弯矩曲率计算示例(1)
弯矩计算公式
弯矩计算公式：mmax = FL /2。
（mmax是最大弯矩，f是外力，l是力臂）。
弯矩图用于显示弯矩沿梁每个横截面的轴的变化。
规则总结如下：
（1）在梁的某个截面上，如果没有分布载荷，即Q（x）= 0，则可以从D？看到。
M（x）/ DX？2 = q（x）= 0，其中m（x）是X的函数，弯矩图是斜线。
（2）在梁的某个截面上，如果施加了分布式载荷，即Q（x）=常数，则d?。
2m （x）/ DX？2 = q（x）=常数可以得出，m（x）是X的二次函数。
弯曲的道矩图是抛物线。
（3）如果在梁的某个截面上fs（x）= DM（x）/ DX = 0，则该截面上的弯矩存在一个极值（最大值或最小值）。
即，弯矩的极值出现在剪切力为零的截面上。
扩展数据
一般来说，弯矩的正负在不同学科上有不同的规定。
如果指定了正负力矩，则可以通过代数计算弯矩。
在计算柱弯矩时，判别方法为“左上和右下为正，左下和右上为负”。
如果截面左侧到截面质心的外力力矩顺时针旋转，或者截面右侧向截面质心的逆时针力矩，则会产生正值。
弯矩，因此取正号；否则为负，即左侧为顺时针，右侧为反向，弯矩为正。
对于土木结构梁（指水平构件），当构件截面的下侧承受拉力时，该截面的弯矩称为正弯矩；弯矩称为正弯矩。
当组成部分的上侧承受拉力时，该部分的弯矩称为负弯矩。
梁的支承反作用力和弯矩都是载荷（Q，M0）的线性函数，也就是说，反作用力或弯矩与载荷呈线性关系。
在这种情况下，由G和M0共同作用产生的反作用力或弯矩等于由G和M0单独作用所产生的反作用力或弯矩的代数和。
弯矩 曲率关系
c0 0.00,2cu0.0033
11.0
1
0.8, 0.7,
fcu 50Mpa fcu 50Mpa
线性插值（《混凝土结构设计
规范》GB50010 ）
六、受弯构件正截面简化分析
1. 压区混凝土等效矩形应力图形（极限状态下）
定义：
x h0
xn=nh
0
1c0
yc C
x=1xn
对试验梁，已知b、h0、As、fc、fy、Es， Mu
MI
Mcr
MII
My
(Mu) MIII
t<ft
sAs
sAs t=ft(ct =tu)
s<y
sAs
s= fyAs
y
fyAs s>y
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
结论
•适筋梁具有较好的变形能力，超筋梁和少筋梁的破坏具有突然性，设计 时应予避免
•在适筋和超筋破坏之间存在一种平衡破坏。其破坏特征是钢筋屈服的同 时，混凝土压碎
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
1. 基本假定
P
平截面假定----平均应变意义上
As’
as’
dy
y
h
L/3
L/3
ct
L
c
s’ nh0
As
as b
s
b c
(1-n)h0
忽略剪切变形对梁、柱构件变形的影响
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
截面的相容关系
as h/2as h h/2as
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
拉区混凝土开裂后的处理
As
as 1
h/2-
弯矩计算公式各单位
弯矩计算公式各单位弯矩计算公式及其应用。
引言。
在工程学中，弯矩是一个非常重要的概念，它在结构设计和力学分析中起着至关重要的作用。
弯矩是指在一个材料或结构体上由外部力产生的弯曲力矩。
弯矩的计算对于工程设计和结构分析至关重要，因此掌握弯矩的计算公式和应用是非常重要的。
本文将介绍弯矩的计算公式以及其在工程学中的应用。
弯矩的定义。
在力学中，弯矩是指在一个材料或结构体上由外部力产生的弯曲力矩。
当一个物体受到外部力的作用时，如果这些力不在物体的重心线上，就会产生弯曲力矩。
弯矩的大小取决于外部力的大小和作用点的距离，通常用M来表示。
弯矩的单位是牛顿米（N·m）或者磅英尺（lb·ft）。
弯矩的计算公式。
弯矩的计算公式可以根据不同的情况进行推导，下面将介绍几种常见的情况。
