弯矩曲率计算示例
各种梁的弯矩计算公式
各种梁的弯矩计算公式在工程力学中，梁是一种常见的结构元件，其主要承受弯曲力。
根据梁的材料和截面形状的不同，可以使用不同的弯矩计算公式。
下面将介绍几种常见梁的弯矩计算公式。
1.矩形截面梁的弯矩计算公式：对于矩形截面梁，弯矩的计算公式如下：M=((b*h^2)/6)*y其中，M为弯矩，b为截面宽度，h为截面高度，y为截面高度的一半。
2.圆形截面梁的弯矩计算公式：对于圆形截面梁，弯矩的计算公式如下：M=(π*d^3)/32其中，M为弯矩，π为圆周率，d为截面直径。
3.I形截面梁的弯矩计算公式：对于I形截面梁，弯矩的计算公式如下：M=(σ*S)其中，M为弯矩，σ为截面上的应力，S为截面形心到应力轴距离，也称为截面模数。
4.T形截面梁的弯矩计算公式：对于T形截面梁，弯矩的计算公式如下：M=(σ*S1)±(τ*S2)其中，M为弯矩，σ为法向应力，S1为截面形心到应力轴距离，τ为剪应力，S2为剪应力的杆件。
±代表正负号根据不同情况变化。
5.等腰梯形截面梁的弯矩计算公式：对于等腰梯形截面梁，弯矩的计算公式如下：M=(σ*S1)-(τ*S2)其中，M为弯矩，σ为法向应力，S1为截面形心到应力轴距离，τ为剪应力，S2为剪应力的杆件。
6.等边三角形截面梁的弯矩计算公式：对于等边三角形截面梁，弯矩的计算公式如下：M=(σ*S1)-(τ*S2)其中，M为弯矩，σ为法向应力，S1为截面形心到应力轴距离，τ为剪应力，S2为剪应力的杆件。
这些是几种常见梁的弯矩计算公式，其中矩形截面、圆形截面、I形截面、T形截面、等腰梯形截面和等边三角形截面的弯矩计算公式广泛应用于工程设计和结构分析中。
对于其他截面形状的梁，也可以根据具体情况进行弯矩的计算和分析。
弯矩 曲率关系
c0 0.00,2cu0.0033
11.0
1
0.8, 0.7,
fcu 50Mpa fcu 50Mpa
线性插值（《混凝土结构设计
规范》GB50010 ）
六、受弯构件正截面简化分析
1. 压区混凝土等效矩形应力图形（极限状态下）
定义：
x h0
xn=nh
0
1c0
yc C
x=1xn
对试验梁，已知b、h0、As、fc、fy、Es， Mu
MI
Mcr
MII
My
(Mu) MIII
t<ft
sAs
sAs t=ft(ct =tu)
s<y
sAs
s= fyAs
y
fyAs s>y
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
结论
•适筋梁具有较好的变形能力，超筋梁和少筋梁的破坏具有突然性，设计 时应予避免
•在适筋和超筋破坏之间存在一种平衡破坏。其破坏特征是钢筋屈服的同 时，混凝土压碎
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
1. 基本假定
P
平截面假定----平均应变意义上
As’
as’
dy
y
h
L/3
L/3
ct
L
c
s’ nh0
As
as b
s
b c
(1-n)h0
忽略剪切变形对梁、柱构件变形的影响
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
截面的相容关系
as h/2as h h/2as
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
拉区混凝土开裂后的处理
As
as 1
h/2-
利用弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
复制和粘贴
| 输入钢筋 |
操作例题 | 利用截面的弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
11
05.任意形状截面性能评价
2. 弯矩-曲率关系曲线
计算已经输入了钢筋的矩形截面的弯矩－曲率曲线。
在主菜单中选择模型 > 材料和截面特性 > 弯矩－曲率曲线 1. 勾选“显示理想模型”选项 2. 在“用户自定义曲率(理想化模型)”选项中输入‘0.002’ 3. 点击“计算”键
