河北省石家庄一中2021届普通高中教育教学质量监测考试全国卷(新高考)数学试卷 无答案
2021届石家庄市高三数学质检一试卷 含答案
sin Asin C sin C ( 3 cos A 1 sin A) 3 cos Asin C 1 sin Asin C ，………………6 分
2
2
2
2
1 sin Asin C 3 cos Asin C ，
2
2
因为 A 为三角形内角，所以 tanA
3
，故
A
3
，
………………7 分 ………………8 分
（2）由（1）可得 Sn n2 ，………………7 分
………………5 分
方案一：选条件①．
由 cosC 21 得 sinC 2 7 ，………………5 分
7
7
ABC
所以
an1 Sn Sn1
2n 1 n2 (n 1)2
1 n2
1 (n 1)2
；
………………9 分
所
以
Tn
(112
1 22
)
(
1 22
一、单选题
题目
1
答案
B
2021 届石家庄市高中毕业班教学质量检测（一） 数学答案
2
3
4
5
6
7
8
D
C
C
A
A
B
D
sinA sin(B C) 3 21 1 2 7 5 7 , ………………7 分 2 7 2 7 14
在 ABC 中由正弦定理可得：
BC 57
8 27
, 解得： BC 10 ，
2
0,
可取 n =（ , , 1）…….....10 分
设二面角 M-BC1- D 为
所以 cos DMn 10 DM n 5
即二面角 M-BC1- D 的余弦值为 .………………………………..12 分
河北省石家庄市2021届高三数学毕业班教学质量检测试题（一）理
石家庄市2021届高三温习教学质量检测（一）高三数学（理科）（时刻120分钟，总分值150分）一、选择题（每题5分，共60分） 1．复数21i i =- A ．1i + B ．1i - C ．1i - D ．12i -2．已知集合2{|230}A x x x =--≤，{0,1,2,3,4}B =，那么AB =A ．{1,2,3}B ．{0,1,2,3}C ．{1,0,1,2,3}-D ．{0,1,2}3．已知向量(2,6)=--a ，||=b ，10⋅=-a b ，那么向量a 与b 的夹角为 A ．150︒ B ．30-︒ C ．120︒ D ．60-︒4．已知双曲线2221()4x y a R a -=∈的右核心与抛物线212y x =的核心重合，那么该双曲线的离心率为A ．35 B ．3 C ．3 D ．55．设()f x 是概念在R 上的周期为3的函数，当[2,1)x ∈-时，242,20(),,01x x f x x x ⎧--≤≤=⎨<<⎩，那么5()2f =A ．1-B ．1C ．12D ．0 6．设a 、b 表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，那么以下命题中正确的选项是 A ．假设a α⊥且a b ⊥，那么//b α B ．假设γα⊥且γβ⊥，那么//αβ C ．假设//a α且//a β，那么//αβ D ．假设//γα且//γβ，那么//αβ7．已知函数3()sin 34(,)f x a x bx a R b R =++∈∈，'()f x 为()f x 的导函数，那么A ．8B ．2014C ．2015D ．08．为了取得函数3cos 2y x =的图象，只需把函数3sin(2)6y x π=+的图象上所有的点A ．向右平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动6π个单位长度C ．向左平行移动3π个单位长度 D ．向左平行移动6π个单位长度 9．阅读如下程序框图，运行相应的程序，那么程序运行后输出的结果为 A ．7 B ．9 C ．10 D ．11 10．二项式71(2)x x+的展开式中31x 的系数是 A ．42 B ．168 C ．84 D ．2111．某几何体的三视图如右图，假设该几何体的所有极点都在一个球面上，那么该球面的表面积为 A ．4π B ．283π C ．443π D ．20π 12．设函数()2(,xf x e x a a R e =+-∈为自然对数的底数)，假设曲线sin y x =上存在点00(,)x y ，使得00(())f f y y =，那么a 的取值范围是A ．1[1,1]e e --++ B ．[1,1]e + C ．[,1]e e + D ．[1,]e二、填空题（每题5分，共20分） 13．曲线23(xy ee =+为自然对数的底数)在0x =处的切线方程为_____.14．实数,x y 知足402200,0x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，那么x y -的最小值为_____.15．已知圆22:1C x y +=，过第一象限内一点(,)P a b 作圆C 的两条切线，切点别离为A B 、，假设60APB ∠=︒，那么a b +的最大值为_____.16．观看右图的三角形数阵，依此规律，那么第61行的第2个数是_____.三、解答题（本大题共6个小题，共７０分，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤）． 17.（本小题总分值10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长别离为a 、b 、c ，且3a =，2b =，2A B =，求cos B 和c 的值． 18．（本小题总分值12分）已知{}n a 为公差不为0的等差数列，13a =，且1a 、4a 、13a 成等比数列． （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）假设2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．19.（本小题总分值12分）某学校为了解学生躯体发育情形，随机从高一年级中抽取40人作样本，测量出他们的身高（单位：cm ），身高分组区间及人数见下表：（I ）求a 、b 的值并依照题目补全频率散布直方图；（II ）在所抽取的40人中任意选取两人，设Y 为身高不低于170cm 的人数，求Y 的散布列及期望． 20.（本小题总分值12分）如下图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，1PA AD ==，E 、F 别离为PD 、AC 的中点． （I ）求证：//EF 平面PAB ；（II ）求直线EF 与平面ABE 所成角的大小． 21．（本小题总分值12分）定长为3的线段AB 的两个端点A 、B 别离在x 轴、y 轴上滑动，动点P 知足2BP PA =． （I ）求点P 的的轨迹曲线C 的的方程；（II ）假设过点(1,0)的直线与曲线C 交于M 、N 两点，求OM ON ⋅的最大值． 22．(本小题总分值12分)已知函数2()ln ,f x x x ax a R =+-∈． （I ）假设3a =，求()f x 的单调区间；（II ）假设()f x 有两个极值点1x 、2x ，记过点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 的直线的斜率为k ，问是不是存在a ，使22ak a =-？假设存在，求出a 的值；假设不存在，请说明理由． 石家庄市2021届高三第一次质量检测 数学理科答案 一、选择题：1-5CBCDA 6-10DADBC 11-12BA 二、填空题：13．24y x =+ 14．1- 15． 16.3602 三、解答题 17.因为c=2,不合题意舍去，因此52c =.....................................10分 18．解(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得2(33)3(312)d d +=+，得2d =或0d =(舍)，……………………2分因此{}n a 的通项公式为3(1)221n a n n =+-=+……………………4分 （2）2(21)2n n n n b a n ==+123325272(21)2n n S n =+++++………………① …………②……………………6分①－②得123132222222(21)2n n n S n +-=++++-+…………………8分1+12(12)22(21)2122(21)2n n n n n +-=+-+-=---……………………10分 ∴1(21)22n n S n +=-+……………………12分 19. 解：（1）解：a=6 b=10……………………………2分 ……….5分（2）P （Y=0）=13063240228=C CP （Y=1）=6528240112128=C C C P （Y=2）=13011240212=C C…………………11分23412325272(21)2n n S n +=+++++35E （P ）=.…………………………12分20(1)别离取PA 和AB 中点M 、N ，连接MN 、ME 、NF ，那么=NF ∥12AD ,=ME ∥12AD ,因此=NF ∥ME , ∴四边形MEFN 为平行四边形. -------------2∴EF MN ∥,又,EF PAB ⊄平面,MN PAB ⊂平面∴EF ∥PAB 平面.- ------------4(2) 由已知得，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ,因此AP AB AD ，，两两垂直．如下图，以A 为坐标原点,别离以AP AD AB ,,为轴轴，轴，z y x 的正方向，成立空间直角坐标系xyz A -，因此(001),(000),B(1,0,0),(110),(010)P A C D ，，，，，，，，，,1111(0),(0)2222E F ，，，，, 因此,11(0)22EF =-，，, 11(0),(100)22AE AB ==，，，，,- ------------6设平面ABE 法向量(,,)n a b c =,0,0,n AE n AB ==因此11022b c a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩令1,0,1b a c ===-则 因此(0,1,1)n =-为平面ABE 的一个法向量 -------------8 设直线EF 与平面ABE 所成角为α,于是1sin cos ,2EF n EF n EF nα=<>==.-------------10 因此直线EF 与平面ABE 所成角为6π. -------------12 解法2:在平面PAD 内作EH ∥PA H 于, 因为侧棱PA ⊥底面ABCD ,因此EH ⊥底面ABCD . -------------6E 为PD 的中点,12EH =,1111224ABFS =⨯⨯=11111334224E ABF ABFV SEH -==⨯⨯=-------------8 设点F 到平面ABE 的距离为h1133ABFABES EH Sh =,4h =. -------------10 设直线EF 与平面ABE 所成角为α,1sin 2h EF α==,因此直线EF 与平面ABE 所成角为6π. -------------12 21.解：（1）设A （0x ，0），B （0，0y ），P （,x y ），由2BP PA =得，00(,)2(,)x y y x x y -=--，即000032()223x x x x xy y y y y⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎩，————————————————————2分 又因为22009x y +=，因此223()(3)92x y +=，化简得：2214x y +=，这确实是点P 的轨迹方程。
