高三数学弱科辅导正弦型函数
高中数学同步教学课件 正弦型函数的性质与图像(一)
知识梳理 知识点一 正弦型函数
一般地，形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，称为正弦型函 数，其中A，ω，φ都为常数，且A≠0，ω≠0.
正弦型函数的性质
函数
y＝sin(x y＝sin y＝Asin(ωx
y＝Asin x
性质
＋φ) ωx
＋φ)
定义域 __R_
_R__ __R_
__R_
值域 [－__|A_|_，__|A_|] _[_－__1_,1_]_ _[－__1_,_1_]_ [_－__|A__|，__|A__|]_
7.3.2 正弦型函数的 性质与图像（一）
学习目标 1.理解y＝Asin (ωx＋φ)中ω，φ，A对图像的影响. 掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图像间的变换关系. 2.理解用五点法作图作y＝Asin(ωx＋φ)的ห้องสมุดไป่ตู้像. 3.了解y＝Asin(ωx＋φ)图像的物理意义，能指出振幅、周 期、频率、初相. 4.会求正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性、最值、 值域.
B．y＝sin x－3π
C．y＝sinx－π3
D．y＝sinx＋π3
【解析】y＝sin x―向―右―平―移→π3 y＝sinx－π3.【答案】C
2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图像如图所示，此函 数的解析式为( )
A．y＝2sin2x＋23π C．y＝2sin2x－π3
B．y＝2sin2x＋π3 D．y＝2sin2x－π3
二、伸缩变换 例 2.说明 y＝－2sin2x－π6＋1 的图像是由 y＝sin x 的图 像经过怎样变换得到的．
解：[法一 先伸缩后平移] y＝sin x 的图像―各―点―的且―纵关―坐于―标x―轴伸―作长―对到―称原―变来―换―的―2倍→y＝ －2sin x 的图像―各―点―的―原横―来坐―的标―12缩―短―到→y＝－2sin 2x 的
正弦型函数PPT课件
y 2sin x
y sin x
y 1 sin x
2
0
π
2π x
练习2： 1.函数：y sin x的周期是：
1.3
2.函数：y sin 2x的周期是： 3.函数：y sin 1 x的周期是：
2
y
0
π
2π
3π
4π x
练习3：
1.4
五点法作正弦函数 y sin x的图象
y
1
0
π
3
2π x
y =sinωx
四、作业与拓展
4.1
1.用五点法作下列函数在一个周期内的简图：
（1）y 3 sin x; 2
(2) y sin x .
3
2.思考：由y sin x图象如何变化得到 y 2sin 3x的图象.
2
2
-1
x
0
sin x
0
五点：（0,0）
2
3 2
2
101Fra bibliotek0（ ,1） （ ,0） （3 ,1） （2 ,0）
2
2
二、新知探究 1.函数y Asin x的图象.
2.1
例1用五点法作正弦型函数 y 2sin x在一个周期内的简图 .
y
2
1
0
2
π
-1
3 2
x
2π
-2
x
0
2
3
2
2
sin x
0
1
0
思考：由y sin x到y sin x，图象如何变化？
三、总结交流
3.1
1.五点法作正弦型函数y =Asinωx 在一个周期内的简图的
步骤：
高中sin函数知识点总结
高中sin函数知识点总结一、sin函数的定义sin函数又称正弦函数，其定义域为实数集，值域为[-1,1]。
sin函数可以用单位圆的定义来理解，定义点P在单位圆上，与x轴正方向的夹角为θ，则sinθ等于P点的纵坐标。
二、sin函数的图像特点1. 周期性：sin函数是周期函数，其周期为2π。
2. 奇函数：sin(-θ)=-sinθ，即sin函数是奇函数。
3. 在0到π之间为增函数，在π到2π之间为减函数。
4. 交点：sin函数与x轴在0、π、2π等点有交点。
5. 对称性：sin函数关于原点对称。
三、sin函数的性质1. sin(a+b)=sinacosb+cosasinb2. sin2θ=2sinθcosθ3. sin(-θ)=-sinθ4. 当θ接近0时，sinθ≈θ四、sin函数的应用1. 天文学：sin函数可以用来描述天体的周期性运动。
2. 物理学：在波动和振动的描述中，sin函数是非常重要的。
3. 工程学：在工程中，sin函数常常用来描述周期性变化。
4. 数学分析：sin函数在微积分和复变函数中经常出现。
五、sin函数的导数sin函数的导数是cos函数，即(sinθ)'=cosθ。
这个性质在高中阶段的微积分学习中经常出现。
六、sin函数的解法在高中数学中，sin函数经常出现在三角函数方程的求解中。
例如，sinθ=0可以得到θ=0，π。
综上所述，高中sin函数是一种重要的周期函数，在数学和其他学科中都有着广泛的应用。
掌握sin函数的图像特点、性质和应用，对于学生打好高中数学的基础是非常重要的。
正弦型函数的性质课件高三数学一轮复习
x
－ωφ
2πω－ωφ
π－φ ω
23ωπ －ωφ
2π－φ ω
ωx＋φ
π
3π
0
_____2____ _____π____ _____2____ ___2_π_____
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
－A
0
[微思考]
“五点法”作图时，五个关键点的横坐标之间有什么关系？ 提示：“五点法”作图时，相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的1.
