条件 （B ）充分必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件 14. 下列命题正确的是（ D ）（A ）如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（B ）如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面 （C ）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 （D ）如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行15. 将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（ B ）种.（A ）72 （B ）36 （ （D ）81 16. 已知点()()1,2,2,0-A B ，P ⋅AP AB 的取值范围为（ A ）（A ）[]1,7 （B ）[]1,7- （C）1,3⎡+⎣ （D）1,3⎡-+⎣三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知直三棱柱ABC C B A -111中，︒=∠===9011BAC ,AA AC AB .（1）求异面直线B A 1与11C B 所成角； （2）求点1B 到平面BC A 1的距离．解：（1）在直三棱柱ABC C B A -111中，AB AA ⊥1，AC AA ⊥1,︒=∠===9011BAC ,AA AC AB所以，211===BC C A B A ．…………………………2分因为，11C B //BC ，所以，BC A 1∠为异面直线B A 1与11C B 所成的角或补角．……4分 在BC A 1∆中，因为，211===BC C A B A ，所以，异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．…………………………7分 （2）设点1B 到平面BC A 1的距离为h ， 由（1）得23322211=π⋅⨯⨯=∆sin S BC A ，…………………………9分 21112111=⨯⨯=∆B B A S ，…………………………11分 因为，B B A C BC A B V V 1111--=，…………………………12分所以，CA S h S B B A BC A ⋅=⋅∆∆1113131，解得，33=h ． 所以，点1B 到平面BC A 1的距离为33．…………………………14分 或者用空间向量：（1） 设异面直线B A 1与11C B 所成角为θ，如图建系，则()1011-=,,A ，()01111,,C B -=，…………4分A1C CB1B 1A因为，321221π=θ⇒=⋅-==θcos 所以，异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．…………7分 （2）设平面BC A 1的法向量为()w ,v ,u n =，则B A n ,BC n 1⊥⊥． 又()011,,-=，()1011-=,,A ，……………9分所以，由⎩⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00001w u v u A ，得()111,,n =．…………12分所以，点1B 到平面BC A 1的距离33==d ．…………………………14分 18．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知函数2()cos 2sin f x x x x =-.（1）若角α的终边与单位圆交于点3455(,)P ，求()f α的值； （2）当[,]63ππ∈-x 时，求()f x 的单调递增区间和值域.解：（1）∵角α的终边与单位圆交于点3455(,)P ，∴43sin =,cos =55αα ……2分2243432()cos 2sin 2()55525αααα=-=⨯-⨯=f …4分（2）2()cos 2sin f x x x x =-2cos21x x =+- …………………6分2sin(2)16x π=+- …………………………8分由222262k x k πππππ-≤+≤+得，36k x k ππππ-≤≤+又[,]63x ππ∈-，所以()f x 的单调递增区间是[,]66x ππ∈-； ………………10分∵[,]63x ππ∈-，∴52666x πππ-≤+≤…………………………12分 ∴1sin(2)126x π-≤+≤，()f x 的值域是[2,1]-. ………………14分19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值．．．．．E （单位：exp ）与游玩时间t （小时）满足关系式：22016E t t a =++；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验．．．．值．不变）； ③超过5小时为不健康时间，累积经验值．．．．．开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50.（1）当1a =时，写出累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值．．．．．； （2）该游戏厂商把累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作()H t ；若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围.解：（1）22016,03()85,3533550,5t t t E f t t t t ⎧++<≤⎪==<≤⎨⎪->⎩ （写对一段得1分，共3分）6t =时，(6)35E = （6分）（2）03t <≤时，16()=20aH t t t++ （8分） 16()244≥⇒+≥aH t t t①0319[,]4164a ⎧<≤⎪⇒∈⎨⎪⎩ （10分） ②39(,)1616343a a⎧>⎪⇒∈+∞⎨+≥⎪⎩ （12分） 综上，1[,)4a ∈+∞ （14分）20．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知双曲线Γ: 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是 1F 、2F ，左、右两顶点分别是 1A 、2A ，弦 AB 和CD 所在直线分别平行于x 轴与 y 轴，线段BA 的延长线与线段CD 相交于点 P （如图）．（1）若(2,3)d =是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ；（2）若1PA =，5PB = ，2PC =，4PD =，试求双曲线Γ的方程；（3）在（．．1．）的条件下．．．．．，且124A A =，点C 与双曲线的顶点不重合，直线1CA 和直线2CA 与直线:1l x =分别相交于点M 和N ，试问：以线段MN 为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．解：（1）双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为：即0bx ay ±=，所以3b a =，…………2分 从而3tan2θ=22tan 2tan 431tan2θθθ==-， 所以arctan 3θ=………………………………………………..4分（2）设 (,)P P P x y ，则由条件知：11()()322P x PB PA PA PB PA =-+=+=，11()()122P y PC PD PC PD PC =+-=-=，即(3,1)P ．…………6分所以(2,1)A ，(3,3)C ，………………………………………………………..…………7分代入双曲线方程知：2751,2781199114222222==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-b a ba b a ……9分 127527822=-y x ………………………………………………………………….. 10分 （3）因为124A A =，所以2a =，由（1）知，3b =Γ的方程为: 22143x y -=， 令00(,)C x y ，所以2200143x y -=，010:(2)2y CA y x x =++，令1x =，所以003(1,)2y M x +， 020:(2)2y CA y x x =--，令1x =，所以00(1,2y N x --， …………12分故以MN 为直径的圆的方程为：200003(1)()()022y y x y y x x --+--=+-， 即222000200033(1)()0224y y y x y y x x x -++--=-+-，即22000039(1)()0224y y x y y x x -++--=-+，…………………………………………….14分 若以MN 为直径的圆恒经过定点),(y x于是⎪⎩⎪⎨⎧=±=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=0231049)1(022y x y x y 所以圆过x 轴上两个定点5(,0)2和1(,0)2-……………………………………………16分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知平面直角坐标系xOy ，在x 轴的正半轴上，依次取点123,,,n A A A A （*n N ∈），并在第一象限内的抛物线232y x =上依次取点123,,,,n B B B B （*n N ∈），使得1k k kA B A -∆*()k N ∈都为等边三角形，其中0A 为坐标原点，设第n 个三角形的边长为()f n .（1）求(1),(2)f f ，并猜想()f n （不要求证明）； （2）令9()8n a f n =-，记m t 为数列{}n a 中落在区间2(9,9)mm内的项的个数，设数列{}m t 的前m 项和为m S ，试问是否存在实数λ，使得2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由； （3）已知数列{}n b满足：11,2n b b +==数列{}n c 满足：111,n nc c +==求证：1()2n n n b f c π+<<.