1. 简支梁的弯矩计算。
当一个简支梁受到集中力作用时，弯矩的计算公式为：M = F d。
其中，M为弯矩，F为作用力的大小，d为作用点到支点的距离。
2. 均布载荷下的弯矩计算。
当一个梁受到均布载荷作用时，弯矩的计算公式为：M = w l^2 / 8。
其中，M为弯矩，w为均布载荷的大小，l为梁的长度。
3. 不等强度梁的弯矩计算。
当一个梁的截面不均匀或者材料的强度不均匀时，弯矩的计算公式为：M = σ I / c。
其中，M为弯矩，σ为材料的应力，I为截面的惯性矩，c为截面到受力点的距离。
弯矩的应用。
弯矩的计算公式可以应用在各种工程学问题中，下面将介绍几种常见的应用。
1. 结构设计。
在建筑和桥梁等结构设计中，弯矩的计算是非常重要的。
设计师需要根据结构的形状和受力情况来计算弯矩，以确定结构的强度和稳定性。
2. 材料选择。
在材料工程中，弯矩的计算可以帮助工程师选择合适的材料。
根据弯矩的大小和受力情况，工程师可以选择合适的材料来满足设计要求。
3. 结构分析。
在结构分析中，弯矩的计算可以帮助工程师确定结构的受力情况和变形情况。
通过计算弯矩，工程师可以评估结构的稳定性和安全性。
弯矩计算公式有几种形式
弯矩计算公式有几种形式弯矩计算公式的几种形式。
在工程力学和结构设计中，弯矩是一个重要的概念，用于描述材料在受力时的弯曲情况。
弯矩的计算公式有多种形式，可以根据不同的情况和需求进行选择和应用。
本文将介绍几种常见的弯矩计算公式，并对其适用范围和特点进行分析。
1. 弯矩的基本定义。
在介绍弯矩的计算公式之前，我们先来了解一下弯矩的基本定义。
弯矩是指在梁或梁柱等结构受力时，由于外力的作用而产生的一种内力，它的作用是使结构产生弯曲变形。
在数学上，弯矩可以用力矩来表示，即力矩是由外力在结构上产生的引起结构弯曲的力的矩。
弯矩的大小和方向与外力的大小、作用点和结构的几何形状有关。
2. 弯矩的计算公式。
弯矩的计算公式有多种形式，可以根据结构的几何形状和受力情况来选择合适的公式进行计算。
下面我们将介绍几种常见的弯矩计算公式。
2.1 点弯矩计算公式。
对于梁上的一个点来说，它所受到的弯矩可以通过以下公式来计算：M = F d。
其中，M表示弯矩，F表示作用在点上的外力的大小，d表示外力的作用点到梁的中心线的距离。
2.2 分布载荷下的弯矩计算公式。
当梁上受到均布载荷时，可以用以下公式来计算弯矩：M = (w L^2) / 8。
其中，M表示弯矩，w表示均布载荷的大小，L表示梁的长度。
2.3 集中力和均布载荷共同作用下的弯矩计算公式。
当梁上同时受到集中力和均布载荷时，可以用以下公式来计算弯矩：M = (F a) (w a^2) / 2。
其中，M表示弯矩，F表示集中力的大小，a表示集中力作用点到梁的端点的距离，w表示均布载荷的大小。
3. 弯矩计算公式的应用。
弯矩计算公式在工程实践中有着广泛的应用，可以用于结构设计、材料选择和工程施工等方面。
在进行结构设计时，通过计算弯矩可以确定结构的受力情况和强度要求，从而选择合适的材料和断面形状。
在工程施工中，通过计算弯矩可以确定梁的支撑方式和施工工艺，保证结构的安全和稳定。
4. 弯矩计算公式的选择和应用注意事项。
UCfber在钢筋混凝土截面弯矩_曲率计算中的应用
4 混凝土二次衬砌
为保证二次衬砌进度，并做到内实、外美，采用
2 台 9m 长整体钢模衬砌台车，台车总重量达 60t，主 骨架部分在厂家生产，现场安装后，焊接顶面钢板， 为保证模板周转使用不变形，采用 8mm 厚钢板，现 场安装需要一个月时间。二次衬砌要做到仰拱先行 创造环境，适时衬砌保安全。7 月初开始衬砌，在雨 季前完成进出口二次衬砌，施工安全得到保证。
Moment/kN*m Moment/kN*m
244800。如果该桥梁在罕遇地震顺桥向作用下，固定 墩墩底截面弯矩小于 92710，则说明固定墩墩底截 面处于弹性工作状态；如果固定墩墩底截面弯矩大 于 92710 但小于 476000，说明固定墩墩底截面已经 达到屈服状态但是尚未破坏，上述两种状态证明该
ρx，ρy—分别为箍筋在 x, y 的体积含筋率。由公
