三维空间几何坐标变换矩阵PPT幻灯片课件
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第六讲二维及三维空间的变换概念及其矩阵表示-精品
20133152013315?几何变换二维变换齐次坐标系和二维变换的矩阵表示二维变换的复合窗口到视口的变换效率问题三维变换的矩阵表示三维变换的复合坐标系的变换二维及三维空间的变换概念矩阵表示三维视图二维三维空间的变换概念及其矩阵表示2013315几何变换本讲介绍计算机图形学经常用到的基本的二维和三维几何变换其中的平移变换比例变换和旋转变换对很多图形应用程序来说极其重要
现在考虑绕任意一点P1旋转物体的问题。 1）将P1点平移到原点； 2）旋转； 3）平移还原P1点。
2019/11/20
二维变换的复合(例二）
关于任意 点P1比例 变换一个 物体。
2019/11/20
二维变换的复合（小结）
假设我们想要使图中的房子以任意点P1为中心进行旋转、平移和缩放（比例）变换 。这时具体步骤与上述类似：先将点P1平移到原点，待完成比例变换和旋转变换后 再将房子从坐标原点平移到新的位置P2，因此记录变换的数据结构可以是包含比例 变换因子、旋转角、平移量和变换顺序的数据结构，或者只是简单地记录复合变换
过除以W）而得到形式为(x,y,1)的
坐标，因此，齐次化的点就形成
平面
了(x,y,W)空间中的一个平面,由等
式W=1定义。图中示出了这种联 系，注意：无穷远点没表示在该 平面中。
XYW齐次坐标系，其中示有W=1的平面和投影 到该平面上的点P（X，Y，W）
2019/11/20
二维变换的矩阵表示
平移变换
0, 10
1
绕x旋转
Rx()
0 0
0
cos sin
0
sin cos
0 0. 0
Байду номын сангаас
0 0 0 01
0 0
现在考虑绕任意一点P1旋转物体的问题。 1）将P1点平移到原点； 2）旋转； 3）平移还原P1点。
2019/11/20
二维变换的复合(例二）
关于任意 点P1比例 变换一个 物体。
2019/11/20
二维变换的复合（小结）
假设我们想要使图中的房子以任意点P1为中心进行旋转、平移和缩放（比例）变换 。这时具体步骤与上述类似：先将点P1平移到原点，待完成比例变换和旋转变换后 再将房子从坐标原点平移到新的位置P2，因此记录变换的数据结构可以是包含比例 变换因子、旋转角、平移量和变换顺序的数据结构，或者只是简单地记录复合变换
过除以W）而得到形式为(x,y,1)的
坐标，因此，齐次化的点就形成
平面
了(x,y,W)空间中的一个平面,由等
式W=1定义。图中示出了这种联 系，注意：无穷远点没表示在该 平面中。
XYW齐次坐标系，其中示有W=1的平面和投影 到该平面上的点P（X，Y，W）
2019/11/20
二维变换的矩阵表示
平移变换
0, 10
1
绕x旋转
Rx()
0 0
0
cos sin
0
sin cos
0 0. 0
Байду номын сангаас
0 0 0 01
0 0
坐标变换ppt课件
❖ 假定在原坐标系统中变量为x 1 、x 2 、 … x n
❖ 令 Y CX ❖ C为变换系数，既可取常数，也可取时间的
函数。在线性变换中，系数与变量无关。
❖ 若要原变量和新变量间存在单值关系，转 换矩阵C须满秩。
精选ppt课件2021
3
二、综合矢量
二、综合矢量
❖ 时间矢量 –随时间作正弦变化的量 –可以用沿逆时针旋转的矢 量在y轴的投影表示 – y轴称为时间轴
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7
二、综合矢量
综合矢量的计算
❖ 综合矢量的计算 –设有正序电流
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8
二、综合矢量
综合矢量的计算
–正序电流综合矢量为
–其中， a为旋转算子
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9
二、综合矢量
综合矢量的计算
❖ 图解
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10
二、综合矢量
综合矢量的计算
–设有负序电流
精选ppt课件2021
20
二、综合矢量
综合矢量的优点
❖ 三相同时考虑 –除零序分量
❖ 在任意轴线上的投影 –表示与该轴线圈有关变量的瞬时值