1. 点击主菜单的文件> 打开项目打开名称为‘M-Phi_Model.mcb’ 的模型文件。 2. 点击主菜单的模型> 材料和截面特性 > 截面确认已定义的两个截面
| 确认矩形截面 |
操作例题 | 利用截面的弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
| 确认任意形状截面 |
5
03.选择材料本构模型
1. 混凝土材料本构
2. 钢材 1) Menegotto-Pinto Model 2) Bilinear Model 3) Asymmetrical Bilinear Steel Model 4) Trilinear Steel Model
操作例题 | 利用截面的弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
3
01.概要
利用下面的弯矩-曲率曲线计算截面的屈服和极限承载力、屈服和极限位移。 M
STEP 1. 选择非线性材料本构模型
STEP 2. 输入钢筋
STEP 3. 计算弯矩-曲率曲线
STEP 4. 利用弯矩-曲率曲线计算截面特性
STEP 5. 利用理想化的弯矩-曲率曲线评价截面性能
| 截面性能评价过程 |
操作例题 | 利用截面的弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
UCfber在钢筋混凝土截面弯矩_曲率计算中的应用
4 混凝土二次衬砌
为保证二次衬砌进度，并做到内实、外美，采用
2 台 9m 长整体钢模衬砌台车，台车总重量达 60t，主 骨架部分在厂家生产，现场安装后，焊接顶面钢板， 为保证模板周转使用不变形，采用 8mm 厚钢板，现 场安装需要一个月时间。二次衬砌要做到仰拱先行 创造环境，适时衬砌保安全。7 月初开始衬砌，在雨 季前完成进出口二次衬砌，施工安全得到保证。
Moment/kN*m Moment/kN*m
244800。如果该桥梁在罕遇地震顺桥向作用下，固定 墩墩底截面弯矩小于 92710，则说明固定墩墩底截 面处于弹性工作状态；如果固定墩墩底截面弯矩大 于 92710 但小于 476000，说明固定墩墩底截面已经 达到屈服状态但是尚未破坏，上述两种状态证明该
ρx，ρy—分别为箍筋在 x, y 的体积含筋率。由公
式（5）计算。
ρx
=
Asx s×dc
(5a)
ρy
=
Asy s×bc
(5b)
其中：
dc —矩形截面沿 Y 轴方向算到箍筋外缘的宽；
bc —矩形截面沿 X 轴方向算到箍筋外缘的宽；
S—纵向箍筋的间距。
算出 f′lx 和 f′ly 之后，就可以利用约束应力与约
开裂弯矩 /kN·m 28460 77040 67690 144900 92710 186300
表 1 各墩墩底截面弯矩 - 曲率计算结果
开裂曲率 /rad·m-1 1.237e-4 4.837e-5 1.124e-4 4.747e-5 9.684e-5 4.539e-5
屈服弯矩 /kN·m 90100 237500 171300 375000 223200 476000
《弯矩曲率关系》课件
曲率的定义
曲率：描述曲线弯曲程度的量， 定义为曲线上任一点处切线方向 角的变化量与经过的弧长的比值
。
在数学上，曲率是用来衡量曲线 上某一点附近的小弧段弯曲程度
的量。
对于直线，其曲率为0；对于圆 ，其曲率是一个常数，等于圆的
半径倒数。
曲率的计算
曲率计算公式：K = lim(Δs->0) [Δs / (Δt)^2] / lim(Δt>0) [Δs / Δt]
在机械工程中的应用
传动系统设计
在机械传动系统中，弯矩曲率关系对于齿轮、轴等部件的设计和优化具有指导意义。了解弯矩与曲率的关系有助 于提高传动系统的效率和稳定性。
疲劳分析
在机械部件的疲劳分析中，弯矩曲率关系是评估其疲劳寿命的重要因素之一。通过对弯矩和曲率的变化规律进行 分析，可以预测部件的疲劳寿命和潜在的疲劳断裂风险。
在工程结构中，弯矩和曲率是密切相关的。例如，在桥梁、建筑和机械设计中，需 要考虑到结构的弯曲程度和弯矩之间的关系。
当结构受到外力作用时，会发生弯曲变形，曲率会发生变化，同时弯矩也会随之改 变。因此，在设计时需要考虑到结构的承载能力和稳定性。
