_学年高中数学第二章函数2.2.2函数的表示法高效测评北师大版必修1

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最新北师大版高中数学必修一第二单元《函数》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()f x 在区间I 上为“缓增函数”，区间I 为()f x 的“缓增区间”.若函数()224f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则()f x 的“缓增区间”I 为（）A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．[]0,1D ．[]1,22．函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（） A ．30a -≤<B ．32a --≤≤C ．2a ≤-D ．0a <3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（） A ．1y x=B．y =C ．2x y = D ．||y x x =-4．对于每个实数x ，设()f x 取24y x =-+，41y x =+，2y x =+三个函数值中的最小值，则()f x （） A ．无最大值，无最小值 B ．有最大值83，最小值1 C ．有最大值3，无最小值D ．有最大值83，无最小值 5．设0a >且1a ≠，函数221x x y a a =+-在区间[]1,1-上的最大值是14，则实数a 的值为（） A ．13或2 B ．2或3C ．12或2 D ．13或3 6．已知的2()(1)()f x x x x ax b =+++图象关于直线1x =对称，则()f x 的值域为（） A ．[]4,-+∞B ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,47．若函数y =f (x )的定义域为[]1,2，则y =f (12log x )的定义域为（）A ．[]1,4B ．[]4,16C ．[]1,2D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知2()2af x x ax =-+在区间[0，1]上的最大值为g (a )，则g (a )的最小值为（） A ．0B ．12C ．1D ．29．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题：（） ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],m -∞. ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞. ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M . ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞. ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞. A ．4B ．3C ．2D ．110．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：()()1122120x f x x f x x x -<-且()24f =，则不等式()80f x x->的解集为（） A ．(2,)+∞ B ．()0,2C ．(0,4)D ．(,2)-∞11．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x -是奇函数，(1)f x +为偶函数，当11x -≤≤时，()13131x x f x +-=+，则以下各项中最小的是（）A ．()2018fB ．()2019fC ．()2020fD ．()2021f12．定义{},,max a b c 为,,a b c 中的最大值，设()28,,63⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭h x max x x x ，则()h x 的最小值为（） A ．1811B ．3C ．4811D ．4二、填空题13．()f x 为定义在R 上的偶函数，2()()2=-g x f x x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式()1246()f x f x x +-+>--的解集为___________. 14．若函数2(21)1,0()(2),0b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+-≤⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，那么b 的取值范围是_____．15．已知函数()()1f x a =-[]0,2上是减函数，则实数a 的取值范围是_____.16．设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．17．已知函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数，若对任意(0,)x ∈+∞，都有1()2f f x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，则12020f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是______________. 18．若关于x 的不等式2222x x a +-<在(),0-∞上有解，则实数a 的取值范围是______. 19．若函数()log (3)4,1(43)41,1a x x f x a x a x ++≥-⎧=⎨-+-<-⎩且满足对任意的实数m n ≠都有()()0f m f n m n-<-成立，则实数a 的取值范围____．20．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，若()()21f m f m ->，则实数m 的取值范围是__________ 三、解答题21．已知函数()221x f x x =+．（1）求()122f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()133f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求证：()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是定值；（3）求()()11120202320202f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 22．已知二次函数()2f x x bx c =++的图象经过点()1,13，且函数12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）已知2t <，()()213g x f x x x ⎡⎤=--⋅⎣⎦，求函数()g x 在区间[],2t 上的最大值和最小值；23．已知函数()()210f x x x a=-+>. （1）判断()f x 在()0,∞+上的增减性，并用单调性定义证明. （2）若()20f x x +≥在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围. 24．已知函数()()kf x x x R x=+∈，且()()12f f =. （1）求k ；（2）用定义证明()f x 在区间)+∞上单调递增.25．已知函数()bf x ax x=+的是定义在()0,∞+上的函数，且图象经过点()1,1A ，()2,1B -.（1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：函数()f x 在()0,∞+上是减函数；（3）求函数()f x 在[]2,5的最大值和最小值. 26．已知二次函数2()1()=-+∈f x x kx k R ．（1）若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，求实数k 的取值范围；（2）若()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】求得()42f x x x x=+-，利用双勾函数的单调性可求出函数()f x x 的单调递减区间，并求出函数()f x 的单调递增区间，取交集可得出()f x 的“缓增区间”. 【详解】由二次函数的基本性质可知，函数()224f x x x =-+的单调递增区间为[)1,+∞.设()()42f x g x x x x==+-，则函数()g x 在区间(]0,2上为减函数，在区间[)2,+∞上为增函数，下面来证明这一结论.任取1x 、[)22,x ∈+∞且12x x >，即122x x >≥，()()()1212121212444422g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()21121212121244x x x x x x x x x x x x ---=-+=，122x x >≥，则120x x ->，124x x >，所以，()()12g x g x >，所以，函数()g x 在区间[)2,+∞上为增函数，同理可证函数()g x 在区间(]0,2上为减函数. 因此，()f x 的“缓增区间”为[)(][]1,0,21,2I =+∞=.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，求解本题的关键在于理解“缓增区间”的定义，结合二次函数和双勾函数的单调性求对应函数的单调区间.2．B解析：B 【分析】由题得函数在定义域上单增，列出不等式组得解. 【详解】因为对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在定义域R 上单增，01215a a a a <⎧⎪⎪-≥⎨⎪≥---⎪⎩ 解得32a --≤≤ 故选：B 【点睛】分段函数在R 上单增，关键抓住函数在端点处右侧的函数值大于等于左侧的函数值是解题关键.3．D解析：D 【分析】利用奇函数的定义和常见基本初等函数的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】选项A 中，函数1y x =，由幂函数性质知1y x=是奇函数，且其在()(),0,0,-∞+∞两个区间上递减，不能说在定义域内是减函数，故错误；选项B中，函数y =[)0,+∞，不对称，故不具有奇偶性，，且在定义域内是增函数，故错误；选项C 中，指数函数2xy =，22x x -≠，且22x x -≠-，故不是奇函数，故错误；选项D 中，函数22,0,0x x y x x x x ⎧-≥=-=⎨<⎩，记()y f x =，当0x >时，0x -<，故22(),()f x x f x x =--=，故()()f x f x -=-，当0x =时，(0)0f =，故()()f x f x -=-，当0x <时，0x ->，故22(),()f x x f x x =-=-，故()()f x f x -=-，综上，()y f x =是奇函数，又0x ≥时，2()f x x =-是开口向下的抛物线的一部分，是减函数，由奇函数性质知()y f x =在定义域R 上是减函数，故正确. 故选：D. 【点睛】本题解题关键是熟练掌握常见的基本初等函数的性质，易错点是分段函数奇偶性的判断，分段函数必须判断定义域内的每一段均满足()()f x f x -=-（或()()f x f x -=）才能判定其是奇函数（或偶函数）.4．D解析：D 【分析】作出函数()f x 的图象，结合图象可得出结论. 【详解】由已知可得(){}min 24,41,2f x x x x =-+++，作出函数()f x 的图象如下图所示：函数()f x 的图象如上图中的实线部分，联立224y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得2383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由图象可知，函数()f x 有最大值83，无最小值. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数最值的求解，解题的关键就是结合函数()f x 的定义，进而作出函数()f x 的图象，利用图象得出结论.5．D解析：D 【分析】本题首先可以令x t a =，将函数转化为()212y t =+-并判断出函数的单调性，然后分为01a <<、1a >两种情况进行讨论，根据最大值是14进行计算，即可得出结果. 【详解】令x t a =（0a >、1a ≠），则()222112y t t t =+-=+-，因为0a >，所以0x t a =>，函数()212y t =+-是增函数，当01a <<、[]1,1x ∈-时，1,t a a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时2max11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得13a =或15-（舍去）；当1a >、[]1,1x ∈-时，1,t a a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时()2max 1214y a =+-=，解得3a =或5-（舍去），综上所述，实数a 的值为13或3，故选：D. 【点睛】本题考查根据函数的最值求参数，能否通过换元法将函数转化为二次函数是解决本题的关键，考查二次函数单调性的判断和应用，考查分类讨论思想，考查计算能力，是中档题.6．B解析：B 【分析】结合函数对称性与解析式可知1,0-是零点，则2,3也是零点，由对应关系求出解析式，利用换元法和二次函数性质即可求解【详解】因为函数()()()21f x x x x ax b =+++有两个零点1-，0，又因为其图象关于直线1x =对称，所以2，3也是函数()f x 的两个零点，即()()()()123f x x x x x =+⋅--，所以()()()22223f x x x x x =---，令()222111t x x x =-=--≥-，则()()223933124y t t t t t t ⎛⎫=-=-=--- ⎭≥⎪⎝，所以94y ≥-，即()f x 的值域为9,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，换元法的应用，函数值域的求解，解题关键在于：（1）若函数对称轴为x a =，则有()()f a x f a x +=-；（2）换元法求解函数值域必须注意新元取值范围.7．D解析：D 【分析】根据复合含定义域的求法，令121log 2x ≤≤，求函数的定义域.【详解】函数()y f x =的定义域为[]1,2，12log y f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭的定义域，令121log 2x ≤≤，解得：1142x ≤≤ ，即函数的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般复合函数的定义域包含以下几点：已知函数()y f x =的定义域为D ，求()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域，即令()g x D ∈，求x 的取值范围，就是函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域；已知()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为D ，求函数()y f x =的定义域，即求函数()g x ，x D ∈ 的值域.8．B解析：B 【分析】由已知结合对称轴与区间端点的远近可判断二次函数取得最值的位置，从而可求．【详解】解：因为2()2af x x ax =-+的开口向上，对称轴2a x =， ①122a即1a 时，此时函数取得最大值()()112a g a f ==-，②当122a >即1a >时，此时函数取得最大值()()02ag a f ==，故()1,12,12aa g a a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，故当1a =时，()g a 取得最小值12．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数闭区间上最值的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．9．B解析：B 【分析】这是一个对不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念题．对各个选项分别加以判断，在①②中，得出①正确②错误，④⑤中得出⑤正确④错误，而不难发现③是一个真命题，由此可得正确答案. 【详解】对任何x ∈[a ，b]都有()p f x ≤，说明p 小于等于()f x 的最小值，①是正确的; 由于①正确，所以②是一个错误的理解，故不正确;关于x 的方程p =f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 应属于函数f (x ）在[a ，b ]上的值域[m ，M ]内，故③是正确的;关于x 的不等式p ≤f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 小于或等于的最大值，所以④是错误的，而⑤是正确的正确的选项应该为①③⑤ 故选： B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．不等式或方程解集非空，只要考虑有解;而不等式恒成立说明解集是一切实数，往往要考虑函数的最值了．10．B解析：B 【分析】构造新函数()()g x xf x =，得出函数()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，把()80f x x->，转化为()()220f xf x -<，得到()()2g x g >，结合单调性和定义域，即可求解. 【详解】由题意，定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()1122120x f x x f x x x -<-，设()()g x xf x =，可得()()12120g x g x x x -<-，所以函数()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，因为()24f =，则()228f =，不等式()80f x x ->，可化为()80xf x x-<，即()80xf x -<，即()()220f xf x -<，即()()2g x g >，可得20x x <⎧⎨>⎩，解得02x <<，所以不等式()80f x x->的解集为()0,2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，其中解答中根据已知条件，构造新函数，利用新函数的单调性和特殊点的函数值，得出不等式关系式是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.11．D解析：D 【分析】利用已知条件可知(2)()0f x f x --+=、(2)()f x f x -=，进而得到(8)()f x f x +=，即周期为8，应用周期性结合已知区间解析式，即可知()2018f 、()2019f 、()2020f 、()2021f 中最小值.【详解】(1)f x -是奇函数，即(1)f x -关于(0,0)对称，()f x ∴的图象关于点(1,0)-对称，即(2)()0f x f x --+=．又)1(f x +为偶函数，即(1)f x +关于0x =对称，()f x ∴的图象关于直线1x =对称，即(2)()f x f x -=．