解：（1）(1)1f =，(2)2f = （2分） 猜想()f n n = （2分） （2）98n a n =- （5分）由21218899899999m mm m n n --<-<⇒+<<+112191,92,,9---∴=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅m m m n （6分）21199m m m t --∴=- （7分） 352211(91)(99)(99)(99)m m m S --∴=-+-+-+⋅⋅⋅+- 352121(9999)(1999)m m --=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+22129(19)(19)91091191980m m m m +---⋅+=-=-- （9分） 2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立min 12()83λλ⇒≤==⇒≤m S S （10分）.（3）1sin,4b π=记1sin ,4n n b πθθ==，则1sin sin 2n n θθ+== *1()2n n n N πθ+⇒=∈ （12分） 1tan ,4c π=记1tan ,4n n c πϕϕ==，则1sec 1tan tan tan 2n n n n ϕϕϕϕ+-==*1()2n n n N πϕ+⇒=∈ （14分） 11sin,tan ,22n n n n b c ππ++∴==当(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<可知： 1111sin()tan ,2222n n n n n n b f c ππππ++++=<=<= （18分）杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2018.12.18一、填空题（本大题有12题，满分54分，第1——6题每题4分，第7—12题每题5分） 1、设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合{}3,4,5A =，则____u=2、已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为_____ 3、已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为_____ 4、若()na b +展开式的二项式系数之和为8，则____n = 5、若实数,x y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是_____6、若圆锥的母线长()5l cm =，高()4h cm =，则这个圆锥的体积等于_______7、在无穷等比数列{}n a 中，()121lim ,2n n a a a →+∞+++=则1a 的取值范围是____8、若函数()1ln 1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆,则实数a 的取值范围__9、在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则()1y f x =+的零点是____10、已知复数())12cos 2,cos z x f x i z x x i =+=++，（,x R i ∈虚数单位）在复平面上，设复数12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，若1290Z OZ ∠=，其中是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期______ 11、当0x a <<时，不等式()22112x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为______ 12、设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前项和n T ，满足()()112nn n n T b n N *+=-∈， 且52d a b ==，若实数{}()23,3k k k m P x a x a k N k *-+∈=<<∈≥，则称m 具有性质k P ，若是n H 数列{}n T 的前n 项和，对任意的n N *∈，21n H -都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为_____二、选题题（本题共有4题，满分20分，每题5分）13、下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）（A ）()arcsin f x x= （B ）lg y x= （C ）()f x x=-（D ）()cos f x x =14、某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为 （ ）（A ）310 （B ） 35 （C ） 25 （D ）2315、已知()sin log ,0,2f x x θπθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，设sin cos sin ,,2sin cos a f b f c f θθθθθ+⎛⎫⎛⎫===⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 （A ）a b c ≤≤ （B ）b c a ≤≤ （C ）c b a ≤≤（D ）a b c ≤≤16、已知函数()22x f x m x nx =⋅++，记集合(){}0,A x f x x R ==∈，集合(){}0,B x f x x R ==∈，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ） （ A ）[]0,4 （B ）[]1,4- （C ）[]3,5- （D ）[]0,7三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17、（本题满分14分，第1题满分6分，第2小题满分8分）如图，,PA ABCD ⊥平面四边形ABCD 为矩形，1PA PB ==，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动。
2018-2019学年上海闵行区高三一模数学试卷及答案
高三年级质量调研考试数学试卷 第1页共11页闵行区2018学年第一学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考生号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有21道试题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 已知全集U =R ，集合2{30}A x x x =-≥，则U A ð= ．2. 2221lim 331n n n n →∞-=++ ． 3. 若复数z 满足(12)43i z i +=+（i 是虚数单位），则z = ． 4. 方程110322x=-的解为 ．5. 等比数列}{n a 中，121=+a a ，5616a a +=，则910a a += ．6. ()512x -的展开式中3x 项的系数为 ．（用数字作答）7. 已知两条直线12:4230:2+10l x y l x y +-=+=和，则12l l 与的距离为 ． 8. 已知函数[]()|1|(1),,f x x x x a b =-+∈的值域为[]0 8，，则a b +的取值范围是 ． 9. 如图，在过正方体1111ABCD A B C D -的任意两个顶点的所有直线中，与直线1AC 异面的直线的条数为 ． 10. 在ABC △中，角 A B C 、、的对边分别为 a b c 、、，面积为S ，且224()S a b c =+-，则cos C = ．高三年级质量调研考试数学试卷 第2页共11页11. 已知向量()()cos ,sin ,cos ,sin a b ααββ==，且3παβ-=，若向量c 满足1c a b --=，则c 的最大值为 .12. 若无穷数列{}n a 满足：10a ≥，当*,2n n ∈≥N 时，{}1121max ,,,n n n a a a a a ---=（其中{}121max ,,,n a a a -表示121,,,n a a a -中的最大项），有以下结论：①若数列{}n a 是常数列，则()*0n a n =∈N ； ②若数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，则0d <； ③若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则1q >；④若存在正整数T ，对任意*n ∈N ，都有n T n a a +=，则1a 是数列{}n a 的最大项.则其中的正确结论是 .（写出所有正确结论的序号）二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13. 若,a b 为实数，则“1a <-”是“11a>-”的 ( )(A) 充要条件 (B) 充分非必要条件(C) 必要非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件 14. 已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面， a αβ=， //a b ，则下列结论不可能．．．成立的是 ( ) (A) //b b βα，且Ü (B) //b b αβ，且Ü (C) // //b b αβ，且 (D) b 与 αβ、都相交15.已知函数(),0,0y x a a b =≥>>与其反函数有交点，则下列结论正确的是 ( )(A) a b = (B) a b < (C) a b > (D)a b 与的大小关系不确定 16. 在平面直角坐标系中，已知向量(1,2)a =，O 是坐标原点，M 是曲线22x y +=上的动点，则a OM ⋅的取值范围为 ( ) (A) []2,2-(B) ⎡⎣(C) ⎡⎢⎣⎦(D)⎡⎢⎣高三年级质量调研考试数学试卷 第3页共11页三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，D 为棱BC 的中点． （1）求该三棱柱的表面积；（2）求异面直线AB 与1C D 所成角的大小．