波导光学1-6-2
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1-6 弱导近似
[∇
和
2 t
2 t
2 2 2 + k0 n − β2 R E tR = −∇ t E tR • ∇ t ln n
2 2 + k0 n − β2 w E tw = 0
]
[
]
(1-6-5) (1-6-6)
[∇
]
将 E tR • (1 − 6 − 6 ) − E tw • (1 − 6 − 5) 对整个横截面积分，得到
当介电常数由 ε(x , y ) 变为 ε(x , y ) + δε(x , y ) 时，场解 F(x，y)及传播常数β均相应变至
F( x , y) + δF(x , y ) 及 β + δβ 。下面将证明：在一阶近似 条件下, δβ正比于δε, 而与δF 无关。 ．．．．
对于扰动后的场，式（1-6-3）可写为
]
(1-6-3)
其中 F 可以代表 Ex、Ey、Hx 或 Hy。式（1-6-3）的特点在于， ∇ t 不一定要在直角坐标系中展 开，而是视 n (ξ, η) 而定。例如，对于圆截面光纤，n=n(r)， ∇ t 就在圆柱坐标系中展开为
2
①
由§1-1 的折射率定则可知, ∆
≤ 1 的光波导,导光能力很弱,故得名.
ˆ 或只有 E y y ˆ ，而与折射率的横向分布规律无关 ˆ 、 Hxx ˆ 、 Hv y 总可以 使 Et 和 Ht 只有 E x x 。 ．．
换言之， 矢量波动方程式（1-3-13）将化为标量波动方程（忽略 ∇ t ln n 项）
2
[∇
2 t
2 2 + k0 n (ξ, η) − β 2 F(ξ, η) = 0 2
(1-7-1) (1-7-2)
波导光学讲稿1-1 (1)
导波光学是研究波长范围大体为0.1～10μm的电 磁波在各种波导结构中传播特性的科学
直到60年代中期，最好的光学玻璃 的传输损耗仍高达1000dB/km
意味着如果要在一公里长的光纤末端检测到一个波长为 1μm 的 光 子 ( 其 能 量 为 hv=6.625×10-34×3×1014~2×10-19J), 在其始端应输入的能量为2×1081J,这将远远超过太阳系形 成以来其全部辐射能量的总和
“光纤之父”----高锟博士 2009 诺贝尔 奖获得者
1966年：高锟博士发表他的著名论文“光频介 质纤维表面波导”首次明确提出:
带有包层的石英光学纤维, 通过改进制备工艺, 减少原材料杂质, 可使石英光纤的损耗大大下 降 , 并有可能拉制出损耗低于20dB/km的光纤, 从而使光纤可用于通信。
波导光学
刘晓华 xhliuxhliu@
绪论
“导光”的历史
中国古代烽火台 1854年：英国的廷达尔(Tyndall)就观察到
光在水与空气分界面上作全反射以致光随水 流而弯曲的现象； 1929-1930年：美国的哈纳尔(Hanael)和德 国的拉姆(Lamm)先后拉制出石英光纤并用于 光线和图象的短距离传输；
光波导理论
本章所要讲的重点内容： 折射率突变型二维波导 折射率渐变型二维波导 三维波导
光波导理论-折射率突变型二维波导
光波的传输方式
射线光学分析法 波动光学法
光波导理论-折射率突变型二维波导
光波的传输方式--射线光学分析法
射线光学方法：在光波波长可以忽略的极限情况下，可 以近似的认为光能是沿着一定的曲线传输的，用射线来 分析光波传播的方法称为射线光学方法或几何光学方法。 优点：用射线光学方法分析波导中光的传输，可以较简
直到60年代中期，最好的光学玻璃 的传输损耗仍高达1000dB/km
意味着如果要在一公里长的光纤末端检测到一个波长为 1μm 的 光 子 ( 其 能 量 为 hv=6.625×10-34×3×1014~2×10-19J), 在其始端应输入的能量为2×1081J,这将远远超过太阳系形 成以来其全部辐射能量的总和
“光纤之父”----高锟博士 2009 诺贝尔 奖获得者
1966年：高锟博士发表他的著名论文“光频介 质纤维表面波导”首次明确提出:
带有包层的石英光学纤维, 通过改进制备工艺, 减少原材料杂质, 可使石英光纤的损耗大大下 降 , 并有可能拉制出损耗低于20dB/km的光纤, 从而使光纤可用于通信。
波导光学
刘晓华 xhliuxhliu@
绪论
“导光”的历史
中国古代烽火台 1854年：英国的廷达尔(Tyndall)就观察到
光在水与空气分界面上作全反射以致光随水 流而弯曲的现象； 1929-1930年：美国的哈纳尔(Hanael)和德 国的拉姆(Lamm)先后拉制出石英光纤并用于 光线和图象的短距离传输；
光波导理论
本章所要讲的重点内容： 折射率突变型二维波导 折射率渐变型二维波导 三维波导
光波导理论-折射率突变型二维波导
光波的传输方式
射线光学分析法 波动光学法
光波导理论-折射率突变型二维波导
光波的传输方式--射线光学分析法
射线光学方法：在光波波长可以忽略的极限情况下，可 以近似的认为光能是沿着一定的曲线传输的，用射线来 分析光波传播的方法称为射线光学方法或几何光学方法。 优点：用射线光学方法分析波导中光的传输，可以较简
光波导技术-06-第六章 无源光波导器件-2016
(1
1 )2 1 )2
( t)2 (1 t ) 2
6.3 波导微环谐振器
