2020-2021年全国高中数学联合竞赛试题
13、 一项“过关游戏”规则规定：在第
点数之和大于 2n ，则算过关。问：
n 关要抛掷一颗骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所出现的
（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？ （Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？ （注：骰子是一个在各面上分别有 1， 2， 3， 4， 5， 6 点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静 止后，向上一面的点数为出现点数。 ）
B. 81 个
C. 165 个
D. 216 个
6、顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形， A 是底面圆周上的点， B 是底面圆内的点，
O 为底面圆的圆心， AB OB ，垂足为 B， OH PB ，垂足为 H ，且 PA=4， C 为 PA 的
中点，则当三棱锥 O－ HPC 的体积最大时， OB 的长是（
D.
12
{( x, y) | y mx b} 。若对所有
m R, 均有 M N
，则 b 的取值范围是（
）
66
A.
,
22
66
B.
,
22
23 23
2323
C. (
, ] D.
,
33
33
3、 不等式 log 2 x 1 1 log 1 x3 2 0 的解集为（
）
22
A.ห้องสมุดไป่ตู้[2,3)
B. (2,3]
C. [2, 4)
4 14、在平面直角坐标系 xoy 中， 给定三点 A(0, ), B( 1,0), C(1,0) ，点 P 到直线 BC 的距离
3
是该点到直线 AB ， AC 距离的等比中项。
（Ⅰ）求点 P 的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线 L 经过 ABC 的内心（设为 D），且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点，求 L
的斜率 k 的取值范围。
15、已知
,
是方程 4 x2
4tx 1 0 (t
R) 的两个不等实根， 函数 f ( x)
2x t
x2
的定义
1
域为 , 。
（Ⅰ）求 g (t ) max f (x) min f (x) ；
（Ⅱ）证明：对于 ui (0, )(i 1,2,3) ，若 sin u1 sin u2 sin u3 1, 2
以， n1
C
1 9
9。
n1 ，由于三位数中三个数码都相同，所
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1
1
1
3
则
6。
g (tan u 1) g(tan u2) g(tan u3) 4
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二○○四年全国高中数学联合竞赛试题
参 考答案及评分标准
一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）
1、 解：因方程 x2 4x cos cot 0 有重根，故
16cos 2 4cot 0
1
0
, 4cot (2sin 2 1) 0 得 sin 2
）
5
A.
3
25
B.
3
6
C.
3
二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）
26
D.
3
7、在平面直角坐标系 xoy 中，函数 f ( x) asin ax cosax (a 0) 在一个最小正周期长的
区间上的图像与函数 g( x) a2 1 的图像所围成的封闭图形的面积是 ________________。
2004 年全国高中数学联合竞赛试题 (1 试)
第一试
一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）
1、 设锐角 使关于 x 的方程 x2 4 x cos cot 0 有重根，则 的弧度数为（
）
A.
6 2、 已知 M
5
B.
or
12 12
{( x, y) | x2 2y2 3}, N
5 C. or
6 12
A
D O
即 OD与 OE 共线，
B
E
C
且 | OD | 2 | OE |
S AEC
3 ,
S ABC
32 3 ， 故选 C。
S AOC 2
S AOC
2
5、 解： a， b， c 要能构成三角形的边长，显然均不为 0。即 a, b, c { 1,2,...,9}
（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为
C
B
n1
3 ，则
的值
i o ai
是_________________________ 。 12、 在平面直角坐标系 XOY 中，给定两点 M （－ 1，2）和 N（ 1，4），点 P 在 X 轴上移动，
当 MPN 取最大值时，点 P 的横坐标为 ___________________ 。
三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分）
8、 设函数 f : R R, 满足 f (0) 1 ，且对任意 x, y R,都有
f ( xy 1) f ( x) f ( y) f ( y) x 2 ，则 f (x) =_____________________ 。
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D1
C1
9、 如图、正方体 ABCD A1B1C1D1 中，
A1
B1
二面角 A BD1 A1 的度数是 ____________。
F E
10、 设 p 是给定的奇质数，正整数 k 使得 k 2 pk 也
D
是一个正整数，则 k=____________ 。
A
11、已知数列 a0, a1, a2,..., an,..., 满足关系式 (3 an 1)(6 an ) 18,且 a0
设
log 2 x 1
t, 则有 t
3 t2 2
1 2
0
t0
解得 0 t 1 。
即 0 log 2 x 1 1, 2 x 4 。
故选 C。
4、 解：如图，设 D， E 分别是 AC ，BC 边的中点，
OA OC 2OD
(1)
则
2(OB OC ) 4OE (2)
由（ 1）（ 2）得，
OA 2OB 3OC 2(OD 2OE ) 0 ，
D. (2, 4]
4、 设 O 点在 ABC 内部，且有 OA 2OB 3OC 0 ，则 ABC 的面积与 AOC 的面积
的比为（
）
3
A. 2
B.
