2017年高考数学理试题分类汇编：极坐标与参数方程
三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题19坐标系与参数方程理(含解析)
1
PC r 2 1 1．故答案为：1．
【名师点睛】（1）熟练运用互化公式： 2 x2 y2 , y sin , x cos 将极坐标化为直角坐标；
（2）直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质时，可 转化为在直角坐标 系的情境下进行．
【答案】（1） 0 2
3
，l
的极坐标方程为
cos
3
2
；
（2） 4 cos ,
4
,
2
．
【解析】（1）因为
M
0 ,0
在C上，当0
3
时，
0
4 sin
3
2
3．
由已知得| OP || OA | cos 2 ． 3
2, ) ，C(
2, ) ， D(2, ) ，
4
4
弧
AB
，
BC
，
CD
所在圆的圆心分别是
(1,
34
所以点（1，0）到直线 l
的距离 d
|
402| 42 32
6 5
，故选
D．
【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、
基本运算能力的考查． 2．【2018 年高考北京卷理数】在极坐标系中，直线 cos sin a(a 0) 与圆 =2 cos 相切，则
为（1，0），则|AP|的最小值为__________． 【答案】1 【 解 析 】 将 圆 的 极 坐 标 方 程 化 为 普 通 方 程 为 x2 y2 2x 4y 4 0 ， 整 理 为 标 准 方 程
2017年高考数学试题分项版—极坐标参数方程(解析版)
2017年高考数学试题分项版—极坐标参数方程(解析版)2017年高考数学试题分项版—极坐标参数方程（解析版）一、填空题1．(2017·北京理，11)在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________． 1．【答案】1【解析】由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝1，圆心坐标为C (1,2)，半径长为1.∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外． 又∵点A 在圆C 上， ∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.2．(2017·天津理，11)在极坐标系中，直线4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________． 2．【答案】2【解析】由4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π6＋1＝0，得23ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，故直线的直角坐标方程为23x ＋2y ＋1＝0， 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 故圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ， 即x 2＋(y －1)2＝1，圆心为(0,1)，半径为1， ∵圆心到直线23x ＋2y ＋1＝0的距离d ＝|2×1＋1|(23)2＋22＝34＜1， ∴直线与圆相交，有两个公共点． 二、解答题1．(2017·全国Ⅰ文，22)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 1．解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎨⎧x 29＋y 2＝1，x ＋4y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0， 故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d＝|3cos θ＋4sin θ－a－4|17.当a≥－4时，d的最大值为a＋9 17.由题设得a＋917＝17，所以a＝8；当a<－4时，d的最大值为－a＋117.由题设得－a＋117＝17，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.2．(2017·全国Ⅱ文，22)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M为曲线C1的动点，点P在线段OM上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．2．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.3．(2017·全国Ⅲ文，22)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．3．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)． (2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5. 4．(2017·江苏，21)C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值． 4．解 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0， 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝|2(s －2)2＋4|5，当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.5．(2017·全国Ⅰ理，22)[选修4-4，坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)． (1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 5．解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎨⎧ x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3,0)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17. 当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8； 当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17， 所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.6．(2017·全国Ⅱ理，22)[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．6．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知，|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ>0)．所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α.于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3 ＝4cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin α－32cos α ＝|sin 2α－3cos 2α－3|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当2α－π3＝－π2，即α＝－π12时，S 取得最大值2＋3，所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.7．(2017·全国Ⅲ理，22)[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．7．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．。
