全国2017届中考数学总复习专题七圆的证明与计算讲解课件
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圆的证明与计算PPT
(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等及全等。 2、圆中几个关键元素之间的相互转化:
弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和 计算中经常用到.
二、考题形式分析：
主要以解答题的形式出现，近两年来，此题考查形 式由原来的单图题演变成双图题;
第一小问也由原来的切线的证明，转变成应用圆中 简单性质进行计算和证明; 第二问则在第一问的基础上进行深化和运用，考查 学生灵活运用所学圆的相关知识解决线段长，面积、线 段比、三角函数的有关问题的能力。
圆的证明与计算
（双图题）专题探究
华科附中初三备课组 主讲人：常静
一、圆中的有关知识点：
1、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明— —弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推论: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.
原创例题2：
来源：课本九年级上册86页例2
第一问考查：
利用弦切角 找特殊直角三 角形
构题的出发点：
以切割线为背景合理 运用圆的有关性质和 勾股定理建立方程进 行计算。
第二问考查：（基本策略）
看见等弧找等弦；看见直径找直角； 看见三角函数找直角三角形； 看见切割线找相似 目标线段旁有特殊角的情况下，作垂 线构造直角三角形。
（3）如图（3）：若CK⊥AB于K，则：①CK=CD；BK=DE； 1 CK= 2 BE=DC；AE+AB=2AK=2AD; ②⊿ADC∽⊿ACB AC2=AD•AB
中考数学---圆的证明与计算题型PPT课件
∴CD＝CN＋ND＝8. 在Rt△OCD 中，设OC＝r，
则OD＝OB－BD＝r－4.
由勾股定理，得OC2＝OD2＋CD2，
即r2＝(r－4)2＋8^2.
解得r＝10. ∴AB＝2r＝20. ∵AB是直径， ∴∠AMB＝90°. 在Rt△ABM 中，cos∠MBA＝BM/ AB ＝4/ 5，AB＝20， ∴BM＝16.
解图1 ∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A， ∴∠OAC＝90°. 在△ACO和△ECO中，
∴△ACO≌ △ECO ( SSS )． ∴∠OEC＝∠OAC＝90°. ∴OE⊥，AE，过点F作FG⊥BD于 点G.
解图2 ∵AB⊥BD， ∴∠ABD＝∠FGD＝∠FGB＝90°. ∴FG∥AB. ∴∠ABF＝∠BFG. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝∠FGB＝90°. ∴△ABE∽△BFG. ∴AB/ BF ＝BE/ FG .
(1)证明：如解图1所示，连接BD.
解图1 ∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上， ∴BD是⊙O的直径． 又∵ ∠BDE＝∠BCE，∠FDE＝∠DCE， ∴∠BDE＋∠FDE＝∠BCE＋∠DCE，即∠BDF＝∠ACB＝90°. ∴DF⊥BD. 又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．
(2)解：
解图1 ∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴ PC/ AC＝AC/ OC，即PC/ 6 ＝6/ 4 . 解得PC＝9. OP＝PC＋OC＝13.
在Rt△PCB 中，由勾股定理得，
解图2
∵AC＝BC，OA＝OE， ∴OC为△ABE的中位线． ∴BE＝2OC＝8，OC∥BE
∴△DBE∽△DPO .
∴BD/ PD = BE / PO ,
类型三、切线的判定与性质综合——切割线模型
中考数学题型专题复习题型2圆的证明与计算课件
即(7＋x)2－72＝42－x2，
解得x＝1或－8(舍去)．
∴AC＝8，BD＝
＝
∴S菱形ABFC＝AC·BD＝8 . ∴S半圆＝ ×π×42＝8π.
5．[2018·无锡]如图，四边形ABCD内接于圆
O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cosB＝
3 ，求AD的长．
5
解：如图，延长AD，BC交于点E.
