高考数学 专题09 椭圆解答题解题方法总结(解析版)

专题09椭圆解答题解题方法总结一．【学习目标】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 二．【知识要点】 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) ______________ (a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝_____________． (2)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，焦点___________________，其中c ＝_____________． 3．椭圆的几何性质以x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)为例 (1)范围：________________．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O (0，0)．(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b )，B 2(0，b )；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c .(4)离心率e ＝_______，0<e <1，e 越大，椭圆越______，e 越_______，椭圆越圆． (5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2或a 2＝c 2＋b 2. 三．【题型总结】（一）三角形的面积的解题思路（1）弦长公式和点到直线距离公式，（2）如果三角形被坐标轴分成两部分，用两个三角形面积之和求解（二）定点问题（1）特殊位置找定点；（2）直线中含一个参数找定点 （三）定值问题 （四）角相等的转化 （五）距离问题的在转化 （六）相切问题的解决方法 （七）向量与椭圆的综合 （八）点差法的应用 （九）对称问题 （十）求轨迹的方法 四．【题型方法】；（一）三角形的面积问题例1．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>2y x =+上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k . （1）求该椭圆的方程. （2）若1214k k ⋅=-，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2214x y +=；（2）OPQ ∆的面积为定值1. 【解析】由2c e a ==，又由于0a b >>，一个长轴顶点在直线2y x =+上， 可得：2a =，c =1b =.（1）故此椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 联立椭圆的方程得：()222418440k x kmx m +++-=， 由()()222264441440k m k m ∆=-+->，可得2241m k <+，则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+，12PQ x x =-=， 又点O 到直线y kx m =+的距离d =，122OPQS d PQ m ∆=⋅⋅=由于2121212121214y y x x m k k x x x x ++⋅===-，可得：22421k m =-，故2212OPQS m m∆=⋅=，当直线PQ 的斜率不存在时，可算得：1OPQ S ∆=， 故OPQ ∆的面积为定值1.练习1. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点为别为1F 、2F，且过点(1,2和2.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），2AF 的延长线与椭圆交于点B ，AO 的延长线与椭圆交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（22【解析】（1）根据题意得，将点2⎛⎝⎭和23,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆方程得：2222111213124a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：222,1a b ==，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）由（1）得椭圆的()11,0F -，()21,0F ， ①当AB 的斜率不存在时，易知2221,,1,,1,222A B C ⎛⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴ΔABC 1S 2222=⨯= ②当AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，联立方程组()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()2222214220k x k x k +-+-= 设()()1122,,,A x y B x y ，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， ()22222212122242214142121k k k x x k k B x k A x ⎛⎫-=++-=+-⨯ ⎪++⎝⎭221221k k +=+， 点O 到直线AB 的距离21k d k -=+O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d=所以2ΔABC2111S22221dkkAB⎛⎫+=⋅=⋅ ⎪+⎝⎭==综上，ABC∆.（二）定点问题例2. 已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线20x y+-=相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得EA EB⋅u u u r u u u r为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212xy+=；（2）定点为5,04⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意知，222b cab c a=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩，解得11bac=⎧⎪=⎨⎪=⎩则椭圆C的方程是2212xy+=（2）①当直线的斜率存在时，设直线()()10y k x k=-≠联立()22121xyy k x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22222124220,880k x k x k k+-+-=∆=+>所以2222422,1212A B A B k k x x x x k k-+==++ 假设x 轴上存在定点()0,0E x ，使得EA EB ⋅u u u v u u u v为定值。

所以()()()20000,,A A B B A B A B A B EA EB x x y x x y x x x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++u u u v u u u v()()220011A B A B x x x x k x x =-++--()()()2222001A B AB k x x x k xx x k =+-++++()()2220002241212x x k x k -++-=+要使EA EB ⋅u u u v u u u v 为定值，则EA EB ⋅u u u v u u u v的值与k 无关， 所以()2200024122x x x -+=- 解得054x =， 此时716EA EB ⋅=-u u u v u u u v 为定值，定点为5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭②当直线的斜率不存在时，1,,1,22A B ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，716EA EB ⋅=-u u u v u u u v 也成立 所以，综上所述，在x 轴上存在定点5,04E ⎛⎫⎪⎝⎭，使得EA EB ⋅u u u v u u u v 为定值716-练习1. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为A ，右顶点为B ，||AB =（1）求椭圆的方程；（2）不经过点A 的直线:l y kx m =+与椭圆交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过点A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析，10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2c a =，又由222a b c =+，可得222a b =．由||AB ==从而a =1b =．所以，椭圆的方程为2212x y +=．（2）()()2222212142102x y k x kmx m y kx m ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩， ()()222216421220k m k m ∆=-+->，即22021k m +->，122421kmx x k -+=+，()21222121m x x k -=+，()0,1A ，设()11,M x y ，()22,N x y ，()()()2212121222212221y y kx m kx m k x x k k m k m x x m =++=+-+=+++， ()()()12121222212my y kx m kx m k x x m k +=+++=++=+，因为以MN 为直径的圆经过点A ，所以0AM AN ⋅=uuu r uuu r，则()()()1122121212,1,110AM AN x y x y x x y y y y ⋅=-⋅--=+++=u u u u r u u u r，即()222222210212122112m k k k m k m ---+++++=+，整理得23210m m --=， 解得1m =或13m =-， 又直线l 不经过(0,1)A ，所以1m ≠，故13m =-，则直线l 过定点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．（三）定值问题例3.已知椭圆()222210x y C a b a b +=>>：的左、右焦点分别为12,F F，直线12y =与椭圆C交于A ，B 两点，且11AF BF ⊥． (1)求椭圆C 的方程．(2)不经过点12F F 和的直线():0,0l y kx m k m =+<>被圆224x y +=截得的弦长与椭圆C 的长轴长相等，且直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点，试判断2F DE ∆的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22 1.3x y +=（2）2F DE ∆的周长为定值为【解析】（1）因为e =，所以2222213c b a a =-=，则2213b a =，即223a b =，所以椭圆C 的方程可化为22233x y b +=，由22233,1,2x y b y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得x =不妨令11,,22A B ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭ 易知()()12,0,,0F c F c -，则1111,,,,22F A c F B c ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭u u u r u u u r因为11AF BF ⊥，所以110F A F B ⋅=u u u r u u u r ,即22313044c b -++=， 又22222,3a c b a b =+=，所以2213b a ==，，所以椭圆C 的方程为22 1.3x y +=（2）由（1）知椭圆C的长轴长为():0,0l y kx m k m =+<>被圆224x y +=截得的弦长与椭圆C 的长轴长相等，所以圆224x y +=的圆心O （O 为坐标原点）到直线l 的距离1d ==，1=，即221.m k =+设()()1122,,,D x y E x y ，联立方程，得221,3,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()()222316310,k x kmx m +++-=()()()222222236123111231240,k m k m k m k ∆=-+-=-+=>()2121222316,,3131m km x x x x k k -=+=-++所以12DE x =-=，又221m k =+，所以226,31mkDE k =-+ 又()()2222121112213x DF x y x =-+=-+-=116633.3x x -=-()()2222222222213x EF x y x =-+=-+-=226633.3x x -=- 所以()22126262323mkDF EF x x +=-+=+， 所以2F DE ∆的周长是2222262623233131mk mkDE DF EF k k ++=+-=++. 所以2F DE ∆的周长为定值，为23. 得解.练习1. 已知圆()222:0O x y r r +=>与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于点M （0，1），N （0，-1），且椭圆的离心率为22.（1）求r 的值和椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点. ①若23MB MA =u u u r u u u r，求直线l 的方程；②设直线NA 的斜率为1k ，直线NB 的斜率为2k ，问:21k k 是否为定值? 如果是，求出定值；如果不是，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）①212y x =±+；②2112k k = 【解析】（1）因为圆()222:0O x y r r +=>与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于点M （0，1）所以b =r =1.又离心率为2c e a ==，所以2a =22:12x C y +=.（2）①因为过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点，所以设直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠，由22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222140k x kx ++=， 则222421,2121k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭，同理2211y kx x y =+⎧⎨+=⎩，解得22221,11k k A k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭， 因为23MB MA =u u u r u u u r ，则224223211k k k k --=++，因为0k ≠，所以22k =±，即直线l 的方程为212y x =±+.②根据①，22221,11k k A k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭，222421,2121k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭， 2212111121A N NAA N k y y k k k k x x k k -++-+====---+，22222111214221B N NB B N k y y k k k k x x k k -++-+====---+， 所以2112k k =为定值.（四）角相等的转化例4. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆C截得线段长为 （1）求椭圆C 的方程；（2）在y 轴上是否存在异于点P 的定点Q ，使得直线l 变化时，总有PQA PQB ∠=∠？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22184x y +=；（Ⅱ）存在定点(0,4)Q 满足题意. 