【解析】河南省南阳市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
（1）根据题意，得到 ，求解，可得出 ，进而可求出结果；
（2）先由题意得到，商品日销售收入的函数解+析式 ，根据二次函数的性质，求出最大值即可.
【详解】（1）当 时，由 ，
解得 ．
从而可得 （元），
即第 天该商品的销售收入为 元．
（2）由题意可知 ，
即
当 时， ，
故当 时 取最大值， ，
当 时， ，
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
先由二次函数性质，得到函数 单调性，求出最小值，再令 ，得出当 时， 的值域为 ；结合题意，即可求出结果.
【详解】因为二次函数 开口向上，且对称轴为： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此，当且仅当 时， 取最小值 ；
令 ，解得 或 ，
所以当 时， 的值域为 ；
2.下列函数 ， 表示的是相同函数的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【分析】
根据相同函数的概念，逐项判断，即可得出结果.
【详解】若函数相同，则定义域相同，对应关系一致；
A选项，函数 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不同，不是相同函数，故A错；
B选项，函数 与 的定义域为 ，且 ，对应关系也相同，故B正确；
（3）先由函数奇偶性与单调性得到存在 ，使得 成立，推出存在 ，使得 成立；令 ，求出其最小值，即可得出结果.
【详解】（1）由题意可得 ，解得 ，
故 ；
（2） ，可得 在 上单调递增，
任取 ，且 ， ，
∵ ∴ 即 ，
又 ， ，∴ 即 ，
故 在 上单调递增．
（3） ，
因为 是奇函数，所以 ，
由（2）可知 在 上单调递增，
A.f(x)<－1B.－1<f(x)<0C.f(x)>1D.0<f(x)<1
【答案】D
对任意 ,恒有 ，
可令 可得
因为当 时, 故
所以
再取 可得 ，
所以 ,同理得 ，
当 时, ,根据已知条件得 ,即
变形得 ；
故选D.
点睛：解抽象函数问题的一般思路都是赋值法，由自变量的任意性，结合题意给予变量特殊取值，从而解得函数性质.
【详解】由题意， ，解得 ，
即函数 的定义域是 .
故选：B
【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，只需求出使解+析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.
4.已知 ，则在下列区间中， 有零点的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
根据函数的零点存在定理，直接判断，即可得出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
【详解】由题意， ，因为 ， ，所以 ；
，因为 ， ，所以 ；
，因 ， ，所以 ；
，
……
所以 以 为周期，因此 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查归纳推理，根据题中所给条件，总结出规律即可，属于常考题型.
三、解答题
17.计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）根据指数幂的运算法则，直接求解，即可得出结果；
,
所以 .
故选：D
【点睛】本题主要考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
7.已知 ，则 是( )
A.奇函数，在 上为增函数B.偶函数，在 上为增函数
C.奇函数，在 上为减函数D.偶函数，在 上为减函数
【答案】A
【分析】
先由函数奇偶性的概念，判断 是奇函数；再由指数函数的单调性判断 单调递增.
【答案】
【分析】
先根据 的单调性求出 的值域A，分类讨论求得 的值域B，再将条件转化为A ，进行判断求解即可．
【详解】 是 上的递减函数，
∴ 的值域为 ，令A= ，
令 的值域为B，
因为对任意 都有 使得 ，则有A ，
而 ，当a=0时， 不满足A ；
当a>0时， ，∴ 解得 ；
当a<0时， ，∴不满足条件A ,
所以存在 ，使得 成立，
即存 ，使得 成立；
令 ， ，
易得其在 上单调递增；
， ， ，
所以 ，
又函数 连续不间断，
因此在区间 ，函数 有零点.
故选：C
【点睛】本题主要考查判断零点所在区间，熟记零点存在定理即可，属于基础题型.
5.在映射 中， ，且 ，则元素 在 的作用下的原像为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
先设元素 在 的作用下的原像为 ，根据题意列出方程组求解，即可得出结果.
【详解】设元素 在 的作用下的原像为 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，即原像为 .
故选：B
【点睛】本题主要考查映射的应用，熟记映射的概念，以及二元一次方程组的解法即可，属于基础题型.
6.设 ， ， 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
先分析得到 ，再比较b,c的大小关系得解.
【详解】由题得 .
（Ⅲ）由（1）可得 有极大值1，极小值-1，进而可构造关于 的不等式，解不等式可得答案．
试题分析;（Ⅰ）①由于函数 是定义域为 的奇函数，则 ；
②当 时， ，因为 是奇函数，所以 ．
所以 .
综上：
（Ⅱ）图象如图所示．（图像给2分）
单调增区间：
单调减区间：
（Ⅲ）∵方程 有三个不同的解
∴
∴
【点睛】本题考查利用奇偶性求函数解+析式以及根的存在性及根的个数判断，其中根据图像得到函数的单调性和极值是解题的关键．
由题意可得： 与 有三个交点，不妨令 ，
则由函数图像可得： ， ，即 ，
又 的取值范围为 ，所以 ，
由 得 ，即 ，
因此 ，解得： .
故选：D
【点睛】本题主要考查分段函数的应用，以及函数与方程的综合应用，利用数形结合的方法处理即可，属于常考题型.
二、填空题
13.已知幂函数 的图象过点 ，则 __________．
综上得 .
故答案为 .
【点睛】本题考查了函数的值域及单调性的应用，关键是将条件转化为两个函数值域的关系，运用了分类讨论的数学思想，属于中档题．
16.若 为 的各位数字之和，如 ， ，则 ；记 ， ，…， ， ，则 ________．
【答案】8
【分析】
根据题意，逐步计算出 ， ， ， ，…，归纳得到 以 为周期，进而可求出结果.
（2）根据对数的运算法则，直接求解，即可得出结果.
【详解】（1）原式 ．
（2）原式
【点睛】本题主要考查指数幂的运算以及对数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.
18.设集合 ， ， ．
（ ）求 ．
（ ）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
试题分析：（ ）先求的集合 ， ，即可求解 ．
（ ）由 ，所以 ，分 是空集和 非空集合，分类讨论即可求解实数 的取值范围．
又函数 在区间 上的最小值为 ，最大值为 ，
所以 .
故选：D
【点睛】本题主要考查由二次函数在给定区间的最值求参数的问题，熟记二次函数性质即可，属于常考题型.
10.已知函数 在区间 是减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
先由题意得到二次函数 在区间 是增函数，且 在 上恒成立；列出不等式组求解，即可得出结果.
【详解】因 ， ，所以 ，
因此函数 是奇函数；
又 单调递增， 单调递减，所以 单调递增；
故选：A
【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判定，熟记奇偶性的概念，以及指数函数的单调性即可，属于常考题型.
8.设函数 则满足 的 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
根据函数解+析式，分别求出 ， 时， 的解集，即可得出结果.
20.经过市场调查，某种商品在销售中有如下关系；第 天的销售价格（单位：元/件）为 ，第 天的销售量（单位：件）为 （ 为常数），且在第 天该商品的销售收人为 元（销售收入=销售价格×销售量）．
（1）求 的值，并求第 天该商品的销售收入；
（2）求在这 天中，该商品日销售收入 的最大值．
【答案】（1） , 元；（2） 元.
（2）试判断 的单调性，并用定义法证明；
（3）若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） 在 上单调递增,证明见解+析；（3） .
【分析】
（1）根据题意，得到 ，求出 ，即可得出结果；
（2）根据题意得到 ，任取 ，且 ，作差法比较 ， ，根据函数单调性的概念，即可得出结果；
试题详细分析：
（ ） ， ， 所以 ．
（ ）因为 ，所以 ，
若 是空集，则 ，得到 ，
若 非空，则 ，得 ，
综上所述， ，即 的取值范围是 ．
19.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-2x．
（Ⅰ）求出函数f（x）在R上的解+析式；
（Ⅱ）在答题卷上画出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间；
【详解】因为函数 在区间 是减函数，
所以只需二次函数 在区间 是增函数，且 在 上恒成立；
所以有： ，解得 ；
故选：C
【点睛】本题主要考查由对数型复合函数的单调性求参数的问题，熟记对数函数与二次函数的性质即可，属于常考题型.