精选ppt课件2021
21
三、坐标转换
各坐标系统间的转换
❖ 旋转电机的坐标变换：两大类
–坐标轴线放在定子上的静止坐标系统，如 abc,αβ0,+-0坐标系统
–坐标轴线放在转子上的旋转坐标系统，如 dq0,fb0坐标系统。
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4
二、综合矢量
单时标多矢量法
❖ 单时标多矢量表示法 –三相对称系统 –三个旋转矢量 –一个时间轴
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5
❖ 令 Y CX ❖ C为变换系数，既可取常数，也可取时间的
函数。在线性变换中，系数与变量无关。
❖ 若要原变量和新变量间存在单值关系，转 换矩阵C须满秩。
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3
二、综合矢量
二、综合矢量
❖ 时间矢量 –随时间作正弦变化的量 –可以用沿逆时针旋转的矢 量在y轴的投影表示 – y轴称为时间轴
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7
二、综合矢量
综合矢量的计算
❖ 综合矢量的计算 –设有正序电流
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8
二、综合矢量
综合矢量的计算
–正序电流综合矢量为
–其中， a为旋转算子
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二、综合矢量
综合矢量的计算
❖ 图解
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10
二、综合矢量
综合矢量的计算
–设有负序电流
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二、综合矢量
综合矢量的优点
❖ 三相同时考虑 –除零序分量
❖ 在任意轴线上的投影 –表示与该轴线圈有关变量的瞬时值
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21
三、坐标转换
各坐标系统间的转换
❖ 旋转电机的坐标变换：两大类
–坐标轴线放在定子上的静止坐标系统，如 abc,αβ0,+-0坐标系统
–坐标轴线放在转子上的旋转坐标系统，如 dq0,fb0坐标系统。
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4
二、综合矢量
单时标多矢量法
❖ 单时标多矢量表示法 –三相对称系统 –三个旋转矢量 –一个时间轴
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5
三维空间几何坐标变换矩阵课件
3
缩放变换的应用：在计算机图形学中，缩放变换 常用于物体的形状调整和场景构建。04坐标变源自矩阵推导过程平移变换矩阵推导
平移变换定义
将点$P(x,y,z)$沿$x$轴、$y$轴 、$z$轴分别平移$t_x$、$t_y$、
$t_z$个单位。
平移变换矩阵
$begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x 0 & 1 & 0 & t_y 0 & 0 & 1 & t_z 0 & 0 & 0 & 1 end{bmatrix}$
02
三维空间几何基础
三维空间坐标系
01
02
03
右手坐标系
在三维空间中，通常采用 右手坐标系，其中x轴正 向向右，y轴正向向前，z 轴正向向上。
坐标原点
三维坐标系的原点O是三 个坐标轴的交点，其坐标 为(0,0,0)。
坐标表示
在三维空间中，任意一点 P的位置可以用一个三元 组(x,y,z)来表示，其中x、 y、z分别是点P在x轴、y 轴、z轴上的投影。
|1000|
```
01
03 02
旋转变换原理及方法
| 0 sin(θ) cos(θ) 0 |
|0001|
旋转变换原理及方法
```
旋转变换的应用：在计算机图形学中，旋转变换常用于物体的姿态调整和场景构 建。
缩放变换原理及方法
缩放变换定义
将三维空间中的点沿着某一方向进行放大或缩小，改变点的形状和大小。
平移变换过程
将点$P$的齐次坐标$(x,y,z,1)$与平 移变换矩阵相乘，得到平移后的坐 标$(x+t_x,y+t_y,z+t_z,1)$。
