人教版高二数学下册期末考试理科数学试卷(附答案)
人教版高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
數學試卷一、選擇題（每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意，請將正確答案的序號寫在括弧內.）1.已知集合，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】, 因為，所以，選C.2.若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積等於（）A. B. C. D.【答案】B【解析】從三視圖中提供的圖形資訊與數據資訊可知該幾何體是正方體去兩個相同的三棱錐（虛線表示的部分），因為正方體的體積是，每個小的三棱錐的體積，則三視圖所代表的幾何體的體積，應選答案A。
所以函數在處取最小值，結合函數的圖像可知當且，即時，方程有且僅有四個實數根，應選答案B。
3.執行如圖所示的程式框圖，若輸出的結果為，則輸入的正整數的可能取值的集合是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】迴圈依次為，所以可能取值的集合是，選A.4.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，選C.5.已知向量，，若與共線，則等於（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據向量平行座標表示得方程，解得結果.【詳解】因為與共線，所以，選A.【點睛】向量平行：，向量垂直：，向量加減：6.已知函數（）的圖像的相鄰兩對稱軸間的距離為，則當時，的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以當時，，的最大值為，選A.點睛：已知函數的圖象求解析式(1).(2)由函數的週期求(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求.7.設，是不同的直線，，，是不同的平面，有以下四個命題①；②；③；④.其中正確的命題是（）A. ①④B. ①③C. ②③D. ②④【答案】B【解析】試題分析：根據面面平行的性質可知①正確；②中與可能垂直也可能平行，故②不正確；根據直線和平面平行、線面垂直的性質可知③正確；④中與可能平行或在內，故④不正確，故選C．考點：空間直線與平面間的位置關係．8.設，且，，則等於（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】試題分析：，，,兩式平方相加得，考點：三角函數化簡求值點評：求角的大小通常先求角的某一三角函數值，結合角的範圍求其值9.已知為的導函數，若，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：,,所以，即，所以，當且僅當，即時等號成立，所以則的最小值為.考點：1.導數運算；2.定積分運算；3.基本不等式.【名師點睛】本題考查導數運算、積分運算及基本不等式的應用，屬中檔題；導數與基本不等式是高考的重點與難點，本題將兩者結全在一起，並與積分運算交匯，考查學生運算能力的同時，體現了學生綜合應用數學知識的能力.10.已知函數是週期為的偶函數，若時，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，選A.點睛：利用函數性質比較兩個函數值或兩個引數的大小，首先根據函數的性質構造某個函數，然後根據函數的奇偶性轉化為單調區間上函數值，最後根據單調性比較大小，要注意轉化在定義域內進行11.若圓（）上僅有個點到直線的距離為，則實數的取值範圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓心到直線距離為，所以要有個點到直線的距離為，需，選B.點睛：與圓有關的長度或距離的最值問題的解法．一般根據長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質數形結合求解．12.已知函數，，實數，滿足，若，，使得成立，則的最大值為（）A. 4B.C.D. 3【答案】D【解析】試題分析：因，則時，；當時，．所以，，令，設，作函數的圖像如圖所示，由得或，的最大值為.故應選D.考點：導數的知識與函數的圖象等知識的綜合運用.【易錯點晴】本題是以函數為背景,設置了一道考查函數的圖像和基本性質的綜合性問題.解答時充分借助題設中條件,合理挖掘題設條件中蘊含的有效資訊:，使得成立.本題解答的另一個特色就是數形結合思想的運用和轉化化歸的數學思想的運用.求解時是先運用導數求出了函數的最大值.然後通過解方程()求出或,最終求出的最大值是.本題的求解體現了函數方程思想、轉化化歸思想、數形結合思想等許多數學思想和方法具體應用.二、填空題（每小題5分，共20分）13.已知數列滿足則的最小值為__________.【答案】【解析】14. 某企業三月中旬生產A、B、C三種產品共3000件，根據分層抽樣的結果，企業統計員作了如下統計表格。
新改版人教高二数学(理)下学期期末试卷含答案
新改版人教高二数学（理）下学期期末试卷含答案一、单选题1．执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的为（）A．7B．6C．5D．42．在中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a＝，b＝3，B＝60°，则A= A．45°B．45°或135°C．135°D．60°或120°3．若且，则（）A．B．C．D．4．对于任意的正实数x ，y都有（2x)ln成立，则实数m的取值范围为A．B．C．D．5．已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是（）A．，0B．4，C．16，0D．4，06．一支田径队有男运动员人，女运动员人，用分层抽样方法从全体运动员中抽取一个容量的样本，则样本中女运动员人数是（）A．B．C．D．7．正四棱锥的侧棱和底面边长都等于，则它的外接球的表面积为（）A．B．C．D．8．复数z，则共轭复数的虚部是（）A．﹣1B．1C．D．9．已知分别是双曲线的左，右焦点，过点作圆的一条切线，切点为P，且交双曲线C的右支点Q，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．10．已知函数为偶函数，当时，，设，，，则（）A．B．C．D．11．一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱住的侧视图的面积为（）A．B．C．D．12．已知集合，，则（）A．B．C．D．二、填空题13．声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数，已知函数的图像向右平移个单位后，与纯音的数学模型函数图像重合，若函数在是减函数，则的最大值是______.14．已知抛物线的焦点为F，，是抛物线C上的两个动点，若，则的最大值为______.15．若，满足约束条件,则的最大值为__________.。
人教版高二数学下册期末考试理科数学试卷(附答案)
( ) 即 a 2x −1 = 2x −1对一切实数 x 都成立．
∴ a = 1，∴ a = b = 1 ．……5 分
f ( x) 是 R 上的减函数。……6 分
⑵ 不等式 f (t2 − 2t) + f (2t2 − k ) 0等价于 f (t2 − 2t) f (k − 2t2 ) ．
又 f ( x) 是 R 上的减函数，∴ t2 − 2t k − 2t2 ． ……8 分
内碳 14 含量的测量,估计该古墓群应该形成于公元前 850 年左右的西周时期,已
知碳 14 的“半衰期”为 5730 年(即含量大约经过 5730 年衰减为原来的一半)，
由此可知，所测生物体内碳 14 的含量应最接近于（ ）
A．25﹪
B．50﹪
C．70﹪
D．75﹪
11. 对 大 于 1 的 自 然 数 m 的 三 次 幂 可 用 奇 数 进 行 以 下 形 式 的 “ 分 裂 ” ：
地运往 C 地, 现在 AB 上的距点 B 为 x 的点 M 处修一公路至点 C.已知铁路运 费为每公里 2 元,公路运费为每公里 4 元. （1）将总运费 y 表示为 x 的函数. （2）如何选点 M 才使总运费最小？
-5-
-6-
11B-SX-0000001 20. （本小题满分 12 分）
已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 = 1, Sn = n2an (n N+ )
( ) ( ) ⑵ 若对任意的 t R ，不等式 f t2 − 2t + f 2t2 − k 0恒成立，求实数 k 的取
值范围．
18. （本小题满分 12 分）
为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了 60 人，从女生中随机抽取了
高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)新人教A版
高二期末试题 数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数12iz i-=在复平面内所表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 曲线323y x x =-++在点(1,4)处的切线的斜率为（ ）A ．1B ．-1D ．解：由题意得，y′=-3x 2+2，则在点（1，4）处的切线的斜率k=-3+2=-1，故选B ．3. 已知nxx )1(2+的二项展开式的各项系数和为64，则n 为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．74. 用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12＋13<2B ．1＋12<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<3故选答案A5. 抛掷甲、乙两骰子，记事件A ：“甲骰子的点数为奇数”；事件B ：“乙骰子的点数为偶数”，则P(B|A)的值等于（ ）A ．31 B ．12 C ．61 D ．916. 把下列各题中的“=”全部改成“<”，结论仍然成立的是（ ）A ．如果,a b c d ==，那么a c b d -=-B ．如果,a b c d ==，那么ac bd =C ．如果,a b c d ==，且0cd ≠，那么a bc d= D ．如果a b =，那么33a b =故选答案D7.观察下列图形（1）、（2）、（3）、（4）设第n 个图形包含()f n 个小正方形.则(5)=f （ ）A. 25B. 37C. 41D. 47解：根据前面四个发现规律：f （2）-f （1）=4×1，f （3）-f （2）=4×2，f （4）-f （3）=4×3，…f（n ）-f （n-1）=4（n-1）这n-1个式子相加可得：f （n ）=2n 2-2n+1．当n=5时，f （5）=41．故选C ．8. 已知随机变量ξ服从二项分布1~(6,),(24)2B E ξξ+=则（ ）A ．10B ．4C ．3D ．99. 某校高三毕业汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，要求 A 、B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，则节目单上不同的排序方式有（ ） A ．192种 B ．144种 C ．96种 D ．72种解：由题意知A ，B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，可以把这两个元素看做一个，再让他们两个元素之间还有一个排列，A ，B 两个节目可以排在1，2两个位置，可以排在4，5两个位置，可以排在5，6两个位置， ∴这两个元素共有C31A22种排法，其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，∴节目单上不同的排序方式有C31A22A44=144，故选B ．10．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当0x <时，()()()()f xg x f x g x ''+>，且g (－3)＝0，则不等式()0()f xg x >的解集是( ) A ．(－3,0)∪(3，＋∞) B ．