18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知抛物线Γ：22(0)y px p =≠.（1）若Γ上一点(1,)M t 到其焦点的距离为3，求Γ的方程；（2）若2p =，斜率为2的直线l 交Γ于两点A B 、，交x 轴的正半轴于点M ，O 为坐标原点，0OA OB ⋅=，求点M 的坐标.高三年级质量调研考试数学试卷 第4页共11页19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作．股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价()y 元与时间()x 天的关系在ABC 段可近似地用函数()()sin 200,0,0y a x a ωϕωϕπ=++>><<的图像从最高点A 到最低点C 的一段来描述（如右图），并且从C 点到今天的D 点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF 段所示，且DEF 段与ABC 段关于直线:34l x =对称，点B D 、的坐标分别是()()12,2044,12、． （1）请你帮老张确定,,a ωϕ的值，并写出ABC 段的函数解析式；（2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？高三年级质量调研考试数学试卷 第5页共11页20. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．对于函数()y f x =，若函数()(1)()F x f x f x =+-是增函数，则称函数()y f x =具有性质A .(1)若2()2xf x x =+，求()F x 的解析式，并判断()f x 是否具有性质A ； (2)判断命题“减函数不具有性质A ”是否真命题，并说明理由；(3)若函数23()(0)f x kx x x =+≥具有性质A ，求实数k 的取值范围，并讨论此时函数()(sin )sin g x f x x =-在区间[]0,π上零点的个数.高三年级质量调研考试数学试卷 第6页共11页21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1①小题满分4分，第1②小题满分6分，第2小题满分8分．对于数列{}n a ，若存在正数p ，使得1n n a pa +≤对任意*n ∈N 都成立，则称数列{}n a 为“拟等比数列”．（1）已知0 0a b >>，，且a b >，若数列{}n a 和{}n b满足：11 2a ba b +==，且*11 )2n nn n a b a b n +++==∈N ，． ①若11a =，求1b 的取值范围；②求证：数列*{}()n n a b n -∈N 是“拟等比数列”．（2）已知等差数列{}n c 的首项为1c ，公差为d ，前n 项和为n S ，若10c >，403540360,0S S ><，且{}n c 是“拟等比数列”，求p 的取值范围（请用1,c d 表示）．高三年级质量调研考试数学试卷 第7页共11页闵行区2018学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．()0,3； 2．23； 3．2i -； 4．2log 5x =； 5．256； 6．80-； 7．2；8．[]2 4，；9．12； 10．0； 11．1+12．①②③④. 二. 选择题 13．B ； 14．D ； 15．B ； 16．A ． 三. 解答题17．[解] （1）22=32+22S ⨯ ………6分 （2）取AC 的中点E ，联结1DE C E 、，则//ED AB ，所以1C DE ∠（或其补角）是异面直线AB 与1C D 所成的角．…8分 在1C DE △中，11C D C E =1DE =，所以2221111cos 210C D DE C E C DE C D DE +-∠===⋅⋅．………12分 所以AB 与1C D所成的角的大小为． …………14分 18．[解] （1）由条件知1342pp +=⇒=, ………………4分 所以Γ的方程为28y x =. ………………………6分 （2）设点M A B 、、的坐标分别为(),0(0)m m >、()11,A x y ，()22,B x y ， 则直线l 的方程为2()y x m =-； ………………………8分{222()2404y x m y y m y x=-⇒--==， ………………………10分 2221212124,16y y y y m x x m ⇒=-== ………………………12分21212404OA OB x x y y m m m ⋅=+=-+=⇒=，高三年级质量调研考试数学试卷 第8页共11页所以M 点的坐标为()4,0. ………………………14分19．[解] （1）因为C D 、两点关于直线l 对称，所以点C 的坐标为()24,12，……2分又点B 恰在平衡位置，C 为最低点，得2448248124ππω==⇒=⇒=T T …4分 将()12,20B 代入解析式可得：sin 120cos 024πϕϕ⎛⎫⋅+=⇒= ⎪⎝⎭，∴2πϕ=， …………………………6分再结合C 点是最低点，可得8a =. ∴ABC 段的解析式为[]8sin +20,0,24242y x x ππ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭……………………8分 （2）由对称性得，DEF 段的解析式为：()()[]8sin 68+208cos 68+20,44,6824224y x x x πππ⎡⎤⎡⎤=-+=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，…10分若股价至少是买入价的两倍，则()8cos 68+202424x π⎡⎤-≥⎢⎥⎣⎦ ………………………………12分()1cos 68242x π⎡⎤⇒-≥⎢⎥⎣⎦解得6068x ≤≤所以买入16天后，股价至少是买入价的两倍. …………………………14分 20．[解] (1)212()(1)()(1)22221x x x F x f x f x x x x +=+-=++--=++ ……2分而()221xF x x =++在(),-∞+∞上是增函数，所以()f x 是否具有性质A . ………………………………4分 (2)假命题. ………………………………6分如函数()0)f x x =≥是减函数， ………………………………8分高三年级质量调研考试数学试卷 第9页共11页()F x ==函数()F x 在[0 )+∞，上单调递增，∴()0)f x x =≥具有性质P ．∴命题是假命题. ………………………………10分 (3) 23232()(1)(1)3(23)1(0)F x k x x kx x x k x k x =+++--=++++≥， 因为函数23()(0)f x kx x x =+≥具有性质A ， 所以233062k k +-≤⇒≥- ． ………………………………12分 23()(sin )sin sin sin sin g x f x x k x x x =-=+-，由()0g x =得23sin sin sin 0sin 0k x x x x +-=⇒=或2sin sin 1k x x =-+0x ⇒=或x π=或1sin sin k x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()0,x π∈． …………………14分设sin x t =，则(]1,0,1k t t t ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭由函数(]1,0,1k t t t ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭的图像可知当3,02k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，11t t =>，1sin x t =无解；当0k =时，11t =，sin 1x =⇒2x π=；当()0,k ∈+∞时，()10,1t t =∈，1sin x t =在()0,π上有两个解；综上所述：当3,02k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()g x 在区间[]0,π上零点的个数为2； 当0k =时，()g x 在区间[]0,π上零点的个数为3；当()0,k ∈+∞时，()g x 在区间[]0,π上零点的个数为4．………………16分 21．[解] （1）①∵0 0a b >>，，且a b >，112a ba +==，∴11b <，高三年级质量调研考试数学试卷 第10页共11页∴1(0 1)b ∈，， ……………………………………4分②依题意得：112a ba b +=>= 所以，当* 2n n ∈≥N ，时，1102n n n n a b a b --+-=>，……………6分 所以对任意*n ∈N ，都有111()222n n n n n n n n a b a b a b a b ++++-=<=-， ………………8分 即存在12p =，使得11()n n n n a b p a b ++-<-，∴数列*{}(N )n n a b n -∈是“拟等比数列”．……………………………………10分（2）()201840351403640364035004036002c S c c S ⋅>⎧>⎧⎪⇒⎨⎨+⋅<<⎩⎪⎩…………………12分 201820181201820192019100201700020180c c c d c c c c d >>+>⎧⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨⎨+<<+<⎩⎩⎩ 由10c >可知0d <，从而解得120182017c d-<<-， …………………14分 又{}n c 是“拟等比数列”，故存在0p >，使得1n n c pc +≤1︒当2018n ≤时，0n c >，()()+11111111111n n c c n d dp c c c n d c n dn d +⋅≥==+=++-⋅+-⋅⎛⎫-- ⎪⎝⎭由1120182017201812019c cd d-<<-⇒<-<， 由图像可知1111c n d +⎛⎫-- ⎪⎝⎭在2018n ≤时递减，故211201620171,20172018c d p c c ⎛⎫≥=+∈ ⎪⎝⎭； ………………………16分高三年级质量调研考试数学试卷 第11页共11页2︒当2019n ≥时，0n c <，()()+11111111111n n c c n d d p c c c n d c n d n d +⋅≤==+=++-⋅+-⋅⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 由1120182017201812019c c d d-<<-⇒<-<， 由图像可知1111c n d +⎛⎫-- ⎪⎝⎭在2019n ≥时递减，故1p ≤； 由12︒︒可得，此时p 的取值范围是111d c ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦， ………………………18分。
闵行区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
闵行区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1．函数f（x）=3x+x的零点所在的一个区间是（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，0）D．（0，1）2．某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据：0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（）A．=0.7x+0.35 B．=0.7x+1 C．=0.7x+2.05 D．=0.7x+0.453．如果函数f（x）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f（x）在区间上是（）A．增函数且最小值为3 B．增函数且最大值为3C．减函数且最小值为﹣3 D．减函数且最大值为﹣34．设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（）A．1 B．C．D．﹣15．等差数列{a n}中，a2=3，a3+a4=9 则a1a6的值为（）A．14 B．18 C．21 D．276．下列语句所表示的事件不具有相关关系的是（）A．瑞雪兆丰年B．名师出高徒C．吸烟有害健康D．喜鹊叫喜7．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出两个判断：①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≠0；②a≠b，b≠c，c≠a不能同时成立，下列说法正确的是（）A．①对②错B．①错②对C．①对②对D．①错②错8．函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，则ω的一个可能取值是（）A．2 B．3 C．7 D．99．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）班级_______________座号______姓名_______________分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．B ．C ．D ． 10．已知函数y=x 3+ax 2+（a+6）x ﹣1有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜a ＜2B ．﹣3＜a ＜6C ．a ＜﹣3或a ＞6D ．a ＜﹣1或a ＞211．棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π1012．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A ．0.35 B ．0.25 C ．0.20 D ．0.15二、填空题13．向区域内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为 ．14．已知角α终边上一点为P （﹣1，2），则值等于 ．15．函数)(x f （R x ∈）满足2)1(=f 且)(x f 在R 上的导数)('x f 满足03)('>-x f ，则不等式1log 3)(log 33-<x x f 的解集为 .【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.16．设函数，若用表示不超过实数m 的最大整数，则函数的值域为 ．17．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差是2，另一组数据1ax ，2ax ，3ax ，4ax ，5ax （0a >）的标准差是a = ．18．在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c C b a sin cos +=，则角B 为 .三、解答题19．已知等比数列{a n }中，a 1=，公比q=．（Ⅰ）S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n =（Ⅱ）设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．20．某中学为了普及法律知识，举行了一次法律知识竞赛活动．下面的茎叶图记录了男生、女生各 10名学生在该次竞赛活动中的成绩（单位：分）．已知男、女生成绩的平均值相同． （1）求的值；（2）从成绩高于86分的学生中任意抽取3名学生，求恰有2名学生是女生的概率．21．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O 及等腰直角三角形EFH ，其中FE FH ⊥，为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD （不计损耗），将点,A B 放在弧EF 上，点,C D 放在斜边EH 上，且////AD BC HF ，设AOE θ∠=.（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值.22．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】如图，某公司的LOGO图案是多边形ABEFMN，其设计创意如下：在长4cm、宽1c m的长方形ABCD中，将四边形DFEC沿直线EF翻折到MFEN（点F是线段AD上异于D的一点、点E是线段BC上的一点），使得点N落在线段AD上.∆面积；（1）当点N与点A重合时，求NMF-最小时，LOGO最美观，试求此时LOGO图案的面积.（2）经观察测量，发现当2NF MF23．已知等差数列{a n}中，a1=1，且a2+2，a3，a4﹣2成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和S n．24．已知（+）n展开式中的所有二项式系数和为512，（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中所有项的系数之和．闵行区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：由函数f（x）=3x+x可知函数f（x）在R上单调递增，又f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=30+0=1＞0，∴f（﹣1）f（0）＜0，可知：函数f（x）的零点所在的区间是（﹣1，0）．故选：C．【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．2．【答案】A【解析】解：设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得，=4.5，=3.5．因为回归直线经过点（，），所以3.5=0.7×4.5+a，解得a=0.35．故选A．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．3．【答案】D【解析】解：由奇函数的性质可知，若奇函数f（x）在区间上是减函数，且最小值3，则那么f（x）在区间上为减函数，且有最大值为﹣3，故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．4．【答案】A【解析】解：y'=2ax，于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行∴有2a=2∴a=1故选：A【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．5．【答案】A【解析】解：由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3解方程可得，a1=2，d=1∴a1a6=2×7=14故选：A【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题6．【答案】D【解析】解：根据两个变量之间的相关关系，可以得到瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系，故选D．【点评】本题考查两个变量的线性相关关系，本题解题的关键是根据实际生活中两个事物之间的关系确定两个变量之间的关系，本题是一个基础题．7．【答案】A【解析】解：由：“a，b，c是不全相等的正数”得：①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2中至少有一个不为0，其它两个式子大于0，故①正确；但是：若a=1，b=2，c=3，则②中a≠b，b≠c，c≠a能同时成立，故②错．故选A．【点评】本小题主要考查不等关系与不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力．属于基础题．8．【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，∴sin+acos=﹣=﹣2，∴a=，∴f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）．