了解弯矩与曲率的关系有助于工程师更好地设计结构，确保其安全性和稳定性。
需要研究弯矩曲率关系在不同温度、湿度等环境 条件下的变化规律。
需要探索弯矩曲率关系在复合材料、智能材料等 新型材料中的应用。
对学习者的建议
学习者应该深入理解弯矩和曲 率的定义及测量方法。
学习者应该掌握弹性力学和 材料力学的基本原理，以便 更好地理解弯矩曲率关系。
学习者可以通过实验和实践来 加深对弯矩曲率关系的理解和
应用。THANΒιβλιοθήκη S感谢观看详细描述
弯矩是材料力学中一个重要的概念，用于描述弯曲变形过程 中截面所受到的力矩作用。在材料受到弯曲时，截面上会产 生剪力和弯矩，弯矩的大小与剪力和中性轴距离有关。
弯矩 计算公式
弯矩计算公式
弯矩的计算公式可以根据不同的情境和需求进行选择。
以下是一些常用的弯矩计算公式：
1.均布荷载弯矩计算公式：M=(q*L^2)/8，其中q为均布荷载的重量，L为均
布荷载作用的长度。
2.点荷载弯矩计算公式：M=(PL^3)/3E，其中P为点荷载的集中力，L为集中
力作用的长度，E为材料的弹性模量。
3.梁的弯矩计算公式：M=F*L，其中F为梁受到的力，L为力臂。
4.简支梁的弯矩计算公式：M=(PL^2)/4，其中P为简支梁受到的集中力，L
为简支梁的跨度。
5.斜梁的弯矩计算公式：M=FLsinθ，其中F为斜梁受到的力，L为斜梁的长
度，θ为斜梁与水平面的夹角。
需要注意的是，不同的弯矩计算公式适用于不同的情境和条件，具体应用需要根据实际情况进行选择。
同时，还需要考虑材料的物理性质、几何形状和受力状态等因素的影响。
均布荷载的弯矩
均布荷载的弯矩弯矩是指在物体上施加荷载时产生的弯曲力矩。
均布荷载则是指施加在物体上的载荷均匀分布。
在工程领域中，了解均布荷载的弯矩计算方法对于设计和分析结构的稳定性至关重要。
本文将介绍均布荷载的弯矩及其计算方法。
一、均布荷载的概念均布荷载是指施加在物体上的荷载均匀分布的载荷形式。
例如，在桥梁设计中，自重荷载、行车荷载等都可以视为均布荷载。
均布荷载的弯矩计算可以帮助工程师确定结构的最大变形和最大应力，从而确保结构的稳定性和安全性。
二、均布荷载的弯矩计算方法1. 杆件弯曲方程在计算均布荷载的弯矩之前，需要先了解杆件的弯曲方程。
弯曲方程可以描述杆件在弯曲过程中的变形情况。
对于一个杆件，其弯矩可以通过以下方程计算：M = E * I * κ / R其中，M表示弯矩，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，κ表示截面位置的曲率，R表示曲率半径。
2. 均布荷载的弯矩计算公式对于均布荷载，弯矩的计算公式如下：M = (w * L^2) / 8其中，M表示弯矩，w表示均布荷载的大小，L表示杆件的长度。
三、示例分析为了更好地理解均布荷载的弯矩计算方法，下面以一个简单的梁结构为例进行分析。
假设有一根梁，长度为L，宽度为b，高度为h。
该梁受到均布荷载w的作用。
根据上述公式，计算该梁的弯矩。
首先，计算截面惯性矩I和曲率κ。
对于矩形截面，截面惯性矩I可以通过以下公式计算：I = (b * h^3) / 12曲率κ可以通过以下公式计算：κ = M / (E * I)其中，E表示杨氏模量。
然后，根据弯曲方程，计算弯矩M。
将均布荷载w代入公式，得到：M = (w * L^2) / 8最后，将计算得到的M代入曲率公式，计算得到曲率κ。
通过曲率，可以进一步分析梁的变形情况和应力分布。
四、结论均布荷载的弯矩计算对于工程设计和结构分析非常重要。
通过了解弯曲方程和计算公式，工程师可以计算出结构在均布荷载作用下的弯矩，评估结构的稳定性和安全性。
弯矩的计算公式
弯矩的计算公式弯矩是物理学中一个重要的概念，用于描述物体受到外力作用时的弯曲程度。
在工程学中，弯矩的计算是非常重要的，因为它可以帮助工程师确定材料的强度和结构的稳定性。
本文将介绍弯矩的计算公式及其应用。
一、弯矩的定义弯矩是指作用于物体上的力矩，它是由于物体受到外力作用而产生的曲率和变形。
在物理学中，弯矩通常用M表示，单位是牛顿米（N·m）。
二、弯矩的计算公式弯矩的计算公式有两种，分别是点弯矩和分布弯矩。
下面分别介绍这两种弯矩的计算公式。