(－3,0)∪(0,3) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(0,3)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 在曲线22y x =+的图象上取一点（1，3）及附近一点(1,3)x y +∆+∆,则0limx yx ∆→∆∆= ．12. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为 .13. 已知函数()f x 在R 上可导，且3()2(2)f x x xf '=+，比较大小：(1)f - (1)f ("""""")><=填，或 解：f′（x ）=3x2+2f′（2），令x=2，得f′（2）=3×22+2f′（2），解得f′（2）=-12， 所以f （x ）=x3-24x ，则f （-1）=23，f （1）=-23，所以f （-1）＞f （1），故答案为：＞．14. 如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，动点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .15. 下列命题：①若函数()x x x h 44sin cos -=，则012=⎪⎭⎫⎝⎛'πh ； ②若函数()()()()()()20132012321-----=x x x x x x g ，则()!20122013='g ；③若三次函数()d cx bx ax x f +++=23，则“0=++c b a ”是“f (x )有极值点”的充要条件; ④函数()x x x f cos 2sin +=的单调递增区间是()222,233k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭．其中真命题为________．(填序号)三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）已知空间向量 (2,,2),(4,2,)a y b x =-=r r ，2244+=a b ， 且a b ⊥r r，,x y R ∈，求,x y 的值；解：228ay =+， 2220b x =+ ………………4分222222284416a b x y x y +=++=⇒+= ………………6分又由a b ⊥r r 得40a b x y =-+=r r g ，故： ………………8分联立两方程解得： 04x y =⎧⎨=-⎩；或40x y =-⎧⎨=⎩ ………………12分17. （本小题满分12分） 若(2)nx +的展开式中第三项的系数是第二项系数的6倍（Ⅰ）求展开式的第3项（Ⅱ）若()2101212nn nn n x a a x a x a x a x --+=+++++，则求123(1)n n a a a a -+-++-的值解：(Ⅰ)由题可知221262,7n n C C n == …………3分 展开式第六项225537284T C x x == …………6分（Ⅱ）令700,2x a == 2 …………8分 令012671,1x a a a a a =--+++-= …………10分7123712127a a a a -+-+-=-=-…………12分ξ. （Ⅰ）求该运动员两次都命中7环的概率 （Ⅱ）求ξ的分布列与数学期望E ξ.解：(Ⅰ)该运动员两次都命中7环的概率为04.02.02.0)7(=⨯=P ； ..3分 （Ⅱ）ξ的可能取值为7、8、9、10 …………5分04.0)7(==ξP 21.03.03.02.02)8(2=+⨯⨯==ξP39.03.03.03.023.02.02)9(2=+⨯⨯+⨯⨯==ξP36.02.02.03.022.03.022.02.02)10(2=+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP …………8分 ξ分布列为…………10分ξ的数学希望为07.936.01039.0921.0804.07=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .…………12分19. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的 底面ABCD 是菱形；PA ⊥平面ABCD ,PA AD AC ==， 点F 为PC 的中点．（Ⅰ）求证：//PA 平面BFD ； （Ⅱ）求二面角C BF D --的余弦值．(Ⅰ)证明: 连结AC ，BD 与AC 交于点O ，连结OF .………………1分ABCD 是菱形, ∴O 是AC 的中点. …………………………………2分点F 为PC 的中点, ∴//OF PA . …………………………………3分OF ⊂平面,BFD PA ⊄平面BFD , ∴//PA 平面BFD . …………… 6分CBADPF(Ⅱ)如图，以点A 为坐标原点，线段BC 的垂直平分线所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，令1PA AD AC ===，则()()10,0,0,0,0,1,,02A P C ⎫⎪⎪⎝⎭，()1,0,0,1,02B D ⎫-⎪⎪⎝⎭,11,42F ⎫⎪⎪⎝⎭．∴()310,1,0,,42BC BF ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭．…………8分设平面BCF 的一个法向量为n (),,x y z =,由n ,BC ⊥n BF ⊥，得0031042y y x y z z x ==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨++==⎪⎪⎩⎩，令1x =，则z =31,0,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. ……10分PA ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴PA AC ⊥.//OF PA ，∴OF AC ⊥.ABCD 是菱形,∴AC BD ⊥.OF BD O =，∴AC ⊥平面BFD .∴AC 是平面BFD 的一个法向量,AC=1,02⎫⎪⎪⎝⎭．∴cos ,7AC n AC n AC n⋅===⋅， ∴二面角C BF D --的余弦值是7. ………… 12分 20. （本小题满分13分） 已知函数32()3f x x ax x =-+．（Ⅰ）若3x =是)(x f 的极值点，求)(x f 在[]1,x a ∈上的最小值和最大值． （Ⅱ）若)(x f 在[)1,x ∈+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；解：(Ⅰ) 由题意知2'()3230f x x ax =-+=的一个根为3x =，可得5a =，……… 3分所以2'()31030f x x x =-+=的根为3=x 或 13x =(舍去)， 又(1)1f =-，(3)9f =-，(5)15f =，∴ f （x ）在1[∈x ，5]上的最小值是(3)9f =-，最大值是(5)15f =．… 7分 （Ⅱ）2'()323f x x ax =-+，要)(x f 在[)1,x ∈+∞上是增函数，则有23230x ax -+≥在[)1,x ∈+∞内恒成立，即3322x a x≤+在[)1,x ∈+∞内恒成立 又33322x x+≥（当且仅当1x =时取等号），所以3a ≤………… 13分 21. （本小题满分14分）已知函数2()ln (0)f x ax x x x a =+->。
高中高二数学下学期期末试题 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2016-2017学年某某省某某市普通高中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.1．若复数a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣72．设随机变量ξ～N（l，25），若P（ξ≤0）=P（ξ≥a﹣2），则a=（）A．4 B．6 C．8 D．103．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．724．在二项式（x+a）10的展开式中，x8的系数为45，则a=（）A．±1 B．±2 C．± D．±35．计算（e x+1）dx=（）A．2e B．e+1 C．e D．e﹣16．甲、乙二人参加一项抽奖活动，每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为（）A．B．C．D．7．由抛物线y=x2与直线y=x+4所围成的封闭图形的面积为（）A．15 B．16 C．17 D．188．已知x，y的取值如表，画散点图分析可知，y与x线性相关，且求得回归直线方程为=x+1，则m的值为（）x 0 1 2 3 4y 1.2 m 2.9 4.1 4.7A．1.8 B．2.1 C．2.3 D．2.59．在Rt△ABC中，两直角边分别为a，b，斜边为c，则由勾股定理知c2=b2+a2，则在四面体P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，类比勾股定理，类似的结论为（）A．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2B．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2C．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2+S△PBC2D．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2+S△ABC210．已知（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017，则a1+2a2+3a3+…+2017a2017=（）A．1 B．﹣1 C．4034 D．﹣403411．已知函数f（x）=x2﹣cos（π+x）+l，f′（x）为f（x）的导函数，则y=f′（x）的函数图象大致为（）A．B．C．D．12．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＞﹣（x+1）f′（x），则不等式f（x+l）＞（x﹣2）f（x2﹣5）的解集是（）A．（﹣2，3）B．（2，+∞）C．（，3）D．（，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知离散型随机变量ξ～B（5，），则D（ξ）=．14．（）dx=．15．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（﹣）=．16．已知曲线C： +y2=1与直线l：（t为参数）相交于A、B两点，则线段|AB|的长度为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…以此归纳出S n的表达式，并用数学归纳法证明．18．已知函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个高三理科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个高三理科班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．优秀非优秀合计甲班10乙班30合计（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？P（K20.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考数据：（K2=，其中n=a+b+c+d）20．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4．（Ⅰ）求曲线C的参数方程；（Ⅱ）若曲线C与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A、B，在曲线C上任取一点P，求点P到直线AB的距离的最大值．21．某某市区某“好一多”鲜牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作垃圾回收处理．（1）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：盒，n∈N*）的函数解析式．