人教版必修二高中数学笔记讲义
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判断棱柱、棱锥、棱台形状的方法 (1)棱柱：①两个面互相平行； ②其余各面是四边形； ③相邻两个四边形的公共边互相平行． (2)棱锥：①只有一个面是多边形，此面即为底面； ②侧棱相交于一点． (3)棱台：①两个互相平行的面，即为底面； ②侧棱延长后相交于一点．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱柱的侧面可以不是平行四边形．( ) (2)各面都是三角形的多面体是三棱锥．( ) (3)(教材改编，P8，T1(2))棱台的上下底面互相平行，且各侧棱延 长线相交于一点．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)面数最少的多面体的面的个数是________． (2)三棱锥的四个面中可以作为底面的有________个． (3)四棱台有________个顶点，________个面，________条边． 答案 (1)四 (2)四 (3)八 六 十二 3．(教材改编，P7，T2)有两个面平行的多面体不可能是( ) A．棱柱 B．棱锥 C．棱台 D．以上都错 答案 B
解 将各平面图折起来的空间图形如下图所示．
1.正确理解多面体的概念 对多面体概念的理解，注意以下两个方面： (1)多面体是由平面多边形围成的，不是由圆面或其他曲面围 成，也不是由空间多边形围成． (2)我们所说的多边形包括它内部的部分，故多面体是一个“封 闭”的几何体． 2.正确理解棱柱的定义 可以从以下三个方面理解棱柱： (1)棱柱的两个主要结构特征： ①有两个面平行； ②各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形． 通俗地讲，棱柱“两头一样平，上下一样粗”．
课堂达标自测 1．下列说法中，正确的是( ) A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 答案 D 解析 A 选项不符合棱柱的特点；B 选项中，如图①，构造四棱 柱 ABCD－A1B1C1D1，令四边形 ABCD 是梯形，可知平面 ABB1A1∥ 平面 DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C 选项中，如图
人教A版高中数学必修二讲义第六章 6.3 6.3.2 6.3.3
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示知识点一平面向量的正交分解及坐标表示( 1)平面向量的正交分解□01把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解．( 2)平面向量的坐标表示知识点二平面向量加、减运算的坐标运算1．在直角坐标平面内,以原点为起点的向量OA →＝a ,点A 的位置被向量a 唯一确定,此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为( x ,y )．2．平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关;应把向量的坐标与点的坐标区别开来,只有起点在原点时,向量的坐标才与终点的坐标相等．3．符号( x ,y )在直角坐标系中有两重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量．为了加以区分,在叙述中,就常说点( x ,y )或向量( x ,y )．特别注意:向量a ＝( x ,y )中间用等号连接,而点的坐标A ( x ,y )中间没有等号． 4．( 1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式,只是两个基向量e 1和e 2互相垂直．( 2)由向量坐标的定义,知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等,即a ＝b ⇔x 1＝x 2且y 1＝y 2,其中a ＝( x 1,y 1),b ＝( x 2,y 2)．( 3)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关． ( 4)当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变．1．判一判( 正确的打“√”,错误的打“×”)( 1)与x 轴平行的向量的纵坐标为0;与y 轴平行的向量的横坐标为0.( ) ( 2)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同．( ) ( 3)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) ( 4)向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化．( ) 答案 ( 1)√ ( 2)× ( 3)√ ( 4)× 2．做一做( 1)已知AB →＝( －2,4),则下列说法正确的是( ) A ．A 点的坐标是( －2,4) B ．B 点的坐标是( －2,4)C ．当B 是原点时,A 点的坐标是( －2,4)D ．当A 是原点时,B 点的坐标是( －2,4)( 2)已知AB →＝( 1,3),且点A ( －2,5),则点B 的坐标为( ) A ．( 1,8) B ．( －1,8) C ．( 3,－2) D ．( －3,2) ( 3)若a ＝( 2,1),b ＝( 1,0),则a ＋b 的坐标是( )A ．( 1,1)B ．( －3,－1)C ．( 3,1)D ．( 2,0)( 4)若点M ( 3,5),点N ( 2,1),用坐标表示向量MN →＝________. 