第六章_分析力学_习题解答
6.1、一长为0l 、质量为m 的匀质棒，斜靠在固定的半球形碗的边缘，一端置于碗内，如图示。
已知碗是光滑的，半径为r ；棒在碗内的长度为(2)l l r <。
用虚功原理证明棒的全长为
2204(2)l r l l
-=。
6.2、用绳子等距离地在定点O 处悬挂两个相同的匀质球。
两球之上另旋转一相同的球体，如图示。
已知分别悬挂两球的绳长都是l ，用虚功原理求出α角与β角之间的关系。
6.3、用轻质橡皮圈捆扎三个置于光滑水平桌面上的相同球体，捆扎的高度与球心的高度相同。
将第四个同样的球体置于三球之上，由虚功原理求出橡皮圈中的张力。
已知每个球体的重量为P
6.4、一弹性绳圈，它的自然长度为0l ，弹性系数为k ，单位长度质量(线密度)为σ。
将此弹性圈套在一半径为0(2)R R l π>的光滑球面上，弹性圈因自重而下滑。
用虚功原理求出平衡时弹性绳圈对球心所张的角度θ应满足的方程。
6.5、一半径为R 的半球形碗内装有两个质量分别为1m 和2m 的球体，它们的半径同为(2)r r R <。
用虚功原理求出这两个球体在碗中平衡时它们的连心线与水平线间的夹角。
6.6、一轻杆长为2l ，一端光滑铰链于固定点O ，另一端点及中点分别焊接有质量为'm 和m 的小球。
杆可在铅直平面内绕固定点摆动。
写出此力学系统的拉格朗日函数，并求出其作微小摆动时的周期。
6.7、一半径为r 、质量为'm 的圆柱形轱辘，其轴线沿水平方向。
轱辘上绕有长为l 的轻绳，绳的自由端系一质量为m 的重物。
初始时绳子完全绕在轱辘上，体系静止。
尔后重物下落带动轱辘转动。
写出此力学系的拉格朗日函数，并求出绳子完全释放时轱辘转动角速度的大小。
6.8、上题中，如果绳子具有弹性，弹性势能为2
/2ks ，s 为绳子的伸长。
证明重物m 的运动为维持恒定的加速运动上附加一角频率为ω的振动，其中2('2)/'k m m m m ω=+。
求出此种振动的振幅。
设初始时绳子完全绕在轱辘上，体系静止，尔后释放。
6.9、力学系统如图所示。
二滑轮为相同的圆盘，半径为r ，质量为m 。
悬挂的重物质量分别为1m 和2m ，且12()/2m m m >+。
初始时系统静止。
(i)导出此力学系的运动微分方程
(ii)分别求出两重物下降的速度与重物下落距离h 之间的关系。
6.10、一质量为m 、半径为r 的小圆柱体，置于一半径为R 的大圆柱面的内侧作纯滚动。
写出小圆柱体的拉格朗日函数，并求出在最低点(平衡位置)附近小圆柱体作微小振动时的周期。
6.11、一质量为m 、半径为r 的小圆柱体，放在质量为'm 、半径为R 的另一大圆柱体上，大圆柱体'm 则置于粗糙的水平面上。
两柱体的轴相互平行，质心在同一竖直平面内。
初始时力学系统静止。
若以初始时大圆柱体的质心为固定坐标系的坐标原点，证明此后的任意时刻小圆柱体的质心坐标为(3')sin ()3(')
m m m m x r R m m θθ++=++，()cos m y r R θ=+ 其中，θ为两柱体质心连线与铅直线间的夹角。
6.12、小球1和小球2的质量分别为1m 和2m ，用绳子相连，绳子穿过光滑水平桌面上的小孔。
小球1在桌面上运动，小球2则垂直悬挂在桌面下。
写出此力学系的拉格朗日函数和所有的第一积分。
设绳长为l 。
6.13、长为2l 、质量为m 的匀质棒，两端分别用长都为s 的轻绳垂直悬挂。
今若突然将其中一根绳子剪断，用拉格朗日方程求出棒上落的运动微分方程。
6.14、一半径为r 、质量为m 的圆环，用三根长度都为l 的无弹性轻绳在等弧点处水平悬挂，成一扭摆，如图所示。
求此扭摆绕中心铅直轴扭转的微振动周期T
6.15、在图示的耦合摆，若两摆锤的质量不同，分别为m 和'm 求此耦合摆的本征频率。
初始条件如同题6.31，仅第一个摆有微小偏移0θ，求第二个摆可能达到的最大摆幅。
当第二个摆的摆动最大时，第一个摆的摆幅是否为0？
6.16、摆长为l 、摆锤质量为m 的两个相同单摆串接成为一个双摆，如图所示。
求此双摆在铅直平面内作微振动时的各个本征频率。
6.17、一质量m 为和另一质量为'm 的球体用两根劲度系数都为k 的轻质弹簧沿一直线串接，如图。