（2）牛奶店老板记录了 100天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：曰需48 49 50 51 52 53 54求量频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（ⅰ）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望；（ⅱ）若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：x＞0，x＜（x+l）ln（x+1），（Ⅲ）比较：（）100，e的大小关系，（e为自然对数的底数）．2016-2017学年某某省某某市普通高中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.1．若复数a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【考点】A2：复数的基本概念．【分析】直接由题意求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，∴a=2，b=3，则a﹣b=﹣1．故选：B．2．设随机变量ξ～N（l，25），若P（ξ≤0）=P（ξ≥a﹣2），则a=（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的对称性即可得出a﹣2=2．【解答】解：∵随机变量ξ～N（l，25），∴P（ξ≤0）=P（ξ≥2），∴a﹣2=2，即a=4．故选A．3．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．72【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、在2、4之中任选1个，安排在个位，②、将剩下的4个数字安排在其他四个数位，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、要求五位数为偶数，需要在2、4之中任选1个，安排在个位，有2种情况，②、将剩下的4个数字安排在其他四个数位，有A44=24种情况，则有2×24=48个五位偶数，故选：B．4．在二项式（x+a）10的展开式中，x8的系数为45，则a=（）A．±1 B．±2 C．± D．±3【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】在二项式（x+a）10的展开式中，令x的幂指数等于8，求得r的值，可得x8的系数，再根据x8的系数为45，求得a的值．【解答】解：二项式（x+a）10的展开式的通项公式为 T r+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=8，求得r=2，可得x8的系数为•a2=45，∴a=±1，故选：A．5．计算（e x+1）dx=（）A．2e B．e+1 C．e D．e﹣1【考点】67：定积分．【分析】由题意首先求得原函数，然后利用微积分基本定理即可求得定积分的值．【解答】解：由微积分基本定理可得．故选：C．6．甲、乙二人参加一项抽奖活动，每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为（）A．B．C．D．【考点】CM：条件概率与独立事件．【分析】由题意利用条件概率的计算公式，求得甲中奖的前提下乙也中奖的概率．【解答】解：每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，设甲中奖概率为P（A），乙中奖的概率为P（B），两人都中奖的概率为P（AB），则P（A）=0.6，P（B）=0.6，两人都中奖的概率为P（AB）=0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为P（B/A）===，故选：D．7．由抛物线y=x2与直线y=x+4所围成的封闭图形的面积为（）A．15 B．16 C．17 D．18【考点】67：定积分．【分析】本题考查定积分的实际应用，首先求得交点坐标，然后结合题意结合定积分的几何意义计算定积分的数值即可求得封闭图形的面积．【解答】解：联立直线与曲线的方程：可得交点坐标为（﹣2，2），（4，8），结合定积分与几何图形面积的关系可得阴影部分的面积为：．故选：D．8．已知x，y的取值如表，画散点图分析可知，y与x线性相关，且求得回归直线方程为=x+1，则m的值为（）x 0 1 2 3 4y 1.2 m 2.9 4.1 4.7A．1.8 B．2.1 C．2.3 D．2.5【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据表中数据计算、，代入回归直线方程中求出m的值．【解答】解：根据表中数据，计算=×（0+1+2+3+4）=2，=×（1.2+m+2.9+4.1+4.7）=，代入回归直线方程=x+1中，得=2+1，解得m=2.1．故选：B．9．在Rt△ABC中，两直角边分别为a，b，斜边为c，则由勾股定理知c2=b2+a2，则在四面体P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，类比勾股定理，类似的结论为（）A．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2B．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2C．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2+S△PBC2D．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2+S△ABC2【考点】F3：类比推理．【分析】由题意结合平面与空间类比的关系即可得出题中的结论．【解答】解：平面与空间的对应关系为：边对应着面，边长对应着面积，结合题意类比可得．故选：C．10．已知（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017，则a1+2a2+3a3+…+2017a2017=（）A．1 B．﹣1 C．4034 D．﹣4034【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，两边同时对x求导，再令x=2，可得a1+2a2+3a3+…+2017a2017 的值．【解答】解：在（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017中，两边同时对x求导，可得﹣2×2017（3﹣2x）2016=a1+2a2（x﹣1）+…+2017a2017（x﹣1）2016，再令x=2，可得a1+2a2+3a3+…+2017a2017=﹣4034，故选：D．11．已知函数f（x）=x2﹣cos（π+x）+l，f′（x）为f（x）的导函数，则y=f′（x）的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】求出f′（x）的解析式，判断奇偶性，再根据f″（x）的单调性得出f′（x）的增长快慢变化情况，得出答案．【解答】解：f′（x）=x+sin（x+π）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f′（x），∴f′（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D；∵f″（x）=1﹣cosx在（0，π）上是增函数，∴f′（x）在（0，π）上的增加速度逐渐增大，排除C，故选A．12．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＞﹣（x+1）f′（x），则不等式f（x+l）＞（x﹣2）f（x2﹣5）的解集是（）A．（﹣2，3）B．（2，+∞）C．（，3）D．（，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数的单调性得到x+1＞x2﹣5＞0，解不等式即可．【解答】解：∵f（x）＞﹣（x+1）f′（x），∴[（x+1）•f（x）]′＞0，故函数y=（x+1）•f（x）在（0，+∞）上是增函数，由不等式f（x+1）＞（x﹣2）f（x2﹣5）得：（x+2）f（x+1）＞（x+2）（x﹣2）f（x2﹣5），即（x+2）f（x+1）＞（x2﹣4）f（x2﹣5），∴x+1＞x2﹣5＞0，解得：﹣2＜x＜3，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知离散型随机变量ξ～B（5，），则D（ξ）=．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用二项分布的性质求解即可．【解答】解：∵离散型随机变量ξ～B（5，），Dξ=5×=，故答案为：．14．（）dx=．【考点】67：定积分．【分析】本题考查定积分的几何意义，首先确定被积函数表示的几何图形，然后结合图形的形状和圆的面积公式即可求得定积分的数值．【解答】解：函数即：（x﹣1）2+y2=1（x≥1，y≥0），表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆在x轴上方横坐标从1到2的部分，即四分之一圆，结合定积分的几何意义可得．故答案为．15．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（﹣）= ﹣9 ．【考点】63：导数的运算．【分析】由题意首先求得f'（2）的值，然后结合导函数的解析式即可求得最终结果．【解答】解：由函数的解析式可得：∴f′（x）=2x+f′（2）（﹣1），∴f′（2）=4+f′（2）（﹣1），解得f′（2）=，则∴．故答案为：﹣9．16．已知曲线C： +y2=1与直线l：（t为参数）相交于A、B两点，则线段|AB|的长度为．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】由曲线C的直角坐标方程，代入直线的参数方程，运用韦达定理，可得|AB|=|t1﹣t2|，化简整理即可得到所求值；【解答】解：把代入+y2=1可得：，整理得：8t2+4t﹣3=0，，|AB|=|t1﹣t2|==．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…以此归纳出S n的表达式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法．【分析】归纳S n的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明．【解答】解：记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…S n=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2=﹣n×（2n+1），证明如下：①当n=1时，显然成立，②假设当n=k时，等式成立，即S k=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2k﹣1）2﹣（2k）2=﹣k×（2k+1），那么当n=k+1时，即S k+1=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2k﹣1）2﹣（2k）2+（2k+1）2﹣（2k+2）2=﹣k×（2k+1）+（2k+1）2﹣（2k+2）2=﹣（2k2+5k+3）=﹣（k+1）（2k+3）即n=k+1时，等式也成立．故由①和②，可知等式成立．18．已知函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出f （x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，再由极值的定义，可得所求极值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]的导数为f′（x）=x﹣5+=，可得y=f （x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，切点为（1，8），即有切线的方程为y﹣8=2（x﹣1），即为2x﹣y+6=0；（Ⅱ）由f′（x）=x﹣5+=，结合x＞0，由f′（x）＞0，可得x＞3或0＜x＜2，f（x）递增；由f′（x）＜0，可得2＜x＜3，f（x）递减．则f（x）在x=2处取得极大值，且为；f（x）在x=3处取得极小值，且为2+6ln3．