(2)(2)0f x f x --+-=，(2)(2)0f x f x ∴-++=，即(8)()f x f x +=，函数()y f x =的周期为8， (2018)(2)(0)1f f f ∴===，(2019)(3)(1)0f f f ==-=，(2020)(4)(2)(0)1f f f f ==-=-=-，(2021)(5)(3)(1)2f f f f ==-=-=-，故(2021)f 最小．故选：D 【点睛】本题考查了函数的性质，根据已知奇偶性推导函数的周期，应用函数周期求函数值，进而比较大小，属于基础题.12．C解析：C 【分析】首先根据题意画出()h x 的图象，再根据图象即可得到()h x 的最小值.【详解】分别画出2yx ，83y x =，6y x =-的图象，则函数()h x 的图象为图中实线部分.由图知：函数()h x 的最低点为A ，836y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得1848,1111⎛⎫⎪⎝⎭A .所以()h x 的最小值为4811. 故选：C. 【点睛】本题主要考查根据函数的图象求函数的最值，考查了数形结合的思想，属于中档题.二、填空题13．；【分析】根据题意判断出为偶函数且在上先减再增把转化为进行求解即可【详解】由为偶函数可知也为偶函数且在上先减再增由可知即可知解得故答案为：【点睛】关键点睛利用函数的性质得到的单调性通过化简把问题转化解析：3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；【分析】根据题意，判断出()g x 为偶函数，且在R 上先减再增，把(1)(2)46f x f x x +-+>--转化为(1)(2)g x g x +>+，进行求解即可【详解】由()f x 为偶函数，可知()g x 也为偶函数，且在R 上先减再增，由(1)(2)46f x f x x +-+>--，可知22(1)2(1)(2)2(2)f x x f x x +-+>+-+，即(1)(2)g x g x +>+，可知12x x +>+，解得32x <-. 故答案为：3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛，利用函数的性质，得到()g x 的单调性，通过化简把问题转化为(1)(2)g x g x +>+，进而利用()g x 的单调性求解，属于中档题14．【分析】由已知得出单调增然后由及可得结论【详解】因为对任意都有成立所以为单调递增函数因此故答案为：【点睛】本题考查分段函数的单调性分段函数在定义域内单调需满足分段函数的所有段同单调及相邻段端点处的函解析：[1,2]【分析】由已知1212()()0f x f x x x ->-得出单调增，然后由2210,02b b -->≥及10b -≥可得结论．【详解】因为对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，所以()f x 为单调递增函数，因此21020210b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-≥⎪⎩，12b ∴≤≤．故答案为：[1,2]．. 【点睛】本题考查分段函数的单调性，分段函数在定义域内单调，需满足分段函数的所有段同单调及相邻段端点处的函数值满足相应的大小关系．15．【分析】根据f （x ）定义在02上且4﹣ax≥0即可得出a≤2然后讨论：①1＜a≤2时满足条件；②a=1时不合题意；③0＜a ＜1时不合题意；④a=0时不合题意；⑤a ＜0时满足条件这样即可求出实数a 的取解析：012a a <<≤或【分析】根据f （x ）定义在[0，2]上，且4﹣ax≥0，即可得出a≤2，然后讨论：①1＜a≤2时，满足条件；②a=1时，不合题意；③0＜a ＜1时，不合题意；④a=0时，不合题意；⑤a ＜0时，满足条件，这样即可求出实数a 的取值范围．【详解】∵f （x ）定义在[0，2]上；∴a ＞2时，x=2时，4﹣ax ＜0，不满足4﹣ax≥0；∴a≤2；①1＜a≤2时，a ﹣1＞0；∴()(1f x a =-[0，2]上是减函数； ②a=1时，f （x ）=0，不满足在[0，2]上是减函数； ∴a≠1；③0＜a ＜1时，a ﹣1＜0； ∵[0，2]上是减函数；∴()(1f x a =-[0，2]上是增函数； ∴0＜a ＜1不合题意；④a=0时，f （x ）=﹣2，不满足在[0，2]上是减函数； ∴a≠0；⑤a ＜0时，a ﹣1＜0；[0，2]上是增函数；∴()(1f x a =-[0，2]上是减函数； ∴综上得，实数a 的取值范围为012a a <<≤或．故答案为012a a <<≤或．【点睛】考查函数定义域的概念，函数单调性的定义及判断．16．f(－3)>f(－π)【解析】由得是上的单调递增函数又解析：f (－3)>f (－π)【解析】由()()1212()[]0x x f x f x >－－得()f x 是R 上的单调递增函数，又3(3)()f f ππ>∴>－－，－－．17．2021【分析】由已知条件利用换元法求出f （x ）然后代入计算即可求解【详解】已知函数f （x ）在定义域（0+∞）上是单调函数且对任意x ∈（0+∞）都有ff （x ）﹣＝2可设f （x ）﹣＝c 故f （x ）＝+c解析：2021 【分析】由已知条件，利用换元法求出f （x ），然后代入计算即可求解．【详解】已知函数f （x ）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且对任意x ∈（0，+∞），都有f [f （x ）﹣1x]＝2，可设f （x ）﹣1x ＝c ，故f （x ）＝1x +c ，且f （c ）＝c +1c＝2（c ＞0），解可得c ＝1，f（x ）＝1x+1，则f （12020）＝2021．故答案为：2021 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求函数值，函数解析式的求法，注意函数性质的合理应用，属于中档题．18．【分析】由题意可知关于的不等式在上有解作出函数和函数的图象考虑直线与函数的图象相切以及直线过点数形结合可求得实数的取值范围【详解】关于的不等式在上有解即关于的不等式在上有解作出两函数图象当由与相切时解析：5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由题意可知关于x 的不等式2222x a x -<-在(),0-∞上有解，作出函数2y x a =-和函数222y x =-的图象，考虑直线2y x a =-与函数222y x =-的图象相切，以及直线()2y x a =--过点()0,2，数形结合可求得实数a 的取值范围.【详解】关于x 的不等式2222x x a +-<在(),0-∞上有解，即关于x 的不等式2222x a x -<-在(),0-∞上有解，作出两函数2y x a =-，222y x =-图象，当由2y x a =-与222y x =-相切时，则2222x a x -=-，即22220x x a +--=，()4828200a a ∆=++=+=，解得52a =-.由()2y x a =--过点()0,2得2a =. 由图可知5142a -<<，因此，522a -<<，即实数a 的取值范围为5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用含绝对值的不等式在区间上有解求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.19．【分析】根据对任意实数都有成立得出在R 上单调递减从而得出解出a 的范围即可【详解】函数对任意的实数都有成立得在R 上单调递减∴故答案为：【点睛】关键点点睛：依函数单调性的定义得函数在R 上单调递减利用分段解析：2324a ≤<. 【分析】根据对任意实数m n ≠，都有()()0f m f n m n-<-成立，得出()f x 在R 上单调递减，从而得出()()()4300143141log 134a a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-⋅-+-≥-++⎩，解出a 的范围即可．【详解】函数()f x 对任意的实数m n ≠，都有()()0f m f n m n-<-成立，得()f x 在R 上单调递减，∴()()()4300143141log 134a a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-⋅-+-≥-++⎩34230142a a a a ⎧<⎪⎪⎪⇒<<⇒≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩. 234a ≤<. 【点睛】关键点点睛：依函数单调性的定义得函数在R 上单调递减，利用分段函数的单调性求解.20．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可得到结论【详解】解：是定义在上的偶函数且在上是减函数不等式等价为即所以即即解得即故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的求解根据函数奇偶性和解析：1,13⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【详解】解：()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，∴不等式()()21f m f m ->，等价为()()21f m f m ->，即21m m -<，所以()2221m m -<，即()22210m m --<，即()()3110m m --<，解得113m << 即1,13m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：1,13⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题21．（1）()1212f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()1313f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）证明见解析；（3）2019. 【分析】（1）根据函数解析式，直接计算，即可得出结果；（2）根据函数解析式，计算1f x ⎛⎫⎪⎝⎭，得出()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可；（3）根据（2）的结论，可直接得出结果. 【详解】（1）()221x f x x =+ ()22221124122121255112f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭∴+=+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()222113913313131010113f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）证明：()22222222211111111111x x x x f f x x x x x xx ⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭+=+=+== ⎪++++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴是定值；（3）()()()111232020232020f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()111232020232020f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦111=++⋅⋅⋅+2019=．22．（1）()211f x x x =++；（2）见详解.【分析】（1）根据二次函数过点()1,13，得到12b c +=，根据函数奇偶性，得到()y f x =关于直线12x =-对称，求出b ，得出c ，即可得出函数解析式；（2）先由（1）得到()222,02,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，分别讨论12t ≤<，01t ≤<，10t ≤<，1t <四种情况，结合二次函数的性质，即可求出最值.【详解】（1）因为二次函数()2f x x bx c =++的图象经过点()1,13，所以131b c =++，即12b c +=①；又函数12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数，所以12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭关于y 轴对称，因此()y f x =关于直线12x =-对称；所以122b -=-，即1b =，代入①式可得11c =，所以()211f x x x =++；（2）由（1）()211f x x x =++，所以()()()22222,0111322,0x x x g x x x x x x x x x x ⎧-≥=++--⋅=-⋅=⎨-+<⎩，因为()11g =-，当0x <时，由221x x -+=-解得1x = 因为[],2x t ∈，所以当12t ≤<时，()22g x x x =-在[],2t 上单调递增；所以()()max 20g x g ==，()()2min 2g x g t t t ==-；当01t ≤<时，()22g x x x =-在(),1t 上单调递减，在()1,2上单调递增；所以()()max 20g x g ==，()()min 11g x g ==-；当10t <时，因为0x <时，()22g x x x =-+在[),0t 上单调递增，则(()()()1100g g t g x g -=≤≤<=； []0,2x ∈时，()22g x x x =-在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递增，所以()()()[]1,21,0g x g g ∈=-⎡⎤⎣⎦，所以()()max 20g x g ==，()()min 11g x g ==-；当1t <时，因为0x <时，()22g x x x =-+在[),0t 上单调递增，所以()(()()1100g t g g x g <-=-≤<<；[]0,2x ∈时，()[]221,0g x x x =-∈-，所以()()max 20g x g ==，()()2min 2g x g t t t ==-+；综上，函数()g x 在区间[],2t 上的最大值()()max 20g x g ==，最小值为()2min22,11,112,12t t t g x t t t t ⎧-+<⎪⎪=--≤<⎨⎪-≤<⎪⎩. 【点睛】方法点睛：二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：（1）轴定区间定；（2）轴动区间定；（3）轴定区间动；不论哪种类型，解题时，都是讨论对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论. 23．（1）答案见详解；（2）0a <. 【分析】（1）根据定义法证明函数单调性即可；（2）先分离参数，即转化为212x x a≤+在()0,∞+上恒成立，只需求二次函数值域，即得结果. 【详解】解：（1）任取120x x <<，则12120,0x x x x +>-<，()1f x ()()()222212*********=1x x x x x x x x f a x a ⎛⎫⎛⎫-+--+=-=+-< ⎪ ⎭-⎪⎝⎝⎭故()()12f x f x <，故()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）()20f x x +≥，即2120x x a -++≥，即212x x a≤+在()0,∞+上恒成立，而二次函数()()22211,0y x x x x =+=+->的值域为()0+∞，，故10a≤，故0a <. 所以a 的取值范围为0a <. 【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：（1）分离参数法：参变分离，转化为函数最值问题；（2）构造函数法：直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．（3）数形结合法：画出函数图像，结合图象，根据关键点处的大小关系得到结果. 24．（1）2；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题得122kk +=+，解方程即得解；（2）利用定义法证明函数在区间)+∞上单调递增. 【详解】（1）由()()12f f =得122k k +=+，解得2k =，所以()2f x x x=+ （2）21x x ∀>>()()21212122f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()1221212112222x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭()()1221122x x x x x x -=-，∵21x x >>，∴210x x ->，212x x >， ∴()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，所以函数()f x在区间)+∞上单调递增.【点睛】方法点睛：用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设12,x x D ∈，且12x x <；②作差，求12()()f x f x -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断12()()f x f x -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.25．（1）()()20f x x x x=-+≠；（2）证明见解析；（3）()max 1f x =-，()min 235f x =-. 【分析】（1）将点坐标代入解析式，求出,a b 的值；（2）设任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，判断()()12f x f x >即可；（3）利用函数的单调性，将端点值代入，即可得答案；【详解】（1）由()f x 的图象过A 、B ，则1212a b ba +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩， ()()20f x x x x=-+≠. （2）证明：设任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，∴()()()12122112122222f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2121122112122=2x x x x x x x x x x x x --+-+=由1x ，()20,x ∈+∞，得120x x >，1220x x +>. 由12x x <，得210x x ->. ()()12 0f x f x ∴->，即()()12f x f x >.∴函数()f x 在()0,∞+上为减函数.（3）由（2）知函数为减函数，∴()()max 21f x f ==-，()()min 2355f x f ==-. 【点睛】利用待定系数法求函数的解析式，利用定义证明函数的单调性注意取值的任意性，及作差、因式分解、判断符号的步骤. 26．（1）4k ≤；（2）k 2≤.【分析】（1）解不等式22k ≤即得解；（2）化为1≤+k x x 在(0,)x ∈+∞恒成立，令1()g x x x =+，求出函数()g x 的最小值即可.【详解】（1）若()f x 在(2,)x ∈+∞单调递增，则22k ≤，所以4k ≤；（2）因为()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，所以210-+≥x kx 在(0,)x ∈+∞恒成立，即1≤+k x x在(0,)x ∈+∞恒成立令1()g x x x =+，则1()2=+≥=g x x x ，当且仅当1x =时等号成立所以k 2≤.【点睛】方法点睛：处理参数的问题常用的方法有：（1）分离参数法（先分离参数转化为函数的最值）；（2）分类讨论法（对参数分类讨论求解）.。

