弯矩曲率计算示例
各种梁的弯矩计算公式
各种梁的弯矩计算公式在工程力学中，梁是一种常见的结构元件，其主要承受弯曲力。
根据梁的材料和截面形状的不同，可以使用不同的弯矩计算公式。
下面将介绍几种常见梁的弯矩计算公式。
1.矩形截面梁的弯矩计算公式：对于矩形截面梁，弯矩的计算公式如下：M=((b*h^2)/6)*y其中，M为弯矩，b为截面宽度，h为截面高度，y为截面高度的一半。
2.圆形截面梁的弯矩计算公式：对于圆形截面梁，弯矩的计算公式如下：M=(π*d^3)/32其中，M为弯矩，π为圆周率，d为截面直径。
3.I形截面梁的弯矩计算公式：对于I形截面梁，弯矩的计算公式如下：M=(σ*S)其中，M为弯矩，σ为截面上的应力，S为截面形心到应力轴距离，也称为截面模数。
4.T形截面梁的弯矩计算公式：对于T形截面梁，弯矩的计算公式如下：M=(σ*S1)±(τ*S2)其中，M为弯矩，σ为法向应力，S1为截面形心到应力轴距离，τ为剪应力，S2为剪应力的杆件。
±代表正负号根据不同情况变化。
5.等腰梯形截面梁的弯矩计算公式：对于等腰梯形截面梁，弯矩的计算公式如下：M=(σ*S1)-(τ*S2)其中，M为弯矩，σ为法向应力，S1为截面形心到应力轴距离，τ为剪应力，S2为剪应力的杆件。
6.等边三角形截面梁的弯矩计算公式：对于等边三角形截面梁，弯矩的计算公式如下：M=(σ*S1)-(τ*S2)其中，M为弯矩，σ为法向应力，S1为截面形心到应力轴距离，τ为剪应力，S2为剪应力的杆件。
这些是几种常见梁的弯矩计算公式，其中矩形截面、圆形截面、I形截面、T形截面、等腰梯形截面和等边三角形截面的弯矩计算公式广泛应用于工程设计和结构分析中。
对于其他截面形状的梁，也可以根据具体情况进行弯矩的计算和分析。
弯矩 曲率关系
c0 0.00,2cu0.0033
11.0
1
0.8, 0.7,
fcu 50Mpa fcu 50Mpa
线性插值（《混凝土结构设计
规范》GB50010 ）
六、受弯构件正截面简化分析
1. 压区混凝土等效矩形应力图形（极限状态下）
定义：
x h0
xn=nh
0
1c0
yc C
x=1xn
对试验梁，已知b、h0、As、fc、fy、Es， Mu
MI
Mcr
MII
My
(Mu) MIII
t<ft
sAs
sAs t=ft(ct =tu)
s<y
sAs
s= fyAs
y
fyAs s>y
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
结论
•适筋梁具有较好的变形能力，超筋梁和少筋梁的破坏具有突然性，设计 时应予避免
•在适筋和超筋破坏之间存在一种平衡破坏。其破坏特征是钢筋屈服的同 时，混凝土压碎
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
1. 基本假定
P
平截面假定----平均应变意义上
As’
as’
dy
y
h
L/3
L/3
ct
L
c
s’ nh0
As
as b
s
b c
(1-n)h0
忽略剪切变形对梁、柱构件变形的影响
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
截面的相容关系
as h/2as h h/2as
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
拉区混凝土开裂后的处理
As
as 1
h/2-
利用弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
复制和粘贴
| 输入钢筋 |
操作例题 | 利用截面的弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
11
05.任意形状截面性能评价
2. 弯矩-曲率关系曲线
计算已经输入了钢筋的矩形截面的弯矩－曲率曲线。
在主菜单中选择模型 > 材料和截面特性 > 弯矩－曲率曲线 1. 勾选“显示理想模型”选项 2. 在“用户自定义曲率(理想化模型)”选项中输入‘0.002’ 3. 点击“计算”键