三维空间几何坐标变换矩阵课件
三维空间几何坐标变 换矩阵课件
目录
• 三维空间几何坐标变换矩阵概述 • 三维空间几何坐标变换矩阵的构建 • 三维空间几何坐标变换矩阵的实现 • 三维空间几何坐标变换矩阵的优化 • 三维空间几何坐标变换矩阵的案例分析
01
三维空间几何坐标变换 矩阵概述
定义与性质
定义
坐标变换矩阵是用于描述三维空 间中点或向量在不同坐标系之间 转换关系的矩阵。
减少计算量优化
矩阵分解
将复杂的坐标变换矩阵分解为多个简 单的矩阵，降低计算复杂度。
避免重复计算
在坐标变换过程中，避免重复计算相 同的结果，利用存储机制保存中间结采用高精度的算法和数据类型，以减小计算过程中的误差。
迭代优化
通过迭代的方式逐步逼近精确值，提高坐标变换的精度。
减少内存占用优化
压缩存储
对变换矩阵进行压缩存储，减少内存占用。
动态内存分配
根据实际需要动态分配内存，避免不必要的内存浪费。
05
三维空间几何坐标变换 矩阵的案例分析
平移变换矩阵案例分析
平移变换矩阵
将三维空间中的点沿某一方向移动一定距离。
案例
将点A(1,2,3)沿x轴平移2个单位，得到点B的坐标为(3,2,3)。
使用数学软件实现坐标变换矩阵
数学软件如MATLAB、Octave等 提供了强大的矩阵计算功能，可 以进行复杂的数学运算和矩阵操
作。
使用数学软件可以实现复杂的坐 标变换矩阵，并进行精确的计算
和分析。
数学软件还提供了可视化的功能， 可以方便地展示三维坐标变换的
效果。
04
三维空间几何坐标变换 矩阵的优化
02
三维空间几何坐标变换 矩阵的构建
平移变换矩阵
目录
• 三维空间几何坐标变换矩阵概述 • 三维空间几何坐标变换矩阵的构建 • 三维空间几何坐标变换矩阵的实现 • 三维空间几何坐标变换矩阵的优化 • 三维空间几何坐标变换矩阵的案例分析
01
三维空间几何坐标变换 矩阵概述
定义与性质
定义
坐标变换矩阵是用于描述三维空 间中点或向量在不同坐标系之间 转换关系的矩阵。
减少计算量优化
矩阵分解
将复杂的坐标变换矩阵分解为多个简 单的矩阵，降低计算复杂度。
避免重复计算
在坐标变换过程中，避免重复计算相 同的结果，利用存储机制保存中间结采用高精度的算法和数据类型，以减小计算过程中的误差。
迭代优化
通过迭代的方式逐步逼近精确值，提高坐标变换的精度。
减少内存占用优化
压缩存储
对变换矩阵进行压缩存储，减少内存占用。
动态内存分配
根据实际需要动态分配内存，避免不必要的内存浪费。
05
三维空间几何坐标变换 矩阵的案例分析
平移变换矩阵案例分析
平移变换矩阵
将三维空间中的点沿某一方向移动一定距离。
案例
将点A(1,2,3)沿x轴平移2个单位，得到点B的坐标为(3,2,3)。
使用数学软件实现坐标变换矩阵
数学软件如MATLAB、Octave等 提供了强大的矩阵计算功能，可 以进行复杂的数学运算和矩阵操
作。
使用数学软件可以实现复杂的坐 标变换矩阵，并进行精确的计算
和分析。
数学软件还提供了可视化的功能， 可以方便地展示三维坐标变换的
效果。
04
三维空间几何坐标变换 矩阵的优化
02
三维空间几何坐标变换 矩阵的构建
平移变换矩阵
三维坐标变换
z
将原坐标系xyz下的坐标转换成新坐标系x’y’z’的 坐标可由以下两步完成：
首先， 平移坐标系xyz，使其原点与新坐标系x’y’z’ 的原点（x0,y0,z0）重合；
平移矩阵为：
1 0
T
0
1
0 0
x0 y0
0 0 0 0 1 0 z0 1
y
y’
y
u y
(x,y,z)
b2 c2
0
1
V V x R a ,0 ,b 2 c 2
类似地，可以求出:
sin a ,co s b2c2
a2b2c2
a2b2c2
b2 c2
0
a2 b2 c2
Ry
0 a
1 0
a2 b2 c2
cos 0 sin 0
z yx1z yx1s0in
1 0
0
cos
0 0
0
0 0 1
cos 0 sin 0
即
x yz1xyz1si0n
1 0
0
cos
0 0
0
0
0
1
这就是说，绕y轴的旋转变换的矩阵与绕x轴和z轴 变换的矩阵从表面上看在符号上有所不同。
0 0 0 1
(2)绕x轴正向旋转 角，旋转后点的x坐标值不变， Y、z坐标的变化相当于在yoz平面内作正 角旋转。
1 0 0 0
x yz1xyz10
0
cos sin
sin cos
0 0
0 0
0 1
(3) 绕y轴正向旋转 角，y坐标值不变，z、x的坐标相当 于在zox平面内作正 角旋转，于是