再根据f（）=2sin（+）=﹣2，可得+=2kπ+，k∈Z，∴ω=12k+7，∴k=0时，ω=7，则ω的可能值为7，故选：C．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．【答案】C【解析】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．故选：C．【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．10．【答案】C【解析】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x﹣1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有极大值和极小值，则△=4a2﹣12（a+6）＞0，从而有a＞6或a＜﹣3，故选：C．【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．11．【答案】B【解析】考点：球与几何体12．【答案】B【解析】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，∴所求概率为．故选B．二、填空题13．【答案】．【解析】解：不等式组的可行域为：由题意，A（1，1），∴区域的面积为=（x3）=，由，可得可行域的面积为：1=，∴坐标原点与点（1，1）的连线的斜率大于1，坐标原点与与坐标原点连线的斜率大于1的概率为： =故答案为：．【点评】本题考查线性规划的应用，几何概型，考查定积分知识的运用，解题的关键是利用定积分求面积．14．【答案】．【解析】解：角α终边上一点为P （﹣1，2）， 所以tan α=﹣2．===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．15．【答案】)3,0(【解析】构造函数x x f x F 3)()(-=，则03)(')('>-=x f x F ，说明)(x F 在R 上是增函数，且13)1()1(-=-=f F .又不等式1log 3)(log 33-<x x f 可化为1l o g 3)(l o g 33-<-x x f ，即)1()(l o g 3F x F <，∴1log 3<x ，解得30<<x .∴不等式1log 3)(log 33-<x x f 的解集为)3,0(.16．【答案】 {0，1} ．【解析】解：=[﹣]+[+]=[﹣]+[+]，∵0＜＜1，∴﹣＜﹣＜，＜+＜，①当0＜＜时，0＜﹣＜，＜+＜1，故y=0；②当=时，﹣=0，+=1，故y=1；③＜＜1时，﹣＜﹣＜0，1＜+＜，故y=﹣1+1=0；故函数的值域为{0，1}．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．17．【答案】2 【解析】试题分析：第一组数据平均数为2)()()()()(,2524232221=-+-+-+-+-∴x x x x x x x x x x x ，22222212345()()()()()8,4,2ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax a a -+-+-+-+-=∴=∴=．考点：方差；标准差． 18．【答案】4π 【解析】考点：正弦定理．【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是︒180，消去多余的变量，从而解出B 角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出现.三、解答题19．【答案】【解析】证明：（I ）∵数列{a n }为等比数列，a 1=，q=∴a n =×=，S n =又∵==S n∴S n =（II ）∵a n =∴b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n =﹣log 33+（﹣2log 33）+…+（﹣nlog 33）=﹣（1+2+…+n ）=﹣∴数列{b n }的通项公式为：b n =﹣【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n 项和以及对数函数的运算性质．20．【答案】（１） 7a =；（２） 310P =． 【解析】试题分析： （１）由平均值相等很容易求得的值；（２）成绩高于86分的学生共五人，写出基本事件共10个，可得恰有两名为女生的基本事件的个数，则其比值为所求．其中恰有2名学生是女生的结果是(96,93,87)，(96,91,87)，(96,90,87)共3种情况． 所以从成绩高于86分的学生中抽取了3名学生恰有2名是女生的概率310P =．1 考点：平均数；古典概型．【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，),(y x 可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有时也可以看成是无序的，如)1,2)(2,1(相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用)(1)(A P A P -=求解较好．21．【答案】（1）()21sin cos S θθ=+，其中02πθ<<.（2）6πθ=时，max S =【解析】试题分析：（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关键是用θ表示上下底及高，先由图形得AOE BOF θ∠=∠=，这样可得高2cos AB θ=，再根据等腰直角三角形性质得()1cos sin AD θθ=-+，()1cos sin BC θθ=++最后根据梯形面积公式得()2AD BC ABS +⋅=()21sin cos θθ=+，交代定义域02πθ<<．（2）利用导数求函数最值：先求导数()'f θ()()22sin 1sin 1θθ=--+，再求导函数零点6πθ=，列表分析函数单调性变化规律，确定函数最值试题解析：（1）连接OB ，根据对称性可得AOE BOF θ∠=∠=且1OA OB ==， 所以1cos sin AD θθ=-+，1cos sin BC θθ=++，2cos AB θ=， 所以()2AD BC ABS +⋅=()21sin cos θθ=+，其中02πθ<<．考点：利用导数求函数最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x ）＞0或f′（x ）＜0求单调区间；第二步：解f′（x ）＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小． 22．【答案】（1）215cm 16；（2）24. 【解析】试题分析：（1）设MF x =4x =，则158x =， 据此可得NMF ∆的面积是2115151cm 2816⨯⨯=；试题解析：（1）设MF x =，则FD MF x ==，NF =∵4NF MF +=，4x =，解之得158x =， ∴NMF ∆的面积是2115151cm 2816⨯⨯=； （2）设NEC θ∠=，则2NEF θ∠=，NEB FNE πθ∠=∠=-，∴()22MNF πππθθ∠=--=-，∴112MNNF cos MNFsin cos πθθ===∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，MF FD MN tan MNF ==⋅∠=2cos tan sin πθθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴22cos NF MF sin θθ+-=.∵14NF FD <+≤，∴114cos sin θθ-<≤，即142tan θ<≤， ∴42πθα<≤（4tan α=且,32ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）， ∴22πθα<≤（4tan α=且,32ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）， 设()2cos f sin θθθ+=，则()212cos f sin θθθ--='，令()0f θ'=得23πθ=， 列表得∴当23πθ=时，2NF MF -取到最小值， 此时，NEF CEF NEB ∠=∠=∠3FNE NFE NFM π=∠=∠=∠=，6MNF π∠=，在Rt MNF ∆中，1MN =，3MF =，3NF =，在正NFE ∆中，NF EF NE ===，在梯形ANEB 中，1AB =，4AN =，4BE =-∴MNF EFN ABEFMN ABEN S S S S ∆∆=++=六边形梯形144142⎛+⨯-⨯=- ⎝⎭.答：当2NF MF -最小时，LOGO 图案面积为24. 点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点. 23．【答案】【解析】解：（1）由a 2+2，a 3，a 4﹣2成等比数列，∴=（a 2+2）（a 4﹣2），（1+2d ）2=（3+d ）（﹣1+3d ），d 2﹣4d+4=0，解得：d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）b n===（﹣），S n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，=（1﹣），=，数列{b n}的前n项和S n，S n=．24．【答案】【解析】解：（1）对（+）n，所有二项式系数和为2n=512，解得n=9；设T r+1为常数项，则：T r+1=C9r=C9r2r，由﹣r=0，得r=3，∴常数项为：C9323=672；（2）令x=1，得（1+2）9=39．【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，也考查了赋值法求展开式各项系数和的应用问题，是基础题．。
2018年上海市15区高考高三一模数学试卷合集 带答案
8
第 2 卷 2018 年崇明区一模
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）
1、已知集合 A {1, 2, 5}, B {2, a} ，若 A B {1, 2, 3, 5} ，则 a
；
2、抛物线 y2 4x 的焦点坐标是
Sn ，首项 a1
1，公比为
a
3 2
，且
lim
n
S
n
a
，则
a ________.
