第21章 一元二次方程复习课-九年级数学上册教学课件(人教版)
理
3
（3）x1＝2＋2 6，x2＝2－2 6
精 (5)x2=6x+1;
炼
(5)x1＝3＋ 10，x2＝3－ 10
(2)(2x-1)(3x-1)=3-6x；
（2）x1＝12，x2＝－23
(4)(2x-1)2=x(3x+2)-7.
（4）x1＝4，x2＝2 (6)2(x-3)2=x2-9；
（6）x1＝3，x2＝9
精 (4)x1-x2= (x1 x2)2 (x1 x2)2 4x1x2；
炼 (5) 1 1 x1 x2
x1 x2
x1 x2
提 升
(6) x2 x1 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ；
x1 x2
x1x2
x1x2
一元二次方程的根与系数的关系
典 1.已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22的值等
(7)2x-2= 2 x2.
提 升
(7)原方程无实数根
(8)(2x+1)(4x-2)=(2x-1)2+2； （8）x1＝－1＋2 6，x2＝－1－2 6
一元二次方程的解法
典 1.解一元二次方程
例 (1)2t2-3t=-1；
原 理
（1）t1＝12，t2＝1
(3)9x2-6x+1=9；
（3）x1＝43，x2＝－23
提
升 实数根,则m的值可能是 0 (写出一个即可).
一元二次方程的根的判别式的应用
典 5.设x1,x2是方程x2+7x-1=0的两个根,则(x1-1)(x2-1)的值是 例 __7__.
原 理
6.关于x的方程x2-6x+k=0的两根分别是x1,x2,且满足
1 x1
1 x2
3,
则k的值是_2__．
提
求代数式a2
2016a
2017 a2 1
的值.
2016
升
考点 1：一元二次方程的基本概念
02
OPTION
目录
考点2：一元二次方程的解法 考点3：一元二次方程的根的判别式的应用 考点4：一元二次方程的根与系数的关系
考点5：一元二次方程的应用
一元二次方程的解法
典 【例2】(1)用配方法解方程x2-2x-5=0时,原方程应变为( A ) 例 A.(x-1)2=6 B.(x+2)2=9 C.(x+1)2=6 D.(x-2)2=9
考点5：一元二次方程的应用
一元二次方程的根与系数的关系
典 【例4】已知一元二次方程x2-4x-3=0的两根为m,n,则
例
m2-mn+n2= 25 .
原 理
一元二次方程的根与系数的关系：(韦达定理)
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个
精 炼
根
x1，x2.
那x么1
x2
b a
x1 x2
理 A.2
B.3
C.4
D.5
精 2.已知m是方程x2-x-1=0的一个根,则代数式m2-m的值等于( C )
炼 A.-1 B.0
C.1
D.2
3.若关于x的一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根,则k的非负整 提 升 数值是( A ) A.1 B.0，1 C.1，2 D.1，2，3
一元二次方程的基本概念
精 3.若一元二次方程x2-2x-m=0无实数根,则一次函数 炼 y=(m+1)x+m-1的图象不经过第象限( D )
提 A.四 升
B.三 C.二
D.一
一元二次方程的解法
典 2.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2-12x+35=0的根, 例 则该三角形的周长为( B )
原 A.14
B.12
销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件.
原 (1)若公司每天的销售价为x元,则每天的销售量为多少？
理 (2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元
精 ，该公司想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为多少
炼 元？
单件利润 销售量(件) 每星期利润(元)
正常销售
4
32
128
提
涨价销售 x-20 32-2(x-24)
提
_-2 ,常数项是 0 .
升
一元二次方程的基本概念
典 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数,并且未知数 例 的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.