答案 ( 1)D ( 2)B ( 3)C ( 4)( －1,－4)题型一 平面向量的正交分解及坐标表示例1 ( 1)已知向量i ＝( 1,0),j ＝( 0,1),对坐标平面内的任一向量a ,给出下列四个结论:①存在唯一的一对实数x ,y ,使得a ＝( x ,y );②若x 1,x 2,y 1,y 2∈R ,a ＝( x 1,y 1)≠( x 2,y 2),则x 1≠x 2,且y 1≠y 2; ③若x ,y ∈R ,a ＝( x ,y ),且a ≠0,则a 的始点是原点O ; ④若x ,y ∈R ,a ≠0,且a 的终点坐标是( x ,y ),则a ＝( x ,y )． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4( 2)如图所示,在边长为1的正方形ABCD 中,AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标以及AB →与AD →的坐标．[详细解析] ( 1)由平面向量基本定理,知①正确;例如,a ＝( 1,0)≠( 1,3),但1＝1,故②错误;因为向量可以平移,所以a ＝( x ,y )与a 的始点是不是原点无关,故③错误;当a 的终点坐标是( x ,y )时,a ＝( x ,y )是以a 的起点是原点为前提的,故④错误．( 2)由题知B ,D 分别是30°,120°角的终边与单位圆的交点． 设B ( x 1,y 1),D ( x 2,y 2)．由三角函数的定义,得 x 1＝cos30°＝32,y 1＝sin30°＝12,∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.x 2＝cos120°＝－12,y 2＝sin120°＝32, ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. ∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12,AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.[答案] ( 1)A ( 2)见详细解析求点和向量坐标的常用方法( 1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． ( 2)在求一个向量时,可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．( 1)如图,{e 1,e 2}是一个正交基底,且e 1＝( 1,0),e 2＝( 0,1),则向量a 的坐标为( )A ．( 1,3)B ．( 3,1)C ．( －1,－3)D ．( －3,－1)( 2)已知O 是坐标原点,点A 在第一象限,|OA →|＝43,∠xOA ＝60°, ①求向量OA →的坐标;②若B ( 3,－1),求BA →的坐标． 答案 ( 1)A ( 2)见详细解析详细解析 ( 1)由图可知a ＝e 1＋3e 2,又e 1＝( 1,0),e 2＝( 0,1), 则a ＝( 1,3)．故选A.( 2)①设点A ( x ,y ),则x ＝43cos60°＝23, y ＝43sin60°＝6,即A ( 23,6),故OA →＝( 23,6)． ②BA →＝( 23,6)－( 3,－1)＝( 3,7). 题型二 平面向量加、减运算的坐标表示例2 ( 1)已知三点A ( 2,－1),B ( 3,4),C ( －2,0),则向量AB →＋CA →＝________,BC →－AB →＝________;( 2)已知向量a ,b 的坐标分别是( －1,2),( 3,－5),求a ＋b ,a －b 的坐标． [详细解析] ( 1)∵A ( 2,－1),B ( 3,4),C ( －2,0), ∴AB →＝( 1,5),CA →＝( 4,－1),BC →＝( －5,－4)．∴AB →＋CA →＝( 1,5)＋( 4,－1)＝( 1＋4,5－1)＝( 5,4)．BC →－AB →＝( －5,－4)－( 1,5)＝( －5－1,－4－5)＝( －6,－9)． ( 2)a ＋b ＝( －1,2)＋( 3,－5)＝( 2,－3), a －b ＝( －1,2)－( 3,－5)＝( －4,7)．[答案] ( 1)( 5,4) ( －6,－9) ( 2)见详细解析平面向量坐标运算的技巧( 1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． ( 2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算．( 3)向量加、减的坐标运算可完全类比数的运算进行．( 1)已知a ＝( 1,2),b ＝( －3,4),求向量a ＋b ,a －b 的坐标;( 2)已知A ( －2,4),B ( 3,－1),C ( －3,－4),且CM →＝CA →,CN →＝CB →,求M ,N 及MN →的坐标．解 ( 1)a ＋b ＝( 1,2)＋( －3,4)＝( －2,6), a －b ＝( 1,2)－( －3,4)＝( 4,－2)． ( 2)由A ( －2,4),B ( 3,－1),C ( －3,－4), 可得CA →＝( －2,4)－( －3,－4)＝( 1,8), CB →＝( 3,－1)－( －3,－4)＝( 6,3), 设M ( x 1,y 1),N ( x 2,y 2),则CM →＝( x 1＋3,y 1＋4)＝( 1,8),x 1＝－2,y 1＝4; CN →＝( x 2＋3,y 2＋4)＝( 6,3),x 2＝3,y 2＝－1, 所以M ( －2,4),N ( 3,－1),MN →＝( 3,－1)－( －2,4)＝( 5,－5).题型三 平面向量加、减坐标运算的应用例3 如图所示,已知直角梯形ABCD ,AD ⊥AB ,AB ＝2AD ＝2CD ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ,用向量的方法证明:DE ∥BC .