式（5）计算。
ρx
=
Asx s×dc
(5a)
ρy
=
Asy s×bc
(5b)
其中：
dc —矩形截面沿 Y 轴方向算到箍筋外缘的宽；
bc —矩形截面沿 X 轴方向算到箍筋外缘的宽；
S—纵向箍筋的间距。
算出 f′lx 和 f′ly 之后，就可以利用约束应力与约
开裂弯矩 /kN·m 28460 77040 67690 144900 92710 186300
表 1 各墩墩底截面弯矩 - 曲率计算结果
开裂曲率 /rad·m-1 1.237e-4 4.837e-5 1.124e-4 4.747e-5 9.684e-5 4.539e-5
屈服弯矩 /kN·m 90100 237500 171300 375000 223200 476000
弯矩计算公式简
弯矩计算公式简弯矩是工程力学中的一个重要概念，用来描述材料在受力作用下的弯曲程度。
在工程设计和结构分析中，弯矩计算是非常重要的一部分，可以帮助工程师确定材料的强度和结构的稳定性。
在本文中，我们将介绍弯矩的计算公式，并且讨论一些相关的概念和应用。
弯矩的定义是在一个横截面上的受力情况下，引起该横截面产生弯曲的力矩。
在工程中，通常使用符号M来表示弯矩。
弯矩的计算公式可以根据不同的情况分为静定弯矩和非静定弯矩。
静定弯矩是指在横截面上受力情况已知的情况下，可以通过简单的力学原理来计算弯矩的情况。
静定弯矩的计算公式可以表示为：M = F d。
其中，M表示弯矩，F表示作用力的大小，d表示作用力到横截面的距离。
这个公式适用于简单的梁的情况，可以通过简单的几何关系来计算。
但是在实际工程中，很多情况下横截面上的受力情况并不是静定的，这时就需要使用非静定弯矩的计算公式。
非静定弯矩的计算需要考虑横截面上的应力分布情况，通常需要使用积分的方法来计算。
对于一个梁的情况，可以使用以下公式来计算非静定弯矩：M = ∫(y σ) dA。
其中，M表示弯矩，y表示横截面上某一点到中性轴的距离，σ表示该点上的应力，dA表示微元面积。
这个公式可以帮助工程师计算出横截面上各点的弯矩，从而确定材料的强度和结构的稳定性。
除了上述的基本弯矩计算公式之外，还有一些相关的概念和应用需要了解。
例如，中性轴是指横截面上受力情况对称的轴线，沿着这条轴线的弯矩为零。
中性轴的位置对于材料的强度和结构的稳定性有着重要的影响，可以通过弯矩的计算来确定。
此外，弯矩的计算还可以应用到梁的设计和分析中。
工程师可以通过计算弯矩来确定梁的尺寸和材料的选择，从而确保结构的安全性和稳定性。
弯矩的计算也可以帮助工程师预测材料在受力情况下的变形情况，从而进行合理的设计和优化。
总之，弯矩的计算公式是工程力学中的重要内容，可以帮助工程师确定材料的强度和结构的稳定性。
通过简单的静定弯矩公式和复杂的非静定弯矩公式，工程师可以计算出横截面上各点的弯矩，从而进行合理的设计和分析。
《弯矩曲率关系》课件
曲率的定义
曲率：描述曲线弯曲程度的量， 定义为曲线上任一点处切线方向 角的变化量与经过的弧长的比值
。
在数学上，曲率是用来衡量曲线 上某一点附近的小弧段弯曲程度
的量。
对于直线，其曲率为0；对于圆 ，其曲率是一个常数，等于圆的
半径倒数。
曲率的计算
曲率计算公式：K = lim(Δs->0) [Δs / (Δt)^2] / lim(Δt>0) [Δs / Δt]
在机械工程中的应用
传动系统设计
在机械传动系统中，弯矩曲率关系对于齿轮、轴等部件的设计和优化具有指导意义。了解弯矩与曲率的关系有助 于提高传动系统的效率和稳定性。
疲劳分析
在机械部件的疲劳分析中，弯矩曲率关系是评估其疲劳寿命的重要因素之一。通过对弯矩和曲率的变化规律进行 分析，可以预测部件的疲劳寿命和潜在的疲劳断裂风险。
在工程结构中，弯矩和曲率是密切相关的。例如，在桥梁、建筑和机械设计中，需 要考虑到结构的弯曲程度和弯矩之间的关系。
当结构受到外力作用时，会发生弯曲变形，曲率会发生变化，同时弯矩也会随之改 变。因此，在设计时需要考虑到结构的承载能力和稳定性。
了解弯矩与曲率的关系有助于工程师更好地设计结构，确保其安全性和稳定性。