原 2.一般形式： ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)
理 3.项数和系数：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)
精 二次项及其系数;bx,b；一次项及其系数:ax2,a；常数项:c 炼
配方法
ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)
精
炼
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)
因式分解
能化成(x+m)(x+n)＝0形式
提
升
一元二次方程的解法
典 1.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是( D )
例 A.-1 B.2
C.1和2
D.-1和2
原 2.用配方法解一元二次方程x2+4x-5=0,下列变形正确的是( A ) 理 A.(x+2)2=9 B.(x-2)2=9 C.(x+2)2=1 D.(x-2)2=1
升
5
x1(x2+x1)+x22的最小值为__4____
一元二次方程的根与系数的关系
典 5.三角形的两边长a,b满足a2+b2=25,且a,b是方程x2-2(2m例 1)x+4(m-1)=0的两个根,求m的值. m=4
原 6.已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|. 理 (1)求证：对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根；
九年级数学(上)教学课件
第二十一章 一元二次方程
小结与复习
课前检测 考点聚焦 中考导向 精准训练 综合提升
考点 1：一元二次方程的基本概念
01
OPTION
目录
考点2：一元二次方程的解法 考点3：一元二次方程的根的判别式的应用 考点4：一元二次方程的根与系数的关系
考点5：一元二次方程的应用
一元二次方程的基本概念
一元二次方程的根的判别式的应用
典 【例3】已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实
例 数根,则m的取值范围是( A )
原 A.m 4
理
3
B.m＜2
C.m≥0
D.m＜0
精 炼
提 升
一元二次方程的根的判别式的应用
典 1.下列所给方程中,没有实数根的是( D )
例 A.x2+x=0 B.5x2-4x-1=0 C.3x2-4x+1=0 D.4x2-5x+2=0
精 (2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根。
炼
m=±2,x2=4
提 升
考点 1：一元二次方程的基本概念
05
OPTION
目录
考点2：一元二次方程的解法 考点3：一元二次方程的根的判别式的应用 考点4：一元二次方程的根与系数的关系
考点5：一元二次方程的应用
一元二次方程的应用
典 【例5】某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每 例 件20元,调查发现当销售价为24元,平均每天能售出32件,而当
C.12或14
D.以上都不对
理 3.菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长是方程x2-7x+12=0的
精 一个根,则菱形的周长为( A )A.16 B.12 C.16或12 D.24 炼
提 升
一元二次方程的解法
典 1.用适合的方法解下列一元二次方程
例 (1)(4x-1)2=225；
原
(3（) 11）(xx1-＝2)42，=8x；2＝－72
150
升
一元二次方程的应用
典 1.“病毒”传播问题公式 (1+x)2=m 例 “信息”传播问题公式：x+x2=m
2.“变化率”问题公式：a(1±x)2= a+a(1+x)+a(1±x)2=b 原 3.“单循环”问题公式：b0.5x(x-1)=m 理 “双循环”问题公式： x(x-1)=m
C.1.5
D.-1.5
原 2.若一元二次方程ax2=b(ab＞0)的两个根分别是m+1与2m-4,
理 则 b= 4 ．
精 炼
a
3.关于x的方程x2-6x+k=0的两根是x1,x2,且满足
1 x1
1 x2
3
,则k
的值是__2_.
提 4.若关于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1,x2,则
精 炼
(5)(x-1)2-2(x-1)=0；
(5)x1＝3，x2＝1
提 (7)5x(x-3)=(x-3)(x+1)；
升
(7)x1＝3，x2＝14
(2)2x2+5x-1=0；
（2）x1＝－5＋4 33，x2＝－5－4 33
(4)3(2x+1)2-2=0.
（4）x1＝－12＋
66，x2＝－12－
6 6
(6)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8.
典 【例1】(1)若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程, 例 则m的取值范围是( A )
原 A.m≠1 B.m=1 C.m≥1 D.m≠0 理 (2)若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,
合集下载
人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》复习参考课件
2024/9/13
公式法是这样产生的——
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
2024/9/13
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边 ; 3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程 ;7.定解:写出原方程的解 .
2.配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
2024/9/13
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
2024/9/13
几何与方程
例3. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成 一个正方形.