求出此体系的微振动本征频率。
6.18、一质量为m 的质点在一光滑锥面的内壁上运动。
锥体的半顶角为α，锥体口朝上。
以质点离锥体顶点的距离r 及围绕锥体轴线转动的角度ϕ为广义坐标，写出质点的哈密顿函数；当质点绕锥体轴转动的角速度为多大时，可以绕轴作稳定的圆周运动？
6.19一质量为m 的质点在三维势场()V r 中运动。
以球坐标,r θ和ϕ为质点的广义坐标，写出此质点的哈密顿函数。
哪些广义坐标为循环坐标？并写出相应的循环积分
6.20、写出对称陀螺绕其顶点O 作定点运动的哈密顿量。
设陀螺关于对称轴及横轴的转动惯量分别为I 、*I ，质心离顶点的距离为l 。
6.21、力学量,A B 和C 都是体系正则变量的函数，证明它们的泊松括号存在如下关系：
[,][,]A B B A =-；[,][,][,]A B C A C B C +=+；[,][,][,]AB C A C B A B C =+
6.22、证明，任何正则变量的函数1212(,,...,;,,...,;)s s G q q q p p p t 存在如下关系：
[,]G p G q αα∂=-∂；[,]G q G p αα
∂=-∂ (1,2,...,)s α=
6.23、证明一质点关于坐标原点的位矢r ，动量p 和角动量L 的直角坐标分量存在如下关系：
[,]y x L z =；[,]z x L y =-；[,]0x x L =
[,]x y z p L p =；[,]x z y p L p =-；[,]0x x p L =
[,]x y z L L L =；[,]x z y L L L =-；2
[,]0x p L =
6.24、试问变换Q q =，2P p =是正则变换吗？
6.25、取母函数1
(,)s
U q P q P ααα==∑求出正则变换关系。
6.26、试证变换1
ln(sin )Q p q =，cot P q p =为一正则变换。
6.27、证明，变换关系q p =，p p =为一正则变换。
6.28、质量为m 的质点竖直上抛，写出质点运动的哈密顿函数。
利用母函数
21()6
U mg gQ xQ =+作正则变换，求解此质点的运动。
其中x 为质点上抛的距离，Q 为“新广义坐标”；在初始时刻0x =，0x v =。
基础物理学上册习题解答和分析第六章习题解答和分析
习题六6-1频率为Hz 41025.1⨯=ν的平面简谐纵波沿细长的金属棒传播，棒的弹性模量211/1090.1m N E ⨯=，棒的密度33/106.7m Kg ⨯=ρ.求该纵波的波长. 分析 纵波在固体中传播，波速由弹性模量与密度决定。
解：波速ρ/E u =,波长νλ/u = 2/0.4E m λρν==6-2一横波在沿绳子传播时的波方程为：))(5.2cos(04.0SI x t y ππ-=(1)求波的振幅、波速、频率及波长；(2)求绳上的质点振动时的最大速度；(3)分别画出t=1s 和t=2s 的波形，并指出波峰和波谷.画出x=1.0m 处的质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同.解：（1）用比较法，由)2cos()5.2cos(04.0x t A x t y λπϕωππ-+=-=得0.04A m = ； /2 2.5/2 1.25Hz νωπππ===；2, 2.0m ππλλ== 2.5/u m s λν==（2）0.314/m A m s νω==（3）t=1(s)时波形方程为：)5.2cos(04.01x y ππ-= t=2(s)时波形方程为：)5cos(04.02x y ππ-=x=1(m)处的振动方程为：)5.2cos(04.0ππ-=t y6-3 一简谐波沿x 轴正方向传播，t=T/4时的波形图如题图6－3所示虚线，若各点的振动以余弦函数表示，且各点的振动初相取值区间为（-π，π].求各点的初相.分析 由t=T/4时的波形图(图中虚线)和波的传播方向,作出t=0时的波形图。
依旋转矢量法可求t=0时的各点的相位。
