第8讲 鸽巢原理
鸽巢原理的六种理解法
鸽巢原理的六种理解法
鸽巢原理，也被称为鸽巢抽屉原理，是一种基本的数学原理，可以用于解决多种问题。
以下是关于鸽巢原理的六种理解方法：
1. 直观理解：想象一下有n个鸽巢（抽屉）和多于n只鸽子（物体），每
个鸽巢中至少有一只鸽子。
这意味着至少有一个鸽巢中有多于一只鸽子。
2. 公式理解：物体数÷鸽巢数=商……余数，至少个数=商+1。
如果要将k
个物体放入n个鸽巢中，如果k>n，那么至少有一个鸽巢中放有两个或两
个以上的物体。
3. 举例理解：如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子。
这就是把鸽子看作物体，鸽笼看作抽屉，由此可以理解鸽巢原理。
4. 反证法理解：以第一抽屉原理的证明为例，如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n×1，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。
也就是说，如果每个抽屉内的物体数都不超过1，那么总物体数最多为n，
与题目中给出的总物体数超过n矛盾，因此至少有一个抽屉里的物体数不少于2。
5. 极限思想理解：想象有无数多的鸽子要飞进有限数量的鸽巢中。
即使每个鸽巢已经飞进了一只鸽子，仍然会有鸽子要飞进去，使得至少有一个鸽巢内至少有两只鸽子。
6. 应用理解：鸽巢原理有许多实际应用，如计算组合数学问题、解决几何分割问题、找出重复元素等。
这些应用都基于一个简单的思想：通过限制某些条件或关系，使得至少有一个特定的元素或情况是重复的或满足特定条件的。
以上就是关于鸽巢原理的六种理解方法，希望对你有所帮助。
组合数学第二章鸽巢原理课件PPT
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在多重鸽巢原理中，存在多个相互独立的鸽 巢，每个鸽巢都有自己的限制条件。这些限 制条件可以是数量限制、性质限制等。当每 个鸽巢都满足鸽巢原理的条件时，多重鸽巢 原理成立。多重鸽巢原理的应用范围很广，
可以解决许多组合计数问题。
鸽巢原理的变体
总结词
鸽巢原理的变体是指在满足鸽巢原理的条件基础上， 对鸽巢和物品的数量或性质进行一些调整或变化。
鸽巢原理的数学表达形式是：如果 n 个物体放入 m 个容器中 （n > m），则至少有一个容器包含两个或两个以上的物体。
鸽巢原理的应用场景
鸽巢原理在组合数学、概率论、统计学等领域有广泛的应用。例如，在解决一些 计数问题、概率分布问题以及组合优化问题时，可以利用鸽巢原理来寻找解决方 案。
在实际生活中，鸽巢原理也常被用于解决各种问题，如资源分配、工作安排、时 间规划等。
详细描述
首先假设鸽巢原理不成立，即存在n个鸽子无法平均分配到m个鸽巢中。然后，我们尝 试将这n个鸽子重新分配到m个鸽巢中，由于每个鸽巢至少有一个鸽子，所以至少有一 个鸽巢有超过一个鸽子。这与我们的假设矛盾，因此我们的假设是错误的，鸽巢原理成
立。
证明方法二：数理归纳法
总结词
数理归纳法是一种基于数学归纳法的证 明方法，通过逐步推导和归纳来证明结 论。
详细描述
有限制的鸽巢原理是指在某些特定条件下，鸽巢原理依 然成立。这些特定条件可能包括鸽巢和物品的数量限制 、物品的性质限制等。例如，当鸽巢的数量小于物品的 数量时，即使物品可以相互替代，鸽巢原理也不成立。
多重鸽巢原理
总结词
多重鸽巢原理是指存在多个相互独立的鸽巢 ，每个鸽巢都满足鸽巢原理的条件。
详细描述
第8讲 鸽巢原理
鸽巢原理例 3
在平面上有6个点 任意两点都用一条边相连， 所得的图称为完全图 现在在每条边上涂色，可以 随意涂红色或白色 证明在这个完全图中，必存 在一个三角形，其三条边的 颜色相同
证明
设在平面上的6个点为 v1,v2,v3,v4,v5,v6 先画出与v1相连的5条边 把这5条边分别涂上红或白两 v2 种颜色 由鸽巢原理知，必有3条边颜 色相同 v3 设v1v3、v1v4 、v1v6颜色相同： 红色
鸽巢原理4
A、B是有限集合 f是A到B的函数 如果|A|>n×m，|B|=n，则在A中至少有 m+1个元素，其函数值相等
鸽巢原理例 1
任意n+1个正整数，其中必有两个数之 差能被n整除。 解：由于任意正整数被n整除后，其余数 n 只能是0,1, …n-1共n种， 所以在n+1个正整数中，必有两个数被n 整除后余数相同， 这两个数之差必能被n整除。
v1
v6
Байду номын сангаас
v5 v4
证明
现考察边v3v4， 如果边v3v4是红色 边,则三角形v1v3v4 v 的三条边颜色相同 （红色） 问题得解
v1
v2