(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪 ?
(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪 ?
公式法是这样产生的——
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
2024/9/13
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边 ; 3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程 ;7.定解:写出原方程的解 .
2.配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
2024/9/13
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
2024/9/13
几何与方程
例3. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成 一个正方形.
(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪 ?
(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪 ?
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程复习课件(共18张PPT)
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。19: 07:2419 :07:241 9:078/ 10/2021 7:07:24 PM
•
11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21. 8.1019: 07:2419 :07Aug -2110-A ug-21
•
12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。19:07: 2419:0 7:2419: 07Tues day, August 10, 2021
【跳出误区】
用一元二次方程解决实际问题时，所得到的根需要双重检验：
(1)必须满足是原方程的根；
(2)必须使实际问题有意义，
第二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一章 一元二次方程
超越自我拓展练
4．先阅读下面的例题，再按要求解答后面的问题：
2
例题：解一元二次不等式 x －4＞0.
2
解：∵x －4＝(x＋2)(x－2)，
2
∴x －4＞0 可化为(x＋2)(x－2)＞0.
•
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
•
第二十一章 一元二次方程
(5)∵12 ＜ m ＜ 40 ， ∴ 8m ＋ 4 ＞ 0 ， ∴ 由 求 根 公 式 ， 得 x ＝
2（2m－3）± 8m＋4
＝(2m－3)± 2m＋1.
(期末复习精炼)人教版数学九年级上册课件：第二十一章一元二次方程复习课件
条件：一般情势中，当二次项系数含字母已知数时，必
须找出a≠0这个隐含的前提条件，避免出错.
【例1】（202X潍坊）若关于x的一元二次方程kx2-
2x+1=0有实数根，则k的取值范围是
.
易错提示：解这类题时，学生往往忽略二次项系数不为
零这一条件，而得到错误结果k≤1.
本章易错点归总
正解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根， ∴Δ=b2-4ac≥0，即4-4k≥0. 解得k≤1. 又∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0中k≠0， ∴k≤1且k≠0. 答案:k≤1且k≠0
考点1 一元二次方程及其相关概念
5. 关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x+m2-5m+4=0，
常数项为0，则m的值等于（ B ）
A. 1
B. 4
C. 1或4
D. 0
6. 将一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般情势为（ A ）
A. 3x2-4x+2=0
B. 3x2-4x-2=0
C. 3x2+4x+2=0
本章易错点归总
正解:原方程可化为3x2-5x-2=0. ∵a=3，b=-5，c=-2, ∴Δ=（-5）2-4×3×（-2）=49.
∴x= ∴x1=2， x2=
本章易错点归总
三、当方程两边都含有某个未知数的相同因式时，在不 能保证相同因式不为0的前提下，两边同时除以这个相 同因式，得到一元一次方程求解，从而导致失根. 【例3】解一元二次方程：（3x+1）2=9x+3. 易错提示：将原方程变形得到（3x+1）2=3（3x+1）， 两边再同时除以（3x+1）得3x+1=3，从而解得x= 错误的原因有两个：一是将方程两边同时除以 （3x+1），造成了漏根，二是在不清楚3x+1的值是
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版九年级数学上第21章一元二次方程复习课课件(35张ppt)
x1x2+x2=1-a,所以 2 即 3a 1 - 2a =1-a,
a
=1-a, a－1 解得a1=1,
a
a a a2=-1.当a=1时,原方程有两个相等的实数根 ,不合题意,舍去.
所以a=-1.
a
主题4 一元二次方程的应用 【主题训练4】某校为 培养青少年科技创新能力,举办了动漫制
作活动,小明设计了点做圆周运动的一个
5
【主题升华】 根的判别式的应用 1.根的判别式的作用:不解方程判断方程有无实数根. 2.一元二次方程的根的情况取决于Δ =b2-4ac的符号.
(1)当Δ =b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.