【解析】1）∵222122c e e a ===，∴2222222,?2a c b c b c a b ==+==， 椭圆方程化为：222212x y b b+=，由题意知，椭圆过点)，∴226112b b+=，解得224,8b a ==， 所以椭圆C 的方程为：22184x y +=；（2）当直线l 斜率存在时，设直线l 方程：1y kx =+，由22281x y y kx ⎧+=⎨=+⎩得()2221460k x kx ++-=，()221624210k k ∆=++>，设()()1221122122421,,,,621k x x k A x y B x y x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，假设存在定点()0,Q t 符合题意，∵PQA PQB ∠=∠，∴QA QB k k =-， ∴()()()()2112122112121212121211QA QB x y x y t x x x kx x kx t x x y t y t k k x x x x x x +-++++-+--+=+==()()()()1212122124421063kx x t x x k t k k t x x +-+--==+-==-，∵上式对任意实数k 恒等于零，∴40t -=，即4t =，∴()0,4Q ， 当直线l 斜率不存在时，,A B 两点分别为椭圆的上下顶点()()0,2,0,2-， 显然此时PQA PQB ∠=∠，综上，存在定点()0,4Q 满足题意．练习1. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点()0,1A．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >．若直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，求直线l 的方程．【答案】(Ⅰ) 2213x y += (Ⅱ) y=x-1【解析】（Ⅰ）由题意得2221,3.b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得23a =．所以椭圆C 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线l 的方程为y=x+m ，()3,P P y由2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2246330x mx m ++-=. 令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<．1232x x m +=-，()212314x x m =-．因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形， 所以NP 平行于x 轴．过M 做NP 的垂线，则垂足Q 为线段NP 的中点． 设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，则2132Q M x x x x +===． 由方程组()12212213231432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，解得2210m m ++=，即1m =-． 而()122m =-∈-，， 所以直线l 的方程为y=x-1．（五）距离问题的在转化例5. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F 、2F ，M 为椭圆上异于长轴端点的点，且12MF F ∆. （1）求椭圆C 的标准方程（2）若直线l 是过点()1,0P 点的直线，且l 与椭圆C 交于不同的点A 、B ，是否存在直线()000:2l x x x =>使得点A 、B 到直线0l ，的距离A d 、B d ，满足A d PAd PB=恒成立，若存在，求0x 的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，且04x =.【解析】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，且12MF F ∆，则bc =由已知条件得2222c abc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）当直线l 不与x 轴重合时，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆方程联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得()224230m y my ++-=， ()()22241241630m m m ∆=++=+>，由韦达定理得12224m y y m +=-+，12234y y m =-+. A B d PA d PB =Q，即011022x x y x x y -=--，即01102211x my yx my y --=---， 整理得2120122322411424m my y m x m y y m ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭=+=+=+-+；当直线l 与x 轴重合时，则直线l 与椭圆C 的交点为左、右顶点，设点()2,0A 、()2,0B-，13PA PB =，0022A B x d d x -=+，由A B d PA d PB =，得002123x x -=+，解得04x =. 综上所述，存在直线0:4l x =，使得A B d PAd PB=. 练习1. 已知圆O ：2243x y +=，椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于两点M ，N ，当P 恰好位于x 轴上时，OMN ∆的面积为43. （1）求椭圆C 的方程；（2）试判断PM PN ⋅是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）22142x y+=（2）PM PN⋅为定值且定值为43，详见解析【解析】1）由椭圆的离心率为22知22212a ba-=得2a b=，∴椭圆C的方程为222212x yb b+=.由圆的切线性质、圆的对称性及OMN∆的面积为43得：1423OP MN⋅⋅=，又233OP=，∴433MN=，设()11,M x y，则2143x=，2143y=，将其代入椭圆方程得22b=，24a=，∴椭圆C的方程为22142x y+=.（2）①当过点P的圆的切线斜率为0或不存在时，232343PM PN⋅==，②当过点P的圆的切线斜率存在且不为0时，设切线的方程为y kx m=+，()11,M x y，()22,N x y22331mk=+，即()22413m k=+.联立直线和椭圆的方程得：()2224x kx m++=，即()222124240k x kmx m+++-=，则()()()222122212244122404212421km k mkmx xkmx xk⎧∆=-+->⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，设()00,P x y，则22102011PM PN k x x k x x ⋅=+-⋅+-()()221201201k x x x x x x =+-++,由00001y x k y kx m⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，解得021mk x k -=+， ∴()22222222441121211m mk mk mk PM PN kk k k k ----⎛⎫⋅=+-⋅+ ⎪++++⎝⎭()222222222244112121m m k m k k k k k-=+-++++ ()()()()222222223224112121m k k m k k k k +-=+-+++()()()()()()222222224124324131123121k k k k k k k k +⨯-++=+-⋅+++43=， 综上所述，PM PN ⋅为定值且定值为43.（六）相切问题的解决方法例6. 如图（1），平面直角坐标系中，C e 的方程为()2214x y -+=，D e 的方程为()22116x y ++=，两圆内切于点A ，动圆P e 与C e 外切，与D e 内切.（1）求动圆P e 圆心P 的轨迹方程；（2）如图（2），过A 点作P e 的两条切线12,l l ，若圆心在直线()3x m m =≠上的P %e 也同时与12,l l 相切，则称P %e 为P e 的一个“反演圆”（ⅰ）当3m =-时，求证：P %e 的半径为定值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，已知,P Q e e 均与C e 外切，与D e 内切，且P e 的圆心为81,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，求证：若,P Q e e 的“反演圆”,P Q%%e e 相切，则,P Q e e 也相切。