v6
v3 v4
v5
证明
如果v3v4是白色边 再考察边v4v6 如果v4v6是红色边， 则三角v1v4v6形的三 条边颜色相同， 问题得解
v1
v2
鸽巢原理例 2
某人步行10小时，共走45公里， 已知他第一小时走了6公里， 最后一个小时只走了2公里， 证明必须存在连续的两小时，在这2小时 内他至少走了10公里。
鸽巢原理例 2
证明：设第i小时走了ai公里， 连续两小时所走的里程为：a1+a2，a2+a3，…， a9+a10，共9种； 因为(a1+a2)+(a2+a3)+…+(a9+a10)=2*45-62=82， 所以必有连续两个小时所走里程大于10。 （9*9=81）
高思数学_4年级上-第8讲-简单抽屉原理(彩色)
把10个苹果放进9个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．这个看上去很显然的现象，在数学中我们把它称作抽屉原理．一般地，我们有如下结论：以9个抽屉为例：把9个苹果放进9个抽屉，这时苹果个数不多于抽屉个数，如果苹果平均放进抽屉中，则每个抽屉都只放了1个苹果．但如果把10个苹果放进9个抽屉，这时苹果个数多于抽屉个数，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．因为即使每个抽屉都放1个苹果时，也只能放进199×=（个）苹果，剩下的1个苹果再放进任何一个抽屉，都会使该抽屉中有2个苹果．类似的，把99个苹果放进9个抽屉，苹果个数多于抽屉个数，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．事实上，我们还可以发现：如果这99个苹果平均放进9个抽屉中，每个抽屉里放99911÷=（个）苹果，如果放得不平均，则肯定有某个抽屉里的苹果多于11个．但如果把100个苹果放进9个抽屉，即使每个抽屉都放11个苹果，只能放99个苹果，剩下1个苹果再放进抽屉中，一定会使得某个抽屉至少有12个苹果．我们把“抽屉原理I”加以推广，就可以得到一个更全面的抽屉原理．抽屉原理也称“鸽巢原理”或“狄利克莱原理”，是19世纪德国数学家狄利克莱最早提出的，在组合数学中有着非常重要的地位．抽屉原理I把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．抽屉原理II把m个苹果放入n个抽屉（m大于n），结果有两种可能：（1）如果m n÷没有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m n÷”个苹果；（2）如果m n÷有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m n÷的商再加1”个苹果．在前面的分析过程中，我们实际上已经用到了“最不利原则”．这是一种从反面考虑问题的思想，也是抽屉原理问题中非常重要的思考方法．在10个苹果放进9个抽屉的例子中，为了证明“能够找到一个抽屉，里面至少放了2个苹果”，我们利用“最不利原则”的思想，假设结论不成立，即“每个抽屉都放了少于2个的苹果”，由此得到9个抽屉将至多放9个苹果，与题目要求的10个苹果矛盾，因此得到原来的结论是成立的．100个苹果放进9个抽屉的例子也是同样的道理．分析 如果没有满足“有5条相同品种的鱼”的要求，最“倒霉”的情况是什么？换句话说，当结论不成立时，最多可能有多少条鱼？只要比这个“最多的”还要多，结论就肯定成立了．练习1.一个布袋里有7种不同颜色的彩球，每种颜色的彩球都有很多，那么至少要拿出多少个彩球，才能保证其中有6个相同颜色的彩球？分析 仍旧考虑问题的反面，当本题中的结论不成立时，最多能取出多少个球？捞出多少条鱼，才能保证其中有有中摸球，请问：例题2练习2.爷爷给小明买了一盒糖，这些糖分为苹果味、桔子味和菠萝味三种口味，每种口味各30颗．小明特别喜欢吃苹果味的，他闭着眼睛，至少需要摸出多少颗糖，才能保证一定能拿到1颗苹果味的？至少需要摸出多少颗糖，才能保证能拿到两种口味的糖？分析 结论的反面是什么？在不满足结论的情况下，最多能摸出多少只袜子？练习3.袋子里白袜子、黑袜子、红袜子各10只，现在闭着眼睛从袋子中摸袜子，请问：（1）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（2）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）9只绿袜子放入一个布袋里．请问：（两只袜子颜色相同即为一双）草花和方块证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有那么最少要取出多少张牌？