11.已知定义在实数R上的函数y＝f(x)不恒为零，同时满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，且当x>0时，f(x)>1，那么当x<0时，一定有( )
2023-2024学年河南省南阳市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．∅B．A C．B D．A∪B2．命题“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是（）A．方程x2﹣8x+15＝0有一个根不是偶数B．方程x2﹣8x+15＝0至少有一个根不是偶数C．方程x2﹣8x+15＝0至多有一个根不是偶数D．方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数3．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f(x)=1e x+e−x B．f(x)=1e x−e−xC．f(x)=e x−e−xe x+e−x D．f(x)=ex+e−xe x−e−x4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln54≈0.223，由此可知ln5的近似值为（）A．1.519B．1.726C．1.609D．1.3165．已知a=243，b=425，c=2013，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b6．通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把y＝[x]称为取整函数．那么“[x]＝[y]”是“|x﹣y|＜1”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要7．若关于x的不等式1x−a ＞1x−b的解集是{x|1＜x＜3}，则下列式子中错误的是（）A．a﹣b＜0B．a+b＝4C．a＝1，b＝3D．a＝3，b＝18．已知函数f(x)={−2x 2+4x ，x ≤2，x−2x+1，x ＞2，若存在三个不相等的实数x 1，x 2，x 3使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则f （x 1+x 2+x 3）的取值范围是（ ） A ．(25，1)B ．(25，+∞)C ．(25，2)D ．（2，+∞）二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．满足函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调的实数a 的值可能是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．610．下列函数中，具备奇偶性的函数是（ ） A ．f(x)=(√x)2B ．f(x)=1+22x−1C ．f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.D ．f(x)=√4−x 22−|x−2|11．已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ），且对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则下列结论正确的有（ ）A ．f （1.2）＞f （1.5）B ．2a +b ＝0C ．f(−√2)＜f(√3)D ．abc ＜012．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则下列结论成立的是（ ） A ．1a +1b的最小值为4B ．1a +ab 的最小值为3C ．11−a+12−b的最小值为2D ．a +1b的最小值为1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4），则a +b ＝ ． 14．若函数f （x ）的定义域是[2，5]，则函数y =f(2x−3)√x 2−2x−3的定义域是 ．15．已知f （x ）＝x 2+|x |+2；则不等式f （x +1）＜8的解集是 ．16．如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为√6，则该等腰三角形的面积最大值为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）已知x+x﹣1＝3，求是x 12+x−12值；（2）计算：2−12+2+(1−√2)−1−823+2lg5lg20+(lg2)2．18．（12分）已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）在[1+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）求函数g(x)=√x2+4x2+5的值域．19．（12分）已知集合A＝{x|x2+ax﹣a﹣1＜0，a∈R}，B＝{x|2＜x＜3}．（1）若0∈A且2∉A，求实数a的取值范围；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．20．（12分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件20元，出厂价为每件24元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+600．（1）设袁阳每月获得的利润为ω（单位：元），写出每月获得的利润ω与销售单价x的函数关系；（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？21．（12分）已知log a b+log b a=52，a b＝b a，其中a＞b＞1．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）＝m•a x+b x+1在定义域[1，2]上为增函数，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＞0时，f（x）＝2x+a，a∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求函数f（x）的表达式；（2）若函数f（x）是奇函数且在R上单调，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，若关于x的方程（（f（x）+2+a）（f（x）﹣a）＝0有三个不等的实数根，求实数a的取值范围．2023-2024学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．∅B．A C．B D．A∪B解：集合A＝{x|1＜x＜3}，则B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}＝{y|1＜y＜5}，故A∩B＝A．故选：B．2．命题“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是（）A．方程x2﹣8x+15＝0有一个根不是偶数B．方程x2﹣8x+15＝0至少有一个根不是偶数C．方程x2﹣8x+15＝0至多有一个根不是偶数D．方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数解：“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是：方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数．故选：D．3．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f(x)=1e x+e−x B．f(x)=1e x−e−xC．f(x)=e x−e−xe x+e−x D．f(x)=ex+e−xe x−e−x解：对于A，f(0)=12，与图象不相符，故A错误；对于B，f（0）无意义，与图象不相符，故B错误；对于C，函数定义域为R，f（0）＝0，f(−x)=e−x−e xe−x+e x=−f(x)，函数为奇函数，符合图象，故C正确；对于D，f（0）无意义，与图象不相符，故D错误．故选：C．4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln 54≈0.223，由此可知ln 5的近似值为（ ）A ．1.519B ．1.726C ．1.609D ．1.316解：因为ln 2≈0.693，ln 54≈0.223=ln 5﹣2ln 2＝ln 5﹣1.386，由此可知ln 5≈1.609．故选：C ． 5．已知a =243，b=425，c=2013，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解：∵a =243=√163，b =425=√165，c =2013=√203，y =x 13=√x 3是R 上的增函数，20＞16，∴√203＞√163，即c ＞a ．再根据√163＞√165，可得a ＞b ． 综上可得，c ＞a ＞b ． 故选：A ．6．通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把y ＝[x ]称为取整函数．那么“[x ]＝[y ]”是“|x ﹣y |＜1”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要解：若[x ]＝[y ]，设[x ]＝[y ]＝m ，则x ＝m +a （0≤a ＜1），y ＝m +b （0≤b ＜1）， ∴x ﹣y ＝a ﹣b ∈（﹣1，1），∴|x ﹣y |＜1，反之，令x ＝1.1，y ＝0.9，则满足|x ﹣y |＝0.2＜1，但[x ]＝1，[y ]＝0，[x ]≠[y ]， ∴[x ]＝[y ]是|x ﹣y |＜1的充分不必要条件． 故选：A ． 7．若关于x 的不等式1x−a＞1x−b的解集是{x |1＜x ＜3}，则下列式子中错误的是（ ）A ．a ﹣b ＜0B ．a +b ＝4C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝3，b ＝1解：由1x−a＞1x−b，得1x−a−1x−b＞0，化简得，a−b(x−a)(x−b)＞0，即（a ﹣b ）（x ﹣a ）（x ﹣b ）＞0，∵不等式1x ＞a＞1x−b的解集是{x |1＜x ＜3}，∴a ﹣b ＜0，且1和3是方程（x ﹣a ）（x ﹣b ）＝0的两个根， ∴a ＝1，b ＝3，∴a +b ＝4，故A 正确，B 正确，C 正确，D 错误． 故选：D ．8．已知函数f(x)={−2x 2+4x ，x ≤2，x−2x+1，x ＞2，若存在三个不相等的实数x 1，x 2，x 3使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则f （x 1+x 2+x 3）的取值范围是（ ） A ．(25，1)B ．(25，+∞)C ．(25，2)D ．（2，+∞）解：函数f （x ）={−2x 2+4x ，x ≤2x−2x+1，x ＞2的图象如图所示：由f （x ）在（﹣∞，2]上关于x ＝1对称，且f max （x ）＝2， 当x ∈（2，+∞）时，f （x ）=x−2x+1=1−3x+1是增函数， 且f （x ）=x−2x+1=1−3x+1∈（0，1）， 所以x 1+x 2＝2，x 3∈（2，+∞）， 所以x 1+x 2+x 3∈（4，+∞），又f （4）=4−24+1=25， 故f （x 1+x 2+x 3）∈（25，1）．故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．满足函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调的实数a 的值可能是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：因为函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调，所以1＜12a ＜3，即2＜a ＜6．故选：ABC ．10．下列函数中，具备奇偶性的函数是（ ） A ．f(x)=(√x)2B ．f(x)=1+22x−1C ．f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.D ．f(x)=√4−x 22−|x−2|解：根据题意，依次分析选项：对于A ，f （x ）＝（√x ）2，其定义域为[0，+∞），不关于原点对称， 则该函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B ，f （x ）＝1+22x−1，其定义域为R ， 有f （﹣x ）+f （x ）＝1+22−x −1+1+22x −1=2+2⋅2x1−2x +22x−1=0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 则该函数为奇函数，符合题意；对于C ，f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.