C. 3
2
5
D.
3
5、 设三位数 n abc ，若以 a， b， c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，
则这样的三位数 n 有（ ）
A. 45 个
2
2
2
或2
5
，于是
6
6
或 5 。 故选 B。 12 12
2、 解： M N
相 当 于 点 （ 0 ， b ） 在 椭 圆 x2 2y2 3 上 或 它 的 内 部
2b2 1,
3
6
6
b
。
2
2
故选 A。
3、 解：原不等式等价于
3
31
log 2 x 1 2 log 2 x 2 2 0
log 2 x 1 0
2021年全国高中数学联赛试卷及答案(Word可编辑版)
2021年全国高中数学联赛试卷及答案（最新版）-Word文档，下载后可任意编辑和处理-2021年全国高中数学联合竞赛试卷得分评卷人一．选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分)。
1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2021项是A．2046B．2047 C．2048 D．2049 答（）2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab 的图形是A B C D答（）3．过抛物线y2＝8(x＋2)的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于A．B．C． D．答（）4．若，则的最大值是A．B．C． D．答（）5.已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy＝－1，则函数的最小值是A．B．C． D．答（）6.在四面体ABCD中，设AB＝1，CD＝，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于A． B．C．D．答（）得分评卷人二．填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7．不等式 x 3－2x2－4 x ＋3 < 0 的解集是____________________．8．设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1 : PF2＝2 : 1，则三角形PF1F2的面积等于______________．9．已知A＝{x｜x2－4x＋3＜0，x∈R}，B＝{x｜21－x＋a≤0，x2－2(a＋7)＋5≤0，x∈R}，若AB，则实数a的取值范围是___________________．10．已知a，b，c，d均为正整数，且，若a－c＝9，则b－d ＝________．11．将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于______________．12．设M n ＝{(十进制)n位纯小数｜ai只取0或1（i＝1，2，…，n－1，an＝1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则＝_______．得分评卷人三．解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设≤x≤5，证明不等式．14．设A，B，C分别是复数Z0＝ai，Z1＝＋bi，Z2＝1＋ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点，证明：曲线Z＝Z0cos4t＋2Z1cos2t sin2t＋Z2sin4t （t∈R）与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA＝a. 拆叠纸片，使圆周上某一点A/ 刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．2021年全国高中数学联合竞赛加试试卷得分评卷人一．（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ＝∠PBC．求证：∠DBQ＝∠PAC．得分评卷人二．（本题满分50分）设三角形的三边分别是整数l，m，n，且l ＞m＞n，已知，其中{x}＝x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小值．得分评卷人三．（本题满分50分）由n个点和这些点之间的t条连线段组成一个空间图形，其中n＝q2＋q＋1，t≥，q≥2，q∈N，已知此图中任圆点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q＋2条连线段，证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形）．2021年全国高中数学联合竞赛试卷试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准当划分档次评分，5分为一个档次。
2021年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)
2021年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)
____年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）
一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.
1.在等比数列{}n a
中，2a =
，3a =1____7____
a a a a ++的值为 . 2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值
为 .
3.设()f _ 是定义在R 上的函数，若2()f _ _ +是奇函数，()2_ f _ +是偶函数，则(1)f 的值为 .
4.在ABC ?中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .
5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ?的面积为 .
6.在平面直角坐标系_Oy 中，点集{(,)|,1,0,1}K _ y _ y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .
7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系_Oy 中，二次曲线222
0_ ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .
8.若正整数,,a b c 满足____101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 . 二、解答题（本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
9.设不等式|2||52|_ _ a -_lt;-对所有[1,2]_ ∈成立，求实数a 的取值范围.。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(1)
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2020年全国高中数学联赛)删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2020项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是yxO Ox yO xyyx O A.B. C.D.3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于(A ) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 34．若x ∈[－5π12 ，－π3 ]，则y=tan(x +2π3 )－tan(x +π6 )+cos(x +π6 )的最大值是(A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ．8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1，则△PF 1F 2的面积等于 ．9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R}若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a －c=9，则b －d= ．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．12． 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.－a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim n →∞S nT n= ．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R 的圆O 和圆内一个定点A ，且OA=a ，折叠纸片，使圆周上某一点A '刚好与点A 重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A '取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ． 求证：∠DBQ=∠PAC ．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．2020年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2020项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 【答案】C【解析】452=2025，462=2116．在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2020－1980=23项．由2025+23=2048．知选C ．3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 3【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB 所在直线方程为y=3x ，弦的中点在y=p k =43上，即AB 中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x －43)+43，令y=0，得点P 的坐标为163．∴ PF=163．选A ．4．若x ∈[－5π12 ，－π3]，则y=tan(x +2π3)－tan(x +π6)+cos(x +π6)的最大值是(A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253【答案】C【解析】令x +π6=u ，则x +2π3=u +π2，当x ∈[－5π12，－π3]时，u ∈[－π4，－π6]，y=－(cot u +tan u )+cos u=－2sin2u +cos u ．在u ∈[－π4，－π6]时，sin2u 与cos u 都单调递增，从而y 单调递增．于是u=－π6时，y 取得最大值1163，故选C ．二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ．【答案】(－3，－5－12)∪(5－12，3)． 【解析】即|x |3－2|x |2－4|x |+3<0，⇒(|x |－3)(|x |－5－12)(|x |+5+12)<0．⇒|x |<－5+12，或5－12<|x |<3． ∴ 解为(－3，－5－12)∪(5－12，3)．9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R}若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．【答案】－4≤a ≤－1．【解析】A=(1，3)；又，a ≤－21－x∈(－1，－14)，当x ∈(1，3)时，a ≥x 2+52x－7∈(5－7，－4)．∴ －4≤a ≤－1．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a －c=9，则b －d= ．【答案】93【解析】a 3=b 2，c 5=d 4，设a=x 2，b=x 3；c=y 4，d=y 5，x 2－y 4=9．(x +y 2)(x －y 2)=9．∴ x +y 2=9，x －y 2=1，x=5，y 2=4．b －d=53－25=125－32=93．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．【答案】2+48【解析】如图，ABCD 是下层四个球的球心，EFGH 是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH 在平面ABCD 上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD 绕其中心旋转45︒而得．