2014~2017年极坐标与参数方程全国高考题汇总(精编完美版)
2014~2017年极坐标与参数方程全国高考题汇总1.【2014·全国Ⅱ】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2⑴求C 的参数方程；⑵设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l :y ＝3x ＋2垂直，根据⑴中你得到的参数方程，确定D 的坐标.解：⑴C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤.可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t x ≤≤） ⑵设D (1cos ,sin )t t +.由（I ）知C 是以G （1,0）为圆心，1为半径的上半圆。
因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，tan 3t t π==.故D 的直角坐标为(1cos,sin )33ππ+，即3(2。
2.【2014·全国Ⅰ】已知曲线C ：x ²4＋y ²9＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t y ＝2－2t (t 为参数）⑴写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； ⑵过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值。
【解析】：⑴曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数），直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分 ⑵在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则()0||6sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=.当()sin 1θα+=-时，||PA当()sin 1θα+=时，||PA …………10分3.【2015·全国Ⅰ】在直角坐标系xOy 中.直线C 1:x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ⑴求C 1，C 2的极坐标方程；⑵若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积。
广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：极坐标与参数方程 Word版含答案
广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编极坐标与参数方程1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知直线l ：（t 为参数，α为l的倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 为：ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l 与曲线C 相切，求α的值；（2）设曲线C 上任意一点的直角坐标为（x ，y ），求x +y 的取值范围．2、（东莞市2017届高三上学期期末）已知曲线C的参数方程为21x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设，若l 1 、l 2与曲线C 相交于异于原点的两点 A 、B ，求△AOB 的面积.3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））在极坐标系中，射线6:πθ=l 与圆2:=ρC 交于点A ，椭圆Γ的方程为θρ22sin 213+=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy（Ⅰ）求点A 的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E 为椭圆Γ的下顶点，F 为椭圆Γ上任意一点，求AF AE ⋅的取值范围 4、（广州市2017届高三12月模拟）以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数方程为sin ,(1cos x t t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩为参数,0)ϕπ<<, 曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=.(Ⅰ) 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;（II ）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点, 当ϕ变化时, 求AB 的最小值.5、（惠州市2017届高三第三次调研）已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且AB =求直线l 的倾斜角α的值．6、（珠海市2017届高三上学期期末）已知直线（ t 为参数），曲线为参数）．(1) 当r ＝1时，求C 1 与C 2的交点坐标；(2) 点P 为曲线 C 2上一动点，当r P 到直线C 1距离最大时点P 的坐标．7、（揭阳市2017届高三上学期期末）已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩学科网（t为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos +=θρρ．(Ⅰ)写出直线l 经过的定点的直角坐标，并求曲线C 的普通方程； (Ⅱ)若4πα=，求直线l 的极坐标方程，以及直线l 与曲线C 的交点的极坐标．8、（茂名市2017届高三第一次综合测试）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,,x y α⎧=⎨=⎩(α为参数). 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:4cos 2sin 40.C ρρθρθ+-+=（Ⅰ）写出曲线21C C ，的普通方程； （Ⅱ）过曲线1C 的左焦点且倾斜角为4π的直线l 交曲线2C 于B A ,两点，求AB .9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩学科网（其中α为参数）， 曲线()222:11C x y -+=，以坐标原点O 为极点，x 轴的在半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线6πθ=()0ρ>与曲线12 C C ，分别交于A ，B 两点，求AB .10、（汕头市2017届高三上学期期末）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.11、（韶关市2017届高三1月调研）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos ,(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数).以点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ-=.(Ⅰ)将直线l 化为直角坐标方程；(Ⅱ)求曲线C 上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q 的坐标.12、（肇庆市2017届高三第二次模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是224sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ. （Ⅰ）直接写出1C 的普通方程和极坐标方程，直接写出2C 的普通方程； （Ⅱ）点A 在1C 上，点B 在2C 上，求AB 的最小值. 