其定义域为{x |x ≠±1}，当x ＜﹣1时，﹣x ＞1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝﹣x ， 当﹣1＜x ＜1时，﹣1＜﹣x ＜1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝1， 当x ＞1时，﹣x ＜﹣1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝x ，综合可得：∀x ∈{x |x ≠±1}，都有f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）为偶函数，符合题意；对于D ，f （x ）=√4−x 22−|x−2|，则有{4−x 2≥02−|x −2|≠0，解可得﹣2≤x ≤2且x ≠0，即函数的定义域为{x |﹣2≤x ≤2且x ≠0}， 则f （x ）=√4−x 2x，则有f （﹣x ）=−√4−x 2x=−f （x ），则f （x ）为奇函数．故选：BCD ．11．已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ），且对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则下列结论正确的有（ ）A ．f （1.2）＞f （1.5）B ．2a +b ＝0C ．f(−√2)＜f(√3)D ．abc ＜0解：因为二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ）， 即函数的图象关于x ＝1对称，故−b2a=1，所以b +2a ＝0，B 正确； 对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，所以f （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，所以a ＜0，b ＝﹣2a ＞0，但c 的正负无法确定，D 错误；根据函数的对称性可知，f （x ）在（1，+∞）上单调递减，则f （1.2）＞f （1.5），A 正确， 又f （−√2）＝f （2+√2）＜f （√3），C 正确． 故选：ABC ．12．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则下列结论成立的是（ ）A ．1a +1b的最小值为4B ．1a +ab 的最小值为3C ．11−a+12−b的最小值为2D ．a +1b的最小值为1解：对于A ，1a +1b =(a +b)(1a +1b )=2+b a +a b ≥2+2√b a ⋅a b=4，当且仅当a ＝b =12时，取等号，故A 正确；对于B ，1a =a+b a =1+b a ，故1a +a b =1+b a +a b ≥1+2√b a ⋅a b=3，当且仅当a ＝b =12时，取等号，故B 正确；对于C ，由a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，可知（1﹣a ）+（2﹣b ）＝3﹣（a +b ）＝2，且1﹣a ＞0，2﹣b ＞0， 11−a+12−b=12[(1−a)+(2−b)](11−a+12−b)=12(2+2−b 1−a+1−a 2−b)≥12(2+√2−b 1−a ⋅1−a 2−b)=2， 不等式取等号的条件是1﹣a ＝2﹣b ＝1，即a ＝0，b ＝1，与题设a +b ＝1矛盾，故11−a+12−b的最小值大于2，C 不正确；对于D ，a +1b −1=1b −b =1−b 2b =(1+b)(1−b)b ＞0，故a +1b＞1，最小值大于1，故D 不正确．故选：AB ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4），则a +b ＝ 3 ． 解：幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4）， ∴{a 2−2a +2=1f(2)=2b =4，解得a ＝1，b ＝2，则a +b ＝1+2＝3． 故答案为：3．14．若函数f （x ）的定义域是[2，5]，则函数y =f(2x−3)√x 2−2x−3的定义域是 （3，4] ．解：由题意得，{2≤2x −3≤5x 2−2x −3＞0，解得3＜x ≤4．故答案为：（3，4]．15．已知f （x ）＝x 2+|x |+2；则不等式f （x +1）＜8的解集是 （﹣3，1） ．解：对于f （x ）＝x 2+|x |+2，当x ≥0时，f （x ）＝x 2+x +2，当x ＜0时，f （x ）＝x 2﹣x +2， 所以f(x)={x 2+x +2，x ≥0x 2−x +2，x ＜0，当x +1≥0时，即x ≥﹣1时，不等式f （x +1）＜8可化为（x +1）2+（x +1）+2＜8，即x2+3x﹣4＜0，解得﹣4＜x＜1，所以﹣1≤x＜1；当x+1＜0时，即x＜﹣1时，不等式f（x+1）＜8可化为（x+1）2﹣（x+1）+2＜8，即x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，所以﹣3＜x＜﹣1；综上，不等式f（x+1）＜8的解集为（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．16．如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为√6，则该等腰三角形的面积最大值为4．解：如图所示：作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则AE＝EB，EF＝FB，设DF＝h，FB＝b，故AF＝3b，在△ADF中：6＝9b2+h2≥2√9b2×ℎ2=6bh，即bh≤1，当且仅当9b2＝h2，即h=√3，b=√33时等号成立，S△ABC＝2S△ABD＝4bh≤4．故答案为：4．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）已知x+x﹣1＝3，求是x 12+x−12值；（2）计算：2−12+40√2+(1−√2)−1−823+2lg5lg20+(lg2)2．解：（1）由于(x 12+x12)2=x+x−1+2=5，又x 12+x−12＞0，故x12+x12=√5；（2）原式=√222−（√2+1）﹣4+2＝﹣3．18．（12分）已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）在[1+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）求函数g(x)=√x2+4x2+5的值域．解：（1）函数f（x）在[1+∞）上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，x2x1＞1，则f(x2)−f(x1)=(x2+1x2)−(x1+1x1)=x2−x1+1x1=(x2−x1)(x2x1−1)x2x1＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）是[1，+∞）上的增函数．（2）令t=√x2+4(t≥2)，则t2﹣4＝x2，于是g（x）的值域即为求ℎ(t)=tt2+1=1t+1t的值域，由（1）知函数y=t+1t(t≥2)在[2，+∞）是单调递增的，所以当t＝2时，即√x2+4=2，即x＝0处y取最小值y min=2+12=52，所以0＜1t+1t≤25，所以函数g(x)=√x2+4x2+5的值域为(0，25]．19．（12分）已知集合A＝{x|x2+ax﹣a﹣1＜0，a∈R}，B＝{x|2＜x＜3}．（1）若0∈A且2∉A，求实数a的取值范围；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：（1）由0∈A且2∉A，得{−a−1＜0a+3≥0，∴a＞﹣1，∴a的取值范围为（﹣1，+∞）；（2）由p是q的必要不充分条件，∴B⫋A，∵x2+ax﹣a﹣1＝（x﹣1）（x+a+1）＜0，且B＝{x|2＜x＜3}，故A＝{x|1＜x＜﹣a﹣1}，∴{1＜−a−1−a−1≥3，∴a≤﹣4，∴a的取值范围为（﹣∞，﹣4]．20．（12分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件20元，出厂价为每件24元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+600．（1）设袁阳每月获得的利润为ω（单位：元），写出每月获得的利润ω与销售单价x 的函数关系；（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？解：（1）依题意可知每件的销售利润为（x ﹣20）元，每月的销售量为（﹣10x +600）件，所以每月获得的利润ω与销售单价x 的函数关系为ω＝（x ﹣20）（﹣10x +600）（20≤x ≤60）；（2）由每月获得的利润不小于3000元，即（x ﹣20）（﹣10x +600）≥3000，即x 2﹣80x +1500≤0，即（x ﹣30）（x ﹣50）≤0，解得30≤x ≤50，又因为这种节能灯的销售单价不得高于40元，所以30≤x ≤40，设政府每个月为他承担的总差价为p 元，则p ＝（24﹣20）（﹣10x +600）＝﹣40x +2400，由30≤x ≤40，得800≤p ≤1200，故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为[800，1200]元．21．（12分）已知log a b +log b a =52，a b ＝b a ，其中a ＞b ＞1． （1）求实数a ，b 的值；（2）若函数f （x ）＝m •a x +b x +1在定义域[1，2]上为增函数，求实数m 的取值范围．解：（1）设log b a ＝k ，则k ＞1，因为log a b +log b a =52， 可得k +1k =52，所以k ＝2，则a ＝b 2． 又a b ＝b a ，所以b 2b =b b 2，即2b ＝b 2，又a ＞b ＞1，解得b ＝2，a ＝4．（2）由（1）以及函数f （x ）＝m •a x +b x +1，得f （x ）＝m •4x +2x +1，令t ＝2x ，x ∈[1，2]，则y ＝mt 2+t +1，t ∈[2，4]．为使f （x ）在[1，2]上为增函数，则m ＝0或{m ＞0−12m ＜2或{m ＜0−12m≥4，解得m ＝0或m ＞0或−18≤m ＜0． 综上，m 的取值范围为[−18，+∞)． 22．（12分）已知函数f （x ）的定义域为R ．当x ＞0时，f （x ）＝2x +a ，a ∈R ．（1）若函数f （x ）为奇函数，求函数f （x ）的表达式；（2）若函数f （x ）是奇函数且在R 上单调，求实数a 的取值范围；（3）在（1）的条件下，若关于x 的方程（（f （x ）+2+a ）（f （x ）﹣a ）＝0有三个不等的实数根，求实数a 的取值范围．解：（1）当x ＝0时，f （0）＝0；当x ＜0时，f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（2﹣x +a ）＝﹣2﹣x ﹣a ；故f(x)={2x +a ，x ＞00，x =0−2−x −a ，x ＜0．（2）因为当x ＞0时，f （x ）＝2x +a 是单调增函数，所以若f （x ）在R 上单调，则f （x ）必为R 上的单调增函数，只须满足﹣20﹣a ≤0≤20+a ，得a ≥﹣1，实数a 的取值范围是[﹣1，+∞）；（3）由方程（f （x ）+2+a ）（f （x ）﹣a ）＝0⋯（*），可得f （x ）＝﹣2﹣a 或f （x ）＝a ，由题意可知，f （x ）不可能是单调函数，故a ＜﹣1，又因为方程（*）有三个不等的实数根，且a ＜1+a ，所以只须1+a ＜﹣2﹣a ＜﹣1﹣a 且﹣2﹣a ≠0，解得a ＜−32且a ≠﹣2， 综上所述，a 的取值范围为(−∞，−2)∪(−2，−32)．。
河南省南阳市2019届高三上学期期中考试数学理试题(解析版)
河南省南阳市2019届高三上学期期中考试数学理试卷一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，∴．选D．2.若是虚数单位，复数的共轭复数是，且，则复数的模等于（）A. 5B. 25C.D.【答案】A【解析】分析：由复数的运算，求得，进而得，再根据复数模的计算公式，即可求解复数的模.详解：由题意，复数的共轭复数满足，所以，所以复数，所以，故选A.点睛：本题主要考查了复数模的运算及复数的运算，其中熟记复数的运算公式和复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3.下列四种说法中，①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，），则f（4）的值等于；④已知向量a＝（3,4），b＝（2,1），b =（2,1），则向量a在向量b方向上的投影是，其中说法正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】本题①根据命题否定的规律判断命题是否为真；②化简研究命题中的条件和结论，从而判断条件间的关系；③根据函数图象上的点坐标，得到参数a的值，再利用解析式求出函数的值；④利用平面向量的数量积与投影的关系，判断命题是否正确，得到本题结论．【详解】①命题“存在x∈R，x2-x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2-x≤0”，故命题①不正确；②命题“p且q为真”，则命题p、q均为真，∴“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q不一定都真，∴不一定有“p且q为真”，∴命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；③由幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，）∴2α=，∴α=−∴幂函数为f(x)＝，故f（4）的值等于∴命题③正确；④向量在向量方向上的投影是||cosθ＝.其中θ是和的夹角，故④错误．∴正确的命题有一个．故选：A．【点睛】本题考查了命题真假的判断，还考查了命题的否定、充要条件、幂函数解析式和向量的投影等知识，属于基础题．4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，选D.考点：同角三角函数关系【方法点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。