设E 的射影为N ，则MN=2－1．EM=3，故EN 2=3－(2－1)2=22．∴ EN=48．所求圆柱的高=2+48．12． 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.－a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，N MHGFEDCBAT n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim n →∞S nT n= ．【答案】118【解析】由于a 1，a 2，…，a n －1中的每一个都可以取0与1两个数，T n =2n －1．在每一位(从第一位到第n －1位)小数上，数字0与1各出现2n －2次．第n 位则1出现2n －1次．∴ S n =2n －2⨯0.11…1+2n －2⨯10－n．∴ lim n →∞S n T n =12⨯19=118．四、(本题满分20分)14．设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ，Z 1=12+b i ，Z 2=1+c i(其中a ，b ，c 都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R)与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．【解析】曲线方程为：Z=a icos 4t +(1+2b i)cos 2t sin 2t +(1+c i)sin 4t=(cos 2t sin 2t +sin 4t )+i(a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c s in 4t )∴ x=cos 2t sin 2t +sin 4t=sin 2t (cos 2t +sin 2t )=sin 2t ．(0≤x ≤1) y=a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c sin 4t=a (1－x )2+2b (1－x )x +cx 2即 y=(a －2b +c )x 2+2(b －a )x +a (0≤x ≤1)． ①若a －2b +c=0，则Z 0、Z 1、Z 2三点共线，与已知矛盾，故a －2b +c ≠0．于是此曲线为轴与x 轴垂直的抛物线．AB 中点M ：14+12(a +b )i ，BC 中点N ：34+12(b +c )i ．与AC 平行的中位线经过M (14，12(a +b ))及N (34，12(b +c ))两点，其方程为4(a －c )x +4y －3a －2b +c=0．(14≤x ≤34)． ②令 4(a －2b +c )x 2+8(b －a )x +4a=4(c －a )x +3a +2b －c ．即4(a －2b +c )x 2+4(2b －a －c )x +a －2b +c=0．由a －2b +c 0，得4x 2+4x +1=0， 此方程在[14，34]内有惟一解： x=12．以x=12代入②得， y=14(a +2b +c )．∴ 所求公共点坐标为(12，14(a +2b +c ))．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ． 求证：∠DBQ=∠PAC ．分析：由∠PBC=∠CDB ，若∠DBQ=∠PAC=∠ADQ ，则∆BDQ ∽∆DAQ ．反之，若∆BDQ ∽∆DAQ ．则本题成立．而要证∆BDQ ∽∆DAQ ，只要证BD AD =DQAQ即可．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．【解析】当3l、3m、3n的末四位数字相同时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104．即求满足3l ≡3m ≡3n ( mod 104)的l 、m 、n ．∴ 3n (3l －n －1)≡0 (mod 104)．(l －n >0)但 (3n ，104)=1，故必有3l －n ≡1(mod 104)；同理3m －n ≡1(mod 104)．下面先求满足3x ≡1(mod 104)的最小正整数x ．∵ ϕ(104)=104⨯12⨯45=4000．故x |4000．用4000的约数试验：∵ x=1，2，时3x ≡∕1(mod 10)，而34≡1(mod 10)，∴ x 必须是4的倍数；∵ x=4，8，12，16时3x ≡∕1(mod 102)，而320≡1(mod 102)，∴ x 必须是20的倍数；∵ x=20，40，60，80时3x ≡∕1(mod 103)，而3100≡1(mod 103)，∴ x 必须是100的倍数；∵ x=100，200，300，400时3x ≡∕1(mod 104)，而3500≡1(mod 104)．即，使3x ≡1(mod 104)成立的最小正整数x=500，从而l －n 、m －n 都是500的倍数， 设l －n=500k ，m －n=500h ，(k ，h ∈N*，k >h )．由m +n >l ，即n +500h +n >n +500k ，⇒n >500(k －h )≥500，故n ≥501．取n=501，m=1001，l=1501，即为满足题意的最小三个值． ∴ 所求周长的最小值=3003．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．现设任一点连的线数≤n －2．且设b 0＝q +2≤n －2．且设图中没有四边形．于是当i ≠j 时，B i 与B j 没有公共的点对，即|B i ∩B j |≤1(0≤i ，j ≤n －1)．记B 0－＝V \B 0，则由|B i ∩B 0|≤1，得|B i ∩B 0－|≥b i －1(i ＝1，2，…，n －1)，且当1≤i ，j ≤n －1且i ≠j 时，B i ∩B 0－与B j ∩B 0－无公共点对．从而B 0－中点对个数≥i ＝1n －1∑(B i ∩B 0－中点对个数)．