分析 本题中我们要保证“至少包含三种花色”和“这三种花色的牌至少都有3张”这两个条件，如果不能同时保证这两个条件，那么最多可能取出多少张牌？练习4.口袋中装有4种不同颜色的珠子，每种都是100个．要想保证从袋中摸出3种不同颜色的珠子，并且每种至少10个，那么至少要摸出多少个珠子？分析 摸出的4枚棋子的颜色情况都有哪几种？如果结论不成立，最多摸了几次？练习5.库房里有一批篮球、排球和足球，体育老师让一些学生去拿球，每人任意拿两个球．至少选出多少名拿球的学生，才能保证至少有4人拿的球完全相同？两种颜色）才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（不必考虑每次摸出的4例题5国王让阿凡提在里至少放一粒米，无论怎么放都至少有多少个米粒？题本讲知识点汇总一、抽屉原理I ：把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．二、抽屉原理II ：把m 个苹果放入n 个抽屉（m 大于n ），结果有两种可能：（1）如果m n ÷没有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m n ÷”个苹果；（2）如果m n ÷有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m n ÷的商再加1”个苹果．三、在抽屉原理问题中常常会用到“最不利原则”的思想．四、需要自己构造抽屉的问题．作业1.口袋里装有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各5个．小华闭着眼睛从口袋里往外摸球，每次摸出1个球．他至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？2.小钱的存钱罐中有四种硬币：1分、2分、5分、1角，这四种硬币分别有5个、10个、15个、20个．小钱闭着眼睛向外摸硬币，他至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中至少有两种不同的面值？至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中既有5分硬币也有1角硬币？3.如果筷子颜色有黑色、白色、黄色、红色、蓝色五种，每种各有10根．在黑暗中取出一些筷子，为了搭配出两双颜色相同的筷子，最少要取多少根才能保证达到要求？为了搭配出两双颜色不同的筷子，最少要取多少根才能保证达到要求？（两根颜色相同的筷子搭配成一双筷子）4.盒子里一共有四种不同形状的零件，分别有9、10、11和12个，至少要从中摸出多少个零件，才能保证有3种不同形状的零件，并且这三种零件中每种至少有3个？5.中午放学，食堂里有五种菜供学生们选择，每人只能选两种不同的菜．至少有多少名学生，才能保证其中至少有5名学生选择的菜完全相同？。
鸽巢原理讲课稿ppt课件
8
平均分
9
7根小棒放进 6个纸杯中，总有一个纸杯中至少有（2
）根小棒。
10
5根小棒放进3个纸杯，总有一个纸杯至少放进了（ 2 ）根小棒。
11
11根小棒放进4个纸杯，总有一个纸杯中至少放进（3）根小棒。
19根小棒放进5个纸杯，总有一个纸杯中至少放进（4）根小棒。
29根小棒放进6个纸杯，总有一个纸杯中至少放进（5）根小棒。
12
“鸽巢原理”最早是由19世纪德国数 学家狄利克雷提出来的，所以又称 “狄利克雷原理”。
把a只鸽子放入n个鸽笼中，
a÷n=b……c 总有一个鸽笼中至少有（ b+1 ）只鸽子。
13
把7本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉 至少放进多少本书？为什么？
抽屉原理
7÷2=3（本）……1（本） 至少数：3+1=4（本）
14
我 们 班 有 46 名 学 生 ， 那 么 至 少 有 （ 4 ）名学生的生日是在同一个月。
46÷12=3（名）……10（名） 至少数：3+1=4（名）
15
通过这节课的学习，你有哪些新的收获呢？
16
17
把4根小棒放进3个纸杯中，有几种摆法？
小组合作记录单
我的摆法 纸杯1 纸杯2 摆法一 摆法二 4 3 2 2 0 1 2 1 纸杯3 0 0 0 1 不管怎么放， 总有一个纸杯， 至少放了（ 2 ） 根小棒。 我的发现
摆法三
摆法四
18
7根小棒放进 6 个纸杯中，总有一个纸杯中至少有（2
）根小棒。
5根小棒放在3个纸杯中，总有一个纸杯中至少有（ 棒。
）根小
19
发现规律，初步建模 7根小棒放在3个杯子里，总有一个杯子里至少有（ 3 ）根小棒。
鸽巢原理 完整ppt课件