19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个高三理科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个高三理科班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．优秀非优秀合计甲班10乙班30合计（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？P（K20.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考数据：（K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】BL：独立性检验．【分析】（Ⅰ）首先由题意求得优秀的人数，据此结合列联表的特征写出列联表即可；（Ⅱ）结合（1）中的列联表结合题意计算K2的值即可确定喜欢数学是否与性别有关．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：所有优秀的人数为：人，据此完成列联表如下所示：优秀非优秀合计甲班10 30 40乙班30 30 60合计40 60 100（Ⅱ）由列联表中的结论可得：，则若按99%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．20．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4．（Ⅰ）求曲线C的参数方程；（Ⅱ）若曲线C与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A、B，在曲线C上任取一点P，求点P到直线AB的距离的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，求了曲线C的直角坐标方程为，由此能求出曲线C的参数方程；（Ⅱ）求得直线AB的方程，设P点坐标，根据点到直线的距离公式及正弦函数的性质，即可求得点P到直线AB的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，即ρ2（sin2θ+cos2θ+3sin2θ）=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即；∴曲线C的参数方程为（α为参数）；（Ⅱ）∵曲线与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A，B，∴由已知可得A（2，0），B（0，1），直线AB的方程：x+2y﹣2=0，设P（2cosφ，sinφ），0＜φ＜2π，则P 到直线AB的距离d==丨sin（φ+）﹣1丨，∴当φ+=π，即φ=时d取最大值，最大值为（+1）．点P到直线AB的距离的最大值（+1）．21．某某市区某“好一多”鲜牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作垃圾回收处理．（1）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：盒，n∈N*）的函数解析式．（2）牛奶店老板记录了 100天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：48 49 50 51 52 53 54曰需求量频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（ⅰ）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望；（ⅱ）若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据利润公式得出函数解析式；（2）（i）求出利润的可能取值及其对应的概率，得出分布列和数学期望；（ii）求出n=51时对应的数学期望，根据利润的数学期望大小得出结论．【解答】解：（1）当n≤50时，y=5n﹣50×3=5n﹣150，当n＞50时，y=50×（5﹣3）=100，∴y=．（2）（i）由（1）可知n=48时，X=90，当n=49时，X=95，当n≥50时，X=100．∴X的可能取值有90，95，100．∴P（X=90）==，P（X=95）==，P（X=100）==，∴X的分布列为：X 90 95 100P∴E（X）==98．（ii）由（i）知当n=50时，E（X）=98，当n=51时，y=，∴当n=48时，X=87，当n=49时，X=92，当n=50时，X=97，当n≥51时，X=102，∴P（X=87）=，P（X=92）=，P（X=97）==，P（X=102）=．∴E（X）=87+++=97.7．∵98＞97.7，∴每天应购进50盒比较合理．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：x＞0，x＜（x+l）ln（x+1），（Ⅲ）比较：（）100，e的大小关系，（e为自然对数的底数）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的X围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于ln（x+1）＞，令t=x+1，则x=t﹣1，由x＞0得t＞1，问题等价于：lnt＞，根据函数的单调性证明即可；（Ⅲ）根据＜1，令x=，得到（1+）ln（x+1）＞1，判断大小即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）=，当a≤0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f'（x）＜0得0＜x＜a，由f'（x）＞0得x＞a，所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：①因为x＞0，x＜（x+l）ln（x+1）等价于ln（x+1）＞，令t=x+1，则x=t﹣1，由x＞0得t＞1，所以不等式ln（x+1）＞（x＞0）等价于：lnt＞，即：lnt﹣＞0（t＞1），由（Ⅰ）得：函数g（t）=lnt﹣在（1，+∞）上单调递增，所以g（t）＞g（1）=0，即：ln（x+1）＞；②因为x＞0，不等式 x＜（x+l）ln（x+1）等价于ln（x+1）＜x，令h（x）=ln（x+1）﹣x，则h′（x）=﹣1=，所以h'（x）＜0，所以函数h（x）=ln（x+1）﹣x在（0，+∞）上为减函数，所以h（x）＜h（0）=0，即ln（x+1）＜x．由①②得：x＞0时，x＜（x+l）ln（x+1）；（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x＞0时，＜1，所以令x=，得100×ln（+1）＜1，即ln（）100＜1，所以（）100＜e；又因为＞（x＞0），所以（1+）ln（x+1）＞1，令x=得：100×ln＞1，所以ln（）100＞1，从而得（）100＞e．所以（）100＜（）100．。
高二数学下学期期末考试理科试题含答案
第二学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足()134i z i -=+，则z =（ ）A.52B.2C. D.52.设集合{}419A x x =-≥，03x B xx ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋂等于（ ）A.(3,2]--B.5(3,2]0,2⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦C.5(,2],2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.5(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.二项式(52x +的展开式中，3x 的系数为（ ）A.80B.40C.20D.104.由直线2y x =及曲线24y x x =-围成的封闭图形的面积为（ ） A.1B.43C.83D.45.已知命题:p 若0x >，则sin x x <，命题 :q 函数2()2xf x x =-有两个零点，则下列说法正确的是（ ）①p q ∧为真命题；②p q ⌝∨⌝为真命题；③p q ∨为真命题；④p q ⌝∨为真命题 A.①②B.①④C.②③D.①③④6.函数3()1f x ax x =++有极值的一个充分不必要条件是（ ） A.1a <- B.1a <C.0a <D.0a >7.为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：但是统计员不小心丢失了一个数据（用m 代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为0.760.4y x =+，则m 的值等于（ ）A.8.60B.8.80C.9.25D.9.528.2020年全国高中生健美操大赛，某市高中生代表队运动员由2名男生和3名女生共5名同学组成，这5名同学站成一排合影留念，则3名女生中有且只有两位女生相邻的排列种数共有（ ） A.36B.54种C.72种D.144种9.《易经》是中国传统文化中的精髓.下图是易经先天八卦图（记忆口诀：乾三连、坤六断、巽下断、震仰盂、坎中满、离中虚、艮覆碗、兑上缺），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，已知每卦都含有阳线和阴线，则这两卦的六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（ ）A.13B.514C.314D.1510.观察下列算式：311=3235=+ 337911=++ 3413151719=+++若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n =（ ） A.42B.43C.44D.4511.如图是一个质地均匀的转盘，一向上的指针固定在圆盘中心，盘面分为A ，B ，C 三个区域，每次转动转盘时，指针最终都会随机停留在A ，B ，C 中的某一个区域，且指针停留在区域A ，B 的概率分别是p 和1206p p ⎛⎫<<⎪⎝⎭.每次转动转盘时，指针停留在区域A ，B ，C 分别获得积分10，5，0.设某人转动转盘3次获得总积分为5的概率为()f p ，则()f p 的最大值点0p 的值为（ ）A.17B.18C.19D.11012.定义在(2,2)-上的函数()f x 的导函数为()f x '，已知2(1)f e =，且()2()f x f x '>，则不等式24(2)xe f x e -<的解集为（ ）A.(1,4)B.(2,1)-C.(1,)+∞D.(0,1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.命题“0x ∃<，220x x -->”的否定是“______”. 14.曲线1ln y x x=-在1x =处的切线在y 轴上的截距为______. 15.我国在2020年11月1日零时开始展开第七次全国人口普查，甲、乙等5名志愿者参加4个不同社区的人口普查工作，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只去一个社区，则不同的安排方法共有______种.16.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲、乙在每局中获胜的概率均为12，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共打了ξ局，则ξ的方差()D ξ=______.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()|3|f x x =-，()|4|g x x m =-++. （1）当9m =时，解关于x 的不等式()()f x g x >；（2）若()()f x g x >对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 18.（本小题满分12分）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A ，B ，C 三种样式，且每个盲盒只装一个.（1）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占23；而在未购买者当中，男生女生各占50%.请根据以上信息填写下表，并判断是否有95%的把握认为购买该款盲盒与性别有关?