即C 2 n －b 0≥i ＝1n －1∑C 2 |B i ∩B 0－|≥i ＝1n －1∑C 2 b i －1＝12i ＝1n －1∑ (b 2i －3b i +2)≥12[1n －1(i ＝1n －1∑b i )2－3i ＝1n －1∑b i +2(n －1)](由平均不等式)＝12[1n －1(2l －b 0)2－3(2l －b 0)+2(n －1)]＝12(n －1)[(2l －b 0)2－3(n －1)(2l －b 0)+2(n －1)2]＝12(n －1)(2l －b 0－n +1)(2l －b 0－2n +2)(2l ≥q (q +1)2+2＝(n －1)(q +1)+2)≥12(n －1)[(n －1)(q +1)+2－b 0－n +1][(n －1)(q +1)+2－b 0－2n +2]＝12(n －1)[(n －1)q +2－b 0][(n －1)(q －1)+2－b 0]．(两边同乘以2(n －1)即 (n －1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(n －1≥q (q +1)代入) 得 q (q +1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(各取一部分因数比较) ①但(nq －q －n +3－b 0)－q (n －b 0－1)＝(q －1)b 0－n +3(b 0≥q +2)≥(q －1)(q +2)－n +3＝q 2+q +1－n ＝0．②(nq －q +2－b 0)－(q +1)(n －b 0)＝qb 0－q －n +2≥q (q +1)－n +2＝1＞0． ③由假设，不存在处在不同行的2个红点对，使此四点两两同列，所以，有(由于去掉了q ＋2列，故还余q 2－1列，不同的列对数为C 2 q 2－1)i ＝1n －1∑C 2 m i ≤C 2 q 2－1． 所以q 2·q (q －1)＋q (q －1)(q －2)≤(q 2－1)(q 2－2)．⇒ q (q －1)(q 2＋q －2)≤(q －1)(q ＋1)(q 2－2)⇒q 3＋q 2－2q ≤q 3＋q 2－2q －2．矛盾．故证．。
国高中数学联赛试题及详细解析___
2021年全国高中数学联赛试题及详细解析一．选择题(此题满分是36分，每一小题6分)1．设锐角θ使关于x 的方程x 2+4x cos θ+cos θ=0有重根，那么θ的弧度数为 ( )A ．π6B ．π12或者5π12C ．π6或者5π12D ．π122．M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．假设对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，那么b 的取值范围是( )A ．[－62，62]B ．(－62，62)C ．(－233，233]D ．[－233，233] 3．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 4．设点O 在∆ABC 的内部，且有→OA +2→OB +3→OC =→0，那么∆ABC 的面积与∆AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．538．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，那么f(x)=；9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是；10．设p是给定的奇质数，正整数k使得k2－pk也是一个正整数，那么k=；11．数列a0，a1，a2，…，a n，…满足关系式(3－a n+1)(6+a n)=18，且a0=3，那么n∑i=01a i的值是；12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上挪动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为；二试题一．(此题满分是50分)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K ，BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长．二．(此题满分是50分)在平面直角坐标系XOY 中，y 轴正半轴上的点列{A n }与曲线y=2x (x ≥0)上的点列{B n }满足|OA n |=|OB n |=1n，直线A n B n 在x 轴上的截距为a n ，点B n 的横坐标为b n ，n ∈N*．⑴ 证明a n >a n +1>4，n ∈N*；⑵ 证明有n 0∈N *，使得对∀n >n 0，都有b 2b 1+b 3b 2+…+b n b n －1+b n +1b n<n －2021． 三．(此题满分是50分)对于整数n ≥4，求出最小的整数f (n )，使得对于任何正整数m ，集合{m ，m +1，…，m+n －1}的任一个f (n )元子集中，均至少有3个两两互素的元素．EFBCDAGHK2021年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(此题满分是36分，每一小题6分)1．设锐角θ使关于x 的方程x 2+4x cos θ+cot θ=0有重根，那么θ的弧度数为 ( )A ．π6B ．π12或者5π12C ．π6或者5π12D ．π12【答案】B【解析】由方程有重根，故14∆=4cos 2θ－cot θ=0，∵ 0<θ<π2，⇒2sin2θ=1，⇒θ=π12或者5π12．选B ．3．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 【答案】C【解析】令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，⇒x ∈[2，4)，选C ．4．设点O 在∆ABC 的内部，且有→OA +2→OB +3→OC =→0，那么∆ABC 的面积与∆AOC 的面积的比为( )A．2 B．32C．3 D．53【答案】C【解析】如图，设∆AOC=S，那么∆OC1D=3S，∆OB1D=∆OB1C1=3S，∆AOB=∆OBD=S．∆OBC=S，⇒∆ABC=3S．选C．5．设三位数n=¯¯¯abc，假设以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，那么这样的三位数n有( )A．45个B．81个C．165个D．216个6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，那么当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为( )A．53B．253C．63D．263SB11OABC二．