联合典型序列信道编码定理
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信道编码定理
7
信道编码和译码
译码是由YN到UL的映射，将YN划分为M个不相交的
子集
Y1
Y2
x2
x1
YN
Y
C m
是Ym的补集
xM
Pem P( y | xm ) yYmC
YM
最大后验概率译码
所有消息等概
q元对称信道
最大似然译码
最小汉明
距离译码
8
信道编码和译码
例5.1.1 两个消息等概，x1=0000，x2=1111，通 过二元对称信道，转移概率p
22
联合典型序列和信道编码定理
23
联合典型序列和信道编码定理
定义5.3.1 x和y是联合典型序列
x ( x 1 ,x 2 , ,x N ) X N ,y ( y 1 ,y 2 , ,y N ) Y N (1) x是典型序列，即对任意小的正数e，存在N使
|1lopg(x)H(X)|e
N
误比特率 Bit error rate
Pb
1 K
K
Pek
k 1
第k位出错的概率
5
信道编码和译码
最小错误概率准则
使 P e ( y ) P r { m ' m |y } 1 P r { m ' m |y } 最小
最大后验概率准则
P r{m '|y}m m axP r{m |y}
计算后验概率是困难的，针对具体信道（转移概率已知），采 用最大似然准则
从XN中独立随机地选择2NR个序列作为码字，每个码字出
现的概率为
Y 3 { 1 1 0 0 ,1 0 0 1 ,1 0 1 0 ,0 0 1 1 ,0 1 0 1 ,0 1 1 0 }
9
信道编码和译码
译码是由YN到UL的映射，将YN划分为M个不相交的
子集
Y1
Y2
x2
x1
YN
Y
C m
是Ym的补集
xM
Pem P( y | xm ) yYmC
YM
最大后验概率译码
所有消息等概
q元对称信道
最大似然译码
最小汉明
距离译码
8
信道编码和译码
例5.1.1 两个消息等概，x1=0000，x2=1111，通 过二元对称信道，转移概率p
22
联合典型序列和信道编码定理
23
联合典型序列和信道编码定理
定义5.3.1 x和y是联合典型序列
x ( x 1 ,x 2 , ,x N ) X N ,y ( y 1 ,y 2 , ,y N ) Y N (1) x是典型序列，即对任意小的正数e，存在N使
|1lopg(x)H(X)|e
N
误比特率 Bit error rate
Pb
1 K
K
Pek
k 1
第k位出错的概率
5
信道编码和译码
最小错误概率准则
使 P e ( y ) P r { m ' m |y } 1 P r { m ' m |y } 最小
最大后验概率准则
P r{m '|y}m m axP r{m |y}
计算后验概率是困难的，针对具体信道（转移概率已知），采 用最大似然准则
从XN中独立随机地选择2NR个序列作为码字，每个码字出
现的概率为
Y 3 { 1 1 0 0 ,1 0 0 1 ,1 0 1 0 ,0 0 1 1 ,0 1 0 1 ,0 1 1 0 }
9
信道编码定理ppt课件
p
(
y
)
2
(
1
)
2
N
[(
H
Y
)
]
|
G
(
Y
)
|
2
N
[(
H
Y
)
]
§6.3:信道编码定理的证明及其物理意义
N
• 结合AEP定理：
p(x,y) p(xn, yn)
n1
• 设随机序列对 ( X , Y ) 的
，那么对恣意小的