题型2 圆的证明与计算
考查类型
与圆的性质 有关的证明
与计算
年份 2015
2018
2017
与圆的切线 有关的证明
与计算
2016
2014
2013
与扇形有关 的计算
2018
考查形式
题型
以圆内接四边形为背景，判断三角形的形状 ，结合全等三角形探究线段间关系，通过图
形分割探究四边形最大面积
解答
已知圆的切线，根据圆的性质证明两线垂直 ，并求出线段长度及弧长
∴EA＝
∴AD＝EA－DE＝
类型②与圆的位置关系有关的证明与计算
例2►[2018·黄冈]如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦， OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过点B的切线交OP于点C. (1)求证：∠CBP＝∠ADB；
(2)若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．
规范解答：(1)证明：如图，连接OB. ∵BC是⊙O的切线． ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°，即∠OBD＋∠DBC＝90°. ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠DBP＝90°，即∠CBP＋∠DBC＝90°， ∴∠OBD＝∠CBP. ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ADB， ∴∠CBP＝∠ADB.…………………………………………(5分)
中考数学二轮复习 第7讲 圆的简单计算与证明对策课件初中九年级全册数学课件
第二页，共三十六页。
真题感悟 1.(2017·常德)如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO. (1)求证(qiúzhèng)：BC是∠ABE的平分线； (2)若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长．
第三页，共三十六页。
(1)∵DE是切线(qiēxiàn)，∴OC⊥DE，∵BE∥CO，∴∠OCB＝∠CBE， ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CBE＝∠CBO， ∴BC平分∠ABE. (2)在Rt△CDO中，∵DC＝8，OC＝OA＝6，∴OD＝ CD2OC2 10， ∵OC∥BE，
第十八页，共三十六页。
(2)当∠B＝45°时，四边形ODEC是正方形．理由(lǐyóu)如下： ∵∠ACB＝90°，∴∠A＝45°. ∵OA＝OD，∴∠ADO＝45°. ∴∠AOD＝90°. ∴∠DOC＝90°. 又∠ODE＝∠ACB＝90°， ∴四边形ODEC是矩形． ∵OD＝OC， ∴矩形ODEC是正方形．
第二十九页，共三十六页。
随堂检测( jiǎn cè)
(2)当 α＝90°时，BC 与⊙P 相切； 理由：若 α＝90°，则在四边形 PBCO 中，∠OPB＝∠POC＝∠BCO＝90°， ∴∠PBC＝90°.∴PB⊥BC．∴BC 与⊙P 相切． (3)当 B 的位置如答图时，在 Rt△PBE 中，PB＝6，BE＝OC＝2 5， ∴PE＝ PB2－BE2＝ 36－20＝4.
∴OE＝DE·tan 30°＝2 3× 33＝2，OD＝2OE＝4. ∴S 阴影＝S 扇形 ODB－S△DOE＋S△BEC＝60π3×6O0 D2－12OE×DE＋12BE·CE ＝83π－2 3＋2 3＝83π.
第九页，共三十六页。
【训练(xùnliàn)1】如图，⊙O的半径为2，OB＝4，OB交⊙O于点D，点E为BO的延长 线与⊙O的交点，点C是⊙O上一动点，以BC为边向下作等边三角形ABC．
真题感悟 1.(2017·常德)如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO. (1)求证(qiúzhèng)：BC是∠ABE的平分线； (2)若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长．
第三页，共三十六页。
(1)∵DE是切线(qiēxiàn)，∴OC⊥DE，∵BE∥CO，∴∠OCB＝∠CBE， ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CBE＝∠CBO， ∴BC平分∠ABE. (2)在Rt△CDO中，∵DC＝8，OC＝OA＝6，∴OD＝ CD2OC2 10， ∵OC∥BE，
第十八页，共三十六页。
(2)当∠B＝45°时，四边形ODEC是正方形．理由(lǐyóu)如下： ∵∠ACB＝90°，∴∠A＝45°. ∵OA＝OD，∴∠ADO＝45°. ∴∠AOD＝90°. ∴∠DOC＝90°. 又∠ODE＝∠ACB＝90°， ∴四边形ODEC是矩形． ∵OD＝OC， ∴矩形ODEC是正方形．
第二十九页，共三十六页。
随堂检测( jiǎn cè)
(2)当 α＝90°时，BC 与⊙P 相切； 理由：若 α＝90°，则在四边形 PBCO 中，∠OPB＝∠POC＝∠BCO＝90°， ∴∠PBC＝90°.∴PB⊥BC．∴BC 与⊙P 相切． (3)当 B 的位置如答图时，在 Rt△PBE 中，PB＝6，BE＝OC＝2 5， ∴PE＝ PB2－BE2＝ 36－20＝4.