[证明] 如图,以E 为原点,AB 所在直线为x 轴,EC 所在直线为y 轴建立直角坐标系,设|AD →|＝1,则|DC →|＝1,|AB →|＝2. ∵CE ⊥AB ,而AD ＝DC , ∴四边形AECD 为正方形,∴可求得各点坐标分别为E ( 0,0),B ( 1,0),C ( 0,1),D ( －1,1)． ∵ED →＝( －1,1)－( 0,0)＝( －1,1), BC →＝( 0,1)－( 1,0)＝( －1,1),∴ED →＝BC →,∴ED →∥BC →,即DE ∥BC .通过建立平面直角坐标系,可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来表示;反过来,任一有序实数对都表示一个向量．因此向量的坐标表示实质上是向量的代数表示,引入向量的坐标后,可使向量运算代数化,将数和形结合起来,从而将几何问题转化为代数问题来解决．已知平行四边形ABCD 的四个顶点A ,B ,C ,D 的坐标依次为( 3,－1),( 1,2),( m,1),( 3,n )．求m sin α＋n cos α的最大值．解 ∵四边形ABCD 为平行四边形,则AD →＝BC →,即( 3－3,n ＋1)＝( m －1,1－2),即⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝0，n ＋1＝－1，得m ＝1,n ＝－2,得m sin α＋n cos α＝sin α－2cos α＝5sin( α＋φ),其中tan φ＝－2,故m sin α＋n cos α的最大值为 5.1．设平面向量a ＝( 3,5),b ＝( －2,1),则a ＋b ＝( ) A ．( 1,6) B ．( 5,4) C ．( 1,－6) D ．( －6,5)答案 A详细解析 a ＋b ＝( 3,5)＋( －2,1)＝( 3－2,5＋1)＝( 1,6)． 2．已知向量OA →＝( 1,－2),OB →＝( －3,4),则AB →＝( ) A ．( －4,6) B ．( 2,－3) C ．( 2,3) D ．( 6,4) 答案 A详细解析 AB →＝OB →－OA →＝( －3,4)－( 1,－2)＝( －4,6)． 3．如图,向量a ,b ,c 的坐标分别是________,________,________.答案 ( －4,0) ( 0,6) ( －2,－5)详细解析 将各向量分别向基底i ,j 所在直线分解,则a ＝－4i ＋0·j ,∴a ＝( －4,0);b ＝0·i ＋6j ,∴b ＝( 0,6);c ＝－2i －5j ,∴c ＝( －2,－5)．4．在平面直角坐标系中,|a |＝22,a 的方向相对于x 轴正方向的逆时针转角为135°,则a 的坐标为________．答案 ( －2,2)详细解析 因为|a |cos135°＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2,|a |·sin135°＝22×22＝2,所以a 的坐标为( －2,2)．5．在平面直角坐标系xOy 中,向量a ,b 的位置如图所示,已知|a |＝4,|b |＝3,且∠AOx ＝45°,∠OAB ＝105°,分别求向量a ,b 的坐标．解 设a ＝( a 1,a 2),b ＝( b 1,b 2),由于∠AOx ＝45°, 所以a 1＝|a |cos45°＝4×22＝22, a 2＝|a |sin45°＝4×22＝2 2.由已知可以求得向量b 的方向相对于x 轴正方向的逆时针转角为120°, 所以b 1＝|b |cos120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32,b 2＝|b |sin120°＝3×32＝332. 故a ＝( 22,22),b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332.。
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人教A版(2019)高一数学必修第二册 讲义 6
6.3 平面向量基本定理及坐标表示一、平面向量基本定理1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．二、用基底表示向量用基底表示向量的一般方法(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．三、平面向量基本定理的应用(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．四、平面向量的坐标表示1．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．2．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．3．坐标表示：a＝(x，y)．4．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．五、平面向量加、减法的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表，符号表示加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法a－b＝(x1－x2，y1－y2)重要结论已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)六、平面向量坐标运算的应用坐标形式下向量相等的条件及其应用(1)条件：相等向量的对应坐标相等．(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．七、数乘运算的坐标表示已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．