苏教版高二数学不等式的应用

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【优质课件】苏教版必修5高二数学第3章《不等式》优秀课件.pptx

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3.二元一次不等式表示的平面区域的判定 对于在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),实数Ax +By+C的符号相同,取一个特殊点(x0,y0),根据实数 Ax0+By0+C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平 面区域,可简记为“直线定界,特殊点定域”.特别地, 当C≠0时,常取原点作为特殊点.
利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺 一不可,可以通过拼凑、换元等手段进行变形.如不能取 到最值,可以考虑用函数的单调性求解.
所以f(x)在[0,+∞)上的最大值是25.
(2)求f(x)在[2,+∞)上的最大值;
呈重点、现规律
1.不等式的基本性质 不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础,是不等 式的证明和解不等式的主要依据.因此,要熟练掌握和 运用不等式的八条性质.
4.求目标函数最优解的方法 通过平移目标函数所对应的直线,可以发现取得最优解对应 的点往往是可行域的顶点. 5.运用基本不等式求最值把握三个条件:①“一正”——各 项为正数;②“二定”——“和”或“积”为定值;③“三 相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
感谢各位老师!
祝: 身体健康
万事如意
例 1 设 不 等 式 x2 - 2ax + a + 2≤0 的 解 集 为 M , 如 果 M⊆[1,4],求实数a的取值范围. 解 M⊆[1,4]有两种情况: 其一是M=∅,此时Δ<0;其二是M≠∅,此时Δ=0或Δ>0, 下面分三种情况计算a的取值范围. 设f(x)=x2-2ax+a+2,
则有Δ=(-2a)2-4(a+2)=4(a2-a-2), (1)当Δ<0时,-1<a<2,M=∅⊆[1,4]; (2)当Δ=0时,a=-1或2; 当a=-1时,M={-1} [1,4]; 当a=2时,M={2}⊆[1,4].

数学苏教版必修5 基本不等式的应用

数学苏教版必修5 基本不等式的应用

基本不等式的应用【教学目标】12a b +≤;会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题;22a b +≤,并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点】2a b +≤,会用此不等式证明不等式,会用此不等式求某些函数的最值【教学难点】利用此不等式求函数的最大、最小值。

【教具准备】与教材内容相关的资料。

【教学设想】通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。

【教学过程】学生探究过程: 1.课题导入1.基本不等式:如果a,b 是正数,那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a22a b +≤求最大(小)值的步骤。

2.讲授新课1)利用基本不等式证明不等式例1 已知m>0,求证24624m m+≥。

[思维切入]因为m>0,所以可把24m和6m 分别看作基本不等式中的a 和b, 直接利用基本不等式。

[证明]因为 m>0,,由基本不等式得246221224m m +≥=⨯=当且仅当24m=6m ,即m=2时,取等号。

规律技巧总结 注意:m>0这一前提条件和246m m⨯=144为定值的前提条件。

3.巩固练习1[思维拓展1] 已知a,b,c,d 都是正数,求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥.[思维拓展2] 求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+.例2 求证:473a a +≥-. [思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边44(3)333a a a a +=+-+--.这样变形后,在用基本不等式即可得证.[证明]443(3)333733a a a +=+-+≥==-- 当且仅当43a -=a-3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值例3 (1) 若x>0,求9()4f x x x=+的最小值; (2)若x<0,求9()4f x x x=+的最大值. [思维切入]本题(1)x>0和94x x⨯=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化. 解 1) 因为 x>0 由基本不等式得9()412f x x x =+≥==,当且仅当94x x =即x=32时, 9()4f x x x =+取最小值12.(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:99()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥=, 所以 ()12f x ≤. 当且仅当94x x -=-即x=-32时, 9()4f x x x=+取得最大-12.规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.巩固练习2[思维拓展1] 求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值.[思维拓展2] 若x>0,y>0,且281x y +=,求xy 的最小值.4.评价设计1.证明:22222a b a b ++≥+2.若1->x ,则x 为何值时11++x x 有最小值,最小值为几?【教学反思】2a b +≤证明不等式和求函数的最大、最小值。

