河南省濮阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

河南省濮阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜1}，则集合A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}2．（5分）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=03．（5分）下列命题中正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．A．0B．1C．2D．34．（5分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）的是（）A．f（x）=B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=e x D．f（x）=ln（x+1）5．（5分）已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a6．（5分）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）7．（5分）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的体积是（）A．288+36πB．60πC．288+72πD．288+18π8．（5分）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0B．1C．2D．39．（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（）A．﹣2 B．2C．﹣98 D．9810．（5分）已知圆C关于y轴对称，经过点（1，0）且被x轴分成两段弧长比为1：2，则圆C的方程为（）A．B．（x±）2+y2=C．x2+（y±）2=D．x2+（y±）2=11．（5分）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④12．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7B．6C．5D．4二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为CD，CC1中点，则直线A1M和DN 所成的角为．14．（5分）函数f（x）=，若f（m）=1，则m=．15．（5分）若P（x，y）在圆（x﹣3）2+（y﹣）2=3上运动，则的最大值为．16．（5分）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣5x+6=0}，B={x|mx+1=0}，且A∪B=A，求实数m的值组成的集合．19．（12分）求圆心在直线y=﹣4x上，并且与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）的圆的方程．20．（12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积V．22．（12分）已知函数f（x）=，（1）证明函数f（x）是R上的增函数；（2）求函数f（x）的值域；（3）令g（x）=，判定函数g（x）的奇偶性，并证明．河南省濮阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜1}，则集合A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用交集的性质求解．解答：解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜1}，∴集合A∩B={x|0＜x＜1}．故选：D．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集和不等式性质的合理运用．2．（5分）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0考点：直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．解答：解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过点（﹣1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．点评：本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．3．（5分）下列命题中正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．A．0B．1C．2D．3考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l与α平行或相交，故①错误；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行或异面，故②错误；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或包含于这个平面，故③错误；④若直线l与平面α平行，则由直线与平面平行的定义知l与平面α内的任意一条直线都没有公共点，故④正确．故选：B．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．4．（5分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）的是（）A．f（x）=B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=e x D．f（x）=ln（x+1）考点：函数单调性的判断与证明．专题：综合题．分析：根据题意和函数单调性的定义，判断出函数在（0，+∞）上是减函数，再根据反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性进行判断．解答：解：∵对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），∴函数在（0，+∞）上是减函数；A、由反比例函数的性质知，此函数函数在（0，+∞）上是减函数，故A正确；B、由于f（x）=（x﹣1）2，由二次函数的性质知，在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故B不对；C、由于e＞1，则由指数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故C不对；D、根据对数的整数大于零得，函数的定义域为（﹣1，+∞），由于e＞1，则由对数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故D不对；故选A．点评：本题考查了函数单调性的定义，以及基本初等函数的单调性，即反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性的应用．5．（5分）已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：由函数y=2x在R上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，从而得到a，b，c 的大小关系解答：解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8 =20.8，1.2＞0.8＞0，∴a＞b＞20=1．再由c=2log52=log54＜log55=1，可得a＞b＞c，故选A．点评：本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．6．（5分）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案．解答：解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．点评：本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如果涉及多个基本函数，取它们的交集即可．7．（5分）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的体积是（）A．288+36πB．60πC．288+72πD．288+18π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：几何体是一个简单的组合体，上面是一个半圆柱，底面的半径是3，母线长是8，下面是一个四棱柱，四棱锥的底面是边长分别为8和6的矩形，四棱柱的高是6，做出两个几何体的体积求和．解答：解：由三视图知，几何体是一个简单的组合体，上面是一个半圆柱，底面的半径是3，母线长是8，∴半圆柱的体积是==36π下面是一个四棱柱，四棱锥的底面是边长分别为8和6的矩形，四棱柱的高是6，∴四棱柱的体积是6×8×6=288，∴组合体的体积是36π+288故选A．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何图形，本题考查的几何体是一个组合体，上面的圆柱的一半比较特殊，需要仔细观察，圆柱的摆放方式和常见的摆放方式不同．8．（5分）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点解答：解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，所以f（0）f（1）＜0，故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，故选B．点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于中档题．9．（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（）A．﹣2 B．2C．﹣98 D．98考点：函数的周期性；奇函数；函数奇偶性的性质．分析：利用函数周期是4且为奇函数易于解决．