附：)22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：（2）该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如下表：由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1，3周数据进行检验.①请用4，5，6周的数据求出）关于x 的线性回归方程y bx a =+；（注：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠? 19.（本小题满分12分）在某学校某次射箭比赛中，随机抽取了100名学员的成绩（单位：环），并把所得数据制成了如下所示的频数分布表； （1）求抽取的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知这次比赛共有2000名学员参加，如果近似地认为这次成绩Z 服从正态分布()2,N μσ（其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2 1.61s =），且规定8.27环是合格线，那么在这2000名学员中，合格的有多少人?（3）已知样本中成绩在[9,10]的6名学员中，有4名男生和2名女生，现从中任选3人代表学校参加全国比赛，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E ξ. [附：若()2~,Z N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=， 1.27≈，结果取整数部分]20.（本小题满分12分） 已知()23x x f e x e =--. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的值域；（3）若函数1()g x f kx x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在定义域上是增函数，求实数k 的取值范围. 21.（本小题满分12分）随着5G 通讯技术的发展成熟，移动互联网短视频变得越来越普及，人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台，为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频，会对创作者上传的短视频进行审核，通过审核后的短视频，会对用户进行重点的分发推荐.短视频创作者上传一条短视频后，先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核，短视频审核通过的概率为35，通过智能机器人审核后，进入第二阶段的人工审核，人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核，同一条短视频每名员工审核通过的概率均为12，若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过，则该短视频获得重点分发推荐.（1）某创作者上传一条短视频，求该短视频获得重点分发推荐的概率；（2）若某创作者一次性上传3条短视频作品，求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望.22.（本小题满分12分）已知2()sin sin xxf x x e xe x ax a x =--+. （1）当()f x 有两个零点时，求a 的取值范围； （2）当1a =，0x >时，设()()sin f x g x x x=-，求证：()ln g x x x ≥+.六安一中2020~2021学年第二学期高二年级期末考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题：二、填空题：13.0x ∀<，220x x --≤ 14.-315.240 16.114三、解答题：17.解：（1）当9m =时，由()()f x g x >，得341x x -++>，4349x x x <-⎧⎨--->⎩或43349x x x -≤≤⎧⎨-++>⎩或3349x x x >⎧⎨-++>⎩ 解得，5x <-或x 无解或4x >， 故不等式的解集为(,5)(4,)x ∈-∞-⋃+∞.（2）因为()()f x g x >恒成立，即|3||4|x x m ->-++恒成立， 所以|3||4|m x x <-++恒成立，所以min (|3||4|)m x x <-++， 因为|3||4||(3)(4)|7x x x x -++≥--+=（当43x -≤≤时取等号）所以min (|3||4|)7x x -++=，所以实数m 的取值范围是(,7)-∞. 18.解：（1）则2 4.714 3.8411109060140K =≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为“购买该款盲盒与性别有关”. （2）①由数据，求得5x =，27y =，由公式求得222(45)(2527)(55)(2627)(65)(3027)5ˆ(45)(55)(65)2b--+--+--==-+-+-， 5ˆˆ27514.52ay bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.514.5yx =+. ②当1x =时，ˆ 2.5114.517y=⨯+=，|1716|2-<； 同样，当3x =时，ˆ 2.5314.522y=⨯+=，|2223|2-<. 所以，所得到的线性回归方程是可靠的.19.解：（1）由所得数据列成的频数分布表，得样本平均数4.50.055.50.186.50.287.50.268.50.179.50.067x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由（1）知~(7,1.61)Z N ，10.6827(8.27)0.158652P Z -∴≥==∴在这2000名学员中，合格的有：20000.15865317⨯≈人（3）由已知得ξ的可能取值为1，2，31242361(1)5C C P C ξ===，2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===， ξ∴的分布列为：1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=（人）20.解：（1）令x e t =，(0)t >，则ln x t =，由()23x x f e x e =--，得()ln 23f t t t =--， 所以函数()f x 的解析式为()ln 23f x x x =--.（2）依题意知函数的定义域是(0,)+∞，且1()2f x x'=-， 令()0f x '>，得102x <<，令()0f x '<，得12x >，故()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减， 所以max 1()ln 242f x f ⎛⎫==--⎪⎝⎭；又因为0x →，()f x →-∞， 所以函数()f x 的值域为(,ln 24]-∞--.（3）因为12()ln 3g x f kx x kx x x ⎛⎫=-=---- ⎪⎝⎭在(0,)+∞上是增函数， 所以212()0g x k x x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立， 则只需2min 12k x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，而221211112488x x x ⎛⎫-+=--≥- ⎪⎝⎭（当4x =时取等号），所以实数k 的取值范围为1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.21.解：（1）设“该短视频获得重点分发推荐”为事件A ，则21302333311113()C 115222210P A C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ （2）设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量X ，X 可取0，1，2，3.则3~3,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭， 030333343(0)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；121333441(1)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 212333189(2)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；30333327(3)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以随机变量X 的分布列如下：343441189279()0123100010001000100010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（或39()31010E X =⨯=） 22.解：（1）由题知，()()(sin )x f x xe a x x =--有两个零点，sin 0x x -=时，0x =故当0x xe a -=有一个非零实根设()x h x xe =，得()(1)xh x x e '=+，()h x ∴在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增.又1(1)h e-=-，(0)0h =，0x >时，(0)0h >；0x <时，(0)0h <. 所以，a 的取值范围是1a e=-或0a >. （2）由题，()()1sin x f x g x xe x x==--法一：()1ln ln x x xe x x xe -≥+=，令0x t xe =>，令()ln 1(0)H t t t t =-->11()1t H t t t -'=-=()H x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ()(1)0H x H ∴≥=.1ln x xe x x ∴-≥+法二：要证1ln x xe x x -≥+成立故设()ln 1xM x xe x x =---，1()(1)xM x x e x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭，(0)x >， 令1()x N x e x =-，则21()0x N x e x'=+>，()N x ∴在(0,)+∞上单调递增又1202N ⎛⎫=<⎪⎝⎭，(1)10N e =->， 01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00N x =.001x e x ∴=，00ln x x =-，()M x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.()0min 0000[()]ln 10x M x M x x e x x ∴==---=.1ln x xe x x ∴-≥+。
最新人教版高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