填空题(此题满分是54分，每一小题9分)7．在平面直角坐标系xOy 中，函数f (x )=a sin ax +cos ax (a >0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g (x )= a 2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ；【答案】2πaa 2+1．【解析】f (x )= a 2+1sin(ax +ϕ)，周期=2πa ，取长为2πa，宽为2a 2+1的矩形，由对称性知，面积之半即为所求．故填2πaa 2+1．又解：∫ϕ1ϕ0a 2+1[1－sin(ax +ϕ)]dx=a 2+1a ∫π20(1－sin t )dt=2p aa 2+1．8．设函数f ：R →R ，满足f (0)=1，且对任意x ，y ∈R ，都有f (xy +1)=f (x )f (y )－f (y )－x +2，那么f (x )= ；【答案】x+1【解析】令x=y=0，得，f (1)=1－1－0+2，⇒f (1)=2． 令y=1，得f (x +1)=2f (x )－2－x +2，即f (x +1)=2f (x )－x ．①又，f (yx +1)=f (y )f (x )－f (x )－y +2，令y=1代入，得f (x +1)=2f (x )－f (x )－1+2，即f (x +1)=f (x )+1．②比拟①、②得，f (x )=x +1．10．设p 是给定的奇质数，正整数k 使得k 2－pk 也是一个正整数，那么k= ；【答案】14(p +1)2．【解析】设k 2－pk=n ，那么(k －p2)2－n 2=p 24，⇒(2k －p +2n )(2k －p －2n )=p 2，⇒k=14(p +1)2．11．数列a 0，a 1，a 2，…，a n ，…满足关系式(3－a n +1)(6+a n )=18，且a 0=3，那么n∑i=01a i的值是 ；【答案】13(2n +2－n －3)．【解析】1a n +1=2a n +13，⇒令b n =1a n +13，得b 0=23，b n =2b n －1，⇒b n =23⨯2n ．即1a n =2n +1－13，⇒n∑i=01a i =13(2n +2－n －3)．12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，为；【答案】1【解析】当∠MPN最大时，⊙MNP与x轴相切于点P(否那么⊙MNP与x轴交于PQ，那么线段PQ上的点P'使∠MP'N更大)．于是，延长NM交x轴于K(－3，0)，有KM·KN=KP2，⇒KP=4．P(1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP的半径小，从而点P的横坐标=1．三．解答题(此题满分是60分，每一小题20分)13．一项“过关游戏〞规那么规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，假如这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，那么算过关．问：⑴某人在这项游戏中最多能过几关？⑵他连过前三关的概率是多少？14．在平面直角坐标系xOy 中，给定三点A (0，43)，B (－1，0)，C (1，0)，点P 到直线BC的间隔 是该点到直线AB 、AC 间隔 的等比中项．⑴ 求点P 的轨迹方程；⑵ 假设直线L 经过 ABC 的内心(设为D )，且与P 点轨迹恰好有3个公一共点，求L 的斜率k 的取值范围．【解析】⑴ 设点P 的坐标为(x ，y )，(b ) k=0时，直线y=12与圆④切于点(0，12)，与双曲线⑤交于(±582，12)，即k=0满足要求．(c ) k=±12时，直线⑥与圆只有1个公一共点，与双曲线⑤也至多有1个公一共点，故舍去．(c ) k ≠0时，k ≠12时，直线⑥与圆有2个公一共点，以⑥代入⑤得：(8－17k 2)x 2－5kx－254=0． 当8－17k 2=0或者(5k )2－25(8－17k 2)=0，即得k=±23417与k=±22．∴ 所求k 值的取值范围为{0，±23417，±22}．15．α，β是方程4x 2－4tx －1=0(t ∈R )的两个不等实根，函数f (x )= 2x －t x 2+1的定义域为[α，β]．⑴ 求g (t )=max f (x )－min f (x )；⑵ 证明：对于u i ∈(0，π2)(i=1，2，3)，假设sin u 1+sin u 2+sin u 3=1，那么1g (tan u 1)+1g (tan u 2)+1g (tan u 3)<364．【解析】⑴α+β=t，αβ=－14．故α<0，β>0．当x1，x2∈[α，β]时，∴f '(x)=2(x2+1)－2x(2x－t)(x2+1)2=－2(x2－xt)+2(x2+1)2．而当x∈[α，β]时，x2－xt<0，于是f '(x)>0，即f(x)在[α，β]上单调增．∴g(t)=2β－tβ2+1－2α－tα2+1=(2β－t)(α2+1)－(2α－t)(β2+1)(α2+1)(β2+1)=(β－α)[t(α+β)－2αβ+2]α2β2+α2+β2+1=t2+1(t2+52)t2+2516=8t2+1(2t2+5)16t2+25二试题一．(此题满分是50分)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K ，BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长．二．(此题满分是50分)在平面直角坐标系XOY 中，y 轴正半轴上的点列{A n }与曲线y=2x (x ≥0)上的点列{B n }满足|OA n |=|OB n |=1n，直线A n B n 在x 轴上的截距为a n ，点B n 的横坐标为b n ，n ∈N*．⑴ 证明a n >a n +1>4，n ∈N*；⑵ 证明有n 0∈N*，使得对∀n >n 0，都有b 2b 1+b 3b 2+…+b n b n －1+b n +1b n<n －2021． 【解析】⑴ 点A n (0，1n )，B n (b n ，2b n )⇒由|OA n |=|OB n |，⇒b n 2+2b n =(1n)2，⇒b n =1+(1n)2－1(b n >0)．∴ 0<b n <12n 2．且b n 递减，⇒n 2b n =n (n 2+1－n )= n n 2+1+n=11+(1n)2+1单调增．∴ 0<n b n <12．⇒令t n =1n b n>2且t n 单调减．