∴OE＝DE·tan 30°＝2 3× 33＝2，OD＝2OE＝4. ∴S 阴影＝S 扇形 ODB－S△DOE＋S△BEC＝60π3×6O0 D2－12OE×DE＋12BE·CE ＝83π－2 3＋2 3＝83π.
第九页，共三十六页。
【训练(xùnliàn)1】如图，⊙O的半径为2，OB＝4，OB交⊙O于点D，点E为BO的延长 线与⊙O的交点，点C是⊙O上一动点，以BC为边向下作等边三角形ABC．
中考复习(圆与证明)课件
总结词
利用四边形的性质，通过证明四边形是正方形或矩形来 证明线段垂直。
详细描述
当要证明线段垂直时，可以通过构造一个正方形或矩形 ，利用四边形的性质和判定定理来证明线段垂直。
总结词
利用圆的性质，通过证明圆周角等于90度来证明线段 垂直。
详细描述
当要证明线段垂直时，可以通过构造一个圆，利用圆的 性质和判定定理来证明圆周角等于90度，从而证明线 段垂直。
提高解题能力。
归纳总结
对每个知识点进行归纳总结， 形成知识体系，有助于加深理
解和记忆。
举一反三
在复习过程中，应注重举一反 三，对典型例题进行深入剖析
，掌握解题方法和思路。
模拟测试
定期进行模拟测试，模拟真实 考试环境和压力，提高应试能
力。
05
模拟试题与解析
中考模拟试题一
总结词：基础题目
详细描述：此题考察了圆的性质和基本定理，适合作为第一题来热身，帮助考生 进入考试状态。
总结词
利用勾股定理，通过证明直角三角形的三边关系来证明 线段相等。
详细描述
当要证明两条线段相等时，可以通过构造一个直角三角 形，利用勾股定理和三角形的性质来证明两条线段相等 。
总结词
利用平行四边形的性质，通过证明平行四边形的对角线 相等来证明线段相等。
详细描述
当要证明两条线段相等时，可以通过构造一个平行四边 形，利用平行四边形的性质和判定定理来证明两条线段 相等。
中考模拟试题二
总结词：中等难度
详细描述：此题涉及到了圆的证明和与圆相关的其他几何图形的性质，需要考生灵活运用所学知识进 行解答。
中考模拟试题三
总结词：高难度
详细描述：此题综合考察了圆的性质、定理以及与其他几何图形的关联，需要考生具备较高的逻辑思维和推理能力。
利用四边形的性质，通过证明四边形是正方形或矩形来 证明线段垂直。
详细描述
当要证明线段垂直时，可以通过构造一个正方形或矩形 ，利用四边形的性质和判定定理来证明线段垂直。
总结词
利用圆的性质，通过证明圆周角等于90度来证明线段 垂直。
详细描述
当要证明线段垂直时，可以通过构造一个圆，利用圆的 性质和判定定理来证明圆周角等于90度，从而证明线 段垂直。
提高解题能力。
归纳总结
对每个知识点进行归纳总结， 形成知识体系，有助于加深理
解和记忆。
举一反三
在复习过程中，应注重举一反 三，对典型例题进行深入剖析
，掌握解题方法和思路。
模拟测试
定期进行模拟测试，模拟真实 考试环境和压力，提高应试能
力。
05
模拟试题与解析
中考模拟试题一
总结词：基础题目
详细描述：此题考察了圆的性质和基本定理，适合作为第一题来热身，帮助考生 进入考试状态。
总结词
利用勾股定理，通过证明直角三角形的三边关系来证明 线段相等。
详细描述
当要证明两条线段相等时，可以通过构造一个直角三角 形，利用勾股定理和三角形的性质来证明两条线段相等 。
总结词
利用平行四边形的性质，通过证明平行四边形的对角线 相等来证明线段相等。
详细描述
当要证明两条线段相等时，可以通过构造一个平行四边 形，利用平行四边形的性质和判定定理来证明两条线段 相等。
中考模拟试题二
总结词：中等难度
详细描述：此题涉及到了圆的证明和与圆相关的其他几何图形的性质，需要考生灵活运用所学知识进 行解答。
中考模拟试题三
总结词：高难度
详细描述：此题综合考察了圆的性质、定理以及与其他几何图形的关联，需要考生具备较高的逻辑思维和推理能力。
圆中的计算与证明的PPT
，
几何图形中的计算与证明的解题思路：
第一步：看图形，找平行线，垂线，中点，大致能够摸索到几个基 本模型：相似三角形：（1）平行线构A字或8字相似形；（2）共边 共角或共边等角相似形；特殊三角形：直角三角形与等腰三角形； 第二步：带着问题快速审题，勾画关键词句和数量，并将条件和发 散的结论依次标记在图形中，需要构造辅助线要干净利落，从而抓 出或构建出几个常见的基本数学模型，每个模型都有对应的解题思 路与步骤；第三步，将已知条件和发散的结论，待求的结论三三结 合。抓住让它们穿针引线的那几个关键线头，其实这个难题就这样 依次被你的重要线头给连接起来了，第四步：干净利索的写出解题 思路与步骤，就完美得分。