八、向量共线的判定设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．向量a ，b 共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 九、 利用向量共线的坐标表示求参数 利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用向量共线定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解． (2)利用向量共线的坐标表示直接求解．提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值． 十、有向线段定比分点坐标公式及应用对任意的λ(λ≠－1)，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 注意点：(1)λ的值可正、可负．(2)分有向线段的比与线段长度比不同． 十一、平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系 (1)|a |2＝a ·a .(2)(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2. (3)(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2. 十二、平面向量的模1．若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x2－x12＋y2－y12.求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2＝x2＋y2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．十三、平面向量的夹角、垂直问题设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.1．cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.2．a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.考点一 平面向量的基本定理【例1】(2021·陕西)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．()()120,0,1,2e e == B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】对A ：因为零向量和任意向量平行，故A 中向量不可作基底； 对B ：因为710-≠，故B 中两个向量不共线；对C ：因为31056⨯=⨯，故C 中两个向量共线，故C 中向量不可作基底；对D ：因为312342⎛⎫⨯-=-⨯ ⎪⎝⎭，故D 中两个向量共线，故D 中向量不可作基底.故选：B.【练1】(2020·广东云浮市·高一期末)下列各组向量中，可以作为基底的是( )． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e =C ．()13,5e =，()26,10e =D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为()11,2e =-与()25,7e =不共线，其余选项中1e 、2e 均共线，所以B 选项中的两向量可以作为基底．故选：B考点二 加减数乘的坐标运算【例2】(2020·咸阳百灵学校高一月考)已知点M (－3，3)，N (－5，－1)，那么MN 等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－4，－2) C ．(2，4) D ．(4，2)【答案】A【解析】M (－3，3)，N (－5，－1)，()=2,4MN ∴--.故选：A【练2】(2020·苍南县树人中学高一期中)已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为( ) A ．()0,0 B ．()1,1 C ．()2,2-- D ．()2,2【答案】C【解析】由题意可得()()()1,11,12,2AB =---=--.故选：C. 考点三 共线定理的坐标表示【例3】(2020·全国高一)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是( ) A ．6 B ．2- C ．6- D ．2【答案】B【解析】因为三点()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -共线，所以(1,2),(1,2)AB BC m =--=+- ,若()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -三点共线，则AB 和BC 共线 可得：(1)(2)(2)(1)m --=-+，解得2m =-；故选：B【练3】(2020·新绛县第二中学高一月考)已知()13A ，，()41B -，，则与向量AB共线的单位向量为( )A ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．4355⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫⎪⎝⎭， D ．3455⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫⎪⎝⎭， 【答案】B【解析】因为()13A ，，()41B -，，所以向量()3,4AB =-， 所以与向量AB 共线的单位向量为3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，.