河南省南阳市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题
河南省南阳市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．已知平面向量a r ，b r 满足，1b =r ，则向量b r ）a rB ．-14arD共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为（ ）A ．11B ．13C ．14D ．166．已知数列{}n a 为等比数列，,,,m t p q 均为正整数，设甲：m t p q a a a a =；乙：m t p q +=+，则（ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件7．在锐角ABC V 中，已知()sin 22sin sin B A A C +=-，则A ，C 的大小关系为（ ）A ．C A >B ．C A=C ．C A<D ．无法确定8．已知函数()f x 是定义在R 上的连续可导函数，且满足①()()32226128f x f x x x x --=-+-，②()f x 为奇函数，令()()3g x f x x =+，则下列说法错误的是（ ）A ．()g x 的图象关于1x =对称B ．()13f ¢=-C ．()320242024f =D ．()2202532025f =-´¢故32322(26128)(260()()128)g x x x x x x g x x -=-+-+-+--+=，则得()g x 的图象关于1x =对称，故A 正确；对于B ，由A 项已得()g x 的图象关于1x =对称，则(1)0g ¢=，由()()3g x f x x =+，可得()()23g x f x x ¢+¢=，则()()1133f g =-¢=-¢，故B 正确；对于C ，因()f x 为奇函数，故()()3g x f x x =+也是奇函数，图象关于(0,0)对称，因()g x 的图象关于1x =对称，故函数()g x 的周期为4|10|4T =-=，又()()3g x f x x =+，则()3(2024)(0)020242024g g f ===+，解得()320242024f =-，故C 错误；对于D ，因()()3g x f x x =+为奇函数，且周期为4，则()()23g x f x x ¢+¢=，由()()23g x f x x ¢¢-=-+，因()[()][()]()f x f x f x f x ¢¢¢¢-=--=--=，故()()g x g x ¢¢-=，即函数()()23g x f x x ¢+¢=为偶函数；由()()344(4)g x f x x +=+++，可得()()2443(4)g x f x x +=+++¢¢，因()()3g x f x x =+的周期为4，则()()4g x g x +=，求导得()4()g x g x +=¢¢，即函数()()23g x f x x ¢+¢=的周期为4.于是，2(2025)(1)0(2025)32025g g f ¢¢¢===+´，故得2(2025)32025f ¢=-´，即D 正确.故选：C.【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数与导函数的奇偶性，周期性，对称性等性质的应用，属于难题.18．(1)1a=2(2)①(]0,1；②证明见解析【分析】（1）求导，根据（2）①对a进行讨论，即数单调性，即可根据单调。
河南省南阳市六校2023-2024学年高一上学期期中考试 数学含解析
2023—2024学年（上）南阳六校高一年级期中考试数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}33,2A x x B x x =-<<=<-，则()A B =R ð（）A ．(]2,3-B ．[]2,3-C ．[)2,3-D ．()2,3-2．已知,a b ∈R ，则下列选项中，使0a b +<成立的一个充分不必要条件是（）A ．0a >且0b >B ．0a <且0b <C ．0a >且0b <D ．0a <且0b >3．若关于x 的不等式0ax b ->的解集是(),1-∞-，则关于x 的不等式20ax bx +>的解集为（）A ．()(),01,-∞+∞ B ．()(),10,-∞-+∞ C ．()1,0-D ．()0,14．已知幂函数()()21af x a a x =--在区间()0,+∞上单调递增，则函数()()11x ag x bb +=->的图象过定点（）A ．()2,0-B ．()0,2-C ．()2,0D ．()0,25．已知函数()f x 的定义域为(]0,4，则函数()()21xf g x x =-的定义域为（）A ．()(]0,11,2B ．(]1,16C ．()(],11,2-∞ D ．()(]0,11,166．设1231log 9,,23a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A ．c a b<<B ．a c b<<C ．b c a <<D ．c b a<<7．已知函数()2f x x x x =-+，则（）A ．()f x 是偶函数，且在区间(),1-∞-和()1,+∞上单调递减B ．()f x 是偶函数，且在区间()(),11,-∞-+∞ 上单调递减C ．()f x 是奇函数，且在区间()(),11,-∞-+∞ 上单调递减D ．()f x 是奇函数，且在区间(),1-∞-和()1,+∞上单调递减8．已知函数()12131xf x x+=-+，则使得()()21f x f x <+成立的x 的取值范围是（）A ．11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,1,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭ D ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知0a b <<，则（）A ．22a b>B ．2ab b>C ．11a b<D ．11a b a>+10．下列各组中两个函数是同一函数的是（）A ．()f x =()2g x =B ．()f x x =和()g x =C ．()3112x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭和()3112t g t +⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()211x f x x -=+和()1g x x =-11．若函数2xy =的图象上存在不同的两点,A B 到直线l 的距离均为1，则l 的解析式可以是（）A ．2x =-B ．1y =C ．1y =-D ．y x=12．已知236ab==，则（）A ．ab a b=+B ．4a b +>C ．48a b<D ．22log log 2a b +>三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合(){}(){}22,,,,25A x y x y B x y xy =∈=+=N ，则A B 中元素的个数为______．14．已知函数()3212x f x x =-+在区间[]2023,2023-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=______．15．若函数()11ax f x x -=-在区间()1,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______．16．已知函数()2,0,2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩则满足()()11f x f x +->的x 的取值范围是______．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）计算：（Ⅰ）20.5310910310.0122162716π--⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）()223343log 48log 18log 2log 3log 16⨯+-+⨯．18．（12分）已知集合{}{}222760,210,0A x x x B x x x m m =-+≤≤=-+->．（Ⅰ）若1m =，求A B ；（Ⅱ）若x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件，求m 的取值范围．19．（12分）已知函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象经过点()4,4．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）比较()2f -与()()22f m m m -∈R 的大小；（Ⅲ）求函数()()133x g x a x -=-≤≤的值域．20．（12分）（Ⅰ）若关于x 的不等式260mx mx m ++-<的解集非空，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若[]2,1x ∀∈-，不等式22mx mx m -<-+恒成立，求实数m 的取值范围．21．（12分）近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资200万元，每个城市都至少要投资70万元，由前期市场调研可知：在甲城市的收益P （单位：万元）与投入a （单位：万元）满足8P =-，在乙城市的收益Q （单位：万元）与投入a （单位：万元）满足134Q a =+．（Ⅰ）当在甲城市投资125万元时，求该公司的总收益；（Ⅱ）试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？22．（12分）已知定义域为R 的函数()133x x nf x m++=+是奇函数．（Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）判断()f x 的单调性并用定义证明；（Ⅲ）若当1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2210f kxf x +->恒成立，求实数k 的取值范围．2023-2024学年（上）南阳六校高一年级期中考试数学・答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案C 命题意图本题考查集合的表示与运算．解析由题意可得{}2B x x =≥-R ð，所以(){}23A B x x =-≤<R ð．2．答案B 命题意图本题考查充分条件与必要条件的应用．解析选项A ，C ，D 都既不是充分条件也不是必要条件，对于B ，由0a <且0b <可得0a b +<，反过来推不出，所以B 符合条件．3．答案D 命题意图本题考查不等式的解法．解析由于关于x 的不等式0ax b ->的解集是(),1-∞-，所以0,0,a ab <⎧⎨--=⎩则有b a =-且0a <，则20ax bx +>等价于0b x x a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，解得01x <<，即不等式20ax bx +>的解集为()0,1．4．答案A 命题意图本题考查幂函数和指数函数的性质．解析因为()()21a f x a a x =--是幂函数，所以211a a --=，解得2a =或1a =-．当2a =时，()2f x x=在()0,+∞上单调递增，当1a =-时，()1f x x=在()0,+∞上单调递减，故2a =．此时()21x g x b +=-，当2x =-时，()20g -=，即()g x 的图保过定点()2,0-．5．答案C 命题意图本题考查函数的定义域．解析要使函数()g x 有意义，则024,10,x x ⎧<≤⎨-≠⎩故1x <或12x <≤，所以()g x 的定义域为()(],11,2-∞ ．6．答案A 命题意图本题考查指数和对数的运算．