参考答案1、【解答】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣6x +5=0即（x ﹣3）2+y 2=4曲线C 为圆心为（3，0），半径为2的圆． 直线l 的方程为：xsinα﹣ycosα+sinα=0… ∵直线l 与曲线C 相切∴即…∵α∈[0，π）∴α=…（2）设x=3+2cosθ，y=2sinθ 则 x +y=3+2cosθ+2sinθ=…（9分） ∴x +y 的取值范围是．…（10分）2、(Ⅰ)∵曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 51cos 52y x (α为参数)∴曲线C 的普通方程为()()51222=-+-y x …………2分将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入并化简得：θθρsin 2cos 4+=即曲线C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 4+=. …………5分（Ⅱ）解法一：在极坐标系中，θθρsin 2cos 4+=：C∴由⎪⎩⎪⎨⎧+==θθρπθsin 2cos 46得到132+=OA …………7分 同理32+=OB . ………… 9分 又∵6π=∠AOB∴4358sin 21+=∠⋅=∆AOB OB OA S AOB . 即AOB ∆的面积为4358+. …………10分解法二：：在平面直角坐标系中，C ：()()51222=-+-y x x y l 331=：，x y l 32=： ∴由()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=5123322y x x y得A 学科网 …………6分 ∴132+=OA …………7分 同理⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2332,232B …………8分∴132+=OA ，32+=OB …………9分 又∵6π=∠AOB∴4358sin 21+=∠⋅=∆AOB OB OA S AOB 即AOB ∆的面积为4358+. …………10分 3、4、解: (Ⅰ) 由sin ,1cos ,x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩消去t 得cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=, ……………………1分所以直线l 的普通方程为cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=. ……………………2分由2cos4sin =ρθθ, 得()2cos 4sin ρθρθ=, ……………………3分把cos ,sin x y ρθρθ==代入上式, 得y x 42=,所以曲线C 的直角坐标方程为y x 42=. …………………………………………5分 (II) 将直线l 的参数方程代入y x 42=, 得22sin4cos 40t t ϕϕ--=, ………………6分设A 、B 两点对应的参数分别为12,t t , 则122cos sin t t ϕϕ+=4, 122sin t t ϕ=-4, …………………………………………7分所以12AB t t =-==2sin ϕ=4. ……9分当2πϕ=时, AB 的最小值为4. …………………………………………10分5、解:（Ⅰ）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． ∵222x y ρ+=,cos x ρθ=,sin y ρθ=,∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=,即()2224x y -+= ……4分（Ⅱ）将1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得()()22cos 1sin 4t t αα-+=,化简得22cos 30t t α--=． ……………5分设,A B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则12122cos ,3.t t t t α+=⎧⎨=-⎩ ……………6分∴12AB t t =-== ……………8分∴24cos 2α=,cos 2α=±,4πα=或34π．……………10分6、7、解：（Ⅰ）直线l 经过定点)1,1(-，-----------------------------------------------------------------2分由2cos +=θρρ得22)2cos (+=θρρ，得曲线C 的普通方程为222)2(+=+x y x ，化简得442+=x y ；---5分（Ⅱ）若4πα=，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y tx 221221，的普通方程为2+=x y ，----------------------------------6分则直线l 的极坐标方程为2cos sin +=θρθρ，------------------------------------------------8分联立曲线C ：2cos +=θρρ． 得1sin =θ，取2πθ=，得2=ρ，所以直线l 与曲线C 的交点为)2,2(π．------------10分8、解:（Ⅰ）2222()cos sin 122sin y x y αααα⎧=⎪⇒+=+=⎨=⎪⎩ ………………1分即曲线1C 的普通方程为221204x y+=…………………………………………………2分222,c o s ,s i n,x y x y ρρθρθ=+== 曲线2C 的方程可化为224240x y x y ++-+= (3)分即1)1()2(:222=-++y x C . ………………………………………………4分（Ⅱ）曲线1C 左焦点为（4-，0） ……………………………………………5分 直线l 的倾斜角为4πα=, sin cos αα==…………………………………………6分所以直线l 的参数方程为： 为参数）t t y t x (22224⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=………………………………7分 将其代入曲线2C 整理可得：04232=+-t t ， ……………………………………8分设A,B 对应的参数分别为21,t t 则 所以4,232121==+t t t t . ………………………9分所以12AB t t=-=== (10)分解法二：（Ⅰ）同解法一. ………………………………………………………………4分（Ⅱ）曲线1C左焦点为（4-，0）………………………………………………………5分直线l的斜率为tan14kπ==, ………………………………………………………6分直线l的普通方程为4y x=+. 即40x y-+=…………………………………7分圆2C的圆心坐标为：（-2，1）. ……………………………………………………8分圆心2C到直线l的距离2d==……………………………9分故AB===…………………………………………10分解法三：（Ⅰ）同解法一. …………………………………………4分（Ⅱ）曲线1C左焦点为（4-，0）…………………………………………5分直线l的斜率为tan14kπ==, ……………………………………………6分直线l的普通方程为4y x=+…………………………………………………7分2122212423560(2)(1)121y x x xx xx y y y=+⎧⎧⎧=-=-⇒++=⇒⎨⎨⎨++-===⎩⎩⎩或，…………9分AB=｜｜………………………………………10分9、解：（Ⅰ）由2xyαα⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2xyαα⎧=⎪⎨-=⎪⎩，所以曲线1C的普通方程为()2227x y+-=.