2021年河北卷数学高考试卷(原卷+答案)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 卷）（适用地区：山东、福建、广东、河北、湖北、湖南、江苏）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题1．设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,42．已知2i z =-，则()i z z +=（）A ．62i-B ．42i-C ．62i+D ．42i+3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A ．2B ．C ．4D ．4．下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．66．若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．657．若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）A ．e b a <B ．e a b<C ．0e ba <<D ．0e ab <<8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立二、多选题9．有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样数据的样本极差相同10．已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（）A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅11．已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =12．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 第II 卷（非选择题）三、填空题13．已知函数()()322xx xa f x -=⋅-是偶函数，则a =______.14．已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.15．函数()212ln f x x x =--的最小值为______.四、双空题16．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==∑______2dm .五、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.18．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19．记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.20．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.22．已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.参考答案1．B【分析】利用交集的定义可求A B .【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .2．C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+,故选：C.3．B【分析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2l ππ=l =.故选：B.4．A【分析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.5．C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．6．C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．7．D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e，对函数xy e=求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()tty e e x t -=-，即()1tty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1tty e x t e =+-上，可得()()11tttb ae t e a t e =+-=+-，令()()1tf t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D.8．B【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁，，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B 9．CD【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD10．AC【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP uuur ，2AP uuu r 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||1OP ==，2||1OP == ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||2|sin |2AP α=====，同理2||2|sin |2AP β= ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+ ()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅ 故错误；故选：AC 11．ACD【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB的距离为11545==>，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为115425-<，最大值为1154105+<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，BM =4MP =，由勾股定理可得BP ==CD 选项正确.故选：ACD.12．BD【分析】对于A ，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B ，将P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数；对于D ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数．【详解】易知，点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．对于A ，当1λ=时，11=BP BC BB BC CC μμ=++，即此时P ∈线段1CC ，1AB P △周长不是定值，故A 错误；对于B ，当1μ=时，1111=BP BC BB BB B C λλ=++，故此时P 点轨迹为线段11B C ，而11//B C BC ，11//B C 平面1A BC ，则有P 到平面1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．对于C ，当12λ=时，112BP BC BB μ=+ ，取BC ，11B C 中点分别为Q ，H ，则BP BQ QH μ=+ ，所以P 点轨迹为线段QH ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，1,0,12A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,0P μ,，10,,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，则1,0,12A P μ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，10,,2BP μ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()110A P BP μμ⋅=-=，所以0μ=或1μ=．故,H Q 均满足，故C 错误；对于D ，当12μ=时，112BP BC BB λ=+ ，取1BB ，1CC 中点为,M N ．BP BM MN λ=+ ，所以P 点轨迹为线段MN ．设010,,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭，因为0,02A ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，所以01,,22AP y ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，11,,122A B ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以00311104222y y +-=⇒=-，此时P 与N 重合，故D 正确．故选：BD ．13．1【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【详解】因为()()322xx xa f x -=⋅-，故()()322x x f x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222xx x x xa x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为：114．32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果.【详解】抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±,不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧，又||6FQ = ，(6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=-uu u r 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅= 2602p p ⨯-=,0,3p p >∴=Q ，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.15．1【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值.【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞，∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减；当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减；当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增；又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增；∴()(1)1f x f ≥=故答案为：1.16．5()41537202n n -+-【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）由对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，所以对着三次的结果有：5312561032022⨯⨯⨯⨯，，；，共4种不同规格（单位2dm )；故对折4次可得到如下规格：5124⨯，562⨯，53⨯，3102⨯，3204⨯，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为120()2 dm ,第n 次对折后的图形面积为111202n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，对于第n 此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为1n +种（证明从略），故得猜想1120(1)2n n n S -+=，设()0121112011202120312042222nk n k n S S -=+⨯⨯⨯==++++∑L ，则121112021203120120(1)22222n nn n S -⨯⨯+=++++ ，两式作差得：()211201111124012022222n n n S -+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ ()11601120122401212n n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--()()112011203120360360222n n nn n -++=--=-，因此，()()4240315372072022n n n n S -++=-=-.故答案为：5；()41537202n n -+-.17．（1）122,5b b ==；（2）300.【分析】（1）根据题设中的递推关系可得13n n b b +=+，从而可求{}n b 的通项.（2）根据题设中的递推关系可得{}n a 的前20项和为20S 可化为()2012910210S b b b b =++++- ，利用（1）的结果可求20S .