(2)当Δ =b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.
(3)当Δ =b2-4ac<0时,方程没有实数根.
2
2
1 2
3 2
(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得: ×3, 1 2 +4n=21 3 ( n n) 2 n =7,n 2 解得 =-18(不合题意,舍去).
1 2
答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.
【主题升华】 一元二次方程解应用题的六个步骤 1.审——审清题意,找出等量关系.
第二十一章
一元二次方程复习课
【答案速填】①只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程; ②ax2+bx +c=0(a≠0); ③直接开平方法; ④配方法; ⑤公式法; ⑥因式分解法; ⑦有两个相等 的实数根; ⑧没有实数根; ⑨
c b a ; ⑩ a.
主题1
一元二次方程及根的有关概念 +4x+5=0是关于x ) D.无法确定
a
=1-a, a－1 解得a1=1,
a
a a a2=-1.当a=1时,原方程有两个相等的实数根 ,不合题意,舍去.
所以a=-1.
a
主题4 一元二次方程的应用 【主题训练4】某校为 培养青少年科技创新能力,举办了动漫制
作活动,小明设计了点做圆周运动的一个
5
【主题升华】 根的判别式的应用 1.根的判别式的作用:不解方程判断方程有无实数根. 2.一元二次方程的根的情况取决于Δ =b2-4ac的符号.
(1)当Δ =b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.
(2)当Δ =b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.
(3)当Δ =b2-4ac<0时,方程没有实数根.
2
2
1 2
3 2
(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得: ×3, 1 2 +4n=21 3 ( n n) 2 n =7,n 2 解得 =-18(不合题意,舍去).
1 2
答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.
【主题升华】 一元二次方程解应用题的六个步骤 1.审——审清题意,找出等量关系.
第二十一章
一元二次方程复习课
【答案速填】①只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程; ②ax2+bx +c=0(a≠0); ③直接开平方法; ④配方法; ⑤公式法; ⑥因式分解法; ⑦有两个相等 的实数根; ⑧没有实数根; ⑨
c b a ; ⑩ a.
主题1
一元二次方程及根的有关概念 +4x+5=0是关于x ) D.无法确定
人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程章末复习课件
成漏解． ＝0
注：如果AB＝0，那么A＝0或B
＝0
解法
适用情况
注意事项或步骤
1. 化二次项系数为1；
2. 把常数项移到方程的右边；
适用于所有一元二次方程，但当二次项 3. 在方程两边同时加上一次项系 配方法 系数化为1后，一次项系数为绝对值较 数一半的平方；
小的偶数时，使用配方法较简单
4. 把方程整理成(x＋b)2＝a的情
例2题图
解：设茶园垂直于墙的一边长为x m，则另一边的长度为(69＋1－2x) m，根据题意，
得
x(69＋1－2x)＝600，
整理，得x2－35x＋300＝0，
解得x1＝15，x2＝20， 当x＝15时，70－2x＝40＞35，不符合题0－2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为30 m、20 m.
∴ b2 4ac 42 －4×1×(－5)＝36.
∴x＝ b
b2 4ac 4 =
36 = 4 6
，
2a
21 2
∴x1＝5，x2＝－1；
(2)配方法：
配方得 x 22 9，
∴x－2＝±3， 解得x1＝5，x2＝－1； (3)因式分解法： ∵x2－4x－5＝0， ∴(x－5)(x＋1)＝0， 解得x1＝5，x2＝－1；
一、一元二次方程的解法及根的判别式
例1 已知关于x的方程(m－1)x2－4x－5＝0.