f(x)＝sin2x＋1π2的图像．
变式 2．为了得到函数 y＝2cos 2x 的图像，可以将函数 y＝cos 2x－ 3sin 2x 的图像( B )
A．向左平移π个单位长度 6
B．向右平移π个单位长度 6
C．向左平移π个单位长度 3
D．向右平移π个单位长度 3
解析：选 B
因为 y＝cos 2x－
有
5
个零点可得
5π≤2πω＋π5＜6π，得ω的取值范围是
12，29 5 10
，所以④正确；当
x∈
0， π 10
时，π5＜ωx＋π5＜π1ω0 ＋π5＜4190π0＜π2，所以 f(x)在 0，1π0 上单调递增，所以③正确．故选 D．
练一练
变式.
(2021·武汉市高三二调)函数
f(x)＝2sin
ωx＋π 3
议一议
合
问题
例2
变式2
例3
作
展示组号
4
5
6
学
评价组号
1
2
3
习
1.字迹清楚，规范。
正弦型函数的图像性质
相位是正弦波在时间轴上的偏移量，决定了波形开始的时间点。当 $varphi > 0$ 时，图像向右位移；当 $varphi < 0$ 时，图像向左位移。相位的变化不会 改变波形周期和振幅，但会影响波形在时间轴上的位置。
03 正弦型函数的奇偶性
奇函数性质
奇函数性质
正弦型函数是奇函数，因为对于任意x，都有f(-x) = -f(x)。这意 味着正弦型函数的图像关于原点对称。
对称轴
正弦函数图像关于y轴对称
正弦函数$y = sin x$的图像关于y轴对称，即当$x$取正值和负值时，$y$的值相 同。
余弦函数图像关于x轴对称
余弦函数$y = cos x$的图像关于x轴对称，即当$y$取正值和负值时，$x$的值相 同。
对称中心
要点一
正弦函数图像关于点$(kpi, 0)$对 称
通过调整A、ω、φ的值，可以获 得不同振幅、周期和相位偏移的 正弦型函数。
单位圆与三角函数关系
单位圆是指在平面直角坐标系中， 以原点为圆心、半径为1的圆。
三角函数与单位圆密切相关，单 位圆上的点可以用三角函数来表
示。
在单位圆上，正弦和余弦函数的 值等于点的纵坐标和横坐标的比 值，正切函数的值等于点的纵坐
图像特点
偶函数的图像关于y轴对称，即当 x=0时，y达到最大或最小值。在 x>0和x<0的区间内，函数值相等。
应用实例
偶函数性质在电磁学中有广泛应用， 例如磁场分布等。
既非奇又非偶函数性质
既非奇又非偶函数
性质
正弦型函数既不是奇函数也不是 偶函数。虽然它的图像关于原点 和y轴都有对称性，但它不符合奇 偶函数的严格定义。
振幅与图像高度
高中数学正弦型函数教案
高中数学正弦型函数教案
一、正弦函数的定义与性质
1. 正弦函数的定义：y = A sin(Bx + C) + D，其中A、B、C、D分别为常数，A为振幅，B
为周期，C为相位角，D为纵轴平移量。
2. 正弦函数的性质：周期为2π/B，在区间[-π/2B + C, 3π/2B + C]内单调递增或递减，在相位角C时函数的最大值为A + D，最小值为-D，振幅为|A|。
二、正弦函数的图像特征
1. 振幅A对函数图像的影响：振幅决定了函数的波动幅度，A越大波动幅度越大，A越小
波动幅度越小。
2. 周期B对函数图像的影响：周期决定了波动频率，B越大波动频率越高，B越小波动频
率越低。
3. 相位角C对函数图像的影响：相位角决定了函数图像的起始位置，C越大图像向左平移，C越小图像向右平移。
三、正弦函数的基本变化规律
1. 改变振幅A时：振幅越大，波动幅度越大；振幅越小，波动幅度越小。
2. 改变周期B时：周期越大，波长越短，波动频率越高；周期越小，波长越长，波动频率越低。
3. 改变相位角C时：相位角越大，图像向左平移；相位角越小，图像向右平移。
四、练习与作业
1. 练习：求解下列正弦函数的周期、振幅、相位角，绘制函数图像。
y = 2sin(3x + π/2) + 1
2. 作业：分析下列正弦函数的周期、振幅、相位角，绘制函数图像。
y = -3sin(2x - π/4) - 2
教学反馈：通过练习与作业，检验学生对正弦函数概念的理解与掌握程度，及时发现并纠
正错误，提高学生对正弦函数的应用能力。
§1.3正弦型函数.