最新人教版高二下学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={4,5，7，9}，B={3,4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】A【解析】解：A∪B={3,4，5，7，8，9}，A∩B={4,7，9}∴∁U(A∩B)={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B)故选：A．根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．本题考查集合的基本运算，较简单．2.复数3+2i2−3i=()A. 1B. −1C. iD. −i【答案】C【解析】解：复数3+2i2−3i =(3+2i)(2+3i)(2−3i)(2+3i)=13i13=i，故选：C．两个复数相除，分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个复数的乘法法则化简．本题考查两个复数的除法法则的应用以及两个复数乘法法则的应用．3.已知m⃗⃗⃗ =(a,−2)，n⃗=(1,1−a)，且m⃗⃗⃗ //n⃗，则a=()A. −1B. 2或−1C. 2D. −2【答案】B【解析】解：∵m⃗⃗⃗ =(a,−2)，n⃗=(1,1−a)，且m⃗⃗⃗ //n⃗，∴a(1−a)−(−2)×1=0，化简得a2−a−2=0，解得a=2或a=−1；∴a的值是2或−1．故选：B．根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值即可．本题考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目．4.在区间[−1,1]上随机选取一个实数x，则事件“2x−1<0“的概率为()A. 12B. 34C. 23D. 14【答案】B【解析】解：由2x−1<0，得x<12．∴在区间[−1,1]上随机选取一个实数x，则事件“2x−1<0“的概率为12−(−1)1−(−1)=322=34．故选：B．求解一元一次不等式得x的范围，再由测度比为长度比得答案．本题考查几何概型，关键是明确测度比为长度比，是基础题．5.已知tana=4，cotβ=13，则tan(a+β)=()A. 711B. −711C. 713D. −713【答案】B【解析】解：∵tana=4，cotβ=13，∴tanβ=3∴tan(a+β)=tana+tanβ1−tanatanβ=4+31−3×4=−711故选：B．由已知中cotβ=13，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案．本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键．6.(x−2y)6的展开式中，x4y2的系数为()A. 15B. −15C. 60D. −60【答案】C【解析】解：(x−2y)6展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅x6−r⋅(−2y)r，令r=2，得T3=C62⋅x4⋅(−2y)2=60x4y2，所以x4y2的系数为60．故选：C．根据二项式展开式的通项公式，利用展开式中x4y2，即可求出对应的系数．本题考查了利用二项式展开式的通项公式求特定项的应用问题，是基础题目．7.执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是()A. 2B. 1C. 12D. −1【答案】A【解析】解：当a=2，k=0时，执行循环a=−1，满足继续循环的条件，k=1；，满足继续循环的条件，k=2；执行循环a=12执行循环a=2，满足继续循环的条件，k=3；执行循环a=−1，满足继续循环的条件，k=4；执行循环a=1，满足继续循环的条件，k=5；2执行循环a=2，不满足继续循环的条件，故输出的结果为2，故选：A．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案；本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8.设非零向量a⃗、b⃗ 、c⃗满足|a⃗|=|b⃗ |=|c⃗|,a⃗+b⃗ =c⃗，则<a⃗,b⃗ >=()A. 150∘B. 120∘C. 60∘D. 30∘【答案】B【解析】解：由向量加法的平行四边形法则，∵两个向量的模长相等∴a⃗、b⃗ 可构成菱形的两条相邻边，∵a⃗+b⃗ =c⃗∴a⃗、b⃗ 为起点处的对角线长等于菱形的边长，∴两个向量的夹角是120∘，故选：B．根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题.向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体．9.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A. 150种B. 180种C. 300种D. 345种【答案】D【解析】解：分两类(1)甲组中选出一名女生有C51⋅C31⋅C62=225种选法；(2)乙组中选出一名女生有C52⋅C61⋅C21=120种选法.故共有345种选法．故选：D．选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！10.下列4个命题中正确命题的个数是(1)对于命题p：∃x0∈R，使得x02−1≤0，则￢p：∀x∈R都有x2−1>0(2)已知X～N(2,σ2)，P(x>2)=0.5(3)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y∧=2x−3(4)“x≥1”是“x+1x≥2”的充分不必要条件.()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：(1)对于命题p：∃x0∈R，使得x02−1≤0，则￢p：∀x∈R都有x2−1>0，正确；(2)已知X～N(2,σ2)，P(x>2)=0.5，正确；(3)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y∧= 2x−3，正确；(4)“x≥1”可得“x+1x ≥2”“x+1x≥2”不能得出“x≥1”，比如x=12，则“x≥1”是“x+1x≥2”的充分不必要条件，正确．故选：D．对4个命题分别进行判断，即可得出结论．本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11.正方体ABCD−A1B1C1D1中，若△D1AC外接圆半径为2√63，则该正方体外接球的表面积为()A. 2πB. 8πC. 12πD. 16π【答案】C【解析】解：如图，设正方体的棱长为a，则△D1AC是边长为√2a的等边三角形，设其外接圆的半径为r，则√2asin60∘=2r，即r=√63a．由√63a=2√63，得a=2．∴正方体外接球的R=12√22+22+22=√3．∴正方体外接球的表面积为4π×(√3)2=12π．故选：C．由题意画出图形，设正方体的棱长为a，则△D1AC是边长为√2a的等边三角形，由正弦定理列式求得△D1AC外接圆半径，进一步求得a值，再由正方体体对角线长的平方等于过一个顶点的三条棱的平方和求得正方体外接球的半径，则答案可求．本题考查球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12.已知奇函数f(x)的导函数为，当x≠0时，0'/>，若a=1e f(1e)，b=−ef(−e)，c=f(1)，则a，b，c的大小关系正确的是()A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. a<c<b【答案】D【解析】解：令g(x)=xf(x)，则g′(x)=f(x)+xf′(x)．∵当x≠0时，f′(x)+f(x)x>0，∴当x>0时，xf′(x)+f(x)>0．即当x>0时，g′(x)>0，因此当x>0时，函数g(x)单调递增，∵e>1>1e，∴g(e)>g(1)>g(1e)，∵函数f(x)为奇函数，∴g(−x)=−xf(−x)=xf(x)=g(x)，故b=−ef(−e)=g(e)，故b=g(e)>c=g(1)>a=g(1e)，故选：D．令g(x)=xf(x)，则g′(x)=f(x)+xf′(x).由于当x≠0时，f′(x)+f(x)x>0，可得：当x>0时，xf′(x)+f(x)>0.即当x>0时，g′(x)>0，因此当x>0时，函数g(x)单调递增.即可得出．本题考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性比较大小，考查了推理能力，是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.能够说明“e x>x+1恒成立”是假命题的一个x的值为______．【答案】0【解析】解：当x=0时，e x>x+1，不成立，故答案为：0．利用反例判断命题的真假即可．本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．14.如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为______．【答案】13【解析】解：由题意结合定积分的几何意义可得阴影部分的面积为：S=∫(11−√x)dx=(x−23x32)|01=13，由几何概型计算公式可得：黄豆落在阴影部分的概率为p=131×1=13，故答案为：13．利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型计算公式求解．本题考查定积分的几何意义，几何概型计算公式等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．15.设实数x，y满足{x−y+1≥0y+1≥0x+y+1≤0，则2x−y的最小值为______．【答案】1【解析】解：不等式组对应的平面区域如图，设z=2x−y，当此直线经过图中B(0,−1)时，在y轴的截距最小，即z最小，所以z的最小值为1；故答案为：1．作出不等式组对应的平面区域，设z=2x−y，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最小值本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法16.设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=______．【答案】24【解析】解：∵s9=9(a1+a9) 2=9a5=72∴a5=8又∵a2+a4+a9=3(a1+4d)=3a5=24故答案是24先由S9=72用性质求得a5，而3(a1+4d)=3a5，从而求得答案．本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=sinx−acosx的一个零点是π4．(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)设g(x)=f(x)⋅f(−x)+2√3sinxcosx，若x∈[0,π2]，求g(x)的值域．【答案】(Ⅰ)解：依题意，得f(π4)=0，即sinπ4−acosπ4=√22−√2a2=0，解得a=1.(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得f(x)=sinx−cosx．g(x)=f(x)⋅f(−x)+2√3sinxcosx=(sinx−cosx)(−sinx−cosx)+√3sin2x =(cos2x−sin2x)+√3sin2x=cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π6).由x∈[0,π2]得π6≤2x+π6≤7π6∴当2x+π6=π2即x=π6时，g(x)取得最大值2，当2x+π6=7π6即x=π2时，g(x)取得最小值−1．所以g(x)的值域是[−1,2]．【解析】(I)根据f(π4)=0计算a的值；(II)化简f(x)的解析式，再根据这些函数的单调性得出g(x)的最值即可．本题考查了三角函数的恒等变换与化简求值，属于中档题．18.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100,120)内，则为合格品，否则为不合格品.表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图．表1：甲套设备的样本的频数分布表图1：乙套设备的样本的频率分布直方图(Ⅰ)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；(Ⅱ)根据表和图，对两套设备的优劣进行比较；(Ⅲ)将频率视为概率.若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的期望E(X)．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．