1. 点击主菜单的文件> 打开项目打开名称为‘M-Phi_Model.mcb’ 的模型文件。 2. 点击主菜单的模型> 材料和截面特性 > 截面确认已定义的两个截面
| 确认矩形截面 |
操作例题 | 利用截面的弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
| 确认任意形状截面 |
5
03.选择材料本构模型
1. 混凝土材料本构
2. 钢材 1) Menegotto-Pinto Model 2) Bilinear Model 3) Asymmetrical Bilinear Steel Model 4) Trilinear Steel Model
操作例题 | 利用截面的弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
3
01.概要
利用下面的弯矩-曲率曲线计算截面的屈服和极限承载力、屈服和极限位移。 M
STEP 1. 选择非线性材料本构模型
STEP 2. 输入钢筋
STEP 3. 计算弯矩-曲率曲线
STEP 4. 利用弯矩-曲率曲线计算截面特性
STEP 5. 利用理想化的弯矩-曲率曲线评价截面性能
| 截面性能评价过程 |
操作例题 | 利用截面的弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
UCfber在钢筋混凝土截面弯矩_曲率计算中的应用
4 混凝土二次衬砌
为保证二次衬砌进度，并做到内实、外美，采用
2 台 9m 长整体钢模衬砌台车，台车总重量达 60t，主 骨架部分在厂家生产，现场安装后，焊接顶面钢板， 为保证模板周转使用不变形，采用 8mm 厚钢板，现 场安装需要一个月时间。二次衬砌要做到仰拱先行 创造环境，适时衬砌保安全。7 月初开始衬砌，在雨 季前完成进出口二次衬砌，施工安全得到保证。
Moment/kN*m Moment/kN*m
244800。如果该桥梁在罕遇地震顺桥向作用下，固定 墩墩底截面弯矩小于 92710，则说明固定墩墩底截 面处于弹性工作状态；如果固定墩墩底截面弯矩大 于 92710 但小于 476000，说明固定墩墩底截面已经 达到屈服状态但是尚未破坏，上述两种状态证明该
ρx，ρy—分别为箍筋在 x, y 的体积含筋率。由公
式（5）计算。
ρx
=
Asx s×dc
(5a)
ρy
=
Asy s×bc
(5b)
其中：
dc —矩形截面沿 Y 轴方向算到箍筋外缘的宽；
bc —矩形截面沿 X 轴方向算到箍筋外缘的宽；
S—纵向箍筋的间距。
算出 f′lx 和 f′ly 之后，就可以利用约束应力与约
开裂弯矩 /kN·m 28460 77040 67690 144900 92710 186300
表 1 各墩墩底截面弯矩 - 曲率计算结果
开裂曲率 /rad·m-1 1.237e-4 4.837e-5 1.124e-4 4.747e-5 9.684e-5 4.539e-5
屈服弯矩 /kN·m 90100 237500 171300 375000 223200 476000
《弯矩曲率关系》课件
曲率的定义
曲率：描述曲线弯曲程度的量， 定义为曲线上任一点处切线方向 角的变化量与经过的弧长的比值
。
在数学上，曲率是用来衡量曲线 上某一点附近的小弧段弯曲程度
的量。
对于直线，其曲率为0；对于圆 ，其曲率是一个常数，等于圆的
半径倒数。
曲率的计算
曲率计算公式：K = lim(Δs->0) [Δs / (Δt)^2] / lim(Δt>0) [Δs / Δt]
在机械工程中的应用
传动系统设计
在机械传动系统中，弯矩曲率关系对于齿轮、轴等部件的设计和优化具有指导意义。了解弯矩与曲率的关系有助 于提高传动系统的效率和稳定性。
疲劳分析
在机械部件的疲劳分析中，弯矩曲率关系是评估其疲劳寿命的重要因素之一。通过对弯矩和曲率的变化规律进行 分析，可以预测部件的疲劳寿命和潜在的疲劳断裂风险。
在工程结构中，弯矩和曲率是密切相关的。例如，在桥梁、建筑和机械设计中，需 要考虑到结构的弯曲程度和弯矩之间的关系。
当结构受到外力作用时，会发生弯曲变形，曲率会发生变化，同时弯矩也会随之改 变。因此，在设计时需要考虑到结构的承载能力和稳定性。