故选：B 考点四 向量与三角函数的综合运用【例4】(2021·湖南)已知向量(cos 2sin ,2)a θθ=-，(sin ,1)b θ=，若a //b ，则tan 2θ的值为( )A ．14B ．34C ．815D ．415【答案】C【解析】因为a //b ，故可得22cos sin sin θθθ-=，故可得14tan θ=，又22284211tan 15116tan tan θθθ===--.故选：C【练4】(2020·平凉市庄浪县第一中学高一期中)若(3,cos ),(3,sin ),a b αα==且a //b ,则锐角α=__________ . 【答案】3π【解析】∵a //b ,∴3sin 3cos 0αα-=，又α为锐角，cos 0α≠，∴tan 3α=，3πα=．故答案为：3π．考点五 奔驰定理解三角形面积【例5】(2020·河南安阳市·林州一中高一月考)已知O 为ABC ∆内一点，且有23OA OC BC +=，则OBC ∆和ABC ∆的面积之比为( ) A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】C【解析】设D 是AC 的中点，则2OA OC OD +=， 又因为23OA OC BC +=，所以223OD BC =,3BC OD =，//OD BC ， 所以12OBC DBC ABC ABC S S DC S S AC ∆∆∆∆===故选：C 【练5】(2020·江西)在ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足3BA BC BP +=，则ABP △与ABC 面积之比为( )A ．14B ．13C ．23 D ．16【答案】B【解析】设AC 的中点为点E ，则有2BA BC BE +=，又3BA BC BP +=，所以23BP BE =，则点P 在线段BE 上，因为D 为BC 的中点，所以得点P 为ABC 的重心，故ABP △与ABC 面积之比为13.故选：B考点六 数量积的坐标运算【例6】(2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末)向量()()2112a b =-=-，，，，则()2a b a +⋅=( ) A ．1 B ．1- C ．6- D ．6【答案】D【解析】因为()()2112a b =-=-，，，所以()()23,0(2,1)3206a b a +⋅=⋅-=⨯+=故选：D【练6】(2021·深圳市龙岗区)已知向量()1,3a =-，()5,4b =-，则⋅=a b ( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18【答案】C【解析】因为向量()1,3a =-，()5,4b =-，所以()()153417a b ⋅=-⨯-+⨯=，故选：C考点七 巧建坐标解数量积【例7】(2020·山东济南市·)在ABC 中，2BAC π∠=，2AB AC ==，P 为ABC所在平面上任意一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为( )A ．1B ．12-C ．－1D ．-2【答案】C【解析】如图，以,AB AC 为,x y 建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2)A B C ，设(,)P x y ，(,)PA x y =--，(2,)PB x y =--，(,2)PC x y =--，(22,22)PB PC x y +=--，∴()22(22)(22)2222PA PB PC x x y y x x y y⋅+=----=-+-22112()2()122x y =-+--，∴当11,22x y ==时，()PA PB PC ⋅+取得最小值1-．故选：C ．【练7】(2020·安徽省亳州市第十八中学高一期中)如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，点P 为CD 的中点，点Q 在BC 上，且2BQ =．(1)求AP AQ ⋅；(2)若AC AP AQ λμ=+(λ，μ∈R )，求λμ的值. 【答案】(1)14；(2)23λμ=. 【解析】如图，分别以边AB ，AD 所在的直线为x 轴，y 轴， 点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,3P ，()4,0B ，()4,3C ，()4,2Q .(1)∵()2,3AP =，()4,2AQ =，∴243214AP AQ ⋅=⨯+⨯=. (2)∵()4,3AC =，()2,3AP =，()4,2AQ =，由AC AP AQ λμ=+，得()()4,324,32λμλμ=++，∴244,323,λμλμ+=⎧⎨+=⎩解得1,23,4λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴23λμ=. 考点八 数量积与三角函数综合运用【例8】向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为( ) A ．1 B ．2 C ．12D ．3【答案】A【解析】由题意可得 sin 2cos 0a b θθ⋅=-=，即 tan 2θ=．∴222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 1cos sin 1tan θθθθθθθθθ+++===++，故选A ． 【练8】(2020·河南安阳市·林州一中高一月考)已知向量(4sin ,1cos ),(1,2)a b αα=-=-,若2a b ⋅=-,则22sin cos 2sin cos αααα=-( )A ．1B ．1-C ．27-D ．12-【答案】A【解析】由2a b ⋅=-，得4sin 2(1cos )2αα--=-，整理得1tan 2α=-，所以2221sin cos tan 2112sin cos 2tan 112αααααα-===---，故选：A . 