圆周运动及其应用

第2讲 圆周运动及其应用一、选择题（本题共10小题，共70分）1．建造在公路上的桥梁大多是凸形桥，较少是水平桥，更没有凹形桥，其主要原因是( )A ．为的是节省建筑材料，以减少建桥成本B ．汽车以同样速度通过凹形桥时对桥面的压力要比水平或凸形桥的压力大，故凹形桥 易损坏C ．可能是建造凹形桥技术上特别困难D ．无法确定答案：B2.(2011·东北地区名校联考)如图4－2－21所示，质量为m 的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动．圆环半径为R ，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时 ( )A ．小球对圆环的压力大小等于mgB ．小球受到的向心力等于0 图4－2－21C ．小球的线速度大小等于gRD ．小球的向心加速度大小等于g解析：小球在最高点时刚好不脱离圆环，则圆环刚好对小球没有作用力，小球只受重力， 重力竖直向下提供向心力，根据牛顿第二定律得小球的向心加速度大小为a ＝mg m＝g ，再 根据圆周运动规律得a ＝v 2R＝g ，解得v ＝gR .答案：CD3．如图4－2－22是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r 1的大齿轮，Ⅱ是半径为r 2的小齿轮，Ⅲ是半径为r 3的后轮，假设脚踏板的转速为n ，则自行车前进的速度为 ( ) 图4－2－22 A.πnr 1r 3r 2 B.πnr 2r 3r 1 C.2πnr 1r 3r 2 D.2πnr 2r 3r 1解析：前进速度即为Ⅲ轮的线速度，由同一个轮上的角速度相等，同一皮带传动的两轮边缘的线速度相等可得：ω1r 1＝ω2r 2，ω3＝ω2，再有ω1＝2πn ，v ＝ω3r 3，所以v ＝2πnr 1r 3r 2. 答案：C4．在光滑的水平面上，用长为l 的细线拴一质量为m 的小球，以角速度ω做匀速圆周运动， 下列说法中正确的是 ( )A ．l 、ω不变，m 越大线越易被拉断B ．m 、ω不变，l 越小线越易被拉断C ．m 、l 不变，ω越大线越易被拉断D ．m 不变，l 减半且角速度加倍时，线的拉力不变解析：由向心力表达式F 线＝F 向＝mlω2可知，F 线上拉力越大，线越易断，故选项A 、C 正确，B 错误；若m 不变，l 减半角速度ω加倍时，线的拉力加倍，故D 错误． 答案：AC5．质量为m 的石块从半径为R 的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果摩擦力的作用使得石块的速度大小不变，如图4－2－23所示，那么 ( ) 图4－2－23A ．因为速率不变，所以石块的加速度为零B ．石块下滑过程中受的合外力越来越大C ．石块下滑过程中受的摩擦力大小不变D ．石块下滑过程中的加速度大小不变，方向始终指向球心解析：由于石块做匀速圆周运动，只存在向心加速度，大小不变，方向始终指向球心， D 对，A 错．由F 合＝F 向＝ma 向知合外力大小不变，B 错，又因石块在运动方向(切线方 向)上合力为零，才能保证速率不变，在该方向重力的分力不断减小，所以摩擦力不断减 小，C 错．答案：D6．全国铁路大面积提速后，京哈、京沪、京广、胶济等提速干线的部分区段时速可达300 公里，我们从济南到青岛乘“和谐号”列车就可以体验时速300公里的追风感觉．火车 转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损．为解决火车 高速转弯时外轨受损这一难题，以下措施可行的是 ( )A ．适当减小内外轨的高度差B ．适当增加内外轨的高度差C ．适当减小弯道半径D ．适当增大弯道半径解析：设火车轨道平面的倾角为α时，火车转弯时内、外轨均不受损，根据牛顿第二定律有mg tan α＝m v 2r，解得v ＝gr tan α，所以为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题， 可行的措施是适当增加内外轨的高度差(即适当增大角α)和适当增大弯道半径r .答案：BD7.如图4－2－24所示，螺旋形光滑轨道竖直放置，P 、Q 为对应的轨道最高点，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，且能过轨道最高点P ，则下列说法中正确的是 ( )A ．轨道对小球做正功，小球的线速度v P >v QB ．轨道对小球不做功，小球的角速度ωP <ωQ 图4－2－24C ．小球的向心加速度a P >a QD ．轨道对小球的压力F P >F Q解析：本题考查圆周运动和机械能守恒，中档题．轨道光滑，小球在运动的过程中只受重 力和支持力，支持力时刻与运动方向垂直所以不做功，A 错；那么在整个过程中只有重力 做功满足机械能守恒，根据机械能守恒有v P <v Q ，在P 、Q 两点对应的轨道半径r P >r Q ，根据ω＝v r ，a ＝v 2r，得小球在P 点的角速度小于在Q 点的角速度，B 正确；在P 点的向心 加速度小于在Q 点的向心加速度，C 错；小球在P 和Q 两点的向心力由重力和支持力提 供，即mg ＋F N ＝ma 向，可得P 点对小球的支持力小于Q 点对小球的支持力，D 错． 答案：B8.如图4－2－25所示，某游乐场有一水上转台，可在水平面内匀速转动，沿半径方向面对面手拉手坐着甲、乙两个小孩，假设两小孩的质量相等，他们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两小孩刚好还未发生滑动时，某一时刻两小孩突然松手，则两小孩的运动情况是 ( )A ．