了解弯矩与曲率的关系有助于工程师更好地设计结构，确保其安全性和稳定性。
需要研究弯矩曲率关系在不同温度、湿度等环境 条件下的变化规律。
需要探索弯矩曲率关系在复合材料、智能材料等 新型材料中的应用。
对学习者的建议
学习者应该深入理解弯矩和曲 率的定义及测量方法。
学习者应该掌握弹性力学和 材料力学的基本原理，以便 更好地理解弯矩曲率关系。
学习者可以通过实验和实践来 加深对弯矩曲率关系的理解和
应用。THANΒιβλιοθήκη S感谢观看详细描述
弯矩是材料力学中一个重要的概念，用于描述弯曲变形过程 中截面所受到的力矩作用。在材料受到弯曲时，截面上会产 生剪力和弯矩，弯矩的大小与剪力和中性轴距离有关。
弯矩 计算公式
弯矩计算公式
弯矩的计算公式可以根据不同的情境和需求进行选择。
以下是一些常用的弯矩计算公式：
1.均布荷载弯矩计算公式：M=(q*L^2)/8，其中q为均布荷载的重量，L为均
布荷载作用的长度。
2.点荷载弯矩计算公式：M=(PL^3)/3E，其中P为点荷载的集中力，L为集中
力作用的长度，E为材料的弹性模量。
3.梁的弯矩计算公式：M=F*L，其中F为梁受到的力，L为力臂。
4.简支梁的弯矩计算公式：M=(PL^2)/4，其中P为简支梁受到的集中力，L
为简支梁的跨度。
5.斜梁的弯矩计算公式：M=FLsinθ，其中F为斜梁受到的力，L为斜梁的长
度，θ为斜梁与水平面的夹角。
需要注意的是，不同的弯矩计算公式适用于不同的情境和条件，具体应用需要根据实际情况进行选择。
同时，还需要考虑材料的物理性质、几何形状和受力状态等因素的影响。
均布荷载的弯矩
均布荷载的弯矩弯矩是指在物体上施加荷载时产生的弯曲力矩。
均布荷载则是指施加在物体上的载荷均匀分布。
在工程领域中，了解均布荷载的弯矩计算方法对于设计和分析结构的稳定性至关重要。
本文将介绍均布荷载的弯矩及其计算方法。
一、均布荷载的概念均布荷载是指施加在物体上的荷载均匀分布的载荷形式。
例如，在桥梁设计中，自重荷载、行车荷载等都可以视为均布荷载。
均布荷载的弯矩计算可以帮助工程师确定结构的最大变形和最大应力，从而确保结构的稳定性和安全性。
二、均布荷载的弯矩计算方法1. 杆件弯曲方程在计算均布荷载的弯矩之前，需要先了解杆件的弯曲方程。
弯曲方程可以描述杆件在弯曲过程中的变形情况。
对于一个杆件，其弯矩可以通过以下方程计算：M = E * I * κ / R其中，M表示弯矩，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，κ表示截面位置的曲率，R表示曲率半径。
2. 均布荷载的弯矩计算公式对于均布荷载，弯矩的计算公式如下：M = (w * L^2) / 8其中，M表示弯矩，w表示均布荷载的大小，L表示杆件的长度。
三、示例分析为了更好地理解均布荷载的弯矩计算方法，下面以一个简单的梁结构为例进行分析。
假设有一根梁，长度为L，宽度为b，高度为h。
该梁受到均布荷载w的作用。
根据上述公式，计算该梁的弯矩。
首先，计算截面惯性矩I和曲率κ。
对于矩形截面，截面惯性矩I可以通过以下公式计算：I = (b * h^3) / 12曲率κ可以通过以下公式计算：κ = M / (E * I)其中，E表示杨氏模量。
然后，根据弯曲方程，计算弯矩M。
将均布荷载w代入公式，得到：M = (w * L^2) / 8最后，将计算得到的M代入曲率公式，计算得到曲率κ。
通过曲率，可以进一步分析梁的变形情况和应力分布。
四、结论均布荷载的弯矩计算对于工程设计和结构分析非常重要。
通过了解弯曲方程和计算公式，工程师可以计算出结构在均布荷载作用下的弯矩，评估结构的稳定性和安全性。
弯矩曲率关系
