【人教版九年级数学下册】24.1.3 弧、弦、圆心角PPT精品课件
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24.1.3弧、弦、圆心角的关系
弧
弦
相等
相等
思考：如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A′O ′ B′， 你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
A
B
A′
B′Leabharlann ·O· O′由∠AOB＝∠A′O ′ B′︵可得到：︵
AB A' B '.
AB A' B '.
小结
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
圆心角 相等
（1）如果AB=CD，那么_A__B___=__C__D_，_____A_O_B_____C_O_D___．
（2）如果 AB = CD ，那么___A_B_=__C_D____，__A_O_B_____C_O__D_． （3）如果∠AOB=∠COD，那么___A_B___=___C_D__，___A_B_=__C_D_．
弧 相等
弦 相等
思考
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？
温馨提示：
由弦相等推出弧相等时， 这里弧一般要求 都是优弧或劣弧
探究二 在同圆中， ︵︵ （1）、如果 AB A' B '. 那么∠AOB＝∠A′OB ′， AB A' B '. 成立吗 ?
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？
为什么？ 答 ：OE﹦OF 证明：∵ OE⊥AB OF ⊥CD
A
E
B
·O
D
∵ AB﹦CD ∴ AE﹦CF
F
∵ OA﹦OC ∴ RT△AOE≌RT △COF C
∴ OE﹦OF
人教版九年级数学上册《24.1.3_弧、弦、圆心角》优质课件
圆是中心对称图形，圆心就是它的
对称中心.
A
B
课程讲授
1 圆心角
旋转90°
旋转270°
旋转300°
归纳：把圆绕圆心旋转任何一个角度，所得的图形都 与原图形重合.
课程讲授
1 圆心角
O r
A B
定义：顶点在圆心的角,叫圆心角，
如∠AOB .
圆心角 ∠AOB 所对的弧为___A_B____. 圆心角 ∠AOB所对的弦为___A__B___.
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.圆心角 2.弧、弦、圆心角之间的关系
新知导入
看一看：观察下图中图形的变化，试着发现它们的规律。
新知导入
看一看：观察下图中图形的变化，试着发现它们的规律。
课程讲授
1 圆心角
问题1：剪下一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所 得的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论？把圆 绕圆心旋转任意一个角度呢？
）） ））
①AB=CD；
②BD=AC；
③AC=BD；
④∠BOD=∠AOC.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
随堂练习
4.如图，已知⊙O的半径OA=5 cm，弦 CD=5 cm，则弦CD所对的圆心角的度 数为___6_0_°____.
5.如图，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上
的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，则 AC与BC的大小关系是_A__C_=_B__C_.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等， 那么它们所对应的圆心角相等，所 对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等, 那么它们所对应的圆心角相等，所对 的优弧和劣弧分别相等．
弧、弦、圆心角 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
探究二：圆心角、弧、弦之间的关系重点、难点知
动活11.按大 知下胆识面操的作步探骤究做新一做：
识 ★▲
（′，沿圆周分别将两圆剪下；
（2）在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角
∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心
注意：固定。
在画∠AOB与∠A′O′B′时，要
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定 理动活的3 应大 弧用胆度探 相索等，。证明线段相等与
例3.如图，AB，CD是⊙O的弦，M、N 分别为AB、CD的中点且∠AMN=∠CNM， 求证：AB=CD。
【思路点拨】 由中点想到垂径定理，
由等角对等边定理可以得 到线段与角度的相等关系， 可以为证明全等三角形创 造条件。
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦也相等。
探究二：圆心角、弧、弦之间的关系重点、难点知
活 动2
集思广益 证明新 知
识 ★▲
根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是
正确的吗？
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那
么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那
动以前是一个样的。这个现象跟圆的哪个性
质有关？ 说明钟钮左右两端转动180°后完全重合，
两端均在以轴心为圆心的圆上运动，说明圆
是中心对称图形，对称中心是圆心。
探究一：圆的中心对称性
活 动1
归纳概括
想一想：由以上现象，概括圆的
对称性。
结论： 1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 过圆心的直线。 2.圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
练习：如图，AB是⊙O的直径 ， P、Q是AB
上两点， 且AP=BQ ， C、ACD=是BD⊙O上两点，
人教版初中数学九年级上册 24.1.3弧、弦、圆心角 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
六、练习
︵如图︵，A︵B是⊙O 的直径，
BC＝CD DE,∠COD=35°︵，求∠︵AOE︵的度数．
E
D
解： BC CD DE
C BOC=COD=DOE=35
A
·
O
B AOE 180 335
75
七、思考
如图，已知AB、CD为⊙O 的两条弦，
︵︵
C
AD BC.求证:AB＝CD.