由截距式方程知，b na n +2b n1n=1，(1－2n 2b n =n 2b n 2) ∴ a n =b n 1－n 2b n =b n (1+n 2b n )1－2n 2b n =1+n 2b n n 2b n =(1n b n )2+2(1n b n)=t n 2+2t n =(t n +22)2－12≥(2+22)2－12=4． 且由于t n 单调减，知a n 单调减，即a n >a n+1>4成立． 亦可由1n 2b n=b n +2．1n b n=b n +2，得 a n =b n +2+2b n +2，．∴ 由b n 递减知a n 递减，且a n >0+2+2⨯2=4．三．(此题满分是50分)对于整数n ≥4，求出最小的整数f (n )，使得对于任何正整数m ，集合{m ，m +1，…，m+n －1}的任一个f (n )元子集中，均至少有3个两两互素的元素．【解析】⑴ 当n ≥4时，对集合M (m ，n )={m ，m +1，…，m+n －1}，当m为奇数时，m，m+1，m+2互质，当m为偶数时，m+1，m+2，m+3互质．即M的子集M中存在3个两两互质的元素，故f(n)存在且f(n)≤n．①取集合T n={t|2|t或者3|t，t≤n+1}，那么T为M(2，n)={2，3，…，n+1}的一个子集，且其中任3个数无不能两两互质．故f(n)≥card(T)+1．但card(T)=[n+12]+[n+13]－[n+16]．故f(n)≥[n+12]+[n+13]－[n+16]+1．②由①与②得，f(4)=4，f(5)=5．5≤f(6)≤6，6≤f(7)≤7，7≤f(8)≤8，8≤f(9)≤9．现计算f(6)，取M={m，m+1，…，m+5}，假设取其中任意5个数，当这5个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数k，k+2，k+4(k 0(mod2))时，其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数与另两个创作人：历恰面日期：2020年1月1日。
【高三】2021年全国高中数学联合竞赛四川初赛试题(含答案)
【高三】2021年全国高中数学联合竞赛四川初赛试题(含答案)2021年全国高中数学联合竞赛四川初赛试题一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、设集合，，则 =（）A、 B、 C、 D 、2、正方体中与截面所成的角是（）A、 B、 C、 D、3、已知，，则“ ”是“ 在上恒成立”的（）A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4、设正三角形的面积为，作的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为，面积为，如此下去作一系列的正三角形，其面积相应为，设 , ，则 =（）A 、B 、 C、 D 、25、设抛物线的焦点为，顶点为，是抛物线上的动点，则的最大值为（）A 、B 、 C、 D 、6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（）A、 B、 C、 D、二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、如图，正方形的边长为3，为的中点，与相交于，则的值是8、的展开式中的常数项是．（用具体数字作答）9、设等比数列的前项和为，满足，则的值为．10、不超过2021的只有三个正因数的正整数个数为．11、已知锐角满足，则的最大值是．12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数，满足条件“ ”的概率是．三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、设函数，（I）求函数在上的最大值与最小值；（II）若实数使得对任意恒成立，求的值．14、已知，满足，（I）求的最小值；（II）当取最小值时，求的最大值．15、直线与双曲线的左支交于、两点，直线经过点和的中点，求直线在轴的截距的取值范围．16、设函数在上的最大值为（）．（I）求数列的通项公式；（II）求证：对任何正整数，都有成立；（III）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立．参考解答一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、C2、A3、A4、B5、B6、D二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、 8、 9、0 10、14 11、 12、三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、解：（I）由条件知，（5分）由知，，于是所以时，有最小值；当时，有最大值．（10分）（II）由条件可知对任意的恒成立，∴∴∴ , （15分）由知或。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
（
）
A．只有一个
B ．有二个
C ．有四个
D ．有无穷多个
6. 记集合 T
{ 0,1,2,3,4,5,6}, M
{ a1 7
a2 72
a3 73
a4 74
| ai
T , i 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从大到小的
顺序排列，则第 2020 个数是（
）
A． 5 5 6 3 7 72 73 74
二、（本题满分 50 分）
设正数 a、 b、 c、 x、 y、z 满足 cy bz a, az cx b; bx ay c.
x2
y2
z2
求函数 f (x, y, z)
的最小值 .
1x 1y 1z
三、（本题满分 50 分）
对每个正整数 n，定义函数 f (n)
0 当 n为平方数 ,
[ 1 ]当 n不为平方数 . { n}
。
【答案】 4 . 3
【解析】设 f ( x) cos(x ) cos( x ) cos(x ), 由 x R ， f (x) 0 知，
f ( ) 0, f ( ) 0, f ( ) 0, 即 cos(
) cos( ) 1,cos(
)
cos(
) 1,cos(
) cos(
) 1. cos(
) cos(
【解析】
2 3 ,0
23
, cos(
2) cos( 3 ), 即
2
22
2
2
sin 2 sin 3.