同学们好：
让我们一起经历一次充满智慧的数 学旅程！
探索新知
把4支铅笔放进3个笔筒 中，不管怎么放，总有 一个笔筒里至少有2支 铅笔。
“总有”和“至 少”是什么意思？
只要放的铅笔数比笔筒的数量多Байду номын сангаас，总有一个笔筒里至少放进2 支铅笔。
上面我们所证明的数学原理就是最简单的 “鸽巢原理”,可以概括为:若把m个物体任意 放到m-1个盒子里,那么总有一个盒子中至少 放进了2个物体。
数学广角（鸽巢问题）
1. 5只鸽子飞进了4个鸽笼，总有一个鸽 笼至少飞进了2只鸽子。为什么？
摆 法 杯1（铅笔 杯2（铅笔 杯3（铅笔
支数）
支数） 支数）
我把各种情况都摆出来了。
请同学们继续思考:①把5支铅笔放进4个笔筒中，那么 总有一个笔筒里至少放进几支铅笔,为什么？
②如果把6支铅笔放进5个笔筒中，结果是否一样呢？ 把7支铅笔放进6个笔筒中呢？把100支铅笔放进99个笔筒 中呢？
数量(支) 笔筒数(个) 结果（总有一个笔筒里至少放的铅笔数）
学以致用
随意找13位老师，他们中至少有2个人 的属相相同。为什么？
课堂小结
通过今天的学习，你有什么收 获？请你说一说！
问题延伸
如果把5只铅笔放入3个 笔筒里，想一想，总有 一个笔筒里至少要放进 几支铅笔？
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
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为什么呢？
鸽巢原理（抽屉原理）的详解
鸽巢原理（抽屉原理）的详解抽屉原理百科名⽚桌上有⼗个苹果，要把这⼗个苹果放到九个抽屉⾥，⽆论怎样放，我们会发现⾄少会有⼀个抽屉⾥⾯放两个苹果。
这⼀现象就是我们所说的“抽屉原理”。
抽屉原理的⼀般含义为：“如果每个抽屉代表⼀个集合，每⼀个苹果就可以代表⼀个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定⾄少有⼀个集合⾥有两个元素。
” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽⼦笼，养鸽⼈养了6只鸽⼦，那么当鸽⼦飞回笼中后，⾄少有⼀个笼⼦中装有2只鸽⼦”）。
它是组合数学中⼀个重要的原理。
第⼀抽屉原理原理1：把多于n+1个的物体放到n个抽屉⾥，则⾄少有⼀个抽屉⾥的东西不少于两件。
证明（反证法）：如果每个抽屉⾄多只能放进⼀个物体，那么物体的总数⾄多是n，⽽不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。
抽屉原理原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉⾥，则⾄少有⼀个抽屉⾥有不少于m+1的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉⾄多放进m个物体,那么n个抽屉⾄多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。
原理3 ：把⽆穷多件物体放⼊n个抽屉，则⾄少有⼀个抽屉⾥有⽆穷个物体。
原理1 、2 、3都是第⼀抽屉原理的表述。
第⼆抽屉原理把（mn－1）个物体放⼊n个抽屉中，其中必有⼀个抽屉中⾄多有（m—1）个物体。
证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共⾄少有mn个物体，与题设⽭盾，故不可能。
应⽤基本介绍应⽤抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作⽤。
许多有关存在性的证明都可⽤它来解决。
例1：同年出⽣的400⼈中⾄少有2个⼈的⽣⽇相同。
解：将⼀年中的365天视为365个抽屉，400个⼈看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：⾄少有2⼈的⽣⽇相同. 400/365=1…35,1+1=2 ⼜如：我们从街上随便找来13⼈，就可断定他们中⾄少有两个⼈属相相同。
“从任意5双⼿套中任取6只，其中⾄少有2只恰为⼀双⼿套。
鸽巢原理公式
鸽巢原理公式鸽巢原理，又称为抽屉原理，是离散数学中的一个重要概念。
它指出，如果有n+1个物品放入n个容器中，那么至少有一个容器中必然有两个或两个以上的物品。
这个原理虽然看似简单，却有着广泛的应用，尤其在计算机科学、密码学、概率论等领域中有着重要的意义。
鸽巢原理的数学表达形式为，如果有n个鸽子要放到m个巢里，且n>m，那么至少有一个巢里会有两只或两只以上的鸽子。