数δ >0，我们总能找到足够大的N使全体序列对的集合能
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
§6.2:信道编码的作用及本质
匹配信道特性： －信道编码的本质
抗白噪声：
优秀的调制、信道编码方案，
扩频方式等。
抗衰落和多径干扰：
功控抗慢衰落，
空间分集抗平滑瑞利〔空间选择〕衰落，
Rake接纳机及自顺应平衡抗频率选择性，
交错编码抗时间选择性衰落等。
抗多址干扰与远近效应：
正交码型设计，
• 资源指的提供信息传输所付出的代价
• 包括频率、时间、空间、功率等等。但不包括
实现复杂度
• 一个好的编码就是要充分利用资源，传送尽能
够多的信息
§6.2:信道编码的作用及本质
－信道编码的三种情
形
– 给定资源和可靠性要求，经过信道编码尽量提
高传输速率〔例：多电平编码〕
– 给定对信息传输的速率和可靠性要求，经过信
信道编码定理
错误概率与译码准那么、编码方法－1
(
y
)
2
(
1
)
2
N
[(
H
Y
)
]
|
G
(
Y
)
|
2
N
[(
H
Y
)
]
§6.3:信道编码定理的证明及其物理意义
N
• 结合AEP定理：
p(x,y) p(xn, yn)
n1
• 设随机序列对 ( X , Y ) 的
，那么对恣意小的
数δ >0，我们总能找到足够大的N使全体序列对的集合能
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
§6.2:信道编码的作用及本质
匹配信道特性： －信道编码的本质
抗白噪声：
优秀的调制、信道编码方案，
扩频方式等。
抗衰落和多径干扰：
功控抗慢衰落，
空间分集抗平滑瑞利〔空间选择〕衰落，
Rake接纳机及自顺应平衡抗频率选择性，
交错编码抗时间选择性衰落等。
抗多址干扰与远近效应：
正交码型设计，
• 资源指的提供信息传输所付出的代价
• 包括频率、时间、空间、功率等等。但不包括
实现复杂度
• 一个好的编码就是要充分利用资源，传送尽能
够多的信息
§6.2:信道编码的作用及本质
－信道编码的三种情
形
– 给定资源和可靠性要求，经过信道编码尽量提
高传输速率〔例：多电平编码〕
– 给定对信息传输的速率和可靠性要求，经过信
信道编码定理
错误概率与译码准那么、编码方法－1
信道编码的基本概念和定理
j 1, 2,..., N
译码规则对译码性能的影响
示例 设发送码字集 C : 0,1, p c1 p c2 0.5 接收码字集 R : 0,1
两不同的二元对称信道分别为
(1)
p
rj / ci
0.8 0.2
0.2 0.8
(2)
p
rj / ci
2
0.2 0.8
0.8 0.2
分析在两种信道下不同译码规则对译码性能的影响。
RS
有信息论的基本知识，有
I X;Y H X log M
定义归一化信道容量为
CN
max R p xi ,i1,2,...,M I RS log M
max
p xi ,i1,2,...,M
I X;Y log M
1
若记发送序列为 接收序列为
对于离散无记忆信道：
xr x1, x2,..., xN yr y1, y2,..., yN
率矩阵
p c1 / r1 p c1 / r2 ... p c1 / rN
P
C
/
R
p
c2 /
...
r1
p c2 / r2
...
p
c2
/
rN
...
...
...
p
cM
/
r1
p cM / r2
...