三维变换矩阵
三维变换矩阵
3D变换矩阵，也称作三维变换矩阵，是一种用来描述三维空间中的坐标变换的数学技术。
它允许某一复杂的坐标变换来从一个三维空间位置转换到另一个三维空间位置。
3D变换矩阵可以用于实现平移、旋转和缩放操作。
3D变换矩阵通常由一个4×4的数组表示，其中每个元素是相应的坐标变换的系数。
数组的前三行表示的是旋转、缩放及位移的系数，最后一行是三维空间的常量。
基于此，
可以表示为M=
[r1,r2,r3,t]
其中，
ri=(i,j,k)T ，i=1,2,3
t=(x,y,z,1)T
r1=(cosqx,cosqy,cosqz,0)T
这里， qx, qy, qz 代表旋转轴极坐标系中的三个分量，t(x,y,z) 表示坐标空间中
的三维位置偏移量，1表示三维空间中的常量。
旋转矩阵可以通过类似下面的数学形式来表达：
Rx(qx)=
[1,0,0,
0, cosqx, -sinqx,
其中，Rx表示绕x轴旋转qx弧度，cosqx和sinqx表示其中的余弦和正弦函数的值。
同样的操作行可以用于Ry(qy)和Rz(qz)矩阵，其中qy和qz是绕y轴和z轴旋转的弧度。
可以从上面的是就可以看出，一个3D变换矩阵的形式会由一系列绕着不同轴的旋转
量和一个位移量组成，可以用来将一个任意位置的三维坐标转换到另一个任意位置。
由于
3D变换矩阵是一个4×4的矩阵，它可以用来处理很多类型的变换操作，比如缩放、旋转、平移和投影等。
因此，3D变换矩阵已经成为三维计算机图形学的一个重要组成部分，用于描述任意的三维空间变换。
《维图形变换》课件
维图形的表示
维图形可以通过维向量和点的表示方法来描述。在多维空间中，我们可以使用多维线性变换和变换矩阵来对维图形 进行表示。
维图形的变换
维图形可以进行旋转、缩放、平移和剪切等变换操作。这些变换能够改变图 形的方向、大小、位置和形状。
维图形的复合变换
复合变换是指将多个变换操作连续应用到维图形上的过程。通过复合变换， 我们可以实现更复杂的维图形变换，并应用于各种实际应用中。
总结
通过本课件，我们回顾了维图形变换的主要内容，总结了知识点和应用。希望这次学习能够帮助您更好地理解和应 用维图形变换。
补充说明
请注意，本大纲所提及的内容仅为参考，具体PPT课件内容以实际主讲人为准。我们希望这套课件能够帮助您更好地 了解维图形变换，并激发您继续深入研究的兴趣。
《维图形变换》PPT课件
本PPT课件将带您了解维图形变换的概念、多维空间中的变换、维图形的表示 以及维图形的旋转、缩放、平移和剪切等内容。让我们一起探索维图形变换 的奥秘吧！
什么是维图形变换
维图形变换是指在多维向量以及坐标系 的转换等内容。
常用坐标系介绍及变换PPT课件
常用坐标系介绍及变 换ppt课件
目录
• 常用坐标系介绍 • 坐标变换基础 • 坐标变换的应用 • 坐标变换的数学表达 • 坐标变换的物理意义 • 坐标变换的计算机实现
01
常用坐标系介绍
笛卡尔坐标系
01
02
03
直角坐标系
以原点为中心，x轴、y轴、 z轴分别代表三个相互垂 直的坐标轴，用于描述平 面和空间中的点。
二维坐标变换
总结词
二维坐标变换是指平面内的坐标变化， 包括平移、旋转、缩放等操作。
详细描述
二维坐标变换涉及平面内的点，可以 通过平移、旋转或缩放等操作进行坐 标变化。这种变换在平面几何、图形 处理等领域应用广泛，可以通过矩阵 运算实现快速变换。
三维坐标变换
总结词
三维坐标变换是指空间中的坐标变化，包括平移、旋转、缩放等操作。
详细描述
三维坐标变换涉及空间中的点，可以通过平移、旋转或缩放等操作进行坐标变化。这种变换在三维建模、动画制 作、机器人控制等领域应用广泛，需要使用三维矩阵运算进行实现。
03
坐标变换的应用
图形变换
图形变换是指通过数学方法将一个二维或三维图形在坐标系 中进行平移、旋转、缩放等操作，以达到改变图形位置、大是一种数值计算方法，通过将物体离散化为有限个单元，可 以分析物体的受力情况和形变程度。有限元分析在工程领域中有着广泛 的应用，可以提高设计效率和精度。
06
坐标变换的计算机实现
OpenGL中的坐标变换
投影变换
将三维场景投影到二维屏 幕上，包括正交投影和透 视投影。
视图变换
将场景中的坐标系与观察 者的坐标系进行关联，实 现视景体裁剪。
旋转变换不改变图形的大小和形状， 只改变其方向。
目录
• 常用坐标系介绍 • 坐标变换基础 • 坐标变换的应用 • 坐标变换的数学表达 • 坐标变换的物理意义 • 坐标变换的计算机实现