︵︵
B′
·
O
A
·
O
A
︵
根据旋转的性质，将线段AB连同AB绕圆心O旋转，使点A与点 A ′重合，∵AB= A ′B′ ，∴线段 AB与A ′B′重合．∴点B与点B ′重
合
︵︵
AB A' B ',
∠AOB＝∠A′OB′
三、定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
1、 在︵⊙o中︵，AOB AOB， AB A' B ', AB AB。 ︵︵
2、 在⊙o中，AB A' B ',
AOB AOB, AB AB。
3、
在⊙o中，AB AB,
︵
︵
AOB AOB, AB A' B。'
A′ B
·
O A
四、练习
︵ ︵ 如图，AB、CD是⊙O的两条弦． ︵ ︵ （1）如果AB=CD，那么___A_B___C_D___，_____A_O_B_____C_O_D___． ︵ ︵ （2）如果 AB CD ，那么___A_B__=_C_D____，_____A_O_B_____C_O．D
O
A DB
圆心角有：
24.1.3弧、弦、圆心角 教学课件(共28张PPT)初中数学人教版(2012)九年级上册
在Rt△CEO和Rt△DFO中，
∴Rt△CEO≌Rt△DFO(HL),
∴∠COA=∠DOB,∴AC=BD.
课堂总结
孤
概念
顶点在圆心的角叫做圆心角.
、
弦
、
圆
(1)圆心角相等
心
在同圆或等圆
角
中，弧、弦与
(2)弧相等
知 一 得
圆心角的关系
二
(3)弦相等
THANKS
感谢观看
Enter The Appropriate Content Here,Or After Copying The Text
A.35°
B.55°
C.75°
D.95°
解析：∵BC=CD=DE,∠COD=35°, ∴∠BOC=∠EOD=∠COD=35°.
∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=75°. 故选C.
4.如图，已知点A、B、C、D 都在00上，OB⊥AC,BC=CD, 下列说法错误的是(
A.AB=BC
B(B)
ABa
BK
A(A)
0
AB=A'B'
∠AOB=∠A'OB'
AB=A'B′
∠AOB=∠A'OB'
ABO
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和 劣弧分别相等.
探索新知 知识点2圆心角、弦、弧之间的关系
B. 如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等 C.圆的对称轴是任意一条直径所在的直线 D.拱形不一定是弓形
解析：A.半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧，所以A 选项不符合题意；
∴Rt△CEO≌Rt△DFO(HL),
∴∠COA=∠DOB,∴AC=BD.
课堂总结
孤
概念
顶点在圆心的角叫做圆心角.
、
弦
、
圆
(1)圆心角相等
心
在同圆或等圆
角
中，弧、弦与
(2)弧相等
知 一 得
圆心角的关系
二
(3)弦相等
THANKS
感谢观看
Enter The Appropriate Content Here,Or After Copying The Text
A.35°
B.55°
C.75°
D.95°
解析：∵BC=CD=DE,∠COD=35°, ∴∠BOC=∠EOD=∠COD=35°.
∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=75°. 故选C.
4.如图，已知点A、B、C、D 都在00上，OB⊥AC,BC=CD, 下列说法错误的是(
A.AB=BC
B(B)
ABa
BK
A(A)
0
AB=A'B'
∠AOB=∠A'OB'
AB=A'B′
∠AOB=∠A'OB'
ABO
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和 劣弧分别相等.