1.点弯矩的计算公式点弯矩也称为集中力弯矩，是指作用于物体上的单个力矩。
点弯矩的计算公式如下：M = F × d其中，M表示弯矩，F表示作用于物体上的力，d表示力的作用点到物体旋转中心的距离。
2.分布弯矩的计算公式分布弯矩是指作用于物体上的分布力矩，也称为弯曲力矩。
分布弯矩的计算公式如下：M = ∫ y × w(x)dx其中，M表示弯矩，y表示物体上某一点到物体旋转中心的距离，w(x)表示作用于物体上的分布力矩，x表示物体的长度。
三、弯矩的应用弯矩的应用非常广泛，它可以用于确定材料的强度和结构的稳定性。
下面分别介绍弯矩在工程学中的应用。
1.弯矩在桥梁设计中的应用在桥梁设计中，弯矩是一个非常重要的参数。
桥梁在使用过程中受到车辆行驶时的重量和风力的作用，这些作用会产生弯矩，如果弯矩过大，就会导致桥梁的结构不稳定，从而危及行车安全。
因此，在桥梁设计中，需要对弯矩进行精确的计算和分析，以确保桥梁的结构稳定。
2.弯矩在机械设计中的应用在机械设计中，弯矩也是一个非常重要的参数。
机械在工作时受到各种外力的作用，这些作用会产生弯矩，如果弯矩过大，就会导致机械的结构不稳定，从而影响机械的工作效率和寿命。
因此，在机械设计中，需要对弯矩进行精确的计算和分析，以确保机械的结构稳定。
3.弯矩在建筑设计中的应用在建筑设计中，弯矩也是一个非常重要的参数。
建筑物在使用过程中受到各种外力的作用，如地震、风力等，这些作用会产生弯矩，如果弯矩过大，就会导致建筑物的结构不稳定，从而危及人们的生命安全。
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非预应力筋应力 （MPa）
-77.8 +12.7 +16.5 +245.4 +400 +400
阶段一 阶段二 阶段三
（1） （2） （3） （4）
0 289 300.5 432.3 555.3 574.1
阶段四
（5） （6）
弯矩曲率曲线
P A
ce 0.324 103
s 0.389 103
0.436Pey A I
c c / Ec
应力图
应变图
1 初始阶段
当外力矩（包括自重） M 0
0.123 103
时，截面曲率：
0.933 106
0.993 106 rad/mm
普通钢筋的压应力:
ce 0.324 103
Es s 2 105 0.3893 77.8MPa
预应力筋在有效应力下的应变:
s 0.389 103
0.436 103
ps pe ce 5.324 103
-0.64
-0.229 104
0.076 106
+0.64
+0.229 104
应力图
应变图
3 开裂阶段
在开裂弯矩作用下， 截面的开裂曲率等于阶段（2）的曲率与开裂增加曲率之和， 也就是：
cr (0.917 0.076) 106 0.993 106 rad/mm
550 c ) e c
5.324 103
曲率：
0.001 4.05 106 rad / mm c 247
c
p (
s (
4 非线性阶段
假定截面顶纤维混凝土应变 c 0.002 用同样方法求解，得到：
c 190mm C0 1330kN
普通钢筋达到屈服
预应力筋有效预应力
f pe 1000 MPa
弹性模量
Ap As
E p Es 2 105 MPa
300 mm
弯矩曲率计算
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
仅预应力 筋有效力 作用
梁底混凝 土达到抗 拉强度， 裂缝出现
给定顶部 应变，计 算弯矩曲 率
1 初始阶段
无外力作用，仅考虑有效预应力作用 毛截面特征值
A 180 103 mm2
预应力与非预应力筋 中的总拉力：
T Ap ps As s 1095.5kN
受压区合力：
C0 4375c 1050kN
表面中性轴高度偏小 ，需再次试算。
4 非线性阶段
3
假定中性轴高度 c=247mm
预应力与非预应力筋 中的总拉力：
T Ap ps As s 1081kN
5 3
0.123 103
0.933 106
ce 0.324 103
s 0.389 103
0.436 103
此时，预应力筋中的拉力为：
P Ap ps 784 10648 834.8kN .