把cosxρθ=，sinyρθ=，代入()2211x y-+=，得()()22cos1sin1ρθρθ-+=，化简得，曲线2C的极坐标方程为2cosρθ=.（Ⅱ）依题意可设1266A Bππρρ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，.因为曲线1C的极坐标方程为24sin30ρρθ--=，将()06πθρ=>代入曲线1C的极坐标方程得2230ρρ--=，解得13ρ=.同理将()06πθρ=>代入曲线2C的极坐标方程得2ρ=.所以123AB ρρ=-=10、解：（1）由题意知：θρcos 2=，]2,0[πθ∈，所以θρρcos 22=，]2,0[πθ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ty tx sin cos 1（t 为参数，π≤≤t 0）.（2）设)sin ,cos 1(t t D +，由（1）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3π=t ，故D 的直角坐标为)3sin ,3cos 1(ππ+，即)23,23(. 11、解（Ⅰ）由cos()4πρθ-=，得cos cos sin sin 44ππρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 化简得，cos sin 4ρθρθ+=， ………………………………………1分 由 cos x ρθ=，sin y ρθ=∴直线l 的直角坐标方程为4x y +=. ………………………………………3分 (Ⅱ)由于点Q 是曲线C 上的点，则可设点Q的坐标为),sin αα……………4分点Q 到直线l的距离为d =………………………………5分=. …………………………7分当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，即526k αππ=-max d ==……………………9分11此时，551cos cos()sin()6262απαπ=-=-=-=- ∴ 点Q 31(,)22--. ………………10分 12、解：（Ⅰ）1C 的普通方程是()2224x y ++= ， （2分）1C 的极坐标方程4cos ρθ=- ， （4分） 2C 的普通方程40x y +-=. （6分）（Ⅱ）方法一：1C 是以点()2,0-为圆心，半径为2的圆；2C 是直线. （7分）圆心到直线2C2=>，直线和圆相离. （8分） 所以AB的最小值为2. （10分） 方法二：设()22cos ,2sin A θθ-+，因为2C 是直线， （7分） 所以AB 的最小值即点A 到直线的距离d的最小值，d ==， （9分）2=. （10分）。
2017年高考数学理科真题汇编解析：第十六章选讲内容
3 1 cos sin 2 1 0 化直角坐标方程为 2 3x 2 y 1 0 ，由 2
2
圆 2sin 2 2 sin ，得其直角坐标方程为 x 2 y 2 2 y ，即 x 2 y 1 1 ，
依题意得 d max 17 ，解得 a 16 或 a 8 .
x 2+t 6.（2017 全国 3 卷理科 22）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为 （t 为 y kt x 2 m 参数），直线 l2 的参数方程为 ．设 l1 与 l2 的交点为 P ，当 k 变化时， m （m为参数） y k
，点 B 在曲线 C2 上，求 △OAB 面积的最大值． 3
0 ，P ， ，则 OM 0 ，| OP | ． 3．解析 （1）设 M 0 ，
0 16 2 由 0 cos 0 4 ，解得 4 cos ，化直角坐标方程为 x 2 y 2 4 x 0 . 0
题型 161 直角坐标方程化为极坐标方程 题型 162 参数方程化普通方程
x 8 t 4. （17 江苏 21 C） 在平面坐标系 xOy 中， 已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数） ， t y 2
曲线 C 的参数方程为 距离的最小值． 4.解析 直线 l 的普通方程为 x 2 y 8 0 ．
2 2
2 1 12 4
3 1=r ，知直线与圆相交，得它们的公共点的个 4
3.（2107 全国 2 卷理科 22）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极 轴，建立极坐标Байду номын сангаас，曲线 C1 的极坐标方程为 cos 4 ． （1） M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 OM OP 16 ，求点 P 的轨 迹 C2 的直角坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为 2,
2016-2017高考试题 极坐标参数方程
极坐标参数方程1．（2017新课标Ⅲ文数）[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+sin θ=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径. 2．（2017新课标Ⅲ理数）[选修44：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+sin θ=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．3．（2017新课标Ⅱ文）[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为π(2,)3，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值. 4（2017新课标Ⅱ理）．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．5．（2017新课标Ⅰ文数）[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.6．（2017新课标Ⅰ理数）[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.7（2017天津理）在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________.8[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参考方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值． xOy l 82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩tC 22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩s P C P l9（2017北京理）在极坐标系中，点A 在圆上，点P 的坐标为（1,0），则|AP |的最小值为___________.极坐标与参数方程1、（2016年北京高考）在极坐标系中，直线与圆交于A ，B 两点，则______. 【答案】22、（2016年上海高考）下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】D3、（2016年全国I 高考）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.（I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 解：⑴ （均为参数）∴ ①∴为以为圆心，为半径的圆．方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ--+=cos sin 10ρθθ-=2cos ρθ=||AB=θρcos 56+=θρin s 56+=θρcos 56-=θρin s 56-=cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩t ()2221x y a +-=1C ()01，a 222210x y y a +-+-=∵∴ 即为的极坐标方程⑵两边同乘得即 ②：化为普通方程为由题意：和的公共方程所在直线即为①—②得：，即为∴ ∴4、（2016年全国II 高考）在直角坐标系中，圆的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．