§1.3 正弦型函数在工程技术中，常借助正弦型函数来解决实际问题． 一般地，形如()sin y A x ωϕ=+，()x R ∈的函数(其中0A >，0ω>，ϕ都是常数)，叫做正弦型函数，其图象叫做正弦型曲线.其中A 叫做振幅，ω叫做角速度. T=ωπ2是函数的周期.显然，y =A sin(ωx +ϕ)的最大值是A ，最小值是-A .，其图象与正弦曲线很相似.当1A =，1ω=，0ϕ=时，正弦型函数()sin y A x ωϕ=+就是正弦函数sin y x =．探究 根据所给的图象回答下列问题：(1)指出图1-2中正弦函数的最大值、最小值、周期及其函数表达式．(2)将图1-3、1-4、1-5中的图象分别与图1-2作比较，指出它们最大值、最小值、周期的异同．例1 已知正弦型函数2sin 53yx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求该正弦型函数的振幅、角频率、初相位、周期、最大值和最小值．解 振幅2A =，角频率5ω=，初相位3πϕ=，周期225T ππω==，最大值为2，最小值为2-．x图1-2x图1-4图1-5问题解决 当x 取何值时，正弦型函数2sin 53y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的值为最大值、最小值？ 数学应用 工业与民用电常用的是正弦交流电，其电压u (单位:V )与时间t (单位:s )之间的函数关系为u t π=.试求交流电的周期、频率、电压的最大值、有效值.练习1．举出生活中随时间作周期性变化的例子．2．求下列函数的振幅、周期、角频率、初相位、最大值、最小值． (1)3sin 46y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；(2)11sin 235y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 3．当x 取何值时，正弦型函数15sin 3y x =取得最大值、最小值？与正弦函数类似，我们也可以应用五点法作正弦型函数在一个周期内的简图． (1)正弦型函数sin y A x =(0A >)的图象例2 用五点法作正弦型函数3sin y x =在一个周期内的简图． 解 正弦型函数3sin y x =的周期2T π=。
高考数学复习知识点讲义课件40---正弦、余弦函数的单调性与最值
()
解析：由题意得 sin x∈[－1,0)∪(0,1]．对于 A，当 sin x<0 时，f(x)<0，所以 A 错
误．对于 B，f(－x)＝sin(－x)＋sin1－x＝－sin x＋sin1 x＝－f(x)，所以 f(x)是奇
函数，图象关于原点对称，所以 B 错误．对于 C，f(x＋π)＝sin(x＋π)＋sinx1＋π＝
[即时小练]
1．函数 f(x)＝sinx－π4的一个单调递增区间可以是
A.－34π，π4
B.－π2，π2
C.－π2，0
D.0，π2
答案：D
()
2．(多选)已知函数 f(x)＝sinx－π2(x∈R )，下面结论正确的是 A．函数 f(x)的最小正周期为 2π B．函数 f(x)在区间0，π2上是增函数 C．函数 f(x)的图象关于直线 x＝0 对称 D．函数 f(x)是奇函数 答案：ABC
重点
重点：正弦函数、余弦函数的单调性及应用．
难点 难点：求正弦函数、余弦函数的最值.