两小孩均沿切线方向滑出后落入水中 图4－2－25B ．两小孩均沿半径方向滑出后落入水中C ．两小孩仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动而落入水中D ．甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，乙发生滑动最终落入水中解析：在松手前，甲、乙两小孩做圆周运动的向心力均由静摩擦力及拉力的合力提供的， 且静摩擦力均达到了最大值．因为这两个小孩在同一个圆盘上转动，故角速度ω相同， 设此时手中的拉力为F T ，则对甲：Ff m －F T ＝mω2R 甲．对乙：F T ＋Ff m ＝mω2R 乙，当松手 时，F T ＝0，乙所受的最大静摩擦力小于所需要的向心力，故乙做离心运动，然后落入水 中．甲所受的静摩擦力变小，直至与它所需要的向心力相等，故甲仍随圆盘一起做匀速 圆周运动，选项D 正确．答案：D9．汽车甲和汽车乙质量相等，以相等速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的 外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为Ff 甲和Ff 乙．以下说法正确的是 ( )A ．Ff 甲小于Ff 乙B ．Ff 甲等于Ff 乙C ．Ff 甲大于Ff 乙D ．Ff 甲和Ff 乙大小均与汽车速率无关解析：本题重点考查的是匀速圆周运动中向心力的知识．根据题中的条件可知，两车在 水平面做匀速圆周运动，则地面对车的摩擦力来提供其做圆周运动的向心力，则F 向＝F f ，又有向心力的表达式F 向＝m v 2r，因为两车的质量相同，两车运行的速率相同，因此 轨道半径大的车的向心力小，即摩擦力小，A 正确．答案：A10．如图4－2－26所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L ＝0.8 m 的细绳，一端固定在O 点，另一端系一质量为m ＝0.2 kg的小球，沿斜面做圆周运动，若要小球能通过最高点A ，则小球在最 图4－2－26 低点B 的最小速度是 ( )A ．2 m/sB ．210 m/sC ．2 5 m/sD ．2 2 m/s答案：C二、非选择题（第11题12分，第12题18分）11.如图4－2－27所示，半径为r ＝20 cm 的两圆柱体A 和B ，靠电动机带动 按相同方向均以角速度ω＝8 rad/s 转动，两圆柱体的转动轴互相平行且在同一平面内，转动方向已在图中标出，质量均匀的木棒水平放置其上，重 图4－2－27 心在刚开始运动时恰在B 的正上方，棒和圆柱间动摩擦因数μ＝0.16，两圆柱体中心间 的距离x ＝1.6 m ，棒长l >2 m ，重力加速度取10 m/s 2，求从棒开始运动到重心恰在A 正 上方需多长时间？解析：棒开始与A 、B 两轮有相对滑动，棒受向左摩擦力作用，做匀加速运动，末速度v ＝ωr ＝8×0.2 m/s ＝1.6 m/s ，加速度a ＝μg ＝1.6 m/s 2，时间t 1＝v a＝1 s ，此时间内棒运 动位移x 1＝12at 21＝0.8 m ．此后棒与A 、B 无相对运动，棒以v ＝ωr 做匀速运动，再运动 x 2＝x －x 1＝0.8 m ，重心到A 正上方时间t 2＝x 2v ＝0.5 s ，故所求时间t ＝t 1＋t 2＝1.5 s.答案：1.5 s12．(2010·重庆理综，24)小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在坚直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d 后落地，如图4－2－28所示．已知握绳的手离地面高度为d ，手与球之间的绳长为34d ，重力加速度为g .忽略手的 图4－2－28 运动半径和空气阻力．(1)求绳断时球的速度大小v 1和球落地时的速度大小v 2.(2)问绳能承受的最大拉力多大？(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水 平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？解析：(1)设绳断后球飞行时间为t ，由平抛运动规律，竖直方向d －34d ＝12gt 2，水平方 向d ＝v 1t联立解得v 1＝2gd由机械能守恒定律，有12m v 22＝12m v 21＋mg ⎝⎛⎭⎫d －34d 解得v 2＝ 52gd (2)设绳能承受的最大拉力大小为T ，这也是球受到绳的最大拉力大小．球做圆周运动的半径为R ＝34d 由圆周运动向心力公式，在其圆周运动的最低点，有F T －mg ＝m v 21R联立解得F T ＝113mg (3)设绳长为l ，绳断时球的速度大小为v 3，绳承受的最大拉力不变，有F T －mg ＝m v 23l得v 3＝ 83gl 绳断后球做平抛运动，竖直位移为d －l ，水平位移为x ，时间为t 1，有d －l ＝12gt 21x ＝v 3t 1，解得x ＝4 l (d －l )3当l ＝d 2时，x 有极大值 x m ＝233d答案：(1)v 1＝2gd v 2＝ 52gd (2)113mg (3)l ＝d 2 x m ＝233d。