【详解】（1）由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，*()k N ∈故2223k k a a +=+，即13n n b b +=+，即13n n b b +-=所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-.（2）设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++ ，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=- ，所以()20241820210S a a a a =++++- ()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.18．（1）见解析；（2）B 类．【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=；()()200.810.60.32P X ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以X 的分布列为X20100P0.20.320.48（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=；()()800.610.80.12P Y ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=．因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题．19．（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=.【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBD b=，结合已知即可证结论.（2）由题设2,,33b bBD b AD DC ===，应用余弦定理求cos ADB ∠、cos CDB ∠，又ADB CDB π∠=-∠，可得42221123b b a a +=，结合已知及余弦定理即可求cos ABC ∠.【详解】（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即sin sin C cABC b=∠，∴acBD b=，又2b ac =，∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b bBD b AD DC ===，∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅，∵ADB CDB π∠=-∠，∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =，∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=.20．(1)详见解析(2)36【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO ⊥平面BCD ，即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.【详解】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO ⊥BD因为平面ABD 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ，AO ⊂平面ABD ，因此AO ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO ⊥CD (2)作EF ⊥BD 于F,作FM ⊥BC 于M,连FM 因为AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥BD,AO ⊥CD所以EF ⊥BD,EF ⊥CD,BD CD D ⋂=,因此EF ⊥平面BCD ，即EF ⊥BC 因为FM ⊥BC ，FM EF F =I ,所以BC ⊥平面EFM ，即BC ⊥ME 则EMF ∠为二面角E-BC-D 的平面角,4EMF π∠=因为BO OD =,OCD 为正三角形,所以BCD 为直角三角形因为2DE EA =,1112(1)2233FM BF ∴==+=从而EF=FM=213AO ∴=AO ⊥Q 平面BCD,所以11131133326BCD V AO S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=21．（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；（2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线AB 与曲线C 的方程，列出韦达定理，求出TA TB ⋅的表达式，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得出TP TQ ⋅的表达式，由TA TB TP TQ ⋅=⋅化简可得12k k +的值.【详解】因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >.由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-，所以，()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616t k t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=.因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.22．（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设1211,x x a b==，原不等式等价于122x x e <+<，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21x tx =，从而把12x x e +<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+∞上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+，又()1ln 1ln f x x x '=--=-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,+x ∈∞时，()0f x '<，故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b+=，故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1211,x x a b==，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>.因为()0,1x ∈时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e ∈+∞时，()()1ln 0f x x x =-<，故21x e <<.先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <，要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<，故即证()()122f x f x >-，即证：()()222f x f x >-，其中212x <<.设()()()2,12g x f x f x x =--<<，则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦，因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x '>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=，故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立，综上，122x x +>成立.设21x tx =，则1t >，结合ln 1ln +1a b a b+=，1211,x x a b ==可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-，即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<，即证：()1ln ln 11t t tt --++<，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->，则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭，先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+.设()()ln 1u x x x =+-，则()1111xu x x x -'=-=++，当10x -<<时，()0u x '>；当0x >时，()0u x '<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故()()max 00u x u ==，故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立，故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <=，故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立.综上所述，112e a b<+<.。
河北省石家庄市2021届高三上学期质量检测(一)数学试题【含答案】
又∵MD⊥平面 BDC1， ∴MD⊥BC1 ，
MD∩ BD=D ， ∴BC1⊥平面 MBD， MB⊂平面 MBD ， ∴MB⊥BC1 …… ………9 分
∴ ∠MBD 为二面角 M-BC1- D 的平面角 在 Rt △MBD 中，cos∠MBD= =
t
…… …………… ………10 分
t h
即二面角
M-BC1-
则
AB
=
(s
-
m,t
-
n),
AP
=
(
p
-
m,
-n)
，
MB
=
(s-
m,
t+
n),
MQ
=
(q
-
m,
n)
……………………………………………………………6 分
由
A,B,P
三点共线，则有
AB
/
/ AP
，即
nt ms
n m
p
所以 p m n(m s) ns mt ；
nt
nt
………………7 分
DD1 AD D ， ∴BD⊥平面 ADD1A1, ∴BD⊥MD . ………………………….2 分
取 BB1 中点 N，连接 NC ，MN，
MN / / DC 且 MN DC ， MNCD 为平行四边形， MD / / NC ,
∵
= ,∴ ∆NBC~∆BC , ∴ ∠
∠BCN tt , ∴BC1⊥CN,
当 a = 1时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增，且 f (x) = (x2 +1)e x > 0 恒成立，
f (x) e2 0 恒成立，符合题意；...............................6 分 当a >1时
石家庄市2021届高考数学教学质量检测试卷(二)(解析版)