北师大版高中数学必修一第二单元《函数》测试题(有答案解析)

一、选择题1．如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()f x 在区间I 上为“缓增函数”，区间I 为()f x 的“缓增区间”.若函数()224f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则()f x 的“缓增区间”I 为（）A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．[]0,1D ．[]1,22．以下说法正确的有（）（1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}3,1AB =；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =；（3）函数1y x=的单调区间是()(),00,-∞⋃+∞；（4）在映射:f A B →的作用下，A 中元素(),x y 与B 中元素()1,3x y --对应，则与B 中元素()0,1对应的A 中元素是()1,2 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知的2()(1)()f x x x x ax b =+++图象关于直线1x =对称，则()f x 的值域为（） A ．[]4,-+∞B ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,44．已知2()2af x x ax =-+在区间[0，1]上的最大值为g (a )，则g (a )的最小值为（） A ．0B ．12C ．1D ．25．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的[)()1212,2,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x ->-，且()2f x +是偶函数，不等式()()121f m f x +≥-对任意的[]1,0x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[]4,6-B ．[]4,3-C ．(][),46,-∞-+∞ D ．(][),43,-∞-⋃+∞6．已知函数224()3f x x x =-+，()2g x kx =+，若对任意的1[1,2]x ∈-，总存在2[1x ∈，使得12()()g x f x >，则实数k 的取值范围是（）．A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．以上都不对7．如果()()211f x mx m x =+-+在区间(]1-∞，上为减函数，则m 的取值范围（）A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．103⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．103⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，8．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x -是奇函数，(1)f x +为偶函数，当11x -≤≤时，()13131x x f x +-=+，则以下各项中最小的是（）A ．()2018fB ．()2019fC ．()2020fD ．()2021f9．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称，且当0x >时()f x 单调递减，若()()()1.360.5log 3,0.5,0.7,a f b f c f -===则,,a b c 的大小关系（）A ．c a b >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>10．函数sin sin 122xxy =+的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．11．函数2log xy x x=的大致图象是（） A ． B ． C ． D ．12．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 二、填空题13．设函数()y f x =的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有3()4f x >-，则m 的取值范围是_____.14．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i N ∈，定义()1,,0,i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集A ，B ，使得任意*i N ∈都满足()0i AB ϕ=且()1A B ⋃=；②任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意*i N ∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋃=+； ③设{}*2,A x x n n N==∈，{}*42,B x x n n N ==-=，对任意*i N∈，都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=其中正确结论的序号为______.15．已知定义在 +R 上的函数 ()f x 同时满足下列三个条件：① ()31f =-；②对任意x y +∈R ，都有 ()()()f xy f x f y =+；③ 1x > 时 ()0f x <，则不等式()()612f x f x <-- 的解集为___________．16．已知函数2123y kx kx =++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__________．17．函数2()23||f x x x =-的单调递减区间是________．18．若()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x = 在区间()0,6内的解的个数的最小值是__________ .19．定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，又(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为______． 20．函数()()122x x f x x N +⎡⎤⎡⎤=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域为_______（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）三、解答题21．已知函数()22f x mx mx n =-+ ()0m >在区间[]1,3上的最大值为5，最小值为1，设()()=f xg x x. （1）求m 、n 的值；（2）证明：函数()g x 在)+∞上是增函数；（3）若函数F ()()22xxx g k =-⋅=0，在[]1,1x ∈-上有解，求实数k 的取值范围.22．已知函数()1f x x x=+. （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）证明：函数()f x 在[)1，+∞上是增函数；（3）求函数()f x 在[]41--，上的最大值与最小值.23．已知22()2x af x x -=+.（1）若0a =，证明：()f x 在递增，若()f x 在区间(12,1)m m --递增，求实数m 的范围；（2）设关于x 的方程1()f x x=的两个非零实根为1x ，2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式2121m tm x x ++≥-对任意[1,1]a ∈-及[1,1]t ∈-恒成立？如果存在求出m 的范围，如果不存在请说明理由.24．已知奇函数()()2?2,1,1xxf x a x -=+∈-．（1）求实数a 的值；（2）判断()f x 在()1,1-上的单调性并进行证明；（3）若函数()f x 满足()()1120,f m f m -+-<求实数m 的取值范围． 25．已知函数()2mf x x x=++（m 为实常数）. （1）当4m =时，试判断函数在[)2,+∞上的单调性，并用定义证明；（2）设0m <，若不等式()f x kx ≤在1[,1]2x ∈有解，求实数k 的取值范围. 26．已知定义在()1,1-上的奇函数2()1ax bf x x +=+，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：()f x 在0,1上是增函数；（3）解不等式()2(120)f t f t -+<.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】求得()42f x x x x=+-，利用双勾函数的单调性可求出函数()f x x 的单调递减区间，并求出函数()f x 的单调递增区间，取交集可得出()f x 的“缓增区间”. 【详解】由二次函数的基本性质可知，函数()224f x x x =-+的单调递增区间为[)1,+∞.设()()42f x g x x x x==+-，则函数()g x 在区间(]0,2上为减函数，在区间[)2,+∞上为增函数，下面来证明这一结论.任取1x 、[)22,x ∈+∞且12x x >，即122x x >≥，()()()1212121212444422g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()21121212121244x x x x x x x x x x x x ---=-+=，122x x >≥，则120x x ->，124x x >，所以，()()12g x g x >，所以，函数()g x 在区间[)2,+∞上为增函数，同理可证函数()g x 在区间(]0,2上为减函数. 因此，()f x 的“缓增区间”为[)(][]1,0,21,2I =+∞=.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，求解本题的关键在于理解“缓增区间”的定义，结合二次函数和双勾函数的单调性求对应函数的单调区间.2．B解析：B 【分析】根据AB 为点集，可判断（1）的正误；根据奇函数的性质，可判断（2）的正误；分解反比例函数的单调性，可判断（3）的正误；根据映射的概念，可判断（4）的正误. 【详解】（1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}(3,1)AB =，所以（1）错误；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，所以（2）正确；（3）函数1y x=的单调区间是(),0-∞和()0,∞+，所以（3）错误；（4）设A 中元素为(,)x y ，由题意可知1031x y -=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以A 中元素是()1,2，所以（4）正确；所以正确命题的个数是2个，故选：B. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关命题的真假判断，在解题的过程中，关键点是要熟练掌握基础知识，此类题目综合性较强，属于中档题目.3．B解析：B 【分析】结合函数对称性与解析式可知1,0-是零点，则2,3也是零点，由对应关系求出解析式，利用换元法和二次函数性质即可求解【详解】因为函数()()()21f x x x x ax b =+++有两个零点1-，0，又因为其图象关于直线1x =对称，所以2，3也是函数()f x 的两个零点，即()()()()123f x x x x x =+⋅--，所以()()()22223f x x x x x =---，令()222111t x x x =-=--≥-，则()()223933124y t t t t t t ⎛⎫=-=-=--- ⎭≥⎪⎝，所以94y ≥-，即()f x 的值域为9,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，换元法的应用，函数值域的求解，解题关键在于：（1）若函数对称轴为x a =，则有()()f a x f a x +=-；（2）换元法求解函数值域必须注意新元取值范围.4．B解析：B 【分析】由已知结合对称轴与区间端点的远近可判断二次函数取得最值的位置，从而可求．【详解】解：因为2()2af x x ax =-+的开口向上，对称轴2a x =， ①122a即1a 时，此时函数取得最大值()()112a g a f ==-，②当122a >即1a >时，此时函数取得最大值()()02ag a f ==，故()1,12,12aa g a a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，故当1a =时，()g a 取得最小值12．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数闭区间上最值的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．5．C解析：C 【分析】根据已知条件可知()f x 在(,2]-∞上单调递减，在[2,)x ∈+∞上单调递增，由不等式在[]1,0x ∈-恒成立，结合()f x 的单调性、对称性即可求m 的取值范围.【详解】对任意的[)()1212,2,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x ->-，知：()f x 在[2,)x ∈+∞上单调递增，()2f x +是偶函数，知：()f x 关于2x =对称，∴()f x 在(,2]-∞上单调递减，在[2,)x ∈+∞上单调递增；∵不等式()()121f m f x +≥-对任意的[]1,0x ∈-恒成立，且3211x -≤-≤-， ∴max (1)(21)(3)f m f x f +≥-=-即可，而根据对称性有(1)(7)f m f +≥， ∴综上知：13m +≤-或17m +≥，解得(][),46,x ∈-∞-+∞，故选：C 【点睛】结论点睛：注意抽象函数单调性、对称性判断对任意的()1212,x x x x ≠：()()21210f x f x x x ->-有()f x 单调递增；()()21210f x f x x x -<-有()f x 单调递减；当()f x n +是偶函数，则()f x 关于x n =对称；思路点睛：对称型函数不等式在一个闭区间上恒成立：在对称轴两边取大于或小于该闭区间最值即可，结合函数区间单调性求解.6．C解析：C 【分析】根据题意得1min 2min ()()g x f x >，再分别求函数的最小值即可得答案. 【详解】解：∵x ∈，∴2[1,3]x ∈， ∴224()3[1,2]f x x x =-∈+．当0k >时，()[2,22]g x k k ∈-++，所以只需满足：12k <-+，解得01k <<；当0k =时，()2g x =．满足题意．当0k <时，()[22,2]g x k k ∈-++，所以只需满足：122k <+，解得102k >>-． ∴1,12k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．故选：C ．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．7．B解析：B 【分析】当m =0时，()f x =1x -，符合题意.当0m ≠时，由题意可得0112m m m>⎧⎪-⎨≥⎪⎩，求得m 的范围.综合可得m 的取值范围.【详解】当0m =时，()1f x x =-+，满足在区间(]1-∞，上为减函数；当0m ≠时，由于()()211f x mx m x =+-+的对称轴为12mx m-=，且函数在区间(]1-∞，上为减函数，则0112m m m>⎧⎪-⎨≥⎪⎩，解得103m <≤.综上可得，103m ≤≤. 故选：B 【点睛】要研究二次型函数单调区间有关问题，首先要注意二次项系数是否为零.当二次项系数不为零时，利用二次函数的对称轴来研究单调区间.8．D解析：D 【分析】利用已知条件可知(2)()0f x f x --+=、(2)()f x f x -=，进而得到(8)()f x f x +=，即周期为8，应用周期性结合已知区间解析式，即可知()2018f 、()2019f 、()2020f 、()2021f 中最小值.【详解】(1)f x -是奇函数，即(1)f x -关于(0,0)对称，()f x ∴的图象关于点(1,0)-对称，即(2)()0f x f x --+=．又)1(f x +为偶函数，即(1)f x +关于0x =对称，()f x ∴的图象关于直线1x =对称，即(2)()f x f x -=．(2)(2)0f x f x --+-=，(2)(2)0f x f x ∴-++=，即(8)()f x f x +=，函数()y f x =的周期为8， (2018)(2)(0)1f f f ∴===，(2019)(3)(1)0f f f ==-=，(2020)(4)(2)(0)1f f f f ==-=-=-，(2021)(5)(3)(1)2f f f f ==-=-=-，故(2021)f 最小．故选：D 【点睛】本题考查了函数的性质，根据已知奇偶性推导函数的周期，应用函数周期求函数值，进而比较大小，属于基础题.9．A解析：A 【分析】函数()f x 是偶函数，判断出自变量的大小，利用函数的单调性比较大小得出答案．【详解】函数()f x 的图像关于y 轴对称， ∴函数()f x 为偶函数， ∵0.50.5log 3log 10<=，∴()()120.52log 3log 3log 3f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴2221log 2log 3log 42=<<=， 1.3 1.30.522-=>，600.71<<． ∵当0x >时，()f x 单调递减，∴c a b >>，故选：A 【点睛】本题考查函数性质的综合应用，考查函数的单调性和奇偶性，考查指数和对数的单调性，属于中档题．10．D解析：D 【解析】因为()sin()sin sin()sin 11()2222x x x xf x y f x ---=+==+=，所以函数sin sin 122xxy =+是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；又sin2sin2115()222222f πππ=+=+=，排除C ，综上，函数sin sin 122xxy =+大致的图象应为D 项，故选D.11．D解析：D 【解析】()222log ,0log log ,0x x x y x x x x >⎧==⎨--<⎩，所以当0x >时，函数22log log x y x x x ==为增函数，当0x <时，函数()22log log xy x x x==--也为增函数，故选D. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.12．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ．由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x1=，x 22433aa-+-=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值， ∴必然有f ′（x 1）＝0，∴12433aa---＜＜2，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜．综上可得：53-＜a 34-＜．故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；二、填空题13．【分析】由得得分段求解析式结合图象可得m 的取值范围【详解】时时；时；时；当时由解得或若对任意都有则故答案为：【点睛】本题考查分段函数的解析式和最值特征考查函数的图象以及一元二次不等式的解法解题的关键解析：9(,)4-∞【分析】由(1)2()f x f x +=，得()2(1)f x f x =-，得分段求解析式，结合图象可得m 的取值范围．【详解】(1)2()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-，(0,1]x ∈时，1()(1)[,0]4f x x x =-∈-，(1,2]x ∴∈时，1(0,1],()2x f x -∈=1(1)2(1)(2),02f x x x ⎡⎤-=--∈-⎢⎥⎣⎦；(2,3]x ∴∈时，1(1,2],()2(1)4(2)(3)[1,0]x f x f x x x -∈=-=--∈-； (3,4]x ∴∈时，1(2,3],()2(1)8(3)(4)[2,0]x f x f x x x -∈=-=--∈-；当(2,3]x ∈时，由34(2)(3)4x x --=-，解得114x =或94x =，若对任意(,]x m ∈-∞，都有3()4f x >-，则94m <．故答案为：9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查分段函数的解析式和最值特征，考查函数的图象，以及一元二次不等式的解法，解题的关键点是可借助函数图象直观性找到解题思路.14．