p cM / rN
及 R 的分布特性
p rj
Mp
i1
ci
p rj / ci
rj / ck
在先验等概的条件下，最大后验概率译码规则可变为
cˆ D rj c arg max p rj / c1 , p rj / c2 ,..., p rj / cM
信道编码定理PPT教学课件
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第8章
在数字通信系统中，信道的传输特性和传输过程 中噪声的存在是影响通信性能的两个主要因素。人们 总是希望在一定的传输条件下，达到最好的传输性能， 最佳接收就是在噪声干扰中如何有效地检测出信号。
所谓最佳是在某种标准下系统性能达到最佳，最 佳接收是个相对的概念，在某种准则下的最佳系统， 在另外一种准则下就不一定是最佳的。在某些特定条 件下，几种最佳准则也可能是等价的。
最小汉明距离译码
汉明距离 d(x,y), x,y中 分量不同的数目
码字先验等概 K元对称信道
p(i | i) 1 p p( j | i) p /(K 1)
最小汉明距离译码
N
ln p( y | xm ) ln p( yi | xmi ) n1 p
d ( y, xm ) ln K 1 (N d ( y, xm ))ln(1 p) N ln(1 p) d ( y, xm ) ln[(1 p)(K 1) / p]
1
j
e
jT 2
1e jt0
h(t) s(t0 t)
hs(t))
1
hs(tt))
1
0
T
Tt
2
(a)
so(t)
T 2
0
T
Tt
2
(b)
O
T
T
3T t
2
2
(c)
图8-3 信号时间波形
取t0=T，则有
H ()
1
j
e
jT 2
1e jT
h(t) s(t0 t)
(2) 匹配滤波器的输出为
s0 (t) R(t t0 ) s(x)s(x t t0 )dx
滤波器输入 滤波器输出
第8章
在数字通信系统中，信道的传输特性和传输过程 中噪声的存在是影响通信性能的两个主要因素。人们 总是希望在一定的传输条件下，达到最好的传输性能， 最佳接收就是在噪声干扰中如何有效地检测出信号。
所谓最佳是在某种标准下系统性能达到最佳，最 佳接收是个相对的概念，在某种准则下的最佳系统， 在另外一种准则下就不一定是最佳的。在某些特定条 件下，几种最佳准则也可能是等价的。
最小汉明距离译码
汉明距离 d(x,y), x,y中 分量不同的数目
码字先验等概 K元对称信道
p(i | i) 1 p p( j | i) p /(K 1)
最小汉明距离译码
N
ln p( y | xm ) ln p( yi | xmi ) n1 p
d ( y, xm ) ln K 1 (N d ( y, xm ))ln(1 p) N ln(1 p) d ( y, xm ) ln[(1 p)(K 1) / p]
1
j
e
jT 2
1e jt0
h(t) s(t0 t)
hs(t))
1
hs(tt))
1
0
T
Tt
2
(a)
so(t)
T 2
0
T
Tt
2
(b)
O
T
T
3T t
2
2
(c)
图8-3 信号时间波形
取t0=T，则有
H ()
1
j
e
jT 2
1e jT
h(t) s(t0 t)
(2) 匹配滤波器的输出为
s0 (t) R(t t0 ) s(x)s(x t t0 )dx
滤波器输入 滤波器输出
联合信源信道编码定理
我们可以证明，只要满足香农第一定理和第二定理，用两步编码 的方法传输信息和一步编码的方法传输信息其效果是一样的。
电子信息工程学院
信息论
3 有噪信道编码定理
（1） 正因为通过分别进行信源的数据压缩编码和信道 的数据传输编码，即能做到有效又可靠的传输信息，又能 大大简化通信系统设计，因此在实际通信系统中得到广泛 应用。
信息论
3 有噪信道编码定理
3、联合信源信道编码定理 若 S n (S1S2 SN ) 是有限符号集的随机序列 并满足AEP， 又信源S极限熵 H C ，则存在信源和信道编码，其 PE 0 。 反之，对于任意平稳随机序列，若极限熵 H C ，则错 误概率远离零，即不可能在信道中以任意小的错误概率发 送随机序列。
电子信息工程学院
信息论
3 有噪信道编码定理
3、联合信源信道编码定理
从香农第一、第二定理可以看出，要做到有效和可靠的传输信息， 我们可以将通信系统设计成两部分的组合，即信源编码和信道编码两 部分，首先通过信源编码，用尽可能少的信道符号来表达信源，尽可 能减少编码后信源数据的剩余率，然后针对信道，对信源编码后的数 据独立地进行信道编码，适当增加一些剩余度，使能纠正和克服信道 中引起的错误和干扰。