考点九 数量积与几何的综合运用【例9】(2020·陕西渭南市·高一期末)已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---.(1)若点A ，B ，C 能够成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，求实数m 的值. 【答案】(1)12m ≠；(2)74m =. 【解析】(1)已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---， 若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与BC 不共线.()3,1AB =，()2,1AC m m =--，故知()312m m -≠-，∴实数12m ≠时，满足条件.(2)若ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，则AB AC ⊥，∴()()3210m m -+-=，解得74m =. 【练9】(2020·辽宁)已知向量．(1)若ΔABC 为直角三角形，且∠B 为直角，求实数λ的值．(2)若点A、B、C能构成三角形，求实数λ应满足的条件．【答案】(1)λ=2；(2)λ≠−2．【解析】∵即：−7(6−λ)+7(3λ−2)=0,∴λ=2(2)∵若点A、B、C能构成三角形，则A、B、C不共线∴−7(3λ−2)≠7(6−λ)∴实数λ应满足的条件是λ≠−2课后练习1. （2021·内江模拟）已知空间三点 O(0,0,0) ， A(−1,1,0) ， B(0,1,1) ，在直线 OA 上有一点 H 满足 BH ⊥OA ，则点 H 的坐标为. A.(12,−12,0) B.(−12,12,0) C.(−2,2,0) D.(2,−2,0) 【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算【解析】由O （0，0，0），A （﹣1，1，0），B （0，1，1）， ∴ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ = （﹣1，1，0），且点H 在直线OA 上，可设H （﹣λ，λ，0）， 则 BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （﹣λ，λ﹣1，﹣1）， 又BH ⊥OA ， ∴ BH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0， 即（﹣λ，λ﹣1，﹣1）•（﹣1，1，0）＝0， 即λ+λ﹣1＝0， 解得λ =12 ，∴点H （ −12 ， 12 ，0）． 故答案为：B ．【分析】根据已知中空间三点O(0,0,0)，A(−1,1,0)，B(0,1,1)，根据点H 在直线OA上，我们可以设出H点的坐标(含参数λ) ,进而由BH⊥OA，根据向量垂直数量积为0，构造关于λ的方程，解方程即可得到答案.2.（2021高二上·辽宁月考）若a=(2,2,0)，b⃗=(1,3,z)，<a ,b⃗>=π3，则z等于（）A. √22B. −√22C. ±√22D. ±√42【答案】C【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】由空间向量夹角的余弦公式得cos<a ,b⃗>=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=2×1+2×3+0×z2√2×√12+32+z2=2√2√10+z2=12，解得z=±√22。
高二必修二数学知识点归纳笔记
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人教版必修二高中数学笔记讲义
【例2】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点.（同P58B组3题）
¤例题精讲：
【例1】有一种空心钢球，质量为 ，测得外径等于 ，求它的内径（钢的密度为 ，精确到 ）．
解：设空心球内径(直径)为 ，则钢球质量为
，
∴ ，∴ ，
∴直径 ，即空心钢球的内径约为 .
【例2】表面积为 的球，其内接正四棱柱的高是 ，求这个正四棱柱的表面积.
解：设球半径为 ，正四棱柱底面边长为 ，则作轴截面如图， ， ，
C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形
分析：多面体至少应有四个顶点组成（否则至多3个顶点，而3个顶点只围成一个平面图形），而四个顶点当然必须围成四个面，所以A正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱和侧面的个数与底面多边形的边数相等，所以B正确；长方体、正方体都是棱柱，所以C正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以D错误.
其侧面积为 .
下部分圆柱体的侧面积为 .
所以，搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为
（m2）.
点评：正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式，解决制作壳形几何体时的用料问题.注意区分是面积计算，还是体积计算.
第6讲§1.3.1柱体、锥体、台体的体积
¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台体的体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.
¤例题精讲：
【例1】已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.