苏教版数学高二-必修五课件 基本不等式的应用

苏教版数学高二-必修五课件 基本不等式的应用

反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 一批货物随17列货车从A市以v千米/时匀速直达B市,已知两地
铁路线长400千米,为了安全,两列货车的间距不得小于
v
2
千米,那么
20
这批货物全部运到B市,最快需要__8__小时.
解析 设这批货物从A市全部运到B市的时间为t,
则 t=400+v162v02=4v00+1460v0≥2
(3)在求最值的一些问题中,有时看起来可以运用基本不等式求最值, 但由于其中的等号取不到,所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的, 这时通常可以借助函数 y=x+px(p>0)的单调性求得函数的最值. 2.求解应用题的方法与步骤: (1)审题;(2)建模(列式);(3)解模;(4)作答.
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故③既够用,浪费也最少.
解析答案
4.函数f(x)=x(4-2x)的最大值为____2____.
解析 ①当x∈(0,2)时, x,4-2x>0, f(x)=x(4-2x)≤122x+42-2x2=2, 当且仅当2x=4-2x, 即x=1时,等号成立. ②当x≤0或x≥2时, f(x)<0, 故f(x)max=2.
4v00×14600v=8(小时),
当且仅当4v00=14600v,即 v=100 时,等号成立,
此时t=8小时.
解析答案
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当堂检测
12345
1.下列函数中,最小值为4的函数是____③____.
①y=x+4x;
②y=sin x+sin4 x(0<x<π);
③y=ex+4e-x;
④y=log3x+logx81.
第3章 § 3.4基本不等式 ab≤a+2 b (a≥0,b≥0)

苏教版高二数学不等式的应用

苏教版高二数学不等式的应用

(2)已知: tan x 3tan y(0 y x )
2 求u x y的最值
例4.(1)求周长为12的直角三角形 面积的最大值
(2) 如图,设矩形ABCD(AB>CD)的周
长为24,把它关于AC对折起来,AB
折过去以后,交DC于点P,设AB=x,

的A最D大P面积及相应的x值。
12-x
———实际应用题
例1.某工厂建造一个无盖的长方形 贮藏水池,其容积为4800m2 ,深度为 3m, 如果池底每1m 2的造价为150元, 池壁每1m 2的造价为120元, 如何设 计水池,才能使总造价最低,最低 造价是多少?
例2.如图,一份印刷品的排版面积
(矩形)为A,它的两边都留有宽为b 的空白,如何选取纸张的尺寸,才能 使纸的用量最少?
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不等式的应用 江苏教育版-PPT课件

不等式的应用  江苏教育版-PPT课件

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例2.壁画最高点离地面14米,最低 离地面2米,若从离地面1.5米处观 此画,问离墙多远时,视角最大?
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例3.某种汽车购车时费用为10万元,每年的 保险、养路、汽油等费用共9千元,汽车的 年维修费逐年以等差数列递增,第一年为2 千元,第二年为4千元,第三年为6千元, ……问这种汽车使用几年后报废最合算?( 即汽车的年平均费用为最低)。
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例7. 某工厂有旧墙一面长14米,现准备利用这面墙建造平面图形为矩形,面积为126平方米的厂房,工程条件 是:
①建1米新墙的费用为a元;
②修1米旧墙的费用是a/4元;
③拆去1米旧墙用所得的材料建1米新墙的费用为a/2元,经讨论有两种方案:
A:利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形厂房的一面边长;
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例4.某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机 共3600台,每批都购入x台(x是正整数),且每批均需付 运费400元。贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入 电视机的总价值(不含运费)成正比。若每批购入400台, 则每年需用去运输和保管总费用43600元。现在全年只有 24000元资金可以用于支付这笔费用,请问:能否恰当安排 每批进货的数量使资金够用?写出你的结论,并说明理由 。
用多少天应当报废?
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例6. 在某交通拥挤地段,交通部门规定,在
此地段内的车距d正比于车速v(km/小时) 的平方与车身长S(m)的积,且最小车距不 得少于半个车身长。假定车身长均为S(m), 且 车 速 为 50(km/h) 时 , 车 距 恰 为 车 身 长 S 。 问交通繁忙时,应规定怎样的车速,才能使 此地段的车流量Q最大。