第二章钢筋混凝土梁柱截面的弯矩-曲率关系同济大学土木工程学院建筑工程系顾祥林一、概述NP带定向滑轮的千斤顶台座试验柱荷载分配梁L /3试验梁二、骨架曲线的弯矩-曲率关系1. 基本假定平截面假定dyy忽略剪切变形对梁、柱构件变形的影响二、骨架曲线的弯矩-曲率关系2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系截面的相容关系ci二、骨架曲线的弯矩-曲率关系2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系截面的物理方程（对物理方程的处理）((c ci ci c ci(( s s s s s 对钢筋混凝土柱，有时也可能会出现 s < 0二、骨架曲线的弯矩-曲率关系2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系截面的平衡方程a sh /2-a s h h /2-a sa s X 0,,0 M二、骨架曲线的弯矩-曲率关系2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系拉区混凝土开裂后的处理a sh /2-a s h h /2-a sa s ci > t0二、骨架曲线的弯矩-曲率关系2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系拉区混凝土开裂后的处理即使在纯弯段也只可能在几个截面上出现裂缝,裂缝间混凝土的拉应变不相等二、骨架曲线的弯矩-曲率关系2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系拉区混凝土开裂后的处理020010050150N (kN)混凝土：钢筋：三、截面尺寸和配筋构造1. 梁净距 30mm钢筋直径d净距 30mm钢筋直径db h三、截面尺寸和配筋构造1. 板c 15mmd四、受弯构件的试验研究1. 试验装置四、受弯构件的试验研究2. 试验结果适筋破坏四、受弯构件的试验研究2. 试验结果超筋破坏四、受弯构件的试验研究2. 试验结果超筋破坏四、受弯构件的试验研究2. 试验结果平衡破坏（界限破坏，界限配筋率）四、受弯构件的试验研究2. 试验结果最小配筋率四、受弯构件的试验研究2. 试验结果MIct <ft四、受弯构件的试验研究2. 试验结果结论•适筋梁具有较好的变形能力，超筋梁和少筋梁的破坏具有突然性，设计时应予避免•在适筋和超筋破坏之间存在一种平衡破坏。
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弯矩曲率计算示例
(现代预应力混凝土结构，杜拱辰，1986年，中国建筑工业出版社，P254)
弯矩曲率分析一般分两个阶段进行：梁未开裂；梁已开裂。
第一阶段一般假定为弹性阶段。
第二阶段材料的应力应变关系是非线性的。
如图所示的梁截面尺寸，2mm 784=p A ，2mm 402=s A ，混凝土的应
力应变关系为二次抛物线，即 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2002εεεεσc c f ；为简化计算及说明过程，假定预应力高强高筋的极限强度和其屈服强度相等，即
MPa 15402.0==p pu f f ；普通钢筋的屈服强度为MPa 400=y f ；预应力筋
的有效应力为MPa 1000=pe f ；MPa 1025⨯==s p E E ；MPa 35=c f ；
MPa 7.3=t f ；MPa 108.24⨯=c E ,求下列各个阶段的弯矩及曲率：
（1） 初始阶段，即外弯矩为零，MPa 1000=pe f ； （2） 预应力筋水平处混凝土的应变为零；
（3） 裂缝出现，即混凝土达到其抗拉强度MPa 7.3=t f ；
（4） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.001 （5） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.002 （6） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.003
并将各阶段的弯矩、曲率、预应力及非预应力筋的应力列表并绘制出截面在加载直到破坏为止全过程的弯矩曲率图。
求解过程如下 （1）初始阶段：
采用毛截面特征值和pe p e f A P =来计算截面的应力和应变，截面几何特征：23mm 10180⨯=A ，49mm 104.5⨯=I ，kN 7841000784=⨯==pe p e f A P 有效预加力kN 784=e P 及偏心矩mm 180=e 对截面引起的应力和相应的应变如图所示：