c c / Ec
应变图
2 加载阶段
-4.64 +8.35 +3.71
-9.64 -11.60 -4.64
P A
-8.35
Pey I
-13.0
P Pey A I
( P 834.8kN)
2 加载阶段
+3.71 -16.06 -12.35
0.441 103
-9.64 -11.60 -13.0
P Pey A I
0.317 106
开裂弯矩为：
M cr 289 11.5 300.5kNm
4 非线性阶段
假定截面顶纤维混凝土应变 c 0.001 截面开裂时，顶部纤维应变为：
c 0.464 103
0.464 103 0.001
因此，在本阶段采用开裂截面分析。
即，假设中性轴以下混凝土不起作用。
4.梁截面顶纤维混凝土压应变达到 5.梁截面顶纤维混凝土压应变达到 6.梁截面顶纤维混凝土压应变达到
0.001 0.002 0.003
预应力混凝土梁
混凝土：
本构关系
Ap 784mm2
550 mm 480 mm
抗压抗拉强度
Ap
f c 35MPa
f t 3.7MPa
300 mm
As
600 mm
C
4 非线性阶段
进行试算，确定中性轴高度。
1
假定中性轴高度 c=300mm
c
受压区总压力为:
c
480 c ) c c
550 c ) e c
5.324 103
C0 4375c 4375 300 1312.5kN
p (
s (
4 非线性阶段
预应力钢筋
在加载阶段，计算出预应力处混凝 土应变为零时，钢筋的应变。 此时相加，即得到钢筋的总应变。
由Δ M 对非预应力筋产生的拉应力为：
My 11.5 106 250 s ns 7.14 3.8MPa 9 I 5.4 10
因此开裂弯矩下，非预应力筋中的应力为：
s 12.7 3.8 16.5MPa
3 开裂阶段
由纤维应力0.64MPa而增加的曲率如图所示：
弯矩曲率计算示例
北京交通大学
主要内容
弯矩曲率一般分为两个阶段进行：
阶 段 一
梁未开裂 一般假定为弹性阶段
梁开裂
阶 段 二
应力应变关系为非线性
弯矩曲率曲线
破坏
开裂
弯矩曲率曲线 曲线上的6个控制点
MPa 1.初始阶段，即外弯矩为零， f pe 1000 2.预应力筋水平处混凝土的应变为零。 3.裂缝出现，即混凝土达到其抗拉强度， ft 3.7MPa
ps 1494MPa ps 0.00837 s 400MPa
M 555.3kNm
=10.5 106 rad / mm
4 非线性阶段
假定截面顶纤维混凝土应变 c 0.003 用同样方法求解，得到：
c 176mm ps 1560MPa
普通钢筋达到屈服 预应力钢筋达到屈服
+9.64 +13.38 -16.06
+1.78 +3.06
0.0636 103
0.109 103
M
应力图
3
应变图
0.917 106 rad/mm
此阶段结束时，曲率为： (0.441 0.109) 10
600
I 5.4 103 9.64 弯矩为： M 289.0kNm e 180
c c / Ec
应变图
pe f pe E p 1000/ 200000 5 103
2 加载阶段
加载阶段，是指在外弯矩开始作 用，直到预应力钢筋处的混凝土 应变为零的阶段。 预应力钢筋除混凝土应变为零时 ，预应力筋的应力为:
ps E p ps 2 10 5.32410 10648MPa .
4 非线性阶段
应力应变关系符如右图所 示，符合二次抛物线形曲 线
开裂后，截面扔符合平截面 假定。根据应力应变关系得 到应力图。
0
4 非线性阶段
求压应力合力，对应力 图积分，计算出合力大 顶部纤维应变 c 小及位置。
x 0.35 c
中性轴 中性轴
应变图
应力图
X
2 c C0 bf c c (1 ) 0 3 0
s 400MPa
M 574.1kNm
=17.0 106 rad / mm
计算结果汇总
各个阶段弯矩曲率汇总如下：
控制点 外力矩 曲率 10 6 （rad/mm）
-0.933 +0.917 +0.993 +4.05 +10.5 +17.0
kN m
预应力筋应力 （MPa）
依据上述六个控制点 ，绘制弯矩曲率曲线 Origin作图如下：
谢谢！
3 开裂阶段
截面开裂点将为截面弯矩曲率线弹性关系的终点 在上个阶段，截面底纤维已经存在3.06MPa的拉应力， 由于混凝土出现裂缝的抗拉强度为3.7MPa。
3.7 3.06 0.64 MPa
I 5.4 109 0.64 M 11.5kNm y 300
开裂弯矩为： M cr 289 11.5 300 5kNm .
受压区合力：
C0 4375c 1080.6kN
表面中性轴高度合适 ，可进行下一步计算
4 非线性阶段
x 0.35c 86.5mm
对受压区合力位置取矩， 得此时截面所受弯矩：
M Ap ps (hp x) As s hs x =432.3kNm
c
c
480 c ) c c
普通钢筋
550 300 s ( ) 0.001 0.833 103 300
c
c
fs s Es
普通钢筋 处于弹性工 作阶段
p (
s (
480 c ) c c
550 c ) e c
5.324 103
4 非线性阶段
合力计算
预应力与非预应力筋 中的总拉力：
c
c
480 c ) c c
550 c ) e c
5.324 103
480 300 ps 5.324 10 ( ) 0.001 300 5.94 103 0.8 f 0.2 预应力钢筋 ps 处于弹性工 Es 作阶段