《数论算法》教案 1章(整数的可除性)

第 1 章整数的可除性《数论》从研究整数开始，叫“整数论”。

经进一步发展，叫做“数论”。

确切地说，数论是研究整数性质的学科。

自然数（正整数）→负整数→0（统称整数）。

算术运算：加、减、乘、除（四则运算）。

加法、减法和乘法在整数范围内可以毫无阻碍地进行。

但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。

《数论算法》主要从应用角度出发，研究数论问题中实用的方法和技术。

1.1整除的概念欧几里得除法（一）整除概念【定义1.1.1】设a, b∈Z（整数集合），b≠0，如果存在q∈Z，使得a＝bq，则称b整除a或a可被b整除，记作b │a，且称a是b的倍数，b是a的因数（也可称为除数、约数、因子）。

否则，称b不能整除a或a不能被b整除，记作b a。

◆ 说明：（1） q 也是a 的因数，并将q 写为a/b 或ba ； （2） 当b 遍历整数a 的所有因数时，－b 也遍历整数a 的所有因数；（3） 当b 遍历整数a 的所有因数时，a/b 也遍历整数a 的所有因数。

例：设 a ＝6，则有（1） 当b ＝3时，q ＝2＝6/3（2） 当b ＝1, 2, 3, 6,－1,－2,－3,－6时有－b ＝－1,－2,－3,－6, 1, 2, 3, 6（3） 当b ＝1, 2, 3, 6, －1,－2,－3,－6时有a/b ＝6, 3, 2, 1,－6,－3,－2,－1【特例】：（1） 0是任何非零整数的倍数；（2） ±1是任何整数的因数；（3） 任何非零整数a 是其自身的倍数，也是其自身的因数。

（二） 性质（1） 设Z b a ∈,，则a b a b a b |||-⇔-⇔a b --⇔| ⇔b │a 。

（证） ⇔a b | a ＝bq ⇔ －a ＝q(－b) ⇔a b --| 其余类推。

【例1.1.1】30的所有因数：±1，±2，±3，±5，±6，±15，±30（2） 传递性：b c |，a b |⇒a c |（证）b c |且a b | ⇒ b ＝c 1q ，a ＝b 2q⇒ a ＝c 1q 2q ⇒c │a 。

（3） b c |，a c |，则b a c ±|（4） b c |，a c |，则对任意整数s 、t ，有tb sa c +| 推广：（5） 若b a |，a b |，则a ＝±b（证）b a | ⇒ a ＝b 1qa b | ⇒ b ＝a 2q⇒ a ＝21q aq⇒ 21q q ＝1⇒ 21q q =＝±1（6） a b |⇔ca cb |（c ≠0）（7） 若a b |，则 b ≤a（三） 例【例1.1.2】证明：若n |3且n |7，则n |21。

（证）n |3 ⇒ m n 3=已知n |7 ⇒ m 3|7。

m 7|7 ⇒ ()m m m =⋅-327|7。

即m ＝7q⇒ n ＝3(7q)＝21q ⇒ n |21。

【例1.1.3】设12-=t a 。

若n a 2|，则n a |。

（证）n a 2| ⇒ tn a 2|又an a | ⇒ ()an tn a -2|＝(an ＋n)－an ＝n ，即n a | （由a ＝2t －1知2t ＝a ＋1，从而2tn ＝an ＋n ）【例1.1.4】设a, b 是两个给定的非零整数，且有整数x, y ，使得1=+by ax 。

证明：若n a |且n b |，则n ab |（证）1=+by ax ⇒ ()()()y nb x na by ax n n +=+= 由n a |且n b | ⇒ na ab nb ab |,|。

⇒ |ab ()()y nb x na +＝n(ax ＋by)，即n ab |。

注意：()12317=-⋅+⋅，由此也证明了例1.1.2。

【例 1.1.5】设()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 是整系数多项式。

若c b d -|，则()()c f b f d -|（证）()()()()()c b a c b a c b a c f b f n n n n n n -++-+-=----1111 由c b d -|及k k c b -＝()()12321----++++-k k k k c c b c b b c b ⇒ k k c b d -|（k ＝1, 2, …, n ）∴ ()()c f b f d -|。

应用：若c qd b +=，那么()b f d |⇔()c f d |。

例：设()635++=x x x f ，判断7能否整除()10010f 。

因 10010＝7q ＋4，故只需判断： ()4|7f ＝64435++⋅＝3082？答：不能（四） 素数（1） 定义（素数与合数）设整数p ≠0, ±1。

如果它除了显然约数±1, ±p 外没有其它的约数，那么，p 就称为素数（或质数、不可约数）。

若a ≠0, ±1，且a 不是素数，则a 称为合数。

约定：素数一般指正整数。

（2） 性质（a ） 最小正因数必是素数（b ） n 是正整数，当2≤p ≤n 且p n ，则n 是素数。

（c ） 素数有无穷多。

（证）（c ）：用反证法。

假设只有有限个素数：k q q ,,1 。

构造121+=k q q q a则 2>a 且i q a ≠（i ＝1, 2, …, k ）。

∴ a 必是合数 ⇒存在素数p ，使得 a p |。

由假设知p 等于某个j q⇒j q p =一定整除121=-k q q q a但素数2≥j q ，矛盾。

因此，假设是错误的，即素数必有无穷多个。

性质（b ）的应用：快速判断素数。

扩展：设 ,11,7,5,3,254321=====q q q q q 是全体素数按大小顺序排成的序列，以及121+=k k q q q Q 。

直接计算可得：31=Q ， 72=Q ， 313=Q ， 2114=Q ， ,23115=Q509596⋅=Q ， 27797197⋅⋅=Q ， 279533478⋅=Q ， 7037633179⋅=Q ， 3423157133110⋅⋅=Q ，前五个是素数，后五个是合数，但k Q 都有一个比k q 更大的素因数。