2021年河北省石家庄市高考数学教学质量检测试卷（二）一、选择题（共8小题）.1．已知i为虚数单位，复数z＝，则z的虚部为（）A．B．﹣i C．﹣D．i2．抛物线y＝ax2经过点M（2，1），则M到焦点F的距离为（）A．B．2C．3D．3．已知集合A＝{0，a+b，}，B＝{0，1﹣b，1}，（a，b∈R），若A＝B，则a+2b＝（）A．﹣2B．2C．﹣1D．14．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．5．已知函数f（x）＝，若f（a）＝1，则f（a﹣2）＝（）A．﹣1B．﹣C．D．16．在边长为1的等边△ABC所在平面内，有一点P满足，则•＝（）A．B．C．D．﹣7．算盘是一种手动操作计算辅助工具．它起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项重要发明，算盘有很多种类现有一种算盘（如图一），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨每珠记作数字1（例如图二中算盘表示整数51）．如果拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（）A．16B．15C．12D．108．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥PC，PA＝AC＝，BC＝a，动点Q从B 点出发，沿外表面经过棱PC上一点到点A的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为（）A．5πB．8πC．10πD．20π二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．某校举行学习党史知识比赛，甲、乙两个班各有10名同学参加，根据成绩绘制茎叶图如下，则（）A．＞B．＜C．S2甲＜S2乙D．S2甲＞S2乙10．若实数a，b满足a4＜a3b，则下列选项中一定成立的有（）A．a2＜b2B．a3＜b3C．e a﹣b＜1D．ln（）＜0 11．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，各棱长均为2，设∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝θ，则（）A．当θ＝时，AC1＝2B．θ的取值范围为（0，）C．θ变大时，平行六面体的体积也越来越大D．θ变化时，AC1和BD总垂直12．已知双曲线C：（a＞0），其上、下焦点分别为F1，F2，O为坐标原点．过双曲线上一点M（x0，y0）作直线l，分别与双曲线的渐近线交于P，Q两点，且点M为PQ中点，则下列说法正确的是（）A．若l⊥y轴，则|PQ|＝2B．若点M的坐标为（1，2），则直线l的斜率为C．直线PQ的方程为＝1D．若双曲线的离心率为，则三角形OPQ的面积为2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．等比数列{a n}中，a5a9﹣2a7＝0，则a7＝．14．若命题“∃x0∈R，x02﹣2x0+m＜0”为真命题，则实数m的取值范围为．15．某科考队有甲、乙、丙三个勘探小组，每组三名队员该队执行考察任务时，每人佩戴一部对讲机与总部联系，若每部对讲机在某时段能接通的概率均为，且对讲机能否接通相互独立．甲组在该时段能联系上总部的概率为，在该时段至少有两个勘探小组可以与总部取得联系的概率为．16．已知函数f（x）＝ax+b cos2x+c sin2x，其中a，b，c∈R，b2+c2＝，f′（x）为f（x）的导函数．若存在x1，x2∈R使得f′（x1）•f′（x2）＝﹣1成立，则a+b+c的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在①a5＝6，a1+S3＝50；②S12＞S9，a2+a21＜0，③S9＞0，S10＜0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解决问题．问题：设等差数列{a n}的前n项和为S n，若_____，判断S n是否存在最大值，若存在，求出S n取最大值时n的值；若不存在，说明理由．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos（2π﹣B）+sin（π+B）＝．（1）求sin B；（2）若cos A＝，a＝5，求△ABC的面积．19．2021年是“十四五”开局之年，是在全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，全面建设社会主义现代化国家新征程开启之年，新征程的第一阶段是2020年到2035年，基本实现社会主义现代化，其中保障农村农民的生活达到富裕是一个关键指标．某地区在2020年底全面建成小康社会，随着实施乡村振兴战略规划，该地区农村居民的收入逐渐增加，可支配消费支出也逐年增加．该地区统计了2016年﹣2020年农村居民人均消费支出情况，对有关数据处理后，制作如图1的折线图（其中变量y（万元）表示该地区农村居民人均年消费支出，年份用变量t表示，其取值依次为1，2，3，…）．（1）由图1可知，变量y与t具有很强的线性相关关系，求y关于t的回归方程，并预测2021年该地区农村居民人均消费支出；（2）在国际上，常用恩格尔系数（其含义是指食品类支出总额占个人消费支出总额的比重）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况．根据联合国粮农组织的标准：恩格尔系数在40%～50%为小康，30%～40%为富裕．已知2020年该地区农村居民平均消费支出构成如图2所示，预测2021年该地区农村居民食品类支出比2020年增长3%，从恩格尔系数判断2021年底该地区农村居民生活水平能否达到富裕生活标准．参考公式：回归方程＝x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝，＝﹣．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，△PAB为等边三角形，平面PAB ⊥底面ABCD，E为AD的中点．（1）求证：CE⊥PD；（2）在线段BD（不包括端点）上是否存在点F，使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为，若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝lnx+x2，m∈R．（1）若m＞0，函数f（x）图象上所有点处的切线中，切线斜率的最小值为2，求切线斜率取到最小值时的切线方程；（2）若F（x）＝f（x）﹣mx有两个极值点，且所有极值的和不小于﹣﹣3，求m的取值范围．22．已知直线l：y＝x﹣1与椭圆C：＝1（a＞1，b＞0）相交于P，Q两点M（﹣1，0），•＝0．（1）证明椭圆过定点T（x0，y0），并求出x2+y2的值；（2）求弦长|PQ|的取值范围．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，复数z＝，则z的虚部为（）A．B．﹣i C．﹣D．i解：i2021＝i4×505+1＝i，i2018＝i4×504+2＝i2＝﹣1，复数z＝＝＝﹣i，则z的虚部为﹣．故选：C．2．抛物线y＝ax2经过点M（2，1），则M到焦点F的距离为（）A．B．2C．3D．解：抛物线y＝ax2经过点M（2，1），可得4a＝1，解得a＝，所以抛物线方程：x2＝4y，焦点为（0，1），准线方程为y＝﹣1，则M到焦点F的距离为：1+1＝2．故选：B．3．已知集合A＝{0，a+b，}，B＝{0，1﹣b，1}，（a，b∈R），若A＝B，则a+2b＝（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1解：∵A＝B，①当时，解得a＝b＝，∴a+2b＝1，②当时，解得，此时A＝{0，1，0}，与互异性矛盾，综上，a+2b＝1．故选：D．4．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．解：由e x﹣e﹣x≠0，得x≠0，即函数的定义域为{x|x≠0}，排除B，C，当0＜x＜时，cosπx＞0，e x﹣e﹣x＞0，则f（x）＞0，排除D，故选：A．5．已知函数f（x）＝，若f（a）＝1，则f（a﹣2）＝（）A．﹣1B．﹣C．D．1解：∵函数f（x）＝，f（a）＝1，∴，或，求得a＝1，则f（a﹣2）＝f（﹣1）＝2﹣1﹣1＝﹣，故选：B．6．在边长为1的等边△ABC所在平面内，有一点P满足，则•＝（）A．B．C．D．﹣解：在边长为1的等边△ABC所在平面内，有一点P满足，可得＝﹣2，设D为BC的中点，则∴，可得P为△ABC中线AD的中点．AD＝，AP＝，所以•＝||||cos（π﹣∠APB）＝﹣＝﹣．故选：D．7．算盘是一种手动操作计算辅助工具．它起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项重要发明，算盘有很多种类现有一种算盘（如图一），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨每珠记作数字1（例如图二中算盘表示整数51）．如果拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（）A．16B．15C．12D．10解：不选十位时，有2种（3或7），当十位选梁下选一个算珠时，有2种（12或16），当十位选梁下选两个算珠时，有2种（21或25），当十位选梁上选一个算珠时，有2种（52或56），当十位选梁上选一个和梁下选一个算珠时，有2种（61或65），当十位选选三个算珠时，有2种（30或70），故不同的数字共有12个，故选：C．8．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥PC，PA＝AC＝，BC＝a，动点Q从B 点出发，沿外表面经过棱PC上一点到点A的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为（）A．5πB．8πC．10πD．20π解：如图，∵PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥PC，PA∩PC＝P，∴BC⊥平面PAC．把平面PBC翻折至与平面PAC重合，使B位于B′处，则∠ACB′＝135°，AB′＝，由余弦定理得：（AB′）2＝AC2+（B′C）2﹣2AC•B′C•cos135°，即，解得a＝﹣4（舍去），或a＝2．取PB中点O，在Rt△PAB与Rt△PCB中，可得OP＝OB＝OA＝OC，则O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，∵PA＝AC＝，BC＝2，∴OP＝．∴该棱锥的外接球的表面积为．故选：B．二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．某校举行学习党史知识比赛，甲、乙两个班各有10名同学参加，根据成绩绘制茎叶图如下，则（）A．＞B．＜C．S2甲＜S2乙D．S2甲＞S2乙解：由茎叶图中的数据，计算甲班平均分为＝×（73+74+77+82+84+85+88+88+94+95）＝84，乙班平均分＝×（66+68+68+68+74+76+77+86+88+89）＝76，所以甲班的平均数大于乙班平均数，即＞；计算甲班成绩的方差是＝×[（﹣11）2+（﹣10）2+（﹣7）2+（﹣2）2+02+12+42+42+102+112]＝52.8；乙班成绩的方差是＝×[（﹣10）2+（﹣8）2+（﹣8）2+（﹣8）2+（﹣2）2+02+12+102+122+132]＝62；所有甲的方差小于乙的方差，即＜．故选：AC．10．若实数a，b满足a4＜a3b，则下列选项中一定成立的有（）A．a2＜b2B．a3＜b3C．e a﹣b＜1D．ln（）＜0解：由a4＜a3b，可得a2＜ab，得b＞a＞0，或b＜a＜0，对于A，由b＞a＞0，或b＜a＜0，可得a2＜b2，故A正确；对于B，当b＜a＜0时，b3＜a3，故B错误；对于C，当b＜a＜0时，a﹣b＞0，e a﹣b＞e0＝1，故C错误；对于D，由b＞a＞0，或b＜a＜0，可得0＜＜1，ln（）＜ln1＝0，故D正确．故选：AD．11．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，各棱长均为2，设∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝θ，则（）A．当θ＝时，AC1＝2B．θ的取值范围为（0，）C．θ变大时，平行六面体的体积也越来越大D．θ变化时，AC1和BD总垂直解：对于A，当θ＝时，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，棱长为2，则，故A正确；对于B，∵∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝θ，∴θ逐渐变大时，当AB、AD、AA1共面时，有3θ＝2π，此时θ＝，平行六面体不存在，故θ的取值范围为（0，），故B正确；对于C，∵∠A1AB＝∠A1AD，∴顶点A1在底面的射影位于AC上，设为O，过O作OE⊥AB，垂足为E，连接A1E，则A1E⊥AB，在Rt△A1EA中，∵AA1＝2，∠A1AE＝θ，∴AE＝2cosθ，在Rt△AEO中，又，∴AO＝，则，则平行六面体的体积V＝＝．当时，V＝8，当θ∈（，）时，sinθ＜1，＜1，则V＜8，故C错误；对于D，∵∠A1AB＝∠A1AD，∴顶点A1在底面的射影位于AC上，设为O，则A1O⊥平面ABCD，则A1O⊥BD，又底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC，而A1O∩AC＝O，∴BD⊥平面AA1C1C，则AC1和BD总垂直，故D正确．