新教材苏教版高中数学必修第一册3.2基本不等式 精品教学课件

新教材苏教版高中数学必修第一册3.2基本不等式 精品教学课件

【跟踪训练】
1.若0<x< 8 ,则函数y=x(8-3x)的最大值为________.
4
4x 5
3.当x>1时,不等式x+ 1 ≥a恒成立,则实数a的最大值为________.
x 1
【思路导引】通过凑项或凑系数的方法把“不定”问题进行转化,再用基本不
等式求解.
【解析】1.选B.因为0<x<1,所以1-x>0.
所以x(3-3x)=3x(1-x)≤3 ( x 1 x )2 3 .
2
所以m=- ([ x)(1x)] -2≤-2-2=-4, 当且仅当-x= 1 ,即x=-1时取等号.
-x
类型二 拼凑法利用基本不等式求最值(逻辑推理、数学运算)
【典例】1.已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为 ( )
A. 1
B. 1
C. 3
D. 2
3
2
4
3
2.已知x< 5 ,则4x-2+ 1 的最大值为________.
x
答案:-12
【解题策略】 基本不等式的使用条件 (1)一正:a>0,b>0,即:所求最值的各项必须都是正值; (2)二定:ab或a+b为定值,即:含变量的各项的和或积必须是常数; (3)三相等:当且仅当a=b时取等号;即:等号能否取得. 在应用基本不等式求最值时,要逐一验证三个条件是否成立.
【补偿训练】
2
(3)应用:求和式的最小值,乘积式的最大值.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2 ab 均成立.

不等式的应用 江苏教育版(PPT)3-3

不等式的应用  江苏教育版(PPT)3-3
例1.某市现有自市中心O通往正西和东 北方向的两条主要公路,为了解决该
市交通拥挤问题,市政府决定修建一
条环城公路,分别在通往正西和东北
方向的公路上选取A、B两点,使环 城公路在A、B间为直线段,要求AB 路段与市中心O的距离为10公里,且 使A、B间的距离|AB|最小,请你确 定A、B两点的最佳位置。(不要求 作近似计算)
没有颜色,呈透明状。根据玉米籽粒形态、硬度及不同用途,玉米分为普通玉米(硬粒
型、中间型、马齿型、硬偏马型、马偏硬型)和特种玉米(高赖氨酸玉米、高油玉米、甜玉米、爆裂玉米、糯玉米)两种。玉米形状和大小因品种不同有所 不同,一般玉米长8-mm,宽-mm,厚-mm,如果玉米颗粒之间差异太大,会使玉米在加工过程中难以清洗和破碎。 [] 分布范围 我国各地均有栽培。全世界 热带和温带地区广泛种植,为一重要谷物。 [] 品种类型 玉米的品种类型很多,按用途分,有粮用饲用品种、菜用品种(包括糯质型、甜质型、玉米笋型)、 加工品种(甜玉米、玉米笋)、爆粒型品种(爆米花专用品种)等。 [] 种植技术 以夏玉米为例,推行“一增四改”技术:根据品种要求合理增加种植密度; 改用耐密型品种进行种植;改用免耕精量直播技术,直播玉米密度适宜、群体整齐度好;改粗放用肥为测土配方施肥;改人工种植为玉米机械化作业。 [] 选 用优良品种 精选优质良种,一般选用具有高产潜力、耐密紧凑、大穗型的中晚熟品种
玉米淀粉制糖 ? 玉米淀粉酿酒 ? 应用于石油化工 ? 变性淀粉的研究 ? 抗性淀粉的研究 8 挑选指南 推荐菜品 历史文化 形态特征 玉米 玉米 一年生高大草本。 秆直立,通常不分枝,高-米,基部各节具气生支柱根。叶鞘具横脉;叶舌膜质,长约毫米;叶片扁平宽大,线状披针形,基部圆形呈耳状,无毛或具疵柔毛, 中脉粗壮,边缘微粗糙。顶生; 微商货源 ;雄性圆锥花序大型,主轴与总状花序轴及其腋间均被细柔毛;雄性小穗孪生,长达厘米, 小穗柄一长一短,分别长-毫米及-毫米,被细柔毛;两颖近等长,膜质,约具脉,被纤毛;外稃及内稃透明膜质,稍短于颖;花橙黄色;长约毫米。雌花序 被多数宽大的鞘状苞片所包藏;雌小穗孪生,成-纵行排列于粗壮之序轴上,两颖等长,宽大,无脉,具纤毛;外稃及内稃透明膜质,雌蕊具极长而细弱的线 形花柱。颖果球形或扁球形,成熟后露出颖片和稃片之外,其大小随生长条件不同产生差异,一般长-毫米,宽略过于其长,胚长为颖果的/-/。染色体n=,, 8 。花果期秋季。 [] 物理特性 玉米的物理性状由粒色、粒形、种皮光泽、粒长、粒宽、百粒重、粒径、籽粒 花 花(张) 均匀程度和硬实率等指标组成。玉米 籽粒颜色包括种皮、糊粉层(富含蛋白质,也被称为蛋白质层)以及胚乳三部分。在大多数情况下,玉米成熟籽粒胚乳的颜色是黄色或白色,种皮和糊粉层