解析因为1233123,2,log 92log 3232b c a -⎛⎫==>===== ⎪⎝⎭，所以c a b <<．7．答案D 命题意图本题考查函数的奇偶性和单调性．解析由题意得()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩画出函数()f x 的大致图象，如图，观察图象可知，函数()f x 的图象关于原点对称，故函数()f x 为奇函数，单调递减区间是()(),1,1,-∞-+∞．8．答案C 命题意图本题考查偶函数的性质和不等式的解法．解析易知函数()f x 的定义域为R ，且()f x 为偶函数．当0x ≥时，()12131xf x x+=-+，易知此时()f x 单调递增，所以()()()()2121f x f x fx f x <+⇒<+，所以21x x <+，解得1x <-或13x >-．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．答案ABD 命题意图本题考查不等式的性质．解析由0a b <<，得a b >，则22a b >，A 成立；由a b <两边同时乘以b ，不等号反向，得2ab b >，B 成立；由a b <两边同时除以ab ，得11b a<，C 不成立；由0a b <<可得0a b a +<<，同除以()a b a +，可得11a b a>+，D 成立．10．答案BC 命题意图本题考查函数的概念．解析A ，D 中函数的定义域不同．11．答案AD 命题意图本题考查函数的图象与性质．解析分别作出相应的图象，如图：对于A ，容易看出2xy =的图象上存在两点13,8⎛⎫- ⎪⎝⎭与11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线2x =-的距离均为1，故A 正确；对于B ，2xy =的图象在直线1y =上方的部分仅存在一点()1,2到直线1y =的距离为1，在直线1y =下方的部分满足01y <<，到直线1y =的距离均小于1，故不存在符合条件的两点，故B 错误；对于C ，因为20xy =>，故其图象上所有点到直线1y =-的距离均大于1，故C 错误；对于D ，利用几何知识可以算得点()0,1到直线y x =的距离为212<，由指数函数的图象可知，在点()0,1的两边各存在一点到直线y x =的距离为1，故D 正确．12．答案ABD 命题意图本题考查指数的运算性质．解析对于A ，因为236ab==，所以()()26,36baabba ==，所以26,36ab b ab a ==，所以2366ab ab b a⋅=⋅，所以66aba b +=，所以ab a b =+，故A 正确；对于B ，因为2ab a b ab =+≥，又a b ≠，所以2ab ab >4ab >，所以4a b ab +=>，故B 正确；对于C ，因为23ab=，所以2242398aab b b ===>，故C 错误；对于D ，设()222log log log a b ab t +==，则24ab '=>，所以2t >，故D 正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案4命题意图本题考查集合的概念和运算．解析因为2222250534=+=+，所以满足2225x y +=的自然数对有()()()()0,5,5,0,3,4,4,3，即A B中的元素有4个．14．答案2-命题意图本题考查奇函数的概念．解析设函数()322x g x x =+，则()g x 的最大值为1M +，最小值为1m +，容易判断()g x 是奇函数，所以()()110M m +++=，所以2M m +=-．15．答案()1,+∞命题意图本题考查函数的单调性．解析函数()1111ax a f x a x x --==+--，由()1,x ∈+∞时，()f x 单调递减，得10a ->，解得1a >．16．答案()1,-+∞命题意图本题考查分段函数和不等式的解法．解析由题意知，当1x >时，1221xx -+>恒成立；当01x <≤时，2121x x +-+>恒成立；当0x ≤时，由2121x x ++-+>，解得1x >-，所以10x -<≤．综上，x 的取值范围是()1,-+∞．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．命题意图本题考查指数和对数的运算性质．解析（Ⅰ）原式12232516432160.012716-⎛⎫⎛⎫=++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭593100241616=++-+100=．（Ⅱ）原式()2232234318log 22log log 3log 42⎡⎤=⨯++⨯⎢⎥⎣⎦()82343log 2log 9log 32log 4=++⨯82212=++=．18．命题意图本题考查集合的运算、充分条件与必要条件的判断．解析由2760x x -+≤得16x ≤≤，故{}16A x x =≤≤，由22210x x m -+-=得121,1x m x m =-=+，因为0m >，故{}11m x m x B -≤≤+=．（Ⅰ）若1m =，则{}02B x x =≤≤，所以{}12A B x x =≤≤ ．（Ⅱ）若x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件，则A B Ü，则有11,16,m m -≤⎧⎨+≥⎩解得5m ≥，此时满足A B Ü，所以m 的取值范围是[)5,+∞．19．命题意图本题考查指数函数的性质，函数与不等式的综合．解析（Ⅰ）因为()xf x a =的图象经过点()4,4，所以44a =，又0a >且1a ≠，所以a =1>，所以()xf x =在R 上单调递增．又因为()2222(1)10m m m ---=-+>，所以222m m ->-，所以()()222f f m m -<-．（Ⅲ）当33x -≤≤时，014x ≤-≤，所以1042)x -≤≤，即114x -≤≤，所以()g x 的值域为[]1,4．20．命题意图本题考查一元二次不等式与二次函数．解析（Ⅰ）当0m =时，显然60-<，满足题意；若0m <，显然满足题意；若0m >，则需()2Δ460m m m =-->，解得08m <<．综上，实数m 的取值范围是(),8-∞．（Ⅱ）由题可知，当[]2,1x ∈-时，()2120m x x -+-<恒成立．因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以()2120m x x -+-<等价于221m x x <-+．因为222211324y x x x ==-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭在区间[]2,1-上的最小值为27，所以只需27m <即可，所以实数m 的取值范围是2,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．21．命题意图本题考查函数模型的应用和二次函数的性质．解析（Ⅰ）当在甲城市投资125万元时，在乙城市投资75万元，所以总收益为1875363.754-+⨯+=（万元）．（Ⅱ）设在甲城市投资x 万元，则在乙城市投资()200x -万元，总收益为()()11820034544f x x x =-+-+=-+，依题意得70,20070,x x ≥⎧⎨-≥⎩解得70130x ≤≤．故()()145701304f x x x =-++≤≤．令t =，则t ∈，所以2145,4y t t =-++∈，因为该二次函数的图象开口向下，且对称轴t =，所以当t =，即80x =时，y 取得最大值65，所以当在甲城市投资80万元，乙城市投资120万元时，总收益最大，且最大总收益为65万元．22．命题意图本题考查函数的综合问题．解析（Ⅰ）因为()f x 在定义域R 上是奇函数，所以()00f =，所以1n =-．又由()()11f f -=-，可得3m =，经检验知，当3,1m n ==-时，原函数是奇函数．（Ⅱ）由（I ）知()()131121,333331x x x f x f x +-==-⋅++在R 上是增函数．证明：任取12,x x ∈R ，设12x x <，则()()2112211211212113331333133131x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-⋅--⋅=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()211223333131x x x x ⎡⎤-⎢⎥=++⎢⎥⎣⎦，因为12x x <，所以21330x x ->，又()()1231310x x++>，所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，所以函数()f x 在R 上是增函数．（Ⅲ）因为()f x 是奇函数，所以不等式()()2210f kx f x +->等价于()()()22112f kx f x f x >--=-，因为()f x 在R 上是增函数，所以212kx x >-，即对任意1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有212xk x ->成立．设()2212112x g x x x x -⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭，令11,,32t t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则有()212,,32g t t t t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，所以()max max ()()33g x g t g ===，。
河南省南阳市六校2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题含答案
2024—2025学年（上）南阳六校高一年级期中考试数学（答案在最后）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“0x ∀<，32370x x -++<”的否定为（）A.0x ∀<，32370x x -++≥B.0x ∀≥，32370x x -++<C.0x ∃<，32370x x -++< D.0x ∃<，32370x x -++≥【答案】D【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】“0x ∀<，32370x x -++<”的否定为“0x ∃<，32370x x -++≥”.故选：D2.设集合{}21A x x =-<<，21327x B x -⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则()A B =R ð（）A.()1,1- B.[)1,1- C.()2,1-- D.(),1∞--【答案】B【解析】【分析】解指数不等式，得到{}1B x x =<-，由补集和交集的概念得到答案.【详解】2313327x --<=，故23x -<-，解得1x <-，{}1B x x =<-故{}R 1B x x =≥-ð，(){}{}{}21111R A B x x x x x x ⋂=-<<⋂≥-=-≤<ð故选：B3.已知R a ∈，则“12a >”是“12a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的解法，求得102a <<，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式12a >，可得11220a a a --=>，即210a a -<，解得102a <<，因为102a <<是12a <的充分不必要条件，即12a >是12a <的充分不必要条件.故选：A.4.已知幂函数()f x 的图象经过点1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()f x （）A.为偶函数，且在()0,∞+上单调递减B.为偶函数，且在()0,∞+上单调递增C.为奇函数，且在()0,∞+上单调递减D.为奇函数，且在()0,∞+上单调递增【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义和性质即可求解.【详解】设幂函数()f x x α=，又因为幂函数()f x 的图象经过点1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以182α⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得3α=-,所以()3f x x -=，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，定义域关于原点对称，且()()()33f x x x f x ---=-=-=-，所以为奇函数，又因为30-<，所以在0,+∞上单调递减，故C 正确.故选：C.5.设,,a b c ∈R ，且a b >，则（）A.22ac bc >B.22a a b b>C.()()a a b b a b ->- D.b cba c a+>+【答案】C【解析】【分析】由特殊值代入可判断ABD ，由不等式的性质可判断C.