未解决的问题：至今还不知道是否有无穷多个k 使k Q 是素数，也不知道是否有无穷多个k 使k Q 是合数。

（五） 欧几里德除法也叫带余数除法、除法算法初等数论的证明中最重要、最基本、最常用的工具之一。

（1） 欧几里德除法：设a, b 是两个给定的整数，b ≠0。

那么，一定存在唯一的一对整数q 与r ，满足r qb a +=, b r <≤0 约定：b>0。

上式可表为r qb a +=, b r <≤0 （2）（2） 存在性当a b |时，可取b a q =，r ＝0。

当b a 时，考虑集合{} ,2,1,0,±±==k kb T ＝{……，－3b ，－2b ，－b ，0，b ，2b ，3b ，……}将实数分为长度为b 的区间，a 必落在某区间内，即存在整数q ，使得qb ≤a ＜(q ＋1)b令r ＝a －bq ，则有r qb a +=, b r <≤0（3） 唯一性设有11,r q 也满足（2）式，即b r r b q a <≤+=1110,必有 ()()11r r q q b --=-当q ≠1q 时有 ()1q q b -≥b ，()b r r <--1矛盾，故必有1q q =，1r r =。

（4） 推论：a b |的充要条件是r ＝0。

当a ＝qb ＋r 时, 有a b |⇔r b |。

当满足b r <≤0时，就有r b |⇔ r ＝0。

（5） 一般形式设a, b 是两个给定的整数，0≠b ，则对任意整数c ，一定存在唯一的一对整数q 与r ，满足r qb a +=, c b r c +<≤ （3）此外，a b |的充要条件是r b |。

例：a ＝100，b ＝30，c ＝10，则10≤r ＜40，即100＝3*30＋10若c ＝35，则35≤r ＜65，即100＝2*30＋40若c ＝－50，则－50≤r ＜－20，即100＝5*30＋(－50)（六） 不完全商和余数【定义1.1.2】设a ＝bq ＋r （b r <≤0），称q 为a 被b 除所得的不完全商，称r 为a 被b 除所得的余数。

【推论】 b │a 的充要条件是a 被b 除所得的余数r ＝0。

余数的分类：1． 最小非负余数 c ＝0，0≤r ＜b2． 最小正余数 c ＝1，1≤r ≤b3． 最大非正余数 c ＝－b ＋1，－b ＋1≤r ≤04． 最大负余数 c ＝－b ，－b ≤r ＜05． 最小绝对余数 －b/2≤r ＜b/2或－b/2＜r ≤b/2（七） 下整数与上整数【定义1.1.3】 设x 是一个实数，称⎣⎦x 为下整数函数，其值为不大于x 的最大整数。

即x 满足⎣⎦x ≤x ＜⎣⎦x ＋1 上整数函数：⎡⎤x 表示不小于x 的最小整数。

即⎡⎤x －1＜x ≤⎡⎤x⎣⎦x ≤x ≤⎡⎤x 四舍五入函数：函数[]x 是将x 四舍五入的结果。

说明 当a ＝qb ＋r （0≤r <b ）时，有q ＝⎥⎦⎥⎢⎣⎢b a ，r ＝a －b ⎥⎦⎥⎢⎣⎢b a 例：⎣⎦1.3＝⎣⎦5.3＝⎣⎦9.3＝3，⎣⎦1.3-＝⎣⎦5.3-＝⎣⎦9.3-＝－4⎡⎤1.3＝⎡⎤5.3＝⎡⎤9.3＝4，⎡⎤1.3-＝⎡⎤5.3-＝⎡⎤9.3-＝－3[]1.3＝3，[]1.3-＝－3，[3.5]＝4，[－3.5]＝－3，[3.9]＝4，[－3.9]＝－41.2 整数的表示（一） 整数的表示方法【定理1.2.1】 设p 是大于1的正整数，则每个正整数n 可以唯一地表示成n ＝0111a p a p a p a k k k k ++++--其中i a 为整数，0≤i a ＜p （i ＝0, 1, …, k ）且首项系数k a ≠0（即k p ≤n ＜1+k p ）。

【定义1.2.1】 用n ＝()p k k a a a a 011 -表示展开式n ＝0111a p a p a p a k k k k ++++--其中0≤i a ≤p －1（i ＝0,1,…,k ），k a ≠0，并称其为整数n 的p 进制表示。

【推论1】每个正整数都可以表示成不同的2的幂的和。

因为对于二进制而言，系数i a 只能为0或1。

（二） 数制的转换（整数）十进制转换为p 进制：除p 取余p 进制转换为十进制：用展开式计算1.3 最大公因数与欧几里得除法（一） 最大公因数【定义1.3.1】设n a a a ,,,21 是n 个整数（n ≥2）。