故选：ABD．12．已知双曲线C：（a＞0），其上、下焦点分别为F1，F2，O为坐标原点．过双曲线上一点M（x0，y0）作直线l，分别与双曲线的渐近线交于P，Q两点，且点M为PQ中点，则下列说法正确的是（）A．若l⊥y轴，则|PQ|＝2B．若点M的坐标为（1，2），则直线l的斜率为C．直线PQ的方程为＝1D．若双曲线的离心率为，则三角形OPQ的面积为2解：双曲线C的渐近线方程为y＝±ax，∵点M为PQ的中点，∴PQ的斜率一定存在，设为k，则直线l的方程为y＝k（x﹣x0）+y0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得x1＝＝x0+，同理可得x2＝x0+，∵M（x0，y0）为PQ的中点，∴2x0＝x1+x2＝2x0++，即＝，∴k＝，对于选项A，若l⊥y轴，即k＝0，则x0＝0，y0＝±a，不妨取M（0，a），则P（﹣1，0），Q（1，0），∴|PQ|＝2，即选项A正确；对于选项B，若M为（1，2），则，∴a2＝2，∴k＝＝＝1，即选项B错误；对于选项C，直线l的方程为y＝（x﹣x0）+y0，即（y0y﹣）•＝x0x﹣，∴﹣x0x＝﹣＝1，即选项C正确；对于选项D，若e＝，则＝，解得a＝2，此时，直线l为﹣x0x＝1，与y轴的交点为（0，），k＝，∴x1＝x0+＝x0+，x2＝x0+，∴|x1﹣x2|＝|﹣|＝|•y0﹣•y0|＝|+|＝|y0|，∴三角形OPQ的面积S＝•||•|x1﹣x2|＝•||•|y0|＝2，即选项D正确．故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．等比数列{a n}中，a5a9﹣2a7＝0，则a7＝2．解：等比数列{a n}中，a5a9﹣2a7＝0，则a72﹣2a7＝0，解得a7＝2，或a7＝0（舍去），故答案为：2．14．若命题“∃x0∈R，x02﹣2x0+m＜0”为真命题，则实数m的取值范围为（﹣∞，1）．解：命题“∃x0∈R，x02﹣2x0+m＜0”，它的否定为∀x∈R，x2﹣2x+m≥0，此时满足：△≤0，∴4﹣4m≤0，∴m≥1，所以，命题：∀x∈R，x2﹣2x+m≥0，成立时，实数m的取值范围为[1，+∞），所以上述范围的补集为（﹣∞，1），∴m∈（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．15．某科考队有甲、乙、丙三个勘探小组，每组三名队员该队执行考察任务时，每人佩戴一部对讲机与总部联系，若每部对讲机在某时段能接通的概率均为，且对讲机能否接通相互独立．甲组在该时段能联系上总部的概率为，在该时段至少有两个勘探小组可以与总部取得联系的概率为．解：甲组在该时段能联系上总部的对立事件是三部对讲机都不能与总部联系，∴甲组在该时段能联系上总部的概率是：P1＝1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝．在该时段至少有两个勘探小组可以与总部取得联系的概率为：P2＝＝．故答案为：，．16．已知函数f（x）＝ax+b cos2x+c sin2x，其中a，b，c∈R，b2+c2＝，f′（x）为f（x）的导函数．若存在x1，x2∈R使得f′（x1）•f′（x2）＝﹣1成立，则a+b+c的最大值为．解：∵b2+c2＝，∴可设b＝cosθ，c＝sinθ，则f′（x）＝a﹣cosθsin2x+sinθcos2x＝a﹣sin（2x﹣θ）∈[a﹣1，a+1]，∵存在x1，x2∈R使得f′（x1）•f′（x2）＝﹣1成立，∴解得：a＝0．∴a+b+c＝b+c＝b＝cosθ+sinθ＝sin（θ+），∴当sin（θ+）＝1时，a+b+c取得最大值．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在①a5＝6，a1+S3＝50；②S12＞S9，a2+a21＜0，③S9＞0，S10＜0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解决问题．问题：设等差数列{a n}的前n项和为S n，若_____，判断S n是否存在最大值，若存在，求出S n取最大值时n的值；若不存在，说明理由．解：若选①，a5＝6，a1+S3＝50；设等差数列{a n}的公差为d，则，解得a1＝14，d＝﹣2；所以前n项和为S n＝14n﹣n（n﹣1）＝﹣n2+15n，所以n＝，即n＝7或8时，S n取得最大值．若选②S12＞S9，a2+a21＜0，由S12﹣S9＝a10+a11+a12＝3a11＞0，解得a11＞0；由a2+a21＝a11+a12＜0，所以a12＜0，所以等差数列{a n}的公差d＝a12﹣a11＜0，所以n≤11时，a n＞0，n≥12时，a n＜0，所以n＝11时，S n取得最大值．若选③S9＞0，S10＜0，由S9＝＝9a5＞0，得a5＞0；由S10＝＝5（a5+a6）＜0，得a5+a6＜0，所以a6＜0；所以等差数列{a n}的公差d＝a6﹣a5＜0，所以当n≤5时，a n＞0，n≥6时，a n＜0，所以n＝5时，S n取得最大值．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos（2π﹣B）+sin（π+B）＝．（1）求sin B；（2）若cos A＝，a＝5，求△ABC的面积．解：（1）因为cos（2π﹣B）+sin（π+B）＝，所以cos B﹣sin B＝，因为sin2B+cos2B＝1，整理得25sin2B+5sin B﹣12＝0，即（5sin B﹣3）（5sin B+4）＝0，因为sin B＞0，所以sin B＝，（2）因为cos A＝﹣，所以sin A＝，由正弦定理得，所以b＝因为cos B＝，△ABC中，sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A＝＝，故S△ABC＝＝＝．19．2021年是“十四五”开局之年，是在全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，全面建设社会主义现代化国家新征程开启之年，新征程的第一阶段是2020年到2035年，基本实现社会主义现代化，其中保障农村农民的生活达到富裕是一个关键指标．某地区在2020年底全面建成小康社会，随着实施乡村振兴战略规划，该地区农村居民的收入逐渐增加，可支配消费支出也逐年增加．该地区统计了2016年﹣2020年农村居民人均消费支出情况，对有关数据处理后，制作如图1的折线图（其中变量y（万元）表示该地区农村居民人均年消费支出，年份用变量t表示，其取值依次为1，2，3，…）．（1）由图1可知，变量y与t具有很强的线性相关关系，求y关于t的回归方程，并预测2021年该地区农村居民人均消费支出；（2）在国际上，常用恩格尔系数（其含义是指食品类支出总额占个人消费支出总额的比重）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况．根据联合国粮农组织的标准：恩格尔系数在40%～50%为小康，30%～40%为富裕．已知2020年该地区农村居民平均消费支出构成如图2所示，预测2021年该地区农村居民食品类支出比2020年增长3%，从恩格尔系数判断2021年底该地区农村居民生活水平能否达到富裕生活标准．参考公式：回归方程＝x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝，＝﹣．解：（1）由已知数据可得，，，，＝1×1.01+2×1.10+3×1.21+4×1.33+5×1.40＝19.16，所以，则，故y关于t的回归方程为，当t＝6时，万元，所以预测2021年该地区农村居民人均消费支出为1.513万元；（2）已知2021年该地区农村居民人均消费支出为1.513万元，由图2可知，2020年该地区农村居民食品类支出为4451元，则预测2021年该地区食品类支出为4451×（1+3%）＝4584.53元，所以恩格尔系数为100%≈30.3%∈（30%，40%），所以2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生活标准．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，△PAB为等边三角形，平面PAB ⊥底面ABCD，E为AD的中点．（1）求证：CE⊥PD；（2）在线段BD（不包括端点）上是否存在点F，使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为，若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取AB的中点O，连结PO，PD，因为PA＝PB，所以PO⊥AB，又因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥底面ABCD，取CD的中点G，连结OG，则OB，OP，OG两两垂直，分别以OB，OG，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设AB＝2，则，所以，则，故，所以CE⊥PD；（2）解：由（1）可知，，所以，，设，则，所以，设平面PEF的法向量为，则，即，令y＝1，则，故，所以＝＝，整理可得9λ2﹣6λ+1＝0，解得，所以在BD上存在点F，使得直线AP与平面PEF所成角的正弦值为，此时点F为靠近点B的三等分点，即．21．已知函数f（x）＝lnx+x2，m∈R．（1）若m＞0，函数f（x）图象上所有点处的切线中，切线斜率的最小值为2，求切线斜率取到最小值时的切线方程；（2）若F（x）＝f（x）﹣mx有两个极值点，且所有极值的和不小于﹣﹣3，求m的取值范围．解：（1），x＞0，当m＞0时，＞2，当且仅当，即x＝时取等号，f（x）取得最小值2，所以2＝2，又f（1）＝，所以m＝1，此时切线方程y﹣＝2（x﹣1），即4x﹣2y﹣3＝0；（2）F（x）＝f（x）﹣mx＝lnx+x2﹣mx，x＞0，则F′（x）＝＝，因为F（x）有两个极值点，所以mx2﹣mx+1＝0在x＞0时有两不等根，设为x1，x2，所以，解得m＞4，且x1+x2＝1，x1x2＝，F（x1）+F（x2）＝lnx1+lnx2+（）﹣m（x1+x2）＝ln（x1x2）+[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣m（x1+x2）＝﹣lnm﹣﹣1，令g（m）＝﹣lnm﹣﹣1，则＜0，m＞4，所以g（m）单调递减且g（e2）＝﹣3﹣，由g（m）≥﹣﹣3＝g（e2），所以4＜m≤e2．22．已知直线l：y＝x﹣1与椭圆C：＝1（a＞1，b＞0）相交于P，Q两点M（﹣1，0），•＝0．（1）证明椭圆过定点T（x0，y0），并求出x2+y2的值；（2）求弦长|PQ|的取值范围．【解答】（1）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，整理得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2＝0．，，∵•＝0，∴（x1+1，y1）•（x2+1，y2）＝（x1+1）（x2+1）+y1y2＝（x1+1）（x2+1）+（x1﹣1）（x2﹣1）＝2x1x2+2＝0．∴，得2a2+b2＝a2b2．∴，即椭圆过定点T1（1，），T2（1，﹣），T3（﹣1，），T4（﹣1，﹣），∴；（2）解：＝＝＝．①由2a2+b2＝a2b2，得＞0，∴，代入①，得，∵a2＞1，∴|PQ|的取值范围是（，4）．。
2021年全国新高考Ⅰ卷数学真题试卷(含答案及解析)
C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ，
故选：B
【点睛】判断事件 是否独立，先计算对应概率，再判断 是否成立
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
故选：AC
11.已知点 在圆 上，点 、 ，则（）
A.点 到直线 的距离小于
B.点 到直线 的距离大于
C.当 最小时，
D.当 最大时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】计算出圆心到直线 的距离，可得出点 到直线 的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当 最大或最小时， 与圆 相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分 期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
19.记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
20.如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.