11.从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服
务，要求服务队中至少有 1 名女生，共有
种不同的选法.（用数字作答）
12.在 ABC 中， BC 边上的中垂线分别交 BC, AC 于点 D, E .若 AE BC 6 ， AB 2 ，
f (C) 1 ，求 ABC 面积的最大值，并指出此时 ABC 为何种类型的三角形. 2
19. 设数列{an} ，{bn} 及函数 f (x) （ x R ）， bn f (an ) （ n N * ）. （1）若等比数列{an} 满足 a1 1， a2 3 ， f (x) 2x ，求数列{bnbn1} 的前 n （ n N * ） 项和； （2）已知等差数列{an} 满足 a1 2 ， a2 4 ， f (x) (q x 1) （ 、 q 均为常数， q 0 且 q 1）， cn 3 n (b1 b2 bn ) （ n N * ），试求实数对 (, q) ，使得{cn} 成等比 数列.
x 1 5. 若 z 2 3i （其中 i 为虚数单位），则 Im z
i 6. 若从五个数 1 ，0，1，2，3 中任选一个数 m ，则使得函数 f (x) (m2 1)x 1 在 R 上
2018年上海市高三一模数学试题完整解析
2018年高三一模数学试题解析目录2018年杨浦区高三一模试题分析 (1)2018年松江区高三一模试题分析 (10)2018年青浦区高三一模试题分析 (20)2018年虹口区高三一模试题分析 (31)2018年普陀区高三一模试题分析 (42)2018年徐汇区高三一模试题分析 (56)2018年长宁、嘉定区高三一模试题分析 (67)2018年浦东新区高三一模试题分析 (77)2018年崇明区高三一模试题分析 (87)2018年静安区高三一模试题分析 (96)2018年闵行区高三一模试题分析 (105)2018年黄浦区高三一模试题分析 (117)2018年三区高三一模填选难题试题分析 (127)2018年杨浦区高三一模试题分析一、填空题的结果是 1 ．1.计算∞【考点】极限及其运算.=1．【分析】由n→+∞，→0，即可求得∞=1，故答案为：1．【解答】解：当n→+∞，→0，∴∞【点评】本题考查极限的运算，考查计算能力，属于基础题．2.已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m= 3 ．【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴实数m=3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.已知，则= ﹣．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值得解．【解答】解：∵θ，∴θπ=θ．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.若行列式，则x= 2 ．【考点】二阶矩阵.【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1，∴x=2，故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．5.已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y= 6 ．【考点】增广矩阵的概念.【分析】由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，由此能求出x+y．【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得 x=4，y=2，∴x+y=6．故答案为：6．【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的合理运用．6.在的二项展开式中，常数项等于﹣160 ．【考点】二项式定理．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应r，从而可求出常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r ，令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160，故答案为：﹣160【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．7.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故P==．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．8.数列{a n}的前n项和为S n，若点(n，S n)(n∈N*)在函数y=log2(x+1)的反函数的图象上，则a n= 2n﹣1．【考点】反函数．【分析】先利用点（n，S n）都在f（x）的反函数图象上即点（S n，n）都在f（x）的原函数图象上，得到关于S n的表达式；再利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法即可求数列{a n}的通项公式；【解答】解：由题意得n=log2（S n+1）⇒s n=2n﹣1．n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=s1=21﹣1=1也适合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；故答案为：2n﹣1【点评】本小题主要考查反函数、利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9.在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为．【考点】余弦定理.【分析】由sinA、sinB、sinC依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入并利用基本不等式求出cosB的范围，利用余弦函数的性质可求B的最大值．【解答】解：∵在△ABC 中，sinA 、sinB 、sinC 依次成等比数列，∴sin 2B=sinAsinC ， 利用正弦定理化简得：b 2=ac ，由余弦定理得：cosB==≥=（当且仅当a=c 时取等号），则B 的范围为（0，π]，即角B 的最大值为π．故答案为：π．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．10.抛物线y 2=﹣8x 的焦点与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【考点】双曲线的性质.【分析】由已知条件推导出a 2+1=4，从而得到双曲线的渐近线方程为y=，由此能求出这条双曲线的两条渐近线的夹角．【解答】解：∵抛物线y 2=﹣8x 的焦点F （﹣2，0）与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，∴a 2+1=4，解得a= ，∴双曲线的渐近线方程为y=，∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为π ，故答案为：π． 【点评】本题考查双曲线的两条渐近线的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．11.已知函数，x ∈R ，设a ＞0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，则α的值为2k πα=【考点】三角函数中的恒等变换应用.【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】()cos (sin )sin(2)3f x x x x x π=+，()sin(22)3g x x πα=++为奇函数，且0α>，∴23k παπ+=，26k ππα=-，k ∈*N .【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．12.已知点C 、D 是椭圆上的两个动点，且点M （0，2），若，则实数λ的取值范围为1[,3]3λ∈.【考点】椭圆的性质.【分析】数形结合，取极端情况，考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【解答】数形结合，取极端情况. 作CE ⊥y 轴，DF ⊥y 轴，3MD MF MB MC ME MA λ==≤=，同理13λ≥ 当D 点位于(0,1)-，C 点位于(0,1)时，λ等于3； 当D 点位于(0,1)，C 点位于(0,1)-时，λ等于13，∴1[,3]3λ∈.【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 二、选择题13.在复平面内，复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】直接由复数的除法运算化简，求出复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为(﹣1,﹣2），位于第三象限．故选：C ．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 14.给出下列函数:①y=log 2x;②y=x 2；③y=2|x|；④y=arcsinx ．其中图象关于y 轴对称的函数的序号是( ) A.①②B.②③C.①③D.②④【考点】函数奇偶性的性质与判断.【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：①y=log 2x 的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数； ②y=x 2；是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件． ④y=arcsinx 是奇函数，图象关于y 轴不对称，不满足条件，故选：B ．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键 15.“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在(﹣∞，+∞)内存在零点”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点，函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．由此能求出结果． 【解答】解：t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点， 函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．∴“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分非必要条件．故选：A ． 【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1+S 2+S 3的最大值是( )A.B.2C.4D.8【考点】平面向量数量积的性质及其运算；棱柱、棱锥的体积.【分析】由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB ，AC ，AD 两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三边，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．【解答】解：设AB=a ，AC=b ，AD=c ，因为AB ，AC ，AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a 2+b 2+c 2=4R 2=4 所以S △ABC +S △ACD +S △ADB =（ab+ac+bc ）≤（a 2+b 2+c 2）=2即最大值为：2故选：B ．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键． 三、解答题17.如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开． （1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【考点】基本不等式及其应用.【分析】（1）由题意设长方形场地的宽为x ，则长为l ﹣3x ，表示出面积y ；由x ＞0，且l ﹣3x ＞0，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解． 