需要研究弯矩曲率关系在不同温度、湿度等环境 条件下的变化规律。
需要探索弯矩曲率关系在复合材料、智能材料等 新型材料中的应用。
对学习者的建议
学习者应该深入理解弯矩和曲 率的定义及测量方法。
学习者应该掌握弹性力学和 材料力学的基本原理，以便 更好地理解弯矩曲率关系。
学习者可以通过实验和实践来 加深对弯矩曲率关系的理解和
应用。THANΒιβλιοθήκη S感谢观看详细描述
弯矩是材料力学中一个重要的概念，用于描述弯曲变形过程 中截面所受到的力矩作用。在材料受到弯曲时，截面上会产 生剪力和弯矩，弯矩的大小与剪力和中性轴距离有关。
均布荷载的弯矩
均布荷载的弯矩弯矩是指在物体上施加荷载时产生的弯曲力矩。
均布荷载则是指施加在物体上的载荷均匀分布。
在工程领域中，了解均布荷载的弯矩计算方法对于设计和分析结构的稳定性至关重要。
本文将介绍均布荷载的弯矩及其计算方法。
一、均布荷载的概念均布荷载是指施加在物体上的荷载均匀分布的载荷形式。
例如，在桥梁设计中，自重荷载、行车荷载等都可以视为均布荷载。
均布荷载的弯矩计算可以帮助工程师确定结构的最大变形和最大应力，从而确保结构的稳定性和安全性。
二、均布荷载的弯矩计算方法1. 杆件弯曲方程在计算均布荷载的弯矩之前，需要先了解杆件的弯曲方程。
弯曲方程可以描述杆件在弯曲过程中的变形情况。
对于一个杆件，其弯矩可以通过以下方程计算：M = E * I * κ / R其中，M表示弯矩，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，κ表示截面位置的曲率，R表示曲率半径。
2. 均布荷载的弯矩计算公式对于均布荷载，弯矩的计算公式如下：M = (w * L^2) / 8其中，M表示弯矩，w表示均布荷载的大小，L表示杆件的长度。
三、示例分析为了更好地理解均布荷载的弯矩计算方法，下面以一个简单的梁结构为例进行分析。
假设有一根梁，长度为L，宽度为b，高度为h。
该梁受到均布荷载w的作用。
根据上述公式，计算该梁的弯矩。
首先，计算截面惯性矩I和曲率κ。
对于矩形截面，截面惯性矩I可以通过以下公式计算：I = (b * h^3) / 12曲率κ可以通过以下公式计算：κ = M / (E * I)其中，E表示杨氏模量。
然后，根据弯曲方程，计算弯矩M。
将均布荷载w代入公式，得到：M = (w * L^2) / 8最后，将计算得到的M代入曲率公式，计算得到曲率κ。
通过曲率，可以进一步分析梁的变形情况和应力分布。
四、结论均布荷载的弯矩计算对于工程设计和结构分析非常重要。
通过了解弯曲方程和计算公式，工程师可以计算出结构在均布荷载作用下的弯矩，评估结构的稳定性和安全性。
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弯矩曲率计算示例
(现代预应力混凝土结构，杜拱辰，1986年，中国建筑工业出版社，P254)
弯矩曲率分析一般分两个阶段进行：梁未开裂；梁已开裂。
第一阶段一般假定为弹性阶段。
第二阶段材料的应力应变关系是非线性的。
如图所示的梁截面尺寸，2mm 784=p A ，2mm 402=s A ，混凝土的应
力应变关系为二次抛物线，即 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2002εεεεσc c f ；为简化计算及说明过程，假定预应力高强高筋的极限强度和其屈服强度相等，即
MPa 15402.0==p pu f f ；普通钢筋的屈服强度为MPa 400=y f ；预应力筋
的有效应力为MPa 1000=pe f ；MPa 1025⨯==s p E E ；MPa 35=c f ；
MPa 7.3=t f ；MPa 108.24⨯=c E ,求下列个阶段的弯矩及曲率：
（1） 初始阶段，即外弯矩为零，MPa 1000=pe f ； （2） 预应力筋水平处混凝土的应变为零；
（3） 裂缝出现，即混凝土达到其抗拉强度MPa 7.3=t f ；