高中数学必修二最全完整笔记
高中数学必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4.1 圆的方程4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构一、空间几何体：占据着空间的一部分，只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫空间几何体。
1.多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。
（1）面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。
（2）棱：相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。
（3）顶点：棱与棱的公共顶点叫做多面体的顶点。
2.旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何，叫做旋转体。
（1棱3.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
（1）底面：两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底）。
（2）侧面：其余各面叫做棱柱的侧面。
（3）侧棱：相邻侧面的公共边。
（4）顶点：侧面与底面的公共顶点。
（5）简单性质：1.侧棱都相等，侧面都是平行四边形。
2.两个底面与平行于底面的截面是全等的。
3.各不相邻的侧棱所形成的斜面是平行四边形。
（6）棱柱的分类：1.按底面边多少分：n棱柱（n≥3）2.按侧棱与底面的关系分：垂直：直棱柱、正棱柱(底面为正多边形) 三棱柱四棱柱不垂直：斜棱柱1.底面为直角三角形 1.直平行六面体2.底面为等边三角形 2.正四棱柱3.底面为等腰直角三角形 3.正方体（非棱柱）4.棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一公共点的三角形。
（1）底面：多边形面。
高一数学必修二重点知识笔记
高一数学必修二重点知识笔记篇一：高一数学必修二重点知识笔记一、函数与方程1. 函数的概念与性质- 函数的定义：函数是一个将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素的规则。
- 定义域与值域：函数的定义域为所有输入的可能取值，而值域为所有输出的可能取值。
- 奇偶性：如果对于任意的x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数。
2. 一次函数与二次函数- 一次函数：一次函数的标准形式为f(x) = ax + b，其中a为斜率，b为截距。
- 二次函数：二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 为常数，且a ≠ 0。
- 二次函数的顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 指数函数与对数函数- 指数函数：指数函数的定义为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
- 对数函数：对数函数的定义为f(x) = loga(x)，其中a为底数，x为真数。
二、三角函数与解三角形1. 三角函数的相关概念- 正弦函数：正弦函数的定义为sin(x) = 对边/斜边。
- 余弦函数：余弦函数的定义为cos(x) = 邻边/斜边。
- 正切函数：正切函数的定义为tan(x) = 对边/邻边。
2. 三角函数的性质与变换- 周期：正弦函数、余弦函数、正切函数的周期均为2π。
- 奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，而正切函数既不是奇函数也不是偶函数。
- 幅值：正弦函数、余弦函数的幅值为1，而正切函数的幅值为无穷大。
3. 三角函数的应用- 解三角形：利用三角函数可以求解三角形的各边长和角度。
- 三角恒等式：三角恒等式是指在一定条件下，三角函数之间的相等关系，如正弦定理、余弦定理、正切定理等。
三、向量与解析几何1. 向量的基本概念- 向量的定义：向量是具有大小和方向的量。
- 向量的表示：向量可以用有向线段来表示，也可以用坐标表示。
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【例1】有一种空心钢球，质量为 ，测得外径等于 ，求它的内径（钢的密度为 ，精确到 ）．
解：设空心球内径(直径)为 ，则钢球质量为
，
∴ ，∴ ，
∴直径 ，即空心钢球的内径约为 .
【例2】表面积为 的球，其内接正四棱柱的高是 ，求这个正四棱柱的表面积.
解：设球半径为 ，正四棱柱底面边长为 ，则作轴截面如图， ， ，
解：∵P EF，EF 面ABC，∴P 面ABC.同理P 面ADC.
∵P在面ABC与面ADC的交线上，
又∵面ABC∩面ADC=AC，∴P AC，即EF、HG、AC三线共点.
【例3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.
已知：直线 两两相交，交点分别为 ，
求证：直线 共面.
证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α．
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ .
【例3】（04年辽宁卷.10）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（）.
A． B． C． D．
【解】由已知可得，A、B、C、D在球的一个小圆上.
∵AB=BC=CD=DA=3，∴四边形 为正方形.∴小圆半径 .
由 得 ，解得 .
∴球的体积 .所以选A.
点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质 ，体积和表面积公式.
第8讲§2.1.1平面
¤学习目标：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理.
点评：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱.从而由等体积法可计算出高度，解直角三角形而得所求角.
第7讲§1.3.2球的体积和表面积
¤学习目标：了解球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
¤知识要点：1.表面积： （R：球的半径）. 2.体积： .
（2）平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’或y’轴的线段.
（3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
¤例题精讲：【例1】下列图形表示水平放置图形的直观图，画出它们原来的图形.
解：依据斜二测画法规则，逆向进行，如图所示.
【例2】画出下列三视图所表示的几何体.
解：先画几何体的正面，再侧面，然后结合三个视图完成几何体的轮廓.如下图所示.
【例3】如图，图（1）是常见的六角螺帽，图（2）是一个机器零件（单位：cm），所给的方向为物体的正前方.试分别画出它们的三视图.
解：图（1）为圆柱和正六棱柱的组合体.图（2）是由长方体切割出来的规则组合体.
（2）画法：如图，按如下步骤完成.