【详解】A 选项，当0c =时，22ac bc =，故A 错误；B 选项，当1a =-，2b =-时，满足a b >，此时21a a =，28b b =，22a a b b <，故B 错误；C 选项，由a b >，可得0a b ->，所以()()a a b b a b ->-，故C 正确；D 选项，当0c =时，b cba c a +=+，故D 错误.故选：C.6.325log 125+=（）A.8B.3C.2-D.3【答案】A【解析】【分析】将根式化为分数指数幂，结合对数运算法则进行计算【详解】332223355log 125log 55358⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.故选：A7.若函数()223x x x f =-+在区间[](),m n m n <上的值域为[]2,18，则n m -的最大值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】【分析】分别求出值域为[]2,18时的定义域，从而可求解.【详解】由函数()()2223122f x x x x =-+=-+≥，所以当=1时，有最小值()12f =，当()18f x =时，即22318x x -+=，解得3x =-或5x =，又因为[)3,1x ∈-时，单调递减，(]1,5x ∈时，单调递增，所以n 的最大值为5，m 的最小值为3-，所以n m -的最大值为538+=.故选：D.8.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，且()10f =，则不等式()10xf x -≤的解集为（）A.[]0,2 B.(],2-∞ C.(][],01,2-∞ D.[][)2,10,--+∞ 【答案】B【解析】【分析】根据函数为偶函数且在(],0-∞上单调递减，则()()110f f =-=，且在()0,+∞上单调递增，然后对x 分情况讨论，从而可求解.【详解】由函数为偶函数且在(],0-∞上单调递减，且()10f =，所以()()110f f =-=，且在()0,+∞上单调递增，当1x ≤-时，12x -≤-，则()10f x ->，所以()10xf x -<；当10x -<≤时，211x -≤-≤-，则()10f x -≥，所以()10xf x -≤；当01x <<时，110x -<-<，则()10f x -<，所以()10xf x -<；当12x ≤≤时，011x ≤-≤，则()10f x -≤，所以()10xf x -≤；当>2时，11x ->，则()10f x ->，所以()10xf x ->.综上所述：不等式()10xf x -≤的解集为(],2-∞.故B 正确.故选：B .二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列关系式正确的是（）A.0∉∅B.{}∅⊆∅C.{}0∅∈D.{}∅∈∅【答案】ABD【解析】【分析】利用元素与集合的关系以及集合与集合的关系判断即可．【详解】对于A ，空集中不含有任何元素，故A 正确；对于B ，空集是非空集合的子集，可知{}∅⊆∅，故B 正确；对于C ，应该用“⊆”符号，即{}0∅⊆，故C 错误；对于D ，∅是集合{}∅中的元素，即{}∅∈∅，故D 正确.故选：ABD.10.下列各式的值等于6的是（）A.32B.31log 23+C.ln 8ln 9ln 2ln 3⋅⋅ D.()2lg 2lg 50lg 200+⋅【答案】BC【解析】【分析】A 选项，利用指数运算和根式运算法则得到答案；BCD 选项，利用对数运算法则计算出答案.【详解】A 选项，328210+=+=，A 错误；B 选项，331log 2log 2333326+=⨯=⨯=，B 正确；C 选项，()3ln 22ln 3ln 8ln 96ln 2ln 3ln 2ln 3⨯⋅==⋅⋅，C 正确；D 选项，()()()()()2222lg 2lg 50lg 200lg 2lg 50lg 50lg 4lg 2lg 502lg 50lg 2+⋅=+⋅+=++⋅()()222lg 2lg 50lg10024=+===，D 错误.故选：BC11.已知正实数a ，b 满足e e e a b ab ⋅=，则（）A.4ab ≥ B.4≥ C.49a b +≥ D.112113a b +≤++【答案】ACD【解析】【分析】由e e e a b ab ⋅=，可得a b ab +=，然后再利用基本不等式逐项判断即可对AB 判断求解；由由a b ab +=，可得111a b +=，再利用单位“1”即可对C 判断求解；由3111211221a b ab +=++++，再结合4ab ≥，即可对D 判断求解.【详解】A ：由e e e a b ab ⋅=，可得a b ab +=，因为0,0a b >>，所以a b +≥，即ab ≥，得4ab ≥，当2a b ==时取等号，故A 正确；B ：由222a b ab +≥，当a b =时取等号，又因为4ab ≥，当2a b ==时取等号，所以228a b +≥，故B 错误；C ：由a b ab +=，可得111a b +=，所以()114441459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+⎪⎝⎭，当4b a a b=，即23a b ==时取等号，故C 正确；D ：()()311222121111121221a b a b ab a b a b ab a b ab ab ++++++====++++++++++，因为4ab ≥，所以11219ab ≤+，所以33112221221239ab +≤+=+，当2a b ==时取等号，故D 正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知54log 2log 1x ⋅=，则x =______.【答案】25【解析】【分析】利用对数的运算法则及换底公式可得5log 2x =，再求出x 即可.【详解】因为25452log 2log log 2log x x⋅=⋅52511lg 2lg 1log 2log log 122lg 5lg 22x x x =⋅=⨯⨯==，即5log 2x =，所以2525x ==.故答案为：25.13.已知函数()()1,021,0x a x f x a x a x -⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩()0,1a a >≠是R 上的减函数，则a 的取值范围是______.【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据函数在R 上是减函数特征，两段函数各自为减函数，且左段函数的最小值大于等于右段函数的最大值，解不等式组即可求得a 的取值范围．【详解】因为函数()()1,021,0x a x f x a x a x -⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩()0,1a a >≠是R 上的减函数，所以012101a a a a ⎧⎪<<⎪-<⎨⎪⎪≤⎩，解得102a <<，即a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.14.已知函数()f x 在R 上具有单调性，且()()34x ff x -+=-，则()2f -=_______.【答案】10-【解析】【分析】令()3x f x t -+=，则()4f t =-，()3x f x t -=-中，令x t =，求出1t =-，从而得到()13x f x -=--，从而求出答案.【详解】令()3x f x t -+=，则()4f t =-，()3x f x t -=-中，令x t =得()3t f t t -=-，故34t t --=-，显然()3tf t t -=-单调递增，且()14f -=-，故1t =-，所以()13x f x -=--，()221310f -=--=-.故答案为：10-.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.计算（1）0ln 231lg 0.0001e 22⎡⎛⎛⎫⎢⎥++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）已知0>>>a b c ，比较b ac -和c a b-的大小.【答案】（1）3-（2）b c a c a b>--【解析】【分析】（1）根据指数、对数的运算进行化简即可求解.（2）利用不等式性质即可求解.【小问1详解】原式1133432lg1021421323--⎛⎫⎛⎫=++--=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】由0>>>a b c ，所以0a c a b ->->，所以11a c a b <--，因为0c <，所以c c a c a b >--，又因为c b <，所以c b a c a c <--，所以b c a c a b >--.16.已知集合{}21A x x =-≤≤，{}22320B x x ax a =-+=.（1）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()(),21,-∞-⋃+∞（2）11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由题意可得()(){}20B x x a x a =--=，分别对a 进行讨论再结合A B =∅ ，从而可求解.（2）分别对a 进行讨论再结合A B B ⋂=，从而可求解.【小问1详解】由题意可得{}()(){}2232020B x x ax a x x a x a =-+==--=，当0a =时，{}0B =，此时{}0A B ⋂=≠∅，不符合题意；当>0时，{},2B a a =，由A B =∅ ，可得1a >；当0a <时，{},2B a a =，由A B =∅ ，可得2a <-；综上所述：a 的取值范围为()(),21,-∞-⋃+∞.【小问2详解】当0a =时，{}0B =，此时{}0A B B ⋂==，故符合题意；当>0时，{},2B a a =，由A B B ⋂=，可得2212a a a a <⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩，解得102a <≤；当0a <时，{},2B a a =，由A B B ⋂=，可得2122a a a a >⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩，解得10a -≤<；综上所述：a 的取值范围为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.17.（1）若关于x 的不等式2430ax x -+<的解集为{}2x b x <<，求实数a ，b 的值；（2）讨论关于x 的不等式()2220ax a x -++>的解集.【答案】（1）56,45a b ==；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）0a >且2,b 为方程2430ax x -+=的两个根，由韦达定理得到方程，求出答案；（2）因式分解，再分0a =，0a <，2a =，2a >，02a <<五种情况，求出不等式解集.【详解】（1）由题意得0a >且2,b 为方程2430ax x -+=的两个根，故42b a +=，32b a =，解得56,45a b ==；（2）()()()2220210ax a x ax x -++>⇒-->，若0a =，则220x -+>，解得1x <，若0a <，解得21x a<<，若2a =，则()222420210x x x -+>⇒->，解得1x ≠，若2a >，此时21a <，解得1x >或2x a <，若02a <<，此时21>a ，解得2x a >或1x <，综上，当0a =时，解集为{}1x x <；当0a <时，解集为21x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当2a =时，解集为{}1x x ≠；当2a >时，解集为21x x x a ⎧⎫><⎨⎩⎭或；当02a <<时，解集为{2x x a>或}1x <.18.数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G 通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t （单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：21010x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭万元，x 为每月生产人形机器人的个数.（1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？（2）若每个人形机器人的售价为235x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本.【答案】（1）每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元（2）每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元【解析】【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本10001010x y x =++，再利用基本不等式求解即可；（2）由题意可知月利润213100010x W x =+-，解一元二次不等式2131********x x +-≥可得结果.