问题1 若该方程为一元二次方程，则m的取值范围为__m_≠__1___； 问题2 当m＝2时，请用三种不同的方法解一元二次方程．
(1)公式法： 当m＝2时,方程为 x2 4x 5 0 .由方程可知，a＝1，b＝－4，c＝－5，
A. 5.45尺
B. 4.55尺
注：如果AB＝0，那么A＝0或B
＝0
解法
适用情况
注意事项或步骤
1. 化二次项系数为1；
2. 把常数项移到方程的右边；
适用于所有一元二次方程，但当二次项 3. 在方程两边同时加上一次项系 配方法 系数化为1后，一次项系数为绝对值较 数一半的平方；
小的偶数时，使用配方法较简单
4. 把方程整理成(x＋b)2＝a的情
例2题图
解：设茶园垂直于墙的一边长为x m，则另一边的长度为(69＋1－2x) m，根据题意，
得
x(69＋1－2x)＝600，
整理，得x2－35x＋300＝0，
解得x1＝15，x2＝20， 当x＝15时，70－2x＝40＞35，不符合题0－2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为30 m、20 m.
∴ b2 4ac 42 －4×1×(－5)＝36.
∴x＝ b
b2 4ac 4 =
36 = 4 6
，
2a
21 2
∴x1＝5，x2＝－1；
(2)配方法：
配方得 x 22 9，
∴x－2＝±3， 解得x1＝5，x2＝－1； (3)因式分解法： ∵x2－4x－5＝0， ∴(x－5)(x＋1)＝0， 解得x1＝5，x2＝－1；
一、一元二次方程的解法及根的判别式
例1 已知关于x的方程(m－1)x2－4x－5＝0.
问题1 若该方程为一元二次方程，则m的取值范围为__m_≠__1___； 问题2 当m＝2时，请用三种不同的方法解一元二次方程．
(1)公式法： 当m＝2时,方程为 x2 4x 5 0 .由方程可知，a＝1，b＝－4，c＝－5，
A. 5.45尺
B. 4.55尺
人教版九年级数学上册课件：第二十一章一元二次方程复习
(2).当△ = 0 ，方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即 k 9 8
(3).当△ <0 ，方程有没有实数根, 8k+9 <0 , 即 K＜ 9
8
说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般情势，再算 出△，再由题目给出的根的情况确定△的情况。从而求出 待定系数的取值范围
例3、已知m为非负整数，且关于x的方程 ：
6 2x1 5
x1
3 5
又
3 5
2
k 5
k
5
3 5
2
7
所以，方程的另一根是 3，k的值是 7。 5
证明:
1、设关于x 方程 x2 2mx 2m 4 0 ，证明，
不论m为何 值时，方程总有两个不相等的实数根。
2、用配方法证明：关于x的方程（m²-12m +37）x ²+3mx+1=0， 无论m取何值，此方程都是一元 二次方程
练习：用最好的方法求解下列方程
1、（3x -2）²-49=0 解： （3x-2）²=49
2、（3x -4）²=（4x -3）² 解：
3、4y = 1 -
3 2
y²
3x -2=±7 法一3x-4=±（4x-3）
解：3y²+8y -2=0
x= 2 7
x1=3，x2=
-
5 3
3
3x -4=4x-3或3x-4=-4x+3 b²- 4ac
例3:某印刷厂一月份印刷了科技书50 万册，第一季度共印182万册，问二、 三月份平均每月的增长率是多少？
解:设平均每月增长率是x 50+50(1+x)+50(1+x)²=182
1+1+x+ (1+x)²=3.64 2+X+1+x2²x++3xx²==03..6644
(3).当△ <0 ，方程有没有实数根, 8k+9 <0 , 即 K＜ 9
8
说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般情势，再算 出△，再由题目给出的根的情况确定△的情况。从而求出 待定系数的取值范围
例3、已知m为非负整数，且关于x的方程 ：
6 2x1 5
x1
3 5
又
3 5
2
k 5
k
5
3 5
2
7
所以，方程的另一根是 3，k的值是 7。 5
证明:
1、设关于x 方程 x2 2mx 2m 4 0 ，证明，
不论m为何 值时，方程总有两个不相等的实数根。
2、用配方法证明：关于x的方程（m²-12m +37）x ²+3mx+1=0， 无论m取何值，此方程都是一元 二次方程
练习：用最好的方法求解下列方程
1、（3x -2）²-49=0 解： （3x-2）²=49
2、（3x -4）²=（4x -3）² 解：
3、4y = 1 -
3 2
y²
3x -2=±7 法一3x-4=±（4x-3）
解：3y²+8y -2=0
x= 2 7
x1=3，x2=
-
5 3
3
3x -4=4x-3或3x-4=-4x+3 b²- 4ac
例3:某印刷厂一月份印刷了科技书50 万册，第一季度共印182万册，问二、 三月份平均每月的增长率是多少？
解:设平均每月增长率是x 50+50(1+x)+50(1+x)²=182