01
常用坐标系介绍
笛卡尔坐标系
01
02
03
直角坐标系
以原点为中心，x轴、y轴、 z轴分别代表三个相互垂 直的坐标轴，用于描述平 面和空间中的点。
二维坐标变换
总结词
二维坐标变换是指平面内的坐标变化， 包括平移、旋转、缩放等操作。
详细描述
二维坐标变换涉及平面内的点，可以 通过平移、旋转或缩放等操作进行坐 标变化。这种变换在平面几何、图形 处理等领域应用广泛，可以通过矩阵 运算实现快速变换。
三维坐标变换
总结词
三维坐标变换是指空间中的坐标变化，包括平移、旋转、缩放等操作。
详细描述
三维坐标变换涉及空间中的点，可以通过平移、旋转或缩放等操作进行坐标变化。这种变换在三维建模、动画制 作、机器人控制等领域应用广泛，需要使用三维矩阵运算进行实现。
03
坐标变换的应用
图形变换
图形变换是指通过数学方法将一个二维或三维图形在坐标系 中进行平移、旋转、缩放等操作，以达到改变图形位置、大是一种数值计算方法，通过将物体离散化为有限个单元，可 以分析物体的受力情况和形变程度。有限元分析在工程领域中有着广泛 的应用，可以提高设计效率和精度。
06
坐标变换的计算机实现
OpenGL中的坐标变换
投影变换
将三维场景投影到二维屏 幕上，包括正交投影和透 视投影。
视图变换
将场景中的坐标系与观察 者的坐标系进行关联，实 现视景体裁剪。
旋转变换不改变图形的大小和形状， 只改变其方向。
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2
7.2 三维几何变换
7.2.1 基本三维几何变换
1. 平移变换
若空间平移量为(tx, ty, tz)，则平移变换为
x y
x y
tx ty
z z tz
z
P’(x’,y’,z’)
P(x,y,z)
y
1 0 0 0
x
y
z1
x
y
z
1
0
1
10 01
0 0
，绕哪个坐标轴
0 0 0 1
旋转，则该轴坐标的一列元素不变。按照二维图
形变换的情况，将其旋转矩阵
cos sin
sin cos
中的元素添入相应的位置中，即
9
(1) 绕z轴正向旋转 角，旋转后点的z坐标值不变, x、y
坐标的变化相当于在xoy平面内作正 角旋转。
第7章 三维变换
7.1 简介 7.2 三维几何变换 7.3 三维坐标变换
1
7.1 简介
三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的 直接推广。但旋转变换则不然，因为我们可选 取空间任意方向作旋转轴，因此三维变换处理 起来更为复杂。
与二维变换相似，我们也采用齐次坐标技术 来描述空间的各点坐标及其变换，这时，描 述空间三维变换的变换矩阵是4×4的形式。 由此，一系列变换可以用单个矩阵来表示。
0 sz
0 0
0 0 0 1
x y
x xsx , y ysy , z zsz 其中 sx , sy , sz 为正值。
4
（2） 相对于所选定的固定点的比例变换
z
z
（xf,yf,zf)
(1)
（xf,yf,zf)
y (2)
y
x z
x yz
(3) （xf,yf,zf)
11
7.2.2 组合变换
1. 物体绕平行于某一坐标轴的旋转变换。基本步骤:
(1) 平移物体使旋转轴与所平行的坐标轴重合;
(2) 沿着该坐标轴进行指定角度的旋转;
(3) 平移物体使旋转轴移回到原位置。
y y
y
z
x
z (a)
xz
xz
(b)
R T Rx T 1
(d) x
(c)
x z sin x cos
y y
z
y 7
cos sin 0 0
x y z1 x y z 1 sin cos 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
绕 z 轴旋转
1 0
0 0
x y z1 x y z 10 cos sin 0
6
（1）绕 z 轴旋转 x x cos y sin
y
y x sin y cos
z z
x
xyzx z z
（2）绕 x 轴旋转
y y cos z sin
y
z y sin z cos
x x
x
x
（3）绕 y 轴旋转 z z cos x sin
0 sin cos 0
0 0
0 1
绕 x 轴旋转
cos 0 sin 0
x y z1 x y z 1
0
1
0
0
sin 0 cos 0
0
0
0
1
绕 y 轴旋转
8
旋转变换矩阵规律:
xyz
x 1 0 0 0
对于单位矩阵
y 0 z 0
0
0
0 0 1 0