【解答】解：（1）设平行于墙的边长为a ，则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-，所以场地面积(3)y x l x =-，(0,)3lx ∈（2）222(3)33()612ll y x l x x lx x =-=-+=--+，(0,)3l x ∈,所以当且仅当6l x =时，2max 12l y = 综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l 时，最大面积为212l【点评】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．18.如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】旋转体（圆柱、圆锥）；异面直线及其所成的角.【分析】（1）推导出BS=5，从而SO=4，由此能求出圆锥的体积．（2）取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角，由此能求出异面直线SO与PA所成角．解：（1）由题意，π•OA•SB=15π，解得BS=5，故从而体积πππ．（2）如图，取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角．∵SO⊥平面OAB，∴PH⊥平面OAB，∴PH⊥AH．在△OAH中，由OA⊥OB，得，在Rt△APH中，∠AHP=90 O，，…则∠，∴异面直线SO与PA所成角的大小．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.已知函数的定义域为集合A，集合B=(a,a+1),且B⊆A.（1）求实数a的取值范围；（2）求证:函数f(x)是奇函数但不是偶函数．【考点】集合的包含关系判断及应用；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）由对数的真数大于0，可得集合A，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得f（x）的定义域，计算f（﹣x）与f（x）比较，即可得到所求结论．【解答】解：（1）令＞，解得﹣1＜x＜1，所以A=（﹣1，1），因为B⊆A，所以，解得﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]；（2）证明:函数f(x)的定义域A=(﹣1,1)，定义域关于原点对称，f(﹣x)=ln=ln（）﹣1=﹣ln=﹣f(x)，而，，所以，所以函数f（x）是奇函数但不是偶函数．【点评】本题考查函数的定义域和集合的包含关系，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．20.设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．【考点】直线与抛物线的综合.【分析】（1）根据题意，由抛物线的方程分析可得p的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线的方程为x=my+b，分m=0与m≠0两种情况讨论，分析m的取值，综合可得m可取的值，将m的值代入直线的方程即可得答案；（3）设直线AB：x=my+b，将直线的方程与抛物线方程联立，结合OQ⊥AB，由根与系数的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线Ω的方程为y2=4x，则p=2，故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；（2）设直线l：x=my+b,当m=0时，x=1和x=9符合题意；当m≠0时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2．△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，所以，所以线段AB的中点M（2m2+b，2m），因为k AB•k CM=﹣1，，所以，得b=3﹣2m2 ，所以△=16（m2+b）=16（3﹣m2）＞0，得0＜m2＜3因为，所以m2=3（舍去）综上所述，直线l的方程为：x=1，x=9（3）设直线AB：x=my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2，△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4b所以，得b=0或b=4b=0时，直线AB过原点，所以Q（0，0）；b=4时，直线AB过定点P（4，0）设Q（x，y），因为OQ⊥AB，所以，，（x≠0），综上，点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2=0【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，（2）中注意设出直线的方程，并讨论m的值．21.若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，，，，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．【考点】数列与不等式的综合.【分析】（1）根据“U﹣数列”的定义可得：x=1时，＞＞；x=2时，＞＞；x≥3时，＞＞，解出即可得出．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n ﹣1，令b i=a i+1﹣a i，可得b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，利用裂项求和方法可得b i≥i﹣1．（2≤i≤n﹣1）．即b i≥i ﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥，即，解得n≤65．另一方面，取b i=i﹣1（1≤i≤64），可得对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，进而得出．（3）M的最小值为，分析如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：a1+a2m﹣（a m+a m+1）≥m（m﹣1），即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）可得M≥．又，可得，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，且a1=a m﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=m（m﹣1）+1．此时．即可得出．【解答】解：（1）x=1时，＞＞，所以y=2或3；x=2时，＞＞，所以y=4；x≥3时，＞＞，无整数解；所以所有可能的x，y为，或．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n﹣1，令b i=a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（*）当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得︸个（2≤i≤n﹣1）即b i≥i﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥0+1+2+…+（n﹣2）=，（**）即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65．另一方面，为使（**）取到等号，所以取b i=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，此时由（**）式得，所以a65=2017，即n=65符合题意．综上，n的最大值为65．（3）M的最小值为，证明如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）=（a2m﹣a m+1）﹣（a m﹣a1）=（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m+1﹣b m﹣1）≥m+m+…+m=m（m﹣1）．即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）故，因为，所以，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，，此时．综上，M的最小值为．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题2018年松江区高三一模试题分析一、填空题1.计算：∞= ．【考点】极限及其运算．【分析】∞=∞，当n→∞，→0，即可求得∞=．【解答】解：∞=∞=，故答案为：【点评】本题考查极限的运算，考查计算转化思想，属于基础题．2.已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B= {x|2≤x＜3} ．【考点】交集及其运算.【分析】根据题意，B为一元二次不等式的解集，解不等式可得集合B；又由交集的性质，计算可得答案．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．【点评】本题考查交集的运算，解题的关键在于认清集合的意义，正确求解不等式．3.已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100 ．【考点】等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a= 3 ．【考点】反函数.【分析】直接利用反函数值域和定义域的关系求出结果．【解答】解：函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，解得：a=3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的应用．5.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，则cos2α等于﹣．【考点】二倍角的三角函数.【分析】由角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，可得：r=1，cosα=，从而可求cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．【解答】解：∵角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，∴可得：r=1，cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考察了三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．6.如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是 2 ．【考点】循环结构.【分析】x=8＞0，不满足条件x≤0，则执行循环体，依此类推，当x=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，从而求出最后的y值即可．【解答】解：x=8＞0，执行循环体，x=x﹣3=5﹣3=2＞0，继续执行循环体，x=x﹣3=2﹣3=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5﹣1=2．故答案为：2【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7.函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 4 ．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象.【分析】直接利用三角方程求出结果．【解答】解：由于函数y=sin2x与y=cosx有交点，则：sin2x=cosx，整理得：sinx=或cosx=0所以：在[0，2π]范围内，x=π，π，π，π，故答案为：4．【点评】本题考查的知识要点：正弦函数的图象和余弦图象的应用．8.设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a= 0 ．【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式可得=1，由此求得a的值．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2ax﹣y+3=0的距离为，即=1，解得a=0，故答案为 0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题． 9.在△ABC 中，∠A=90°，△ABC 的面积为1，若=，=4，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的性质及其运算.【分析】通过建系设出B ，C 坐标，化简的表达式，利用三角形面积求解表达式的最小值． 