1+1+x+ (1+x)²=3.64 2+X+1+x2²x++3xx²==03..6644
人教版九年级数学上册21.1一元二次方程课件(共19张)
分析: 全部比赛共
4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队各赛1场,
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共 1 x(x 1) 28 场. 2
即 x2 x 56
新知探究
方程① ② ③有什么特点？ x2＋2x－4=0 ①
x2－75x+350=0 ②
(4)x(x 1) 2 x2
(5)a2 1 0 a
(6)(m 2)2 1
是一元二次方程的有： (1) (6)
巩固练习
2.将方程（3x-2）(x+1)=8x-3 化为一元二次方程的一般情势， 并写出二次项系数、一次项系数及常数项.
解：去括号，得 3x2+3x-2x-2=8x-3
移项，合并同类项得 3x2-7x+1=0
知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.
1 x2
10x 900
0是一元二次方程吗？
新知探究
一元二次方程的一般情势
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为ax2 bx c 0 的情势,我们把 ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般情势. 想一想
区分与联系？
一元一次方程
一元二次方程
一般式 相同点 不同点
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
新知探究
例: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般 情势，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．
解：去括号，得 3x2－3x=5x+10.
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程PPT复习课件
2＋1 m 所以当m＝－1时，方程(m－1)x ＋2mx＋3＝0
是关于x的一元二次方程．
将x＝－1代入ax2＋bx＋c＝0，得a－b＋c＝0
2．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1， 且a ＝
4－c ＋ c－－ 4 2，求
2020 （a＋b） 2019c 的值．
4－c≥0，c －4≥0，
x1＋x2＝－2a， x1x2＝ a2＋4a－2
解：∵方程有两个实数根， ∴Δ＝(2a)2－4(a2＋4a－2)≥0，∴a≤
1 . 2
又∵x1＋x2＝－2a，x1x2＝a2＋4a－2，
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝2(a－2)2－4.
1 ，∴当a＝ 2 1 2＋x 2的值最小． ∵ a≤ 时， x 1 2 2 2 1 1 2 2 此时x1 ＋x2 ＝2× －2 － 4＝ . 2 2 1 2 2 即x1 ＋x2 的最小值为 . 2
(4)(10＋x)(50－x)＝800； 解： －x2＋40x－300＝0 x2－40x＋300＝0 (x－10)(x－30)＝0
x－10＝0或x－30＝0
∴x1＝10，x2＝30.
(5)【中考· 山西】(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
解： 4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7
x2－6x＋8＝0， (x－2)(x－4) ＝0，
7．【中考· 赤峰】如图，一块长5 m、宽4 m的地毯，
为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影
部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个 地毯面积的 .
17 配色条纹的面积＝5×4× 80
17 80
横条纹的面积＝5x×2 竖条纹的面积＝(4－2x)x×2
(1)求配色条纹的宽度； 解：设配色条纹的宽度为x m，依题意得
是关于x的一元二次方程．
将x＝－1代入ax2＋bx＋c＝0，得a－b＋c＝0
2．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1， 且a ＝
4－c ＋ c－－ 4 2，求
2020 （a＋b） 2019c 的值．
4－c≥0，c －4≥0，
x1＋x2＝－2a， x1x2＝ a2＋4a－2
解：∵方程有两个实数根， ∴Δ＝(2a)2－4(a2＋4a－2)≥0，∴a≤
1 . 2
又∵x1＋x2＝－2a，x1x2＝a2＋4a－2，
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝2(a－2)2－4.
