材料力学弯矩曲率关系推导
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材料力学第5章 弯曲位移分析
§5-1 基本概念及工程实例 §5-2 挠曲线的微分方程 §5-3 用积分法求弯曲位移 §5-4 用叠加法求弯曲位移 §5-5 提高弯曲刚度的措施
§5-1 基本概念及工程实例
一、为什么要研究弯曲变形
M [ ] 仅保证构件不会发生破坏，
Wz 但如果构件的变形太大也不能正常工作。 1、构件的变形限制在允许的范围内。
例题2求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。 M x 1 qL x2
B
2
A
x
l
x
EIz
Mx
1 2
q
L
x
2
y
边界条件
EIz
EIz
1 6
qL
x3
C1
EIz
1 24
qL
x4
C1 x
C2
x0 0
x0 0
xL
B
qL3 6EIz
qL3 C1 6EIz
C2
qL3 24EIz
B
qL4 8EIz
q L x3 L3 6EIz
o
xo
x
M
M
d2y dx2 0
y
M
M
d2y dx 2
0
y
因此, w与 M 的正负号相反
d 2ω
dx 2
1
(
dω dx
)2
3
M(x) EI Z
w2与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
d 2ω M(x)
dx 2
EI Z
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程
近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项;
q L x4 4L3 x L4 24 EI z
§5-1 基本概念及工程实例
一、为什么要研究弯曲变形
M [ ] 仅保证构件不会发生破坏，
Wz 但如果构件的变形太大也不能正常工作。 1、构件的变形限制在允许的范围内。
例题2求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。 M x 1 qL x2
B
2
A
x
l
x
EIz
Mx
1 2
q
L
x
2
y
边界条件
EIz
EIz
1 6
qL
x3
C1
EIz
1 24
qL
x4
C1 x
C2
x0 0
x0 0
xL
B
qL3 6EIz
qL3 C1 6EIz
C2
qL3 24EIz
B
qL4 8EIz
q L x3 L3 6EIz
o
xo
x
M
M
d2y dx2 0
y
M
M
d2y dx 2
0
y
因此, w与 M 的正负号相反
d 2ω
dx 2
1
(
dω dx
)2
3
M(x) EI Z
w2与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
d 2ω M(x)
dx 2
EI Z
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程
近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项;
q L x4 4L3 x L4 24 EI z
弯矩 曲率关系
c0 0.00,2cu0.0033
11.0
1
0.8, 0.7,
fcu 50Mpa fcu 50Mpa
线性插值（《混凝土结构设计
规范》GB50010 ）
六、受弯构件正截面简化分析
1. 压区混凝土等效矩形应力图形（极限状态下）
定义：
x h0
xn=nh
0
1c0
yc C
x=1xn
对试验梁，已知b、h0、As、fc、fy、Es， Mu
MI
Mcr
MII
My
(Mu) MIII
t<ft
sAs
sAs t=ft(ct =tu)
s<y
sAs
s= fyAs
y
fyAs s>y
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
结论
•适筋梁具有较好的变形能力，超筋梁和少筋梁的破坏具有突然性，设计 时应予避免
•在适筋和超筋破坏之间存在一种平衡破坏。其破坏特征是钢筋屈服的同 时，混凝土压碎
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
1. 基本假定
P
平截面假定----平均应变意义上
As’
as’
dy
y
h
L/3
L/3
ct
L
c
s’ nh0
As
as b
s
b c
(1-n)h0
忽略剪切变形对梁、柱构件变形的影响
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
截面的相容关系
as h/2as h h/2as
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
拉区混凝土开裂后的处理
As
as 1
h/2-
材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
《弯矩曲率关系》课件
曲率的定义
曲率：描述曲线弯曲程度的量， 定义为曲线上任一点处切线方向 角的变化量与经过的弧长的比值
。
在数学上，曲率是用来衡量曲线 上某一点附近的小弧段弯曲程度
的量。
对于直线，其曲率为0；对于圆 ，其曲率是一个常数，等于圆的