探索新知 知识点2圆心角、弦、弧之间的关系
B. 如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等 C.圆的对称轴是任意一条直径所在的直线 D.拱形不一定是弓形
解析：A.半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧，所以A 选项不符合题意；
九年级数学上册(人教版)教学PPT课件：24.1.3弧、弦、
图形
·.O
图形将__⊙_重_O_合_绕__圆．心 O 顺时针旋转180°，这两个
新课引入
圆的对称性：
1、圆是轴对称图形
垂径定理及其推论
2、圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它
都能与自身重合。（圆的旋转不变性）
?
·
新课引入
圆心角：我们把顶点在圆心的角做圆心角. A
O· B
O
A
B D
练一练：找出右上图
中的圆心角。
圆心角有：
∠AOD,∠BOD,∠AOB
新课讲解
弦心距：圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线 段的距离）．
O·
┓
AC
A O·
B
C
B
新课讲解
在⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A′OB′时，它们所对
的弧AB和弧A′B′，弦AB和弦A′B′相等吗？为什么？将∠AOB旋
转一定角度，使OA和O′A′重合，你发现哪些等量关系？
课堂小结
1、圆心角的概念； 2.弧、弦、圆心角的关系定理； 3.弧、弦、圆心角的关系定理推论.
例题分析
例 如图，在⊙O⌒中，⌒AB=AC ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明：
∵ A⌒B=A⌒C，
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形，
B
又∠ACB=60°，
·O 60° C
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
课堂练习
课本P85练习
弧、弦、圆心角
新课引入
回顾旧知 弦： 连接圆上任意两点的线段叫做弦．
E
D
C O
A
数学九年级人教版 24.1.3 弧、弦、圆心角 (共26张PPT)
oCD来自如图：AAOB= COD
B
o
C
D
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
如图： AOB= COD
A (C) B(D)
o
C
D
圆心角定理：在同圆或等圆中，
相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦也
A 相等。
B
∵∠AOB=∠COD,
o
∴ AB=CD， AB=CD
C
D
小结
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
圆心角 相等
弧 相等
弦 相等
弧、弦、圆心角的关系定理
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 也相等．
2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角__相__等_， 所对的
弦___相_等____；
3、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角__相__等__，所对 的弧___相__等____；
在．同圆或等圆中，两个 圆心角、两条弧、两条 弦中有一组量相等，它 们所对应的其余各组量 也相等（知一求二）．
圆心角 相等
弧 相等
弦 相等
探究二 在同圆中，
（2）︵、如︵果 AB A ' B '. 那么∠AOB＝∠A′OB′，
AB A' B '. 成立吗 ?
你能概括一下吗？
（2）
探究三 在同︵圆中，︵
（1）、如果 AB A' B '. 那么∠AOB＝∠A′OB′，
AB A ' B '. 成立吗 ?
数学来源于生活
茶杯的盖子做成圆 形有什么好处呢？
24.1.3 弧、弦、圆心角 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， 由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
O
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。
二、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做 圆心角.
A
O· B
如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。
相等
因为AB=CD ，所以∠AOB=∠COD. 又因为AO=CO，BO=DO，
A
E
B
所以△AOB ≌ △COD. 又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高，
O·
D
所以 OE = OF.
F
Cห้องสมุดไป่ตู้
2.如图，AB是⊙O的直径，
⌒
BC
=
⌒
CD
=
⌒DE,
∠COD=35°，
求∠AOE的度数．
E
D
解：
⌒
BC
=
⌒
CD
合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重
合，B与B′重合．
∴A⌒B与A⌒' B ' 重合，AB与A′B′重合．
A⌒ B
⌒
A'B
',
AB A' B '.
（三）定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心
=
⌒
DE
BOC=COD=DOE=35
C
AOE 180 335
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， 由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
O
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。
二、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做 圆心角.
A
O· B
如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。
相等
因为AB=CD ，所以∠AOB=∠COD. 又因为AO=CO，BO=DO，
A
E
B
所以△AOB ≌ △COD. 又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高，
O·
D
所以 OE = OF.