“Control of Quality Factor and Critical Coupling in Microring Resonators Through Integration of a Semiconductor Optical Amplifier (SOA)”
intensity (@ 1569.239 5nm/)46
2、波导微环谐振器特性
Add-drop型波导微环谐振器
Drop
j
Drop
1 R
Add
Add
j
Inp ut
1 Through
直通端口输出强度函数
(1 ) (1 ) 2(1 ) cos() TT 1 (1 )2 2(1 ) cos()
Spectral response of GaAs–AlGaAs triple ring
IEEE J. of Lightwave Technology, vol. 20,
pp.900–905 , 2002 25/46
2、波导微环谐振器特性
全通型波导微环谐振器
周损耗因子
,
相位变化量
6.3 波导微环谐振器
光调制器、光波导放大器、激光器等
4/46
第六章 无源光波导器件
6.1 概述 6.2 波导光分路器 6.3 波导微环谐振器
第六章 无源光波导器件
6.1 概述 6.2 波导光分路器 6.3 波导微环谐振器
1、波导光分路器应用
6.2 波导光分路器
光纤到户（FTTH, fiber to the home）
104662波导光分路器2波导光分路器类型core3451933675114662波导光分路器2波导光分路器类型mmi型光分路器124662波导光分路器2波导光分路器类型mmi型光分路器134662波导光分路器2波导光分路器类型116mmi型光分路器144662波导光分路器2波导光分路器类型多模干涉型光分路器根据波导的色散方程可得到导模的纵向传播常数与横向传播常数的关系emxm是考虑古斯汉森位移后多模波导区各导模的有效宽度各导模的有效宽度可以用基模的有效宽度来近似clcococlcocococo154662波导光分路器2波导光分路器类型coco定义为基模和一阶导模的共振长度coco164662波导光分路器2波导光分路器类型设入射波导光场分布为则输入光波场进入到多模干涉区时可以展开为多模波导本征模式的迭加各个模式的权重系数相位因子多模干涉型光分路器其中1746平面光波导功率分路器plc62波导光分路器3波导光分路器产品1846平面光波导功率分路器plc62波导光分路器3波导光分路器产品1946第九章光纤接入网62波导光分路器3波导光分路器产品204662波导光分路器3波导光分路器产品214662波导光分路器3波导光分路器产品224662波导光分路器3波导光分路器产品61概述62波导光分路器63波导微环谐振器24461波导微环谐振腔器件63波导微环谐振器25461波导微环谐振腔器件63波导微环谐振器spectralresponsegaasalgaastripleringmeasuredfilterresponsetriplevcmrrieeelightwavetechnologyvol20pp152515292002ieeelightwavetechnologyvol20pp90090520022646nlfsrminmaxlog10nl2波导微环谐振器特性63波导微环谐振器全通型波导微环谐振器交叉强度耦合系数输出强度函数不同周损耗因子下的传输谱自由光谱范围3db带宽log2027461临界耦合特性可以实现陷波滤波开关调制等功能
1 )2 1 )2
( t)2 (1 t ) 2
6.3 波导微环谐振器
“Control of Quality Factor and Critical Coupling in Microring Resonators Through Integration of a Semiconductor Optical Amplifier (SOA)”
intensity (@ 1569.239 5nm/)46
2、波导微环谐振器特性
Add-drop型波导微环谐振器
Drop
j
Drop
1 R
Add
Add
j
Inp ut
1 Through
直通端口输出强度函数
(1 ) (1 ) 2(1 ) cos() TT 1 (1 )2 2(1 ) cos()
Spectral response of GaAs–AlGaAs triple ring
IEEE J. of Lightwave Technology, vol. 20,
pp.900–905 , 2002 25/46
2、波导微环谐振器特性
全通型波导微环谐振器
周损耗因子
,
相位变化量
6.3 波导微环谐振器
光调制器、光波导放大器、激光器等
4/46
第六章 无源光波导器件
6.1 概述 6.2 波导光分路器 6.3 波导微环谐振器
第六章 无源光波导器件
6.1 概述 6.2 波导光分路器 6.3 波导微环谐振器
1、波导光分路器应用
6.2 波导光分路器
光纤到户（FTTH, fiber to the home）