半径倒数。
曲率的计算
曲率计算公式：K = lim(Δs->0) [Δs / (Δt)^2] / lim(Δt>0) [Δs / Δt]
在机械工程中的应用
传动系统设计
在机械传动系统中，弯矩曲率关系对于齿轮、轴等部件的设计和优化具有指导意义。了解弯矩与曲率的关系有助 于提高传动系统的效率和稳定性。
疲劳分析
在机械部件的疲劳分析中，弯矩曲率关系是评估其疲劳寿命的重要因素之一。通过对弯矩和曲率的变化规律进行 分析，可以预测部件的疲劳寿命和潜在的疲劳断裂风险。
在工程结构中，弯矩和曲率是密切相关的。例如，在桥梁、建筑和机械设计中，需 要考虑到结构的弯曲程度和弯矩之间的关系。
当结构受到外力作用时，会发生弯曲变形，曲率会发生变化，同时弯矩也会随之改 变。因此，在设计时需要考虑到结构的承载能力和稳定性。
了解弯矩与曲率的关系有助于工程师更好地设计结构，确保其安全性和稳定性。
需要研究弯矩曲率关系在不同温度、湿度等环境 条件下的变化规律。
需要探索弯矩曲率关系在复合材料、智能材料等 新型材料中的应用。
对学习者的建议
学习者应该深入理解弯矩和曲 率的定义及测量方法。
学习者应该掌握弹性力学和 材料力学的基本原理，以便 更好地理解弯矩曲率关系。
学习者可以通过实验和实践来 加深对弯矩曲率关系的理解和
应用。THANΒιβλιοθήκη S感谢观看详细描述
弯矩是材料力学中一个重要的概念，用于描述弯曲变形过程 中截面所受到的力矩作用。在材料受到弯曲时，截面上会产 生剪力和弯矩，弯矩的大小与剪力和中性轴距离有关。
材料力学
bh3 bh2 12 h 6 2
h
y
z
实心圆
空心圆
z y
z C y d
D
Iz
D 4
64
Iz
D 4 d 4
64 64
4
Wz
D 3
32
d Wz (1 ) D 32
D 3
41
箱形截面
y
Iz Wz ymax
BH bh 12 12 H 2
3 3
x y
y
y
min
xy
x
2 一点处有三个主应力，按代数 值大小排列分别记为 1，2， 3
2 0、（2 0 ） 0、（ 0 ）
x
max
1 2 3
极值剪应力
x y 2 2 max max min ( ) xy 2 2 min
P P P d Pbs t
挤压面
有效挤压面积 dt
双剪——有两个剪切面
Q=P/2
Q
P/2 P P P P/2 二个剪切面 P
Q
三、实用计算及强度条件
实用计算
1、假定剪切面上的应力分布规律；
2、确定破坏应力的试验，所用试件的形状及受力 情况与实际构件相似或相同。
强度条件 剪切强度条件 剪断条件
m=Q/Am [m]
1 2
max
1 3
2
3
2 1
12
2 2 3 23 2 1 3 13 2
五、 复杂应力状态下应力应变关系
1 x x y E
1 y y x E
y
材料力学5-弯曲强度
1. 杆件轴向拉伸或压缩时的变形
载荷与内力成正比，因此荷载与它所引起的变形成 线性关系：载荷增加一倍，变形增加一倍。
2. 圆轴扭转时的变形
载荷与内力成正比，因此荷载与它所引起的变形成 线性关系：载荷增加一倍，变形增加一倍。
3. 梁的弯曲变形
载荷它所引起的变形成线性关系：载荷增加一倍， 变形增加一倍。 那么，如果变形中有同载荷无关的项，意味着载荷 为0时，梁也有变形。
2.曲率与弯矩的符号关系 M与w''的符号相反。 梁弯曲时轴线曲率：
7.2 用积分法求梁的位移
梁的挠曲线近似微分方程:
式中积分常数C、D由约束条件和连续条件（统称 边界条件）确定。
要求： （1）约束处满足位移约束条件； （2）梁轴中间的点满足连续与光滑条件弯矩方程不连 续时要分段积分。
注意
1. 分段连续弯矩方程必须从原点沿x的正向依 次写出； 2. 对含（x-a）项可不展开，把它视为新变量 积分，更为方便； 3. 挠曲轴是一条连续而光滑的曲线（中间铰链 除外，该处只连续而不光滑）,为此必须满 足连续光滑条件。
7.3 用叠加法计算梁的变形 在材料服从胡克定律（线弹性）、且变形很小（小 变形）的前提下，载荷与它所引起的变形成线性关 系。
弯曲变形的基本概念 1.挠曲线
挠曲线方程：
2.挠度和转角 挠度w：横截面 形心处的铅垂位 移。
ห้องสมุดไป่ตู้
转角θ：横截面绕 中性轴转过的角 度。 规定向y正向的挠 度为正，顺针向 的转角为正。 转角方程
曲线y = f ( x )的曲率为：
几何方法
材料力学方法
又因为挠曲线非常平坦，即w’<<1
第 七 章 梁的位移
材料力学弯曲变形
第18页/共34页
三、提高梁的刚度的措 施 由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：
梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于 下面三个因素：
材料——梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比； 截面——梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比； 跨长——梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。
1 3
(L2
b2 )
e) 跨中点挠度及两端端截面的转角
y
x=
L 2
=
Fb 48EI
(3L2
4b2 );
=