tx ty tz 1
x
补充说明：点的平移、 物体的平移、多面体 的平移、逆变换
3
2. 比例变换
（1） 相对坐标原点的比例变换 一个点P=(x,y,z)相对于坐标原点的比例变换的矩 阵可表示为
sx 0 0 0
z
x
y
z1
x
y
z
1
0 0
sy 0
y
• P’2
P• ’1
x
z
(4)
y
P2 •
P1 • x
z
(5)
14
例. 求变换AV，使过原点的向量V=(a,b,c)与z轴的 正向一致。
（xf,yf,zf)
x
x
y
sx
0
0 0
T x f , y f ,z f S sx , sy , sz T x f , y f , z f
0 0
1 sx x f
sy
0
1 sy y f
0
sz
1 sz z f
0
0 1
1 0
0 0
x y z1 x y z 10 cos sin 0
0 sin cos 0
0 0
0 1
10
(3) 绕y轴正向旋转 角，y坐标值不变，z、x的坐标相当 于在zox平面内作正 角旋转，于是
cos 0 sin 0
z y x1 z y x 1
12
2. 绕任意轴旋转的变换
(1)平移物体使旋转轴通过坐标原点;
y
y
P2 •
• P’2
P1 •
P• ’1
x
xz
z
(1)
(2)旋转物体使旋转轴与某个坐标轴(如z轴)重合;
(3)关于该坐标轴进行指定角度的旋转;
y
y
P• ’1
x
P2’’ •
z
(2)
P• ’1 P2’’ •
z
(3)
x
13
(4) 应用逆旋转变换将旋转轴回到原方向; (5) 应用逆平移变换将旋转轴变换到原位置。
5
3. 绕坐标轴的旋转变换
三维空间中的旋转变换比二维空间中的旋转变 换复杂。除了需要指定旋转角外，还需指定旋转 轴。
若以坐标系的三个坐标轴x,y,z分别作为旋转轴， 则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。 此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变 换矩阵。
规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右 手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针 方向。
0
1 0 0
sin 0 cos 0
0
0 0 1
cos 0 sin 0
即
x y z1 x y z 1
0
1
0
0
sin 0 cos 0
0
0
0
1
这就是说，绕y轴的旋转变换的矩阵与绕x轴和z轴 变换的矩阵从表面上看在符号上有所不同。
cos sin 0 0
xyz
x y z1 x y z 1 sin cos 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
x 1 0 0 0 y 0 1 0 0 z 0 旋转后点的x坐标值不变， Y、z坐标的变化相当于在yoz平面内作正 角旋转。
7.2 三维几何变换
7.2.1 基本三维几何变换
1. 平移变换
若空间平移量为(tx, ty, tz)，则平移变换为
x y
x y
tx ty
z z tz
z
P’(x’,y’,z’)
P(x,y,z)
y
1 0 0 0
x
y
z1
x
y
z
1
0
1
10 01
0 0
，绕哪个坐标轴
0 0 0 1
旋转，则该轴坐标的一列元素不变。按照二维图
形变换的情况，将其旋转矩阵
cos sin
sin cos
中的元素添入相应的位置中，即
9
(1) 绕z轴正向旋转 角，旋转后点的z坐标值不变, x、y
坐标的变化相当于在xoy平面内作正 角旋转。
第7章 三维变换
7.1 简介 7.2 三维几何变换 7.3 三维坐标变换
1
7.1 简介
三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的 直接推广。但旋转变换则不然，因为我们可选 取空间任意方向作旋转轴，因此三维变换处理 起来更为复杂。
与二维变换相似，我们也采用齐次坐标技术 来描述空间的各点坐标及其变换，这时，描 述空间三维变换的变换矩阵是4×4的形式。 由此，一系列变换可以用单个矩阵来表示。
0 sz
0 0
0 0 0 1
x y
x xsx , y ysy , z zsz 其中 sx , sy , sz 为正值。
4
（2） 相对于所选定的固定点的比例变换
z
z
（xf,yf,zf)
(1)