解:由t=T/4时的波形图(图中虚线)和波的传播方向,作出t=0时的波形图(图中实线),依旋转矢量法可知 质点1的初相为π; 质点2的初相为π/2; 质点3的初相为0; 质点4的初相为-π/2.6-4 有一平面谐波在空间传播,如题图6－4所示.已知A 点的振动规律为)t cos(A y ϕ+ω=，就图中给出的四种坐标,分别写出它们波的表达式.并说明这四个表达式中在描写距A 点为b 处的质点的振动规律是否一样? 分析 无论何种情况，只需求出任意点x 与已知点的相位差，同时结合相对坐标的传播方向（只考虑相对于题图题图6-3t=坐标方向的正负关系）即可求解波的表达。
分析力学参考答案
分析力学参考答案分析力学参考答案引言：分析力学是物理学的一个重要分支，研究物体在力的作用下的运动规律。
在学习分析力学的过程中，参考答案是一个非常重要的工具，可以帮助学生巩固知识，理解问题的解决方法。
本文将分析力学的一些典型问题，并给出参考答案，帮助读者更好地掌握分析力学的基本原理和解题技巧。
一、牛顿第二定律问题牛顿第二定律是分析力学的基础，描述了物体在力的作用下的加速度。
以下是一个典型的牛顿第二定律问题：问题：一个质量为m的物体在水平面上受到一个恒定的力F作用，求物体的加速度和受力大小的关系。
解答：根据牛顿第二定律的公式F=ma，我们可以得到物体的加速度a等于受力F除以物体的质量m，即a=F/m。
因此，物体的加速度与受力大小成反比。
二、动量守恒问题动量守恒是分析力学中的一个重要原理，描述了系统在没有外力作用下动量的守恒。
以下是一个典型的动量守恒问题：问题：两个质量分别为m1和m2的物体在水平面上碰撞，碰撞前物体1的速度为v1，物体2的速度为v2，碰撞后物体1的速度为v'1，物体2的速度为v'2，求碰撞前后两个物体的动量是否守恒。
解答：根据动量守恒定律，系统在没有外力作用下，动量守恒。
即m1v1 +m2v2 = m1v'1 + m2v'2。
因此，两个物体的动量在碰撞前后保持不变，动量守恒。
三、角动量问题角动量是分析力学中的一个重要概念，描述了物体绕某一点旋转的特性。
以下是一个典型的角动量问题：问题：一个质量为m的物体绕固定点O以角速度ω旋转，求物体的角动量L 与角速度ω的关系。
解答：根据角动量的定义L=Iω，其中I为物体对固定点O的转动惯量。
对于一个质量为m的物体，其转动惯量I等于mr^2，其中r为物体到固定点O的距离。
因此，物体的角动量L与角速度ω成正比，L=mr^2ω。
结论：通过以上的分析力学问题及其参考答案，我们可以看出分析力学的基本原理和解题技巧。
牛顿第二定律描述了物体在力的作用下的加速度，动量守恒原理描述了系统在没有外力作用下动量的守恒，角动量则描述了物体绕某一点旋转的特性。
华中科技大学 工程流体力学 第6章 相似理论和量纲分析习题解答
第6章 相似理论和量纲分析----习题参考答案(6原为5)6.1 解：贮水箱贮水主要受重力作用，所以动力相似的条件为傅汝德数相等。
即：v =，m p v v ==v C =又 =⨯流量速度面积522m m m Q v S v l l p p p Q v S C C C C C C Q v S =====因 33333///p m m m mQ l t p p p p m t Q l t l C C C Q l t l t ====则 532/llt C C C =， 12mt l pt C C t ==求得实物贮水箱贮水的时间为12/460min p m lt t C ===6.2 解：依题意只计重力影响，可得动力相似的条件为傅汝德数相等。
即：v =，m v v v ==, 已知 21400l S C C ==， 则 120l C =， 所以模型长度为 160 3 m 20m p l l l C ==⨯=，船速为6 1.34 m/s m v =≈. 6.3 解：由量纲分析推得汽车所受的阻力为：22(Re)R v l f ρ=两流动若要动力相似，它们的雷诺数必须相等，即 由p pm mpmv l v l νν=，已知16m l p l C l ==，p m ννν==得：16p m l mp v l C v l === 又 222222221mpp p p pm m m m R v l v l R v l v lρρ===，于是得原型的阻力为：510p m R R ==N 。