（2）针对各种不同信源，如文本、语音、静止图像、活 动图像等数据压缩的研究形成了数据压缩理论和技术；而 针对信道编码问题的研究，又形成了另一独立的分支—— 纠错码理论。
电子信息工程学院
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信息论
3 有噪信道编码定理
（1） 正因为通过分别进行信源的数据压缩编码和信道 的数据传输编码，即能做到有效又可靠的传输信息，又能 大大简化通信系统设计，因此在实际通信系统中得到广泛 应用。
信息论
3 有噪信道编码定理
3、联合信源信道编码定理 若 S n (S1S2 SN ) 是有限符号集的随机序列 并满足AEP， 又信源S极限熵 H C ，则存在信源和信道编码，其 PE 0 。 反之，对于任意平稳随机序列，若极限熵 H C ，则错 误概率远离零，即不可能在信道中以任意小的错误概率发 送随机序列。
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信息论
3 有噪信道编码定理
3、联合信源信道编码定理
从香农第一、第二定理可以看出，要做到有效和可靠的传输信息， 我们可以将通信系统设计成两部分的组合，即信源编码和信道编码两 部分，首先通过信源编码，用尽可能少的信道符号来表达信源，尽可 能减少编码后信源数据的剩余率，然后针对信道，对信源编码后的数 据独立地进行信道编码，适当增加一些剩余度，使能纠正和克服信道 中引起的错误和干扰。
（2）针对各种不同信源，如文本、语音、静止图像、活 动图像等数据压缩的研究形成了数据压缩理论和技术；而 针对信道编码问题的研究，又形成了另一独立的分支—— 纠错码理论。
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信道编码定理-2011
y
PE 1 PE p ( x * y )
y
有 噪 信 道 编 码 定 理
举例
a1 0.5 0.3 0.2 P a2 0.2 0.3 0.5 a3 0.3 0.3 0.4
b1 b2 b3
b1
b2
b3
F (b1 ) a1 F (b2 ) a2
F (b3 ) a2
15
a1 1/6 1/10 1/15 [ P (ai b j )] a2 1/15 1/10 1/6 a3 1/10 1/10 2/15
25
a a*
p( y | x a ) / 3
1/ 2
pE ( B)
a a*
p( y | x a ) / 3
[(1/ 6 1/ 3) (1/ 3 1/ 2) (1/ 6 1/ 2)]/ 3
2/3
有 噪 信 道 编 码 定 理
§ 3 费诺(Fano)不等式
33
其中， 为模二加运算。例如，码字 x [1101110 ] 和 码字 y [1010001] 的汉明距离为6。
一个码字集合中任意两码的汉明距离最小值，称为码
的最小距离，用dmin 来表示。
有 噪 信 道 编 码 定 理
最小汉明距离准则
接收序列 j
D0 j
0
D01
最近码字
1. 汉明距离 2. 序列最大似然译码
32
有 噪 信 道 编 码 定 理
4. 1 汉明距离
设两码字为 x [ x1 ,..., xn ], y [ y1 ,..., y n ]，定义它们的
汉明距离为
n d ( x , y ) xn y k k 1
联合典型序列信道编码定理
Pr [TXY ( N , e )] 1 e
信道编码定理
Shannon信道编码定理：给定容量为C的离散无 记忆信道{X,P(x|y),Y},若编码速率R<C,则R是可 达的 可达：对给定离散无记忆信道和任意e>0,若有 一种编码速率为R的码，在N足够大时，能使 Pe<e，就称R是可达的。
最小汉明距离译码
汉明距离 d(x, y), x, y中分量不同的数目 码字先验等概 K元对称信道
p(i | i) 1 p p( j | i ) p /( K 1)
最小汉明距离译码
ln p( y | xm ) ln p( yi | xmi )
n 1 N
p d ( y, xm ) ln ( N d ( y, xm )) ln(1 p) K 1 N ln(1 p) d ( y, xm ) ln[( 1 p)(K 1) / p]
第五章 信道编码定理
信道编码定理
1.离散信道编码问题 2.信道译码 3.Fano不等式和信道编码逆定理 4.联合典型序列及信道编码定理