【答案】解：(Ⅰ)根据表1和图1得到列联表：甲套设备乙套设备合计合格品484391不合格品279合计5050100…(3分)将列联表中的数据代入公式计算得K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(48×7−2×43)250×50×91×9≈3.053；…(5分)∵3.053>2.706，∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；…(6分) (Ⅱ)根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为4850，乙套设备生产的合格品的概率约为4350，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散；因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备；…(9分)(Ⅲ)由题知，不合格品的概率为P=250=125，且X～B(3,125)，…(11分)∴X的数学期望为E(X)=3×125=325.…(12分)【解析】(Ⅰ)根据题意，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；(Ⅱ)根据表1和图1分析数据特征与离散程度，即可得出结论；(Ⅲ)由题知X～B(3,125)，求出数学期望即可．本题主要考查了统计与概率的相关知识应用问题，也考查了对数据处理能力的应用问题．19. 如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，CF//DE ，DE =3CF ，BE 与平面ABCD 所成的角为45∘． (1)求证：平面ACE ⊥平面BDE ； (2)求二面角F −BE −D 的余弦值． 【答案】(1)证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ． ∴DE ⊥AC ． 又底面ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， 又BD ∩DE =D ， ∴AC ⊥平面BDE ，又AC ⊂平面ACE ， ∴平面ACE ⊥平面BDE ． (2)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，∵BE 与平面ABCD 所成的角为45∘，即∠EBD =45∘， ∴DE =BD =√2AD =3√2，CF =13DE =√2．∴A(3,0，0)，B(3,3，0)，C(0,3，0)，E(0,0，3√2)，F(0,3，√2)， ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0，√2)，EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，−2√2)， 设平面BEF 的一个法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−3x +√2z =03y −2√2z =0， 令z =3√2，则n⃗ =(2,4，3√2). 又AC ⊥平面BDE ，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3，0)为平面BDE 的一个法向量． ∴cos <n ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√38⋅3√2=√1919． ∵二面角F −BE −D 为锐角， ∴二面角F −BE −D 的余弦值为√1919．【解析】(1)根据AC ⊥BD ，AC ⊥DE 可得AC ⊥平面BDE ，故而平面ACE ⊥平面BDE ； (2)建立空间坐标系，求出平面BDE 和平面BEF 的法向量，根据法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了面面垂直的性质，空间向量的应用，属于中档题．20. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0,−√3)，(0,√3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． (Ⅰ)写出C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +1与C 交于A ，B 两点.k 为何值时OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？此时|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值是多少？． 【答案】解：(Ⅰ)设P(x,y)，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0,−√3),(0,√3)为焦点， 长半轴为2的椭圆.它的短半轴b =√22−(√3)2=1，故曲线C 的方程为x 2+y 24=1.(4分)(Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，其坐标满足{x 2+y 24=1y =kx +1.消去y 并整理得(k 2+4)x 2+2kx −3=0， 故x 1+x 2=−2kk 2+4,x 1x 2=−3k 2+4.(6分)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即x 1x 2+y 1y 2=0.而y 1y 2=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1， 于是x 1x 2+y 1y 2=−3k 2+4−3k 2k 2+4−2k 2k 2+4+1=−4k 2+1k 2+4．所以k =±12时，x 1x 2+y 1y 2=0，故OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(8分) 当k =±12时，x 1+x 2=∓417，x 1x 2=−1217．|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)(x 2−x 1)2，而(x 2−x 1)2=(x 2+x 1)2−4x 1x 2=42172+4×4×317=43×13172，所以|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4√6517.(12分) 【解析】(Ⅰ)设P(x,y)，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是椭圆.从而写出其方程即可； (Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，其坐标满足{x 2+y 24=1y =kx +1.，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系及向量垂直的条件，求出k 值即可，最后通牒利用弦长公式即可求得此时|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值，从而解决问题．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．21. 设函数f(x)=x(k −lnx)，(k 为常数)，g(x)=1x −1xf(x).曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行． (Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)求g(x)的单调区间和最小值；(Ⅲ)若g(a)−g(x)<1a 对任意x >0恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】解：(Ⅰ)f(x)=x(k −lnx)的导数为f′(x)=k −lnx −1， 因为曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行， 所以f′(1)=k −1=0， 所以k =1；(Ⅱ)g(x)=1x −1x f(x)=1x −1+lnx ，定义域为{x|x >0}， 导数g′(x)=−1x 2+1x =x−1x 2，令得x =1，当x 变化时，和g(x)的变化如下表：由上表可知g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)， 最小值为g(1)=0；(Ⅲ)若g(a)−g(x)<1a 对任意x >0成立， 则g(a)−g(x)min <1a ， 即1a −1+lna −0<1a ， 即lna <1，解得0<a <e ．【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，解方程可得k 的值； (Ⅱ)求得g(x)的解析式和导数，以及单调区间，可得极值和最值； (Ⅲ)由题意可得g(a)−g(x)min <1a ，代入计算即可得到所求a 的范围．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．22. 在直角坐标系xOy 中，以原点为O 极点，以x 轴正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为ρ=4√2cos(θ+π4)．(1)将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过点P(2,0)作斜率为1直线l 与圆C 交于A ，B 两点，试求1|PA|+1|PB|的值． 【答案】解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ=4√2cos(θ+π4)，展开可得：ρ2=4√2×√22ρ(cosθ−sinθ)，可得直角坐标方程：x 2+y 2−4x +4y =0． (2)直线l 的参数方程为：{x =2+√22t y =√22t(t 为参数)，代入上述方程可得：t 2+2√2t −4=0．t 1+t 2=−2√2，t 1t 2=−4， 则1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√8−4×(−4)4=√62． 【解析】(1)圆C 的极坐标方程为ρ=4√2cos(θ+π4)，展开可得：ρ2=4√2×√22ρ(cosθ−sinθ)，利用互化公式即可得出直角坐标方程． (2)直线l 的参数方程为：{x =2+√22t y =√22t(t 为参数)，代入上述方程可得：t 2+2√2t −4=0．1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1−t2||t1t2|=√(t1+t2)2−4t1t2|t1t2|．本题考查了极坐标方程化为参数方程、参数方程化为普通方程及其应用、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.已知函数f(x)=|2x+a|+|2x−1|，g(x)=|x−1|+2．(1)解不等式g(x)≥4；(2)若对任意x2∈R，都有x1∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)∵g(x)=|x−1|+2.g(x)≥4，∴由|x−1|+2≥4，得|x−1|≥2，解得x≤−1或x≥3．故不等式g(x)≥4的解集为{x|x≤−1或x≥3}．(2)∵对任意x2∈R，都有x1∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，∴{y|y=g(x)}⊆{y|y=f(x)}．又∵g(x)=|x−1|+2≥2，f(x)=|2x+a|+|2x−1|≥|(2x+a)−(2x−1)|=|a+ 1|．∴|a+1|≤2，解得−3≤a≤1，∴实数a的取值范围为[−3,1]．【解析】(1)由g(x)≥4，得|x−1|≥2，由此能求出不等式g(x)≥4的解集．(2)推导出{y|y=g(x)}⊆{y|y=f(x)}.利用g(x)=|x−1|+2≥2，f(x)=|2x+a|+ |2x−1|≥|(2x+a)−(2x−1)|=|a+1|.得到|a+1|≤2，由此能求出实数a的取值范围．本题考查不等式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．。
人教版高二数学下学期期末考试理试题(解析版)
【答案】
【解析】
由已知 为二次函数且对称轴为 轴，∴ ，即 ．再根据函数在 单调递增，可得 ．令 ，求得 或 ，故由 ，可得 或 ，故解集为 ．
三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.设数列 的前 项和为 ，且 .
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】根据题意作图如下：
设 .
∵
∴
∵由双曲线焦半径公式知 ，
∴
∴
故选C.