解：⑴整理圆的方程得，由可知圆的极坐标方程为．⑵记直线的斜率为，则直线的方程为，由垂径定理及点到直线距离公式知：，即，整理得，则．5、（2016年全国III 高考）在直角坐标系中，曲线的参数方程为222sin x y y ρρθ+==，222sin 10a ρρθ-+-=1C 24cos C ρθ=：ρ22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=()2224x y -+=3C 2y x =1C 2C 3C 24210x y a -+-=3C 210a -=1a =xOy C 22(6)25x y ++=x C l cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩t l C ,AB ||AB =l xOy 1C，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II ）设点P 在上，点Q 在上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.6、(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为 （t 为参数），椭圆C 的参数方程为 （为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解：椭圆的普通方程为，将直线的参数方程，代入，得，即，解得，.所以()sin x y θθθ⎧⎪⎨=⎪⎩为参数x 2C sin()4ρθπ+=1C 2C 1C 2C 112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩θC 2214y x +=l 1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2214y x +=22)12(1)124t ++=27160t t +=10t =2167t =-1216||7AB t t =-=。
2017年高考数学专题复习：极坐标与参数方程(文)
将其代入曲线 整理可得： ，设 对应参数分别为 ，则
所以 ． 10分
考点：1参数方程与普通方程的互化;2直线的参数方程中参数 的几何意义.
4．（Ⅰ）直线 : ，曲线 : ；（Ⅱ） .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）消去参数 ，得直线 的普通方程为 ，由 ，两边同乘以 ，得曲线 的直角坐标方程为 ；（Ⅱ）将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得
6．（1） ， ；（2）相交．
【解析】
试题分析：
解题思路：（1）利用普通方程、参数方程、极坐标方程的互化公式进行求解；（2）利用两圆的圆心距与两半径的和、差进行判定.
规律总结：涉及参数方程、极坐标方程与普通方程的转化问题，一般难度较小；主要考查将参数方程、极坐标方程转化为普通方程后，再利用有关知识进行求解.
（2） 点 与点 关于 轴对称, 点 的直角坐标为 ,则点 到圆心 的距离为 ,曲线 上的点到点 的距离的最小值为 ,最大值为 ,
曲线 上的点到点 的距离的取值范围为 .
考点：参数方程化普通方程，极坐标化直角坐标，圆中最值
3．（1） 曲线 为圆心是 ，半径是1的圆．
曲线 为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆（2）
9．（Ⅰ） ， （Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 ， 的极坐标方程；（Ⅱ）将将 代入 即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出 的面积．
试题解析：（Ⅰ）因为 ，
∴ 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ．……5分
（Ⅱ）将 代入 ，得 ，解得 = ， = ，|MN|= － = ，
（1）将直线 的参数方程化为普通方程，把曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；
2011-2017新课标高考数学极坐标与参数方程分类汇编
2011-2017新课标《坐标系与参数方程》分类汇编1. 【2011年新课标】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足OP→ =2OM→ ，P点的轨迹为曲线C 2. （1）求C 2的方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB|. 【答案】（1）设P(x, y)，则由条件知(,)22x y M . 由于M 点在C 1上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，从而C 2的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.（2）曲线C 1的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线C 2的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3πθ=与C 1的交点A 的极径为14sin 3πρ=，射线3πθ=与C 2的交点B 的极径为28sin 3πρ=.所以21||||AB ρρ-==2. 【2012年新课标】已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围. 【答案】（1）依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ.所以点A ，B ，C ，D 的直角坐标分别为、(、(1,-1)-.（2） 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则222222||||||||(12cos )3sin )PA PB PC PD ϕϕ+++=-+222222(2cos )(13sin )(12cos )(3sin )2cos )(13sin )ϕϕϕϕϕϕ++-+--+++--[]22216cos 36sin 163220sin 32,52ϕϕϕ=++=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.3.【2013年新课标1】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π） 【答案】 (1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.4.【2013年新课标2】已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π＝，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【答案】(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2,x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d=＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．5.【2014年新课标2】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标。
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2017年高考数学理试题分类汇编：极坐标与参数方程
1. (2017年北京卷理) （11）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），
则|AP |的最小值为___________.