104662波导光分路器2波导光分路器类型core3451933675114662波导光分路器2波导光分路器类型mmi型光分路器124662波导光分路器2波导光分路器类型mmi型光分路器134662波导光分路器2波导光分路器类型116mmi型光分路器144662波导光分路器2波导光分路器类型多模干涉型光分路器根据波导的色散方程可得到导模的纵向传播常数与横向传播常数的关系emxm是考虑古斯汉森位移后多模波导区各导模的有效宽度各导模的有效宽度可以用基模的有效宽度来近似clcococlcocococo154662波导光分路器2波导光分路器类型coco定义为基模和一阶导模的共振长度coco164662波导光分路器2波导光分路器类型设入射波导光场分布为则输入光波场进入到多模干涉区时可以展开为多模波导本征模式的迭加各个模式的权重系数相位因子多模干涉型光分路器其中1746平面光波导功率分路器plc62波导光分路器3波导光分路器产品1846平面光波导功率分路器plc62波导光分路器3波导光分路器产品1946第九章光纤接入网62波导光分路器3波导光分路器产品204662波导光分路器3波导光分路器产品214662波导光分路器3波导光分路器产品224662波导光分路器3波导光分路器产品61概述62波导光分路器63波导微环谐振器24461波导微环谐振腔器件63波导微环谐振器25461波导微环谐振腔器件63波导微环谐振器spectralresponsegaasalgaastripleringmeasuredfilterresponsetriplevcmrrieeelightwavetechnologyvol20pp152515292002ieeelightwavetechnologyvol20pp90090520022646nlfsrminmaxlog10nl2波导微环谐振器特性63波导微环谐振器全通型波导微环谐振器交叉强度耦合系数输出强度函数不同周损耗因子下的传输谱自由光谱范围3db带宽log2027461临界耦合特性可以实现陷波滤波开关调制等功能
波导光学1-6——波导光学课件PPT
x 0
m
π
1!
2 X
m
x
NmX
2
X
sin X
4
m
2
在kcr 0时（光纤纤芯）呈发散状，物理上不合理，故舍去。
包层内
k02n2 - 2 kc2 0
其解： Rr KImmaaccrr
r a （4.7）
其中：
ac2
kc2
k02n
2
2
-2
0
K m ac r 和 I m ac r
k
2 0
n
2
k
2 c
纤芯内： k02n2 - 2 kc2 0
2
其解： Rr NJ mmkkccrr
ra
（4.6）
表示场量（电矢量或磁矢量）在横截面半径r 方向变化的规律。
J m kc r —— 第一类贝塞尔函数 N m kcr —— 第二类贝塞尔函数
（贝塞尔函数——级数表示的特殊函数）
变态贝塞尔函数
不合理
Km(X)在r较大时按指数规律迅速衰减，呈现表面波特性。 Im(X)随 r增大呈无限增大状态，物理上不合理，故舍去。
纵向分量Ez 和 Hz的特点： 1. 在纤芯内
1) 沿半径方向场量呈驻波分布，用贝塞尔函数描述。
2) 在圆周方向场量呈sin m 或 cos m 驻波分布，m是
E jH
H jE
z
r
横向分量以r和 为参量
略去推导过程，横向分量有：
kc2 Er
j
Ez r
j 0
r
H z
kc2 E
j
r
Ez
j 0
H z r
kc2 H r
j 0n2
波导光学1-5——波导光学课件PPT
条形光波导的分析方法
本讲可参考教材 导波光学
• 光在平板波导中传播时，在无约束的方向 上发散。为了避免这种情况，在集成光学 中通常采用条形波导。和平板波导相比， 条形波导的分析要复杂得多。通常采用近 似的方法对此进行分析。 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法 （有限差分，有限元）
1
n3 n1
n2
n3 n0
y
n2
x 2b n1
y
x
n5
neff
n3
n4 2a
(a)
(b)
25
y n2
x 2b n1
n4
(a)yΒιβλιοθήκη xn5neff
n3
2a
(b)
Ex mn
对于波导（a）是TE模，其本征方程为
Ky
•
2b
n
arc
K tan(
y
py
)
arc
K tan(
y
qy
)
其中，
Ky
(k0 2n12
2 y
)
1 2
py
(
2 y
k0
2n22
16
17
18
19
20
M=2, n=2
21
矩形波导的模场分布
•
以
Ey
/
H
为主的横向分量----
x
Emyn
• 以H y / Ex 为主的横向分量----
E
x mn
x、y分别代表电场矢量的偏振方向；
m、n为模式的序号---场量在x、y轴上出现极大值的个数
E1y1
Ey Hx
模 Emyn
1. 对于对称波导， 场量最大点在 条形波导中心
本讲可参考教材 导波光学
• 光在平板波导中传播时，在无约束的方向 上发散。为了避免这种情况，在集成光学 中通常采用条形波导。和平板波导相比， 条形波导的分析要复杂得多。通常采用近 似的方法对此进行分析。 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法 （有限差分，有限元）
1
n3 n1
n2
n3 n0
y
n2
x 2b n1
y
x
n5
neff
n3
n4 2a
(a)
(b)
25
y n2
x 2b n1
n4
(a)yΒιβλιοθήκη xn5neff
n3
2a
(b)
Ex mn
对于波导（a）是TE模，其本征方程为