1.离散信道编码问题
纠错编码器
Hale Waihona Puke 将输入的信息数字序列变成另外一个数字序列， 人为地按照一定的规律增加多余度，以便纠正 传输过程中出现的错误，以尽可能小的错误概 率恢复原来的信源数字序列 有限状态开关网络：
N N N n 1 n 1 n 1
2 maxln(y | xm ) min ( yn xmn ) 2 min xmn 2 xmn yn
若发送信号能量相等,最大相关译码
Fano不等式和信道编码 逆定理
信道编码定理
且p( x n )在 n 上取均匀分布。
第二节 信道编码问题 （2） ( f , g ), 在n 时，st
n n
n ( f n , g n )的误差
e( f n , g n ) n 0成立。
编码问题一就是求信道序列 C 的最大可达速率R1。 编码问题二 对给定 C 寻找一组 专线：
0
1
2
1
1
第三节 离散无记忆信道 例：对于二元对称信道
0 1-p p p 1-p 0
1
1
如果信源分布X={ ,1- }，则 I ( X ; Y ) H (Y ) H (Y / X )
H (Y ) P( x) P( y / x) log 1 P( y / x) X Y 1 1 H (Y ) P( x)[ p log p log ] p p X
那么，在什么样的信源输出情况下，信道输出能等概分 布呢？可以证明，输入等概分布时，输出也等概分布。
第三节 离散无记忆信道
例：
1 3 P 1 6 1 3 1 6 1 6 1 3 1 6 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1 C log 4 H ( , , , ) 2 [ log 3 log 3 log 6 log 6] 0.817 3 3 6 6 3 3 6 6
1 2 1 P 6 1 3 1 3 1 2 1 6 1 6 1 3 1 2 和第三节 离散无记忆信道
如果离散信道的转移矩阵如下
p p P r 1 ... p r 1 p r 1 p p r 1 ... p r 1 ... p r 1 p r 1 p
是可通过的：若
第二节 信道编码问题 （2） ( f , g ), 在n 时，st
n n
n ( f n , g n )的误差
e( f n , g n ) n 0成立。
编码问题一就是求信道序列 C 的最大可达速率R1。 编码问题二 对给定 C 寻找一组 专线：
0
1
2
1
1
第三节 离散无记忆信道 例：对于二元对称信道
0 1-p p p 1-p 0
1
1
如果信源分布X={ ,1- }，则 I ( X ; Y ) H (Y ) H (Y / X )
H (Y ) P( x) P( y / x) log 1 P( y / x) X Y 1 1 H (Y ) P( x)[ p log p log ] p p X
那么，在什么样的信源输出情况下，信道输出能等概分 布呢？可以证明，输入等概分布时，输出也等概分布。
第三节 离散无记忆信道
例：
1 3 P 1 6 1 3 1 6 1 6 1 3 1 6 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1 C log 4 H ( , , , ) 2 [ log 3 log 3 log 6 log 6] 0.817 3 3 6 6 3 3 6 6
1 2 1 P 6 1 3 1 3 1 2 1 6 1 6 1 3 1 2 和第三节 离散无记忆信道
如果离散信道的转移矩阵如下
p p P r 1 ... p r 1 p r 1 p p r 1 ... p r 1 ... p r 1 p r 1 p
是可通过的：若
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判决区域
Ym: lnp(y|xm) > ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnp(y|xm’) 给定m,错误概率
pem
C yYm
p( y | x
m
)
pe Q (m) pem
m 1
M
高斯信道
max p( y | xm )
n 1 N
( yn xmn ) 2 1 exp{ } 2 2 2
pr (m'| y) pr (m | y)
最大似然译码
Q(m) p(y | m) p(m | y ) (y ) (y ) Q(m) p(y | x m )
m 1 M