6.4 解：(1)与兴波阻力有关的相似准数为傅汝德数。
由v =， 已知 3700010.28 m/s 3600p v =≈，船模速度 (拖车速度)为10.28 1.88 m/s m v v =≈≈； (2) 由兴波阻力系数相等： 22221122p m p p m m R R v l v l ρρ=，得：223310.1930275130 N p p p p m m m m m v l l R R R v l l ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6.5 解： 已知25e v =m/s ，30e m h h ==m ，/1/6m e g g =。
分析力学基础答案非惯性系中的质点动力学答案
第一章分析力学基础答案1-1 图a自由度数为1；图b自由度数为2。
1-2广义力不都具有力的量纲，可以是力，也可以是力矩，还可以是其他量。
广义力与广义坐标的虚增量之积等于虚功。
1-3分别对图示系统写出其势能表达式，求一阶与二阶导数，由稳定性判别依据可得图a所示系统为不稳定平衡状态，图b所示系统为稳定平衡状态。
1-4只要内力作功就应该计入内力所作的功。
1-5将摩擦力看作为“主动力”，即可应用动力学普遍方程或拉格朗日方程。
1-6刚体平面运动有3个自由度，选质心坐标和转角为广义坐标，写出系统的动能，刚体所受力系向质心简化，此即为3个广义力，代入拉格朗日方程运算即可。
1-7在证明拉格朗日两个恒等式时，在推导以广义坐标表示的动力学普遍方程时。
第二章非惯性系中的质点动力学答案2-1找不到作用处；不成立。
2-2略。
2-3A对。
2-4向右面；（2）向左面；（3）与南、北半球情况相同。
2-5 略。
第三章碰撞答案3-1按恢复因数定义结合动量守恒定理求解。
时，基本按原速返回，基本不动；时，停止运动，以速度前进；时，以速度继续前进，以速度2前进。
3-2一般情况下，难以积分；碰撞过程中，可看为常量，容易积分。
3-3弹性碰撞时变形不能全部恢复，机械能损耗难以计算，不适宜用动能定理；恢复因数e=1时，是完全弹性碰撞，无机械能损失，可以用动能定理。
3-4恢复因数定义为碰撞后与碰撞前物体接触点处法向速度的比值；补充动力学方程以解决机械能损耗难以计算的困难。
3-5棒球击于球棒的撞击中心且与球棒垂直时，不震手；反之，手握棒处有碰撞冲量，有碰撞力，震手。
3-6用撞击中心的概念解释；撞击中心趋于无穷远处，无意义。
3-7均可用动量定理和对质心的动量矩定理求解。
作用于距质心l/6长度处。
第四章机械振动基础答案4-1 弹簧固有频率与弹簧松紧程度无关；不可以。
4-2不同，水平放置重力不是恢复力，铅直放置重力为恢复力。
如果在无重力场，固有频率与放置方式无关。
理论力学课后习题答案-第6章--刚体的平面运动分析
第6章 刚体的平面运动分析6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。
曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0ϕ= 0。
试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。
解：ϕcos )(r R x A += （1） ϕsin )(r R y A +=（2）α为常数，当t = 0时，0ω=0ϕ= 0 221t αϕ=（3）起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过θϕϕ+=A因动齿轮纯滚，故有⋂⋂=CP CP 0，即 θϕr R = ϕθr R =， ϕϕrr R A += （4）将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=222212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A αϕαα6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。