【解答】解：如图，建立直角坐标系，设B （10x ，0），C （0，10y ），若 = ， =4， 则M （5x ，5y ），N （2x ，8y ），由题意△ABC 的面积为1，可得50xy=1，=10x 2+40y 2≥2 xy=，当且仅当x=2y=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．10.已知函数f （x ）=x|2x ﹣a|﹣1有三个零点，则实数a 的取值范围为 （2 ，+∞） ． 【考点】函数的零点与方程根的关系；研究曲线上某点切线方程. 【分析】转化方程的根为两个函数的图象的交点，利用数形结合． 【解答】分类讨论，设()|2|g x x x a =-，可以看作()g x 与1y =有三个交点，当0a <，()g x 图像如图所示，易知与1y =只有1个交点，不符；当0a>，()g x 图像如图所示，要与1y =有3个交点，需满足()14af >，即a >解法二：根据题意，可以看作()|2|g x x a =-与1()h x x=有三个交点，结合图像可知，当2ax >时，()g x 与()h x恒有一个交点，∴当2ax <时，()g x 与()h x 有两个不同交点，即12a xx-=在(0,)x∈+∞有两个解，2210x ax-+=，280a∆=->，且0a>，∴a>【点评】本题考查函数的零点的判断，考查数形结合的应用，是中档题．11.定义，＞，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是②③④（写出所有真命题的序号）①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】由已知中：，＞，结合具有奇偶性及单调性的图象特征，可得答案．【解答】解：，＞，若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））不一定是奇函数，如y=x与y=x3，故①是假命题；若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数，故②是真命题；若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数，故③是真命题；若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数，故④是真命题．故答案为：②③④．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数单调性的判断与证明，难度中档．12.已知数列{a n}的通项公式为a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，，则实数q的取值范围为（﹣，0）.【考点】数列递推式.【分析】由a n=2q n+q，a1=3q＜0，由，，则a n＜0，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最大值及最小值分别为和，即可求q的取值范围．【解答】解：由a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），因为a1=3q＜0，且对任意n∈N*，∈（，6）故a n＜0，特别地2q2+q＜0，于是q∈（﹣，0），此时对任意n∈N*，a n≠0．当﹣＜q＜0时，a2n=2|q|2n+q＞q，a2n﹣1=﹣2|q|2n﹣1+q＜q，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最小值及最大值分别为=和=．由＞及＜6，解得﹣＜q＜0．综上所述，q的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列与函数关系，考查计算能力、转化思想，属于中档题．二、选择题13.若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为( )A.﹣5B.5C.﹣3D.3【考点】复数的运算.【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系求解．【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查复数模的求法，是基础题．14.已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”，由此能求出结果．【解答】解：∵f(x)是R上的偶函数，∴“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”或者其他情况，∴“x1+x2=0”是“f(x1)﹣f(x2)=0”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．15.若存在x∈[0，+∞）使＜成立，则实数m的取值范围是( )A.(﹣∞，1）B.(﹣1，+∞）C.(﹣∞，﹣1]D.[1，+∞）【考点】存在量词和特称命题.【分析】推导出2x•m＞2x•x﹣1，从而m＞x﹣，再由x∈[0，+∞），能求出实数m的取值范围．【解答】解：存在x∈[0，+∞）使＜成立，∴2x•x﹣2x•m＜1，∴2x•m＞2x•x﹣1，∴m＞x﹣，∵x∈[0，+∞），∴2x≥1，∴m＞x﹣≥﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查实数值的取值范围的求法，考查二阶行列式、不等式、指数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A ．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B ．（﹣1，1]C ．[﹣1，1）D ．[﹣1，0]∪（1，+∞） 【考点】双曲线的性质.【分析】利用绝对值的几何意义，由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2，函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2），为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得y ＜0时的情形． 【解答】解：由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2， ∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2）， 所以为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， 则将x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，当λ=﹣1时，y=2满足题意，∵曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， ∴△＞0，2是方程的根，∴λ λ＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选：C ．【点评】本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 三、解答题17.在△ABC 中，AB=6，AC=3 ，=﹣18． （1）求BC 边的长；（2）求△ABC 的面积． 【考点】三角形中的几何计算.【分析】（1）直接利用向量的数量积和余弦定理求出BC 的长． （2）进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（1）=﹣18，由于：AB=6，AC=3 ， 所以：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA ，解得：BC=3 （2）在△ABC 中，BA=6，AC=3 ，BC=3 ，则：cosA==﹣，所以：sinA=，则：11sin 6922ABCSAB AC A ∆=⋅⋅=⋅⋅【点评】本题考查的知识要点:向量的数量积的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用． 18.已知函数（x ≠0，常数a ∈R ）．（1）讨论函数f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）当a ＞0时，研究函数f （x ）在x ∈（0，+∞）内的单调性． 【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）根据函数奇偶性定义，可得当a=0时，函数f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，f （x ）在（0，a ）上为减函数，在（a ，+∞）上为增函数； 【解答】解：（1）当a=0时，函数f （x ）=1（x ≠0）,满足f （﹣x ）=f （x ）， 此时f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （a ）=0，f （﹣a ）=2，不满足f （﹣x ）=f （x ），也不满足f （﹣x ）=﹣f （x ），此时f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，若x ∈（0，a ），则＞ ，为减函数；若x ∈[a ，+∞]，则＜ ，为增函数；故f （x ）在（0，a ）上为减函数，在[a ，+∞）上为增函数；【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 19.松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当10≤t ≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t ＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t ）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p （t ）． （1）求p （t ）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【考点】根据实际问题选择函数类型.【分析】（1）由题意知，p （t ）= ， ＜ ， （k 为常数），结合p （2）=272求得k=2，则p （t ）的表达式可求，进一步求得p （6）；（2）写出分段函数Q=， ＜，，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．【解答】解：（1）由题意知，p （t ）= ， ＜ ， （k 为常数），∵p(2)=400﹣k(10﹣2)2=272，∴k=2．∴24002(10)210()4001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩． ∴p(6)=400﹣2(10﹣6)2=368(人)；（2）由，可得Q=， ＜，，当2≤t ＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t ≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．【点评】本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，，其左焦点为，，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．【考点】椭圆的性质.【分析】（1）由c=，由a2=b2+c2=b2+3，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AB|及|CD|，则四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|=，即可求得k的值，求得直线l的方程；（3）由向量的坐标运算，表示出λ1和λ2，有（2）即可求得λ1+λ2为定值．【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，将，代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆的E的方程：；（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则D（x1，﹣y1），联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|==，由直线CD的斜率为﹣，将k转化成﹣，同理|CD|=，∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==，∴2k4﹣5k2+2=0，解得：k2=2，k2=，∴k=±或k=±，由k＞0，∴k=或k=，∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0；（3）λ，λ，得x1=λ1（﹣﹣x1），x2=λ2（﹣﹣x2），∴λ1=，λ2=，λ1+λ2=﹣（+）=﹣=﹣8，λ1+λ2为定值，定值为﹣8．。