1 ，∴当a＝ 2 1 2＋x 2的值最小． ∵ a≤ 时， x 1 2 2 2 1 1 2 2 此时x1 ＋x2 ＝2× －2 － 4＝ . 2 2 1 2 2 即x1 ＋x2 的最小值为 . 2
(4)(10＋x)(50－x)＝800； 解： －x2＋40x－300＝0 x2－40x＋300＝0 (x－10)(x－30)＝0
x－10＝0或x－30＝0
∴x1＝10，x2＝30.
(5)【中考· 山西】(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
解： 4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7
x2－6x＋8＝0， (x－2)(x－4) ＝0，
7．【中考· 赤峰】如图，一块长5 m、宽4 m的地毯，
为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影
部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个 地毯面积的 .
17 配色条纹的面积＝5×4× 80
17 80
横条纹的面积＝5x×2 竖条纹的面积＝(4－2x)x×2
(1)求配色条纹的宽度； 解：设配色条纹的宽度为x m，依题意得
人教版数学九年级上册解一元二次方程-配方法课件
九年级上册第21章
一、复习回顾
用直接开平方法解下列方程：
（1）x 2 121
解：（1）x 121
x 11
x1= -11，x2=－11
（2）
解：（2）
(14x) 2 49
14x 7
1
x
2
二、探索新知
填一填（根据 a 2ab b (a b) ）
2
2
5 ( x __)
即 k2－4k＋5>0
1、配方法：
像这样，把方程的左边配成含有x的完全平方情势，右边是非负数，
从而可以用直接开平方法来解方程的方法就做配方法。
2、用配方法解一元二次方程的步骤：
①移项
②化1
③配方
④开平方
⑤降次
⑥定解
注意：配方时，方程两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
布置作业
解下列方程：
1 2 + 10 + 9 = 0；
这个最小值.
解：对原式进行配方，则原式=(a+1)2+17
∵(a+1)2≥0,
∴当a=-1时，原式有最小值为17.
状元成才路
5.用配方法说明：无论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.
解：k2－4k＋5
=k2－4k＋4+1
=(k-2)2+1
∵无论k取何实数，(k-2)2≥0
∴(k-2)2+1>0
3
x
3
b 2
( )
2
5213源自( x __)2
(5) x bx ___ ( x __)
2
b
2
2
二、探索新知
一、复习回顾
用直接开平方法解下列方程：
（1）x 2 121
解：（1）x 121
x 11
x1= -11，x2=－11
（2）
解：（2）
(14x) 2 49
14x 7
1
x
2
二、探索新知
填一填（根据 a 2ab b (a b) ）
2
2
5 ( x __)
即 k2－4k＋5>0
1、配方法：
像这样，把方程的左边配成含有x的完全平方情势，右边是非负数，
从而可以用直接开平方法来解方程的方法就做配方法。
2、用配方法解一元二次方程的步骤：
①移项
②化1
③配方
④开平方
⑤降次
⑥定解
注意：配方时，方程两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
布置作业
解下列方程：
1 2 + 10 + 9 = 0；
这个最小值.
解：对原式进行配方，则原式=(a+1)2+17
∵(a+1)2≥0,
∴当a=-1时，原式有最小值为17.
状元成才路
5.用配方法说明：无论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.
解：k2－4k＋5
=k2－4k＋4+1
=(k-2)2+1
∵无论k取何实数，(k-2)2≥0
∴(k-2)2+1>0
3
x
3
b 2
( )
2
5213源自( x __)2
(5) x bx ___ ( x __)
2
b
2
2
二、探索新知