试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。
解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。
作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。
则角速度杆AB 为6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。
试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。
解：RvR v A A ==ωR v R v B B 22==ωB A ωω2=6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。
设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30︒，ϕ＝60︒，BC ＝270mm 。
试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。
hv AC v AP v ABθθω2000cos cos ===习题6-1图ABCv 0hθ习题6－2图PωABv CABCv ohθ习题6－2解图习题6-3解图习题6-3图v A = vv B = v ωAωB习题6-6图习题6-6解图解：杆BC 的瞬心在点P ，滚子O 的瞬心在点D BDv B ⋅=ωBPBD BP v B BC ⋅==ωω ︒︒⨯=30sin 27030cos 36012 rad/s 8=PC v BC C ⋅=ωm/s 87.130cos 27.08=︒⨯=6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。
大学物理第06章习题分析与解答.doc
6-1某一热力学系统经历一个过程后，吸收了400J的热量，并对环境做功300J,则系统的内能()o(A)减少了100J (B)增加了100J (C)减少了700J (D)增加了700J解：由热力学第一定律2 = AE + W可得AE = 2 - VV = 400 - 300=100J 故选B6-2对于理想气体系统来说，在下列过程中，哪个过程中系统所吸收的热量、内能的增量和对外做功三者均为负值( )？(A) 等容降压过程(B)等温膨胀过程(C)绝热膨胀过程(D)等压压缩过程解：等容过程不做功，故A不正确；等温过程内能不变，故B不正确；绝热过程与外界不交换热量，故C不正确；对于等压压缩过程：体积减小，系统对外界做负功，表现为外界对系统做功；易知压缩过程温度降低，则内能减少；等压过程e p = vC^T ,温度降低，则必放热。
故选D6-3系统分别经过等压过程和等体过程，如果两过程中的温度增加值相等，那么()o(A)等压过程吸收的热量小于等体过程吸收的热量(B)等压过程吸收的热量等于等体过程吸收的热量(C)等压过程吸收的热量大于等体过程吸收的热量(D)无法确定解：等压过程吸收的热量Q p = vC^T ；等容过程吸收的热量e v=^c v Ar,由于C p > C v ,故选 C6-4 一台工作于温度分别为327°C和27°C的高温热源与低温热源之间的卡诺热机，每经历一次循环吸热2000J ,则对外界做功( )o(A) 2000J ( B ) 1000J ( C ) 4000J ( D ) 500J解：卡诺热机循环效率?/= —=1-^=1- —则W = 1000J,故选BQ吸心600 26・5系统从外界获得的能量，一部分用来_______ ,另一部分用来对外界做功。
解：详见热力学第一定律6-6空气压缩机在一次压缩过程中，活塞对气缸内的气体做功为2xlO4J,同时气体的内能增加了1.5X104J O试问：此压缩过程中，气体_______________ (填“吸收”或“放出”)的热量等于 ___________ J。
第六章 分析力学基础