【小问1详解】设平均每个人形机器人的成本为y万元，根据题意有210001010001010103010x x x y x x ++==++≥=，当且仅当100010x x =，即100x =时取等号.所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元.【小问2详解】设月利润为W 万元，则有222310001013100051010x x x W x x x ⎛⎫=+---=+- ⎪⎝⎭，由题知2131********x x +-≥，整理得2130140000x x +-≥，解得70x ≥.所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元.19.已知函数()()4121x xf x m =-+⋅-.（1）若0m =，求()f x 在区间[]1,2-上的值域；（2）若方程()20f x +=有实根，求实数m 的取值范围；（3）设函数()224112x x g x -+-⎛⎫=⎪⎝⎭，若对任意的[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x ∈，使得()()12f x g x ≥，求实数m 的取值范围.【答案】（1）5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）[)1,+∞（3）72m ≤-【解析】【分析】（1）利用换元法令2x t =，1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，再结合二次函数()2215124p t t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭的性质即可求解；（2）由（1）知利用换元法可得2x t =()()211p t t m t =-+-，0t >，方程()20f x +=有实根即等价于即()2110t m t -++=有实数根且大于零，从而可得()2102Δ140m m +⎧>⎪⎨⎪=+-≥⎩，即可求解；（3）若对任意的[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x ∈，使得()()12f x g x ≥，可得()()12min min f x g x ≥,由复合函数知识可得函数()()22112x g x --=在[)20,1x ∈时单调递减，[]21,3x ∈时单调递增，从而求出()()min 112g x g ==，则只需令()21112t m t -+-≥在1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立即可，分离参数可求解.【小问1详解】当0m =时，()()2421221x x xx f x =--=--，令2x t =，因为[]1,2x ∈-，所以1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以可得一个二次函数()2215124p t t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以当1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()p t 单调递增，当12t =时，()p t 有最小值1524p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当4t =时，()p t 有最大值()411p =，所以()5,114p t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.所以0m =时，()f x 在区间[]1,2-上的值域为5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】由（1）知当令2x t =，0t >，()()211p t t m t =-+-，则()20p t +=，即()2110t m t -++=有实数根，此时实数根大于零，所以可得()2102Δ140m m +⎧>⎪⎨⎪=+-≥⎩，解得：1m ≥.所以方程()20f x +=有实根，实数m 的取值范围为[)1,+∞.【小问3详解】由题意得()()2222412112411222x x x x x g x -+----+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，若对任意的[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x ∈，使得()()12f x g x ≥，可得()()12min min f x g x ≥,由函数()2211y x =--可得当[)20,1x ∈时单调递减，当[]21,3x ∈时单调递增，函数2x y =为增函数，所以由复合函数定义可得函数()()22112x g x --=在[)20,1x ∈时单调递减，[]21,3x ∈时单调递增，所以当21=x 时，()2g x 有最小值()()in 2m 112g x g ==，由（2）知当令2xt =，[]11,2x ∈-，1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()21112t m t -+-≥在1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即312t m t -≥+在1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为函数3,2y t y t ==-在1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时均单调递增，所以函数32y t t =-在1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增，所以min3522t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以512m -≥+，72m ≤-.【点睛】关键点点睛：（1）主要利用换元后转化为一般的二次函数在具体区间求最值问题；（2）中转化为二次函数根的分布问题来求出相应的不等式组，即可求解；（3）中由题可得()()12min min f x g x ≥,再结合指数型复合函数求出()()min 112g x g ==，从而可转化为含参二次函数在定区间求解最值问题.。
河南省南阳市2019-2020学年高一上学期期终质量评估语文试卷+扫描版含答案
南阳市2019年秋期高中一年级期终质量评估参考答案1．B（A项中“诞生于帝王之都”“汉民族文化”不合原文；C项中“各朝代都出现了不少秦腔理论著作”不合原文；D项原文表述为“陕西各阶层人民群众”。
）2．C（文章没有使用抒情的表达方式。
）3．B（能证明其成熟的是康海亲手绘制的131幅彩色脸谱。
）4．C（“所以我国特色小镇中旅游发展型小镇发展得最好”错误，选项中的表述是原因之一，但关键还是这些小镇能利用自身的文化特色发展自我。
）5．C（“要在园区内修建酒店”曲解文意，从材料来看，主题公园想要赢利，重点是要有独特的文化内涵，有没有修建酒店并不是重点。
）6．（1）尊重市场规律，考虑自身实际，科学规划建设。
（2）立足本地文化资源，拥有独特的文化创意和内涵。
（3）加强特色小镇的管理与运营，不断创新，巧妙拓展，使小镇永葆活力。
(每点2分，共6分。
意对即可)7．B（拐杖不是本文的线索。
）8.（1）性格倔强，顽固守旧。
认为好男儿要当兵，只有报考军校才能报效国家，孙子报了外交学院就气出病来，并拒绝孙子的看望、问候等；（2）素质过硬，带兵严厉，爱惜将士。
枪法百发百中，带兵表情严肃，赞扬话少，不但要将士完成任务还强调要将士活着回来；（3）炙热的爱国情怀。
看到让自己气恼的孙子解救人质成功，维护了国家尊严时，气恼之情马上烟消云散，兴奋的为孙子点赞并嘱咐孙子好好干。
（有概括有分析，每点2分，答出三点给6分。
如果答关爱孙子、爱憎分明等并分析有理可适当给分。
）9．（1）交代将军的气恼之因，使情节合理严谨。
将军曾经可以指挥千军万马，如今却连自己的孙子都管不了，使将军之愤不显得突兀；（2）突出将军的人物形象。
插入将军参军时与带兵时的情节，展示了将军英勇及军事素质过硬的军人形象；（3）突显“将军赞”的主题。
插叙部分是给将军的赞歌，并以“听不到他的赞扬话”为后文给晓龙的点赞作衬托，深化主旨。
（共6 分，每点2分。
意思对即可。
）10．A 11．C(不是《论语》,是《乐经》。
题速递分项解析汇编(必修1)：(第02期)专题11 实验：练习使用打点计时器 研究匀变速直线运动(原卷版)
一、选择题1.【河南省南阳市第一中学2019学年高一上学期第一次月考】在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，打点计时器使用的交流电的频率为50Hz，记录小车运动的纸带如图所示，在纸带上选取0，1，2，3，4，5的6个计数点，相邻两计数点之间还有四个点未画出．纸带旁并排放着带有最小分度为毫米的刻度尺，零点跟“0”计数点对齐，由图可以读出三个计数点1、3、5跟0点的距离填入下列表格中．并计算小车通过计数点“2”的瞬时速度为v2= m/s，小车的加速度是a= m/s2，2.【辽宁省庄河市高级中学2019学年高一10月月考物理试题】在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中，从下列所给器材中选出本实验所必须的器材有；为能按实验要求达到实验目的，还缺少的器材有（写出一种即可）。
①电磁打点计时器；②天平；③低压直流电源；④细绳；⑤纸带；⑥小车；⑦钩码；⑧秒表；⑨一端有带滑轮的长木板；3.【辽宁省庄河市高级中学2019学年高一10月月考物理试题】某同学在做“测定匀变速直线运动的加速度”实验时打出的纸带如图所示，每两点之间还有四点没有画出来，图中上面的数字为相邻两点间的距离，打点计时器的电源频率为50Hz（答案保留三为有效数字）。
v=。
①打4号计数点时纸带的速度4-点间的加速度大小为a=。
②064.【广东省佛山市第一中学2019学年高一上学期第一次段考】在“探究匀变速直线运动的规律”的实验中：（1）除打点计时器（含纸带、复写纸）、小车、一端附有滑轮的长木板、细绳、钩码、导线及开关外，在下面的仪器和器材中，必须使用的有（）A．电压合适的50Hz交流电源B．电压可调的直流电源C．刻度尺D．秒表E．天平（2）实验过程中，下列做法正确的是（）A．先接通电源，再使纸带运动B．先使纸带运动，再接通电源C．将接好纸带的小车停在靠近滑轮处D．将接好纸带的小车停在靠近打点计时器处（3）通过打点计时器得到的一条纸带上的点迹不均匀，下列判断正确的是（）A．点迹密集的地方说明振针打点速度较大B．点迹密集的地方说明物体运动的速度较大C．点迹不均匀说明物体做变速运动D．点迹不均匀说明相邻两点之间的时间间隔不同（4）图示为一次实验得到的一条纸带，纸带上每相邻的两计数点间都有四个点未画出，按时间顺序取A、B、C、D、E五个计数点，测出各点到A点的距离如图所示。
河南省南阳市2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题及答案
2023年秋期高中三年级期中质量评估数学试题注意事项：1本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效。
2答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上3选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚4请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．5保持卷面清洁，不折叠、不破损。
第1卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）］．下列集合中，表示空集的是A.{O}c.{xeN忙－1=0}2命题“3x。
ER'点＋X。
