2020届高考数学理一轮复习课时训练第12章概率随机变量及其分布63

【课时训练】第63节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、选择题1．(2018浙江嘉兴一中质检)随机变量X 的分布列如下表，且E(X )＝2，则D(2X －3)＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】p ＝1－16－13＝12，E (X )＝0×16＋2×12＋a ×13＝2⇒a ＝3，所以D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1，所以D (2X－3)＝22D (X )＝4，故选C.2．(2018广东广雅中学期中)口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以X 表示取出球的最小号码，则E (X )＝( )A ．0.45B ．0.54 C.0.55 D ．0.6【答案】B【解析】易知随机变量X 的取值为0,1,2，由古典概型的概率计算公式得P (X ＝0)＝6C 35＝0.6，P (X ＝1)＝3C 35＝0.3，P (X ＝2)＝1C 35＝0.1.所以E (X )＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.1＝0.5，故选B.3．(2018浙江东阳模拟)若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0＜p ＜1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数，则2D (ξ)－1E (ξ)的最大值为( ) A ．2＋2 2B ．22C ．2－ 2D ．2－22【答案】D【解析】随机变量ξ的所有可能取值为0,1，且P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，即ξ～B (1，p )，则E (ξ)＝p ，D (ξ)＝p (1－p )，2D (ξ)－1E (ξ)＝2－⎝⎛⎭⎪⎫2p ＋1p .而2p ＋1p ≥22p ·1p ＝22，当且仅当2p ＝1p ，即p ＝22时取等号．因此当p ＝22时，2D (ξ)－1E (ξ)取得最大值2－2 2.4．(2018南阳模拟)设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则D (3Y ＋1)＝( )A ．2B ．3C ．6D ．7【答案】C【解析】由题意得P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 12p (1－p )＋C 22p2＝59，所以p ＝13，则Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，故D (Y )＝3×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝23，所以D (3Y ＋1)＝9D (Y )＝9×23＝6.5．(2018江西宜春质检)已知随机变量ξ的所有可能取值分别为1,2,3,4,5.若数学期望E (ξ)＝4.2，则ξ取值为5的概率至少为( )A ．0.1B ．0.15C ．0.2D ．0.25【答案】C【解析】设ξ的取值为1,2,3,4,5的概率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，p 5，p i ∈[0,1]，i ＝1,2,3,4,5，则p 1＋p 2＋p 3＋p 4＋p 5＝1，则p 1＋2p 2＋3p 3＋4(1－p 1－p 2－p 3－p 5)＋5p 5＝4.2，p 5＝0.2＋3p 1＋2p 2＋p 3≥0.2，当p 1＝p 2＝p 3＝0时等号成立．6．(2018吉林长春质检)据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X (单位：万)服从正态分布X ～N (6,0.82)，则日接送人数在6万到6.8万之间的概率为(P (|X －μ|<σ)＝0.682 6，P (|X －μ|<2σ)＝0.954 4，P (|X －μ|<3σ)＝0.997 4)( )A ．0.682 6B ．0.954 4C ．0.997 4D ．0.341 3【答案】D【解析】因为μ＝6，σ＝0.8，所以P (6<X <6.8)＝P (5.2<X <6.8)2＝0.682 62＝0.341 3.故选D.7．(2018广东惠州二调)设随机变量ξ服从正态分布N (4,3)，若P (ξ<a －5)＝P (ξ>a ＋1)，则实数a 等于( )A ．7B ．6C ．5D ．4 【答案】B【解析】由随机变量ξ服从正态分布N (4,3)可得正态分布密度曲线的对称轴为直线x ＝4，又P (ξ<a －5)＝P (ξ>a ＋1)，∴x ＝a －5与x ＝a ＋1关于直线x ＝4对称，∴(a －5)＋(a ＋1)＝8，即a ＝6.故选B.8．(2018河北石家庄一模)设X ～N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )附：(随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4)．A ．12 076B ．13 174C ．14 056D ．7 539【答案】B【解析】由题意，得P (X ≤－1)＝P (X ≥3)＝0.022 8， ∴P (－1<x <3)＝1－0.022 8×2＝0.954 4， ∵P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4，∴1－2σ＝－1，故σ＝1，∴P (0<X <1)＝12P (0<X <2)＝0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为20 000×(1－0.341 3)＝13 174，故选B.二、填空题9．(2018南高中期中)设随机变量X 的概率分布列为X 12 3 4 P13m1416则P (|X －3|＝1)【答案】512【解析】由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14， P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.10．(2018河南新乡三模)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．【答案】0.8【解析】由正态分布N (1，σ2)(σ＞0)的图象关于直线x ＝1对称，且ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，知ξ在(1,2)内取值的概率也为0.4，故ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.11．(2018内蒙古包头调研)已知X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2.若E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为________．【答案】3【解析】由题意得X 的所有可能取值为x 1，x 2，所以E (X )＝23x 1＋13x 2＝43，D (X )＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432＝29，整理得⎩⎨⎧2x 1＋x 2＝4，6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23，(舍去)，故x 1＋x 2＝3.12．(2018开中学一模)2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2017年清明节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量ξ服从正态分布ξ～N (1 000，σ2)，若P (ξ>1 200)＝a ，P (800<ξ<1 000)＝b ，则1a ＋9b 的最小值为________．【答案】32【解析】由ξ～N (1 000，σ2)，P (ξ>1 200)＝a ，P (800<ξ<1 000)＝b 得a ＝0.5－b ，所以a ＋b ＝12，则1a ＋9b ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋9b (a ＋b )＝2⎝⎛⎭⎪⎫10＋b a ＋9a b ≥2⎝⎛⎭⎪⎫10＋2 b a ·9a b ＝32，所以1a ＋9b 的最小值为32. 三、解答题13．(2018淄博模拟)某4S 店在一次促销活动中，让每位参与者从盒子中任取一个由0～9中任意三个数字组成的“三位递减数”(即个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字)．若“三位递减数”中的三个数字之和既能被2整除又能被5整除，则可以享受5万元的优惠；若“三位递减数”中的三个数字之和仅能被2整除，则可以享受3万元的优惠；其他结果享受1万元的优惠．(1)试写出所有个位数字为4的“三位递减数”；(2)若小明参加了这次汽车促销活动，求他得到的优惠金额X 的分布列及数学期望E (X )．【解】(1)个位数字为4的“三位递减数”有：984,974,964,954,874,864,854,764,754,654，共10个．(2)由题意知，不同的“三位递减数”共有C 310＝120(个)． 小明得到的优惠金额X 的取值可能为5,3,1. 当X ＝5时，三个数字之和可能为20或10，当三个数字之和为20时，有983,974,965,875，共4个“三位递减数”；当三个数字之和为10时，有910,820,730,721,640,631,541,532，共8个“三位递减数”．所以P (X ＝5)＝4＋8120＝110.当X ＝3时，三个数字之和只能被2整除，即这三个数字只能是三个偶数或两个奇数一个偶数，但不包括能被10整除的“三位递减数”，故P (X ＝3)＝C 35＋C 25C 15－12120＝48120＝25. 故P (X ＝1)＝1－P (X ＝5)－P (X ＝3)＝1－110－25＝12. 所以他得到的优惠金额X 的分布列为数学期望E (X )＝5×110＋3×25＋1×12＝2.2(万元)．。