译码原则： p(y | m ') p(y | m) 所有Q(m)相同
最大对数似然译码
ln p( y | m' ) ln p( y | m)
N N N n 1 n 1 n 1
2 maxln(y | xm ) min ( yn xmn ) 2 min xmn 2 xmn yn
若发送信号能量相等,最大相关译码
Fano不等式和信道编码 逆定理
Fano不等式和编码逆定理
信源序列：u=(u1,u2,…,uL) ∈UL 码序列（信道输入）：x=(x1,x2,…,xN) 接收序列（信道输出）： y=(y1,y2,…,yN) 译码器输出：v=(v1,v2,…,vL) Fano不等式主要说明Pb, HL(U), 和I(UL;VL)之间 的关系
则序列对x和y是联合e典型序列
联合典型序列
| TX |Y ( N , e ) | 2 (1 e )2
N [ H ( X |Y ) 2e ]
N [ I ( X ;Y ) 3e ]
x y ( x , y )TXY ( N ,e )
p ( x) p ( y ) 2
N [ I ( X ;Y ) 3e ]
Pr [TXY ( N , e )] 1 e
信道编码定理
Shannon信道编码定理：给定容量为C的离散无 记忆信道{X,P(x|y),Y},若编码速率R<C,则R是可 达的 可达：对给定离散无记忆信道和任意e>0,若有 一种编码速率为R的码，在N足够大时，能使 Pe<e，就称R是可达的。
第五章 信道编码定理
信道编码定理
1.离散信道编码问题 2.信道译码 3.Fano不等式和信道编码逆定理 4.联合典型序列及信道编码定理
1.离散信道编码问题
纠错编码器
将输入的信息数字序列变成另外一个数字序列， 人为地按照一定的规律增加多余度，以便纠正 传输过程中出现的错误，以尽可能小的错误概 率恢复原来的信源数字序列 有限状态开关网络：
几个概念
码率 误组率
R＝K/N
p ( xm ' xm ) 1 pb pel L l 1
L
误比特率
2.信道译码问题
译码错误概率
pe ( y) PN (m' m | y) 1 pN (m' m | y)
－误组率
译码准则
最小错误概率译码：是pe(y)最小 最大后验概率译码： 选m，使得pr(m|y)最大
联合典型序列及信道编码定理
联合典型序列
1 x是e典型序列 | log p(x) H ( X ) | e N 1 y 是e典型序列 | log p(y) H (Y ) | e N 1 log p(xy) H ( XY ) | e xy是e典型序列 | N
思路：编码规则采用随机编码；译码规则 是联合典型序列译码
Fano不等式
H U V
logM Log(M-1)
Pb
做了一次译码判决后所保留的关于信源的不确定性可分为2个部 分：第一，判决的结果是对的还是错的，其不确定性：H(Pb)； 第二，若判决是错的，为确定到底是其余M -1种可能事件中哪 一个，所需信息量不超过log(M -1)
信道编码逆定理
离散平稳源有M个字母，熵为HL(U)(limL->∞)， 信道容量为C,当HL(U)>(N/L)C时,误码率为非零值。
信息数字：k0位，每位持续时间，ts=1/Rs 码字输出序列：n0位，每位持续时间，tc n0tc=k0ts
纠错编码器
送给纠错编码器的消息是经过最佳信源编码后，信息 速率为比特/秒的离散二元或q元数字序列。 分组码 每K个信息数字为一组，计算出N个编码数字，称这些 数字为一个码字。通常N为整数。 卷积码 输出的n0长码段不仅依赖于当前的k0位信息数字，还 依赖于前m个信息段的信息数字，即总共与（m＋1） k0个信息数字有关。
Fano不等式
pb log(M 1) H ( pb ) H (U | V ) 1 L L pb log(M 1) H ( pb ) H (U | V ) L 1 [ H (U L ) I (U L ;V L )] L 1 H L (U ) I ( X N ; Y N ) L N H L (U ) C L
最小汉明距离译码
汉明距离 d(x, y), x, y中分量不同的数目 码字先验等概 K元对称信道
p(i | i) 1 p p( j | i ) p /( K 1)
最小汉明距离译码
ln p( y | xm ) ln p( yi | xmi )
n 1 N
p d ( y, xm ) ln ( N d ( y, xm )) ln(1 p) K 1 N ln(1 p) d ( y, xm ) ln[( 1 p)(K 1) / p]