点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，转化为 的齐次式，然后转化为关于 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 ( 的取值范围)．
8.函数 的部分图像如图所示，为了得到 的图像，只需将函数 的图像（）
A. 向左平移 个单位长度B. 向左平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度D. 向右平移 个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出 ，由周期求出 ，由 在函数图象上，结合 的范围求出 的值，可得函数的解析式．再根据函数 的图象变换规律，可得结论．
详解】解：由图可知 ，∵ ，
∴ ，解得： ，可得 ，
将 代入得： ，
∵ ，
∴ ， ，
故可将函数 的图像向左平移 个单位长度得到 的图像.
故选：B.
【点睛】本题主要考查由函数 的部分图象求解析式，函数 的图象变换规律，属于基础题．
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学校：___________________________年_______班姓名：____________________学号：________---------密封线---------密封线---------高中二年级第二学期人教版高二数学下册期末考试理科数学试题符合题意)1. 设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝().A．[－4，－2] B．(－∞，1] C．[1，＋∞) D．(－2，1]2. 已知复数201712izi=-，则复数z的虚部为().A.25- B.15i C.15D.15-3. 随机变量X～()1,4N，若()20.2p x≥=，则()01p x≤≤为().A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.64. 若4个人报名参加3项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有().A. 34A B. 34C C. 34 D. 435. 广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）销售额约为().A. 90.8B.72.4C. 98.2D. 111.26. 从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A表示“第1次取到的是奇数”，事件B表示“第2次取到的是奇数”，则(|)P B A=().A.15B.310C.25D.127. 已知函数，是的导函数，则的图象大致是().8.B,现将质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影部分的概率为( )A.23B.34C.45D.569. 若,0x y>且2x y+>，则1yx+和1xy+的值满足（）A.1yx+和1xy+都大于2 B.1yx+和1xy+都小于2C.1yx+和1xy+中至少有一个小于2 D. 以上说法都不对10. 2013年8月,考古学家在湖北省随州市叶家山发现了大量的古墓,经过对生物体内碳14含量的测量,估计该古墓群应该形成于公元前850年左右的西周时期,已知碳14的“半衰期”为5730年(即含量大约经过5730年衰减为原来的一半)，由此可知，所测生物体内碳14的含量应最接近于（）A．25﹪B．50﹪C．70﹪D．75﹪11. 对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：33313731523945171119⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩，，，....仿此，若3m的“分裂数”中有一个是2017，则m的值为().A. 44B. 45C. 46D.4712. 已知函数()()2ln 2f x a x x a x =+-+恰有两个零点，则实数a 的取值范围是( ).A. ()1,-+∞B. ()1,0-C. ()2,0-D. ()2,1--二. 填空题(本题有4个小题，每小题5分，满分20分) 13. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格。
某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________ . 14. 已知函数()()2ln '1f x x x f =-⋅，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是__________________________ . 15.设()()()()62601262111x a a x a x a x -=+++++++，则4a 等于_________________________ .16. 先阅读下面的文字：“x =，则有x =两边平方，可解得x =2（负值舍去）”。
那么，可用类比的方法，求出12122+++⋅⋅⋅的值是 _______ .三. 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分）已知定义在R⑴ 求a b ，； ⑵ 若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．18. （本小题满分12分）为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50（1）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）为参加市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，现在环保测试优秀的同学中选3人参加预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为32，若随机变量X 表示这3人中通过预选赛的人数，求X 的分布列与数学期望． 附:2K ＝2()n ad bc -19. （本小题满分12分）如图,某段铁路AB 长为80公里，BC AB ⊥,且10BC =公里，为将货物从A 地运往C 地, 现在AB 上的距点B 为x 的点M 处修一公路至点C.已知铁路运费为每公里2元,公路运费为每公里4元. （1）将总运费y 表示为x 的函数. （2）如何选点M 才使总运费最小？20. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()211,n n a S n a n N +==∈（1）试求出1234,,,S S S S ，并猜想n S 的表达式； （2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出n a 的表达式。
21. （本小题满分12分）设函数()(1)ln(1)f x x x x =-++．（1）求的极值；（2）当时，试证明：．()f x 0a b >>(1)(1)baa b +<+请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22. (本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的方程为，点．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线交于、两点，求的值．23． （本小题满分10分）选修45：不等式选讲设函数，不等式的解集是． （1）求实数的值；（2）若对一切恒成立，求的范围．C 2cos 29ρθ=)6P πO x OP C OP C A B 11||||PA PB +()||f x x a =-()2f x ≤{}|15x x ≤≤a (2)(2)f x f x m ++≥x R ∈m参考答案及评分标准:一.二. 13.4514. 20x y --= 15. 135 16. 72 二. 解答题：17.⑴1a b ==；⑵13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，.⑴ ∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()100b f -==，∴1b = ……1分 2a +21x a a +=+即()2121x x a -=-对一切实数x 都成立． ∴1a =，∴1a b ==．……5分 ()f x 是R 上的减函数。
……6分⑵ 不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()2222f t t f k t -<-． 又()f x 是R 上的减函数，∴2222t t k t ->-． ……8分 ∴221132333k t t t ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭对t R ∈恒成立，……10分∴13k <-．即实数k 的取值范围是13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， ……12分18.（1（2）分布列见解析，（1……3分 6.635)0.01=所以有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关．……6分（2）的可能取值为0，1，2，3 ……7分1)1()0(3===X P ， 92)1)(2()1(213===C X P..…10分因为2~(3,)3X B ， 所以2()323E X np ==⨯= ……12分 19.（1（2C 时总运费最省． （1）依题意，铁路AM 上的运费为280x -,公路MC 上的运费为分（2分,'0y ≥； X20. （1）21n nS n =+；（2）见解析. （1）解：()()()221112221n n n n n n n n n a S S n S n S S S S n n ---=-≥∴=-∴=≥-11123443681,1,,,,3245a S a S S S =∴====== ……3分猜想21n nS n =+ ……5分（2）证明：（1）当1n =时， 1211,111S ⨯==+等式成立。
假设当()1,n k k k N +=≥∈时，等式成立，即21k kS k =+。
当1n k =+时，()21111211k k k k k k S k a a S a k ++++=+⋅=+=++，∴()()122121212k k a k k k k k +=⋅=++++ ……8分()()()()()()()2211212121112211k k k k S k a k k k k k ++++∴=+⋅=+⋅==+++++1n k ∴=+时，等式也成立。
综上1）2）知，对于任意n N +∈， 21n nS n =+都成立。
……10分 又()()()122121k n a a k k n n +=∴=+++……12分'1ln(1)1ln(1)f x x x =-++=-+ ……2分当)0,1(-∈x 时，'()0f x >， (0,+),'()0,x f x ∈∞<时……4分 所以当0x =时，极大值=(0)0f =．函数()f x 无极小值。
……5分（Ⅱ）要证，只需证ln(1)ln(1)b a a b +<+，……6分设，则……10分由（1）知在单调递减(1)ln(1)0x x x ∴-++<即g x 在0,+∞上是减函数，而0a b >>，故原不等式成立 ……12分22.（1）312x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），229x y -=；（2）2. （1）∵化为直角坐标可得P ，=6πα，……1分∴直线OP 的参数方程为：3,21.2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ……3分 ∵2222cos sin 9ρθρθ-=，∴曲线C 的直角坐标方程：229x y -=，……5分()f x ()()11baa b +<+a b ()()()ln 1 ,0x g x x x+=>(1)ln(1)x x x -++()0,+∞()() g a g b ∴<∴12t t +=-1260t t =-<，∴121212||1111||||||||||t t PA PB t t t t -+=+==……10分 23.（1）3a =；（2）12m ≤． （1）由题意可知||2x a -≤，22x a -≤-≤，解得22a x a -≤≤+，……2分∵不等式()2f x ≤的解集是{}|15x x ≤≤，∴21,25,a a -=⎧⎨+=⎩解得3a =．…… 5分（2）∵()|3|f x x =-，∴(2)(2)|23||1|f x f x x x ++=-+-……6分33|||||1|22x x x =-+-+- 310|()(1)|22x x ≥+---=，……8分当32x =时，[]min 1(2)(2)2f x f x ++=，∴1m ≤．……10分当2x =时，[]min (2)(2)2f x f x ++=，∴12m ≤．。