2019版高中数学第二章函数2.1.1函数练习

f(a)=-1,f(b)=1,f(c)=0;f(a)=1,f(b)=-1,f(c)=0.
综上可知,满足条件的映射有 7 个.
x2
★ 14 已知函数 f(x)=1 + x2.
( ) ( ) 1
1
(1)求 f(2)与 f 2 ,f(3)与 f 3 ;
( )1
(2)由(1)中求得的结果,你能发现 f(x)与 f x 的关系吗?并证明你的发现;
4x
6 函数 y=1 - x的值域是( )
A.{y|y≠1}
B.{y|y≠4}
C.{y|y≠-4}
D.{y|y≠-1}
4x
解析 y=1 - x
=
4x - 4 + 1-x
4
=-4+1
4 -
x,当 x≠1 时,1
4 -
x≠0,即-4+1
4 -
x≠-4,故函数的值域为{y|y≠-4}.
答案 C
1-x
7 函数 y=2x2 - 3x - 2的定义域为( )
由已知,得 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, 故 f(x)=x2-1(x≥1). 答案 x2-1(x≥1)
10 若关于 x 的函数 f(x)= a - x的定义域是{x|x≤-2},则实数 a= . 解析要使 f(x)有意义,应满足 a-x≥0,即 x≤a.
因为函数 f(x)的定义域为{x|x≤-2}, 所以 a=-2. 答案-2
A.(-∞,1]
B.(-∞,2]
( ) ( ) C.
- ∞, - 1
2
∪
- 1,1
2
( ) ( ] D.
- ∞, - 1
2
∪
- 1,1
2
{ 1 - x ≥ 0,
解析要使函数有意义,应满足 2x2 - 3x - 2 ≠ 0,
{ x ≤ 1,
x ≠ - 1,且x ≠ 2,
即
2
1
所以 x≤1,且 x≠-2,
( )1 =
( )1 2 3
=1
f3
( ) 1 + 1 2 3
10.
( )1
(2)由(1)中的结果发现 f(x)+f x =1.
证明如下:
( ) ( ) 1
x2
=
+
12 x
f(x)+f x
( ) 1 + x2
1+ 12
x
x2
1
+
=1 + x2 1 + x2=1.
12
1
(3)f(1)=1 + 12 = 2.
1 - g(x) 1 - (x2 - 1) 2 - x2
=
=
f(g(x))=1 + g(x) 1 + (x2 - 1)
x2 ,x≠0.
1-x
- (1 + x) + 2
2
(3)f(x)=1 + x =
1 + x =-1+1 + x.
2
因为 x∈R,且 x≠-1,所以1 + x≠0.
所以 f(x)≠-1.
( )1
由(2)知 f(2)+f 2 =1,
( )1
f(3)+f 3 =1,
……
( )1
f(2017)+f 2017 =1,
1
+
1
+
1
+
1+
⏟
…
+
1
故原式=2
2016个1
1
=2016+2
4033
=2.
11 若函数 f(x)的定义域是{x|x≥-2},则函数 y=f(-2x+1)的定义域是 . 解析依题意,要使函数 y=f(-2x+1)有意义,应满足-2x+1≥-2,
{ | } 3
xx≤3
即 x≤2,故其定义域为
2.
{ } |x x ≤ 3
答案
2
1-x
12 已知 f(x)=1 + x,x∈R,且 x≠-1,g(x)=x2-1,x∈R.
( ) ( ) ( ) 1
1
1
(3)求 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)+f 2 +f 3 +…+f 2017 .
x2
22
4
=
解(1)∵f(x)=1 + x2,∴f(2)=1 + 22 5,
( )1 =
( )1 2 2
=1
f2
( ) 1 + 1 2 2
5,
32
9
=
f(3)=1 + 32 10,
A.1
B.2
C.3
D.0
解析①③显然正确;不同的 x 值可对应同一个 y 值,如 y=x2,故②错误.
答案 B
3 已知 f(x)=x2-3x,且 f(a)=4,则实数 a 等于( )
A.4
B.-1
C.4 或-1
D.-4 或 1
解析由已知可得 a2-3a=4,即 a2-3a-4=0,解得 a=4 或 a=-1.
所以 f(x)的值域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),
又因为 g(x)=x2-1 的定义域是 R,x2-1≥-1,
所以 g(x)的值域为[-1,+∞).
13 已知 A={a,b,c},B={-1,0,1},映射 f:A→B 满足 f(a)+f(b)=f(c).求映射 f:A→B 的个数. 解方法一:由于 f(a),f(b),f(c)∈{-1,0,1},故符合 f(a)+f(b)=f(c)的 f(a),f(b),f(c)的取值情况
如下表所示:
f( f( f( a) b) c) 000 101 011
-1 0 -1 0 -1 -1 1 -1 0 -1 1 0
由上表可知,所求的映射有 7 个.
方法二:(1)当 A 中三个元素都对应 0 时,
f(a)+f(b)=0+0=0,f(c)=0,则有 f(a)+f(b)=f(c),有 1 个映射.
5 设集合 A 和集合 B 中的元素都属于 N+,映射 f:A→B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元 素为 n2+n,则在映射 f 下,象 20 的原象是( )
A.4
B.5
C.4,-5
D.-4,5
解析由题意,令 n2+n=20,得 n=4 或 n=-5.
又因为 n∈N+,所以 n=-5 舍去,所以 n=4. 答案 A
答案 C
4 若 M={x域,N 为值域的函数的是 ( )
解析四个选项中函数的定义域均为[0,2],且值域均为[1,2],但选项 D 不能构成函数,因为对于任意 的 x∈[0,2),对应的 y 值有 2 个,这不符合函数的定义,故选 D. 答案 D
( ) ( ] 即函数的定义域为
- ∞, - 1
2
∪
-
1,1
2
.
答案 D
8 已知集合 M={x|y=x2+1},N={y|y=x2+1},则 M∩N 等于 . 解析根据集合中元素的特征性质及函数的定义域、值域的概念,得 M=R,N=[1,+∞),
故 M∩N=[1,+∞). 答案[1,+∞)
9 已知 f( x+1)=x+2 x,则 f(x)= . 解析令 t= x+1,则 x=(t-1)2,且 t≥1.
(1)求 f(2),g(3);
(2)求 f(g(3)),f(g(x));
(3)求 f(x),g(x)的值域.
1-x
1-2 1
解(1)因为 f(x)=1 + x,所以 f(2)=1 + 2=-3.
又因为 g(x)=x2-1,所以 g(3)=32-1=8.
1-8 7
(2)f(g(3))=f(8)=1 + 8=-9,
(2)当 A 中三个元素对应 B 中两个元素时,满足 f(a)+f(b)=f(c)的映射有 4 个,它们分别是
f(a)=1,f(b)=0,f(c)=1;f(a)=0,f(b)=1,f(c)=1;f(a)=-1,f(b)=0,f(c)=-1;f(a)=0,f(b)=-
1,f(c)=-1. (3)当 A 中的三个元素对应 B 中三个元素时,有两个映射,它们分别是
2.1.1 函数
课时过关·能力提升
1
1 下列函数中,与函数 y= x有相同定义域的是( )
A.f(x)=x0
1
B.f(x)=x
C.f(x)=|x|
x
D.f(x)= x
答案 D
2 对于函数 y=f(x),下列命题正确的个数为( ) ①y 是 x 的函数; ②对于不同的 x 值,y 值也不同; ③f(a)表示当 x=a 时函数 f(x)的值,是一个常量.