第一步，作水平放置的正方形的直观图ABCD，使 .
第二步，过A作 轴，使 .分别过点 作 轴的平行线，在 轴及这组平行线上分别截取 .
第三步，连接 ，所得图形就是正方体的直观图.
点评：直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图.注意被遮挡的部分画成虚线.
¤例题精讲：【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（）.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
解：在长方体 中，取四棱锥 ，它的四个侧面都是直角三角形.选D.
【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为 ，求球的半径.
解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得
梯形腰长为R+r，梯形的高即球的直径为 ，
解：由三视图知正三棱柱的高为2mm.
由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为 .
设底面边长为a，则 ，∴ .
∴正三棱柱的表面积为 .
【例3】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如右图所示，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（精确到0.01m2）
解：上部分圆锥体的母线长为 ，
分析：棱锥、棱柱、棱台、圆锥等几何体的截面都可以是三角形，因此本题答案是开放的，作答时要考虑周全.
答案：棱锥、棱柱、棱台、圆锥
第2讲§1.1.2简单组合体的结构特征
¤学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
¤知识要点：观察周围的物体，大量的几何体是由柱、锥、台等组合而成的，这些几何体称为组合体.
（3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.
棱锥
（1）底面是多边形，各侧面均是三角形；
（2）各侧面有一个公共顶点.
圆锥
（1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.
棱台
（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分.
【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为 ，母线长为6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的 时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为.
解：容器中水的体积为 .
流出水的体积为 ，如图， .
设圆柱的母线与水平面所成的角为α，则 ，解得 .
所以，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为60°.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言
3.公理2的三条推论：
推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.
¤例题精讲：
【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？（P56A组5题）
圆台
（1）两底面相互平行；
（2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分.
球
（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.
¤例题精讲：
1.下列说法错误的是（）
A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
¤知识要点：1.体积公式：
体积公式
体积公式
棱柱
圆柱
棱锥
圆锥
棱台
圆台
2.柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体.因而体积会有以下的关系：
.
¤例题精讲：【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是.解：设长方体的长宽高分别为 ，则 ，
¤例题精讲：
【例1】已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.
解：设圆台的母线长为 ，则圆台的上底面面积为 ，圆台的上底面面积为 ，
所以圆台的底面面积为 .又圆台的侧面积 ，
于是 ，即 为所求.
【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.
【例2】（1）画水平放置的一个直角三角形的直观图；（2）画棱长为4cm的正方体的直观图.
解：（1）画法：如图，按如下步骤完成.
第一步，在已知的直角三角形ABC中取直角边CB所在的直线为x轴，与BC垂直的直线为y轴，画出对应的 轴和 轴，使 .
第二步，在 轴上取 ，过 作 轴的平行线，取 .
第三步，连接 ，即得到该直角三角形的直观图.
¤知识要点：
1.点 在直线上,记作 ；点 在平面 内,记作 ；直线 在平面 内,记作 .
2.平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：
公理1
公理2
公理3
图形语言
文字语言
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
第5讲§1.3.1柱体、锥体、台体的表面积
¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进行计算和解决有关实际问题.
¤知识要点：
表面积相关公式
表面积相关公式
棱柱
圆柱
（r：底面半径，h：高）
棱锥
圆锥
（r：底面半径，母线长）
棱台
圆台
（r：下底半径，r’：上底半径，l：母线长）
C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形
分析：多面体至少应有四个顶点组成（否则至多3个顶点，而3个顶点只围成一个平面图形），而四个顶点当然必须围成四个面，所以A正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱和侧面的个数与底面多边形的边数相等，所以B正确；长方体、正方体都是棱柱，所以C正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以D错误.
2.画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从几何体的正前方、左侧（和右侧）、正上方三个不同的方向看几何体，画出所得到的三个平面图形，并发挥空间想象能力.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来.
¤例题精讲：
【例1】画出下列各几何体的三视图：
解：这两个几何体的三视图如下图所示.
所以，球的半径为 .
第3讲§1.2.2空间几何体的三视图
¤学习目标：能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型.
¤知识要点：
1.“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向后投影所得的投影图成为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的图形称为“俯视图”.用这三种视图即可刻划空间物体的几何结构，称为“三视图”.