Ky
•
2b
n
arc
K tan(
y
py
)
arc
K tan(
y
qy
)
其中，
Ky
(k0 2n12
2 y
)
1 2
py
(
2 y
k0
2n22
16
17
18
19
20
M=2, n=2
21
矩形波导的模场分布
•
以
Ey
/
H
为主的横向分量----
x
Emyn
• 以H y / Ex 为主的横向分量----
E
x mn
x、y分别代表电场矢量的偏振方向；
m、n为模式的序号---场量在x、y轴上出现极大值的个数
E1y1
Ey Hx
模 Emyn
1. 对于对称波导， 场量最大点在 条形波导中心
《波导光学》1-3
n2K0＜ ＜n1K0
场方程（平面光波导的Helmholtz方程 ）
d 2
dx2
k02n j2
2
0,
j
1,2,3
TE : Ey TM : H y
模式解: 参考课本P35-38 及教材附带课件
平面导波模式的场分布
导波模式是指波导空间的一种稳定分布，即在波的传输过程 中，一种模式的场在波导截面上分布保持其形状不变，但它 的相位可以不同，可以相差相位因子，以TE模讨论之.
x
x
x
n1
E
n2=n3 m=0
m=1
m=2
1 低阶模大， 即入射角大。而高阶模小， 两次全反射在z轴等距离， 低阶长， 高阶短
2）对高价模， 小，穿透n2, n3的深度大
平板波导模式分布
场在覆盖层和衬底中是按指数函数衰减的，衰减的 快慢分别由衰减系数2和3确定。
2和3的值大，则场衰减快，穿透深度1/ 2和1/ 3 就浅，说明场主要束缚在导波层中。反之， 2和3 的值小，则场衰减慢，穿透深度就深，说明波导束 缚场的能力差。
0 0
课本2.4-12,2.4-13
2E
n2 c2
2E t 2
0
2H
n2 c2
2H t 2
0
H
D t
,
D
E,
B
0H
A A 2A
n r ,c 1 00
谐变电磁场:线性介质中,电磁场可分解为谐变分量的叠加
以特定频率作简谐震荡的电磁场可以表示为:
Er,t Erexp jt Hr,t Hrexp jt
tan(k
x
a
)
2
kx
tan(kxa
1.1平板波导几何光学分析1102
1 1
1 1
导模
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
波导的n1、n2界面的全反射临界角 波导的n1、n3界面的全反射临界角 因为 n2 n3，所以 C12 C13
C 12 arcsin
C 13 arcsin
n2 n1
n3 n1
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
X 覆盖层 薄膜层 衬底层
Z
n3 n1 n2
Y
平板波导
Z-光波传输方向
从物理量随着指标变化来看，平板波导只与X、Z两 个指标波导。又可称平板波导为二维波导。
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
设n1 > n2 n3
n2= n3－对称平板波导； n2 n3－非对称平板波导；
sin 1 sin C 12 sin C 13
将
sin C 12
n2 n1
代入
n1sin 1 n2
n2 sin1 n1
k0n1sin 1 k0n2
而传播常数
k1z k0 n1 sin 1
n2 k0
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
1、导模 （1）传播常数 因为是导模，所以 1 > C12 C13， 定义：传播常数－薄膜层中，沿Z方向的波数。
k1z k0 n1 sin 1
n1k0
1
Z
＝k1z =n1k0 sin1
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
覆盖层中，
光波导基础及其常用器
mmay(mm)
在C点上两光线的电场为
E 1(y,z,t)E 0co ts (m zm y m ) E 2(y,z,t)E 0co ts (m zm y)
那么在C点上两光线干涉所形成的电场为
E (y ,z ,t) 2 E 0 co m y s 1 2 ( m )co t sm z ()
对应一个m值的传播模的电场可以写为,
E (y ,z ,t) 2 E m (y )co t sm z ) (
可以看到传播模横向模场分布不随光波的传播而改变,它是在横向形成的驻波
对称的平面波导－传播模
Symmetry Planar Dielectric Slab Waveguide
m=0,1,2传播模的横向分布
对称的平面波导－传播模
k1sinm
k1cosm
考虑两光线,它们相交于C点,而在C点相位差可以表示为,
m ( k 1 A m C ) k 1 A 'C 2 k 1 ( a y ) cm o m s
对称的平面波导－传播模
Symmetry Planar Dielectric Slab Waveguide
将波导条件代入上式得到,
Ey E(x)exip z)(
2 [ x2
k02n2(x)2]Ey
0
k0 200
E y A ei x k 0 2 n p 2 (2 x ) B ex ik 0 p 2 n 2 (2 x )
对于应波导的三个折射率不同的区域,方程的解为
<8-2>