第六章 分析力学基础本章是动力学问题的引深，将介绍解决刚体和刚体系统动力学问题中经常采用的分析方法，这些方法将在某个方面使动力学问题的解决得以方便或简化，有的方法将直接涉及到动力学分析的计算机应用，这些方法包括达朗贝尔原理、虚位移原理、第一类拉格朗日方程和第二类拉格朗日方程。
第一节 达朗贝尔原理达朗贝尔原理（有的书称之为达朗伯原理）的核心是引入惯性力和惯性力矩的概念，从而将动力学问题转化为静力学问题解决。
（一） 达朗贝尔惯性力我们已经知道，牛顿第二定律描述了一个质点的运动规律，即F r m = （6.1.1）这里，r表示该质点在惯性参考基中的位置，F 则表示该质点所受外力的主矢量。
如果将上式改写为0=-r m F（6.1.2）再定义r m F -=* （6.1.3）称为该质点的达朗贝尔惯性力，则牛顿第二定律可以改写为如下形式：0=+*F F （6.1.4）上式可以这样理解：质点的达朗贝尔惯性力与该质点所受到所有真实的外力的矢量和等于零，或者说，质点的达朗贝尔惯性力与该质点所受到所有真实的外力组成一个平衡力系。
这个结论称之为质点的达朗贝尔原理。
下面就（6.1.4）式作出讨论：① 所谓所有真实外力包括主动力和理想约束力。
② 达朗贝尔惯性力与非惯性基下的牵连惯性力和科氏惯性力是有区别的，后者仅仅是为了将非惯性基下的动力学方程写成类似于惯性基的形式而采用的，显然，它们取决于惯性基的运动，而达朗贝尔惯性力与非惯性基存在与否没有关系，达朗贝尔惯性力的定义为了将相对惯性基的动力学方程改写为另外一种形式，即一种力的平衡形式。
③ 达朗贝尔原理也称为动静法，即动力学问题的静力学处理方法。
④ 达朗贝尔惯性力是描述相对惯性基的运动，所以，它也直接简称为惯性力。
对于一个由n 个质点组成的质点系统，每个质点的外力中显然包含了系统内其他质点的作用力，但是对于整个系统而言，它们之间的作用力相互抵消，因此，该质点系的外力仅仅是系统外部的作用力，当然包括主动力和理想约束力。
第六章_分析力学_习题解答
6.1、一长为0l 、质量为m 的匀质棒，斜靠在固定的半球形碗的边缘，一端置于碗内，如图示。
已知碗是光滑的，半径为r ；棒在碗内的长度为(2)l l r <。
用虚功原理证明棒的全长为2204(2)l r l l-=。
6.2、用绳子等距离地在定点O 处悬挂两个相同的匀质球。
两球之上另旋转一相同的球体，如图示。
已知分别悬挂两球的绳长都是l ，用虚功原理求出α角与β角之间的关系。
6.3、用轻质橡皮圈捆扎三个置于光滑水平桌面上的相同球体，捆扎的高度与球心的高度相同。
将第四个同样的球体置于三球之上，由虚功原理求出橡皮圈中的张力。
已知每个球体的重量为P6.4、一弹性绳圈，它的自然长度为0l ，弹性系数为k ，单位长度质量(线密度)为σ。
将此弹性圈套在一半径为0(2)R R l π>的光滑球面上，弹性圈因自重而下滑。
用虚功原理求出平衡时弹性绳圈对球心所张的角度θ应满足的方程。
6.5、一半径为R 的半球形碗内装有两个质量分别为1m 和2m 的球体，它们的半径同为(2)r r R <。
用虚功原理求出这两个球体在碗中平衡时它们的连心线与水平线间的夹角。
6.6、一轻杆长为2l ，一端光滑铰链于固定点O ，另一端点及中点分别焊接有质量为'm 和m 的小球。
杆可在铅直平面内绕固定点摆动。
写出此力学系统的拉格朗日函数，并求出其作微小摆动时的周期。
6.7、一半径为r 、质量为'm 的圆柱形轱辘，其轴线沿水平方向。
轱辘上绕有长为l 的轻绳，绳的自由端系一质量为m 的重物。
初始时绳子完全绕在轱辘上，体系静止。
尔后重物下落带动轱辘转动。
写出此力学系的拉格朗日函数，并求出绳子完全释放时轱辘转动角速度的大小。
6.8、上题中，如果绳子具有弹性，弹性势能为2/2ks ，s 为绳子的伸长。
证明重物m 的运动为维持恒定的加速运动上附加一角频率为ω的振动，其中2('2)/'k m m m m ω=+。
理力答案-第六章-2
均质杆AB ，长l ，重P ，用铰A 与均质圆盘中心连接。
圆盘半径为r ，重Q ，可在水平面内作无滑动滚动。
当30ϕ=︒时，杆AB 的B 端沿铅垂方向下滑的速度为B v ，求此刚体系统在图示瞬时的动量。