苏教版数学高二- 必修5素材 3.2一元二次不等式的解集为R的条件及应用

苏教版数学高二- 必修5素材 3.2一元二次不等式的解集为R的条件及应用

3.2 一元二次不等式的解集为R 的条件及应用我们知道,当0a >,且当0∆<时,不等式)0(02≠>++a c bx ax 的解集为R ;反之,亦然. 这是一个及其重要的结论,本文举例说明其应用,供参考. 一、求参数的值例1. 已知二次函数)(x f 的图象经过点),0,1(- 是否存在常数c b a ,,使不等式21)(2x x f x +≤≤对一切实数x 恒成立,若存在,求出c b a ,,;若不存在,请说明理由. 解:假设存在符合条件的c b a 、、.()f x 的图象过点)0,1(-,∴.0,0)1(=+-=-c b a f 即21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立,令1x =,则211112a b c ≤++≤+(). 1.a b c ∴++=).21(21)(21212a x ax x f c a b -++==+=∴,, ∴2(),1()(1).2f x x f x x ≥⎧⎪⎨≤+⎪⎩即2211()0,(1)2211()0.(2)22ax x a a x x a ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≤⎪⎩对R x ∈成立. 由(1)0=a 时,不合题意,所以,⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=⇔≤-->⇔≤∆>.41,0)21(441,0,0,0a a a a a 将41=a 代入(2)得0122≥+-x x 解集为.R 故存在满足条件的,,abc ,使11,.42a c b === 二、求参数的取值范围例2.知实数d c b a ,,,满足,7,52222=+++=+++d c b a d c b a 求a 的最大值. 解:构造函数R x d x c x b x y ∈-+-+-=222)()()(,R x d c b x d c b x y ∈≥+++++-=,0 )(232222 ,当且仅当d c b x ===时取等号,则有0)(12)(42222≤++-++=∆d c b d c b ,即22520a a -+≤,解得.221≤≤a 故当d c b ===1时a 取最大值2.例3.已知对于任意实数m ,方程0)()1(2=-+-a x x m 恒有实根,求实数a 的取值范围.解:方程可化为.0)(2=+-+a m x mx(1)当0=m 时,方程恒有实根a x =;(2)当0≠m 时,任意实数m ,方程0)(2=+-+a m x mx 恒有实根,则判别式)(0)(41R m a m m ∈>++=∆恒成立,即01442>++ma m 对任意实数m 恒成立,所以,016162/<-=a ∆,解得.11<<-a综上,得当0=m 时,R a ∈;当0≠m 时,.11<<-a注意:(1)不等式R x c bx ax ∈>++,02恒成立, 则0>a ,且判别式0<∆,或.,且00>==c b a (2)不等式R x c bx ax ∈<++,02恒成立, 则0<a ,且判别式0<∆或.,且00<==c b a (3)不等式],[)0(02n m x a c bx ax ∈≠>++恒成立,则;0,0<>∆a 或 .0)(,2,0;0)(,2,0>≥->>≤->n f n ab a m f m a b a 或 (4)不等式],[)0(02n m x ac bx ax ∈≠<++恒成立, 则;0,0<<∆a 或.0)(,2,0;0)(,2,0<≥-<<≤-<n f n ab a m f m a b a 或 三、证明不等式证明不等式例4.已知,0>a 函数2bx ax y -=,当0>b 时,若对任意R x ∈都有1y ≤,求证:.2b a ≤证明:依题意,有,12≤-bx ax 即012≥+-ax bx )(R x ∈,而,0>b 所以,.2,0,04)(2b a a b a ≤∴>≤--=∆又例5.设,1,,,=++∈c b a R c b a 且求证:.31222≥++c b a证明: 构造函数,0)()()(222≥-+-+-=c x b x a x y而R x c b a x c b a x y ∈≥+++++-=,0)(232222恒成立,则判别式 22224()12()0.a b c a b c ∆=++-++≤因为1a b c ++=,故.31222≥++c b a 同步练习(供选用)1.不等式223222x kx k x x ++≥++对一切实数x 恒成立,求实数k 的取值范围. 2.当)6,2(-∈x 时,,02322>-++a b x a ax 当),6()2,(∞+--∞∈ x 时, .02322<-++a b x a ax(1)求b a ,的值;(2)当k 为何值时,)16(23)2(4322-++-++-k kx a b x a ax k 恒为负值? 3.(1)若对任意实数,x 不等式02)2()2(2>++-+-k x k x k 恒成立, 则实数k 的取值范围是_____;(2)若集合,}01)1()1(|{22R x m x m x =<-+-- 则实数m 的取值范围是._____(3)设集合}01|{<<-=m m P ,044|{2<-+=mx mx m Q 对任意实数x 恒成立},则下列关系中成立的是( )(A )Q P ⊆ (B )P Q ⊆ (C )Q P = (D )∅=Q P4.已知函数3)1(4)54(22+-+-+=x k x k k y 的图象都在x 轴的上方,求实数k 的取值范围.5.已知函数)(2)1()1011(22R x x a x a a y ∈+--+--=的值恒为正数, 求实数a 的取值范围.6.函数2()3f x x ax =++,当 ]2,2[-∈x 时,a x f ≥)(恒成立, 求实数a 的取值范围.7.若函数()f x =R ,求实数a 的取值范围. 答案1.]10,2[;2.08,8,4≤<---k ;3.(1)2k ≥;(2)31.5m -≤<(3)A 4.)19,1[ 5.)9,1[ 6.]2,7[- 7.]2,0(。