<8-3> <8-4> <8-5>
Ey A 2e A 1e xix pk0 2 p n [1 2 2[ k 0 22 nx2 2]x ] B2 B e 1exx i pp k [0 2n [21 2 k 0 2n 22 2 xx ]] ,x a , xaa
在C点上两光线的电场为
E 1(y,z,t)E 0co ts (m zm y m ) E 2(y,z,t)E 0co ts (m zm y)
那么在C点上两光线干涉所形成的电场为
E (y ,z ,t) 2 E 0 co m y s 1 2 ( m )co t sm z ()
对应一个m值的传播模的电场可以写为,
E (y ,z ,t) 2 E m (y )co t sm z ) (
可以看到传播模横向模场分布不随光波的传播而改变,它是在横向形成的驻波
对称的平面波导－传播模
Symmetry Planar Dielectric Slab Waveguide
m=0,1,2传播模的横向分布
对称的平面波导－传播模
k1sinm
k1cosm
考虑两光线,它们相交于C点,而在C点相位差可以表示为,
m ( k 1 A m C ) k 1 A 'C 2 k 1 ( a y ) cm o m s
对称的平面波导－传播模
Symmetry Planar Dielectric Slab Waveguide
将波导条件代入上式得到,
Ey E(x)exip z)(
2 [ x2
k02n2(x)2]Ey
0
k0 200
E y A ei x k 0 2 n p 2 (2 x ) B ex ik 0 p 2 n 2 (2 x )
对于应波导的三个折射率不同的区域,方程的解为
<8-2>
<8-3> <8-4> <8-5>
Ey A 2e A 1e xix pk0 2 p n [1 2 2[ k 0 22 nx2 2]x ] B2 B e 1exx i pp k [0 2n [21 2 k 0 2n 22 2 xx ]] ,x a , xaa
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导模条件 V Vc
截止条件 V Vc
临界条件
V Vc
(2)HE模的截止条件
（a）m=1
Uc J1 (U
c)
0
0
U c＝1,n 1＝0,3.83171,7.01559,10.17347,13.32369....
模式
截止频率 Vc
若干HE1n模的截止频率
HE11 HE12
HE13
HE14
各模式U值变化范围如下表所示
模式名称
TE0n模 EHmn模 TM0n模
HEmn模 m=1 m≧2
U值 截止
μ 0n
远离截止 μ1n
μ mn
μ1(n-1) μ(m-2)n
μ(m+1) n μ0n
μ(m-1)n
色散曲线
色散曲线
• 色散曲线
– 结构参数给定的光纤中,模式分布是固定的。可根据本征值 方程式利用数值计算得到各导模传播常数β与光纤归一化 频率V值的关系曲线,称之为色散曲线。因此,本征值方程又 叫色散方程。
包层弥散的临界状态，此时的导波模径向归一化衰减常数 W=0，我们将此时的归一化频率V和归一化横向传播常数 U分别记为Vc、Uc。
(1)TE、TM模的截止条件 J0 (Uc ) 0
若干TE0n、TM0n模的截止频率
模式
TE01、TM01 TE02、TM02 TE03、 TM03 TE04、 TM04
• 色散曲线分析
– 图中每一条曲线都相应于一个导模。 – 平行于纵轴的竖线与色散曲线的交点数就是光纤中允许存
在的导模数。由交点纵坐标可求出相应导模的传播常数β。 – 给定V值, V=Vc, 则Vc越大导模数越多;反之亦然。 – 当Vc＜2.405时, 在光纤中只存在HE11模,其它导模均截止,
为单模传输。
两个出发点:
波动方程和电磁场表达式
特征方程和传输模式
三大步骤：
(1) 利用圆柱坐标系中的Helmholtz方程求出z方向的电场分量Ez 和磁场分量Hz。
(2) 由Ez和Hz求出r方向和φ方向的电场和磁场分量Er，Eφ，Hr， Hφ
(3) 利用Eφ ，Hφ在纤芯和包层界面连续的特点，即在r=a处 Eφ 1＝ Eφ 2， Hφ 1＝ Hφ 2，求出导波特征方程。
2
Ez r
0 0
k0 r
H z
E
k02
n
2
j
2
r
Ez
0 0
k0 r
H z r
Hr
j
k02n2 2
H z r
k0n2 r
Ez
H
j
k02n2 2
r
H z
0 0
k0n2
Ez
场方程与解的基本形式
六个场分量：Er，Eφ，Ez，Hr，Hφ，Hz。 但并不是相互独立的，横向分量由两个纵向分量唯一确定。
a a
H
z
(r,,
z,
t
)
CJ m DKm
U a W a
r
e e im i(t
z)
,
r
a
r
eim
ei
(t
z
)
,
r
a
横向分量由纵向分量确定。
本征值方程的导出
• 边界条件：在r = a, Ez, Hz, E φ, H φ 连续
– EIz|a = EIIz|a :
AJm(U)-BKm(W)=0
• 有效折射率：
neff / k0
• 归一化传输常数：
W2 b V2
ne2ff n22 n12 n22
贝塞尔函数递推公式(I)
微分公式：
J
' m
(x)
1 2
Jm1 (x) Jm1 (x)
m
1