解：AB 杆的瞬心D 如图所示，故其质心C 的速度为() 223 322322B C B B A B C AB v lv v l v l v v l P Qg g vP Q P g=⋅==⋅=∴=+⎡⎤=+-⎣⎦p v v i jA vB v CDCxyo往复式水泵的固定外壳部分D 和基础E 的质量为1m ，均质曲柄OA 长为r ，质量为2m 。
导杆B 和活塞C 作往复运动，其质量为3m 。
曲柄OA 以匀角速度ω绕O 轴转动。
求水泵基础给地面的压力。
解：建立坐标系，x 轴水平向右为正方向，y 轴竖直向上为正方向。
系统中外壳D 和基础E 固定，曲柄OA 作匀速转动，并带动导杆和活塞平动。
系统的总动量为：()j j i p t r m t t rm ωωωωωsin sin cos 232++=由y 方向的动量定理得：d d y y p F t=∑()()()tr m m g m m m N g m m m N t r m t rm ωωωωωωcos 221cos cos 22323213212322++++=++-=+图示凸轮机构中，凸轮半径为r 、偏心距为e 。
凸轮绕A 轴以匀角速ω转动，带动滑杆D 在套筒E 中沿水平方向作往复运动。
已知凸轮质量为m 1，滑杆质量为m 2。
试求在任意瞬时机座螺栓所受的动反力。
解：取凸轮、滑杆和机座组成的系统为研究对象。
由于只求动反力，故不考虑重力，受力图如图示。
凸轮质心的加速度为：t e a x C ωωcos 21-=t e a y C ωωsin 21-=滑杆质心的加速度为：t e a x C ωωcos 22-=02=y C a由质系动量定理得：F t e m t e m =--ωωωωcos cos 2221N t e m =-ωωsin 21所以：t e m m F ωωcos )(221+-=t e m N ωωsin 21-=图示小球P 沿大半圆柱体表面由顶点滑下，小球质量为2m ，大半圆柱体质量为1m ，半径为R ，放在光滑水平面上。
分析力学8-第六章2011春讲义印发_991202994
第六章 简单的可积系统§6．1．可积系统和不可积系统拉格朗日方程是由s 个 (s = 3 n － k )二阶常微分方程01,2,,(1)d L Ls dt qq ααα∂∂-==∂∂所组成的常微分方程组。
由（1）式可以解得(),,,1,2,,(1)qf q q t s ααββαβ'==（1）或（1’）的通解为： ()()122,,,,1,2,,2s q q t C C C s ααα==其中2s 个积分常数由初条件()()0000q q qq αααα== ，确定。
为了求通解，可以直接积分拉格朗日方程（1），也可以利用运动积分，再进一步求解。
运动积分就是在运动过程中保持不变的ααq q ,的某种函数：()(),3k k C C q q =它们可能是某些重要的守恒量。
这样的相互独立的运动积分最多有(2s －1)个。
事实上，如果已求得拉格朗日方程的通解（2），由（2）对t 求导可以得到()()122,,,,1,2,,4s qq t C C C sααα==由（2）和（4）解出积分常数，消去t ，可能得到(2s －1)个这样的函数。
若拉格朗日方程不显含t ，则（2）式具有时间平移不变性，因而总可表为：()()2122101221,,,,,,s s s q q t C C C C q t t C C C αα--=-=- （1’） 即把2s 个常数重新组合，使一个积分常数和时间结合在一起，这个积分常数体现了时间零点的选择。
这样在消去t 时，同时消去这个常数t 0，于是可解得)12(-s 个独立的运动积分：(),1,2,,21k k C C q qk s ==- （3）在相当一般的条件下，一个常微分方程组存在唯一的解。
一般说，一个力学系统的动力学方程是满足这样的条件的。
但是解存在唯一并不意味着解一定能表为解析函数（能用解析函数表达的解是凤毛麟角）。
如果一个力学系统的动力学方程的解能够表为解析函数（称为有解析解），则这个系统称为可积系统或完全可积系统。