这个原理的应用非常广泛，下面我们来看一些具体的例子。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设有10个抽屉，11个苹果要放入这些抽屉中，根据鸽巢原理，至少有一个抽屉中会有两个或两个以上的苹果。
这是因为11个苹果要放入10个抽屉中，必然会有一个抽屉中放不下，而另外一个抽屉中则会有两个苹果。
再来看一个与密码学相关的例子。
在密码学中，鸽巢原理被用来解释为什么哈希算法会出现碰撞。
哈希算法是一种将任意长度的输入消息转换为固定长度输出的算法。
由于输入的长度是任意的，而输出的长度是固定的，所以必然会出现多个输入对应到同一个输出的情况，这就是哈希碰撞。
而鸽巢原理可以很好地解释这个现象，即无论输入的消息有多长，都会映射到有限的输出空间中，因此必然会出现多个输入对应到同一个输出的情况。
此外，鸽巢原理还在概率论中有着重要的应用。
例如，在生日悖论中，如果有23个人在一起，那么至少有两个人生日相同的概率超过一半。
这个悖论就是利用了鸽巢原理，将365个可能的生日看作是“鸽子”，而将23个人看作是“巢”，通过计算可以得出至少有两个人生日相同的概率。
总的来说，鸽巢原理是一个简单而重要的数学概念，它在离散数学、计算机科学、密码学、概率论等领域中有着广泛的应用。
通过理解和运用鸽巢原理，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高自己的数学建模和问题解决能力。
希望大家能够在学习和工作中灵活运用鸽巢原理，发现更多有趣的应用和问题。
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v6
v5 v4
证明
现考察边v3v4， 如果边v3v4是红色 边,则三角形v1v3v4 v 的三条边颜色相同 （红色） 问题得解
v1
v2
Hale Waihona Puke v6v3 v4v5
证明
如果v3v4是白色边 再考察边v4v6 如果v4v6是红色边， 则三角v1v4v6形的三 条边颜色相同， 问题得解
v1
v2
鸽巢原理例 2
某人步行10小时，共走45公里， 已知他第一小时走了6公里， 最后一个小时只走了2公里， 证明必须存在连续的两小时，在这2小时 内他至少走了10公里。
鸽巢原理例 2
证明：设第i小时走了ai公里， 连续两小时所走的里程为：a1+a2，a2+a3，…， a9+a10，共9种； 因为(a1+a2)+(a2+a3)+…+(a9+a10)=2*45-62=82， 所以必有连续两个小时所走里程大于10。 （9*9=81）
v6
v3 v4
v5
证明
如果v4v6是白色边 再考察边v3v6 如果边v3v6是红色边，则 三角形v1v3v6的三条边颜 色是相同的，问题得解 如果边v3v6是白色边，则 三角形v3v4v6都是白色边， 问题得解
v1
v2
v6
v3 v4
v5
练习：
习题1： 个球放入77个盒子内 习题 ： 132个球放入 个盒子内，盒子排成一行， 个球放入 个盒子内，盒子排成一行， 每盒至少放一个。证明无论如何怎样放， 每盒至少放一个。证明无论如何怎样放，一定存 在相邻的某几个盒子内放有21个球 个球。 在相邻的某几个盒子内放有 个球。 习题2：证明在任意 个人中 要么有3个人互相认 个人中， 习题 ：证明在任意6个人中，要么有 个人互相认 要么有3个人互相不认识 个人互相不认识。 识，要么有 个人互相不认识。
鸽巢原理
如果某人造了n个鸽巢（洞） 养了多于n只的鸽子 则必有一个鸽巢（洞）住2只或2只以上 的鸽子
鸽巢原理2
当鸽巢为n个 鸽子数大于n×m只时 必有一个鸽巢住m+1只或大于m+1只鸽 子
鸽巢原理3
A、B是有限集合 f是A到B的函数 如果|A|>|B|，则A中至少有2个元素，其 函数值相等
鸽巢原理4
A、B是有限集合 f是A到B的函数 如果|A|>n×m，|B|=n，则在A中至少有 m+1个元素，其函数值相等
鸽巢原理例 1
任意n+1个正整数，其中必有两个数之 差能被n整除。 解：由于任意正整数被n整除后，其余数 n 只能是0,1, …n-1共n种， 所以在n+1个正整数中，必有两个数被n 整除后余数相同， 这两个数之差必能被n整除。
鸽巢原理例 3
在平面上有6个点 任意两点都用一条边相连， 所得的图称为完全图 现在在每条边上涂色，可以 随意涂红色或白色 证明在这个完全图中，必存 在一个三角形，其三条边的 颜色相同
证明
设在平面上的6个点为 v1,v2,v3,v4,v5,v6 先画出与v1相连的5条边 把这5条边分别涂上红或白两 v2 种颜色 由鸽巢原理知，必有3条边颜 色相同 v3 设v1v3、v1v4 、v1v6颜色相同： 红色