实战演练
挑战1：（2015辽宁大连，23，10分）如图，AB是圆O的直径，点C、 D在圆O上，且AD平分∠CAห้องสมุดไป่ตู้.过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交 于E,与AB的延长线相交于点F. （1）求证：EF与圆O相切； （2）若AB=6，AD=4 2 ，求EF的长
挑战2（2015山东菏泽）如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的 ⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F． （1）求证：∠ABC=2∠CAF； （2）若AC= 2 10 CE：EB=1：4，求CE的长．
圆中的证明与计算
中考分值共16-20分， 共三个题
1：圆中各大定理：垂径定理，一等对三等定理，圆周角定理，圆幂定理
2：解决与圆的有关计算题的两大宝剑：解直角三角形，相似三角形
3：解决与圆有关证明题：三大类型：证线关系，证角关系，证切线
（2016泸州）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径， BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点 E，且∠A=∠EBC． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G， 若BG•BA=48，FG= ，DF=2BF，求AH的值．
几何图形中的计算与证明的解题思路：
第一步：看图形，找平行线，垂线，中点，大致能够摸索到几个基 本模型：相似三角形：（1）平行线构A字或8字相似形；（2）共边 共角或共边等角相似形；特殊三角形：直角三角形与等腰三角形； 第二步：带着问题快速审题，勾画关键词句和数量，并将条件和发 散的结论依次标记在图形中，需要构造辅助线要干净利落，从而抓 出或构建出几个常见的基本数学模型，每个模型都有对应的解题思 路与步骤；第三步，将已知条件和发散的结论，待求的结论三三结 合。抓住让它们穿针引线的那几个关键线头，其实这个难题就这样 依次被你的重要线头给连接起来了，第四步：干净利索的写出解题 思路与步骤，就完美得分。
实战演练
挑战1：（2015辽宁大连，23，10分）如图，AB是圆O的直径，点C、 D在圆O上，且AD平分∠CAห้องสมุดไป่ตู้.过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交 于E,与AB的延长线相交于点F. （1）求证：EF与圆O相切； （2）若AB=6，AD=4 2 ，求EF的长
挑战2（2015山东菏泽）如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的 ⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F． （1）求证：∠ABC=2∠CAF； （2）若AC= 2 10 CE：EB=1：4，求CE的长．
圆中的证明与计算
中考分值共16-20分， 共三个题
1：圆中各大定理：垂径定理，一等对三等定理，圆周角定理，圆幂定理
2：解决与圆的有关计算题的两大宝剑：解直角三角形，相似三角形
3：解决与圆有关证明题：三大类型：证线关系，证角关系，证切线
（2016泸州）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径， BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点 E，且∠A=∠EBC． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G， 若BG•BA=48，FG= ，DF=2BF，求AH的值．
中考数学专题复习课件：圆与证明
1.已知:P是非⊙O上的一点,P点到⊙O的取 大距离是d,最小距离是a. 求⊙O的半径r.