续表
知结构体系
正弦函数、余弦函数的单调性与最值 正弦函数
图象
定义域 值域
R _[－__1_,_1_]_
余弦函数
R __[－__1_,_1_]_
续表 在每一个闭区间
2kπ－π2，2kπ＋π2
在每一个闭区间2kπ－π，2kπ(k
对称性等．既可以单独命题，也可以与其他知识综合命题，主要考查直观想象、 逻辑推理、数学运算等核心素养．
1. (2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数 f(x)＝7sinx－π6单调递增的区间是(
)
A.0，π2
B.π2，π
C.π，32π
D.32π，2π
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正弦型函数y ＝Asin （ωx+ϕ）
【考点自主复习】
1．正弦函数y ＝Asin （ωx+ϕ）（∈x R ）（其中A 、ω、ϕ为常数且A ≠0 ω＞0） （1）y ＝Asin （ωx+ϕ）的周期T ＝ ，频率f ＝
＝
，初相为。
2．函数y ＝Asinx （A ＞0）的值域是
；最大值为 ，最小值是 ，由此可知， 的大小
反映曲线y ＝Asinx 的波动幅度的大小。
因此 也称为振幅
3。
函数y=sin(x+ϕ)的图象与y=sinx 的图象之间的关系：函数y=sin(x+ϕ)的图象可由函数y=sinx 的图象所有点（当ϕ＞0）向 或（当ϕ＜0时）向 平移 个单位长度就得到函数y ＝sin(x+ϕ)的图象。
4。
函数y=sin(ωx)（ω＞0）的图象与y=sinx 的图象之间的关系：函数y=sin(ωx) （ω＞0）的图象可以看作把y=sinx 的图象上所有点的 坐标（当ω＞1） 或（当0＜ω＜1） 到原来的 倍（ 坐标不变）而得到的。
5。
作函数()ϕω+=x A y sin 的图象的两种方法：
（1）用“五点法”作图：主要是通过变量代换，设ϕω+=x z ，由z 取0，
2
π
，π，
2
3π，2π来求出相应的x ，
通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． （2）用“图象变换法”作图： 法一：先平移后伸缩
y x y x =−→−−−−−−−=+><sin sin()
()()
||向左或向右平移个单位
ϕϕϕϕ00，
1
sin y x ωωϕ−−−−−−−
−→=+横坐标变为原来的
倍
纵坐标不变
（）
法二：先伸缩后平移
y x =−→−−−−−−−s i n 横坐标变为原来的
倍
纵坐标不变1
ω
纵坐标变为原来的倍
横坐标不变
A y A x −→−−−−−−−=+sin()
ωϕ
6. 由给出的函数()sin y A x B ωφ=++的图象求解析式的方法：
m ax m in
2
y y A -=
；m ax m in
2
y y B +=
，T 可以根据图像得到，2T
πω=
，ϕ由五点作图列表逆求得到．
【典例分析】
例1．用“五点法”作出函数y ＝2sin(3
2
π
+
x )的图象，并说明由函数y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到？
纵坐标变为原来的倍
横坐标不变
A y A x −→−−−−−−−=+sin()
ωϕy x y x =−→−−−−−−−=+><sin sin()
()()
||ωωϕϕϕϕ
ω向左或向右平移个单位
00
变式训练1：把函数y=sin3x 的图象向左平移
4
π
个单位得到函数 的图象，再把所得函数的图象
上所有点的横坐标变为原来的2倍得到函数 的图象
例2．已知函数f （x ）＝Asin （ϕω+x ）(A>0,R x ∈<>,
,0π
ϕω)在一个周期内的图象
如图所示，
(1)求A 、ω、ϕ
（2）求直线y ＝3与函数f(x)图象所有交点的坐标。
变式训练2：已知函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内当x ＝
12
π
时，取得最大值2，当x ＝
12
7π时取
得最小值-2那么（ ）
A ．)3
sin(2
1π
+=x y
B ．)3
2sin(2π
+=x y
C ．)6
2sin(2π
+
=x y
D ．)6
2sin(
2π
+
=x y
变式训练3：如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ϕω+x )+b （A>0,πϕω<<>0,0） （1）求这段时间的最大温差 （2）写出这段曲线的函数解析式
【知能巩固训练】 1．函数)6
2sin(5π
+
=x y 的图象经过下列平移变换，就可得到函数y=5sin2x
（ ）
A 、向右平移6
π
B 、向左平移6
π
C 、向右平移
12
π
D 、向左平移
12
π
2．已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||ϕπ<） 的部分函数图象，如右图所示，则函数的解析式为。