（xf,yf,zf)
y (2)
y
x z
x yz
(3) （xf,yf,zf)
11
7.2.2 组合变换
1. 物体绕平行于某一坐标轴的旋转变换。基本步骤:
(1) 平移物体使旋转轴与所平行的坐标轴重合;
(2) 沿着该坐标轴进行指定角度的旋转;
(3) 平移物体使旋转轴移回到原位置。
y y
y
z
x
z (a)
xz
xz
(b)
R T Rx T 1
(d) x
(c)
x z sin x cos
y y
z
y 7
cos sin 0 0
x y z1 x y z 1 sin cos 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
绕 z 轴旋转
1 0
0 0
x y z1 x y z 10 cos sin 0
6
（1）绕 z 轴旋转 x x cos y sin
y
y x sin y cos
z z
x
xyzx z z
（2）绕 x 轴旋转
y y cos z sin
y
z y sin z cos
x x
x
x
（3）绕 y 轴旋转 z z cos x sin
0 sin cos 0
0 0
0 1
绕 x 轴旋转
cos 0 sin 0
x y z1 x y z 1
0
1
0
0
sin 0 cos 0
0
0
0
1
绕 y 轴旋转
8
旋转变换矩阵规律:
xyz
x 1 0 0 0
对于单位矩阵
y 0 z 0
0
0
0 0 1 0
tx ty tz 1
x
补充说明：点的平移、 物体的平移、多面体 的平移、逆变换
3
2. 比例变换
（1） 相对坐标原点的比例变换 一个点P=(x,y,z)相对于坐标原点的比例变换的矩 阵可表示为
sx 0 0 0
z
x
y
z1
x
y
z
1
0 0
sy 0
y
• P’2
P• ’1
x
z
(4)
y
P2 •
P1 • x
z
(5)
14
例. 求变换AV，使过原点的向量V=(a,b,c)与z轴的 正向一致。
（xf,yf,zf)
x
x
y
sx
0
0 0
T x f , y f ,z f S sx , sy , sz T x f , y f , z f
0 0
1 sx x f
sy
0
1 sy y f
0
sz
1 sz z f
0
0 1
1 0
0 0
x y z1 x y z 10 cos sin 0
0 sin cos 0
0 0
0 1
10
(3) 绕y轴正向旋转 角，y坐标值不变，z、x的坐标相当 于在zox平面内作正 角旋转，于是
cos 0 sin 0
z y x1 z y x 1
12
2. 绕任意轴旋转的变换
(1)平移物体使旋转轴通过坐标原点;
y
y
P2 •
• P’2
P1 •
P• ’1
x
xz
z
(1)
(2)旋转物体使旋转轴与某个坐标轴(如z轴)重合;
(3)关于该坐标轴进行指定角度的旋转;
y
y
P• ’1
x
P2’’ •
z
(2)
P• ’1 P2’’ •
z
(3)
x
13
(4) 应用逆旋转变换将旋转轴回到原方向; (5) 应用逆平移变换将旋转轴变换到原位置。
5
3. 绕坐标轴的旋转变换
三维空间中的旋转变换比二维空间中的旋转变 换复杂。除了需要指定旋转角外，还需指定旋转 轴。
若以坐标系的三个坐标轴x,y,z分别作为旋转轴， 则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。 此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变 换矩阵。
规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右 手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针 方向。
0
1 0 0
sin 0 cos 0
0
0 0 1
cos 0 sin 0
即
x y z1 x y z 1
0
1
0
0
sin 0 cos 0
0
0
0
1
这就是说，绕y轴的旋转变换的矩阵与绕x轴和z轴 变换的矩阵从表面上看在符号上有所不同。
cos sin 0 0
xyz
x y z1 x y z 1 sin cos 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
x 1 0 0 0 y 0 1 0 0 z 0 旋转后点的x坐标值不变， Y、z坐标的变化相当于在yoz平面内作正 角旋转。