递推公式： x Jm (x) 2 Jm1 (x) Jm1 (x)
1
大宗量近似：lim x
（3）HE模：Jm1(U ) Km1(W ) 或 UJm2 (U ) WKm2 (W )
UJm (U ) WKm (W ) Jm1(U )
Km1(W )
(4)LP模——线性极化模 Jl (U ) Kl (W )
UJl1(U ) WKl1(W )
1 l m 1
m 1
TE模和TM模 EH模 HE模
• Z方向电场和磁场分量的亥姆霍兹方程： x
2Ez + k 2Ez 0
2Hz + k2Hz 0
包层n2
r
纤芯n1
z
在柱坐标系下，有：
y
E ar Er a E + az Ez H ar Hr a H + az H z
2 Ez
1 r
r
r
Ez r
1 r2
2 Ez
2
2 Ez z 2
2H z
1 r
r
r
H z r
1 r2
2Hz
2
2Hz z 2
代入z方向上的亥姆霍兹方程：
1 r
r
r
Ez r
1 r2
2 Ez
2
2 Ez z 2
n2k02Ez
0
1 r
r
r
H z r
1 r2
2Hz
2
2Hz z 2
n2k02H z
0
横向分量可以由以下关系得到：
Er
j k02n2
– HIz|a = HIIz|a :
CJm(U)-DKm(W)=0
– EIφ|a = EII φ |a :
– HI φ |a = HII φ |a :
• 确定待定系数ABCD有非全零解：ABCD
系数行列式为零，即可导出本征值方程。
本征值方程
UJJmmUU
Km W wKm 形式：Jm呈振荡形式，Km则为衰减 形式。
• 本征解选取：
在纤芯中选取一类贝赛尔函数Jm， 在 包 层 中 选 取 第 二 类 贝 塞 尔 函 数 Km 。
本征解的确定
Ez
(r,
,
z,
t
)
AJm
BK
m
U a W a
r
eim
ei
(t
z
)
,
r
r
eim
ei
(t
z
)
,
r
– 纵坐标标准化频率的变化范围为0～1，对应于模折射率 n=n2和n=n1。
– 横坐标标准化频率V<2.40483时，只有混合模HE11可以 存在，这也就是光纤单模工作时的基模或主模，其他高 次模都是截止的。光纤是否单模工作，与芯径、工作频 率和折射率平方差的平方根有关；基模或主模是混合模 HE11，它没有截止频率，而其他模式都有截止频率。
11.61984 14.79595
可以看出，HE2n模与TE0n和TM0n模的归一化截止频 率相同，是互相简并的。 HE3n模与EH1n和HE1,n+1模的归一化截止频率相同， 是互相简并的。 依此类推，当m>3时，EHmn和HEm-2,n模的归一化截 止频率相同，是互相简并的。
现将较低的几个 模式的归一化截止频率按照由高 到低的顺序排列如下：
为了简化分析，将远离截止的状态看成 V 的极限情况。
模式远离截止的条件
W
Km (W ) 的渐近式为
Km (W )
eW
2W
上式对m=0和m>0都适用，将其代入各模式的特征方程
就可以得到远离截止时的特征方程。
（1）TE模和TM模远离截止时的U值
TE0n模和TM0n模远离截止时的特征方程
J1(U ) 0
线性极化模：
LPmn模表征了简并模 的叠加，可以简捷地
LP01 HE11 TE01
处理光在光纤中的传
播问题。
LP11
TM01
LPmn 模 的 下 标 m 表 示
HE21
沿圆周方向光场出现
最大值的对数，n表
EH11
示沿半径方向光场的 LP21
最大值个数。
HE11
LP模的分类及场分布和光斑
矢量模和标量模（线性偏振模，LP模）
有多个不同的解βmn(m=0,1,2,3... n=1,2,3...),每一个βmn 都 对应于一个导模。
本征值方程的导出-1
本征值方程的导出-2
归一化工作参数
• 归一化工作频率：
V 2 a 0
n12 n22 k0an1
2
• 归一化横向传播常数： U a n12k02 2
• 归一化横向衰减常数： W a 2 n22k02
EHmn模在远离截止时，其U的取值为(m+1)阶贝塞尔函数的根， 即μ（m+1）n，记作：U= μ（m+1）n ，与截止时的情况综合考虑， EHmn模的U值变化范围在μmn和μ（m+1）n之间。
(3) HEmn模远离截止时的U值
HEmn模远离截止时特征方程
Jm1(U ) 0
HEmn模在远离截止时，其U的取值为(m-1)阶贝塞尔函数的根，即 μ(m-1)n，记作：U=μ(m-1)n，与截止时的情况综合考虑，当m＝1时， HE1n模的U值变化范围在μ1(n-1)和μ0n之间；当m≥2时，HEmn模的 U值变化范围在μ(m-2)n和μ(m-1)n之间。
截 止 频 2.40483 率Vc
5.52008
8.65373
11.79153
• 各模式能否在光纤中传播而成为导模，是由光纤的实际归 一化频率（V）与模式的归一化截止频率（Vc）的相对大 小决定的。如果光纤的归一化频率大于某一模式的归一化 截止频率，则这个模式能在光纤中传播，成为导模；如果 光纤的归一化频率小于某一模式的归一化截止频率，则这 个模式被截止，不能在光纤中传播。即
截止条件 V Vc
临界条件
V Vc
(2)HE模的截止条件
（a）m=1
Uc J1 (U
c)
0
0
U c＝1,n 1＝0,3.83171,7.01559,10.17347,13.32369....