（4） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.001 （5） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.002 （6） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.003
并将各阶段的弯矩、曲率、预应力及非预应力筋的应力列表并绘制出截面在加载直到破坏为止全过程的弯矩曲率图。
求解过程如下 （1）初始阶段：
采用毛截面特征值和pe p e f A P =来计算截面的应力和应变，截面几何特征：23mm 10180⨯=A ，49mm 104.5⨯=I ，kN 7841000784=⨯==pe p e f A P 有效预加力kN 784=e P 及偏心矩mm 180=e 对截面引起的应力和相应的应变如图所示：
当外力矩（包括自重）0=M 时，截面曲率：
600
10)436.0123.0(3-⨯+-=ϕ=-0.993rad/mm 106-⨯
非预应力筋的压应力＝MPa 8.77389.010235-=⨯⨯-=-s s E ε
预应力筋在有效应力下的应变3105200000/1000-⨯===p pe pe E f ε
（2）预应力筋水平处混凝土应变为零阶段：一个对应预应力筋水平处产生拉应变为310324.0-⨯的外加力矩将使混凝土应变为零，并使预应力筋产生同样的拉伸应变，因此预应力筋的应变将增加到：
33310324.510324.0105---⨯=⨯+⨯=+=ce pe ps εεε
相应的预应力筋中的应力为：
MPa 8.106410324.510235=⨯⨯⨯==-ps p ps E εσ
预应力筋中的拉力为：
kN 8.8348.1064784=⨯==ps p A P σ
在kN 8.834=P 作用下，截面混凝土的应力分布如下图所示。
为使预应力筋水平处混凝土应力由MPa 64.9-降到零，需要增加的外弯矩为：
kNm 0.289180
64.9104.53=⨯⨯==e I M σ
在这一外力矩M 作用下，混凝土截面应力及曲率如下图所示：
非预应力筋的应力：
MPa 7.12100636.010235=⨯⨯⨯==-s s s E εσ
rad/m m 10917.0600
10)109.0441.0(63
--⨯=⨯+-=ϕ
（3）开裂阶段：
截面开裂点将为截面弯矩曲率线弹性关系的终点。
在阶段（2），截面底纤维已经存在3.06MPa 的拉应力，由于混凝土出现裂缝的抗拉强度为 3.7MPa, 为产生拉应力MPa 64.006.37.3=-=∆σ，所需要增加的
弯矩kNm 5.1130064
.0104.59=⨯⨯∆=
∆y I M σ。
因此开裂弯矩为： kNm 5.3005.11289=+=cr M
由M ∆对预应力筋产生的拉应力为：
MPa 7.2104.5180
105.1114.79
6=⨯⨯⨯==∆=∆I Me n n p c p ps
σσ
因此开裂弯矩下，预应力筋中的应力为：
MPa 8.10677.28.1064=+=ps σ
由M ∆对非预应力筋产生的拉应力为：
MPa 8.3104.5250
105.1114.79
6=⨯⨯⨯==∆I My n s s σ
因此开裂弯矩下，非预应力筋中的拉应力为：
MPa 5.168.37.12=+=s σ
由纤维应力0.64MPa 而增加的曲率如下图所示：
在开裂弯矩作用下，截面的开裂曲率等于阶段（2）的曲率与开裂增加曲率之和，也就是：
rad/mm 10993.010)076.0917.0(66--⨯=⨯+=cr ϕ
（4）截面顶纤维混凝土压应变 001.0=c ε
截面开裂是的压应变是（2）和（3）两个阶段的计算结果之和，
34310464.010229.010441.0---⨯-=⨯-⨯-=c ε，小于0.001, 因此应采用开裂
截面分析。
顶纤维混凝土的应力为：
MPa 25.26002.0001.0002.0001.023522200=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=εεεεσc c f
M
574
1.
kNm
11。