a P A
d
●
O
B
A
a
P
●
O d
B
d a r . 2
d a r . 2
2.已知:P是⊙O内的一点,PO=3,⊙O的半径等 于5.求过点P的最短弦的长度.
●
A
O D ● P
B
过点P的最长弦是直径,最短弦是垂直于过点P的 直径的弦.
O B
A
C
9.圆锥展开图的妙用：
（08，青岛）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯 开口圆的直径EF长为10cm．母线 OE(OF)长为10cm．在母线 OF 上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的 点E处沿圆锥表面爬行到 A 点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm．
O
A
E
F
6.圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦 称为直径,圆心到弦的距离称为弦心距. 7.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.直径 分圆为两条相等的弧,称为半圆.大于半圆的弧称 为优弧,小于半圆的弧称为劣弧. 8. 圆心相同,半径不同圆称为同心圆. 9. 半径相同,圆心不同的圆称为等圆. 10.在同圆或等圆中，能够重合的弧称为等弧. 11.顶点在圆心的角称为圆心角. 12.顶点在圆上,它的两边分别 与圆还有另一个 交点,像这样的角,叫做圆周角. 13.顶点在圆上,一边和圆相切,另一边和圆相交 的角称为弦切角.
P
ห้องสมุดไป่ตู้
B
O
T
A
如图：连接OT
PT PB ∵ PA=18, PT=12, PB=8, 可得 PA PT 且∠P为公共角，
中考数学专题复习 圆的证明和计算 课件
并说明理由；
（2）当BD=6，AB=10时，求⊙O的半径．
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D， 点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F. (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)已知AB＝10，BC＝6，求⊙O的半径r.
四、达标测评 查漏补缺
第三步，将已知条件和发散的结论，待求的结论三三结合。抓住 让它们穿针引线的那几个关键线头，其实这个难题就这样依次被 你的重要线头给连接起来了。
第四步：干净利索的写出解题思路与步骤，就完美得分。
二、典例分析 规律总结
类型三：与相似三角形（三角函数）有关
（2017宣城）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上， 且∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD是⊙O的切线；
解决与圆的有关计算题的两大宝剑：解直角三角形，相似三角形
二、典例分析 规律总结
（2016 云南模拟） 如图,AB是⊙O 的直径,点P在BA的延长 线上,弦 CD⊥AB 于点E, ∠POC=∠PCE . (1)求证:PC是⊙O 的切线.
(2)若 OE：EA=1：2 , PA= 6 , 求⊙O的半径.