模式
截止频率 Vc
若干HE1n模的截止频率
HE11 HE12
HE13
HE14
各模式U值变化范围如下表所示
模式名称
TE0n模 EHmn模 TM0n模
HEmn模 m=1 m≧2
U值 截止
μ 0n
远离截止 μ1n
μ mn
μ1(n-1) μ(m-2)n
μ(m+1) n μ0n
μ(m-1)n
色散曲线
色散曲线
• 色散曲线
– 结构参数给定的光纤中,模式分布是固定的。可根据本征值 方程式利用数值计算得到各导模传播常数β与光纤归一化 频率V值的关系曲线,称之为色散曲线。因此,本征值方程又 叫色散方程。
包层弥散的临界状态，此时的导波模径向归一化衰减常数 W=0，我们将此时的归一化频率V和归一化横向传播常数 U分别记为Vc、Uc。
(1)TE、TM模的截止条件 J0 (Uc ) 0
若干TE0n、TM0n模的截止频率
模式
TE01、TM01 TE02、TM02 TE03、 TM03 TE04、 TM04
• 色散曲线分析
– 图中每一条曲线都相应于一个导模。 – 平行于纵轴的竖线与色散曲线的交点数就是光纤中允许存
在的导模数。由交点纵坐标可求出相应导模的传播常数β。 – 给定V值, V=Vc, 则Vc越大导模数越多;反之亦然。 – 当Vc＜2.405时, 在光纤中只存在HE11模,其它导模均截止,
为单模传输。
两个出发点:
波动方程和电磁场表达式
特征方程和传输模式
三大步骤：
(1) 利用圆柱坐标系中的Helmholtz方程求出z方向的电场分量Ez 和磁场分量Hz。
(2) 由Ez和Hz求出r方向和φ方向的电场和磁场分量Er，Eφ，Hr， Hφ
(3) 利用Eφ ，Hφ在纤芯和包层界面连续的特点，即在r=a处 Eφ 1＝ Eφ 2， Hφ 1＝ Hφ 2，求出导波特征方程。
2
Ez r
0 0
k0 r
H z
E
k02
n
2
j
2
r
Ez
0 0
k0 r
H z r
Hr
j
k02n2 2
H z r
k0n2 r
Ez
H
j
k02n2 2
r
H z
0 0
k0n2
Ez
场方程与解的基本形式
六个场分量：Er，Eφ，Ez，Hr，Hφ，Hz。 但并不是相互独立的，横向分量由两个纵向分量唯一确定。
a a
H
z
(r,,
z,
t
)
CJ m DKm
U a W a
r
e e im i(t
z)
,
r
a
r
eim
ei
(t
z
)
,
r
a
横向分量由纵向分量确定。
本征值方程的导出
• 边界条件：在r = a, Ez, Hz, E φ, H φ 连续
– EIz|a = EIIz|a :
AJm(U)-BKm(W)=0
• 有效折射率：
neff / k0
• 归一化传输常数：
W2 b V2
ne2ff n22 n12 n22
贝塞尔函数递推公式(I)
微分公式：
J
' m
(x)
1 2
Jm1 (x) Jm1 (x)
m
1
递推公式： x Jm (x) 2 Jm1 (x) Jm1 (x)
1
大宗量近似：lim x
（3）HE模：Jm1(U ) Km1(W ) 或 UJm2 (U ) WKm2 (W )
UJm (U ) WKm (W ) Jm1(U )
Km1(W )
(4)LP模——线性极化模 Jl (U ) Kl (W )
UJl1(U ) WKl1(W )
1 l m 1
m 1
TE模和TM模 EH模 HE模
• Z方向电场和磁场分量的亥姆霍兹方程： x
2Ez + k 2Ez 0
2Hz + k2Hz 0
包层n2
r
纤芯n1
z
在柱坐标系下，有：
y
E ar Er a E + az Ez H ar Hr a H + az H z
2 Ez
1 r
r
r
Ez r
1 r2
2 Ez
2
2 Ez z 2
2H z
1 r
r
r
H z r
1 r2
2Hz
2
2Hz z 2
代入z方向上的亥姆霍兹方程：
1 r
r
r
Ez r
1 r2
2 Ez
2
2 Ez z 2
n2k02Ez
0
1 r
r
r
H z r
1 r2
2Hz
2
2Hz z 2
n2k02H z
0
横向分量可以由以下关系得到：
Er
j k02n2
– HIz|a = HIIz|a :