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被通知参加《小说选刊》的采风活动,是我平生头一次听到万安这个名字。从井冈山机场去往万安的路上,见到兴国县、泰和县的路牌,而万安所在地是吉安市,万安下辖镇,有一个叫五丰。这一 组吉祥的地名,寄寓着生活在此世代人民的愿望与心声。
来自北方的我,一下飞机就感受到空气的湿润和天气的温暖,北方已经凋零枯索,而这里还是到处绿色。丘陵,浅山,村庄,白墙,不规则的平地,收割后的稻田,不经意的水塘,这一切织成路上 的风景,组成江西钟灵毓秀的壮丽河山,又是江南水乡的秀丽和舒缓。脑海里响起央视的地方风光广告,清脆甜美的女声,反复地唱:江西是个好地方,好呀地方。这片绿色覆盖的山水之地,人杰地灵, 文脉深厚,文武双全,又是新中国红色革命的摇篮。踏上这片土地,怎能不让人心生激动与敬仰。司机略带忧虑地说,今年是少有的旱年,几个月没有下雨了,赣江水位达到历史最低。可是在我这北方 人的眼里,这历史下一页
我曾经写过一段这样的文字:县,是我国最普及最中间力量的一个行政级别,大多有着深厚历史渊源和多样文化传承,一个再陌生的,从没有到过、听说过的县,一旦走进,就会感受到浓郁厚重的 文化及悠远绵长的历史。这段话,正是对万安县一个很好的注解。bwin现金
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