又0 2 ,
3 , cos 2 0, cos 3 0, cos 2 cos 3 0, 方程表示的曲线是椭
22
圆。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析.docx
2020 年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6 分和 0 分两档，填空题只设9 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分， 5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36 分，每小题 6 分）本题共有 6 小题，每小题均给出 A ， B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得 6 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分。
1．使关于 x 的不等式 x 36 x k 有解的实数 k 的最大值是（）A ． 63B． 3C． 63D ． 62．空间四点 A 、 B 、 C 、 D 满足 | AB | 3, | BC | 7 , | CD | 11 , | DA | 9 , 则 AC BD 的取值（）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个a 1 a 2 a 3a 4| a iT , i 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从大到小的6. 记集合 T { 0,1,2,3,4,5,6}, M {7 27 3747序排列， 第2020 个数是（）A ． 5 5 6 3B ． 55 6 2 7 7273 74 772 73 7 4 C ．11 0 4 D ．11 0 3 7 72737477273 7 4二、填空 （本 分54 分，每小 9 分） 本 共有 6 小 ，要求直接将答案写在横 上。
7. 将关于 x 的多 式 f ( x)1 x x2 x 3x 19x 20 表 关于 y 的多 式 g( y)a 0 a 1 y a 2 y 2 a 19 y 19 a 20 y 20, 其中 y x 4. a 0a 1a20.8. 已知 f (x) 是定 在 ( 0,) 上的减函数， 若 f (2a 2a1) f (3a 24a 1) 成立， a 的取 范是。
2021年全国高中数学联赛一试参考答案及评分标准(A卷)
a 9a 13213 x100 x3 a a a22说明：2020 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．1. 在等比数列{a n } 中， a 9113, a 131 ，则log 13 的值为．1答案： ．3 a a 3解：由等比数列的性质知 1a 9，故a 19133 ．所以log 13 ．1132. 在椭中， A 为长轴的一个端点， B 为短轴的一个端点，F 1, F 2 为两个焦点．若 AF 1 AF 2 BF 1 BF 2答案：2 ．2x20 ，则y 2的值为．解：不妨 的方程为 a 2b 2 1 (a b 0) ，A (a , 0),B (0, b ) ， F 1 ( c , 0) ，F (c , 0) ，其中c a 2b 2．由条件知AF 1 AF 2 BF 1 BF 2 ( c a )(c a ) ( c 2 b 2 ) a 2b 2 2c 20 ．AB a 2 b 2 所以 2c 2 2 ．F 1F 2 3. 设 a 2c 2c 0 ，函数 f (x )2 在区间 (0, a ] 上的最小值为 m 1 ，在区间[a , ) 上的最小值为m 2 ．若m 1m 2 2020 ，则a 的值为．答案：1或100 ． 解：注意到 f (x ) 在(0, 10] 上单调减，在[10, ) 上单调增．当a (0, 10]时，m 1 f (a ), m 2 f (10) ；当a [10,) 时， m 1 f (10), m 2 f (a ) ．因此总有 f (a ) f (10) m 1m 2 2020 ，即a 100 2020 101，解得a 1或a 100．a 20 4. 设 z 为复数． 若为 ．为实数（ i 为虚数单位）， 则 z 的最小值AB F 1F 2 z 2 z i。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析2020年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。
2.如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1.使关于 x 的不等式 x - 3 + 6 - x ≥ k 有解的实数 k 的最大值是（）。
A。
6 - 3B。
3C。
6 + 3D。
62.空间四点 A、B、C、D 满足 |AB| = 3，|BC| = 7，|CD| = 11，|DA| = 9，则 AC·BD 的取值（）。
A。
只有一个B。
有两个C。
有四个D。
有无穷多个6.记集合 T = {1.2.3.4.5.6}，M = {ai | ai ∈ T。
i = 1.2.3.4.}，将 M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第 2020 个数是（）。
A。
2 + 3 + 4 +。
+ 5563B。
2 + 3 + 4 +。
+ xxxxxxxC。
2 + 3 + 4 +。
+ xxxxxxxx7D。
2 + 3 + 4 +。
+二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7.将关于 x 的多项式 f(x) = 1 - x + x^2 - x^3 +。
- x^2319 + x^20 表为关于 y 的多项式 g(y) = a + a1y + a2y^2 +。
+ a19y^19 + a20y^20，其中 y = x - 4，则 a + a1 +。