解答：解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4所以f（7）=f（3）=f（﹣1），又f（x）在R上是奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，故选A．点评：本题考查函数的奇偶性与周期性．10．（5分）已知圆C关于y轴对称，经过点（1，0）且被x轴分成两段弧长比为1：2，则圆C的方程为（）A．B．（x±）2+y2=C．x2+（y±）2=D．x2+（y±）2=考点：关于点、直线对称的圆的方程．专题：综合题；直线与圆．分析：设圆心C（0，a），由题意可得圆被x轴截得的弦对的圆心角为，故有tan=||，解得a=±，可得半径的值，从而求得圆的方程．解答：解：设圆心C（0，a），则半径为CA，根据圆被x轴分成两段弧长之比为1：2，可得圆被x轴截得的弦对的圆心角为，故有tan=||，解得a=±，半径r=，故圆的方程为x2+（y±）2=，故选：C．点评：本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆相交的性质，关键是求圆心坐标，属于基础题．11．（5分）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④考点：棱柱的结构特征．专题：作图题；压轴题．分析：正方体的平面展开图复原为正方体，不难解答本题．解答：解：由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC=60°正确；④DM⊥平面BCN，所以④正确；故选C．点评：本题考查正方体的结构特征，异面直线，直线与直线所成的角，直线与直线的垂直，是基础题．12．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7B．6C．5D．4考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．解答：解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．点评：本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为CD，CC1中点，则直线A1M和DN 所成的角为．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：建立空间直角坐标系，利用向量数量积垂直即可得出异面直线所成的夹角．解答：解：建立空间直角坐标系，如图所示，A1（1，0，1），，．∴=，=．∴==0，∴．∴直线A1M和DN所成的角为．故答案为：．点评：本题考查了通过建立空间直角坐标系利用向量数量积垂直得出异面直线所成的夹角的方法，考查了空间想象能力，属于基础题．14．（5分）函数f（x）=，若f（m）=1，则m=0或﹣1．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数的性质求解．解答：解：∵函数f（x）=，f（m）=1，∴当m≥0时，f（m）=2﹣m=1，解得m=0；当m＜0时，=1，解得m=﹣1．故答案为：0或﹣1．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15．（5分）若P（x，y）在圆（x﹣3）2+（y﹣）2=3上运动，则的最大值为．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：设=k，利用点到直线的距离公式以及直线和圆的位置关系进行求解．解答：解：设=k，即kx﹣y=0，∵P（x，y）在圆（x﹣3）2+（y﹣）2=3上运动，∴圆心（3，）到直线kx﹣y=0的距离d=，平方得（3k﹣）2≤3（1+k2）即k2﹣k≤0，解得0≤k≤．故的最大值为．故答案为：点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据点到直线的距离公式和半径之间的关系是解决本题的关键16．（5分）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是（1，）．考点：二次函数的性质．专题：作图题；压轴题；数形结合．分析：在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a的图象，观察求解．解答：解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a，观图可知，a的取值必须满足，解得．故答案为：（1，）点评：本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：设出蛋筒冰淇淋的底面半径和高，由圆形蛋皮的周长等于5倍圆锥的底面周长求得圆锥底面半径，进一步求出圆锥的高，然后直接利用表面积公式和体积公式求解．解答：解：设圆锥的底面半径为r，高为h．因为，所以r=2．则．则圆锥的表面积S=．体积V=．故该蛋筒冰淇淋的表面积约为87.96cm2，体积约为57.80cm3．点评：本题考查了圆锥的表面积和体积，解答的关键是明确圆锥的底面周长是展开后的扇形的弧长，同时熟记有关公式，是基础题．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣5x+6=0}，B={x|mx+1=0}，且A∪B=A，求实数m的值组成的集合．考点：集合的包含关系判断及应用．分析：条件A∪B=A的理解在于：B是A的子集，其中B也可能是空集．解答：解：A={x|x2﹣5x+6=0}={2，3}，∵A∪B=A，∴B⊆A．①m=0时，B=∅，B⊆A；②m≠0时，由mx+1=0，得x=﹣．∵B⊆A，∴﹣∈A，∴﹣=2或﹣=3，得m=﹣或﹣．所以适合题意的m的集合为{0，﹣，﹣}．点评：本题主要考查集合的运算性质A∪B=A，一般A∪B=A转化成B⊆A来解决．若是A∩B=A，一般A∩B=A转化成A⊆B来解决．19．（12分）求圆心在直线y=﹣4x上，并且与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）的圆的方程．考点：直线与圆的位置关系；圆的标准方程．专题：计算题．分析：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），由圆心在直线y=﹣4x上，并且与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2），可以构造a，b，r的方程组，解方程组可得a，b，r的值，进而得到圆的方程．解答：解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）由题意有：解之得∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的标准方程，其中根据已知构造关于圆心坐标及半径的方程组，是解答本题的关键．20．（12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？考点：函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义．专题：应用题．分析：（1）由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；（2）由（1）的结论，我们设设投资债券类产品x万元，则股票类投资为20﹣x万元．这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．解答：解：（1）f（x）=k 1x，，，，（x≥0），（x≥0）（2）设：投资债券类产品x万元，则股票类投资为20﹣x万元．（0≤x≤20）令，则==所以当t=2，即x=16万元时，收益最大，y max=3万元．点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积V．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；转化思想．分析：（Ⅰ）要证明：EF∥平面PAD，只需证明EF∥AD即可．（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积V．只需求出底面△ABC的面积，再求出E到底面的距离，即可．解答：解（Ⅰ）在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC．又BC∥AD，∴EF∥AD，又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，则EG⊥平面ABCD，且EG=PA．在△PAB中，AP=AB，∠PAB=90°，BP=2，∴AP=AB=，EG=．∴S△ABC=AB•BC=××2=，∴V E﹣ABC=S△ABC•EG=××=．点评：本题考查棱锥的体积，只需与平面平行，是中档题．22．（12分）已知函数f（x）=，（1）证明函数f（x）是R上的增函数；（2）求函数f（x）的值域；（3）令g（x）=，判定函数g（x）的奇偶性，并证明．考点：函数奇偶性的性质；函数的值域；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）用定义法，先在定义域上任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．当自变量变化与函数值变化一致时，为增函数；当自变量变化与函数值变化相反时，为减函数．（2）利用函数的单调性求函数的值域；（3）用函数奇偶性的定义进行判断．解答：解：（1）设x1＜x2∈R，f（x1）﹣f（x2）=﹣=∵x1＜x2，∴2（＜0∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）是R上的增函数；（2）∵f（x）==1﹣，∵2x＞0，∴2x+1＞1，∴0＜＜2，∴﹣1＜1﹣＜1，f（x）的值域为（﹣1，1）；（3）因为g（x）==，所以g（x）的定义域是{x|x≠0}，g（﹣x）===g（x），函数g（x）为偶函数．点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，一般用定义；还考查了证明函数的单调性，一般用定义和导数，用定义时，要注意变形到位，用导数时，要注意端点．。