典例分析 规律总结
一、粗看图形：看图形，找平行线，垂线，中点，相似三 角形，等腰三角形和直角三角形 二、带问题速审题：三个条件：一是见直径定构直角三角 形： AB是⊙O 的直径，二是弦 CD⊥AB 于点E ，三是： 圆中三类角的数量关系定构切线， ∠POC=∠PCE 。 三、抓常见几何模型：平行线构相似形，共边共角构相似 型（一般和特殊的双垂图），垂径定理。 四、整理思路并书写解题步骤。
求证：直线AC是⊙O的切线．
类型二：与三角函数（勾股定理）有关
3. (2017·丽水)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径
（2）当BD=6，AB=10时，求⊙O的半径．
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D， 点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F. (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)已知AB＝10，BC＝6，求⊙O的半径r.
四、达标测评 查漏补缺
第三步，将已知条件和发散的结论，待求的结论三三结合。抓住 让它们穿针引线的那几个关键线头，其实这个难题就这样依次被 你的重要线头给连接起来了。
第四步：干净利索的写出解题思路与步骤，就完美得分。
二、典例分析 规律总结
类型三：与相似三角形（三角函数）有关
（2017宣城）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上， 且∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD是⊙O的切线；
解决与圆的有关计算题的两大宝剑：解直角三角形，相似三角形
二、典例分析 规律总结
（2016 云南模拟） 如图,AB是⊙O 的直径,点P在BA的延长 线上,弦 CD⊥AB 于点E, ∠POC=∠PCE . (1)求证:PC是⊙O 的切线.
(2)若 OE：EA=1：2 , PA= 6 , 求⊙O的半径.
典例分析 规律总结
一、粗看图形：看图形，找平行线，垂线，中点，相似三 角形，等腰三角形和直角三角形 二、带问题速审题：三个条件：一是见直径定构直角三角 形： AB是⊙O 的直径，二是弦 CD⊥AB 于点E ，三是： 圆中三类角的数量关系定构切线， ∠POC=∠PCE 。 三、抓常见几何模型：平行线构相似形，共边共角构相似 型（一般和特殊的双垂图），垂径定理。 四、整理思路并书写解题步骤。
求证：直线AC是⊙O的切线．
类型二：与三角函数（勾股定理）有关
3. (2017·丽水)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径
中考第2篇考点聚焦《第10讲：与圆有关的证明及计算》课件
解：①如图 1 中，连接 OC.∵AB⊥CD，∴∠CHO＝90°，在 Rt△COH 中，
∵OC＝r，OH＝r－2，CH＝4，∴r2＝42＋(r－2)2，∴r＝5 ②如图 1 中，连
接 OD.∵AB⊥CD，AB 是直径，∴A︵D＝A︵C＝12C︵D，∴∠AOC＝12∠COD，
∵∠CMD＝12∠COD，∴∠CMD＝∠COA，∴sin∠CMD＝sin∠COA＝CCHO＝
[对应训练] 2．(1)(2017·邵阳)如图，直线DP和圆O相切于点C，交直线AE的延长 线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交圆O于点B，作平行四 边形ABCD，连接BE，DO，CO. ①求证：DA＝DC； ②求∠P及∠AEB的大小．
解：①证明：在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，∵CB⊥AE，∴AD⊥AE， ∴∠DAO＝90°，∵DP 与⊙O 相切于点 C，∴DC⊥OC，∴∠DCO＝90 °，在 Rt△DAO 和 Rt△DCO 中，DAOO＝ ＝DOOC，∴Rt△DAO≌△Rt△DCO， ∴DA＝DC ②∵CB⊥AE，AE 是直径，∴CF＝FB＝12BC，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC，∴CF＝12AD，∵CF∥DA，∴△PCF∽△PDA， ∴PPDC＝DCAF ＝12，∴PC＝12PD，DC＝12PD，∵DA＝DC，∴DA＝12PD，∴在 Rt△DAP 中，∠P＝30°，∵DP∥AB，∴∠FAB＝∠P＝30°，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠AEB＝60°
【点评】 本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，能 求出∠OED＝∠BCA和△BEC∽△BCA是解此题的关键．
[对应训练] 1．(1)(2017·南充)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为 直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延 长线于点F. ①求证：DE是⊙O的切线； ②若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．
中考数学总复习 题型突破(六)与圆有关的证明与计算数学课件
∴在 Rt△ CMD 中,由勾股定理得 CM2+DM2=CD2,
∴2CM2=(2r)2=16,∴CM2=8,∴CM=2 2.