CJm(U)-DKm(W)=0
– EIφ|a = EII φ |a :
– HI φ |a = HII φ |a :
• 确定待定系数ABCD有非全零解：ABCD
系数行列式为零，即可导出本征值方程。
本征值方程
UJJmmUU
Km W wKm 形式：Jm呈振荡形式，Km则为衰减 形式。
• 本征解选取：
在纤芯中选取一类贝赛尔函数Jm， 在 包 层 中 选 取 第 二 类 贝 塞 尔 函 数 Km 。
本征解的确定
Ez
(r,
,
z,
t
)
AJm
BK
m
U a W a
r
eim
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(t
z
)
,
r
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eim
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z
)
,
r
– 纵坐标标准化频率的变化范围为0～1，对应于模折射率 n=n2和n=n1。
– 横坐标标准化频率V<2.40483时，只有混合模HE11可以 存在，这也就是光纤单模工作时的基模或主模，其他高 次模都是截止的。光纤是否单模工作，与芯径、工作频 率和折射率平方差的平方根有关；基模或主模是混合模 HE11，它没有截止频率，而其他模式都有截止频率。
11.61984 14.79595
可以看出，HE2n模与TE0n和TM0n模的归一化截止频 率相同，是互相简并的。 HE3n模与EH1n和HE1,n+1模的归一化截止频率相同， 是互相简并的。 依此类推，当m>3时，EHmn和HEm-2,n模的归一化截 止频率相同，是互相简并的。
现将较低的几个 模式的归一化截止频率按照由高 到低的顺序排列如下：
为了简化分析，将远离截止的状态看成 V 的极限情况。
模式远离截止的条件
W
Km (W ) 的渐近式为
Km (W )
eW
2W
上式对m=0和m>0都适用，将其代入各模式的特征方程
就可以得到远离截止时的特征方程。
（1）TE模和TM模远离截止时的U值
TE0n模和TM0n模远离截止时的特征方程
J1(U ) 0
线性极化模：
LPmn模表征了简并模 的叠加，可以简捷地
LP01 HE11 TE01
处理光在光纤中的传
播问题。
LP11
TM01
LPmn 模 的 下 标 m 表 示
HE21
沿圆周方向光场出现
最大值的对数，n表
EH11
示沿半径方向光场的 LP21
最大值个数。
HE11
LP模的分类及场分布和光斑
矢量模和标量模（线性偏振模，LP模）
有多个不同的解βmn(m=0,1,2,3... n=1,2,3...),每一个βmn 都 对应于一个导模。
本征值方程的导出-1
本征值方程的导出-2
归一化工作参数
• 归一化工作频率：
V 2 a 0
n12 n22 k0an1
2
• 归一化横向传播常数： U a n12k02 2
• 归一化横向衰减常数： W a 2 n22k02
EHmn模在远离截止时，其U的取值为(m+1)阶贝塞尔函数的根， 即μ（m+1）n，记作：U= μ（m+1）n ，与截止时的情况综合考虑， EHmn模的U值变化范围在μmn和μ（m+1）n之间。
(3) HEmn模远离截止时的U值
HEmn模远离截止时特征方程
Jm1(U ) 0
HEmn模在远离截止时，其U的取值为(m-1)阶贝塞尔函数的根，即 μ(m-1)n，记作：U=μ(m-1)n，与截止时的情况综合考虑，当m＝1时， HE1n模的U值变化范围在μ1(n-1)和μ0n之间；当m≥2时，HEmn模的 U值变化范围在μ(m-2)n和μ(m-1)n之间。
截 止 频 2.40483 率Vc
5.52008
8.65373
11.79153
• 各模式能否在光纤中传播而成为导模，是由光纤的实际归 一化频率（V）与模式的归一化截止频率（Vc）的相对大 小决定的。如果光纤的归一化频率大于某一模式的归一化 截止频率，则这个模式能在光纤中传播，成为导模；如果 光纤的归一化频率小于某一模式的归一化截止频率，则这 个模式被截止，不能在光纤中传播。即