y
x=
L 2
=
Fb 24LEI
L2 4b2
两端支座处的转角——
A
=
Fab(L 6LEI
b)
;
B
=
Fab(L 6LEI
a)
第8页/共34页
讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。
左 侧
1max y1 = 0 x1 = 0
等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。
M = M1 M2 M3 EIyi = M i (x)
EIy1 = M1( x) EIy2 = M 2 ( x) EIy3 = M 3 ( x)
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叠加法计算梁的变形
EIy = M (x)
y = y1 y2 y3 M (x) = M1 M 2 M3
第5页/共34页
例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。
解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) = F(L x)
b) 写出微分方程并积分
EIy = M (x) = F(L x)
EIy
=
1 2
F
(L
弯矩曲率关系
1. 基本假定
混凝土受压时的应力-应 变关系
n
2
1 60
(
fcu
50),当n
2时，取n
2
当应力较小时，如 c 0.3 fc时，可取 c Ecc
c fc
c
f
c
1
1
c 0
n
o
0
0 0.002 0.5 fcu 50105
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
最小配筋率
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果 P
M
超筋 平衡
III
适筋
L/3 L
II 少筋 I O
最小配筋率
c
c
c
c
L/3
(c’<u) c
MI
Mcr
MII
My
(Mu) MIII
t<ft
sAs
sAs t=ft(ct =tu)
s<y
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
截面的平衡方程
As
as
h/2as h h/2as
as
1
i
Zi
截面中心线 s n
As
b
c1 s ci M
N
X 0,
n
ci Ai
' s
As'
s As
N
0
i 1
sAs ci
sAs
M 0,
荷载分 配梁 P
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材料力学弯矩曲率关系推导
一、概述
在材料力学中，弯矩曲率关系是非常重要的一个概念。
它描述了杆件在受到弯曲作用时的变形情况，是理解和分析结构力学问题的基础。
本文将从基本概念入手，介绍弯矩曲率关系的推导过程，并给出实际应用案例。
二、基本概念
1. 弯矩
弯矩是指杆件在受到弯曲作用时所产生的内力。
通常用M表示，单位为牛米（N·m）。
2. 曲率
曲率是指杆件在受到弯曲作用时所产生的变形程度。
通常用ρ表示，单位为米（m）。
3. 弯矩曲率关系
弯矩和曲率之间存在着一定的关系，称为弯矩曲率关系。
它描述了当
外力作用于杆件上时，杆件内部所产生的应力和变形情况。
三、推导过程
1. 假设条件
为了方便推导，我们假设杆件为梁形截面，并且只受到纵向载荷和垂
直于截面平面方向的剪力和弯矩作用。
2. 基本方程
根据材料力学的基本原理，我们可以得到以下方程：
σ = M·y/I
其中，σ表示截面内的应力，M表示弯矩，y表示距离中性轴的距离，I表示截面惯性矩。
3. 推导过程
为了推导出弯矩曲率关系，我们需要对上述方程进行求导。
具体过程如下：
dσ/dy = M/I
d^2σ/dy^2 = d(M/I)/dy = -M/ I^2 · dI/dy
其中，dσ/dy表示应力沿截面高度方向的变化率（即曲率），
d^2σ/dy^2表示曲率沿截面高度方向的变化率（即弯矩曲率关系）。
由于I是与截面形状和尺寸有关的常数，在计算时可以视为已知量。
因此，我们可以将上式改写为：
d^2σ/dy^2 = -M/ I^2 · dI/dx
这就是弯矩曲率关系的基本公式。
它表明了当外力作用于杆件上时，杆件内部所产生的应力和变形情况之间存在着一定的联系。
四、实际应用
1. 弯曲分析
利用弯矩曲率关系，我们可以对杆件的弯曲情况进行分析。
通过计算杆件所受的弯矩和曲率，可以得出杆件内部应力和变形情况，从而判
断其是否满足设计要求。
2. 结构设计
在结构设计中，弯矩曲率关系也是一个非常重要的概念。
通过对结构中各个部分所受的载荷进行分析，并根据弯矩曲率关系计算出所需的截面形状和尺寸，可以保证结构的安全性和稳定性。
3. 工程实践
弯矩曲率关系在工程实践中也有广泛的应用。
例如，在建筑工程中，工程师需要对楼板、梁、柱等各个部分进行弯曲分析，并根据实际情况确定其截面形状和尺寸；在机械制造领域中，工程师需要对各种零件进行弯曲分析，并根据实际情况确定其材料选择和加工工艺。
五、总结
本文介绍了弯矩曲率关系的基本概念和推导过程，并给出了实际应用案例。
通过学习本文，读者可以更加深入地理解材料力学中的弯矩曲率关系，为工程实践提供有力的支持。