①③【分析】根据题目中给的新定义对于或可逐一对命题进行判断举实例证明存在性命题是真命题举反例可证明全称命题是假命题【详解】∵对于定义∴对于①例如集合是正奇数集合是正偶数集合①正确；对于②例如：当时；解析：①③ 【分析】根据题目中给的新定义，对于()*,0i i N A ϕ∈=或1，可逐一对命题进行判断，举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩， ∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*AB A B N ∴=∅=，()()01i i A B A B ϕϕ∴==;，①正确；对于②，例如：{}{}{}1232341234A B AB ===,,,,,,,,,，当2i =时，()1i A B ϕ⋃=；()()1,1i i A B ϕϕ==；()()()i i i A B A B ϕϕϕ∴≠+； ②错误；对于③， {}*2,A x x n n N ==∈，{}*42,B x x n n N ==-=，明显地，,A B 均为偶数集，A B ∴≠∅，()1i AB ϕ=，若i 为偶数，则()i A B ∈，则i A ∈且i B ∈；()()1i i A B ϕϕ∴⋅=，则有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=；若i 为奇数，此时，()0i A B ϕ=，则i A ∉且i B ∉，()()0,0i i A B ϕϕ==，()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=∴也成立；③正确∴所有正确结论的序号是：①③；故答案为：①③关键点睛：解题关键在于对题目中新定义的理解和应用，结合特殊值法和反证法进行证明，难度属于中档题.15．【分析】用赋值法由已知得到把转化为即再用定义法证明在上为减函数利用单调性可得答案【详解】因为对任意有令得所以令则所以可等价转化为即设当时则所以所以在上为减函数故由得得又所以原不等式的解集为故答案为：解析：()13，【分析】用赋值法由已知得到()()()9332f f f =+=-，把()()612f x f x <--转化为()()61(9)f x f x f <-+，即()()699f x f x <-，再用定义法证明()f x 在(0,)+∞上为减函数，利用单调性可得答案. 【详解】因为对任意12,(0,)x x ∈+∞，有()()()f xy f x f y =+，令x y ==fff =+，得()231f f ==-，所以12f =-，令3x y ==，则()()()9332f f f =+=-，所以()()612f x f x <--可等价转化为()()61(9)f x f x f <-+，即()()699f x f x <-，设120x x <<，12,(0,)x x ∈+∞，当1x > 时 ()0f x <，则()()()22211111·x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫==+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()12()f x f x >，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，故由()()699f x f x <-，得699x x >-，得3x <，又1x >，所以原不等式的解集为(1,3). 故答案为：（1,3）【点睛】思路点睛：确定抽象函数单调性解函数不等式的基本思路：第一步(定性)确定函数在给定区间上的单调性和奇偶性；第二步(转化)将函数不等式转化为不等式类似()()f M f N <等形式；第三步(去)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号f “”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步(求解)解不等式或不等式组确定解集.16．【解析】解：当k=0时满足条件当时综上：点睛：定义域为分母在上都不为0注意分母不一定为二次所以先考虑二次项系数为零解析：0k ≤<3.解：当k=0时，13 y=，满足条件当k0≠时，24120k k-<综上：0k3≤<．点睛：定义域为R，分母在R上都不为0，注意分母不一定为二次，所以先考虑二次项系数为零．17．【分析】讨论的符号去绝对值得到的分段函数形式根据其函数图象及对称轴即可确定单调递减区间【详解】函数图像如下图示可知的单调递减区间为故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调区间利用函数的图象及其对称性确解析：33(,],[0,]44-∞-【分析】讨论x的符号去绝对值，得到()f x的分段函数形式，根据其函数图象及对称轴，即可确定单调递减区间【详解】函数22223,0()23||23,0x x xf x x xx x x⎧-≥⎪=-=⎨+<⎪⎩图像如下图示可知，()f x的单调递减区间为33(,],[0,]44-∞-故答案为：33(,],[0,]44-∞-【点睛】本题考查了函数的单调区间，利用函数的图象及其对称性确定单调区间，属于简单题18．7【解析】由函数的周期为3可得因为若则可得出又根据为奇函数则又可得出又函数是定义在R 上的奇函数可得出从而在中令得出又根据是定义在R 上的奇函数得出从而得到即故从而共7个解解析：7 【解析】由函数的周期为3可得(3)()f x f x +=,因为(2)0f =, 若(0,6)x ∈,则可得出(5)=(2)0f f =, 又根据()f x 为奇函数,则(-2)=-(2)0f f =, 又可得出(4)=(1)(-2)=0f f f =,又函数()f x 是定义在R 上的奇函数,可得出(0)0f =, 从而(3)=(0)0f f =,在(3)()f x f x +=中, 令32x =-,得出33()()22f f -=,又根据()f x 是定义在R 上的奇函数,得出33()-()22f f -=, 从而得到33()-()22f f =,即3()02f =, 故933()(+3)()=0222f f f ==,从而93()()=(4)(1)(3)(5)(2)022f f f f f f f ======,共7个解.19．【分析】由条件确定原点两侧函数的单调性和零点由函数的草图确定不等式的解集【详解】在R 上是奇函数且在上是增函数∴在上也是增函数由得由得作出的草图如图所示：则或由图象得所以或所以的解集为故答案为：【点睛解析：(3,0)(0,3)-⋃【分析】由条件确定原点两侧函数的单调性和零点，由函数()f x 的草图确定不等式的解集. 【详解】()f x 在R 上是奇函数，且()f x 在(0,)+∞上是增函数，∴()f x 在(,0)-∞上也是增函数，由(3)0f -=，得(3)0f =，由(0)(0)f f =--，得(0)0f =，作出()f x 的草图，如图所示：()0xf x <，则0()0x f x >⎧⎨<⎩ 或0()0x f x <⎧⎨>⎩，由图象得，所以03x <<或30x -<<，所以()0xf x <的解集为(3,0)(0,3)-⋃．故答案为：(3,0)(0,3)-⋃．【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．属于中档题．20．【分析】由题设中的定义可对分区间讨论设表示整数综合此四类即可得到函数的值域【详解】解：设表示整数①当时此时恒有②当时此时恒有③当时此时恒有④当时此时此时恒有综上可知故答案为：【点睛】此题是新定义一个解析：{}0,1【分析】由题设中的定义，可对x 分区间讨论，设m 表示整数，综合此四类即可得到函数的值域【详解】解：设m 表示整数．①当2x m =时，1[0.5]2x m m +⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦，[]2x m m ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦． ∴此时恒有0y =．②当21x m =+时，1[1]12x m m +⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦，[0.5]2x m m ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦． ∴此时恒有1y =．③当221m x m <<+时， 21122m x m +<+<+ 0.52xm m ∴<<+ 10.512x m m ++<<+ 2x m ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦，12x m +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∴此时恒有0y =④当2122m x m +<<+时， 22123m x m +<+<+ 0.512xm m ∴+<<+ 11 1.52x m m ++<<+ ∴此时2x m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，112x m +⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦ ∴此时恒有1y =．综上可知，{}0,1y ∈．故答案为：{}0,1．【点睛】此题是新定义一个函数，根据所给的规则求函数的值域，求解的关键是理解所给的定义，一般从函数的解析式入手，要找出准确的切入点，理解[]x 表示数x 的整数部分，考察了分析理解，判断推理的能力及分类讨论的思想三、解答题21．（1）12m n =⎧⎨=⎩；（2）证明见解析；（3）1[5]2，. 【分析】（1）二次函数()f x 的对称轴为1x =，得到()f x 为[]13，上的增函数，从而得()()11335f n m f m n ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩ 得解（2）()()22f x g x x x x==+-，设任意的12)x x ∈+∞，且12x x <，用单调性的定义证明即可.（3）分离变量得2112()2()122x x k -=+，令 1()2x t =，换元得2112()22k t =-+ 利用函数在1[2]2，上单调递增，求得函数最大小值得解【详解】（1）因为0m >，二次函数()f x 的对称轴为1x =，所()f x 为[]13，上的增函数，从而得()()11335f n m f m n ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩，所以()222f x x x =-+（2）()()22f x g x x x x==+-，设任意的12)x x ∈+∞，且12x x <，则()()22121122(2)(2)g x g x x x x x -=+--+- ()21x x =-+2122()x x -=()21122(1)x x x x --=()()2112122x x x x x x --12211202x x x x x x ≤∴-<>>，，所以()()1221200x x g x g x ->->，， ()()12g x g x ∴> 所以g ()2x x x=+—2为)+∞上的增函数. （3）因为函数(20)()2x xF x g k =-⋅=，在[]11x ∈-，上能成立即222202xx xk +--⋅= 在[]11x ∈-，有解整理得2112()2()122x xk -=+ 令 1()2xt =，因为[]111[2]2x t ∈-∴∈，，， 221122(2221)k t t t =--++=在1[2]2，上单调递增，12t ∴=，时min 12k =，2,t =时max 5k =，所以k 的取值范围为1[5]2，【点睛】利用函数的单调性求解函数最值的步骤： (1)判断或证明函数的单调性； (2)计算端点处的函数值； (3)确定最大值和最小值．22．（1）奇函数；（2）证明见解析；（3）172,4-- 【分析】（1）直接利用函数的奇偶性定义判断即可；（2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论；（3）利用（2）的结论，得到函数在区间上的单调性，进一步求得最值．【详解】函数1()f x x x=+的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞ （1）因为对任意的0x ≠，都有11()()()()()f x x x f x x x-=+-=-+=--，故函数()f x 为奇函数．（2）对区间[)1，+∞上的任意两个数1x 、2x ，且12x x <，则121212121212111()()()()()x x f x f x x x x x x x x x --=+-+=-．由于1x 、[)21x ∈+∞，且12x x <，则121x x >，1210x x ->，120x x -<．从而12())0(f x f x -<即12()()f x f x <，因此函数()f x 在区间[)1，+∞上为增函数．（3）由（2）知，函数()f x 在区间[)1，+∞上为增函数，由（1）知，函数()f x 是奇函数，所以函数()f x 在区间(],1-∞-上为增函数，则函数()f x 在区间[]41--，上为增函数，故()min f x =()1744f -=-，()()12max f x f =-=-．【点睛】方法点睛：判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为奇函数)；（2）和差法， ()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） . 23．（1）证明见解析；23m <≤2）存在；2m ≥或2m ≤-. 【分析】（1）运用单调性的定义，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤，可得f （x）在递增，由奇函数的性质推得f （x）在(递增，可得m 的不等式组，解得m 的范围；（2）运用韦达定理和配方，可得|x 1﹣x 2|的最大值，再由m 2+tm ﹣2≥0对任意t ∈[﹣1，1]恒成立，设g （t ）＝m 2+tm ﹣2＝tm +m 2﹣2，由一次函数的单调性可得m 的不等式组，解不等式可得所求范围．【详解】（1）当0a =时，任取12,x x ∈，12x x <，则()()()()()()()()()()2212212112121222222212212122222222222222x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+--⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，12x x <∈()()211220x x x x ∴--<，()()120f x f x ∴-<，即()f x在递增；∵()f x 为R 上的奇函数，∴()f x在(递增，又∵()f x 在区间(12,1)m m --递增，则121121m m m m ⎧≤-⎪⎪-≤⎨⎪-<-⎪⎩，解得2132m +<≤（2）由2212x a x x-=+，得220x ax --=，此时280a ∆=+>恒成立，由于1x ，2x 是方程220x ax --=的两实根，所以12122x x a x x +=⎧⎨=-⎩，从而12x x -==11a -≤≤，123x x ∴-=，不等式2121m tm x x ++≥-对任意[1,1]a ∈-及[1,1]t ∈-恒成立，当且仅当213m tm ++≥对任意[1,1]t ∈-恒成立，即220m tm +-≥对任意[1,1]t ∈-恒成立，设22()22g t m tm tm m =+-=+-，则()0g t ≥对任意[1,1]t ∈-恒成立，(1)0(1)0g g ≥⎧∴⎨-≥⎩，即222020m m m m ⎧+-≥⎨-+-≥⎩，解得2m ≥或2m ≤-. 【点睛】方法点睛：证明函数的单调性.定义法：在定义域内任意取值、作差和变形、定符号和下结论；导数法：给函数求导，在定义域内判断导数的正负，若导数为正，则函数递增，若导数为负，则函数递减.24．（1）1-；（2）增函数，证明见解析；（3）2,13⎛⎫⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据奇函数()00f =得1a =-，再检验即可得答案；（2）根据单调性的定义证明即可；（3）由奇函数性质得()()121f m f m -<-，再结合函数单调性即可得答案. 【详解】解：()1函数()f x 是定义在()11-，上的奇函数，()0010f a ∴=+=，，1a ∴=-，此时().22x x f x -=- 任取()()()()112222x x x x x f x f x --∈--=-=--=-，，，所以()f x 是奇函数．故1a =-. ()()2f x 在()11-，上是增函数；证明：由()1可知()122x xf x =-，，任取1211x x -<<<，则 ()()121212112222x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()1212112222x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ ()()12121212122212222122x x x x x x x x x x ++-⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为121211,20x x x x +-<<><所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x < ，所以()f x 在()11-，上单调递增．()()3f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-．由已知()f x 在()11-，上是奇函数，()()1120f m f m ∴-+-<，可化为()()()11221f m f m f m -<--=-，又由()2知()f x 在()11-，上单调递增，11211m m ∴-<-<-<．解得213m <<．故实数m 的取值范围是213⎛⎫ ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查根据奇函数性质求参数，函数单调性的证明，奇偶性与单调性解不等式，考查回归转化思想，与运算求解能力，是中档题.本题第三问解题的关键在于根据奇偶性将不等式转化为()()121f m f m -<-，进而根据单调性得11211m m -<-<-<求解.25．（1）增函数；证明见解析；（2）当23m ≤-时，[)45,k m ∈++∞;当203-<<m 时， [)3,k m ∈++∞ 【分析】（1）用函数单调性的定义进行证明得解；（2）参变分离得到221m k x x ++≤，再换元转化为二次函数求最值得解. 【详解】（1）()f x 为[)2,+∞上的增函数证明如下：任取[)12,2,x x ∈+∞，且12x x < 则()121212121212444()()x x f x f x x x x x x x x x --=-+-=- 21120,4x x x x ->>所以12()()f x f x <；所以()f x 为[)2,+∞上的增函数（2）由()f x kx ≤，得2m x kx x++≤ 212[,1],12m x k x x ∈∴++≤ 令1t x =，[]2211()21()1,(1,2)g t mt t m t t m m=++=++-∈ 则1[,1]2x ∈有解，当且仅当[]min ()(1,2)k g t t ≥∈0m <当132m ->即203-<<m 时，min ()(1)3g t g m ==+ 当1302m <-≤即23m ≤-时，min ()(2)45g t g m ==+ 综上，当23m ≤-时，[)45,k m ∈++∞. 当203-<<m 时， [)3,k m ∈++∞ 【点睛】函数不等式恒成立问题通常转化为函数最值问题，注意对参数进行讨论.26．（1）2()1x f x x =+；（2）证明见解析；（3）102t <<. 【分析】（1）由题意可得(0)0f =，可求出b 的值，再由1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求出a 的值，从而可求出函数()f x 的解析式；（2）利用增函数的定义证明即可；（3）由于函数是奇函数，所以()2(120)f t f t -+<可化为()2()12f t t f <-，再利用单调性可求解不等式【详解】（1）解：因为()f x 是()1,1-上的奇函数，所以(0)0f =，即01b =，得0b =，因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1221514a =+，解得1a =，所以2()1x f x x =+ （2）证明：1x ∀，2(0,1)x ∈，且12x x <，则()()()()()()122112122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1201x x ，所以2212211210,0,(1)(1)0x x x x x x -<->++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <所以()f x 在(0,1)上是增函数.（3）解：因为()f x 在(0,1)上是增函数，且()f x 是()1,1-上的奇函数，所以()f x 是(1,1)-上的奇函数且是增函数，所以()2(120)f t f t -+<可化为()2()12f t t f <-，所以2211112121t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪<-⎩，解得102t <<. 【点睛】关键点点睛：此题函数的奇偶性和单调性的应用，第（3）问解题的关键是利用奇函数的性质将不等式()2(120)f t f t -+<转化为()2()12f t t f <-，进而利用单调性解不等式，考查转化思想和计算能力，属于中档题。