15.函数 的最小值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】由解析式知 定义域为 ，讨论 、 、 ，并结合导数研究的单调性，即可求 最小值.
【详解】A： 且 ，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为 ，则第二组的中位数为 ，显然不相同，错误；
C： ，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为 ，则第二组的极差为 ，故极差相同，正确；
2021年全国新高考卷数学试题含答案
2021年全国新高考卷数学试题含答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^2 + 12. 已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B等于（）A. {x|0＜x＜2}B. {x|0＜x≤2}C. {x|0≤x＜3}D. {x|0≤x≤2}3. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3=3，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若复数z满足|z|=1，则z的共轭复数z的模等于（）A. 0B. 1C. 2D. z5. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A. y = e^xB. y = ln(x)C. y = x^2D. y = 1/x二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个平行线的斜率相等。
（）2. 若矩阵A可逆，则其行列式值不为0。
（）3. 任何两个实数的和都是实数。
（）4. 二项式展开式中，各项系数的和等于2的n次方。
（）5. 函数y = x^3在区间（∞，+∞）上单调递增。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若向量a=(1，2)，b=(1，3)，则向量a与向量b的夹角余弦值为______。
2. 在等比数列{bn}中，若b1=2，公比q=3，则b6=______。
3. 若函数f(x)=3x^24x+1，则f'(x)=______。
4. 三角形内角和为______。
5. 圆的标准方程为(xa)^2+(yb)^2=r^2，其中圆心坐标为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的极值的定义。
2. 什么是排列组合？请举例说明。
3. 请写出余弦定理的公式。
4. 简述概率的基本性质。
5. 举例说明平面向量的线性运算。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=x^22x+1，求f(x)的最小值。
2. 设有4个红球，3个蓝球，求从中任取3个球，恰有2个红球的概率。
2021届河北省石家庄市高三上学期教学质量检测(一)数学试题(解析版)
2021届河北省石家庄市高三上学期教学质量检测（一）数学试题一、单选题1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}11B x x =-≤≤，则A B =（ ）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】B【解析】利用交集的定义可求得集合A B .【详解】集合{}1,0,1,2A =-，{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B =-.故选：B. 【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．若(12)2z i i -=+，则复数z =（ ） A ．1- B ．i -C ．1D ．i【答案】D【解析】本题根据复数的除法运算直接计算即可. 【详解】解：因为(12)2z i i -=+，所以2(2)(12)512(12)(12)5i i i iz i i i i +++====--+ 故选：D 【点睛】本题考查复数的除法运算，是基础题.3．北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（ ） A ．310B ．12C ．35D ．710【答案】C【解析】先求出从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有3520C =种，再求出恰有1枚吉祥物邮票的情况有11326C C ⋅=种，最后计算恰有1枚吉祥物邮票的概率即可【详解】解：从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有3520C =种，恰有1枚吉祥物邮票的情况有11326C C ⋅=种，则恰有1枚吉祥物邮票的概率63105=， 故选：C 【点睛】本题考查实际问题中的组合计数问题、利用古典概型计算概率，是基础题.4．已知过点(1,1)的直线l 与圆2240x y x +-=交于A 、B 两点，则AB 的最小值为（ ）A B ．2C ．D ．4【答案】C【解析】先根据题意求出圆心的坐标和半径，再求圆心到定点的距离，最后求AB 的最小值 【详解】解：将圆的方程2240x y x +-=化为标准方程22(2)4x y -+=，则圆心为()2,0，半径2r，则圆心()2,0到定点()1,1AB最小值为=故选：C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、求弦长的最小值，是基础题.5．在边长为2的等边三角形ABC 中，若2BD DC =，则AD AB ⋅（ ） A ．83B ．2C ．103D ．4【答案】A【解析】根据条件2BD DC =，转化1233AD AB BD AB AC =+=+，再根据数量积公式计算结果.【详解】()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，所以212123333AD AB AB AC AB AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅ ⎪⎝⎭121822223323=⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故选：A 【点睛】本题考查向量数量积，平面向量基本定理，重点考查转化与计算，计算能力，属于基础题型.6．原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系240()2tN t N -=，其中N 0为0t =时钍234的含量．已知24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2-，则()120N =（ ） A ．12贝克 B ．12 ln2贝克 C ．6贝克 D ．6 ln2贝克【答案】A【解析】由24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2-，可求0384N =，从而可求()120N .【详解】解：240ln 2()224tN t N -'=-⋅⋅，所以00ln 218ln 2,384242N N -=-⋅⋅=， 24240()23842tt N t N --==⋅，12024(120)384212N -=⋅=(贝克)，故选：A. 【点睛】考查导数的几何意义以及求函数的值，基础题.7．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点A 在双曲线上，且∠F 1AF 2＝60°，若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（）A．7B．72C．14D．142【答案】B【解析】首先根据角平分线定理和双曲线的定义求得1AF和2AF的值，再结合余弦定理计算离心率.【详解】不妨设点A在第一象限，12F AF∠的角平分线交x轴于点M，因为点M是线段2OF的中点，所以12:3:1FM MF=，根据角平分线定理可知1231AFAF=，又因为122AF AF a-=，所以13AF a=，2AF a=，由余弦定理可得22221492372c a a a a a=+-⨯⨯⨯=，所以2274ca=，所以7cea==.故选：B【点睛】本题考查双曲线的离心率，双曲线的定义，三角形角平分线定理，重点考查转化思想，计算能力，属于中档题型.8．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（）A．25︰1 B．1︰25 C．1︰5 D．5︰1【答案】D【解析】根据题意得到三棱柱的高是内切球的直径，也是底面三角形内切圆的直径，根据等边三角形的性质得到内切球和外接球的半径，计算表面积的比值.【详解】设点O 是三棱柱外接球和内切球的球心，点M 是底面等边三角形的中心，点N 是底边AB 的中点，连结OM ，MN ，AM ，OA ，设底面三角形的边长为a ，则3MN a =，23MA a =， 因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，所以33OM MN a ==，即三棱柱内切球的半径3r a =， 233AM a =，所以22153OA OM AM a =+=，即三棱柱外接球的半径15R a =， 所以内切球的表面积为22443r a ππ=，外接球的表面积222043S R a ππ==， 所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为22204:5:133a a ππ=故选：D 【点睛】本题考查空间几何体的内切球和外接球的表面积，重点考查空间想象，计算能力，属于中档题型.二、多选题9．设非零实数a b c >>，那么下列不等式中一定成立的是（ ）A ．2a bc >B ．22ac bc >C ．()()->-c ca b a cD ．ln0a ba c-<- 【答案】BD【解析】利用不等式的性质和特值法依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A ，设1a =，1b =-，2c =-，满足a b c >>， 此时不满足2a bc >，故A 错误；对选项B ，因为a b >，且0c ≠，所以22ac bc >，故B 正确. 对选项C ，设3a =，2b =，1c =，满足a b c >>，此时()1-=ca b ，()2-=ca c ，不满足()()->-cca b a c ，故C 错误； 对选项D ，因为a b c >>，所以0a c a b ->->，01-<<-a ba c， 所以ln0a ba c-<-，故D 正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查不等式的比较大小，特值法为解题的关键，属于简单题. 10．记函数()ln f x x x =+的零点为0x ，则关于0x 的结论正确的为（ ） A ．0102x << B ．0112x << C ．000x e x --= D ．000x e x -+=【答案】BC【解析】分析函数()ln f x x x =+的单调性，利用零点存在定理可判断A 、B 选项的正误，利用指数与对数的转化可判断B 、D 选项的正误. 