图 Z6-6
类型2 弦切型问题
针对训练
1.[2018·东营] 如图 Z6-7,CD 是☉O 的切线,点 C 在直径 AB 的延长线上.
(1)求证:∠CAD=∠BDC;
2
(2)若 BD= AD,AC=3,求 CD 的长.
证明:(2)过点 D 作 DM⊥AB 于点 M,连接 CD,DB.∵AD 平分∠BAC,∴∠EAD=∠MAD.
又∵DE⊥AE,DM⊥AB,∴DE=DM.∵∠AED=∠AMD=90°,∠EAD=∠MAD,
∴△DAE≌△DAM,∴AE=AM.∵∠EAD=∠MAD,∴= ,
∴CD=BD.∵DE=DM,∴Rt△DEC≌Rt△DMB,∴CE=BM,
解: (2)设 OF=OD=x,则 OB=OF+BF=x&股定理得:OB2=OD2+BD2,即(x+2)2=x2+12,
解得:x=2,即 OD=OF=2,∴OB=2+2=4,
1
∵在 Rt△ ODB 中,OD= OB,∴∠B=30°,∴∠DOB=60°,
2
60π×4 2π
∴S 扇形 DOF=
∴AD⊥ED.
图 Z6-3
类型1 角平分线型问题
2.[2018·昆明 21 题] 如图 Z6-3,AB 是☉O 的直径,ED 切☉O 于点 C,AD 交☉O 于点 F,AC 平分∠BAD,连接 BF.
(2)若 CD=4,AF=2,求☉O 的半径.
解: (2)∵AB 是☉O 的直径,∴∠AFB=90°,
(1)试判断直线 BC 与☉O 的位置关系,并说明理由;
∴2CM2=(2r)2=16,∴CM2=8,∴CM=2 2.
图 Z6-6
类型2 弦切型问题
针对训练
1.[2018·东营] 如图 Z6-7,CD 是☉O 的切线,点 C 在直径 AB 的延长线上.
(1)求证:∠CAD=∠BDC;
2
(2)若 BD= AD,AC=3,求 CD 的长.
证明:(2)过点 D 作 DM⊥AB 于点 M,连接 CD,DB.∵AD 平分∠BAC,∴∠EAD=∠MAD.
又∵DE⊥AE,DM⊥AB,∴DE=DM.∵∠AED=∠AMD=90°,∠EAD=∠MAD,
∴△DAE≌△DAM,∴AE=AM.∵∠EAD=∠MAD,∴= ,
∴CD=BD.∵DE=DM,∴Rt△DEC≌Rt△DMB,∴CE=BM,
解: (2)设 OF=OD=x,则 OB=OF+BF=x&股定理得:OB2=OD2+BD2,即(x+2)2=x2+12,
解得:x=2,即 OD=OF=2,∴OB=2+2=4,
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∵在 Rt△ ODB 中,OD= OB,∴∠B=30°,∴∠DOB=60°,
2
60π×4 2π
∴S 扇形 DOF=
∴AD⊥ED.
图 Z6-3
类型1 角平分线型问题
2.[2018·昆明 21 题] 如图 Z6-3,AB 是☉O 的直径,ED 切☉O 于点 C,AD 交☉O 于点 F,AC 平分∠BAD,连接 BF.
(2)若 CD=4,AF=2,求☉O 的半径.
解: (2)∵AB 是☉O 的直径,∴∠AFB=90°,
(1)试判断直线 BC 与☉O 的位置关系,并说明理由;