F
Cห้องสมุดไป่ตู้
2.如图，AB是⊙O的直径，
⌒
BC
=
⌒
CD
=
⌒DE,
∠COD=35°，
求∠AOE的度数．
E
D
解：
⌒
BC
=
⌒
CD
合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重
合，B与B′重合．
∴A⌒B与A⌒' B ' 重合，AB与A′B′重合．
A⌒ B
⌒
A'B
',
AB A' B '.
（三）定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心
=
⌒
DE
BOC=COD=DOE=35
C
AOE 180 335
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圆内角
圆外角
①
圆周角（后面 会学到）
②
圆心角
③
④
二 圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆中探究 ⌒， ⌒ 与CD 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB 弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
D · O
C B
归纳 由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD， 那么，» » ，弦AB=弦CD AB CD
的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
C D O B A
⌒ ⌒ ②AB=CD ③AB=CD
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图.
D O B A
C
题设 那么
结论 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等
AB =CD.
.
A
B
D
能力提升： ⌒ =2AB ⌒成 如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么CD 立吗？CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不是，那
它们之间的关系又是什么？
⌒ ⌒ 答：CD=2AB成立，CD=2AB不成立.
» 的中点E,连接OE.那么 不是，取 CD
A O
B C E D
» ∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 » AB = CE
又 OA＝OC , RtAOE≌RtCOF . ，那么
A．这两个圆心角所对的弦相等
（D ）
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60 ° . ⌒与 ⌒ 3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB CD
第二十四章
圆
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问 题.（重点） 3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆” 条件的意义.（难点）
= DE » .
» =2 » AB，弦AB=CE=DE,在 CD
△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.
B
·
A
O C
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化 是解题的关键.
填一填： 如图，AB、CD是⊙O的两条弦． = ∠COD ． （1）如果AB=CD，那么___________ ，AOB ____________ AB=CD ∠ AB=CD （2）如果 AB=CD ，那么____________ ， ∠AOB= ∠COD _____________ ． AB=CD （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________ ， _________ AB=CD ． E B A
(
(
(
(
(
(
O C
· F
D
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与
OF相等吗？为什么？ 解：OE=OF. 理由如下：
OE AB, OF CD, 1 1 AE AB, CF CD. 2 2 又 AB＝CD , AE＝CF .
A
E O ·
B
D F
C
A
在等圆中探究 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现
的等量关系是否依然成立？为什么？
A B
C D
O
·
· O′
归纳 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如
⌒ ⌒ 果∠AOB=∠COD，那么，AB =CD ，弦AB=弦CD.
要点归纳 弧、弦与圆心角的关系定理
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对
抢答题
1.等弦所对的弧相等.
2.等弧所对的弦相等.
（
） ×
（ √ ）
3.圆心角相等，所对的弦相等.
(
×）
C
4. 如图，AB 是⊙O 的直径， BC = CD = DE ， ∠COD=35°，∠AOE = 75° ． E D
A
· O
B
三 关系定理及推论的运用
典例精析
» =CD » = DE »， 例1 如图，AB是⊙O 的直径， BC
导入新课
情境引入
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块， 你会分吗？
讲授新课
一 圆心角的定义 观察：1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图
形重合吗？由此你得到什么结论呢？
A
180 °
所以圆是中心对称图形
2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的
圆重合吗？
·
α O
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性
∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
E D C A · O
» =CD » = DE »， 解： ∵ BC
BOC COD DOE =35 ，
B
75 .
⌒ ⌒ ,∠ACB=60°, 例2 如图，在⊙O中， AB=AC
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. ⌒ ⌒， 证明：∵AB=CD ∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°，
如果圆心角相等
在 同 圆 或 等 圆 中
如果弧相等
那么
弦所对应的圆心角相等
如果弦相等
那么
弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等
要点归纳
弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的
圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的
圆心角相等，所对的弧相等．
关系结构图
的关系是（ A ） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A. AB=2CD B. AB>CD C. AB<CD D. 不能确定
» 4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，» AD BC
求证:AB＝CD.
证明：连接AO,BO,CO,DO.