【详解】由于函数()ln f x x x =+在()0,∞+上单调递增，且11ln 2022f ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()110f =>， 0112x ∴<<， 由于0x 是函数()ln f x x x =+的零点，则00ln 0x x +=，即00ln x x =-，00xx e -∴=，即000x e x --=，则00020x x ex e --+=>，故A 、D 选项错误，B 、C 选项正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查利用零点存在定理判断零点的取值范围，同时也考查了指数与对数转化的应用，考查计算能力，属于中等题.11．2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某大型超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好的提高服务质量，收集并整理了本超市2020年1月份到8月份的人们线上收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（ ）A ．该超市这8个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值B ．该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月C ．该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现负相关D ．从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费 【答案】ABD【解析】根据折线图逐个判断每个选项的正误. 【详解】对于A ，由折线图可知，该超市这8个月中，线上收入的平均值为3.510.51211.510.599.5 5.598+++++++=，线下收入的平均值为12.534 5.5 6.5710.5127.6258+++++++=，可知97.625>，因此线上收入的平均值高于线下收入的平均值，故A 正确；对于B ，由折线图可知，该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月，相差1万元，故B 正确；对于C ，由折线图可知，该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现正相关，故C 错误； 对于D ，由折线图可知，从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查折线统计图的分析和理解，属于基础题.12．动点P （x ，y ）在单位圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，24秒旋转一周．已知时间t ＝0时，点P 坐标为1()22-，当t ∈[0，24]时，记动点P 的横、纵坐标之和x ＋y 为关于t （单位：秒）的函数g （t ），则关于函数g （t ）描述正确的是（ ）A ．(5)g =B ．g （t ）在[5，17]上单调递减C ．g （13）＝g （21）D ．g （t ）在区间[0，24]上有3个零点【答案】ABC【解析】根据题意表示单位圆上点的横坐标和纵坐标，并表示函数()1212g t t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再依次判断选项.【详解】由已知条件可知该函数的周期为24T =，212T ππω==，当0t =时，1,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以sin 126y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()cos sin 126126g t t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1212t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()5g =A 正确；[]5,17t ∈时，2,121223t ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦3,22ππ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦， 所以()g t 在区间[]5,17上单调递减，所以B 正确；()72132sin62g π==-，()112212sin 62g π==-， 所以()()1321g g =，故C 正确；[]0,24t ∈，则,212121212t πππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ()0g t =，1212t πππ+=或2π，解得：11t =或23t =，只有2个零点，故D 不正确.故选：ABC 【点睛】本题考查三角函数模型的简单综合应用，重点考查读懂题意，三角函数性质的的应用，属于中档题型.三、填空题13．已知实数x ，y 满足12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值为________．【答案】1【解析】先根据约束条件画出可行域，再根据可行域求目标函数的最大值即可. 【详解】解：由约束条件12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，画出可行域，如图，有题意12x y x =⎧⎨=-+⎩，解得点(1,1)B ，根据图象可得，当目标函数过点(1,1)B 时，2z x y =-取得最大值211=1z =⨯-， 故答案为：1. 【点睛】本题考查简单的线性规划、求线性目标函数的最值，是基础题. 14．已知π(,π)2α∈，2sin2α＋1＝cos2α，则cos α＝________．【答案】5-【解析】根据二倍角公式化简为sin 2cos αα=-，再根据22sin cos 1αα+=，得到cos α的值.【详解】2sin 2cos21αα=-，即24sin cos 2sin ααα=- ，sin 2cos αα=-，① 又因为22sin cos 1αα+=，② 由①②可知，25cos 1α=，又因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α=.故答案为：5-【点睛】本题考查二倍角公式，同角三角函数基本关系式，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.15．设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点A （0，2），线段FA 与抛物线交于点B ，且2FB BA =，则|BF |＝________．【解析】设(,)B x y ，根据2FB BA =可得出用p 表示的B 点坐标，再代入抛物线方程可得出p 值，然后求得B F 、两点坐标，利用两点之间的距离公式可得答案. 【详解】 由题得(,0)2p F 0)p >（，设(,)B x y ，则(,)2pFB x y =-，22(,2)(2,42)BA x y x y =--=--，由2FB BA =得2242p x x y y ⎧-=-⎪⎨⎪=-⎩解得643px y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 代入椭圆方程得24236p p ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，解得3p =，所以4)3B，F ，所以||FB ==. 【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系.16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝1，记b m 为数列{a n }中能使*1()21n a m m ≥∈+N 成立的最小项，则数列{b m }的前99项之和为________． 【答案】10532【解析】首先根据n S 与n a 的关系，得到数列{}n a 的通项公式，再根据规律找到满足条件能使121n a m ≥+()*m N ∈成立的最小项，并对于不同的m 值，计算满足条件的个数，再求和. 【详解】因为1n n S a +=，所以112a =，所以当2n ≥时，()1111n n n n n a S S a a --=-=---， 即12n n a a -=，所以12n n a =，因为m b 为数列{}n a 中能使121n a m ≥+()*m N ∈成立的最小项，所以11221n m ≥+，所以可得当1m =时，112b =，当2m =时，2212b =，当3m =时，3212b =，当4m =时，4312b =，……，99712b =，所以数列{}m b 的前99项之和为：2523677111111110522236636222222232+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯=. 故答案为：10532【点睛】本题考查已知n S 和n a 的关系求数列的通项公式，以及数列新定义，分组求和，重点考查逻辑推理，计算能力，属于中档题型，本题的难点是理解题意，对于每一个m 值，计算满足条件个数.四、解答题 17．在①cos 7C =，②a sin C ＝c cos π()6A -，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．问题：△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3B =，D 是边BC 上一点，BD ＝5，AD ＝7，且________，试判断CD 和BD 的大小关系________． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析.【解析】先利用余弦定理求出AB 的长，选条件①：利用辅助公式和正弦定理即可求解；选条件②：利用边化角，然后利用两角差的余弦公式求出A ，最后根据等边三角形的性质，即可判断CD 和BD 的大小关系 【详解】解：设AB =x ，在ABD ∆中由余弦定理可得：22492525cos2553x x x x π=+-⋅⋅⋅=+-即2524=0x x --，解得=8x ， 方案一：选条件①．由cos C =得sinC =， A B C π++=1sin sin()72A B C ∴=+=+= 在ABC ∆=解得：10BC =，5.CD BD ∴==方案二：选条件②．由正弦定理可得：=2sin ,=2sin ,a R A c R C 代入条件sin cos()6a C c A π=-得：1sin sin sin sin )2A C C A A =⋅+1sin sin sin 2A C A C +，1sin sin sin 2A C A C ∴=， 因为A为三角形内角，所以tan A =3A π=，所以ABC ∆为等边三角形，所以8BC =，3CD ∴=，所以CD<BD ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角差的余弦公式，属于中档题18．公差不为0的等差数列{a n }中，前n 项和记为S n ．若a 1＝1，且S 1，2S 2，4S 4成等比数列，（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列11{}n n n a S S ++的前项n 项和T n ． 【答案】（1）21n a n =-；（2）222(1)n nn ++. 【解析】（1）由条件可知221444S S S =⨯，代入等差数列的前n 项和公式，整理为关于d的方程求解通项公式；（2）由（1）可知()1221211n n n a n S S n n +++=⨯+，利用裂项相消法求和.