2019-2020学年高中数学北师大版必修1练习：2.2.2 函数的表示法

答案:4 或-4
7.对于定义域为 R 的函数 y=f(x),部分 x 与 y 的对应关系如下表:
x -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 0 2 3 2 0 -1 0 2
则 f(f(f(0)))= . 解析:由列表表示的函数可得 f(0)=3,
则 f(f(0))=f(3)=-1,f(f(f(0)))=f(-1)=2.
( )1
(2)由于 2f(x)+f �� =x,
( ) 1
1
1
因此以��代替 x 得 2f �� +f(x)=��,
( ) 2��(��) + ��
1 ��
= ��,
{2�� 1
( ) 于是可得 ��
+
��(��)
4 - ��2
答案:f(x)=- �� ,x∈[-2,0)∪(0,2]
6.直角梯形 ABCD,如图①,动点 P 从点 B 出发,沿 B→C→D→A 运动,设点 P 运动的路程为 x,△ABP 的
面积为 f(x).若函数 y=f(x)的图像如图②所示,则△ABC 的面积为 .
解析:结合①②可知梯形 ABCD 中,BC=4,AD=5,DC=5. 根据梯形为直角梯形可得 AB=3+5=8.
(3)设集合 A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2]∪[0,4]∪[6,+∞),试判断集合 A 和 B 之间的关系,并给出证明:.
{��2 - 4�� - 5,�� < - 1或�� > 5,
解:(1)f(x)=|x2-4x-5|= - ��2 + 4�� + 5, - 1 ≤ �� ≤ 5.