C O
»， Q» AD BC
AOD BOC. AOD+BOD=BOC +BOD. 即AOB COD，
观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？ A
O
·
B
·
O
A
B
O
顶点在圆心上
A B
概念学习
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
⌒. 2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB
B M O A
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现三个量： 弧
圆心角 弦
判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明 理由.
圆外角
①
圆周角（后面 会学到）
②
圆心角
③
④
二 圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆中探究 ⌒， ⌒ 与CD 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB 弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
D · O
C B
归纳 由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD， 那么，» » ，弦AB=弦CD AB CD
的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
C D O B A
⌒ ⌒ ②AB=CD ③AB=CD
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图.
D O B A
C
题设 那么
结论 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等
AB =CD.
.
A
B
D
能力提升： ⌒ =2AB ⌒成 如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么CD 立吗？CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不是，那
它们之间的关系又是什么？
⌒ ⌒ 答：CD=2AB成立，CD=2AB不成立.
» 的中点E,连接OE.那么 不是，取 CD
A O
B C E D
» ∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 » AB = CE
又 OA＝OC , RtAOE≌RtCOF . ，那么
A．这两个圆心角所对的弦相等
（D ）
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60 ° . ⌒与 ⌒ 3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB CD
第二十四章
圆
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问 题.（重点） 3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆” 条件的意义.（难点）
= DE » .
» =2 » AB，弦AB=CE=DE,在 CD
△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.
B
·
A
O C
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化 是解题的关键.
填一填： 如图，AB、CD是⊙O的两条弦． = ∠COD ． （1）如果AB=CD，那么___________ ，AOB ____________ AB=CD ∠ AB=CD （2）如果 AB=CD ，那么____________ ， ∠AOB= ∠COD _____________ ． AB=CD （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________ ， _________ AB=CD ． E B A
(
(
(
(
(
(
O C
· F
D
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与
OF相等吗？为什么？ 解：OE=OF. 理由如下：
OE AB, OF CD, 1 1 AE AB, CF CD. 2 2 又 AB＝CD , AE＝CF .
A
E O ·
B
D F
C
A
在等圆中探究 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现
的等量关系是否依然成立？为什么？
A B
C D
O
·
· O′
归纳 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如
⌒ ⌒ 果∠AOB=∠COD，那么，AB =CD ，弦AB=弦CD.
要点归纳 弧、弦与圆心角的关系定理
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对
抢答题
1.等弦所对的弧相等.
2.等弧所对的弦相等.
（
） ×
（ √ ）
3.圆心角相等，所对的弦相等.
(
×）
C
4. 如图，AB 是⊙O 的直径， BC = CD = DE ， ∠COD=35°，∠AOE = 75° ． E D
A
· O
B
三 关系定理及推论的运用
典例精析
» =CD » = DE »， 例1 如图，AB是⊙O 的直径， BC
导入新课
情境引入
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块， 你会分吗？
讲授新课
一 圆心角的定义 观察：1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图
形重合吗？由此你得到什么结论呢？
A
180 °
所以圆是中心对称图形
2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的
圆重合吗？
·
α O
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性
∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
E D C A · O
» =CD » = DE »， 解： ∵ BC
BOC COD DOE =35 ，
B
75 .
⌒ ⌒ ,∠ACB=60°, 例2 如图，在⊙O中， AB=AC
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. ⌒ ⌒， 证明：∵AB=CD ∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°，
如果圆心角相等
在 同 圆 或 等 圆 中
如果弧相等
那么
弦所对应的圆心角相等
如果弦相等
那么
弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等
要点归纳
弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的
圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的
圆心角相等，所对的弧相等．
关系结构图
的关系是（ A ） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A. AB=2CD B. AB>CD C. AB<CD D. 不能确定
» 4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，» AD BC
求证:AB＝CD.
证明：连接AO,BO,CO,DO.
C O
»， Q» AD BC
AOD BOC. AOD+BOD=BOC +BOD. 即AOB COD，
观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？ A
O
·
B
·
O
A
B
O
顶点在圆心上
A B
概念学习
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
⌒. 2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB
B M O A
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现三个量： 弧
圆心角 弦
判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明 理由.