＋1,,0"的否定为A.\::/xER, x2+x+l>OC. V xE R, x2 +x+l,, 03．若复数z满足(l+z)i=2,则亡z= A.-2 B.2 B.{xlx<-2，主＞2}o.{xlx>4}B.3.x ER, x2+x+1>0 D．玉ER,x2+x+l<0C.-4iD.4i4公比不为1的等比数列{a,,｝满足a5a7+a凸＝16,若a2a3a9a,,,= 64,则m的值为A.8B.9C.10D.115若函数f(x)=4x-(a-1)2飞a2-5有两个零点，则实数a．的取值范围为A.(-1门B.(-1，.Js) 叶石，订 D (1+2气］6已知GE [0，王］（． ）Sina' y=c''' =s i n °0'"4 , x =(sinaY'"", y =(c o sa)""", z = (si n a)，则A.x<y<zB.x<z < yC.y<x<zD.z <x< y7已知a,b, c分别为6.ABC的三个内角A,B, C的对边，若点P在6.ABC的内部，且满足乙PAB ＝乙PBC ＝乙PCA=0,则称P 为6.ABC 的布洛卡(Brocard)点，0称为布洛卡角布洛卡角满足：PA PB PCcot0 = c otA + cotB + c ote（注：tanxcotx=1)则—+—-＋—-＝c a bA.2sin0B. 2cos0C.2tan0D.2cot08已知f(x) = a e x +�x 2 -ax 在(0,+oo ）上单调递减，则实数a．的取值范围为A.(--00,－1]B. (--00,-1)c.(O,+oo）D.[0,+oo）二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9如图是函数f(x) = sin (mx + rp ）的部分图象，则函数f(x )=yxA.si n(x +f )C.c os（三）B.sin（气－2x )D.c os（子－2x )10已知S,，是数列忆｝的前n项和，3S,，＝a,，＋2，则A.{a,,}是等比数列B.a 9+a.i o>OC.a 孔o a.11> 0D.S,, >01l 设x,yeR,若4x2+ y 2 +xy=l,则x+y 的值可能为A.-2B.-1C.ID.212设a;,r:O,若x=a 为函数f(x)= a (x-a/ (x-b)的极小值点，则下列关系可能成立的是A.a>O 且a>bC.a<O 且a<bB.a>O 且a<bD.a<O 且a>b第II 卷非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13一个正实数的小数部分的2倍，整数部分和自身成等差数列，则这个正实数是＿＿＿14．四边形ABCD 中，AD=2,CD=3, BD 是四边形ABCD 的外接圆的直径，则AC-BD=15奇函数f(x)满足f(2+x)= J(l-x), /(-1)= 2023,则/(2023)=16互不相等且均不为1的正数a,b, c满足b是a,C的等比中项，则函数f(x) =a x +2b-·'+e x的最小值为四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17（本小题满分10分）设数列伈｝为等差数列其前n项和为S,,(neN.），数列｛丸｝为等比数列已知a1=b1=1,a5 = 3b2, S4 = 4S2(I)求数列忆｝和｛丸｝的通项公式；(2)求数列{a,,·b,,}的前n项和T”18（本小题满分12分）已知函数f(x)＝五sin皿coswx-sin汤x+½,其中w>O,若买数X1,X2满足V估）－f伈）1=2时，|凸一对的最小值为一(I)求0的值及．f'(x)的单调递减区间；(2)若不等式[f(x)J +2acos(2x＋勹－2a-2<0对任意XE(－工工12 6 ' )时恒成立，求实数a的取值范围．19（本小题满分12分）2S记S,，为数列伈｝的前n项和已知—�+n=2a,,+l(I)证明：忆｝是等差数列；(2)若QI'生，a7成等比数列，求数列{d,1:／1+1}的前2024项的和20（本小题满分12分）在L::;.ABC中，角A,B, C的对边分别为a,b, c,且满足＿＿＿（从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡的横线上并作答）条件CD,(b+c)(sinB+sinC) =a sinA+3bsinC条件＠：cos2（于小cosA=¾（l)求角A;(2)若L::;.ABC为锐角三角形，c=l.求L::;.ABC面积的取值范围21（本小题满分12分）已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a, aeR,曲线y=f(x)在卢、(xEf(x l))处的切线也是曲线y=g(x)的切线(I)若x l=1，求a;(2)求a的取值范围22（本小题满分12分）(I)已知函数f(x)=x l nx,判断函数g(x)= f(l+x)+ f(l-x)的单调性并证明．I.Il+－ l--(2)设n为大于1的整数，证明：（n＋1) "(n-l) n >n22023年秋期高中三年级期中质量评估一选择题：1-8.BADC CDBA二选择题：9.BC三填空题：4 8 13.－或－3 3 四解答题：JO.ABO14.-5数学参考答案II.BCl5.－2O2317解：（l）设等差数列忆｝的公差为d,等比数列｛丸｝的公比为q,由S4= 4S2可得4a,+6d = 4(2a1 +d),即6d+4=4(d+2)，解得d=2,所以，a,,=a1 +(n-l)d =1+2(n-1) =2n-l.3b2 = 3q = a5= 9, :. q = 3则b,.=b1q"一I=3•-I;(2)a;,b,,=(2n-1)· 3"-1,则T,,= 1-3° +3·31 +5-32 +···+(2n-1)·3"一1@，12.AC 16.4可得3兀＝1·31+3·32 +.. ·+(2n -3)·3n 一I +(2n-1)·3'危），6 l -3'1一l@－＠得：－2T,, = l + 2(31 + 32 +.. · + 3"一I)-(2n -1) · 3" = 1 + （）II1-3= (2-2n ) · 3" -2,因此，T,,=(n -1)·3" +ll8解：（l ）f(）✓3s i n(J)XCO S (J)X -s i n 2 1x l =.J 3s in(J)X C O S (J)x in (J)x +－2 石l -cos2(J)X.l =—sin2{JJX-＋－22 2石l =—sin2(J)x+-=-cos2(J)X2 2 =S i 中三）因为实数斗，X 2满足V 伈）－f 伈）1=2时，怀－对的最小值为：2冗所以f(x)的最小正周期T ＝冗＝—,解得cv=l,2Q-2n -l · 3',（）所以/(x)=sin （三）由2k 冗十%::,2x+¾::,2k 冗子(k eZ)得f (x)的单调递减区间为[k冗2冗冗＋一，k 冗＋—］(k e Z 6.3） (2)不等式[f(x)J +2acos(2气）－2a-2<0对任意XE(－启）时恒成立，[.f (x )J +2a cos （三）－2a -2= s in 2（三）＋2acos （三）－2a -2= -cos 2（三）＋2acos （三）－2a-l令I =CO S （三）气E (o :）c os （三）e (O,l )一t 2+2a t-2a -1<0,tE{0,1) t 2 + 12a(t -l)矿＋L 2a>—恒成立t -1t 2 +l m江2m+2 2令m=t -l E(-1,0)，一—=＝m+-=+2<-1 t -1m m:. 2a... -L 解得：a2':一一，12l故实数a 的取值范围是[-½,+oo)2S19解：（l)因为—'.!!..+n=2a 11+l,即2S,,+ n 2 = 2na11 + n(D,n当n2':2时，2S,,一1+(n-1/ =2(n-l)a,,一I +(n-1)@,＠－＠得，2S 11+1产2S 11一）－（n-1/ = 2na 11 + n-2(n-l)a,,一）－（n-1),即2a ,,+2n-l =2na 11 -2(n-l)a,'一i +L即2(n-l)a ,,-2(n-l)a ,,一）＝2(n-l)，所以a 11-a n -I = 1,,i 2': 2且n E N •,所以{a,,｝是以1为公差的等经数列(2)由（I)可得a 3=c� +2, � =a 1+6又a 1,a 3, a 1成等比数列，所以(a 1+2/ =a 1 ·(a 1 +6),解得a 1=2,所以a.=n +l1 1 1 1 ... -= � =—-．a ,,a ,,+1 (n+l)(n+2) n +l n+2 :．数列{a ,1:／1+1}的前2024项和为·且－i）＋（主计（曰）＋＋（幸声）千幸倡20解：解析：（l)选择条件＠：由题意及正弦定理知(b+c)=a 2+3bc,b 2 +c 2＿矿l:. a 2=b 2+c 2-bc, :. cosA =�=..'.:..·:O<A<冗，．·.A=色．32bc 2选择条件＠：因为cos2(f+ A )+cosA = ¾，所以sin 2A +cosA = ¾,5 45 1即l-cos 2A +co sA=－，解得cos A ＝一，又O<A ＜冗，42冗所以A=－3(2)由 b C—=—可得s i nB sinCb=气sm[！C+C )石l一cos C +�s i nC 1石）2 2 = --=-----= -＋—· sinC 2 2 tanC冗2因为t0:.ABC 是锐角三角形，由（l )知A =.:.:.,A+B+C ＝冗得到B+C ＝一冗，3 3O<C<.:.:..冗故｛卢－C 2＜工，解得产<C ＜亨所以½<b<232I,..✓3石"3Sil.ABC= ½bcs i n A＝了b 'Sil.ABC E(／＇了）21解：（I)巾题意知，f(l )=O,f'(x)=3x 2一l,f'（l )＝3-l =2,则y =f(x)在点(l,0)处的切线方程为y =2(x -l),y=2x-2设该切线与g(x)切千点化，g （凸）），g'(x)=2x,则g ＇（凸）＝2-Xz =2,解得x 2=1,则g(l )=l+a=2-2=0,解得a=-1;(2)因为f'(x)=3x 2-L 则y=f(x)在点(x I ,f （凸））处的切线方程为y-（式－x 1)= (3x� -l )(x-x,),整理得y =(3x 12－小－勾，设该切线与g (x)切千点化，g （凸）），g'(x)=2x,则g ＇（凸）＝勾～则切线方程为y-（斗＋a)=2凸(x 飞），整理得y =2x 2x －式＋a,则厂：：：：飞X+a，整理行a ＝x 户-2x f=（孚－订－2x f=：亡2x f －扫叶93 2,l令h(x)= �x 4-2x 3-�x +－，则h'(x)=9i 3-6x 2-3x = 3x(3x+l)(x -l ),4 2 4令h'(x)>0，解得－一<x<O 或x>1,3令h'(x)<0，解得x<-－或O<x<L3则x 变化时，h'(x),h(x)的变化悄况如下表：(－OO六）lX h'(x) 。
【市级联考】河南省南阳市2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题
【解析】
【分析】
根据二次函数和对数函数的图象和性质，由已知中当x∈（1，2）时，不等式（x﹣1）2＜logax恒成立，则y=logax必为增函数，且当x=2时的函数值不小于1，由此构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
A． B． C． D．
3．已知函数 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 是定义在 上的偶函数，那么 的最大值是（）
A．0B． C． D．1
6．关于 的不等式 的解集为 或 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
故
故答案为D.
【点睛】
这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.
9．C
【分析】
求出函数的定义域，判断函数的单调性，然后求解最值即可．
【详解】
【详解】
由题意函数 是定义在R上的增函数，
可得： 解之得：0＜a≤1．
故选A．
【点睛】
本题考查分段函数的应用，是基本知识的考查．分段函数单调性，首先满足每一段上的单调性，其次满足整体的单调性.
8．D
【分析】
分别根据指对函数的性质和运算性质得到各自的范围，进而得到结果.
【详解】
显然， ，又因为 ， ，
4．B
【解析】
由于函数 的是单调递增函数，且 根据零点存在定理可知，函数 的零点所在的区间为 ，故选B.
5．C
【解析】
∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝ .
2020高考数学最后十天压轴题 专题1.5 以向量与解析几何、三角形等相结合为背景的选择题(解析版)
2
AD
63
4.【山东省聊城市第一中学 2019 届高三上学期期中考试】已知 M 是△ABC 内的一点，且
，
，若△MBC，△MCA 和△MAB 的面积分别为 1， ， ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．8 C．6 D．3
5. 【湖北省宜昌市示范高中协作体 2019 届高三上学期期中联考】已知△ABC 的三个内角 A、B、C 所对边
长分别为 a、b、c，向量 =(a＋c，a－b)， =(b，a－c)，若 ∥ ，则∠C=(
)
A． B． C． D．
6. 【2019·山东高三期末（理）】过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 作直线 l ，交抛物线于点 M ， N ，交
抛物线的准线于点 P ，若 PM 2PN ，则直线 l 的斜率为( )
C．垂心
D．重心
【 举 一 反 三 】【 江 西 省 赣 州 市 十 四 县 （ 市 )2019 届 高 三 上 学 期 期 中 联 考 】 在
中,
,是
的内心,若
,其中
,动点 的轨迹所覆
盖的面积为( )
A．
B．
C．
D．
类型三 向量与三角函数的结合
典例 4． （多选题）（2019·山东高三期中）已知向量 m (sin x, 3) ， n cos x, cos2 x ，函数
uuur uuur 两点，且 AE EB ， AD 2DC ， BD 与 CE 交于点 O ，则下列说法正确的是（ ）
A． AB CE 1
B． OE OC 0
C． OA OB OC
3
2
7
D． ED 在 BC 方向上的投影为 6
2.（多选题）（2019·山东菏泽一中高三月考）下列命题中，是真命题的是（ ）