2020-2021学年北师大版(2019)高中数学必修一：2.2.2 函数的表示法学案

第二章函数第2.2节函数的表示方法导学案（1）了解函数的表示方法（2）掌握函数解析的5种求法（3）会根据函数解析式，画函数图像（1）函数的三种表示方法：________________(2)函数表示的三种方法对比：函数表示方法优点缺点____法____法____法1．为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《村委会组织法》，某乡镇准备在各村推选村民代表．规定各村每15户推选1人，当全村户数除以15所得的余数大于10时再增加1人．那么，各村可推选的人数y与该村户数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y＝[] B．y＝[] C．y＝[] D．y＝[]2．若f（x）满足关系式f（x）+2f（）＝3x，则f（2）的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣D．3．已知函数f（x）＝x|x﹣m|（x∈R），且f（1）＝0．（1）求m的值，并用分段函数的形式来表示f（x）；（2）在如图给定的直角坐标系内作出函数f（x）的草图（不用列表描点）；1．AQI即空气质量指数，AQI越小，表明空气质量越好，当AQI不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某市3月1日到12日AQI的统计数据．则下列叙述正确的是（）A．这12天的AQI的中位数是90 B．12天中超过7天空气质量为“优良”C．从3月4日到9日，空气质量越来越好D．这12天的AQI的平均值为1002．可作为函数y＝f（x）的图象的是（）A．B．C．D．3．已知函数f（x）＝，若f（x）＝5，则x的值是（）A．﹣2 B．2或﹣C．2或﹣2 D．2或﹣2或﹣4．若，则f[f（﹣2）]＝（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知函数f（+2）＝x+4+5，则f（x）的解析式为（）A．f（x）＝x2+1 B．f（x）＝x2+1（x≥2）C．f（x）＝x2D．f（x）＝x2（x≥2）6．已知f（x）是一次函数，且f（x﹣1）＝3x﹣5，则f（x）的解析式为（）A．f（x）＝3x+2 B．f（x）＝3x﹣2 C．f（x）＝2x+3 D．f（x）＝2x﹣3 7．已知函数f（2x﹣1）＝4x+3，且f（t）＝6，则t＝（）A．B．C．D．8．若函数f（x）满足f（3x+2）＝9x+8，则f（x）是（）A．f（x）＝9x+8B．f（x）＝3x+2C．f（x）＝﹣3x﹣4D．f（x）＝3x+2或f（x）＝﹣3x﹣49．已知函数f（x）满足，则f（x）的解析式为10．已知对于任意实数x，函数f（x）都满足f（x）+2f（2﹣x）＝x，则f（x）的解析式为．【答案】：实践研究：1.解：根据规定15推选一名代表，当各班人数除以15的余数大于10时再增加一名代表，即余数分别为11，12，13，14时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加4．因此利用取整函数可表示为y＝[]．故选：B．2.解：∵f（x）满足关系式f（x）+2f（）＝3x，∴，①﹣②×2得﹣3f（2）＝3，∴f（2）＝﹣1，故选：B．3解：（1）∵f（1）＝0，∴|m﹣1|＝0，即m＝1；∴f（x）＝x|x﹣1|＝．（2）函数图象如图：课后巩固：1. C 2. D 3. A 4. C 5. B 6. B7. 1 8. B 9. f（x）＝﹣x﹣+1．10。

北师大版数学必修一第二章 2.2 函数的表示法

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(3)消元法：将函数中的自变量 x 适当地置换为别的自变量，得到一个新的函数方程，从两个函数方程组成的方程组中通过消元，得到所求函数解析式． (4)特殊值法：所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数解析式．至于取什么特殊值，须根据题目特征而定．
答案：－ 6或 4
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探究一求函数的解析式 [典例 1] 根据下列条件，求函数的解析式． (1)已知 f(x)为一次函数，且 f[f(x)]＝9x＋4，求 f(x)． (2)已知 f(x)为二次函数，且 f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3，求 f(x)． (3)已知 f(2x－1)＝4x2－2x，求 f(x)． 1 (4)已知 f(x)－2f( )＝3x＋2，求 f(x)． x
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[双基自测] 1．如图中，可表示函数图像的是( )
A．只有① C．①③④
B．②③④ D．②
解析：②中一个自变量对应两个函数值．
答案：C
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x－1， x>0 2．已知 f(x)＝0， x＝0， x＋1， x<0， 1 A. 2 3 C. 2
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4．设函数
2 x ＋2， x≤2， f(x)＝ 2x， x>2，
若 f(x0)＝8，则 x0＝________.
解析：若 x0≤2，则 f(x0)＝x2 0＋2＝8，得 x0＝± 6. ∵x0≤2，∴x0＝－ 6. 若 x0>2，则 f(x0)＝2x0＝8，∴x0＝4. 综上可知 x0＝－ 6或 x0＝4.