【答案】1
【解析】2222:2440(1)(2)1C x y x y x y +--+=⇒-+-= ，所以min ||||211AP AC r =-=-= 2. (2017年江苏卷) [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82
x t t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为
22x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．
C.【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=
，设2(2,)P s ，
则点P 到直线l
的的距离22d ==
易知当s =
min 5d ==. 3. ( 2017年全国Ⅲ卷文) [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xoy 中，直线1l 与参数方程为2,,x t y kt =+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩
（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .
(1)写出C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
设3:(cos sin )0l ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径.
【解析】< >文 【解析】由已知得121:(2),:(2)l y k x l y x k
=-=+， 2
y k x ∴=- ，2(+2)x y x y -∴=， ……………………..3 即2
24x y -=，即22
144x y -=. (5)
将3:0l x y +=代入（1）22
4x y -=中，
所以22(x 40x --+-=，
解得,22
x y ==-，…………………………….8 所以M
在直角坐标系下的坐标为(
,22-
由ρ=
ρ=所以M
的极径为ρ=
…………………………………..10 （11）(2017年天津卷理)在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________.
【答案】2
【解析】直线为210y ++= ，圆为22(1)1x y +-= ，因为314
d =
< ，所以有两个交点 4. (2017年新课标Ⅲ卷理) [选修44：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩
（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．
（1）学……科网写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+sin θ
，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．
（1）直线1l 的普通方程为(2)y k x =-
直线2l 的普通方程为2x ky =-+
消去k 得 224x y -=，
即C 的普通方程为224x y -=.
（2）3l
化为普通方程为x y +=
联立224
x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 得
22
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴222182544
x y ρ=+=+= ∴3l 与C 的交点M
5. (2017年新课标Ⅰ文) [选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）
若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l
a .
解：（1）曲线C 的普通方程为2
219
x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=. 由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525
-. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为
d =. 当4a ≥-时，d
=8a =； 当4a <-时，d
=16a =-. 综上，8a =或16a =-.、
6. ( 2017年新课标Ⅱ文) [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
曲线C 1的极坐标方程为错误!未找到引用源。
（1）M 为曲线C 1的动点，点P 在线段OM 上，且满足16⋅OM OP =，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为π23
（，），点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值。
【解析】
（1）设P 的极坐标为（错误!未找到引用源。
）（错误!未找到引用源。
＞0），M 的极坐标为错误!未找到引用源。
（错误!未找到引用源。
）由题设知
|OP|=错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
.
由错误!未找到引用源。
|OP|=16得错误!未找到引用源。
的极坐标方程错误!未找到引用源。
因此错误!未找到引用源。
的直角坐标方程为错误!未找到引用源。
.
（2）设点B 的极坐标为错误!未找到引用源。
（错误!未找到引用源。
）.由题设知|OA|=2，错误!未找到引用源。
，于是△OAB 面积
当错误!未找到引用源。
时，学|科网S 取得最大值错误!未找到引用源。
.
所以△OAB 面积的最大值为错误!未找到引用源。
.
7. ( 2017年新课标Ⅱ卷理).[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,)3π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
【解析】
)
0(cos 416|||2>==⋅ρθρ的极坐标方程为得由｜C OP OM ())0(422
22≠=+-x y x C 的直角坐标方程为因此
（2）设点B 的极坐标为()()，＞0B B ραρ,由题设知 cos =2，=4B ραOA ,于是△OAB 面积
1
=sin 24cos sin 33
2sin 2
32
23
B S OA AOB
ρπααπα∠⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
⎛⎫=-- ⎪⎝⎭≤+
当=-12π
α时，S 取得最大值2+3
所以△OAB 面积的最大值为2+3。