【详解】解：（1）由已知可得：221444S S S =⨯， 即：2(2)1(46)d d +=⨯+， 解得0d =（舍）或2d = 所以21n a n =-，（2）由（1）可得2n S n =，所以1222212111(1)(1)n n n a n S S n n n n +++==-⨯++；所以22222222221111111111()()()...()()122334(1)(1)n T n n n n =-+-+-++-+--+ 222121(1)(1)n nn n +=-=++.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的点到综合，以及裂项相消法求和，属于基础题型，本题的难点是第二问，注意能使用裂项相消法的类型.19．中共中央、国务院印发《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，这是中共中央、国务院印发的第一个聚焦义务教育阶段教育教学改革的重要文件，是新时代我国深化教育教学改革、全面提高义务教育质量的纲领性文件《意见》强调，坚持“五育”并举，全面发展素质教育．其中特别指出强化体育锻炼，坚持健康第一．某校为贯彻落实《意见》精神，打造本校体育大课堂，开设了体育运动兴趣班．为了解学生对开设课程的满意程度，设置了满分为10分的满意度调查表，统计了1000名学生的调查结果，得到如下频率分布直方图：（1）求这1000名学生满意度打分的平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）如果认为打分6分及以上为满意，6分以下为不满意，为了解满意度与学生性别是否有关，现从上述1000名学生的满意度打分中按照“打分组别”用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，得到如下2×2列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99％的把握认为满意度与学生性别有关．打分性别不满意满意总计男生100女生60总计200附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，P（K2≥k0）0.0500.0100.001【答案】（1）6.68；（2）列联表见解析，有99%的把握认为满意度与性别有关. 【解析】（1）根据频率分布直方图计算平均数的公式计算平均数；（2）由频率分布直方图计算可得，满意和不满意的学生的比例为7:3，可计算抽取的200人中的满意和不满意的人数，填写列联表，再计算2K ，并和临界值比较，再判断. 【详解】解：（1）根据统计数据，计算平均数为：10.0330.11+50.16+70.39+90.31=⨯+⨯⨯⨯⨯x .=6.68.（2）由频率分布直方图可知满意和不满意的频率比值为7:3，根据比较计算200人中满意的人数为7200140⨯=人，不满意的有60分，补充完整的列联表如下：则22(20604080)20010010060140⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯K9.524≈.经查表，得29.524 6.635K ≈>，所以有99%的把握认为满意度与性别有关. 【点睛】本题考查频率分布直方图和独立性检验的实际应用，重点考查数据分析，计算能力，属于基础题型.20．在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 为平行四边形，M 为AA 1的中点，BC ＝BD ＝1，1AB AA ==（1）求证：MD⊥平面BDC1；（2）求二面角M-BC1-D的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）10 5.【解析】（1）证明BD⊥MD和MD⊥BC1即可证明MD⊥平面BDC1；（2）以DA为x轴，DB为y轴，DD1为z轴，建立坐标系，利用向量法可求出. 【详解】（1）因为BC=BD=1，CD=AB=2，可得BC2+BD2=CD2，∴BD⊥BC，又AD//BC，∴BD⊥AD .又ABCD-A 1B1C1D1 是直四棱柱，∴DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥BD .1=DD AD D，∴BD⊥平面ADD1A1，∴BD⊥MD，取BB1中点N，连接NC，MN，//MN DC且，MNCD∴为平行四边形，//∴MD NC，1NB BC BCCC ==22，1~NBC BCC ∴， 190C BC BCN ∠∠∴+=，∴BC 1⊥CN ， 又MD //NC ，∴MD ⊥BC 1，又BC 1BD ⋂=B ，∴MD ⊥平面BDC 1；（2）以DA 为x 轴，DB 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如图所示的坐标系，则(0,1,0)B ，1(1,12)C -，2M ⎛ ⎝⎭，21,BM ⎛=- ⎝⎭，1(12)BC =-， 由（1）可知DM 为平面BDC 1的一个法向量，21,0,2DM ⎛= ⎝⎭，设平面C 1BM 的一个法向量为(,,)n x y z =，∴100BC n BM n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则20202x z x y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，可取322,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭， 设二面角M -BC 1- D 为θ， 所以10cos DM n DM nθ⋅==， 即二面角M -BC 1- D 10【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求面面角，属于中档题.21．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()0,1，离心率e 为22．（1）求椭圆方程；（2）已知不过原点的直线()0l y kx t k =+≠：与椭圆E 相交于,A B 两点，点A 关于x轴的对称点为M ，直线,AB MB 分别与x 轴相交于点,P Q ，求OP OQ 的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）2OP OQ ⋅=.【解析】（1）根据题意得1b =，再离心率2222c e a b c a ===+即可解得答案； （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则11(,)M x y -，将直线与椭圆方程联立得222(12)4220k x ktx t +++-=，故122412kt x x k -+=+，21222212t x x k-⋅=+，进而得(,0)t P k -，2(,0)kQ t-，故2OP OQ ⋅=【详解】解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点()0,1，所以1b =；又2222c e a b c a ===+，所以22a =. 即椭圆方程为2212x y +=.（2）法一：设1122(,),(,)A x y B x y ，则11(,)M x y -由2212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(12)4220k x ktx t +++-=， 所以22221222122164(12)(22)04122212k t k t kt x x k t x x k ⎧⎪∆=-+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩， 在直线:(0)l y kx t k =+≠中，令0y =，则t x k =-，即(,0)tP k-， 直线212221:()MB y y l y y x x x x +-=--，令0y =，则1221121212122()42()22x y x y kx x t x x k k x y y k x x t t t +⋅++-====-+++，即2(,0)k Q t-， 所以2()2t kOP OQ k t⋅=-⋅-=，即2OP OQ ⋅=（2）法二：设(,),(,),(,),(,0),(,0)A m n B s t M m n P p Q q -， 则(,),(,)ABs m t n AP p m n ，(s m,t n),(,)MB MQ q m n由A ，B ，P 三点共线，则有//AB AP ，即n t nm s m p-=-- 所以()n m s ns mtp m n t n t--=-=--；由B ，M ，Q 三点共线，则有//MB MQ ，即t n ns m q m+=-- 所以()n s m mt nsq m t n t n-+=+=++所以222222(1)ns mt mt ns n s m t OP OQ p q n t t n n t -+-⋅=⋅=⋅=-+-因为A ，B 在椭圆E 上，所以2212m n +=，所以2222m n =-，同理2222s t =-，代入（1）中，得222222222222(22)(22)2n s m t n t n t OP OQ n t n t ----⋅===-- 即2OP OQ ⋅= 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，考查运算能力，是中档题. 22．已知函数2()(1)1xf x x a x e ⎡⎤=+-+⎣⎦，其中e 为自然对数的底数． （1）若a ＝2，求函数f （x ）在（0，f （0））处的切线方程； （2）若函数2()0f x e +≥恒成立，求实数a 的取值范围； 【答案】（1）21y x =+；（2）323a e -≤≤+.【解析】（1）求出()f x 的导数，则()f x 在0x =处的导数值即为斜率，即可求出切线方程； （2）求出(1)()x fxx x a e ，讨论a 的范围，进而利用导数讨论()f x 的变化情况，即可列出不等式求出a 的范围. 【详解】（1）2a =时，2()(1)x f x x x e =++，(0)1f =，22()(21)(1)(32)(1)(2)x xx x f x x e x x e x x e x x e ，由()02f '=，则函数在（0，1）处的切线斜率为2，切线方程为21y x =+； （2）21(1)()x x fxx a x a e x x a e .当1a =时， ()0f x '≥，()f x 单调递增，且2()(1)0xf x x e 恒成立，2()0f x e ∴+≥恒成立，符合题意；当1a >时当x a ≤-时，2(1)1()10x a x x x a x 恒成立，2()0f x e ∴+≥恒成立，符合题意；当x a >-时，1min()(1)(3)f x f a e ，即12(3)a e e --≥-，即33a e ≤+，313a e ∴<≤+当1a <时，当1x ≤-时， 2(1)1(1)0x a x a x +-+>-≥恒成立，2()0f x e ∴+≥恒成立，符合题意；当1x >-时，min()()(1)a f x f a a e ，即2(+1)a a e e -≥-，令()()()1,(1),aah a a e a h a ae--=+<=-'，第 21 页 共 21 页 则函数()h a 在(,0)-∞单调递增，在(0,1)单调递减，且当0a ≥时，h()(1)0a a a e 恒成立；当0a <时，2h(2)e ； 即2(+1)2a a e e a -≥-⇒≥-21a ∴-≤<；.综上:实数a 的取值范围是323a e -≤≤+.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于较难题.。