高中数学第二章函数的表示法讲解与例题北师大版必

2.2 函数的表示法A ．(1)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(3)D ．(3)(4)解析：在图像(2)中，对于定义域中的某些x 存在两个y 值和它对应，故(2)不是函数图像．答案：B解技巧如何检验一个图像是否是一个函数的图像？方法1：看对于定义域中的任何一个自变量x ，是否对应唯一的函数值y ，若是，则此图像是一个函数的图像；若不是，则此图像不是一个函数的图像．方法2：在定义域表示的范围内，作垂直于x 轴的直线，若此时直线与图像有唯一交点，则此图像即为定义域内函数的图像，若有两个或两个以上的交点，则这个图像必定不是函数的图像．【例1－2】下列表格中的x 与y 能构成函数的是( )． A ．B ．C ．D ．y1 0 － 1解析：选项A ，当x ＝0时，y ＝±1；选项B ，当x 是偶数时，y ＝±1；选项C ，任意一个x ，都有唯一的y 与之对应，故C 项正确；选项D ，当x ＝1时，y ＝1或0或－1.答案：C解技巧如何判断两个变量是否构成函数判断一个表格中的两个变量能否构成函数关系的方法：一看表格中两个变量组成的集合是否都是数集，二看对于其中一个变量的每一个取值是否都有唯一的另一个变量值和它对应．【例1－3】已知函数f (x )＝ax 3＋bx －2，且f (－2)＝10，则f (2)＝( )． A ．－14 B ．－12 C ．－10 D ．10 解析：当一个函数的解析式确定时，通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值．此题中函数f (x )含有两个参数a ，b ，由条件f (－2)＝10可得－8a －2b －2＝10，即8a ＋2b ＝－12，而f (2)＝8a ＋2b －2，所以利用整体代入思想就可求出f (2)＝－12－2＝－14.答案：A 2．分段函数(1)分段函数的概念有些函数在其定义域内，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数．谈重点分段函数的理解1．分段函数在其解析式形式上尽管会有多于一个的表达式，但它仍然表示一个函数，不能理解成几个函数的合并，它的连续与间断完全由对应关系来确定．2．分段函数的标准形式是()[]()(]()(]123,,,,,,(),,,f x x a b f x x b c f x f x x c d ⎧∈⎪∈⎪=⎨∈⎪⎪⎩……写分段函数时，注意其定义域的端点应不重不漏.3．分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集，这一点与函数y ＝x －1＋1＋x 的定义域的求法不相同，如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，0<x <1，x ，x ≥1的定义域为{x |0＜x ＜1}∪{x |x ≥1}＝{x |x ＞0}．分段函数的值域也是各段上的函数值组成的集合的并集．4．分段函数的图像由几部分构成，有的可以是光滑的曲线，有的也可以是一些孤立的点、线段、射线、直线等．5．求分段函数的某些函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式，一定要坚持定义域优先的原则．(2)分段函数图像的画法画分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ，x ∈D 1，f 2x ，x ∈D 2，……(D 1，D 2，…是非空集合且两两交集都是空集)的图像的步骤是：①画函数y ＝f 1(x )的图像，再取其在集合D 1上的图像，其他部分删去不要； ②画函数y ＝f 2(x )的图像，再取其在集合D 2上的图像，其他部分删去不要； ③依次画下去；④将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图像．例如：画函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ≤0，－x ，x >0的图像的步骤是：第一，画二次函数y ＝(x ＋1)2的图像，再取其在区间(－∞，0]上的图像，其他部分删去不要；第二，画一次函数y ＝－x 的图像，再取其在区间(0，＋∞)上的图像，其他部分删去不要；第三，这两部分合起来就是所要画的分段函数的图像(如图所示)．画分段函数的图像时，要注意每一段上端点的取舍，属于这一段的端点用实心点表示，不属于这一段的端点用空心点表示．本题中，当x ＝0时，(x ＋1)2≠－x ，故左边一段函数图像的右端点为实心点，右边一段函数图像的左端点为空心点．【例2－1】已知函数22,1,(),12,2, 2.x x f x x x x x +≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩(1)求f {f [f (3)]}的值； (2)若f (a )＝3，求a 的值； (3)画出函数的图像．分析：本题给出的是一个分段函数，函数值的取得直接依赖于自变量x 属于哪一个区间，所以，求分段函数的函数值时，首先应确定自变量所在的取值范围，然后按相应的对应关系求值．要求f {f [f (3)]}的值，需要确定f [f (3)]的取值范围，为此又需确定f (3)的取值范围，可根据由内到外的顺序，依次求出各函数值f (3)，f [f (3)]，f {f [f (3)]}．若f (a )＝3，因为在各段上，函数值都有可能为3，所以应分三种情况进行讨论．解：(1)∵－1＜3＜2，∴f (3)＝(3)2＝3.又∵3≥2，∴f [f (3)]＝f (3)＝2×3＝6.又∵6≥2，∴f {f [f (3)]}＝f (6)＝2×6＝12.(2)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2.若f (a )＝3，则a ＋2＝3， ∴a ＝1.当－1＜a ＜2时，f (a )＝a 2.若f (a )＝3，则a 2＝3， ∴3a =3a =舍去)．当a ≥2时，f (a )＝2a .若f (a )＝3，则2a ＝3，∴32a =(舍去)．综上可知，3a =(3)函数f (x )的图像如图所示．警误区对于分段函数来说，给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围利用相应的解析式直接求值；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解，但应注意要检验该值是否在相应自变量的取值范围内．【例2－2】目前，某市B 档出租车的计价标准是：路程2km 以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km 后的路程按1.9元/km 收取，但超过10 km 后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85元/km)．(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑)(1)将乘客搭乘一次B 档出租车的费用f (x )(元)表示为行程x (0＜x ≤60，单位：km)的分段函数；(2)某乘客行程为16 km ，他准备先乘一辆B 档出租车行驶8 km ，然后再换乘另一辆B 档出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆B 档出租车完成全部行程更省钱？解：(1)由题意得，出租车的费用f (x )(元)与行程x (0＜x ≤60，单位：km)的函数关系为f (x )＝8028 1.9(2)2108 1.98 2.85(10)1060x x x x x <≤⎧⎪+⨯-<≤⎨⎪+⨯+⨯-<≤⎩，，，，，，即f (x )＝8021.9 4.22102.85 5.31060.x x x x x <≤⎧⎪+<≤⎨⎪-<≤⎩，，，，， (2)只乘一辆车的费用为f (16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)，换乘另一辆车的总费用为2f (8)＝2×(1.9×8＋4.2)＝38.8(元)， ∴该乘客换乘车比只乘一辆车完成全部行程更省钱．(1)待定系数法若已知函数的类型，则可设出函数的解析式，由题设条件列出方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数，从而得到所求函数的解析式，此种方法称为待定系数法．例如：已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0.∴f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)配凑法对于形如y ＝f [g(x )]的函数，可将右边配成或凑成g(x )的多项式，最后将g(x )都换成x ，从而求出解析式，这种方法称为配凑法．由y ＝f [g(x )]的解析式，求出函数y ＝f (x )后，应注意函数的定义域，f (x )的定义域就是g(x )的值域．例如：已知f (2x ＋1)＝4x 2＋2x ＋1，求f (x )．可将右边“4x 2＋2x ＋1”变为含“2x ＋1”的表达式，得到f (2x ＋1)＝(2x ＋1)2－(2x ＋1)＋1，再将“2x ＋1”都换成x ，则f (x )＝x 2－x ＋1.这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求．(3)换元法对于形如y ＝f [g(x )]的函数，也可将“g(x )”换成另一个字母“t”，然后从中解出x 与t 的关系，代入原式中便可求出关于“t”的函数关系，此即为函数的解析式，这种方法称为换元法．利用这种方法时要正确写出新元“t ”的取值范围，也就是g(x )的值域．例如：已知f (2x ＋1)＝4x 2＋2x ＋1，求f (x )．可令t ＝2x ＋1，则x ＝12t －12，所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －12＋1，即f (t )＝t 2－t ＋1，再将f (t )＝t 2－t ＋1中所有的t 换成x ，得出f (x )＝x 2－x ＋1(因为f (t )和f (x )的定义域和对应关系是相同的，所以f (t )和f (x )是同一函数)．(4)消元法当在已知式中出现含有两个不同变量的函数关系式时，常常采用“消元法”，即依据两个变量的关系，重新产生一个关于两个变量的不同等式，再联立方程组消去其一，得到所求函数的解析式．例如：设f (x )是定义在(0，＋∞)上的一个函数，且有f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1，求f (x )．欲求f (x )，必须消去关系式中的f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，由于x ，1x 互为倒数，所以可用1x替换关系式中的x ，得到另一个关于f (x )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的方程f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )1x－1，将其代入原关系式f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1，即可消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得到f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2fx1x －1x －1＝4f (x )－2x －1，从而f (x )＝23x ＋13.于是所求函数的解析式为f (x )＝23x ＋13，x ∈(0，＋∞)．这种解法基于这样一种认识：函数定义域中的每一个元素都应满足函数表达式．在已知条件下，x 满足已知的式子，那么1x在定义域内也满足这个式子，这样就得到两个关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的方程，从而能解出f (x )．【例3－1】已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝2x ＋17，则f (x )＝( )． A ．253x + B ．213x + C ．2x －3 D ．2x ＋5解析：(方法1：待定系数法)已知f (x )是一次函数，所以可设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．则f (x ＋1)＝k (x ＋1)＋b ＝kx ＋k ＋b .又因为3f (x ＋1)＝2x ＋17，于是可得方程组32,3()17,k k b =⎧⎨+=⎩解得2,35,k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩故所求函数的解析式为f (x )＝253x +. (方法2：换元法)∵3f (x ＋1)＝2x ＋17，∴f (x ＋1)＝21733x +.令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，代入上式得f (t )＝2172(1)5333t t -+=+.∴所求函数的解析式为f (x )＝253x +.(方法3：配凑法)∵3f (x ＋1)＝2x ＋17，∴f (x ＋1)＝2172(1)5333x x +=++，将“x ＋1”都换成“x ”得f (x )＝253x +，∴所求函数的解析式为f (x )＝253x +.答案：A【例3－2】已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝9x ＋4，求f (x )的解析式．分析：因为f (x )是一次函数，所以可利用待定系数法，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．则f [f (x )]＝kf (x )＋b ＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ，再根据题设条件即可得到关于k ，b 的方程组，解方程组求出k ，b 就可确定函数f (x )的解析式．解：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b .又∵f [f (x )]＝9x＋4，∴29,4.k kb b ⎧=⎨+=⎩解得=3=1k b ⎧⎨⎩，，或3,2.k b =-⎧⎨=-⎩∴函数f (x )的解析式为f (x )＝3x ＋1或f (x )＝－3x －2. 析规律待定系数法求解析式本题以f (x )为一次函数作为切入点，运用待定系数法，构建所设参数的方程组从而解决问题，这是一种常用的解题方法，已知函数类型求函数解析式常用此方法．【例3－3】已知(1)f x x x =+，求f (x )．分析：本题实际上是寻找对应关系f 怎样对自变量起作用．解答本题可在“2x x +”1x 1x ”整体换元来求解．解：(方法1：配凑法)∵f 1x )＝2x x +＝21)1x -11x ≥，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (方法2：换元法)x t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，∴f (t )＝(t －1)2＋22(1)t -t 2－1(t ≥1)．∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．警误区利用配凑法和换元法求解析式的误区配凑法和换元法是求解函数解析式的基本方法，在不清楚函数类型的情况下往往运用此法，但要注意自变量取值范围的变化情况，否则就得不到正确的表达式．【例3－4】已知f (x )－12f x ⎛⎫⎪⎝⎭＝3x ＋2，求f (x )．分析：观察条件可以看出，欲求f(x)，必须消去关系式中的1fx⎛⎫⎪⎝⎭，由于x和1x互为倒数，故可在题中等式里令x取1x的值，得到关于f(x)，1fx⎛⎫⎪⎝⎭的另一个等式，把f(x)与1fx⎛⎫⎪⎝⎭看成未知数，通过解方程组可求得f(x)．解：∵f(x)－12fx⎛⎫⎪⎝⎭＝3x＋2，∴令x取1x的值，得1fx⎛⎫⎪⎝⎭－2f(x)＝3x＋2.于是得到关于f(x)与1fx⎛⎫⎪⎝⎭的方程组()()1232,132 2.f x f xxf f xx x⎧⎛⎫-=+⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=+⎪⎪⎝⎭⎩①②①＋②×2消去1fx⎛⎫⎪⎝⎭得，f(x)＝－x－2x－2即为所求．解技巧消元法求解析式对于已知等式中出现含有两个不同变量的函数关系式，常用消元法求函数的解析式．具体做法是依据这两个变量的关系，重新建立关于这两个变量的不同等式，利用整体思想把f(x)和另一个函数看成未知数，用消元法解方程组得函数f(x)的解析式．4．函数图像的作法图像法是表示函数的方法之一，为了直观地了解函数的性质，常常作出函数的草图或较为精确的图像，便于数形结合讨论问题．画函数图像时，常以定义域、对应法则为依据，采用列表、描点法作图．当已知解析式是一次或二次式时，可借助一次函数或二次函数的图像帮助作图．同时还应注意抓住函数的特征，如定义域的分界点、图像上的特殊点(与x轴、y 轴的交点，最高点与最低点，转折点等)、图像随x变化而变化的趋势等来辅助作图．另外，还可利用对称、平移、伸缩、翻折等方法作图．①函数y＝f(－x)的图像与y＝f(x)的图像关于y轴对称；②函数y＝－f(x)的图像与y＝f(x)的图像关于x轴对称；【例4－1】作出下列函数的图像．(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)1yx=(x＞1)．解：(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上(∵x∈Z，∴y∈Z)，这些点都为整数点，如图(1)所示为函数图像的一部分．(2)当x＝1时，y＝1，所画函数图像如图(2)．图(1) 图(2)解技巧画图的一个技巧画某些函数的图像时，可以先不考虑其定义域，把使解析式本身有意义的整个基本函数的图像画出来，然后再标出定义域内的部分图像．③函数y＝－f(－x)的图像与y＝f(x)的图像关于坐标原点对称；④函数y＝|f(x)|的图像由y＝f(x)的图像保留x轴上方部分，下方部分翻折到上方得到；⑤函数y＝f(|x|)的图像由y＝f(x)的图像保留y轴右方部分，并作关于y轴的对称图像得到；⑥函数y＝f(x＋a)(a＞0)的图像由y＝f(x)的图像向左平移a个单位长度得到；⑦函数y＝f(x)＋b(b＞0)的图像由y＝f(x)的图像向上平移b个单位长度得到．【例4－2】求作y＝|x2＋3x－4|的图像．分析：函数y＝|f(x)|的图像由y＝f(x)的图像保留x轴上方部分，下方部分翻折到x 轴上方得到．解：作出二次函数y＝x2＋3x－4的图像如图(1)，将x轴下方的部分翻折到x轴上方即得所求函数图像如图(2)．谈重点画二次函数图像的几个突破口画二次函数的图像时，要确定其开口方向、对称轴位置、顶点坐标、与坐标轴的交点几个方面．5．函数图像的应用问题(1)利用函数图像解方程或判断方程解的个数求关于x的方程f(x)＝g(x)的实数解或判断其解的个数时，可以构造两个函数y＝f(x)与y＝g(x)，并作出它们的图像，由图像可知原方程实数解即为两个函数图像交点的横坐标，方程的解的个数等于两个函数图像交点的个数．例如：讨论关于x的方程|x2－4x＋3|＝a(a∈R)的实数解的个数．可构造两个函数y＝|x2－4x＋3|及y＝a，并作出它们的图像(如图所示)，方程|x2－4x ＋3|＝a的实数解就是两个函数图像交点(纵坐标相等)的横坐标x的值，原方程解的个数就是两个函数图像的交点个数，由图可知：①当a∈(－∞，0)②当a ＝0或a ∈(1，＋∞)时，原方程有两个实数解； ③当a ＝1时，原方程有三个实数解； ④当0＜a ＜1时，原方程有四个实数解． (2)利用函数图像解不等式，不等式f (x )＜g (x )的解集⇔函数y ＝g (x )的图像在y ＝f (x )图像上方的点的横坐标的取值集合．例如：解不等式|2x －1|＞x ＋2时，就可用数形结合的方法求解，即先作出y ＝|2x －1|及y ＝x ＋2的图像．由图像可知原不等式的解集为⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－13，或x >3.(3)例如：求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，0<x <1，x ，x >1的值域．可以看出，所给函数解析式是分段函数，它的图像由y ＝1x，0＜x ＜1和y ＝x ，x ＞1两部分组成(如图所示)，观察图像可得此函数的值域为(1，＋∞)．解技巧利用图像求分段函数的值域利用图像法求函数值域，关键是准确作出函数的图像．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图像时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．(4)根据函数的图像求其解析式．例如，下图中的图像所表示的函数的解析式为( )．A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)解析：函数的图像由两条线段组成，若直接求其解析式，则较麻烦．可采用特殊值代入法验证选项，将原点(0,0)代入，可排除选项A ，C ；再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入，又可排除D ，故选B.答案：B【例5－1】若x ∈R ，f (x )是y ＝2－x 2与y ＝x 这两个函数的较小者，则f (x )的最大值为( )．A ．2B ．1C ．－1D ．无最大值解析：两个函数一个是二次函数，一个是一次函数，f (x )是两个函数的较小者．可先画出两个函数的图像，然后找出f (x )的图像再求其最大值．在同一坐标系中画出函数y ＝2－x 2，y ＝x 的图像，如图所示，根据题意，坐标系中实线部分即为函数f (x )的图像．∴x ＝1时，f (x )max ＝1.选B.答案：B谈重点函数图像的功能函数图像可以形象地反映函数的性质，通过观察图像可以确定图像的变化趋势、对称性、分布情况等．应用函数图像解题体现了数形结合的思想方法．【例5－2】设函数f (x )＝21,1,22,11,11,1,x x x x x x⎧⎪(+)≤-⎪+-<<⎨⎪⎪-≥⎩已知f (a )＞1，求a 的取值范围．分析：所给函数是分段函数，其图像很容易作出，所以可以利用图像解不等式；另外，也可以对a 分三种情况：a ≤－1，－1＜a ＜1，a ≥1，通过解不等式得出a 的取值范围．解法一：(数形结合)画出f (x )的图像，如图所示，作出直线y ＝1，由图可见，符合f (a )＞1的a 的值为(－∞，－2)∪1,12⎛⎫-⎪⎝⎭.解法二：(分类讨论)(1)当a≤－1时，由(a＋1)2＞1得a＋1＞1，或a＋1＜－1，a＞0，或a＜－2，又a≤－1，∴a＜－2；(2)当－1＜a＜1时，由2a＋2＞1得，12 a>-，又－1＜a＜1，∴11 2a-<<；(3)当a≥1时，由111a->得0＜a＜12，又a≥1，∴此时a不存在．综上可知，a＜－2，或11 2a-<<.【例5－3】求函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域．分析：函数解析式中含有绝对值符号，直接求其值域难度较大．可根据绝对值的意义，分情况去掉绝对值符号，再研究其值域．解：当x≤－1时，y＝－(x＋1)－(x－2)＝－2x＋1；当－1＜x＜2时，y＝(x＋1)－(x－2)＝3；当x≥2时，y＝(x＋1)＋(x－2)＝2x－1，∴函数y＝|x＋1|＋|x－2|可化为分段函数y＝21,1, 3,12, 21, 2.x xxx x-+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩它的图像如图所示．∴函数的值域为[3，＋∞)．【例5－4】已知函数y＝f(x)求函数的解析式．分析：图中给定的图像实际上是一个分段函数的图像，对各段对应的函数解析式进行求解时，一定要注意其区间的端点．解：根据图像，设左侧的射线对应的解析式为y＝kx＋b(k≠0，x＜1)，将点(1,1)，(0,2)的坐标代入得1,2,k bb+=⎧⎨=⎩解得1,2.k b =-⎧⎨=⎩∴左侧射线对应的函数的解析式为y ＝－x ＋2(x ＜1)；同理，x ＞3时，函数的解析式为y ＝x －2(x ＞3)．再设抛物线对应的二次函数解析式为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)，∵点(1,1)在抛物线上，∴a ＋2＝1，a ＝－1.∴抛物线对应的函数的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．综上可知，函数的解析式为y ＝22,1,42,13,2, 3.x x x x x x x -+<⎧⎪-+-≤≤⎨⎪->⎩解技巧由图像求解析式的基本要求由图像求函数的解析式的基本要求是充分挖掘图中所提供的图像形状以及特殊点的坐标，如本例中点(1,1)，(0,2)，(2,2)，(3,1)，(4,2)的信息，可利用待定系数法求解析式．。