当外力矩（包括自重）0=M 时，截面曲率：
600
10)436.0123.0(3-⨯+-=ϕ=-0.993rad/mm 106-⨯
非预应力筋的压应力＝MPa 8.77389.010235-=⨯⨯-=-s s E ε
预应力筋在有效应力下的应变3105200000/1000-⨯===p pe pe E f ε
（2）预应力筋水平处混凝土应变为零阶段：一个对应预应力筋水平处产生拉应变为310324.0-⨯的外加力矩将使混凝土应变为零，并使预应力筋产生同样的拉伸应变，因此预应力筋的应变将增加到：
33310324.510324.0105---⨯=⨯+⨯=+=ce pe ps εεε
相应的预应力筋中的应力为：
MPa 8.106410324.510235=⨯⨯⨯==-ps p ps E εσ
预应力筋中的拉力为：
kN 8.8348.1064784=⨯==ps p A P σ
在kN 8.834=P 作用下，截面混凝土的应力分布如下图所示。
为使预应力筋水平处混凝土应力由MPa 64.9-降到零，需要增加的外弯矩为：
kNm 0.289180
64.9104.53=⨯⨯==e I M σ
在这一外力矩M 作用下，混凝土截面应力及曲率如下图所示：
非预应力筋的应力：
MPa 7.12100636.010235=⨯⨯⨯==-s s s E εσ
rad/m m 10917.0600
10)109.0441.0(63
--⨯=⨯+-=ϕ
（3）开裂阶段：
截面开裂点将为截面弯矩曲率线弹性关系的终点。
在阶段（2），截面底纤维已经存在3.06MPa 的拉应力，由于混凝土出现裂缝的抗拉强度为 3.7MPa, 为产生拉应力MPa 64.006.37.3=-=∆σ，所需要增加的
弯矩kNm 5.1130064
.0104.59=⨯⨯∆=
∆y I M σ。
因此开裂弯矩为： kNm 5.3005.11289=+=cr M
由M ∆对预应力筋产生的拉应力为：
MPa 7.2104.5180
105.1114.79
6=⨯⨯⨯==∆=∆I Me n n p c p ps
σσ
因此开裂弯矩下，预应力筋中的应力为：
MPa 8.10677.28.1064=+=ps σ
由M ∆对非预应力筋产生的拉应力为：
MPa 8.3104.5250
105.1114.79
6=⨯⨯⨯==∆I My n s s σ
因此开裂弯矩下，非预应力筋中的拉应力为：
MPa 5.168.37.12=+=s σ
由纤维应力0.64MPa 而增加的曲率如下图所示：
在开裂弯矩作用下，截面的开裂曲率等于阶段（2）的曲率与开裂增加曲率之和，也就是：
rad/mm 10993.010)076.0917.0(66--⨯=⨯+=cr ϕ
（4）截面顶纤维混凝土压应变 001.0=c ε
截面开裂时的压应变是（2）和（3）两个阶段的计算结果之和，
34310464.010229.010441.0---⨯-=⨯-⨯-=c ε，小于0.001, 因此应采用开裂
截面分析。
顶纤维混凝土的应力为：
MPa 25.26002.0001.0002.0001.023522200=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=εεεεσc c f
dx x x bf dx b C c
c c
c c ⎰⎰⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-==02022002εφεφσ
积分简化：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=02031εφεφc c bf C c
c
由于 ()x bdx f x C c
c c ⎰=0
整理 ⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--=εεεε4123800c x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=-εεεε412400c x c
c
11
kNm 1.574 M。