高中数学第二章函数 2.2.2 函数的表示法问题导学案北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学

2.2.2 函数的表示法问题导学一、求函数的解析式活动与探究1(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(3)已知f (x )＋2f (－x )＝x ＋1，求f (x )的解析式．迁移与应用1．已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )．2．(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，求f (x )；(2)已知2f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，求f (x )．求函数解析式的常见方法：(1)若已知函数类型，可用待定系数法求解．(2)若不清楚函数类型，比如已知f [g (x )]的解析式，求f (x )的解析式，可采用配凑法和换元法．配凑法是将f [g (x )]右端的代数式配凑成关于g (x )的形式，进而求出f (x )的解析式；换元法是令g (x )＝t ，然后解出x ，即用t 表示x ，然后代入f [g (x )]中即可求得f (t )，从而求得f (x )．(3)构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．二、作函数的图像活动与探究2作出下列函数的图像： (1)y ＝－x ＋1，x ∈Z ；(2)y ＝2x 2－4x －3,0≤x ＜3.迁移与应用1．函数y ＝|x |x＋x 的图像是( )．2．画出函数y ＝x 2－2x (x ＞1或x ＜－1)的图像．一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再化简解析式(有的要表示为分段函数)，再列表、描点画出图像，并在画图像的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点，分段函数的区间端点等．对于常见的一次、二次函数的图像可直接画出来．三、分段函数及其应用活动与探究3已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≤1，1，|x |>1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－2)的值；(2)画出f (x )的图像；(3)求f (x )的定义域和值域．迁移与应用1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1，则f (f (2))＝( )．A ．0B ．1C ．2D ．32．画出下列函数的图像，并写出它们的值域： (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，0<x <1，2x ，x ≥1；(2)y ＝|x ＋1|＋|x －3|.(1)分段函数求值时，一定要注意所给自变量的值所在的范围，根据范围选择相应的解析式代入求得．(2)分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图像也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段．(3)分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图像法”，其定义域是自变量x 各段取值的并集，值域是各段值域的并集．当堂检测1．已知函数f (x )则f (2)的值为( )．A ．4B ．2C ．0D ．1 2．f (x )＝|x －2|的图像是( )．3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x ≥1，1，x <1，则f (f (2))＝( )．A ．0B ．1C ．2D ．34．已知f (x )满足f (2x －1)＝4x 2，则f (x )的解析式为__________． 5．某商场进了10台电脑，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．答案：课前预习导学【预习导引】1．列表法图像法解析法 (1)表格 (2)图像 (3)自变量的解析表达式解析法预习交流1 (1)提示：(2)提示：它与函数的图像只有一个交点．因为由函数的定义知，一个x 的值只有唯一的y 值与它对应．作与x 轴垂直的直线，如果它与所给的图形最多只有一个交点，那么这个图形就是某个函数的图像．2．取值区间解析式预习交流2 提示：分段函数虽然由几部分组成，但它却只有一个定义域，只是在定义域内不同区间上有不同的解析表达式而已，所以分段函数是一个函数，而不是几个函数．课堂合作探究【问题导学】活动与探究 1 思路分析：第(1)题已知f (x )是一次函数，用待定系数法求解；第(2)题用配凑法或换元法求解；第(3)题可用构造方程组求解法．解：(1)由题意可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17.∴a ＝2，b ＝7.∴f (x )＝2x ＋7.(2)方法一(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．方法二(换元法)：令x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)2＝t 2－1(t ≥1)．∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)因为f (x )＋2f (－x )＝x ＋1，以－x 替换x ，得f (－x )＋2f (x )＝－x ＋1，由以上两式可解得f (x )＝－x ＋13.迁移与应用 1．解：(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．因为f (0)＝1，所以c ＝1. 又因为f (x ＋1)－f (x )＝2x ，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x .所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.从而a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.2．解：(1)设t ＝1x ，则x ＝1t(t ≠0)，∴f (t )＝2·1t ＝2t ，故f (x )＝2x(x ≠0)．(2)∵2f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，以1x替换x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＝1x，由以上两式消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 可得f (x )＝23x ＋13x (x ≠0)．活动与探究2 思路分析：根据一次函数和二次函数的图像，结合函数的定义域，作出函数图像．解：(1)定义域为Z ，所以图像为一群孤立的点．如图(a)．图(a)图(b)(2)定义域不是R ，因此图像不是完整的抛物线，而是抛物线的一部分．如图(b)．迁移与应用 1．D 解析：函数定义域为{x |x ≠0}，因此可排除选项C ；当x ＝1时，y ＝2，可排除选项B ；当x ＝－1时，y ＝－2，可排除选项A.故选D.2．解：图像如图所示．活动与探究3 思路分析：(1)根据12，－2所在的区间求函数值．(2)(3)可分段画出图像，再结合图像求函数的值域．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14；f (－2)＝1.(2)函数f (x )的图像如图所示．(3)由题意知，函数f (x )的定义域为R .由图像知，当|x |≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当|x |＞1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．迁移与应用 1．C 解析：f (2)＝－2＋3＝1， f (f (2))＝f (1)＝1＋1＝2. 2．解：(1)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，0<x <1，2x ，x ≥1的图像如左下图，观察图像，可得函数的值域为(1，＋∞)．(2)将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ≤－1，4，－1<x ≤3，2x －2，x >3，它的图像如右上图．观察图像，得函数的值域为[4，＋∞)．【当堂检测】 1．D2．B 解析：函数的解析式可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2，由描点法画出图像可知选B.3．A 解析：f (2)＝2－1＝1，f (f (2))＝1－1＝0.4．f (x )＝(x ＋1)2 解析：令2x －1＝t ，则x ＝t ＋12，于是f (t )＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝(t ＋1)2，即f (x )＝(x ＋1)2.用图像法表示如图所示．用解析法表示为：y ＝3 000x ，x ∈{1,2,3，…，10}．。

高中数学第2章函数22.2函数的表示法课件北师大版必修第一册

类型 1 函数的表示法【例 1】某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求售出台数 x 与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[解] (1)列表法：
x/台
1
2
y/元 3 000
6 000
x/台
6
7
y/元 18 000 21 000
3 9 000
[答案] [－1,0)∪(0,2] [－1,1)
2.若反比例函数 f(x)满足 f(3)＝－6，则 f(x)的解析式为 ________．
[答案] f(x)＝－1x8
知识点 2 分段函数 (1)分段函数如果函数 y＝f(x)，x∈A，根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． (2)分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．
2a＝2，
∴2b＝－4， 2a＋2c＝0，
a＝1，
∴b＝－2， c＝－1，
∴f(x)＝x2－2x－1.
待定系数法求函数解析式已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出 f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
利用换元法(配凑法)求函数解析式【例 4】求下列函数的解析式： (1)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)； (2)已知 f(x＋2)＝2x＋3，求 f(x)．
6．已知函数 f(x)＝xx2＋－64，x＋x<60，，x≥0，则不等式 f(x)>f(1)的解集是________．

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2016-2017学年高中数学第二章函数 2.2.2 函数的表示法高效测
评北师大版必修1
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝2，则a 的值等于( ) A ．8 B ．1 C ．5
D ．－1
解析：由f (2x ＋1)＝3x ＋2，令2x ＋1＝t ，
∴x ＝t －1
2，∴f (t )＝3·t －1
2＋2，
∴f (x )＝x －
2
＋2，
∴f (a )＝a －
2
＋2＝2，∴a ＝1.
答案： B
2．已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))等于( )
A.1 C ．3
D ．4
解析： ∵f (3)＝4，∴f (f (3))＝f (4)＝1. 答案： A
3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1－x 2
， x ≤1，x 2＋x －2， x >1，
则f ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1
f
的值为( ) A.1516 B ．－2716 C.89
D ．18
解析： f (2)＝22
＋2－2＝4，1
f ＝14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15
16.故选A.
答案： A
4．函数f (x )＝
⎩⎪⎨
⎪
⎧
2x 2 x x x ＋
x
的值域是( )
A ．R
B ．(0，＋∞)
C ．(0,2)∪(2，＋∞)
D ．[0,2]∪[3，＋∞)
解析：画出函数图像，由图像观察值域．答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，
(3,1)，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1
f
的值等于______．解析： ∵f (3)＝1，1
f
＝1，
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1f
＝f (1)＝2. 答案： 2
6．若f (x )－1
2f (－x )＝2x (x ∈R )，则f (2)＝________. 解析： ∵f (x )－1
2f (－x )＝2x ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
f －1
2f －＝4，
f
－
－12f
＝－4，
得⎩⎪⎨
⎪
⎧
2f －f －＝8，
f －－12f
＝－4，
相加得32f (2)＝4，f (2)＝83. 答案： 8
3
三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求下列函数解析式：
(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )． (2)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式．解析： (1)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，
∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9， ∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，
由恒等式性质，得⎩
⎪⎨⎪⎧
2a ＝2，
3a ＋2b ＝9，
∴a ＝1，b ＝3.
∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3. (2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，
f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，
即f (t )＝t 2
＋2t －2.
∴所求函数为f (x )＝x 2
＋2x －2.
8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2， x <－1，x 2
，－1≤x ≤2，
2x ， x >2，
若f (x )＝3，求x 的值．
解析：由⎩⎪⎨⎪
⎧
x <－1，x ＋2＝3
或⎩⎪⎨⎪
⎧
－1≤x ≤2，x 2＝3
或⎩⎪⎨⎪
⎧
x >2，2x ＝3.
解得x ＝ 3.
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)某企业生产某种产品时的能耗y 与产品件数x 之间适合关系式：y ＝ax ＋b
x .
且当x ＝2时，y ＝100；当x ＝7时，y ＝35.且此产品生产件数不超过20件．
(1)写出函数y 关于x 的解析式； (2)用列表法表示此函数．
解析： (1)将⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2
y ＝100，⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝7
y ＝35代入y ＝ax ＋b
x ，
得⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＋b 2＝1007a ＋b 7＝35
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
4a ＋b ＝200
49a ＋b ＝245
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1
b ＝196
.
∴所求函数解析式为y ＝x ＋196
x (x ∈N *,
0<x ≤20)． (2)当x ∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：。